2019年普通高等学校招生全国统考试（天津卷）
文科数学
试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分150分考试时120分钟第Ⅰ卷12页第Ⅱ卷35页
答卷前考生务必姓名准考号填写答题卡规定位置粘贴考试条形码答卷时考生务必答案涂写答题卡答试卷效考试结束试卷答题卡交回
祝位考生考试利
第Ⅰ卷
注意事项：
1题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号
2卷8题题5分40分
参考公式：
·果事件AB互斥
·圆柱体积公式中表示圆柱底面面积表示圆柱高
·棱锥体积公式中表示棱锥底面面积表示棱锥高
选择题：题出四选项中项符合题目求
1设集合
A {2} B {23} C {123} D {1234}
答案D
解析
分析
先求求
详解
选D
点睛集合运算问题般先研究集合中元素构成化简先化简时注意数形结合助数轴坐标系韦恩图等进行运算．
2设变量满足约束条件目标函数值
A 2 B 3 C 5 D 6
答案D
解析
分析
画出行域截距模型求值
详解已知等式组表示面区域图中阴影部分
目标函数意义直线轴截距
目标函数点处取值
选C
点睛线性规划问题首先明确行域应封闭区域开放区域分界线实线虚线次确定目标函数意义求直线截距两点间距离方直线斜率点直线距离等等结合图形确定目标函数值范围．：画二移三求．
3设
A 充分必条件
B 必充分条件
C 充条件
D 充分必条件
答案B
解析
分析
求出解集根两解集包含关系确定
详解等价推出
推出
必充分条件
选B
点睛充条件三种判断方法：
(1)定义法：根p⇒qq⇒p进行判断
(2)集合法：根pq成立象构成集合间包含关系进行判断
(3)等价转化法：根命题逆否命题等价性判断命题转化逆否命题进行判断．方法特适合否定形式出问题．
4阅读右边程序框图运行相应程序输出值
A 5 B 8 C 24 D 29
答案B
解析
分析
根程序框图逐步写出运算结果
详解
结束循环输出
选B
点睛解决类型问题时注意：①明确型循环结构直型循环结构根特点执行循环体②明确图中累计变量明确次执行循环体前执行循环体变量值发生变化③明确循环体终止条件什会判断什时候终止循环体．
5已知关系
A B
C D
答案A
解析
分析
利利等中间值区分数值
详解
选A
点睛利指数函数数函数单调性时根底数区
6已知抛物线焦点准线双曲线两条渐线分交点A点B（原点）双曲线离心率
A B C 2 D
答案D
解析
分析
需表示出根双曲线离心率定义求离心率
详解方程双曲线渐线方程
选D
点睛双曲线离心率
7已知函数奇函数正周期图象点横坐标伸长原2倍（坐标变）图象应函数
A 2 B C D 2
答案C
解析
分析
需根函数性质逐步出值
详解奇函数知
图象点横坐标伸长原倍
正周期
选C
8已知函数关方程恰两互异实数解取值范围
A B C D
答案D
解析
分析
画出图象直线助图象分析
详解图直线位点方位点方
者直线曲线相切第象限时符合求
者
取值范围
选D
点睛根方程实根数确定参数范围常转化曲线交点数特中条直线时常法
绝密★启前
第Ⅱ卷
注意事项：
1黑色墨水钢笔签字笔答案写答题卡
2卷12题110分
二填空题：题6题题5分30分
9虚数单位值__________
答案
解析
分析
先化简复数利复数模定义求复数模
详解解法：
解法二：
点睛解答复数概念运算关问题时需复数化代数形式a＋bi(ab∈R)形式根题意求解．
10 设等式成立取值范围__________
答案
解析
分析
通式分解解等式
详解
取值范围
点睛解元二次等式步骤：(1)二次项系数化正数(2)解相应元二次方程(3)根元二次方程根结合等号方画图(4)写出等式解集．容易出现错误：①未二次项系数化正应错标准形式②解方程出错③结果未求写成集合．
11 曲线点处切线方程__________
答案
解析
分析
利导数值确定切线斜率点斜式写出切线方程
详解
时值
求切线方程
点睛曲线切线方程求法：
(1)曲线点(x0f(x0))切点切线方程求解步骤：
①求出函数f(x)导数f′(x)
②求切线斜率f′(x0)
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)化简．
(2)果已知点(x1y1)曲线设出切点(x0y0)解方程组切点(x0y0)进确定切线方程．
12已知四棱锥底面边长正方形侧棱长均圆柱底面圆周四棱锥四条侧棱中点底面圆心四棱锥底面中心该圆柱体积__________
答案
解析
分析
根棱锥结构特点确定求圆柱高底面半径
详解四棱锥高
圆柱高圆柱底面半径
体积
点睛圆柱底面半径棱锥底面角线长度半底边棱长半
13 设值__________
答案
解析
14 四边形中 点线段延长线__________
答案
解析
分析
利量线性运算建立坐标系利量坐标运算求解
详解详解：解法：图点作行线交
四边形菱形
解法二：建立图示直角坐标系
∥
直线斜率方程
直线斜率方程
点睛面量问题两类解法：基量法坐标法便建立坐标系问题中坐标方法更方便
三解答题：题6题80分解答应写出文字说明证明程演算步骤
152019年国施行税专项附加扣办法涉子女教育继续教育病医疗住房贷款利息者住房租金赡养老等六项专项附加扣某单位老中青员工分现采分层抽样方法该单位述员工中抽取调查专项附加扣享受情况
（Ⅰ）应老中青员工中分抽取少？
（Ⅱ）抽取25中享受少两项专项附加扣员工6分记享受情况右表中表示享受×表示享受现6中机抽取2接受采访
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老
○
○
×
×
×
○
（i）试字母列举出抽取结果
（ii）设事件抽取2享受专项附加扣少项相求事件发生概率
答案（I）6910
（II）（i）见解析（ii）
解析
分析
（I）根题中老中青员工数求数利分层抽样求体抽概率相等结合样容量求结果
（II）（I）根6中机抽取2结果列出
（ii）根题意找出满足条件基事件利公式求概率
详解（I）已知老中青员工数
采取分层抽样方法中抽取25位员工
应老中青员工中分抽取6910
（II）（i）已知6中机抽取2结果
15种
（ii）表格知符合题意结果11种
时间M发生概率
点睛题考查机抽样列举法计算机事件含基事件数古典概型概率计算公式等基知识考查运概率知识解决简单实际问题力
16 中角边分已知
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求值
答案(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
分析
(Ⅰ)题意结合正弦定理例关系然利余弦定理值
(Ⅱ)利二倍角公式首先求值然利两角正弦公式值
详解(Ⅰ)中正弦定理
余弦定理
(Ⅱ)(Ⅰ)
点睛题考查角三角函数基关系两角正弦公式二倍角正弦余弦公式正弦定理､余弦定理等基础知识考查计算求解力
17 图四棱锥中底面行四边形等边三角形面面
（Ⅰ）设分中点求证：面
（Ⅱ）求证：面
（Ⅲ）求直线面成角正弦值
答案（I）见解析（II）见解析（III）
解析
分析
（I）连接结合行四边形性质三角形中位线性质利线面行判定定理证结果
（II）取棱中点连接题意结合面面垂直性质线面垂直性质利线面垂直判定定理证结果
（III）利线面角面角定义直线面成角放直角三角形中求结果
详解（I）证明：连接易知
面面
面
（II）证明：取棱中点连接题意
面面面面
面面
已知
面
（III）解：连接（II）中面
知直线面成角
等边三角形中点
中
直线面成角正弦值
点睛题考查直线面行直线面垂直面面垂直直线面成角等基础知识考查空间想象力推理力
18 设等差数列等数列公已知
（Ⅰ）求通项公式
（Ⅱ）设数列满足求
答案（I）
（II）
解析
分析
（I）首先设出等差数列公差等数列公根题意列出方程组求进求等差数列等数列通项公式
（II）根题中满足条件表示出应分组求法结合等差数列求公式错位相减法求求结果
详解（I）解：设等差数列公差等数列公
题意解
通项公式通项公式
（II）
记 ①
②
②①
点睛题考查等差数列等数列通项公式前项公式等基础知识考查数列求基方法运算求解力属中档题目
19 设椭圆左焦点左顶点顶点B已知（原点）
（Ⅰ）求椭圆离心率
（Ⅱ）设点斜率直线椭圆轴方交点圆时轴直线相切圆心直线求椭圆方程
答案（I）首先设椭圆半焦距根题意结合椭圆中关系化简出求离心率
（II）结合（I）结设出椭圆方程写出直线方程两方程联立求交点坐标利直线圆相切条件列出等量关系式求椭圆方程
解析
分析
（I）
（II）
详解（I）解：设椭圆半焦距已知
消解
椭圆离心率
（II）解：（I）知椭圆方程
题意直线方程
点坐标满足消化简
解
代入方程解
点轴方
圆心直线设
（I）知解
圆轴相切圆半径2
圆相切解
椭圆方程：
点睛题考查椭圆标准方程性质直线方程圆等基础知识考查代数方法研究圆锥曲线性质考查运算求解力方程思想数形结合思想解决问题力
20 设函数中
（Ⅰ）讨单调性
（Ⅱ）
（i）证明恰两零点
（ii）设极值点零点证明
答案（I）单调递增
（II）（i）见解析（ii）见解析
解析
分析
（I）首先写出函数定义域函数求导判断导数应区间符号结果
（II）（i）函数求导确定函数单调性求极值符号确定出函数零点数结果
（ii）首先根题意列出方程组助中介函数证结果
详解（I）解：已知定义域
时
单调递增
（II）证明：（i）（I）知
令知单调递减
唯解
唯解妨设
时
单调递增
时
单调递减
唯极值点
令时单调递减
时
唯零点
唯零点1恰两零点
（ii）题意
时
两边取数
整理
点睛题考查导数运算等式证明运导数研究函数性质等基础知识方法考查函数思想化转化思想考查综合分析问题解决问题力
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文科数学
试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分150分考试时120分钟第Ⅰ卷12页第Ⅱ卷35页
答卷前考生务必姓名准考号填写答题卡规定位置粘贴考试条形码答卷时考生务必答案涂写答题卡答试卷效考试结束试卷答题卡交回
祝位考生考试利
第Ⅰ卷
注意事项：
1题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号
2卷8题题5分40分
参考公式：
·果事件AB互斥
·圆柱体积公式中表示圆柱底面面积表示圆柱高
·棱锥体积公式中表示棱锥底面面积表示棱锥高
选择题：题出四选项中项符合题目求
1设集合
A {2} B {23} C {123} D {1234}
答案D
解析
分析
先求求
详解
选D
点睛集合运算问题般先研究集合中元素构成化简先化简时注意数形结合助数轴坐标系韦恩图等进行运算．
2设变量满足约束条件目标函数值
A 2 B 3 C 5 D 6
答案D
解析
分析
画出行域截距模型求值
详解已知等式组表示面区域图中阴影部分
目标函数意义直线轴截距
目标函数点处取值
选C
点睛线性规划问题首先明确行域应封闭区域开放区域分界线实线虚线次确定目标函数意义求直线截距两点间距离方直线斜率点直线距离等等结合图形确定目标函数值范围．：画二移三求．
3设
A 充分必条件
B 必充分条件
C 充条件
D 充分必条件
答案B
解析
分析
求出解集根两解集包含关系确定
详解等价推出
推出
必充分条件
选B
点睛充条件三种判断方法：
(1)定义法：根p⇒qq⇒p进行判断
(2)集合法：根pq成立象构成集合间包含关系进行判断
(3)等价转化法：根命题逆否命题等价性判断命题转化逆否命题进行判断．方法特适合否定形式出问题．
4阅读右边程序框图运行相应程序输出值
A 5 B 8 C 24 D 29
答案B
解析
分析
根程序框图逐步写出运算结果
详解
结束循环输出
选B
点睛解决类型问题时注意：①明确型循环结构直型循环结构根特点执行循环体②明确图中累计变量明确次执行循环体前执行循环体变量值发生变化③明确循环体终止条件什会判断什时候终止循环体．
5已知关系
A B
C D
答案A
解析
分析
利利等中间值区分数值
详解
选A
点睛利指数函数数函数单调性时根底数区
6已知抛物线焦点准线双曲线两条渐线分交点A点B（原点）双曲线离心率
A B C 2 D
答案D
解析
分析
需表示出根双曲线离心率定义求离心率
详解方程双曲线渐线方程
选D
点睛双曲线离心率
7已知函数奇函数正周期图象点横坐标伸长原2倍（坐标变）图象应函数
A 2 B C D 2
答案C
解析
分析
需根函数性质逐步出值
详解奇函数知
图象点横坐标伸长原倍
正周期
选C
8已知函数关方程恰两互异实数解取值范围
A B C D
答案D
解析
分析
画出图象直线助图象分析
详解图直线位点方位点方
者直线曲线相切第象限时符合求
者
取值范围
选D
点睛根方程实根数确定参数范围常转化曲线交点数特中条直线时常法
绝密★启前
第Ⅱ卷
注意事项：
1黑色墨水钢笔签字笔答案写答题卡
2卷12题110分
二填空题：题6题题5分30分
9虚数单位值__________
答案
解析
分析
先化简复数利复数模定义求复数模
详解解法：
解法二：
点睛解答复数概念运算关问题时需复数化代数形式a＋bi(ab∈R)形式根题意求解．
10 设等式成立取值范围__________
答案
解析
分析
通式分解解等式
详解
取值范围
点睛解元二次等式步骤：(1)二次项系数化正数(2)解相应元二次方程(3)根元二次方程根结合等号方画图(4)写出等式解集．容易出现错误：①未二次项系数化正应错标准形式②解方程出错③结果未求写成集合．
11 曲线点处切线方程__________
答案
解析
分析
利导数值确定切线斜率点斜式写出切线方程
详解
时值
求切线方程
点睛曲线切线方程求法：
(1)曲线点(x0f(x0))切点切线方程求解步骤：
①求出函数f(x)导数f′(x)
②求切线斜率f′(x0)
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)化简．
(2)果已知点(x1y1)曲线设出切点(x0y0)解方程组切点(x0y0)进确定切线方程．
12已知四棱锥底面边长正方形侧棱长均圆柱底面圆周四棱锥四条侧棱中点底面圆心四棱锥底面中心该圆柱体积__________
答案
解析
分析
根棱锥结构特点确定求圆柱高底面半径
详解四棱锥高
圆柱高圆柱底面半径
体积
点睛圆柱底面半径棱锥底面角线长度半底边棱长半
13 设值__________
答案
解析
14 四边形中 点线段延长线__________
答案
解析
分析
利量线性运算建立坐标系利量坐标运算求解
详解详解：解法：图点作行线交
四边形菱形
解法二：建立图示直角坐标系
∥
直线斜率方程
直线斜率方程
点睛面量问题两类解法：基量法坐标法便建立坐标系问题中坐标方法更方便
三解答题：题6题80分解答应写出文字说明证明程演算步骤
152019年国施行税专项附加扣办法涉子女教育继续教育病医疗住房贷款利息者住房租金赡养老等六项专项附加扣某单位老中青员工分现采分层抽样方法该单位述员工中抽取调查专项附加扣享受情况
（Ⅰ）应老中青员工中分抽取少？
（Ⅱ）抽取25中享受少两项专项附加扣员工6分记享受情况右表中表示享受×表示享受现6中机抽取2接受采访
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老
○
○
×
×
×
○
（i）试字母列举出抽取结果
（ii）设事件抽取2享受专项附加扣少项相求事件发生概率
答案（I）6910
（II）（i）见解析（ii）
解析
分析
（I）根题中老中青员工数求数利分层抽样求体抽概率相等结合样容量求结果
（II）（I）根6中机抽取2结果列出
（ii）根题意找出满足条件基事件利公式求概率
详解（I）已知老中青员工数
采取分层抽样方法中抽取25位员工
应老中青员工中分抽取6910
（II）（i）已知6中机抽取2结果
15种
（ii）表格知符合题意结果11种
时间M发生概率
点睛题考查机抽样列举法计算机事件含基事件数古典概型概率计算公式等基知识考查运概率知识解决简单实际问题力
16 中角边分已知
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求值
答案(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析
分析
(Ⅰ)题意结合正弦定理例关系然利余弦定理值
(Ⅱ)利二倍角公式首先求值然利两角正弦公式值
详解(Ⅰ)中正弦定理
余弦定理
(Ⅱ)(Ⅰ)
点睛题考查角三角函数基关系两角正弦公式二倍角正弦余弦公式正弦定理､余弦定理等基础知识考查计算求解力
17 图四棱锥中底面行四边形等边三角形面面
（Ⅰ）设分中点求证：面
（Ⅱ）求证：面
（Ⅲ）求直线面成角正弦值
答案（I）见解析（II）见解析（III）
解析
分析
（I）连接结合行四边形性质三角形中位线性质利线面行判定定理证结果
（II）取棱中点连接题意结合面面垂直性质线面垂直性质利线面垂直判定定理证结果
（III）利线面角面角定义直线面成角放直角三角形中求结果
详解（I）证明：连接易知
面面
面
（II）证明：取棱中点连接题意
面面面面
面面
已知
面
（III）解：连接（II）中面
知直线面成角
等边三角形中点
中
直线面成角正弦值
点睛题考查直线面行直线面垂直面面垂直直线面成角等基础知识考查空间想象力推理力
18 设等差数列等数列公已知
（Ⅰ）求通项公式
（Ⅱ）设数列满足求
答案（I）
（II）
解析
分析
（I）首先设出等差数列公差等数列公根题意列出方程组求进求等差数列等数列通项公式
（II）根题中满足条件表示出应分组求法结合等差数列求公式错位相减法求求结果
详解（I）解：设等差数列公差等数列公
题意解
通项公式通项公式
（II）
记 ①
②
②①
点睛题考查等差数列等数列通项公式前项公式等基础知识考查数列求基方法运算求解力属中档题目
19 设椭圆左焦点左顶点顶点B已知（原点）
（Ⅰ）求椭圆离心率
（Ⅱ）设点斜率直线椭圆轴方交点圆时轴直线相切圆心直线求椭圆方程
答案（I）首先设椭圆半焦距根题意结合椭圆中关系化简出求离心率
（II）结合（I）结设出椭圆方程写出直线方程两方程联立求交点坐标利直线圆相切条件列出等量关系式求椭圆方程
解析
分析
（I）
（II）
详解（I）解：设椭圆半焦距已知
消解
椭圆离心率
（II）解：（I）知椭圆方程
题意直线方程
点坐标满足消化简
解
代入方程解
点轴方
圆心直线设
（I）知解
圆轴相切圆半径2
圆相切解
椭圆方程：
点睛题考查椭圆标准方程性质直线方程圆等基础知识考查代数方法研究圆锥曲线性质考查运算求解力方程思想数形结合思想解决问题力
20 设函数中
（Ⅰ）讨单调性
（Ⅱ）
（i）证明恰两零点
（ii）设极值点零点证明
答案（I）单调递增
（II）（i）见解析（ii）见解析
解析
分析
（I）首先写出函数定义域函数求导判断导数应区间符号结果
（II）（i）函数求导确定函数单调性求极值符号确定出函数零点数结果
（ii）首先根题意列出方程组助中介函数证结果
详解（I）解：已知定义域
时
单调递增
（II）证明：（i）（I）知
令知单调递减
唯解
唯解妨设
时
单调递增
时
单调递减
唯极值点
令时单调递减
时
唯零点
唯零点1恰两零点
（ii）题意
时
两边取数
整理
点睛题考查导数运算等式证明运导数研究函数性质等基础知识方法考查函数思想化转化思想考查综合分析问题解决问题力
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