第部分 基础知识
1定义:般果常数做二次函数
2二次函数性质
(1)抛物线顶点坐标原点称轴轴
(2)函数图符号关系
①时抛物线开口顶点低点
②时抛物线开口顶点高点
(3)顶点坐标原点称轴轴抛物线解析式形式
3二次函数 图称轴行(包括重合)轴抛物线
4二次函数配方法化成:形式中
5二次函数特殊般分种形式:①②③④⑤
6抛物线三素:开口方称轴顶点
①符号决定抛物线开口方:时开口时开口
相等抛物线开口形状相
②行轴(重合)直线记作特轴记作直线
7顶点决定抛物线位置二次函数果二次项系数相抛物线开口方开口完全相顶点位置
8求抛物线顶点称轴方法
(1)公式法:∴顶点称轴直线
(2)配方法:运配方方法抛物线解析式化形式顶点()称轴直线
(3)运抛物线称性:抛物线称轴轴轴称图形称轴连线垂直分线抛物线称轴称轴抛物线交点顶点
配方法求顶点公式法称性进行验证做万失
9抛物线中作
(1)决定开口方开口中完全样
(2)决定抛物线称轴位置抛物线称轴直线
:①时称轴轴②(号)时称轴轴左侧③(异号)时称轴轴右侧
(3)决定抛物线轴交点位置
时∴抛物线轴交点(0):
①抛物线原点 ②轴交正半轴③轴交负半轴
三点中结条件互换时成立抛物线称轴轴右侧
10种特殊二次函数图特征:
函数解析式
开口方
称轴
顶点坐标
时
开口
时
开口
(轴)
(00)
(轴)
(0 )
(0)
()
()
11定系数法求二次函数解析式
(1)般式:已知图三点三值通常选择般式
(2)顶点式:已知图顶点称轴通常选择顶点式
(3)交点式:已知图轴交点坐标通常选交点式:
12直线抛物线交点
(1)轴抛物线交点(0 )
(2)轴行直线抛物线交点()
(3)抛物线轴交点
二次函数图轴两交点横坐标应元二次方程两实数根抛物线轴交点情况应元二次方程根判式判定:
①两交点抛物线轴相交
②交点(顶点轴)抛物线轴相切
③没交点抛物线轴相离
(4)行轴直线抛物线交点
(3)样0交点1交点2交点2交点时两交点坐标相等设坐标横坐标两实数根
(5)次函数图二次函数图交点方程组 解数目确定:①方程组两组解时两交点 ②方程组组解时交点③方程组解时没交点
(6)抛物线轴两交点间距离:抛物线轴两交点方程两根
第二部分 典型题
1抛物线y=x2+2x-2顶点坐标 ( D )
A(2-2) B(1-2) C(1-3) D(-1-3)
2已知二次函数图象图示列结正确( C )
A.ab>0c>0 B.ab>0c<0 C.ab<0c>0 D.ab<0c<0
第23题图 第4题图
3二次函数图象图示列结正确( D )
A.a>0b<0c>0 B.a<0b<0c>0
C.a<0b>0c<0 D.a<0b>0c>0
4图已知中BC8BC高DBC点交AB点E交AC点F(EFAB)设EBC距离面积关函数图象致( D )
5抛物线x轴分交AB两点AB长 4 .
6已知二次函数x轴交点横坐标()列结:①x=-2时y=1②时y>0③方程两相等实数根④⑤中正确结 ①③④ (需填写序号).
7已知直线x轴交点Ay轴交点B抛物线解析式
(1)该抛物线点B顶点P直线试确定条抛物线解析式
(2)点B作直线BC⊥AB交x轴交点C抛物线称轴恰C点试确定直线解析式
解:(1)
代入顶点坐标题意解
(2)
8运算装置输入值x时输出值x二次函数已知输入值0时 相应输出值分5.
(1)求二次函数解析式
(2)坐标系中画出二次函数图象根图象写出输出值正数时输入值取值范围
解:(1)设求二次函数解析式
y
O
x
解
求解析式
(2)函数图象图示
图象输出值正数时
输入值取值范围.
第9题
9某生物兴趣组四天实验研究中发现:骆驼体温会外部环境温度变化变化四天中昼夜体温变化情况相.头骆驼前两昼夜体温变化情况绘制成图.请根图象回答:
⑴第天中什时间范围头骆驼体温升体温低升高需少时间
⑵第三天12时头骆驼体温少
⑶兴趣组研究中发现图中10时
22时曲线抛物线求该抛物线解
析式.
解:⑴第天中4时16时头骆驼
体温升
体温低升高需12时
⑵第三天12时头骆驼体温39℃
⑶
10已知抛物线x轴交A
B两点y轴交点C.否存实数a
△ABC直角三角形.存请求出a值
存请说明理.
解:题意点C坐标(04).
设点AB坐标分(0)(0)
解 .
∴ 点AB坐标分(30)(0).
∴
.
∴
.
〈ⅰ〉时∠ACB=90°.
.
解 .
∴ 时点B坐标(0).
.
∴ 时△ABC直角三角形.
〈ⅱ〉时∠ABC=90°.
.
解 .
时点B(30)点A重合合题意.
〈ⅲ〉时∠BAC=90°.
.
解 .合题意.
综合〈ⅰ〉〈ⅱ〉〈ⅲ〉时△ABC直角三角形.
11已知抛物线y=-x2+mx-m+2
(1)抛物线x轴两交点AB分原点两侧AB=试求m值
(2)设C抛物线y轴交点抛物线存关原点称两点MN △MNC面积等27试求m值
解 (1)A(x10)B(x20) x1 x2方程 x2-mx+m-2=0两根
∵x1 + x2 =m x1·x2 m-2 <0 m<2
AB=∣x1 — x2∣=
∴m2-4m+30
N
M
C
x
y
O
解:m1m3(舍) ∴m值1
(2)M(ab)N(-a-b)
∵MN抛物线两点
∴
①+②:-2a2-2m+4=0 ∴a2=-m+2
∴m<2时存满足条件中两点MN
∴
时MNy轴距离均
点C坐标(02-m)S△M N C 27
∴2××(2-m)×27
∴解m-7
12已知:抛物线x轴交点A(-10).
(1)求抛物线x轴交点B坐标
(2)D抛物线y轴交点C抛物线点AB底梯形ABCD面积9求抛物线解析式
(3)E第二象限x轴y轴距离5∶2点果点E(2)中抛物线点A抛物线称轴侧问:抛物线称轴否存点P△APE周长存求出点P坐标存请说明理.
解法:
(1)题意抛物线称轴x=-2.
∵ 抛物线x轴交点A(-10)
∴ 抛物线称性抛物线x轴交点B坐标(-30).
(2)∵ 抛物线x轴交点A(-1 0)
∴ .∴ t=3a.∴ .
∴ D(03a).∴ 梯形ABCD中AB∥CD点C抛物线
∵ C(-43a).∴ AB=2CD=4.
∵ 梯形ABCD面积9∴ .∴ .
∴ a±1.
∴ 求抛物线解析式.
(3)设点E坐标()题意
.∴ .
①设点E抛物线
∴.
解方程组
∵ 点E点A称轴x=-2侧∴ 点E坐标().
设抛物线称轴x=-2存点P△APE周长.
∵ AE长定值∴ △APE周长须PA+PE.
∴ 点A关称轴x=-2称点B(-30)
∴ 知识知P直线BE称轴x=-2交点.
设点EB直线解析式
∴ 解
∴ 直线BE解析式.∴ x=-2代入式.
∴ 点P坐标(-2).
②设点E抛物线∴ .
解方程组 消.
∴ △<0 ∴ 方程实数根.
综抛物线称轴存点P(-2)△APE周长.
解法二:
(1)∵ 抛物线x轴交点A(-10)
∴ .∴ t=3a.∴ .
令 y=0.解 .
∴ 抛物线x轴交点B坐标(-30).
(2)D(03a).
∵ 梯形ABCD中AB∥CD点C抛物线
∴ C(-43a).∴ AB=2CD=4.
∵ 梯形ABCD面积9∴ .解OD=3.
∴ .∴ a±1.
∴ 求抛物线解析式.
(3)解法P直线BE称轴x=-2交点.
∴ 图点E作EQ⊥x轴点Q.设称轴x轴交点F.
PF∥EQ.∴ .∴ .
∴ 点P坐标(-2).
解法.
13已知二次函数图象图示.
(1)求二次函数解析式抛物线顶点M坐标.
(2)点N线段BM点点N作x轴垂线垂足点Q.点N线段BM运动时(点N点B点M重合)设NQ长l四边形NQAC面积S求St间函数关系式变量t取值范围
(3)称轴右侧抛物线否存点P△PAC直角三角形存求出符合条件点P坐标存请说明理
(4)△OAC补成矩形△OAC两顶点成矩形边两顶点第三顶点落矩形边边试直接写出矩形未知顶点坐标(需计算程).
解:(1)设抛物线解析式
∴ .∴ .∴ .
顶点M坐标.
(2)设线段BM直线解析式点N坐标N(th)
∴ .解.
∴ 线段BM直线解析式.
∴ 中.∴ .
∴ st间函数关系式变量t取值范围.
(3)存符合条件点P坐标.
设点P坐标P.
.
分种情况讨:
i)∠PAC=90°.
∴
解:(舍). ∴ 点.
ii)∠PCA=90°.
∴
解:(舍).∴ 点.
iii)图象观察点P称轴右侧时边AC角∠APC直角.
(4)点O点A(点O点C)矩形两顶点第三顶点落矩形边OA(边OC)边图a时未知顶点坐标点D(-1-2)
点A点C矩形两顶点第三顶点落矩形边AC边图b时未知顶点坐标EF.
图a 图b
14已知二次函数图象点(1-1).求二次函数解析式判断该函数图象x轴交点数.
解:根题意a-2=-1
∴ a=1. ∴ 二次函数解析式.
二次函数图象开口顶点坐标(0-2)该函数图象x轴两交点.
15卢浦桥拱形似作抛物线部分.桥截面1∶11000例图跨度AB=5 cm拱高OC=09 cm线段DE表示桥拱桥长DE∥AB图(1).例图直线ABx轴抛物线称轴y轴1 cm作数轴单位长度建立面直角坐标系图(2).
(1)求出图(2)部分抛物线图象函数解析式写出函数定义域
(2)果DEAB距离OM=045 cm求卢浦桥拱实际桥长(备数:计算结果精确1米).
解:(1)顶点Cy轴设部分抛物线图象函数解析式
.
点A(0)(B(0))抛物线 .
求函数解析式.
(2)点DE坐标 .
点D坐标()点E坐标().
.
卢浦桥拱实际桥长 (米).
16已知面直角坐标系O坐标原点ABx轴正半轴两点点A点B左侧图.二次函数(a≠0)图象点ABy轴相交点C.
(1)ac符号间关系
(2)果线段OC长度线段OAOB长度例中项试证
ac互倒数
(3)(2)条件果b=-4求ac值.
解
(1)ac号. a>0时c>0a<0时c<0.
(2)证明:设点A坐标(0)点B坐标(0).
∴ .
题意方程两根. ∴ .
题意.
线段OC长线段OAOB长例中项时ac互倒数.
(3)时(2)知∴ a>0.
解法:AB=OB-OA=
∴ .
∵ ∴ ..∴ c=2
解法二:求根公式
∴ .
∴ .
∵ ∴ .∴ c=2.
17图直线分x轴y轴交点AB⊙E原点OAB两点.
(1)C⊙E点连结BC交OA点D∠COD=∠CBO求点ABC坐标
(2)求OCA三点抛物线解析式:
(3)延长BCPDP=2连结AP试判断直线PA⊙E位置关系说明理.
解:(1)连结EC交x轴点N(图).
∵ AB直线分x轴y轴交点.∴ A(30)B.
∠COD=∠CBO. ∴ ∠CBO=∠ABC.∴ C中点. ∴ EC⊥OA.
∴ .
连结OE.∴ . ∴ .∴ C点坐标().
(2)设OCA三点抛物线解析式.
∵ C(). ∴.∴ .
∴ 求.
(3)∵ ∴ ∠BAO=30°∠ABO=50°.
(1)知∠OBD=∠ABD.∴ .
∴ OD=OB·tan30°-1.∴ DA=2.
∵ ∠ADC=∠BDO=60°PD=AD=2.
∴ △ADP等边三角形.∴ ∠DAP=60°.
∴ ∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°. PA⊥AB.
直线PA⊙E切线.
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