2007年普通高等学校招生全国统考试数学（福建卷）数学（文史类）全解全析
第I卷 （选择题60分）
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
（1）已知全集U|12345|A＝{234}B{12}（CUB）等
A{2} B{5} C{34} D{2345}
解析：（CUB）{345}（CUB）{34}选C
(2)等数列{an}中a44a2·a6等
A4 B8 C16 D32
解析：a2·a6 a4216选C
(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等
A0 B C D1
解析：sin15°cos75°+cos15°sin105° sin215°+cos215°1选D
（4）|x|<2x2x6<0
A充分必条件 B必充分条件
C充条件 D充分必条件
解析：|x|<22（5）函数ysin(2x+)图象
A关点（0）称 B关直线x称
C关点（0）称 D关直线x称
解析：2x+kπx称点（0）（）k1时（0）选A
（6）图正方体ABCDA1B1C1D1中EFGH分AA1ABBB1BC1中点异面直线EFGH成角等
A45° B60° C90° D120°
解析：连A1BBC1A1C1A1BBC1A1C1EF∥A1BGH∥BC1异面直线EFGH成角等60°选B
（7）已知f(x)R减函数满足实数x取值范围
A（1） B（1+）
C（0）（01） D（0）（1+）
解析：已知解x>1选D
（8）量abc实数列命题中真命题
Aa·b＝0a0b0 Ba0＝0a0
Ca2b2abab Daba·cbc
解析： a⊥b时a·b＝0A正确理C正确a·ba·cbca零量abc垂直时选B
(9)已知mn两条直线两面列命题中正确
A∥n∥ ∥
B∥m∥n
Cm⊥m⊥nn∥
Dn∥mn⊥m⊥
解析：A中mn少相交条件正确B中分两行面两条直线定行正确C中n正确选D
(10)双曲线x2y22右焦点圆心右准线相切圆方程
Ax2+y24x30 Bx2+y24x+30
Cx2+y2+4x50 Dx2+y2+4x+50
解析：双曲线x2y22右焦点（20）圆心（20）右准线x1半径1圆方程x2+y24x+30选B
(11)已知意实数xf（x）f (x)g(x)g(x)x>0时f’’(x)>0g’ (x) >0x<0时
Af’(x)>0g’(x)>0 Bf ’(x)>0g’(x)<0
Cf ’(x)<0g’(x)<0 Df ’ (x)<0g’(x)<0
解析：已知f(x)奇函数图关原点称称区间单调性相g(x)偶函数称区间单调性相反 x>0时f’’(x)>0g’ (x) >0递增x<0时 f(x) 递增 f ’(x)>0 g(x)递减 g’(x)<0选B
(12)某通讯公司推出组手机卡号码卡号前七位数字固定×××××××0000×××××××999910000号码公司规定：卡号四位带数字47
律作优惠卡组号码中优惠卡数
A2000 B4096 C5904 D8320
解析：10000号码中含47844096组号码中优惠卡数1000040965904选C
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二填空题：题4题题4分16分答案填答题卡相应位置
（13）（x2+）6展开式中常数项 （数字作答）
解析：法：组合数性质出现常数项必须取2x24常数项
法二：展开常数项15
（14）已知实数xy满足z2xy取值范围
解析：画出行域知z2xy（13）取值5（53）取值7范围[57]
（15）已知长方形ABCDAB＝4BC＝3AB焦点CD两点椭圆离心率
解析：已知C2
（16）中学数学中存许关系相等关系行关系等等果集合A中元素间关系满足三条件：
（1）反性：意a∈Aaa
(2)称性：ab∈Aabba
(3)传递性：abc∈Aabbcac
称集合A等价关系例：数相等等价关系直线行等价关系（反性成立）请列出两等价关系：
解析：答案唯图形全等图形相似非零量线命题充条件等等
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤
（17）（题满分12分）
△ABC中tanAtanB
(I)求角C
(II)AB边长求BC边长
题考查两角差公式角三角函数关系等解斜三角形基知识推理知运算力满分12分
解：（I）∵C＝(A+B)∴tanCtan(A+B)
∵0(II)A∈（0）sinA
∵∴BC＝AB·
（18）（题满分12分）
甲乙两名跳高运动员次试跳2米高度成功概率分0706次试跳成功否相互间没影响求：
（I）甲试跳三次第三次成功概率
(II)甲乙两第次试跳中少成功概率
(III)甲乙试跳两次甲乙成功次数恰次概率
题考查概率基础知识运数学知识解决问题力推理运算力
解：记甲第i次试跳成功事件A1乙第i次试跳成功事件B1
题意P（A1）＝07P（B1）＝06A1B1（i123）相互独立
(I)甲第三次试跳成功事件A3三次试跳相互独立
∴P（A3）＝P（）P03×03×070063
答：甲第三次试跳成功概率0063
(II)甲乙两支第次试跳中少成功事件C
解法：C＝A1彼互斥
∴P（C）
＝
＝07×04+03×06+07×06
088
解法二：P（C）＝1＝103×04088
答：甲乙两第次试跳中少成功概率088
（III）设甲两次试跳中成功i次事件Mi（i012）
乙两次试跳中成功i次事件Ni(i012)
∵事件甲乙试跳两次甲乙成功次数恰次表示M1N0+M2N1M1N0M2N1互斥事件
∴求概率
＝×07×03×042+072××06×04
00672+02352
03024
答：甲乙试跳两次甲乙成功次数恰次概率03024
（19）（题满分12分）
图正三棱柱ABCA1B1C1棱长2DCC1中点
(I)求证：AB1⊥面A1BD
(II)求二面角AA1DB
题考查直线面位置关系三面角等知识考查空间想象力逻辑思维力运算力
解法：（I）取BC中点O连结AO
∵△ABC正三角形∴AO⊥BC
∵正三棱柱ABCA1B1C1中面ABC⊥面BCC1B1
∴AO⊥面BCC1B1
连结B1O正方形BB1C1C中OD分BCCC1中点
∴B1O⊥BD
∴AB1⊥BD
正方形ABB1A1中AB1⊥A1B
∴AB1⊥面A1BD
(II)设AB1A1B交点C面A1BD中作GF⊥A1DF连结AF（I）AB1⊥面A1BD
∴∠AFG二面AA1BB面角
△AA1D中等面积法求AF＝
∵AG＝
∴sin∠AFG
二面角AA1DBarcsin
解法二：（I）取BC中点O连结AO
∵△ABC正三角形∴AO⊥BC
∵正三棱柱ABCA1B1C1中面ABC⊥面BCC1B1
∴AO⊥面BCC1B1
取B1C1中点O1a原点方xyz轴正方建立空间直角坐标系B（100）D (110)A1(02)A(00)B1(120)
∴
∵
∴⊥⊥
∴AB1⊥面A1BD
(II)设面A1AD法量n(xyz)
∵n⊥⊥
∴ ∵ ∴
令z1a(01)面A1AD法量
（I）知AB1⊥A1BD
∴面A1BD法量
cos
∴二面角AA1DBarccos
(20)（题满分12分）
设函数f(x)tx2+2t2x+t1(x∈Rt>0)
(I)求f (x)值h(t)
(II)h(t)<2t+mt∈(02)恒成立求实数m取值范围
题考查函数单调性极值函数导数应考查运数学知识分析问题解决问题力
解：（I）∵ （）
∴xt时f(x)取值f(t)t2+t1
h(t)t3+t1
(II)令g(t)h(t)(2t+m)t3+3t1m
g’(t)3t2+30t1t1（合题意舍）
t变化时g’(t)g(t)变化情况表：
T
(01)
1
(12)
g’(t)
+
0
g(t)
递增
极值1m
递减
∴g(t)（02）值g(1)1m
h(t)<2t+m（02）恒成立等价g(t)<0（02）恒成立
等价1m<0
m取值范围m>1
（21）（题满分12分）
数列{an}前N项Sna11an+12Sn (n∈N*)
(I)求数列{an}通项an
(II)求数列｛nan｝前n项T
题考查数列基知识考查等数列概念通项公式数列求考查分类讨数学思想方法推理运算力满分12分
解：（I）∵an+12Sn ∴Sn+1Sn2Sn ∴3
∵S1＝a11
∴数列｛Sn｝首项1公3等数列Sn3n1(n∈N*)
∴n2时an2Sn12·3n2(n2)
∴an
(II)Tna1+2a2+3a3+…+nan
n1时T11
n2时Tn1+4·30+6·31+2n·3 n2…………①
3Tn3+4·31+6·32+…+2n·3n1…………②
①②：2Tn2+4+2(31+32+…+3n2)2n·3 n1
2+2·
1+(12n)·3n1
∴Tn+(n)3n1 (n2)
∵Tna11满足式∴Tn+(n)3n1(n∈N*)
(22)（题满分14分）
图已知点F（10）直线lx1P面动点P作l垂线垂足点Q·
（I）求动点P轨迹C方程
（II）点F直线交轨迹CAB两点交直线l点M
（1）已知值
(2)求||·||值
题考查直线抛物线量等基础知识考查轨迹方程求法研究曲线特征基方法考查运算力综合解题力满分14分
解法：（I）设点P（xy）Q（1y）：
(x+10)·(2y)(x1y)·(2y)化简C：y24x
(II)（1）设直线AB方程：
xmy+1(m≠0)
设A（x1y1）B(x2y2)M（1）
联立方程组消x：
y24my40
△ (4m)2+12>0
：
整理：
∴
2
0
解法二：（I）
∴·
∴0
∴
点P轨迹C抛物线题意轨迹C方程：y24x
(II)(1)已知
：…………①
点AB分作准l垂线垂足分A1B1
：…………②
①②：
（II）（2）解：解法：
·＝（）2|y1yM||y2yM|
(1+m2)|y1y2yM(y1+y2)|+yM2|
(1+m2)|4+ ×4m+|
4(2+m2+) 4(2+2)16
仅m1时等号成立·值16
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第I卷 （选择题60分）
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
（1）已知全集U|12345|A＝{234}B{12}（CUB）等
A{2} B{5} C{34} D{2345}
解析：（CUB）{345}（CUB）{34}选C
(2)等数列{an}中a44a2·a6等
A4 B8 C16 D32
解析：a2·a6 a4216选C
(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等
A0 B C D1
解析：sin15°cos75°+cos15°sin105° sin215°+cos215°1选D
（4）|x|<2x2x6<0
A充分必条件 B必充分条件
C充条件 D充分必条件
解析：|x|<22
A关点（0）称 B关直线x称
C关点（0）称 D关直线x称
解析：2x+kπx称点（0）（）k1时（0）选A
（6）图正方体ABCDA1B1C1D1中EFGH分AA1ABBB1BC1中点异面直线EFGH成角等
A45° B60° C90° D120°
解析：连A1BBC1A1C1A1BBC1A1C1EF∥A1BGH∥BC1异面直线EFGH成角等60°选B
（7）已知f(x)R减函数满足实数x取值范围
A（1） B（1+）
C（0）（01） D（0）（1+）
解析：已知解x>1选D
（8）量abc实数列命题中真命题
Aa·b＝0a0b0 Ba0＝0a0
Ca2b2abab Daba·cbc
解析： a⊥b时a·b＝0A正确理C正确a·ba·cbca零量abc垂直时选B
(9)已知mn两条直线两面列命题中正确
A∥n∥ ∥
B∥m∥n
Cm⊥m⊥nn∥
Dn∥mn⊥m⊥
解析：A中mn少相交条件正确B中分两行面两条直线定行正确C中n正确选D
(10)双曲线x2y22右焦点圆心右准线相切圆方程
Ax2+y24x30 Bx2+y24x+30
Cx2+y2+4x50 Dx2+y2+4x+50
解析：双曲线x2y22右焦点（20）圆心（20）右准线x1半径1圆方程x2+y24x+30选B
(11)已知意实数xf（x）f (x)g(x)g(x)x>0时f’’(x)>0g’ (x) >0x<0时
Af’(x)>0g’(x)>0 Bf ’(x)>0g’(x)<0
Cf ’(x)<0g’(x)<0 Df ’ (x)<0g’(x)<0
解析：已知f(x)奇函数图关原点称称区间单调性相g(x)偶函数称区间单调性相反 x>0时f’’(x)>0g’ (x) >0递增x<0时 f(x) 递增 f ’(x)>0 g(x)递减 g’(x)<0选B
(12)某通讯公司推出组手机卡号码卡号前七位数字固定×××××××0000×××××××999910000号码公司规定：卡号四位带数字47
律作优惠卡组号码中优惠卡数
A2000 B4096 C5904 D8320
解析：10000号码中含47844096组号码中优惠卡数1000040965904选C
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二填空题：题4题题4分16分答案填答题卡相应位置
（13）（x2+）6展开式中常数项 （数字作答）
解析：法：组合数性质出现常数项必须取2x24常数项
法二：展开常数项15
（14）已知实数xy满足z2xy取值范围
解析：画出行域知z2xy（13）取值5（53）取值7范围[57]
（15）已知长方形ABCDAB＝4BC＝3AB焦点CD两点椭圆离心率
解析：已知C2
（16）中学数学中存许关系相等关系行关系等等果集合A中元素间关系满足三条件：
（1）反性：意a∈Aaa
(2)称性：ab∈Aabba
(3)传递性：abc∈Aabbcac
称集合A等价关系例：数相等等价关系直线行等价关系（反性成立）请列出两等价关系：
解析：答案唯图形全等图形相似非零量线命题充条件等等
三解答题：题6题74分解答应写出文字说明证明程演算步骤
（17）（题满分12分）
△ABC中tanAtanB
(I)求角C
(II)AB边长求BC边长
题考查两角差公式角三角函数关系等解斜三角形基知识推理知运算力满分12分
解：（I）∵C＝(A+B)∴tanCtan(A+B)
∵0
∵∴BC＝AB·
（18）（题满分12分）
甲乙两名跳高运动员次试跳2米高度成功概率分0706次试跳成功否相互间没影响求：
（I）甲试跳三次第三次成功概率
(II)甲乙两第次试跳中少成功概率
(III)甲乙试跳两次甲乙成功次数恰次概率
题考查概率基础知识运数学知识解决问题力推理运算力
解：记甲第i次试跳成功事件A1乙第i次试跳成功事件B1
题意P（A1）＝07P（B1）＝06A1B1（i123）相互独立
(I)甲第三次试跳成功事件A3三次试跳相互独立
∴P（A3）＝P（）P03×03×070063
答：甲第三次试跳成功概率0063
(II)甲乙两支第次试跳中少成功事件C
解法：C＝A1彼互斥
∴P（C）
＝
＝07×04+03×06+07×06
088
解法二：P（C）＝1＝103×04088
答：甲乙两第次试跳中少成功概率088
（III）设甲两次试跳中成功i次事件Mi（i012）
乙两次试跳中成功i次事件Ni(i012)
∵事件甲乙试跳两次甲乙成功次数恰次表示M1N0+M2N1M1N0M2N1互斥事件
∴求概率
＝×07×03×042+072××06×04
00672+02352
03024
答：甲乙试跳两次甲乙成功次数恰次概率03024
（19）（题满分12分）
图正三棱柱ABCA1B1C1棱长2DCC1中点
(I)求证：AB1⊥面A1BD
(II)求二面角AA1DB
题考查直线面位置关系三面角等知识考查空间想象力逻辑思维力运算力
解法：（I）取BC中点O连结AO
∵△ABC正三角形∴AO⊥BC
∵正三棱柱ABCA1B1C1中面ABC⊥面BCC1B1
∴AO⊥面BCC1B1
连结B1O正方形BB1C1C中OD分BCCC1中点
∴B1O⊥BD
∴AB1⊥BD
正方形ABB1A1中AB1⊥A1B
∴AB1⊥面A1BD
(II)设AB1A1B交点C面A1BD中作GF⊥A1DF连结AF（I）AB1⊥面A1BD
∴∠AFG二面AA1BB面角
△AA1D中等面积法求AF＝
∵AG＝
∴sin∠AFG
二面角AA1DBarcsin
解法二：（I）取BC中点O连结AO
∵△ABC正三角形∴AO⊥BC
∵正三棱柱ABCA1B1C1中面ABC⊥面BCC1B1
∴AO⊥面BCC1B1
取B1C1中点O1a原点方xyz轴正方建立空间直角坐标系B（100）D (110)A1(02)A(00)B1(120)
∴
∵
∴⊥⊥
∴AB1⊥面A1BD
(II)设面A1AD法量n(xyz)
∵n⊥⊥
∴ ∵ ∴
令z1a(01)面A1AD法量
（I）知AB1⊥A1BD
∴面A1BD法量
cos
∴二面角AA1DBarccos
(20)（题满分12分）
设函数f(x)tx2+2t2x+t1(x∈Rt>0)
(I)求f (x)值h(t)
(II)h(t)<2t+mt∈(02)恒成立求实数m取值范围
题考查函数单调性极值函数导数应考查运数学知识分析问题解决问题力
解：（I）∵ （）
∴xt时f(x)取值f(t)t2+t1
h(t)t3+t1
(II)令g(t)h(t)(2t+m)t3+3t1m
g’(t)3t2+30t1t1（合题意舍）
t变化时g’(t)g(t)变化情况表：
T
(01)
1
(12)
g’(t)
+
0
g(t)
递增
极值1m
递减
∴g(t)（02）值g(1)1m
h(t)<2t+m（02）恒成立等价g(t)<0（02）恒成立
等价1m<0
m取值范围m>1
（21）（题满分12分）
数列{an}前N项Sna11an+12Sn (n∈N*)
(I)求数列{an}通项an
(II)求数列｛nan｝前n项T
题考查数列基知识考查等数列概念通项公式数列求考查分类讨数学思想方法推理运算力满分12分
解：（I）∵an+12Sn ∴Sn+1Sn2Sn ∴3
∵S1＝a11
∴数列｛Sn｝首项1公3等数列Sn3n1(n∈N*)
∴n2时an2Sn12·3n2(n2)
∴an
(II)Tna1+2a2+3a3+…+nan
n1时T11
n2时Tn1+4·30+6·31+2n·3 n2…………①
3Tn3+4·31+6·32+…+2n·3n1…………②
①②：2Tn2+4+2(31+32+…+3n2)2n·3 n1
2+2·
1+(12n)·3n1
∴Tn+(n)3n1 (n2)
∵Tna11满足式∴Tn+(n)3n1(n∈N*)
(22)（题满分14分）
图已知点F（10）直线lx1P面动点P作l垂线垂足点Q·
（I）求动点P轨迹C方程
（II）点F直线交轨迹CAB两点交直线l点M
（1）已知值
(2)求||·||值
题考查直线抛物线量等基础知识考查轨迹方程求法研究曲线特征基方法考查运算力综合解题力满分14分
解法：（I）设点P（xy）Q（1y）：
(x+10)·(2y)(x1y)·(2y)化简C：y24x
(II)（1）设直线AB方程：
xmy+1(m≠0)
设A（x1y1）B(x2y2)M（1）
联立方程组消x：
y24my40
△ (4m)2+12>0
：
整理：
∴
2
0
解法二：（I）
∴·
∴0
∴
点P轨迹C抛物线题意轨迹C方程：y24x
(II)(1)已知
：…………①
点AB分作准l垂线垂足分A1B1
：…………②
①②：
（II）（2）解：解法：
·＝（）2|y1yM||y2yM|
(1+m2)|y1y2yM(y1+y2)|+yM2|
(1+m2)|4+ ×4m+|
4(2+m2+) 4(2+2)16
仅m1时等号成立·值16
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