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布朗运动PPT
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1. 第六章 布朗过程布朗运动,有时称为维纳过程,是应用概率论中最有用的随机过程之一,以发现它的英国植物学家罗伯特.布朗命名,是悬浮微粒不停地做无规则运动的现象。首次解释是爱因斯坦于1905年给出,他证明,假设浸没的粒子连续不断受到周围介质的分子的冲击,布朗运动即可解释。1918年,维纳给出了布朗运动的简介定义。 自它被发现以来以来,有效的应用于一些领域,如拟合优度的统计检验,分析股票市场的价格水平及量子力学。 迄今,普遍的观点仍认为,股票市场是随机波动的,随机波动是股票市场最根本的特性,是股票市场的常态。
2. www.themegallery.com
3. §1 基本概念和性质对称随机游动:每个单位时间等可能的向左或向右走一个单位步子。 加速此过程,在越来越小的时间间隔中走越来越小的步子。若以正确的方式趋于极限,得到的就是布朗运动。www.themegallery.com
4. 由式(1)和中心极限定理,得到X(t)的一些性质: (1)X(t)是正态的,均值为0,方差为 (2) (3) www.themegallery.com
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13. 布朗运动性质: (1)马尔可夫性; (2)标准布朗运动: www.themegallery.com
14. 显然,条件分布是正态分布,均值和方差为 www.themegallery.com
15. 例3:在有两人比赛的自行车赛中,以Y(t)记当100t%的竞赛完成时,从内道出发的竞赛者领先的时间秒数,且假设Y(t)可以有效地用方差参数为 的布朗运动建模。求: (1)如果在赛道的中点,内道竞赛者领先 秒,问他取胜的概率是多少? (2)如果内道竞赛者在竞赛中领先 秒获胜,问他在竞赛中点领先概率是多少?www.themegallery.com
16. 解:(1) (2)需要计算www.themegallery.com
17. www.themegallery.com
18. (3)布朗运动的联合分布是多元正态的,所以布朗运动是高斯过程。由于多元正态分布完全由边际均值和协方差决定,布朗运动也完全由其均值和协方差决定。www.themegallery.com
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56. (几何布朗运动在股票相对于时间的价格的建模中有用,当感觉价格百分比变化是独立同分布时。例如,假设Xn是某个股票在时刻n的价格,那么假设 是独立同分布也许是合理的。 www.themegallery.com
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64. 击中时刻www.themegallery.com
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66. www.themegallery.com
67. 最大值的极限平均值www.themegallery.com
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69. (六)积分布朗运动 www.themegallery.com
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72. 1、显然,遵循普通(漂移)布朗运动的变量X是关于时间和dz的动态过程,其中第一项 为确定项,它意味着X的期望漂移率是每单位时间为 。第二项 是随机项,它表明对X的动态过程添加的影响(噪音)。这种噪音是由标准布朗运动的 倍给出的。 2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征,其均值为 ,标准差为 ,方差为 。 3、标准布朗运动的漂移率 为0,方差率为1。 漂移布朗运动(普通布朗运动)www.themegallery.com
73. 补充: 伊藤(Ito)过程www.themegallery.com
74. 它的漂移率为方差率为www.themegallery.com
75. www.themegallery.com
76. www.themegallery.com
77. Black-Scholes定价公式期权在时刻T的期望价值为 时间t以固定价格X购买股票的期权定价为利用ST为几何布朗运动,可计算c的结果为书P498,(10.12)式。 称为期权价格公式,依赖于股票初始价格,期权执行时间,期权 执行价格,折扣因子和波动率。www.themegallery.com
78. Thank You !
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