知识导图
三角形
常见考查图形 梯形
规图形
直接计算
分割法
相似图形
铅垂高水宽
二次函数图形面积问题
说明序结构
三点剖析
考点
力求
重难点
易错点
识记理解
分析应
综合表达
分割法求图形面积
√
√
√
利图形相似求图形面积
√
√
√
√
铅垂高水宽
√
√
√
知识精讲
考点 1 利分割法求图形面积
考点解析:
适题型:1矩形者正方形中计算规部分面积2次函数二次函数图中规三角形者四边形面积
常见分割方法: 1规图形面积减规图形面积2着x轴者y轴图形分割成两三角形3图形点x轴者y轴作垂线图形分割成三角形直角梯形
典型例题:
例 111图△OAB边长2等边三角形点A直线x轴交点E.
(1) 求点E坐标
(2) 求 AOE三点抛物线解析式
(3) 点P(2)中求出抛物线AE段动点(AE重合)设四边形OAPE面积S求S值
答案解析解:(1)作AF⊥x轴F∴OFOAcos60°1AFOFtan60°
∴点A(1)代入直线解析式
∴m
∴
y0时
x4∴点E(40)
(2)设AOE三点抛物线解析式yax2+bx+c
∵抛物线原点 ∴c0
∴
∴抛物线解析式
(3)作PG⊥x轴G设P(x0y0)
S四边形OAPES△AOF+S梯形AFGP+S△PGE
时S.
解析(1)(2)图作AF⊥x轴F根直角三角形性质定系数求E点坐标抛物线解析式
(3)作作PG⊥x轴G四边形OAPE面积Sx0表示问题转化求函数值问题.
针练:
练 111
(2016苏州中考第28题)图直线l:y﹣3x+3x轴y轴分相交AB两点抛物线yax2﹣2ax+a+4(a<0)点B.
(1)求该抛物线函数表达式
(2)已知点M抛物线动点点M第象限连接AMBM设点M横坐标m△ABM面积S求Sm函数表达式求出S值
(3)(2)条件S取值时动点M相应位置记点M′.
①写出点M′坐标
②直线l绕点A时针方旋转直线l′直线l′直线AM′重合时停止旋转旋转程中直线l′线段BM′交点C设点BM′直线l′距离分d1d2d1+d2时求直线l′旋转角度(∠BAC度数).
答案解析解:(1)令x0代入y﹣3x+3
∴y3
∴B(03)
B(03)代入yax2﹣2ax+a+4
∴3a+4
∴a﹣1
∴二次函数解析式:y﹣x2+2x+3
(2)令y0代入y﹣x2+2x+3
∴0﹣x2+2x+3
∴x﹣13
∴抛物线x轴交点横坐标﹣13
∵M抛物线第象限
∴0<m<3
点M作ME⊥y轴点E交AB点D
题意知:M坐标(m﹣m2+2m+3)
∴D坐标:﹣m2+2m+3
∴y﹣m2+2m+3代入y﹣3x+3
∴x
∴D坐标(﹣m2+2m+3)
∴DMm﹣
∴SDM•BE+DM•OE
DM(BE+OE)
DM•OB
××3
(m﹣)2+
∵0<m<3
∴m时
S值值
(3)①(2)知:M′坐标()
②点M′作直线l1∥l′点B作BF⊥l1点F
根题意知:d1+d2BF
时求出BF值
∵∠BFM′90°
∴点FBM′直径圆
设直线AM′该圆相交点H
∵点C线段BM′
∴F优弧
∴FM′重合时
BF取值
时BM′⊥l1
∵A(10)B(03)M′()
∴勾股定理求:ABM′BM′A
点M′作M′G⊥AB点G
设BGx
∴勾股定理:M′B2﹣BG2M′A2﹣AG2
∴﹣(﹣x)2﹣x2
∴x
cos∠M′BG
∵l1∥l′
∴∠BCA90°
∠BAC45°
解析(1)利直线l解析式求出B点坐标B点坐标代入二次函数解析式求出a值
(2)点M作ME⊥y轴点E交AB点D△ABM面积DM•OB设M坐标(m﹣m2+2m+3)含m式子表示DM然求出Sm函数关系式求出S值中m取值范围0<m<3
(3)①(2)知m代入二次函数解析式求出坐标值
②点M′作直线l1∥l′点B作BF⊥l1点Fd1+d2BF求出BF值题意知点FBM′直径圆点FM′重合时BF取值.
考点 2 利相似解决图形面积问题
考点解析 :
例:图DEBC果AD∶ABk呢?求S△ADE∶S△ABC值
适题型:图形中涉行线相似三角形
常见分割方法:1利行关系者三角形相似计算出应边长2根面积相似方直接表示出图形面积
典型例题:
例 211
已知:图抛物线yax2+bx+cx轴正半轴交AB两点y轴交点C直线yx﹣2AC两点AB2.
(1)求抛物线解析式
(2)直线DE行x轴C点开始秒1单位速度y轴正方移分交y轴线段BC点ED时动点P点B出发BO方秒2单位速度运动(图2)点P运动原点O时直线DE点P停止运动连DP点P运动时间t秒设st值时s值求出值.
(3)(2)条件否存t值PBD顶点三角形△ABC相似存求t值存请说明理.
答案解析解:(1)直线:yx﹣2知:A(20)C(0﹣2)
∵AB2∴OBOA+AB4 B(40).
设抛物线解析式:ya(x﹣2)(x﹣4)代入C(0﹣2):
a(0﹣2)(0﹣4)﹣2解 a﹣
∴抛物线解析式:y﹣(x﹣2)(x﹣4)﹣x2+x﹣2.
(2)Rt△OBC中OB4OC2 tan∠OCB2
∵CEt∴DE2t
OPOB﹣BP4﹣2t
∴s(0<t<2)
∴t1时s值值 1.
(3)Rt△OBC中OB4OC2 BC2
Rt△CED中CEtED2t CDt
∴BDBC﹣CD2﹣t
PBD顶点三角形△ABC相似已知∠OBC∠PBD两种情况:
①⇒解 t
②⇒解 t
综t时PBD顶点三角形△ABC相似.
解析
(1)首先根直线AC解析式确定点AC坐标已知AB长进步点B坐标然定系数法确定抛物线解析式.
(2)根s表达式解答该题必须知道EDOP长BPCE长易知OPOB﹣BP求OP长∠CED三角函数值ED长代入s表达式中关st函数关系式结合函数性质s值.
(3)首先求出BPBD长PBD顶点三角形△ABC相似已知条件公角∠OBC必须满足条件夹公角两组应边成例分两种情况讨.
针练:练 211
图△ABC张直角三角形彩色纸AC15cmBC20cm.斜边高CD 分成n等分然裁出(n﹣1)张宽度相等长方形纸条.(n﹣1)张纸条面积 cm2.
答案解析解:图∵∠ACB90°AC15BC20
∴AB25
∵CD•ABAC•BC
∴CD12
∵斜边高CD分成n等分
∴CH
∵EF∥AB
∴△CEF∽△CAB
∴解EF•25
数第1矩形长•25
理数第2矩形长•25
…
数第(n﹣1)矩形长•25
矩形宽•12
∴(n﹣1)张纸条面积[•25+•25+…+•25]• •12
(1+2+…+n﹣1)••12
(cm2).
答案.
解析先利勾股定理计算出AB25利面积法计算出CD12接着证明△CEF∽△CAB计算出EF•25理数第2矩形长•25…数第(n﹣1)矩形长•25矩形宽•12然矩形面积相加.
练 212
已知抛物线(a≠0)x轴左右次相交AB两点y轴相交点C点A直线抛物线交点D.
(1)点D横坐标2求抛物线函数解析式
(2)第三象限抛物线点PABP顶点三角形△ABC相似求点P坐标
(3)(1)条件设点E线段AD点(含端点)连接BE.动点Q点B出发线段BE秒1单位速度运动点E线段ED秒 单位速度运动点D停止问点E坐标少时点Q整运动程中时间少?
答案解析解:(1)∵ya(x+3)(x﹣1)
∴点A坐标(﹣30)点B两坐标(10)
∵直线y﹣x+b点A
∴b﹣3
∴y﹣x﹣3
x2时y﹣5
点D坐标(2﹣5)
∵点D抛物线
∴a(2+3)(2﹣1)﹣5
解a﹣
抛物线解析式y﹣(x+3)(x﹣1)﹣x2﹣2x+3
(2)作PH⊥x轴H
设点P坐标(mn)
△BPA∽△ABC时∠BAC∠PBA
∴tan∠BACtan∠PBA
∴n﹣a(m﹣1)
∴
解m1﹣4m21(合题意舍)
m﹣4时n5a
∵△BPA∽△ABC
∴AB2AC•PB
∴42•
解a1(合题意舍)a2﹣
n5a﹣
∴点P坐标(﹣4﹣)
△PBA∽△ABC时∠CBA∠PBA
∴tan∠CBAtan∠PBA
∴n﹣3a(m﹣1)
∴
解m1﹣6m21(合题意舍)
m﹣6时n21a
∵△PBA∽△ABC
∴AB2BC•PB
∴42•
解a1(合题意舍)a2﹣
点P坐标(﹣6﹣)
综述符合条件点P坐标(﹣4﹣)(﹣6﹣)
(3)作DM∥x轴交抛物线M作DN⊥x轴N作EF⊥DMF
tan∠DAN
∴∠DAN60°
∴∠EDF60°
∴DEEF
∴Q运动时间t+BE+EF
∴BEEF线时t
BE⊥DMy﹣4.
解析(1)根二次函数交点式确定点AB坐标求出直线解析式求出点D坐标求出抛物线解析式
(2)作PH⊥x轴H设点P坐标(mn)分△BPA∽△ABC△PBA∽△ABC根相似三角形性质计算
(3)作DM∥x轴交抛物线M作DN⊥x轴N作EF⊥DMF根正切定义求出Q运动时间tBE+EF时t.
考点 3 利铅垂高水宽公式求解图形面积问题
公式:S铅垂高水宽
适题型:规三角形者四边形面积计算中该图形少两顶点函数图象
常见分割方法:选条分割线作底分割线左右()两顶点间间距作高面积S铅垂高水宽
考点解析 :
典型例题:
例 311
图直角坐标系中点A坐标(-20)连结OA线段OA绕原点O时针旋转120°线段OB
(1) 求点B坐标
(2) 求AOB三点抛物线解析式
(3) (2)中抛物线称轴否存点C△BOC周长?存求出点C坐标存请说明理
(4) 果点P(2)中抛物线动点x轴方△PAB否面积?求出时P点坐标△PAB面积没请说明理
C
B
A
O
y
x
D
B
A
O
y
x
P
答案解析
解:(1)B(1)
(2)设抛物线解析式yax(x+a)代入点B(1 )
(3)图抛物线称轴直线x—1点C位称轴线段AB交点时△BOC周长
设直线ABykx+b直线ABx-1时点C坐标(-13)
(4)图P作y轴行线交ABD
x-时△PAB面积值时
解析求△PAB 面积时候点P作x轴垂线△PAB 面积分成左右两三角形PD底AB水宽利公式表示出三角形面积解题关键
练 311
图1抛物线顶点坐标点C(14)交x轴点A(30)
交y轴点B
(1)求抛物线直线AB解析式
(2)求△CAB铅垂高CDS△CAB
(3)设点P抛物线(第象限)动点
否存点PS△PAB=△CAB 存求出P点坐标存请说明理
答案解析
解:(1)设抛物线解析式:A(30)代入解析式求设直线AB解析式:求B点坐标 代入中 解:
(2)C点坐标(14)x=1时y1=4y2=2CD=42=2(方单位)
(3)假设存符合条件点P设P点横坐标x△PAB铅垂高hS△PABS△CAB化简:解代入中解P点坐标
解析点P作x轴垂线利铅垂高公式表示出△PAB面积解题关键
课堂总结
观察列常见图形说出求出图中阴影部分图形面积
问题分析中研究思路:
(1)分割法求图形面积
(2)利相似图形求图形面积
(3)利铅垂高公式求图形面积
注意:
(1)取三角形底边时般坐标轴线段轴行线段底边
(2)三边均坐标轴三角形规边形需图形分解(采割补方法分解成易求出面积图形)
(3)求图形面积时常常公式:
抛物线解析式yax2 +bx+c (a≠0)
抛物线x轴两交点距离AB︱x1–x2︱
抛物线顶点坐标( )
抛物线y轴交点(0c)
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