专题五 面量
第十四讲 量应
2019 年
1（2019 江苏 12）图 ABC△ 中D BC 中点E 边 AB BE2EAAD CE
交点O 6AB AC AO EC   AB
AC
值

2（2019 浙江 17）已知正方形 ABCD边长 1 ( 123456)i i  取遍 1 时
1 2 3 4 5 6||AB BC CD DA AC BD          值 ________ 值
_______
3（2019 天津理 14）四边形 ABCD中 2 3 5 30AD BC AB AD A    ∥
点 E 线段CB 延长线 AE BE BD AE

20102018 年
选择题
1．(2018 天津)图面四边形 ABCD中 AB BC AD CD 120BAD  
1AB AD． 点 E 边CD 动点 
uuur uur
AE BE 值
A． 21
16 B． 3
2 C． 25
16 D．3
E
D
C
B
A

2．(2018 浙江)已知a b e 面量 单位量．非零量 e 夹角
3

量 满足 2 4 3 0   b e b ||ab值
A． 31 B． 31 C．2 D． 23
3．（ 2017 新课标Ⅲ）矩形 ABCD中 1AB  2AD  动点 P 点C 圆心 BD
相切圆． AP AB AD 值
A．3 B． 22 C． 5 D．2
4．（ 2017 新课标Ⅱ）已知 ABC 边长 2 等边三角形 P 面 ABC 点
()PA PB PC值
A． 2 B． 3
2 C． 4
3 D． 1
5．（2017 浙江）图已知面四边形 ABCDAB BC 2AB BC AD   3CD 
AC BD 交点O记 1I OA OB 2 ·I OB OC＝ 3 ·I OC OD＝
O
A
BC
D

A． 1I < 2I < 3I B． < < C． < < D． < <
6．（ 2016 四川）面定点 ABCD 满足 DA DB DC DA DB
DB DC DC DA  2动点 PM 满足 AP 1 PM MC 2BM 值

A． 43
4 B． 49
4 C． 37 6 3
4
 D． 37 2 33
4

7．(2015 山东)已知菱形 ABCD 边长 a 60ABC BD CD ＝
A． 23
2 a B． 23
4 a C． 23
4 a D． 23
2 a
8．（ 2015 新课标）设 D ABC 面点 3BC CD
A． 14
33AD AB AC   B． 14
33AD AB AC
C． 41
33AD AB AC D． 41
33AD AB AC
9．（ 2015 福建）已知 AB AC 1AB t AC t 点 P ABC 面
点 4AB ACAP
AB AC
 PB PC 值等
A．13 B．15 C．19 D．21
10．（ 2015 四川）设四边形 ABCD行四边形 6AB  4AD  ．点 MN满足
3BM MC 2DN NC AM NM
A．20 B．15 C．9 D．6
11．（ 2015 湖南）已知点 ABC 圆 221xy运动 AB BC ．点 P 坐标
(20) PA PB PC 值
A．6 B．7 C．8 D．9
12．（ 2014 安徽）面直角坐标系 xOy 中已知量 ab| | | | 1ab 0ab 点Q
满足 2( )OQ ab．曲线 { | cos sin 0 2 }C P OP      ab≤ ≤ 区域
{ | 0 | | }P r PQ R r R   ≤ ≤ ．C  两段分离曲线
A．13rR   B．13rR   C． 13rR   D．13rR
13．（ 2014 天津）已知菱形 ABCD边长 2 120BAD点 EF分边 BC DC
BE λBC DF μDC 1AE AF 2
3CE CF λ μ+
A． 1
2 B． 2
3 C． 5
6 D． 7
12
14．（ 2012天津）△ABC中 A90°AB1设点PQ满足 AP AB (1 )AQ AC
R  ． 2BQ CP    
A． 1
3 B． 2
3 C． 4
3 D．2
15．(2012 安徽)面直角坐标系中 (00) (68)OP量OP 绕点 O 逆时针旋转 3
4

量OQ 点Q 坐标
A．( 7 2 2) B．( 7 2 2) C．( 4 6 2) D．( 4 62)
16．（ 2012 广东）意两非零面量 α β定义  
 
．面量 ab
满足| | | | 0…ab a b 夹角 (0 )4
  abba集合{ | }2 n nZ中

A． 1
2 B．1 C． 3
2 D． 5
2
17．（ 2011 山东）设 1A 2A 3A 4A 面直角坐标系中两两四点
1 3 1 2AAAA (  ∈ R) 1 4 1 2AAAA ( μ ∈ ) 112
称 调分割 已知点 ( 0)Cc ( 0)Dd (cd∈ )调分割
点 (00)A(10)B面说法正确
A．C 线段 AB 中点
B．D 线段 中点
C． 时线段
D． 时线段 延长线
二填空题
18．(2018 海)面直角坐标系中已知点 ( 1 0)A  (20)BEF y 轴两
动点| | 2EF  AE BF 值______．
19．（ 2017 江苏）面直角坐标系 xOy 中 ( 120)A  (06)B点 P 圆O： 2250xy
20PA PB ≤ 点 横坐标取值范围 ．
20．（ 2017 天津） ABC△ 中 60A ∠ 3AB  2AC  ． 2BD DC
AE AC AB() R 4AD AE    值___________．
21．（ 2016 年浙江）已知量 ab| | 1a | | 2b 意单位量e 均
| | | | 6 „ae be ab值 ．
22．(2015 北京) ABC△ 中点 MN 满足 2AM MC BN NC ．
MN xAB yAC x  y  ．
23．（ 2015 天津）等腰梯形 ABCD中已知 AB DC∥ 2AB  1BC  60ABC．
动点 E F 分线段 BC DC BE BC 1
9DF DC AE AF
值 ．
24．（ 2015 江苏）设量 (cos sin cos )6 6 6k
k k k  a ( 012 12)k   


12
0
1)(
k
kk aa
值 ．
25．（ 2014 天津）已知菱形 ABCD边长 2 120BAD   点 EF 分边 BC
DC 3BC BE DC DF ． 1AE AF 值________．
26．（ 2014 湖南）面直角坐标系中O 原点 ( 10) (0 3) (30)ABC 动点 D 满
足| | 1CD  ||OA OB OD 值 ．
27．（2012 江苏）图矩形 ABCD中 22AB BC点 E BC 中点点 F
边CD 2AB AF  AE BF 值 ．

28．（ 2012 山东）图面直角坐标系 xoy 中单位圆圆心初始位置 10
时圆点 P 位置 00 圆 x 轴正滚动圆滚动圆心位 12 时
OP 坐标 ．

29．（ 2010 湖南）边长 1 正三角形 ABC 中 设 2 3 BC BD CA CE
AD BE______．
三解答题
30．（ 2015 广东）面直角坐标系 xoy 中已知量 22()22m (sin cos )xxn
(0 )2x  ．
（1） mn求 tan x 值
（2） m n夹角
3
 求 x 值．
31．（2014 山东）已知量    cos2 sin 2 m x x nab函数  fxab
 y f x 图点 312


点 2 23

．
（Ⅰ）求 mn值
（Ⅱ） 图左移  0   单位函数  y g x
图 图高点点 03 距离值 1
求 单调递增区间．
32．（ 2014 辽宁） ABC 中角 ABC 边 abc ac 已知 2BA BC
1cos 3B  3b  求：
（Ⅰ） a c 值
（Ⅱ）cos( )BC 值．
33．（2013 江苏）已知 (cos sin )a (cos sin )b 0      ．
(1) | | 2ab 求证： ab
(2) 设 (01)c a b c 求  值．
34．（ 2013 湖南）抛物线 2 2 ( 0)E x py p焦点 F 作斜率分 12kk两条
直线 12ll 122kk 1lE 相交点 AB 2lE 相交点 CD． ABCD
直径圆 M圆 N（MN 圆心）公弦直线记 l ．
（I） 120 0kk证明： 22FM FN p
（II）点 M 直线 距离值 75
5
求抛物线 E 方程．
35．（ 2013 辽宁）设量    3sin sin cos sinx 0 2x x x x   
ab
（I）| | | |ab求 x 值
（II）设函数 ()fxab求 ()fx值．
36．（ 2012 江西）已知三点 (00)O( 21)A  (21)B曲线C 意点 ()M x y 满足
| | ( ) 2MA MB OM OA OB     ．
（1）求曲线 方程
（2）动点 0 0 0( )( 2 2)Q x y x   曲线 曲线 点Q 处切线l 问：否
存定点 (0 )( 0)P t t  l PA PB 相交交点分 DE QAB
PDE 面积常数？存求t 值．存说明理．
37．（2011 安徽）设 点 A 坐标(11) 点 B 抛物线 yx 运动点Q 满足
QABQ  点 x 轴垂直直线交抛物线点 M点 P 满足 MPQM 
求点 轨迹方程．

38．（ 2010 江苏）面直角坐标系 xoy 中点 ( 1 2)A  (23)B( 2 1)C ．
（1）求线段 AB AC 邻边行四边形两条角线长
（2）设实数t 满足( OCtAB  )·OC 0求 t 值． 专题五 面量
第十四讲 量应
答案部分
2019 年
1解析 设 ()2AD AB AAO C  
1( ) (1 ) 3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC       


1
23
2

 
 
 
解
1
2
1
4


 
 

11()24AO AD AB AC   1
3EC AC AE AB AC    
221 1 3 1 26 6 ( ) ( ) ( )4 3 2 3 3AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC    
2213
22AB AB AC AC   
2213
22AB AC AB AB AC AC      2213
22AB AC

2
2 3AB
AC
 3AB
AC 
2解析：正方形ABCD边长1
AB AD AC BD AD AB 0AB AD
1 2 3 4 5 6||AB BC CD DA AC BD         
1 2 3 4 5 5 6 6||AB AD AB AD AB AD AD AB              
1 3 5 6 2 4 5 6| ( ) ( ) |AB AD              
22
1 3 5 6 2 4 5 6()()              
( 123456)i i  2345 取遍 1
1 3 5 6 0       2 4 5 6 0      
取 5 6 1 3 2 41 1 1 1            求值 0 1 3 5 6 4       2 4 5 6 4      
取 2 4 5 6 1 31 1 1 1 1             求值 25．
3解析 AB BE AD BC 30A 等腰三角形 ABE 中 120BEA
23AB  2AE  2
5BE AD
AE AB BE 2
5AE AB AD
BD BA AD AB AD    
  222 7 2
5 5 5BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD   

2272cos55AB AB AD A AD     7 3 212 5 2 3 25 15 2 5        

20102018 年

1．A解析 A 坐标原点 AB 直线 x 轴建立图面直角坐标系
y
x
BA
D
E
C

面四边形 ABCD中 1AB AD 120BAD  
(00)A(10)B 13()22D  设 (1 )Cm()E x y
33()22DC m 13()22AD 
AD CD 3 3 1 3( ) ( ) 02 2 2 2m     3 1 3 3( ) ( ) 02 2 2 2m     解 3m  (1 3)C
E CD 3 32 y≤ ≤ CE CDkk

333 2
11 1 2
y
x
  
32xy
()AE x y ( 1 )BE x y
2 2 2 2()(1) (32) 32AEBExyxyxxy x y y   
24 5 3 6yy   令 2( ) 4 5 3 6f y y y   3[ 3]2y ．
函数 3 5 3[]28 单调递减 53[ 3]8
单调递
增 2
min
5 3 5 3 21( ) 4 ( ) 5 3 68 8 16fy       ．

uuur uur
AE BE 值 21
16
选 A．
2．A解析解法 设O 坐标原点 OAa ()OB x yb (10)e
2 4 3 0   b e b 224 3 0x y x    22( 2) 1xy   点 B 轨迹
(20)C 圆心l 半径圆． a e 夹角
3
 妨令点 A 射线
3yx ( 0x  )图
y 3x
OC
B
A
y
x
数形结合知 min| | | | | | 3 1CA CB    ab ．选 A．
解法二 2 4 3 0   b e b 224 3 ( ) ( 3 ) 0       b e b e b e b e ．
设 OBb OEe 3 OFe EBbe 3 FBb e
0EB FB取 EF 中点C． B C 圆心 直径圆图．
EFOC
BA

设 OAa 作射线OA
3AOE | | | ( 2 ) (2 ) |     ≥a b a e e b
|( 2)||(2 )|| || | 31CA BC     ≥a e e b ．选 A．
3．A解析图建立直角坐标系
y
x
P
A
BC
D

(01)A(00)B(21)D()P x y 等面积法圆半径 2
5

圆方程 224( 2) 5xy  
( 1)AP x y(0 1)AB (20)AD 
AP AB AD 2
1
x
y



   
 12
x y
设 12
xzy   102
x yz   
点 圆圆心直线 距离半径 | 2 | 2
1514
z

≤ 解13z≤ ≤ z 值 3
 值 3选 A．
4．B解析图 BC x 轴 垂直分线 DA y 轴 D 坐标原点建立
面直角坐标系
y
xD
PCB
A

(0 3)A( 10)B  (10)C设 ()P x y
( 3 )PA x y   ( 1 )PB x y    (1 )PC x y
( 2 2 )PB PC x y   
22( ) 2 2 ( 3 ) 2 2(PAPBPC x y y x y        23 3 3)2 2 2≥
3(0 )2P 时求值 3
2 选 B．
5．C解析图示四边形 ABCE 正方形 F 正方形角线交点易
AO AF 90AFB∴ AOB COD 钝角 AOD BOC 锐
角．根题意 12 ()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA 
| || | cos 0OB CA AOB∴ 12II 理 23II ．
做 AG BD G AB AD ．
∴OB BG GD OD   OA AF FC OC  
∴| | | | | | | |OA OB OC OD   cos cos 0AOB COD   
∴OA OB OC OD   13II
∴ 3 1 2III选 C． G
F
E
O
A
BC
D

6．B解析 2DA DB DC   知D ABC 外心． DA DB DB DC
DC DA 知 心 正三角形易知边长23
取 AC 中点 E M PC 中点 11
22EM AP
max
17| | | | 22BM BE   2
max
49|| 4BM  ．选 B．
7．D解析菱形 ABCD边长 a 60ABC知 180 60 120BAD   
2 223( ) ( ) cos120 2BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a     ．
8．A解析题意 1 1 1
3 3 3      AD AC CD AC BC AC AC AB
14
33  AB AC ．
9．A 解析题意点 A 坐标原点 AB 直线 x 轴 AC 直线
y 轴建立图示面直角坐标系

点 (14)P 1( 0)B t
(0 )Ct
11( 1 4)( 1 4) ( 1) ( 1) 4 ( 4)PB PC t ttt 
117 4tt 117 2 4 13tt  ≤ （仅1 4tt  1
2t 时取等号）
PB PC 值 13．选 A． 10．C解析 3 1 14 4 3AM AB AD NM CM CN AD AB      
11(4 3 ) (4 3 )4 12AM NM AB AD AB AD    
2211(16 9 ) (16 36 9 16) 948 48AB AD       选 C．
11．B解析题意AC 圆直径设 )( nmA)( nmC  )( yxB
∴ ( 6 )PA PB PC x y    491237)6( 22  xyx
∴ PA PB PC 值7 选 B．
12．A解析设 (10) (01)ab (cos sin )OP  ( 2 2)OQ 
曲线 C 单位元区域  圆环（图）

∵| | 2OQ  ∴13rR   ．
13．C解析 120BAD cos120 2AB AD AB AD 鬃
BE BCl AE AB ADl+ AF AB ADm+
1AE AF()() 1AB AD AB ADlm+
322 2l m l m+ ①
理 2
3l m l m ②①+② 5
6lm+
14．B解析图设 AB b AC c 1 2 0b c b c   
A
C
B
QP
(1 )BQ BA AQ b c     
CP CA AP c b     2CPBQ
22
[ (1)]( )(1) 4(1) 2b c c b c b          

3
223   选 B
15．A解析 方法设 34(10cos 10sin ) cos sin55OP       
33(10cos( )10sin( )) ( 7 2 2)44OQ       ．
方法二量 (68)OP  逆时针旋转 3
2
 知Q 点落第三象限排
BD代入 A量夹角公式 2cos 2QOP   ∴ 3
4QOP ．
16．C解析首先观察集合 1 1 3{| } 1 0122 2 2 2
n nZ      
分析ab
ba范围： (0 )4
  ∴ 2 cos 12 
||cos|| 
b a bba a a a
| | | | 0…ab ||0 cos 1|| b
a

∵ ba { | }2 n nZ中∴ | | 1cos| | 2 b
a

| | 1
| | 2cosb
a ∴

2||cos 2cos||   
a b aab b b b

12ab ． 集合 中 3
2ab ．
17．D解析根已知 ( 0) (00) [(10) (00)]c    ( 0) (10)c 
c  ( 0) (00) [(10) (00)]d    ( 0) (10)d  d 
根 112 112cd．线段 AB 方程 0y  [01]x ． C 线段 AB 中点 1
2c  代入 112cd 1 0d  ．
等式成立选项 A 说法成立理选项 B 说法成立
CD时线段 AB 01c ≤ 01d ≤
时 1 1c
≥ 1 1d
≥ 11 2cd ≥ 等号成立 1cd
根定义 两点矛盾选项C 说法正确
时线段 AB 延长线 1c  1d  112cd
矛盾 0 0cd 11
cd 负值 矛盾
1c  0d  1 1c  1 0d  时 111cd 矛盾
选项 D 说法正确．
18． 3 解析设 (0 )Et(0 2)Ft (1 ) ( 2 2)    AE BF t t
222 ( 2) 2 2 ( 1) 3         t t t t t
1t 时 AE BF 取值 3 ．
19．[ 5 21] 解析设 ()P x y 20PA PB ≤ 2 5 0xy≤
O5 2
5 2
2xy+50
N
M
y
x
B
A

图 知 P MN
22
2 5 0
50
xy
xy
  
 
解 (17)M( 5 5)N 
P 点横坐标取值范围[ 5 21] ． 20． 3
11
解析 03 2 cos60 3AB AC     12
33AD AB AC
1 2 2 1 2( )( ) 3 4 9 3 43 3 3 3 3 3AD AE AB AC AC AB    

3
11  ．
21． 1
2
解析题意令 (10)e (cos sin )a (2cos 2sin )b
| | | | 6 „ae be | cos | 2 | cos | 6 „ ①
令sin 2sin m ②
22① +② 24[| cos cos | sin sin ] 1 m   „ 切实数 恒成立
4[| cos cos | sin sin ] 1    „．
12(cos cos sin sin ) 2[| cos cos | sin sin ] 2          剟ab ．
值 1
2
．
22． 1
2 1
6 解析 1 1 1 1 ()3 2 3 2MN MC CN AC CB AC AB AC      
11
26AB AC xAB yAC    ． 1
2x 1
6y ．
23． 29
18 解析 1
9DF DC 1
2DC AB
1 1 9 1 9
9 9 18CF DF DC DC DC DC AB
  
     
AE AB BE AB BC
1 9 1 9
18 18AF AB BC CF AB BC AB AB BC

       
  19
18AE AF AB BC AB BC 
    

221 9 1 9118 18AB BC AB BC
    

1 9 19 94 2 1 cos12018 18

       
2 1 17 2 1 17 2929 2 18 9 2 18 18       仅 21
92  2
3  时值 29
18
．
BA
DC
E
F

24．93解析 1
( 1) ( 1)(cos sin cos ) (cos sin6 6 6 6 6kk
k k k k kaa     

    

( 1)cos )6
k  2 ( 1) 3 3 2cos sin cos cos sin6 6 6 6 4 6
k k k k             

1 (2 1)cos26
k 
11
1
0
33 12 9 34kk
k
aa

    ．
25． 2 解析 120BAD菱形边长 2 2AB AD
11
3AE AF AB AD AD AB
骣骣鼢珑 + 鼢珑 鼢珑桫桫 1AE AF
4 4 12(1 ) 133    解 2  ．
26．17 解析设 ()D x y | | 1CD  22( 3) 1xy   量
OA OB OD ( 1 3)xy   22| | ( 1) ( 3)OA OB OC x y     
值圆 动点点 (1 3) 距离值
值圆 圆心(30)点(1 3) 距离加圆半径
22(3 1) (0 3) 1 1 7      ．
27． 2解析 A 坐标原点AB AD 直线分 x y 轴建立直角坐标系
( 20)B( 21)E(02)D( 22)C．设 ( 2)Fx (0≤ x ≤ 2 )
21AB AF x    ∴ (12)F AE BF ( )12  (1  2 2) 2 ．
28．(2 sin 21 cos2)解析图 P 作 x 轴垂线垂足 E C 作 y 轴垂线
垂足 A根题意知圆滚动 2 单位弧长 BAC
ED

∴ 2PCD知 2 2PCB    时点 P 坐标
2 cos(2 ) 2 sin 22Px      1 sin(2 ) 1 cos 22Py     


解 1：根题意知滚动制圆心（21）时圆参数方程







sin1
cos2
y
x
22
32  PCD点 P 坐标







2cos1)22
3sin(1
2sin2)22
3cos(2


y
x

)2cos12sin2( OP
29． 1
4 解析根已知 1 ()2AD AB AC 2
3BE AC AB
AD BE1 ()2 AB AC（ 2
3 AC AB ） 1 2 1 1( 1 )2 3 3 4AB AC     ．
30．解析(1)∵ mn∴ 0mn 22sin cos 022xx∴ tan 1x ．
（2）∵ m n夹角
3
 ∴
22sin cos 122cos 1 1 2
xx   
mnmn | m || n |

1sin( )42x  (0 )2x  ∴ ()4 4 4x     
46x  5
12x  ．
x 值 5
12
 ．
31． 解析（Ⅰ）已知 ( ) sin 2 cos2f x m x n x   ab
)(xf 点 )23
2()312(  ∴ ( ) sin cos 312 6 6f m n    
23
4cos3
4sin)3
2(   nmf ∴
13322
31 222
mn 
   
解





1
3
n
m
（Ⅱ）（Ⅰ）知 )62sin(22cos2sin3)(  xxxxf
题意知 () ( )2sin(2 2 )6g x f x x     
设  y g x 图象符合题意高点 0( 2)x
题意知 2
0 11x ． 0 0x  点(03)距离 1 高点(02) ．
代入  y g x sin 2 16


∵0 
6
 
  2sin 2 2cos 22g x x x  

2 2 2 k x k k Z       zkkxk  2 
∴ ()fx单调增区间[ ]2 k k k   Z．
32．解析（Ⅰ）∵ 1cos 3 cos 233
acB b BA BC ca B     

2 2 2cos 2
a c bB ac
 ∴ c 6 5a a c   ∵ ac ∴解 3 2ac．
3 2ac．
（Ⅱ）∵ 1cos 3B  ∴ 22sin 3B  ∵ 3 3 2abc  
2 2 2c 7cos 29
abC ab
 42sin 9C 
∴ 23cos( ) cos cos sin sin 27BCBCBC   23cos( ) 27BC  ．
33．解析（1） ab＝ (cos cos sin sin )   
2||ab＝ 22(cos cos ) (sin sin )      ＝ 2 2(cos cos sin sin ) 2        ．
cos cos sin sin 0       ba  ．
（2）





②1sinsin
①0coscos

 ①2＋②2 ： 1cos( ) 2   ．
 ＝ 3
2  ＝ 3
2 ＋ 
带入②：sin ( ＋ )＋ ＝
2
3 cos ＋ 1
2
＝ (
3
 ＋ )＝1

3
 ＋ ＝
2
 ． ＝
6
5 ＝
6
 ．
34．解析题意抛物线 E 焦点 (0 )2
pF直线 1l 方程 1 2
py k x．
1
2
2
2
py k x
x py
 
 
22
120x pk x p   ．
设 AB 两点坐标分 11()A x y 22()B x y
1x 2x 述方程两实数根．
1 2 12x x pk 2
1 2 1 2 1( ) 2y y k x x p pk p      ．
点 M 坐标 2
11()2
ppk pk  2
11()FM pk pk ．
理点 N 坐标 2
22()2
ppk pk  2
22()FN pk pk ．
2 2 2
1 2 1 2()FM FN p k k k k   ．
题设 k1＋k2＝2k1>0k2>0k1≠k2
212
120 ( ) 12
kkkk    ．
2 2 2(1 1 ) 2FM FN p p    ．
(2)解析抛物线定义 1|| 2
pFA y 2|| 2
pFB y
2
1 2 1| | 2 2AB y y p pk p    
圆 半径 2
11r pk p．
圆 方程 2 2 2 2 2
1 1 1()()()2
px pk y pk pk p      ． 化简 2 2 2 2
11
32 (2 1) 04x y pk x p k y p      ．
理圆 N 方程 2 2 2 2
22
32 (2 1) 04x y pk x p k y p      ．
圆 M圆 公弦直线l 方程 22
2 1 2 1( ) ( ) 0k k x k k y    ．
k2－k1≠0k1＋k2＝2 l 方程 x＋2y＝0
p>0点 直线 l 距离
2
221
1 1 1 1
17[2( ) ]| 2 | | 2 1| 48
5 5 5
pkpk pk p p k kd
     
1
1
4k  时 d 取值 7
85
p ．
题设 ＝ 75
5
解 8p  ．
求抛物线 E 方程 2 16xy ．
35．解析（I） 2 2 2 2( 3sin ) (sin ) 4sina x x x  
2 22(cos ) (sin ) 1b x x   2 4sin 1a b x
1[0 ] sin22xx
6x 
（II） 2( ) 3sin cos sinf x a b x x x    
3 1 1 1sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 6 2x x x     
[0 ] sin 2 13 2 6xx   时（）取值 3()2fx值
36．解析（1） ( 2 1 )MA x y    (2 1 )MB x y  
22( 2 ) (2 2 )MA MB x y     ( ) ()(02) 2OM OA OB x y y    
已知 22( 2 ) (2 2 )xy   22y  ．
化简曲线 C 方程： 2 4xy ．
（2）假设存点 (0 )( 0)P t t  满足条件直线 PA 方程 1
2
ty x t PB 方程
1
2
ty x t． 曲线 C Q 处切线l 方程
2
00
24
xxyx y 轴交点
2
0(0 )4
xF 
022x   0112
x   ．
① 10t   时 111 22
t     存 0 ( 22)x  0 1
22
x t  ． l 直线 PA
行 时符合题意．
② 1t „ 时 01 122
xt  „ 01 122
xt … 直线 PA PB 定相交．
分联立方程组
0
2
0
1
2
24
ty x t
xxyx
 
 
解 DE横坐标分
2
0
0
4
2( 1 )D
xtx xt
 

2
0
0
4
2( 1)E
xtx xt
 

2
0
22
0
4(1 ) ( 1)ED
xtx x t xt
   

2
0
4
xFP t  
22
0
22
0
( 4 )11
2 8 ( 1)PDE E D
xttS FP x x tx
      


22
0041 4 (1 )2 4 2QAB
xxS
    

2 2 2
00
22
0
( 4) ( 1)4
1 ( 4 )
QAB
PDE
x x tS
S t x t


  
4 2 2 2
00
4 2 2
00
4 ( 1) 4( 1)4
1 8 16
x t x t
t x tx t
      

意 0 ( 22)x  QAB
PDE
S
S


常数需t 满足
2
22
4 ( 1) 8
4( 1) 16
tt
tt
   
 
解 1t 
时 2QAB
PDE
S
S


 存 QAB PDE 面积常数 2．
37． 解析 MPQM  知 QMP 三点条垂直 x 轴直线设
)1()()()()( 2
0
2
0
22
0 yxyxyyxxxMyxQyxP   ①
设 )11()()( 010111 yxyyxxQABQyxB  
解





)1(
)1(
01
1


yy
xx
②
①式代入②式消 0y 




)1()1(
)1(
22
1
1


yxy
xx
③
点 B 抛物线 2xy  2
11 xy  ③式代入 2
11 xy 
012)1(0
0)1()1()1(2
)1(2)1()1()1(
))1(()1()1(
22222
222




yx
yx
xxyx
xyx
两边 




求点 P 轨迹方程 12  xy
38．解析（1）（方法）题设知 (35) ( 11)AB AC  
(26) (44)AB AC AB AC   
| |210| |42AB AC AB AC   
求两条角线长分 42 2 10 ．
（方法二）设该行四边形第四顶点 D两条角线交点 E
E BC 中点E（01） E（01） AD 中点 D（14）
求两条角线长分 BC AD
（2）题设知：OC (－2－1)(3 2 5 )AB tOC t t    ．
( OCtAB  )·OC 0：(3 25 )(2 1) 0tt     
5 11t  11
5t  ．
者： 2
· AB OC tOC (35)AB 
2
11
5||
AB OCt
OC
   ．

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