第八章 联立方程模型
前章侧重讨单方程回模型含变量Y解释变量X模型里强调定X条件估计预测Y果关系清楚XY
许实际问题中种单信道单方关系没意义例果YX决定时干X分量Y决定时双信道联立关系谁变量谁变量变暖昧起遇种情况放块方程变量分生变量外生变量前定变量方程互相制约互相补充中单独解出某方程果实置方程顾强行普通二方法估计出参数参数估计仅偏相合估计说着样容量增参数估计收敛真实参数值假设方程组：
（801）
（802）
里Y1Y2互相赖生变量X1外生变量机扰动项变量Y1Y2机分布项果证明Y2独立Y1独立应LSE话估计相合估计
样致勾画出联立方程模型特处需研究解决问题
性急读者先算例832明白方法实简单面复杂理推导
第节 联立方程模型实例OLS估计相合性问题
面出具体联立方程模型普通二估计满足相合性
需求—供模型Keynesian模型工资－价格Phillips模型
先需求－供模型
商品价格P售出数量Q需求曲线供曲线交点决定假定需求供曲线简化线性添加机项需求供函数：
需求函数： （811）
供函数： （812）
衡条件： （813）
里P价格参数负数表示价格越高售出数量越少正数表示价格越高厂商该产品生产越
难出PQ互相存变量例受素(收入财富嗜等)影响发生改变需求曲线发生漂移图8111示：
P
P
P
S
P1
S
S
P0
D1
D1
D0
P0
P0
P1
D0
D0
Q1
Q0
Q
Q1
Q0
Q
Q
Q0
图8111
图显示改变导致需求曲线(D线)改变时价格P生产量Q发生改变样改变导致供应曲线(S线)发生改变时PQ发生改变PQ互相独立违反典二法基假定(关解释变量X机误差ε独立假定)
考虑简化Keynesian模型：
消费函数：0＜＜1 （814）
恒等式： （815）
中
C＝消费支出
Y＝收入
I＝投资(假定外生变量)
S＝储蓄
＝机分布项
参数
参数称作消费边际嗜(MPC)济理里0＜＜1投资I储蓄SYC+I国家收入恒等式改变消费曲线发生漂移图8112示消费投资增加时反影响收入促收入增加独立OLS应
CI
Y
Y2
Y1
图8112
面工资价格模型考虑货币工资价格决定Phillips模型：
（816）
（817）
里
货币工资改变率
UN 失业率
价格改变率
资成改变率
进口原料价格改变率
机扰动
价格影响工资工资影响价格机解释变量机误差项相关OLS应
二宏观济IS模型LM模型计量济Klein模型
著名宏观济IS模型(商品均衡模型)非机形式：
消费函数：0＜＜1 （818）
税收函数：0＜＜1 （819）
投资函数： （8110）
定义式： （8111）
政府开支： （8112）
国家收入恒等式 （8113）
中
Y 国家收入
C 消费支出
I 计划净投资
政府开支定水
T 税收
配置收入
利率
果关变量代入终代入式IS方程
（8114）
中
（8115）
（8116）
IS方程显示收入利率关系（图8113左）
r(利率)
r（利率）
IS
Y(收入)
Y(收入)
图8113
果算估计参数估计消费函数会样偏估计消费赖配置收入者赖国家收入YY赖r参数非考虑全部影响否单CYd样简单关系出偏估计
著名IS－LM范例半LM模型金融市场均衡模型综合考虑利率收入水建立金融市场清晰关系LM模型非机形式：
货币需求函数： （8117）
货币供函数： （8118）
均衡条件： （8119）
中
Y 收入
r 利率
假定货币供应水般政府决定
LM方程：模型中解
（8120）
中定LM曲线图示：
图8114
IS模型LM模型表示收入Y利率r关系递增函数递减函数然衡点应该两条曲线交点
面计量济Klein模型计量济学家建立许联立方程组形式计量济模型Klein模型宾夕法尼亚学Lawrence Klein教授建立：
消费函数： （8121）
投资函数： （8122）
劳动力需求： （8123）
恒等式： （8124）
恒等式： （8125）
恒等式： （8126）
中
C 消费支出
I 投资
G 政府开支
P 利润
W 私工资开销
W′政府工资开销
K 资股份
T 税收
Y 税收入
T 时刻
机扰动
模型中CIWYPK互相赖生变量Pt1Kt1Yt1前置变量模型里6方程(包括3恒等式)确定6生变量互相存关系
样里应OLS合适样容量相普通LSE未必收敛真值
面举具体联立方程模型例子般说联立方程模型里应包括
(1)行方程指济行需求供投资消费等
(2)技术方程指客观意志转移济技术数量关系
(3)制度方程指反映济法规济制度方程
(4)恒等式指定义定成立等式者种均衡条件
般说行方程技术方程含机扰动项方程表达济变量间基结构关系称结构方程
三OLS估计满足相合性
前面已说普通二方法适宜估计联立方程组中某单独模型样估计相合样数n趋穷时参数估计收敛真值收入确定模型(Keynesian模型)例假想估计模型中消费函数中参数假定(j≠0))Cov0样单模型典假定满足
先证明相关消费函数代入恒等式
（8127）
（8128）
（8129）
（8130）
（8131）
知道相关
面推证偏估计相合估计
（8132）
步里
两边取数学期
（8133）
然法计算知道非0否会偏估计
两边取极限已求
（8134）
说明相合估计
第二节 模型识间接二
回忆需求－供模型假关QP时间序列资料没附加信息知道估计需求函数供函数换句话说果认正估计需求函数保证确实估计什节研究解决正样关模型识问题
模型结构式简化式
先建立模型般形式
设M生变量Y1…YMT观察K外生变量前定变量X1…XkT观察模型含M机误差项T观察Y1…YMX1…XkT元量反映生变量外生变量前定变量机误差间联合关系联立方程模型写作
（821）
里方程组结构参数需利观察资料估计结构机扰动项假定稳元机程
（822）
（823）
（824）
压缩写
（825）
中ΣM×M半正定称阵联立方程组中某零误差Σ满秩估计中常假定Σ非奇异
果记
（826）
（827）
（828）
（829）
（8210）
联立方程模型写
（8211）
中YX样矩阵E观察机误差矩阵ΓB估系数矩阵Γ生变量Y系数阵B外生——前定变量X系数阵注意YE阶相ΓM阶方阵BK×M阶矩阵
果Γ非奇异YΓ+XB+E0
（8212）
（8213）
果记
（8214）
（8215）
联立方程模型演变简化形式：
（8216）
中称简化形式参数矩阵V称简化形式扰动矩阵简化形式作生变量成外生前定变量线性函数
果量行排联立方程模型简化形式写
（8217）
（8218）
例Keynesian模型结构方程：
消费函数 （8219）
恒等式 （8220）
C (消费)Y (收入)生变量I (投资)外生变量消C简化形式
（8221）
里
（8222）
果消Y种简化形式：
（8223）
里
（8224）
简化形式已没变量间暖昧关系应二法时估计称间接二(Indirect Least SquaresILS)估计样估计程做ILS
面叙述模型渐性质
关线性联立统计模型YΓ+XB+E0假定方程里误差项稳暂时相关般渐理
（8225）
表示样误差方差阵概率收敛限总体方差阵假定正态机量
（8226）
相应简化形式模型
（8227）
机误差量
（8228）
惯常常假定X元素非奇异协方差阵机程产生：
（8229）
般假设XEV相关
（8230）
（8231）
面出具体例子设联立方程模型
（8232）
（8233）
中Yi生变量观察量Xi非机外生变量观察量机量满足
（8234）
里
（8235）
令假设已知
（8236）
参数实值
YΓ+XB+E0形式写成联立方程结构式：
（8237）
相应简化式
（8238）
容易算出
（8239）
简化形式
（8240）
（8241）
相应渐结果
66+2591 （8242）
（8243）
（8244）
二简化式结构式参数估计
联立方程模型简化式
（8245）
果取第i方程i1…M
（8246）
二估计
（8247）
估计相合
（8248）
里果X非机偏
果假定模型简化式写
（8249）
参数广义二估计
（8250）
结果等方程分应LSE
机量方差
（8251）
未知M×M矩阵估计元素
（8252）
里
（8253）
某场合果提供关量先验知识例某系数0参数线性组合等综合起联立方程模型产生估计分开单独方程出估计更效(方差)
简化式作出LSE返回原结构式参数估计结构式简化式变换
（8254）
想返回结构式参数估计需转换马家明白转换结果唯
想结构参数唯估计需BΓΣ某先验知识许现实问题中列先验信息总存
(1)规化参数
(2)矩阵ΓB中0限制说某生变量外生变量前定变量出现方程中
(3)结构方程中参数限制
(4)联络结构方程参数限制
(5)Σ中某元素限制
例结构方程中总规化参数唯例数相联系第(2)种限制出现某结构方程关系式中例投资函数加速原理表达
（8255）
里It投资Yt收入果方程写
（8256）
意着第三种参数限制见CobbDouglas生产函数中弹性系数规定1第(4)种限制见两结构方程某变量样系数第(5)种参数限制举例说明设面递联立方程：
（8257）
（8258）
里规化1系统X1影响Y1Y1X1起影响Y2果假定独立话系统里二方法合适方差阵指定
OLS显然适合递方程组中第方程X1没关系OLS适第二方程相关Y1相关该递方程组中Γ矩阵三角阵：
（8259）
限制Σ角阵限制Σ角元素成例等等
参数限制先验信息足够时保证结构方程参数唯
面出具体例子说明样间接二方法样利先验信息面模型4生变量4外生变量前定变量4方程：
（8260）
写成矩阵形式
（8261）
里
（8262）
注意矩阵中零元素表示方程中该处系数0种参数限制先验信息
简化式
（8263）
（8264）
里
（8265）
果知道估计写仔细点
（8266）
具体验证结构方程中第方程系数关系间关系式关系
（8267）
参数规化式中间两方程
（8268）
写成矩阵形式
（8269）
简化式中作出估计
（8270）
时解出代入系数关系式第1第4方程算出原结构方程第方程助系数限制完成简化式结构式系数估计
庆贺第结构方程成功检验第二方程系数关系间关系式中
（8271）
参数规化
（8272）
现4方程然三未知数果意挑选3方程解三未知数余关系事实两方程未知数两解：意味着关系式实际估计式未必遵守点两间接二估计相合估计未必效估计
检查结构方程式里第三方程系数关系关系方程：
（8273）
规化14方程然5未知数没唯解ILS方法第三方程没办法非补充关系数限制信息
第4方程果规化1
OLS方法直接应
面4方程反映OLS方法应时遇4种情况显然样分析实太繁
三模型识秩条件阶条件
联立方程模型结构方程式YΓ+XB+E0列写出
里Γi(M×1)未知量生变量系数Bi(K×1)未知量外生变量前定变量系数观测机量完整结构方程里系数关系
（8274）
者
（8275）
矩阵秩K式表示M+K变量中K方程未知数方程组需附加信息识
面确定联立方程中方程否识
假定线性齐次式约束加结构参数加正化规识方程识约束写作
（8276）
里Ri已知(J×(M+K))矩阵秩JJ＜M+K果Ri仅非0元素单位约束称作排斥约束意味着参数必须0相应变量出现方程中常种结构方程识条件
第i结构方程识基面两等式等式提供M+K参数K条信息等式必须提供M－1条信息加规化参数条件第i方程(M+K)结构参数根简化式参数估计解算出说第i方程参数识
两式合成
（8277）
加规化条件解算结构参数式左边第矩阵秩须
（8278）
果条件满足保证提供信息互相独立
秩条件非常容易验证矩阵Π元素结构参数函数关系太复杂幸证明式秩条件
（8279）
秩条件等价秩条件容易验证
矩阵M列第i列0元素秩M－1应该少M－1行Ri秩必须少M－1换句话说第i结构方程识必条件：先验约束
（8280）
等价J ≥ M－1里J约束数条件常称阶条件
阶条件模型识非充分出例子方程系数满足第i方程约束条件
（8281）
时结果意味着两列0秩等M2阶条件成立秩条件成立排第i方程外变量排第j方程外时种情况会发生
总结模型识问题
（1）果第i方程识时然第i方程定识种情况简化式参数估计里推算出结构式参数估计间接二方法失效方法作出结构参数相合估计
（2）果第i方程恰识时简化式参数估计唯推算出结构式参数估计估计相合估计效估计
（3）果第i方程识时简化式参数估计推算出结构式参数估计解答唯估计相合定效估计
段4方程例子第1方程
（8282）
阶条件满足R13行阶3M141检查秩条件计算出
（8283）
0时秩条件满足第方程精确识
第2方程Y3Y4X3X4排斥外约束矩阵R2必4行阶4阶条件满足进步秩条件
（8284）
秩3第2列0总结第(3)点知道方程识
第3方程识2变量排斥外R32行2＜M1
第4方程恰识3变量Y1Y2Y3排斥外R4阶33M1
R4前3列单位阵
（8285）
秩3
面总结关济模型识情况
（1）果方程仅仅包含生变量包含外生变量定识
（2）果方程包含变量定识
（3）果第i方程里排斥变量出现第j方程里定识
（4）果两方程包含完全相变量定识
（5）果第i方程里排斥变量样排斥第j方程外第i方程秩条件满足识
（6）果第i方程里排斥变量余M－1方程意组合中出现方程识
四联立性Hausman检验公众开支PR模型
果满足典二条件单方程应OLS参数估计应该相合估计效估计联立方程模型OLS估计相合估计节介绍二阶段二工具变量方法出相合估计效估计奇怪果代方法应没联立关系方程估计相合效(方差)求抛弃OLS青睐代方法前方程组联立性作出检验
已知道联立关系问题产生原某变量成生变量机扰动项误差项相关联立性检验基出发点检验生变量否机扰动项相关果相关代方法果相关OLS检验生变量机扰动项否相关Hausman检验
具体例子说明Hausman检验考虑两方程需求供模型：
需求函数 （8286）
供函数 （8287）
里
P 商品价格
Q 商品数量
I 收入
R 财富
误差项
Q区分QdQs里已蕴含恒等式Qd Qs
供函数中果没联立性问题PQ互相独立P应该相关方面果联立性问题P相关检查P底相关相关Hausman检验步骤首先作出简化式：
（8288）
中简化式机误差项简化式第方程OLS
（8289）
（8290）
里估计估计残差代入原结构式第二方程
（8291）
没联立性零假设相关系数应0式作回项系数应统计意义0果定显著性水项系数0显著性水拒绝零假设认存联立性
完成Hausman检验难方法推广元
进步结合关公众开支PindyckRubinfeld模型出数值例子研究美国联邦政府方政府公众开支Robert SPindyckDaniel LRubinfeld建立联立方程模型：
（8292）
（8293）
里
EXP 联邦方政府公众开支
AID 联邦补助水
INC 联邦收入
POP 联邦口数
PS 高级中学初级中学学生数
误差项
模型中INCPOPPS作外生变量
考虑EXPAID间联立关系首先AIDINCPOPPS作回考虑：
（8294）
误差项估计值EXPAIDINCPOP作回结果：
（8295）
样数20算t统计量－173查表t检验界值知道5显著性水(双侧)系数显著水没联立性问题10显著性水(双侧)系数显著认存联立性问题
便提原模型第方程作OLS结果
（8296）
趣EXP两回方程前间接二(ILS)AID系数450(应t统计量589)第二普通二(OLS)里AID系数324(应t统计量1364)然应t统计量
Hausman检验思想鉴变量究竟生变量外生变量
原确定变量究竟生变量外生变量先验信息研究者意图实统计方法联立方程模型3方程3假定生变量Y1Y2Y33肯定外生变量X1X2X3第方程
（8297）
果Y2Y3确实生变量然针式方程OLS知道Y2Y3确实生变量呢
仿Hausman检验思想先获关Y2Y3简化形式(求方程左边Y2Y3变量前定变量全部右边)Y2Y3估计添加式右边作回考虑方程
（8298）
作OLS系数否统计意义0果定显著性水Y2Y3作外生变量处理直接原模型第方程作OLS果定显著性水拒绝原假设Y2Y3作生变量结合整方程组综合考虑
算例824 联立性Hausman检验
联立性 Hausman 检验计算程序 例 824
考虑两方程 简化方程 PXπ+ν
原始结构方程 Qβ0+β1*P+ε
数文件求准备 第列 P 第二列 Q 列 X
果您方程资料 先作化简 整理
例824D 数文件中 n30 M4 6 列
数文件第列 P 资料 第二列 Q 资料 列 X 资料
显示原始资料 0显示 1显示 （1）
15147 16122 4182 1311 2100 14737
15509 15065 0215 1410 4445 1436
26246 18912 6285 0334 15756 8559
13304 14062 0500 1912 9611 12896
8037 17752 0473 7747 20981 3616
10728 17862 12203 3373 20200 14258
0319 15909 7738 7768 1266 3684
4277 12278 4141 11470 11616 0137
17049 14122 9517 11824 16209 12640
0759 17270 6649 9125 1741 12186
0982 13467 0503 0275 10522 16916
16860 13188 18774 2458 0716 6208
9410 19296 3143 9425 2855 0069
6624 10752 10368 17283 18274 0621
53021 12585 6984 2686 20596 14113
22518 11073 7692 4280 10135 2951
10337 17615 8695 3141 15655 0580
0543 14550 10428 0454 8836 9883
70098 12853 22248 13972 15188 9172
3018 14531 4193 3222 3265 1917
15949 12206 5034 1179 1374 0368
8928 10517 1483 1303 2117 4518
2896 18341 12356 11727 21618 4489
16382 16443 4776 3637 7291 3806
42096 18400 12531 11186 14939 1379
39287 15492 19360 6871 6908 5499
20765 16925 9337 9322 7875 14553
6766 14112 22321 20561 10423 8813
29611 10904 2215 11518 0551 23700
25924 18573 11282 1002 8025 13238
作回预测 键入 0预测 1预测 （0）
印拟合数 0印 1印 （0）
现作 Hausman 显著性检验
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a （005）
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 30 变量数 2
回方程 Y b0+b1*X1++b2*X2
Y 26430 + 4038 X1 + 5605 X2
回系数 b0 b1 b2 b2
26430 4038 5605
残差方 4819 回方 2375
误差方差估计 16062 标准差 12674
Hausman 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b20
F统计量 66547 F界值F(2 27) 3354
全相关系数 R 7168
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i12
t 界值 t( 27) 17033
回系数b1b 2t值 43835 27902
机项 ν t 值 27902 t 界值 17033
联立性 Hausman 检验显著 认存联立性
意键显示拟合图 第简化方程
计算结束
第三节 联立方程模型统计推断方法
前面两节建立联立方程模型出具体例子说明中统计推断问题描述模型识基情况方法现该具体出解决统计推断问题方法
方法包含间接二(ILS)广义二法(GLS)二阶段二法(2SLS)三阶段二法(3SLS)限信息似然估计法(LIML)完全信息似然估计法(FIML)等基思想作出参数相合估计效估计
间接二广义二
前面已讨识方程里间接二时问题先验参数约束太部分样信息构造参数估计估计般效信息未予需种样浪费样信息参数估计方法帮助构造渐效估计
考虑模型结构式里间接二方法问题明晰明确需修补改进方设模型第i方程
（831）
果掉系数0变量明确规化系数1方程记：
（832）
里
（833）
（834）
（835）
第i方程里系数0（说出现）生变量第i方程里系数0(说出现)外生变量前定变量YiXi第i方程里出现变量系数规化1变量(T×1)量Yi(T×(mi1))矩阵((mi1)×1)量Xi(T×ki)矩阵(ki×1))量(T×1)量Zi(YiXi)
（836）
结构式简化式系数关系第i方程里ΠΓi －Bi
（837）
里ΓiBi分ΓB第i列简化式里参数估计
（838）
相合估计面两式子写起
（839）
里变量YiXi结构参数估计式左(X′X)
（8310）
重排：
（8311）
注意X′(K×T)阶矩阵Zi(T×(mi1+ki))阶矩阵
（8312）
((mi1+ki)×1)阶量X′Zi(K×(mi1+ki))阶矩阵
果第i方程恰识求
（8313）
X′Zi成方阵样间接二估计
（8314）
然需假定(X′Zi)满秩间接二方法条件X′Zi方阵非奇异
果第i方程未识K＜mi1+ki矩阵X′Zi秩会超K样X′Zi方间接二方法
果第i方程识K＞mi1+ki参数约束关系未知参数然K关系式中注意取出mi1+ki构造参数估计估计式未必效毕竟部分信息抛弃
仔细检查等式等式关系知等式左代极限0量代然约前等式恰识方程工具变量估计现情况工具变量集合前定变量集合X识方程X中K工具变量需转换成mi1+ki变量获未知参数唯估计果误差量保留导致广义二方法
考虑第i方程
（8315）
变换统计模型：
（8316）
里X(T×K)外生变量滞生变量观察矩阵
应广义二需计算
（8317）
矩阵未知兴趣估计渐性质极限代假定
定方程应广义二：
（8318）
里假定矩阵逆存矩阵维数mi1+ki果逆存X秩K必须等Zi秩mi1+kimi1+ki≤K
（8319）
里第i方程里出现外生变量前定变量数目等式识联立方程组中方程必条件估计行结构式必须恰识者识识时式应严格等号
果结构式恰识K阶方阵广义二估计变间接二估计：
（8320）
时广义二估计视作工具变量估计工具变量(T×(mi1+ki))阶矩阵
面研究刚作广义二估计渐性质假定第i方程识X仅仅包含外生变量(包含滞变量)假定
（8321）
存矩阵ΣXX非奇异假定
（8322）
（8323）
求X独立
证明相合性代入：
（8324）
取概率极限：
（8325）
已假定估计
（8326）
（8327）
（8328）
（8329）
意味着极限存限记
（8330）
取转置
（8331）
估计概率极限：
（8332）
第i方程识秩mi1+ki非奇异保证式成立相合估计
考虑渐分布首先注意果正态分布正态分布均值0方差阵
（8333）
类似证明分布收敛均值0方差正态分布
类似
（8334）
（8335）
分布收敛均值0方差矩阵Q正态里
（8336）
估计相合样时方差矩阵似作
（8337）
矩阵估计
（8338）
中
（8339）
里均相合估计果Zi仅仅包含非机外生变量选择残差方差偏估计
算例831 间接二广义二
间接二广义二回计算程序 例 831
联立方程结构式 YΓ+XΒ+Ε0 Γ 非奇异时 化简化式 YXΠ+V (pp375) 参数变换式 ΠΓΒ VΓE
间接二两种情况 简化式作二 先验信息Π估计转化ΓΒ估计 结构式中明确 Y 系数 1 X 系数 0 (两种先验信息) 作二项程序根第二种情况编写
谓广义二 残差作进步处理 构造新模型 误差满足普通二条件
例数文件求前面 My 列变量 面 Mx 列变量者明确结构方程组中 方程 Y 系数1 明确方程中变量系数 0
请键入读入数文件名代号 （0）
1C21D 2C22D 3C23D 4C24D 5C25D
6C11D 7C12D 8C13D 9C14D 10C15D 0例831D
例831D 数文件中 n20 Mx5 My3
显示原始资料 0显示 1显示 （1） （见段表832）
35927 10296 57849 100 306 134 848 2800
41576 11438 65086 100 319 144 919 3500
…………………………………………………………………………………………
96742 20824 124699 100 809 619 2884 3800
110261 23543 140194 100 924 669 3436 4100
分开印 Y X 值 0印 1印 (0)
假定变量 方程
第 1 方程 请告知变量数块第列 (1)
第 1 方程 请告知变量(包括 X Y )列 (3)
请告知第 1 变量(包括XY)数块第列 (4)
请告知第 2 变量(包括XY)数块第列 (5)
请告知第 3 变量(包括XY)数块第列 (6)
印第 1 方程间接二回结果
次回变量变量
3592700 10000 30600 13400
4157600 10000 31900 14400
…………………………………………………………
9674200 10000 80900 61900
11026100 10000 92400 66900
印第 1 方程间接二回系数
1366624 813016 305261
现作线性回显著性检验 计算tFR 统计量
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a (005)
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 20 变量数 3
回方程 Y b1*X1++b3*X3
回系数 b1 b2 b3
1366624 813016 305261
残差方 13786570 回方 83038140
误差方差估计 68932870 标准差 830258
线 性 回 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b30
F统计量 321233 F界值F(3 16) 3239
全相关系数 R 9261
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i13
t 界值 t( 16) 17459
回系数b1b 3t值 6634 8581 3415
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0)
第 2 方程 请告知变量数块第列 (2)
第 2 方程 请告知变量(包括 X Y )列 (3)
请告知第 1 变量(包括XY)数块第列 (6)
请告知第 2 变量(包括XY)数块第列 (7)
请告知第 3 变量(包括XY)数块第列 (8)
印第 2 方程间接二回结果
次回变量变量
1029600 13400 84800 280000
1143800 14400 91900 350000
…………………………………………………………
2082400 61900 288400 380000
2354300 66900 343600 410000
印第 2 方程间接二回系数
19569 55537 13312
现作线性回显著性检验 计算tFR 统计量
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a (005)
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 20 变量数 3
回方程 Y b1*X1++b3*X3
回系数 b1 b2 b3
19569 55537 13312
残差方 375026 回方 4557966
误差方差估计 1875129 标准差 136935
线 性 回 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b30
F统计量 648200 F界值F(3 16) 3239
全相关系数 R 9345
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i13
t 界值 t( 16) 17459
回系数b1b 3t值 0903 10321 15466
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0)
第 3 方程 请告知变量数块第列 (3)
第 3 方程 请告知变量(包括 X Y )列 (3)
请告知第 1 变量(包括XY)数块第列 (5)
请告知第 2 变量(包括XY)数块第列 (6)
请告知第 3 变量(包括XY)数块第列 (7)
印第 3 方程间接二回结果
次回变量变量
5784900 30600 13400 84800
6508600 31900 14400 91900
…………………………………………………………
12469900 80900 61900 288400
14019400 92400 66900 343600
印第 3 方程间接二回系数
1189161 1363537 405328
现作线性回显著性检验 计算tFR 统计量
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a (005)
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 20 变量数 3
回方程 Y b1*X1++b3*X3
回系数 b1 b2 b3
1189161 1363537 405328
残差方 22130730 回方 152452500
误差方差估计 110653600 标准差 1051920
线 性 回 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b30
F统计量 367399 F界值F(3 16) 3239
全相关系数 R 8996
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i13
t 界值 t( 16) 17459
回系数b1b 3t值 10795 14307 13234
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0)
面计算广义二
第1方程
先印第 1 方程间接二回系数
1366624 813016 305261
基础计算广义二
现作线性回显著性检验 计算tFR 统计量
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a （005）
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 20 变量数 3
回方程 Y b1*X1++b3*X3
回系数 b1 b2 b3
1253844 761727 392183
残差方 106686 回方 10815680
误差方差估计 533430 标准差 73036
线 性 回 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b30
F统计量 5406864 F界值F(3 16) 3239
全相关系数 R 9951
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i13
t 界值 t( 16) 17459
回系数b1b 3t值 3653 4611 2298
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0)
Ctrl+C 中断计算立显示前拟合图
第2方程
先印第 2 方程间接二回系数
19569 55537 13312
基础计算广义二
现作线性回显著性检验 计算tFR 统计量
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a （005）
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 20 变量数 3
回方程 Y b1*X1++b3*X3
回系数 b1 b2 b3
4717 52168 13899
残差方 23051 回方 21929400
误差方差估计 115256 标准差 33949
线 性 回 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b30
F统计量 50737700 F界值F(3 16) 3239
全相关系数 R 9995
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i13
t 界值 t( 16) 17459
回系数b1b 3t值 0041 1840 2392
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0)
Ctrl+C 中断计算立显示前拟合图
第3方程
先印第 3 方程间接二回系数
1189161 1363537 405328
基础计算广义二
现作线性回显著性检验 计算tFR 统计量
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a (005)
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 20 变量数 3
回方程 Y b1*X1++b3*X3
回系数 b1 b2 b3
1379099 1455999 368791
残差方 174301 回方 4580232
误差方差估计 871507 标准差 93355
线 性 回 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b30
F统计量 1401475 F界值F(3 16) 3239
全相关系数 R 9776
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i13
t 界值 t( 16) 17459
回系数b1b 3t值 8311 10613 9284
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0)
计算结束
面显示三方程原始数拟合数6条曲线
二二阶段二三阶段二
广义二估计表达许形式解释较名Theil建立二阶段二方法(TwoStage Least Squares Estimate2SLS)导出二阶段二改写
（8340）
已知道结构式写成简化式
（8341）
式剖分取第i方程
（8342）
中yi第i存变量(T×1)量Yi包含第i方程里出现余变量矩阵专指第i方程里出现变量简化式里相应系数Πi二估计
（8343）
里(T×(mi1))矩阵利(X′X)1X′XI事实前面复杂剖分式继续简化：
（8344）
果记（定义见（836）式）二阶段二估计写
（8345）
估计然回方程
（8346）
普通二法
二阶段二（2SLS）法：
（1）统计模型YiXΠi+Vi中LSE估计简化式参数作出预测
（2）统计模型中LSE作出结构参数估计
结构方程中重复述步骤全部结构参数估计
前面已说明样二阶段二估计相合估计满足未必效估计单独方程获估计没利关信息第i方程里出现生变量提供信息没利关方差信息ZellnerTheil(1962)考虑点提出种三阶段二估计(ThreeStage Least Squares Estimate3SLS)作出结构参数仅相合效估计
面先叙述三阶段二(3SLS)方法
段讨第i方程时左X′i1…M行排
（8347）
果Kronecker积紧缩记
（8348）
里
（8349）
y(TM×1)量Z矩阵量TM×1量X外生变量假定独立方差阵
（8350）
里Σ未知(M×M)矩阵假定收敛非机极限相合估计式中ΣX′X代结果
述假设紧缩模型广义二
（8351）
X′X正定存正交阵P1前面述紧缩模型
（8352）
（8353）
里方差
式重写
（8354）
里式广义二
（8355）
两处结果样未知方差矩阵Σ关实现计算需估计利前面二阶段二结果：
（8356）
里前面二阶段二估计结果
（8357）
（8358）
p模型中估参数总数果模型中交叉方程系数限制取
（8359）
计算估计
（8360）
正三阶段二估计
总结三阶段二估计算：
（1）计算二阶段二估计利计算
（2）利作广义二计算三阶段二估计
面分析3SLS估计样性质先分解：
（8361）
证明相合估计假定M结构方程中识式取概率极限：
（8362）
已假定意味着估计式需估计者转置着思路分步进行
（8363）
（8364）
（8365）
果记转置
（8366）
（8367）
证明果结构方程识三阶段二估计相合估计
渐分布仿广义二情形时方法考虑：
（8368）
果服均值0方差
（8369）
正态分布渐服均值0方差正态分布二阶段二估计基础极限正态分布均值0方差
（8370）
相合估计
（8371）
作渐方差估计作段结束证明三阶段二估计二阶段二估计更效方差更
前面已求二阶段二估计行排列
（8372）
极限分布方差阵
（8373）
三阶段二估计方差阵
（8374）
现较两方差阵正定阵较办法作差果非负定记作计算：
（8375）
里
（8376）
正定阵非负定阵证明三阶段二估计二阶段二估计更效
算例832 二阶段二三阶段二
出具体数值例子演示二阶段二三阶段二计算程序然通程序设结构方程
（8377）
列排整齐：
（8377）
矩阵形式写成
（8378）
中YXT观察
（8379）
观察资料表采全书参考书目[21]
表832
Y1
Y2
Y3
3592700
1029600
6784900
10000
30600
13400
84800
280000
4157600
1143800
6508600
10000
31900
14400
91900
350000
4351100
1182300
6848700
10000
33000
15400
9900
370000
4401700
1204500
6804700
10000
34000
17100
110200
360000
4106600
1162500
6421900
10000
34800
18900
116400
290000
5303300
1402700
7874100
10000
36000
19900
127300
470000
5571500
1438400
8180600
10000
36800
22200
138000
500000
4728000
1282000
7121600
10000
37200
24300
145000
350000
4717600
1266500
7222300
10000
39200
24300
154700
330000
5383000
1410500
8114400
10000
41500
23100
166100
400000
5477600
1437100
8163600
10000
43500
23900
174000
380000
5390000
1423700
8077800
10000
43700
26300
188300
370000
6776000
1731300
9835300
10000
45900
26900
206200
560000
9438500
2232100
12929900
10000
52300
33500
237600
880000
8934200
1986400
11796400
10000
60400
58100
265200
620000
8710000
1918900
11347800
10000
63600
63800
274500
510000
7939300
1812700
10531600
10000
70400
61400
302800
290000
8503600
1805600
10859100
10000
78100
61400
254000
220000
9674200
2082400
12469900
10000
80900
61900
288400
380000
11026100
2354300
14049400
10000
92400
66900
343600
410000
观察资料表实际资料Monte Carlo方法发生发生资料时规定系数矩阵
（8380）
误差项服正态分布E[]0
（8381）
（8382）
发生资料ΓB
（8383）
然面列举ΓBΣΠ数字回计算未知参回计算表832中XY务已知模型形式(8377)出发利XY资料估计ΠΣΓB
估计Π第阶段工作容易模型(8378)假定存简化式：
（8384）
（8385）
者
（8386）
种变量线性回模型分开写
（8387）
已普通单变量线性回模型马OLS作出回系数Πi误差方差估计：
（8388）
（8389）
第阶段估计务完成
第二阶段回原模型(8377)方程中
取代方程右边(代左边)Yi回模型作出参数估计第方程
（8390）
里已知(T×1)资料量OLS估计出
第二方程
（8391）
里已知(T×1)量OLS估计出
第三方程
（8392）
估计出
算例未前面复杂理分析读者会说早知必第阶段回方程中代入原始资料回出系数嘛直接作OLS面列出直接OLS计算结果样回方程间Y1Y2Y3互相牵扯影响回结果统计性质(相合性渐效性)回方程右边取代Yi方程间Yi互相牵扯
前面理分析读者会觉晕头转真明白简单二阶段二法数学家说难懂数学家会复杂事情数学表述简单常简单事情表述复杂
面原始模型（832）第方程代入XiYi直接作OLS参数估计写成矩阵形式：
面二阶段二法估计：
见二阶段二结果普通二差前者更原始参数
二阶段二工作估计误差方差（8356）
（8393）
中T观察样总数p估参数总例T20p12M3原模型（8387）中右边代Yi二阶段二参数估计代入参数算出值左端二阶段估计值例中算：
二阶段二工作全部完成
未必形式马想作广义二改进估计性质公式（8361）（8365）结果联立方程组三阶段二估计
（8394）
中
（8395）
（8396）
（8397）
YiZiδi原始模型第i方程紧缩形式
（8398）
估计计算公式中Σ应该代入二阶段二估计Zi中Yi应该代入第阶段二结果(代原始资料)
编程计算三阶段二估计时（8394）中Kronecker积导致矩阵维数太高实现困难宁采原始方法反简单紧缩模型（8346）矩阵式
现问题取满秩分解右式
资料资料作OLS回系数右U三阶段二估计
例资料中三阶段二估计结果
例资料中二阶段二估计结果三阶段二估计结果更原始参数然般性结般情况应该三阶段二估计渐效性更
ΓB估计代入原始模型中系列方程作出种预测例中果取2SLS
预测角度许代入简化式更方便：
计算程需强调指出关结构方程非零系数确定需键入矩阵Γ（程序C）B（程序B）例言
C（21）1 C（31）1
C（12）1 C（32）0
C（13）0 C（23）1
C（11）C（22）C（33）1程序动赋值样读者正确键入方程系数
二阶段二三阶段二回计算程序 例 832
变量 Y 放前 My(<6) 列 变量 X 放 Mx(<10) 列
例832D 数文件中 n20 Mx5 My3
显示原始资料 0显示 1显示 (0)
分开印 Y X 值 0印 1印 (0)
印第阶段二结果 矩阵 Π
1378313 125428 106898
1085482 174090 1177522
140445 33120 79135
32125 10132 15603
61649 12084 74670
面确定联立方程形式
联立方程模型3 方程组成 方程形式
Y1C(21)*Y2+C(31)*Y3++B(11)*X1+B(21)*X2++B(51)* X5
Y2C(12)*Y1+C(32)*Y3++B(12)*X1+B(22)*X2++B(52)* X5
Y3C(13)*Y1+C(23)*Y2++B(13)*X1+B(23)*X2++B(53)* X5
总 左边次变量 Y 变量 右边出现左边变量
Y 系数 C(IJ) X 系数 B(IJ) 面确定 C(IJ)
B(IJ) 中 0 请注意行方程系数标号特点
请作出工作选择 0 例文件 动出 C B
1 文件逐键入 C B
矩阵 C 1 1 0
矩阵 C 1 1 1
矩阵 C 1 0 1
矩阵 B 1 1 1
矩阵 B 0 1 1
矩阵 B 0 1 0
矩阵 B 0 1 0
矩阵 B 0 0 1
面作第二阶段二
第 1 方程右边 3 非零系数
第1方程二阶段回系数 9424 2411 65711
第 2 方程右边 5 非零系数
第2方程二阶段回系数 196 39560 3868 6065 1643
第 3 方程右边 4 非零系数
第3方程二阶段回系数 1950 8919 80648 5055
印第二阶段二回结果
Y 回系数矩阵 Γ
10000 1960 0000
94236 10000 19505
24115 0000 10000
X 回系数矩阵 Β
657105 395598 89190
0000 38675 806480
0000 60651 0000
0000 16431 0000
0000 0000 50545
面作回预测 利简化式二阶段系数
印二阶段简化式回方程系数 Π
1422950 116684 138397
1105007 177919 1153504
148702 31504 61447
40286 8535 16647
63312 12410 74751
利二阶段简化式作回预测 0预测 1预测
显示 Y 回拟合数结果 0显示 1显示
显示 Y 回拟合图结果 0显示 1显示 (0)
印误差方差阵 Σ 估计 0印 1印 (1)
误差方差阵估计
83383 26128 0116
26128 16280 1211
0116 1211 110558
计算结束
三阶段回计算结果里省略
例样数(20)变量较(7)采二阶段二改进拟合效果想象回结果必高度拟合图果然拟合曲线原始资料贴条线图中实际6条线中间条Y1边条Y2边条Y3
三限信息完全信息极似然估计
前面谈联立方程参数估计方法没利含误差项里信息尤没考虑误差正态分布假设段考虑点先简化式写：
（8399）
者
（83100）
样误差假定ε概率密度函数
（83101）
推导y分布密度f (y)需考虑Jacobian变换结构方程组线性Jacobian变换仅含Γ矩阵行列式T次幂y密度
（83102）
yZ定δΣ视作参数时式似然函数求极化时等价数似然函数
（83103）
里
谓完全信息似然估计(Full Information Maximum Likelihood MethodFIML)考虑参数ΓBΣ种约束数似然函数极化ΓB零约束信息已包含δ中量δ仅仅包含非0结构系数果约束信息ΓB0约束需δΣ求极化时求导产生δ非线性函数果Σ没约束δ完全信息似然估计三阶段二估计相渐分布
方程组太时计算关δ非线性函数存计算困难作代方法单方程某方程子集似然估计方法限信息似然估计法(Limited Information Maximum Likelihood MethodsLIML)
第i方程估计未知结构参数：
（83104）
里Zi(YiXi)写yiYi联合密度：
（83105）
里(mi×mi)阶矩阵Σ*矩阵Σ分块阵y*y分段量包含y1…ymiZ*Z分块矩阵包含Z1…Zmiδ*δ分段量包含δ1…δmi式等价数似然函数
（83106）
第i结构方程识约束
（83107）
数似然函数极化δ*Σ*估计中δ*包含δi估计
继续考虑限信息似然估计方法前面推导出简化式（8249）中取前mi分块记作
（83108）
基V*似然函数
（83109）
中(mi×mi)分块阵取Jacobian变换等价数似然函数（8394）关Σ*数似然函数形式相般说LIML估计FIML估计效正2SLS估计3SLS估计效样
Pagan(1979)研究LIML计算问题认计算LIML估计够似关回技术方差阵角化方程变量分离开结构方程写成
（83110）
形式关Yi简化式写：
（83111）
里 (拉直运算)写法成立简化式里yiyk限制恰LIML限制谓似关回
（83112）
εi元素Vi列间方差阵分块成
（83113）
取逆矩阵分块
（83114）
δiπkLIML估计
（83115）
式中逆矩阵分块δiLIML：
中令建立限信息似然估计二阶段二估计间关系：
（83116）
中
算例833 限信息完全信息MLE
限信息完全信息似然估计计算程序 例 833
联立方程简化式 yZδ+ε ε～N(0Σ×IT) (83100) 里 Z 包含 Y 包含 X果Σ完全未知 需估计参数太 计算复杂倒说 计算结果信度成问题 计算结果难握解释简化计算 假定Σ角阵 样需估计参数δ1…δM σ1…σT充分利约束信息进步简化计算 方程分计算似然估计时方程需估计误差方差σ
例数文件求前面 My 列变量 面 Mx 列变量
者明确结构方程组中 方程 Y 系数1 明确方程中变量系数 0
例833D 数文件中 n30 Mx4 My2
显示原始资料 0显示 1显示 （1）
7796 6122 4182 1311 2100 14737
15065 0215 10575 1410 4445 1436
8912 6285 0334 15756 5829 8559
4062 0500 1912 9611 12896 7752
1517 0473 7747 20981 3616 7862
12203 3373 14085 20200 14258 5909
7738 7768 1266 3684 15783 2278
4141 11470 11616 0137 14122 9517
6019 11824 16209 12640 7270 6649
9125 1741 6598 12186 3467 0503
0275 10522 16916 3188 5680 18774
2458 0716 6208 9296 3143 9425
6525 2855 0069 0752 10368 17283
18274 0621 8758 2585 6984 2686
20596 14113 1073 7692 5817 4280
10135 2951 17615 8695 3141 15655
10222 0580 4550 10428 0454 8836
9883 12853 5311 22248 13972 15188
9172 4531 4193 3222 4001 3265
1917 2206 5034 1179 1374 0368
3257 10517 1483 1303 2117 4518
18341 12356 11979 11727 21618 4489
6443 4776 3637 7291 10818 3806
18400 12531 11186 14939 1379 5492
33267 19360 6871 6908 5499 6925
9337 9322 12409 7875 14553 4112
22321 20561 10423 8813 1012 10904
2215 11518 0551 23700 18573 11282
6692 1002 8025 13238 15286 15029
3111 8136 12310 16361 2804 14641
假定变量 方程
先计算间接二 计算似然估计
第 1 方程 请告知变量数块第列 （2）
第 1 方程 请告知变量(包括 X Y )列 （3）
请告知第 1 变量(包括XY)数块第列 （4）
请告知第 2 变量(包括XY)数块第列 （5）
请告知第 3 变量(包括XY)数块第列 （6）
印第 1 方程间接二回结果
印次回变量变量 0印 1印 （0）
次回变量变量
6122 1311 2100 14737
0215 1410 4445 1436
………………………………………………………
1002 13238 15286 15029
8136 16361 2804 14641
印第 1 方程间接二回系数
1568 3832 4058
印第 1 方程误差方差估计 6277
面计算似然估计
逐输入 POWELL 算法迭代初值 参考第次回结果
注意迭代初值方差估计值 必须正
X(1) （02）
X(2) (04)
X(3) (04)
X(4) (06)
印目标函数值迭代中变化 0印 1印 (0)
印POWELL算法回结果(般说 二效果差)
Y 2742 X1 + 2703 X2 + 0563 X3
误差方差估计 15242
似然函数极值 FY 213188
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0) (见图8331)
第 2 方程 请告知变量数块第列 (1)
第 2 方程 请告知变量(包括 X Y )列 (4)
请告知第 1 变量(包括XY)数块第列 (5)
请告知第 2 变量(包括XY)数块第列 (6)
请告知第 3 变量(包括XY)数块第列 (7)
请告知第 4 变量(包括XY)数块第列 (8)
印第 2 方程间接二回结果
印次回变量变量 0印 1印 (0)
次回变量变量
7796 4182 1311 2100 14737
15065 10575 1410 4445 1436
…………………………………………………………………………
6692 8025 13238 15286 15029
3111 12310 16361 2804 14641
印第 2 方程间接二回系数
0843 1884 2352 2949
印第 2 方程误差方差估计 13499
面计算似然估计
逐输入 POWELL 算法迭代初值 参考第次回结果
注意迭代初值方差估计值 必须正
X(1) (0)
X(2) (02)
X(3) (02)
X(4) (03)
X(5) (14)
印目标函数值迭代中变化 0印 1印 (0)
印POWELL算法回结果(般说 二效果差)
Y 4266 X1 + 6173 X2 + 8559 X3 + 1030X4
误差方差估计 28303
似然函数极值 FY 306012
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0) (见图8332)
计算结束
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第八章 联立方程模型
前章侧重讨单方程回模型含变量Y解释变量X模型里强调定X条件估计预测Y果关系清楚XY
许实际问题中种单信道单方关系没意义例果YX决定时干X分量Y决定时双信道联立关系谁变量谁变量变暖昧起遇种情况放块方程变量分生变量外生变量前定变量方程互相制约互相补充中单独解出某方程果实置方程顾强行普通二方法估计出参数参数估计仅偏相合估计说着样容量增参数估计收敛真实参数值假设方程组：
（801）
（802）
里Y1Y2互相赖生变量X1外生变量机扰动项变量Y1Y2机分布项果证明Y2独立Y1独立应LSE话估计相合估计
样致勾画出联立方程模型特处需研究解决问题
性急读者先算例832明白方法实简单面复杂理推导
第节 联立方程模型实例OLS估计相合性问题
面出具体联立方程模型普通二估计满足相合性
需求—供模型Keynesian模型工资－价格Phillips模型
先需求－供模型
商品价格P售出数量Q需求曲线供曲线交点决定假定需求供曲线简化线性添加机项需求供函数：
需求函数： （811）
供函数： （812）
衡条件： （813）
里P价格参数负数表示价格越高售出数量越少正数表示价格越高厂商该产品生产越
难出PQ互相存变量例受素(收入财富嗜等)影响发生改变需求曲线发生漂移图8111示：
P
P
P
S
P1
S
S
P0
D1
D1
D0
P0
P0
P1
D0
D0
Q1
Q0
Q
Q1
Q0
Q
Q
Q0
图8111
图显示改变导致需求曲线(D线)改变时价格P生产量Q发生改变样改变导致供应曲线(S线)发生改变时PQ发生改变PQ互相独立违反典二法基假定(关解释变量X机误差ε独立假定)
考虑简化Keynesian模型：
消费函数：0＜＜1 （814）
恒等式： （815）
中
C＝消费支出
Y＝收入
I＝投资(假定外生变量)
S＝储蓄
＝机分布项
参数
参数称作消费边际嗜(MPC)济理里0＜＜1投资I储蓄SYC+I国家收入恒等式改变消费曲线发生漂移图8112示消费投资增加时反影响收入促收入增加独立OLS应
CI
Y
Y2
Y1
图8112
面工资价格模型考虑货币工资价格决定Phillips模型：
（816）
（817）
里
货币工资改变率
UN 失业率
价格改变率
资成改变率
进口原料价格改变率
机扰动
价格影响工资工资影响价格机解释变量机误差项相关OLS应
二宏观济IS模型LM模型计量济Klein模型
著名宏观济IS模型(商品均衡模型)非机形式：
消费函数：0＜＜1 （818）
税收函数：0＜＜1 （819）
投资函数： （8110）
定义式： （8111）
政府开支： （8112）
国家收入恒等式 （8113）
中
Y 国家收入
C 消费支出
I 计划净投资
政府开支定水
T 税收
配置收入
利率
果关变量代入终代入式IS方程
（8114）
中
（8115）
（8116）
IS方程显示收入利率关系（图8113左）
r(利率)
r（利率）
IS
Y(收入)
Y(收入)
图8113
果算估计参数估计消费函数会样偏估计消费赖配置收入者赖国家收入YY赖r参数非考虑全部影响否单CYd样简单关系出偏估计
著名IS－LM范例半LM模型金融市场均衡模型综合考虑利率收入水建立金融市场清晰关系LM模型非机形式：
货币需求函数： （8117）
货币供函数： （8118）
均衡条件： （8119）
中
Y 收入
r 利率
假定货币供应水般政府决定
LM方程：模型中解
（8120）
中定LM曲线图示：
图8114
IS模型LM模型表示收入Y利率r关系递增函数递减函数然衡点应该两条曲线交点
面计量济Klein模型计量济学家建立许联立方程组形式计量济模型Klein模型宾夕法尼亚学Lawrence Klein教授建立：
消费函数： （8121）
投资函数： （8122）
劳动力需求： （8123）
恒等式： （8124）
恒等式： （8125）
恒等式： （8126）
中
C 消费支出
I 投资
G 政府开支
P 利润
W 私工资开销
W′政府工资开销
K 资股份
T 税收
Y 税收入
T 时刻
机扰动
模型中CIWYPK互相赖生变量Pt1Kt1Yt1前置变量模型里6方程(包括3恒等式)确定6生变量互相存关系
样里应OLS合适样容量相普通LSE未必收敛真值
面举具体联立方程模型例子般说联立方程模型里应包括
(1)行方程指济行需求供投资消费等
(2)技术方程指客观意志转移济技术数量关系
(3)制度方程指反映济法规济制度方程
(4)恒等式指定义定成立等式者种均衡条件
般说行方程技术方程含机扰动项方程表达济变量间基结构关系称结构方程
三OLS估计满足相合性
前面已说普通二方法适宜估计联立方程组中某单独模型样估计相合样数n趋穷时参数估计收敛真值收入确定模型(Keynesian模型)例假想估计模型中消费函数中参数假定(j≠0))Cov0样单模型典假定满足
先证明相关消费函数代入恒等式
（8127）
（8128）
（8129）
（8130）
（8131）
知道相关
面推证偏估计相合估计
（8132）
步里
两边取数学期
（8133）
然法计算知道非0否会偏估计
两边取极限已求
（8134）
说明相合估计
第二节 模型识间接二
回忆需求－供模型假关QP时间序列资料没附加信息知道估计需求函数供函数换句话说果认正估计需求函数保证确实估计什节研究解决正样关模型识问题
模型结构式简化式
先建立模型般形式
设M生变量Y1…YMT观察K外生变量前定变量X1…XkT观察模型含M机误差项T观察Y1…YMX1…XkT元量反映生变量外生变量前定变量机误差间联合关系联立方程模型写作
（821）
里方程组结构参数需利观察资料估计结构机扰动项假定稳元机程
（822）
（823）
（824）
压缩写
（825）
中ΣM×M半正定称阵联立方程组中某零误差Σ满秩估计中常假定Σ非奇异
果记
（826）
（827）
（828）
（829）
（8210）
联立方程模型写
（8211）
中YX样矩阵E观察机误差矩阵ΓB估系数矩阵Γ生变量Y系数阵B外生——前定变量X系数阵注意YE阶相ΓM阶方阵BK×M阶矩阵
果Γ非奇异YΓ+XB+E0
（8212）
（8213）
果记
（8214）
（8215）
联立方程模型演变简化形式：
（8216）
中称简化形式参数矩阵V称简化形式扰动矩阵简化形式作生变量成外生前定变量线性函数
果量行排联立方程模型简化形式写
（8217）
（8218）
例Keynesian模型结构方程：
消费函数 （8219）
恒等式 （8220）
C (消费)Y (收入)生变量I (投资)外生变量消C简化形式
（8221）
里
（8222）
果消Y种简化形式：
（8223）
里
（8224）
简化形式已没变量间暖昧关系应二法时估计称间接二(Indirect Least SquaresILS)估计样估计程做ILS
面叙述模型渐性质
关线性联立统计模型YΓ+XB+E0假定方程里误差项稳暂时相关般渐理
（8225）
表示样误差方差阵概率收敛限总体方差阵假定正态机量
（8226）
相应简化形式模型
（8227）
机误差量
（8228）
惯常常假定X元素非奇异协方差阵机程产生：
（8229）
般假设XEV相关
（8230）
（8231）
面出具体例子设联立方程模型
（8232）
（8233）
中Yi生变量观察量Xi非机外生变量观察量机量满足
（8234）
里
（8235）
令假设已知
（8236）
参数实值
YΓ+XB+E0形式写成联立方程结构式：
（8237）
相应简化式
（8238）
容易算出
（8239）
简化形式
（8240）
（8241）
相应渐结果
66+2591 （8242）
（8243）
（8244）
二简化式结构式参数估计
联立方程模型简化式
（8245）
果取第i方程i1…M
（8246）
二估计
（8247）
估计相合
（8248）
里果X非机偏
果假定模型简化式写
（8249）
参数广义二估计
（8250）
结果等方程分应LSE
机量方差
（8251）
未知M×M矩阵估计元素
（8252）
里
（8253）
某场合果提供关量先验知识例某系数0参数线性组合等综合起联立方程模型产生估计分开单独方程出估计更效(方差)
简化式作出LSE返回原结构式参数估计结构式简化式变换
（8254）
想返回结构式参数估计需转换马家明白转换结果唯
想结构参数唯估计需BΓΣ某先验知识许现实问题中列先验信息总存
(1)规化参数
(2)矩阵ΓB中0限制说某生变量外生变量前定变量出现方程中
(3)结构方程中参数限制
(4)联络结构方程参数限制
(5)Σ中某元素限制
例结构方程中总规化参数唯例数相联系第(2)种限制出现某结构方程关系式中例投资函数加速原理表达
（8255）
里It投资Yt收入果方程写
（8256）
意着第三种参数限制见CobbDouglas生产函数中弹性系数规定1第(4)种限制见两结构方程某变量样系数第(5)种参数限制举例说明设面递联立方程：
（8257）
（8258）
里规化1系统X1影响Y1Y1X1起影响Y2果假定独立话系统里二方法合适方差阵指定
OLS显然适合递方程组中第方程X1没关系OLS适第二方程相关Y1相关该递方程组中Γ矩阵三角阵：
（8259）
限制Σ角阵限制Σ角元素成例等等
参数限制先验信息足够时保证结构方程参数唯
面出具体例子说明样间接二方法样利先验信息面模型4生变量4外生变量前定变量4方程：
（8260）
写成矩阵形式
（8261）
里
（8262）
注意矩阵中零元素表示方程中该处系数0种参数限制先验信息
简化式
（8263）
（8264）
里
（8265）
果知道估计写仔细点
（8266）
具体验证结构方程中第方程系数关系间关系式关系
（8267）
参数规化式中间两方程
（8268）
写成矩阵形式
（8269）
简化式中作出估计
（8270）
时解出代入系数关系式第1第4方程算出原结构方程第方程助系数限制完成简化式结构式系数估计
庆贺第结构方程成功检验第二方程系数关系间关系式中
（8271）
参数规化
（8272）
现4方程然三未知数果意挑选3方程解三未知数余关系事实两方程未知数两解：意味着关系式实际估计式未必遵守点两间接二估计相合估计未必效估计
检查结构方程式里第三方程系数关系关系方程：
（8273）
规化14方程然5未知数没唯解ILS方法第三方程没办法非补充关系数限制信息
第4方程果规化1
OLS方法直接应
面4方程反映OLS方法应时遇4种情况显然样分析实太繁
三模型识秩条件阶条件
联立方程模型结构方程式YΓ+XB+E0列写出
里Γi(M×1)未知量生变量系数Bi(K×1)未知量外生变量前定变量系数观测机量完整结构方程里系数关系
（8274）
者
（8275）
矩阵秩K式表示M+K变量中K方程未知数方程组需附加信息识
面确定联立方程中方程否识
假定线性齐次式约束加结构参数加正化规识方程识约束写作
（8276）
里Ri已知(J×(M+K))矩阵秩JJ＜M+K果Ri仅非0元素单位约束称作排斥约束意味着参数必须0相应变量出现方程中常种结构方程识条件
第i结构方程识基面两等式等式提供M+K参数K条信息等式必须提供M－1条信息加规化参数条件第i方程(M+K)结构参数根简化式参数估计解算出说第i方程参数识
两式合成
（8277）
加规化条件解算结构参数式左边第矩阵秩须
（8278）
果条件满足保证提供信息互相独立
秩条件非常容易验证矩阵Π元素结构参数函数关系太复杂幸证明式秩条件
（8279）
秩条件等价秩条件容易验证
矩阵M列第i列0元素秩M－1应该少M－1行Ri秩必须少M－1换句话说第i结构方程识必条件：先验约束
（8280）
等价J ≥ M－1里J约束数条件常称阶条件
阶条件模型识非充分出例子方程系数满足第i方程约束条件
（8281）
时结果意味着两列0秩等M2阶条件成立秩条件成立排第i方程外变量排第j方程外时种情况会发生
总结模型识问题
（1）果第i方程识时然第i方程定识种情况简化式参数估计里推算出结构式参数估计间接二方法失效方法作出结构参数相合估计
（2）果第i方程恰识时简化式参数估计唯推算出结构式参数估计估计相合估计效估计
（3）果第i方程识时简化式参数估计推算出结构式参数估计解答唯估计相合定效估计
段4方程例子第1方程
（8282）
阶条件满足R13行阶3M141检查秩条件计算出
（8283）
0时秩条件满足第方程精确识
第2方程Y3Y4X3X4排斥外约束矩阵R2必4行阶4阶条件满足进步秩条件
（8284）
秩3第2列0总结第(3)点知道方程识
第3方程识2变量排斥外R32行2＜M1
第4方程恰识3变量Y1Y2Y3排斥外R4阶33M1
R4前3列单位阵
（8285）
秩3
面总结关济模型识情况
（1）果方程仅仅包含生变量包含外生变量定识
（2）果方程包含变量定识
（3）果第i方程里排斥变量出现第j方程里定识
（4）果两方程包含完全相变量定识
（5）果第i方程里排斥变量样排斥第j方程外第i方程秩条件满足识
（6）果第i方程里排斥变量余M－1方程意组合中出现方程识
四联立性Hausman检验公众开支PR模型
果满足典二条件单方程应OLS参数估计应该相合估计效估计联立方程模型OLS估计相合估计节介绍二阶段二工具变量方法出相合估计效估计奇怪果代方法应没联立关系方程估计相合效(方差)求抛弃OLS青睐代方法前方程组联立性作出检验
已知道联立关系问题产生原某变量成生变量机扰动项误差项相关联立性检验基出发点检验生变量否机扰动项相关果相关代方法果相关OLS检验生变量机扰动项否相关Hausman检验
具体例子说明Hausman检验考虑两方程需求供模型：
需求函数 （8286）
供函数 （8287）
里
P 商品价格
Q 商品数量
I 收入
R 财富
误差项
Q区分QdQs里已蕴含恒等式Qd Qs
供函数中果没联立性问题PQ互相独立P应该相关方面果联立性问题P相关检查P底相关相关Hausman检验步骤首先作出简化式：
（8288）
中简化式机误差项简化式第方程OLS
（8289）
（8290）
里估计估计残差代入原结构式第二方程
（8291）
没联立性零假设相关系数应0式作回项系数应统计意义0果定显著性水项系数0显著性水拒绝零假设认存联立性
完成Hausman检验难方法推广元
进步结合关公众开支PindyckRubinfeld模型出数值例子研究美国联邦政府方政府公众开支Robert SPindyckDaniel LRubinfeld建立联立方程模型：
（8292）
（8293）
里
EXP 联邦方政府公众开支
AID 联邦补助水
INC 联邦收入
POP 联邦口数
PS 高级中学初级中学学生数
误差项
模型中INCPOPPS作外生变量
考虑EXPAID间联立关系首先AIDINCPOPPS作回考虑：
（8294）
误差项估计值EXPAIDINCPOP作回结果：
（8295）
样数20算t统计量－173查表t检验界值知道5显著性水(双侧)系数显著水没联立性问题10显著性水(双侧)系数显著认存联立性问题
便提原模型第方程作OLS结果
（8296）
趣EXP两回方程前间接二(ILS)AID系数450(应t统计量589)第二普通二(OLS)里AID系数324(应t统计量1364)然应t统计量
Hausman检验思想鉴变量究竟生变量外生变量
原确定变量究竟生变量外生变量先验信息研究者意图实统计方法联立方程模型3方程3假定生变量Y1Y2Y33肯定外生变量X1X2X3第方程
（8297）
果Y2Y3确实生变量然针式方程OLS知道Y2Y3确实生变量呢
仿Hausman检验思想先获关Y2Y3简化形式(求方程左边Y2Y3变量前定变量全部右边)Y2Y3估计添加式右边作回考虑方程
（8298）
作OLS系数否统计意义0果定显著性水Y2Y3作外生变量处理直接原模型第方程作OLS果定显著性水拒绝原假设Y2Y3作生变量结合整方程组综合考虑
算例824 联立性Hausman检验
联立性 Hausman 检验计算程序 例 824
考虑两方程 简化方程 PXπ+ν
原始结构方程 Qβ0+β1*P+ε
数文件求准备 第列 P 第二列 Q 列 X
果您方程资料 先作化简 整理
例824D 数文件中 n30 M4 6 列
数文件第列 P 资料 第二列 Q 资料 列 X 资料
显示原始资料 0显示 1显示 （1）
15147 16122 4182 1311 2100 14737
15509 15065 0215 1410 4445 1436
26246 18912 6285 0334 15756 8559
13304 14062 0500 1912 9611 12896
8037 17752 0473 7747 20981 3616
10728 17862 12203 3373 20200 14258
0319 15909 7738 7768 1266 3684
4277 12278 4141 11470 11616 0137
17049 14122 9517 11824 16209 12640
0759 17270 6649 9125 1741 12186
0982 13467 0503 0275 10522 16916
16860 13188 18774 2458 0716 6208
9410 19296 3143 9425 2855 0069
6624 10752 10368 17283 18274 0621
53021 12585 6984 2686 20596 14113
22518 11073 7692 4280 10135 2951
10337 17615 8695 3141 15655 0580
0543 14550 10428 0454 8836 9883
70098 12853 22248 13972 15188 9172
3018 14531 4193 3222 3265 1917
15949 12206 5034 1179 1374 0368
8928 10517 1483 1303 2117 4518
2896 18341 12356 11727 21618 4489
16382 16443 4776 3637 7291 3806
42096 18400 12531 11186 14939 1379
39287 15492 19360 6871 6908 5499
20765 16925 9337 9322 7875 14553
6766 14112 22321 20561 10423 8813
29611 10904 2215 11518 0551 23700
25924 18573 11282 1002 8025 13238
作回预测 键入 0预测 1预测 （0）
印拟合数 0印 1印 （0）
现作 Hausman 显著性检验
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a （005）
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 30 变量数 2
回方程 Y b0+b1*X1++b2*X2
Y 26430 + 4038 X1 + 5605 X2
回系数 b0 b1 b2 b2
26430 4038 5605
残差方 4819 回方 2375
误差方差估计 16062 标准差 12674
Hausman 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b20
F统计量 66547 F界值F(2 27) 3354
全相关系数 R 7168
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i12
t 界值 t( 27) 17033
回系数b1b 2t值 43835 27902
机项 ν t 值 27902 t 界值 17033
联立性 Hausman 检验显著 认存联立性
意键显示拟合图 第简化方程
计算结束
第三节 联立方程模型统计推断方法
前面两节建立联立方程模型出具体例子说明中统计推断问题描述模型识基情况方法现该具体出解决统计推断问题方法
方法包含间接二(ILS)广义二法(GLS)二阶段二法(2SLS)三阶段二法(3SLS)限信息似然估计法(LIML)完全信息似然估计法(FIML)等基思想作出参数相合估计效估计
间接二广义二
前面已讨识方程里间接二时问题先验参数约束太部分样信息构造参数估计估计般效信息未予需种样浪费样信息参数估计方法帮助构造渐效估计
考虑模型结构式里间接二方法问题明晰明确需修补改进方设模型第i方程
（831）
果掉系数0变量明确规化系数1方程记：
（832）
里
（833）
（834）
（835）
第i方程里系数0（说出现）生变量第i方程里系数0(说出现)外生变量前定变量YiXi第i方程里出现变量系数规化1变量(T×1)量Yi(T×(mi1))矩阵((mi1)×1)量Xi(T×ki)矩阵(ki×1))量(T×1)量Zi(YiXi)
（836）
结构式简化式系数关系第i方程里ΠΓi －Bi
（837）
里ΓiBi分ΓB第i列简化式里参数估计
（838）
相合估计面两式子写起
（839）
里变量YiXi结构参数估计式左(X′X)
（8310）
重排：
（8311）
注意X′(K×T)阶矩阵Zi(T×(mi1+ki))阶矩阵
（8312）
((mi1+ki)×1)阶量X′Zi(K×(mi1+ki))阶矩阵
果第i方程恰识求
（8313）
X′Zi成方阵样间接二估计
（8314）
然需假定(X′Zi)满秩间接二方法条件X′Zi方阵非奇异
果第i方程未识K＜mi1+ki矩阵X′Zi秩会超K样X′Zi方间接二方法
果第i方程识K＞mi1+ki参数约束关系未知参数然K关系式中注意取出mi1+ki构造参数估计估计式未必效毕竟部分信息抛弃
仔细检查等式等式关系知等式左代极限0量代然约前等式恰识方程工具变量估计现情况工具变量集合前定变量集合X识方程X中K工具变量需转换成mi1+ki变量获未知参数唯估计果误差量保留导致广义二方法
考虑第i方程
（8315）
变换统计模型：
（8316）
里X(T×K)外生变量滞生变量观察矩阵
应广义二需计算
（8317）
矩阵未知兴趣估计渐性质极限代假定
定方程应广义二：
（8318）
里假定矩阵逆存矩阵维数mi1+ki果逆存X秩K必须等Zi秩mi1+kimi1+ki≤K
（8319）
里第i方程里出现外生变量前定变量数目等式识联立方程组中方程必条件估计行结构式必须恰识者识识时式应严格等号
果结构式恰识K阶方阵广义二估计变间接二估计：
（8320）
时广义二估计视作工具变量估计工具变量(T×(mi1+ki))阶矩阵
面研究刚作广义二估计渐性质假定第i方程识X仅仅包含外生变量(包含滞变量)假定
（8321）
存矩阵ΣXX非奇异假定
（8322）
（8323）
求X独立
证明相合性代入：
（8324）
取概率极限：
（8325）
已假定估计
（8326）
（8327）
（8328）
（8329）
意味着极限存限记
（8330）
取转置
（8331）
估计概率极限：
（8332）
第i方程识秩mi1+ki非奇异保证式成立相合估计
考虑渐分布首先注意果正态分布正态分布均值0方差阵
（8333）
类似证明分布收敛均值0方差正态分布
类似
（8334）
（8335）
分布收敛均值0方差矩阵Q正态里
（8336）
估计相合样时方差矩阵似作
（8337）
矩阵估计
（8338）
中
（8339）
里均相合估计果Zi仅仅包含非机外生变量选择残差方差偏估计
算例831 间接二广义二
间接二广义二回计算程序 例 831
联立方程结构式 YΓ+XΒ+Ε0 Γ 非奇异时 化简化式 YXΠ+V (pp375) 参数变换式 ΠΓΒ VΓE
间接二两种情况 简化式作二 先验信息Π估计转化ΓΒ估计 结构式中明确 Y 系数 1 X 系数 0 (两种先验信息) 作二项程序根第二种情况编写
谓广义二 残差作进步处理 构造新模型 误差满足普通二条件
例数文件求前面 My 列变量 面 Mx 列变量者明确结构方程组中 方程 Y 系数1 明确方程中变量系数 0
请键入读入数文件名代号 （0）
1C21D 2C22D 3C23D 4C24D 5C25D
6C11D 7C12D 8C13D 9C14D 10C15D 0例831D
例831D 数文件中 n20 Mx5 My3
显示原始资料 0显示 1显示 （1） （见段表832）
35927 10296 57849 100 306 134 848 2800
41576 11438 65086 100 319 144 919 3500
…………………………………………………………………………………………
96742 20824 124699 100 809 619 2884 3800
110261 23543 140194 100 924 669 3436 4100
分开印 Y X 值 0印 1印 (0)
假定变量 方程
第 1 方程 请告知变量数块第列 (1)
第 1 方程 请告知变量(包括 X Y )列 (3)
请告知第 1 变量(包括XY)数块第列 (4)
请告知第 2 变量(包括XY)数块第列 (5)
请告知第 3 变量(包括XY)数块第列 (6)
印第 1 方程间接二回结果
次回变量变量
3592700 10000 30600 13400
4157600 10000 31900 14400
…………………………………………………………
9674200 10000 80900 61900
11026100 10000 92400 66900
印第 1 方程间接二回系数
1366624 813016 305261
现作线性回显著性检验 计算tFR 统计量
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a (005)
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 20 变量数 3
回方程 Y b1*X1++b3*X3
回系数 b1 b2 b3
1366624 813016 305261
残差方 13786570 回方 83038140
误差方差估计 68932870 标准差 830258
线 性 回 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b30
F统计量 321233 F界值F(3 16) 3239
全相关系数 R 9261
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i13
t 界值 t( 16) 17459
回系数b1b 3t值 6634 8581 3415
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0)
第 2 方程 请告知变量数块第列 (2)
第 2 方程 请告知变量(包括 X Y )列 (3)
请告知第 1 变量(包括XY)数块第列 (6)
请告知第 2 变量(包括XY)数块第列 (7)
请告知第 3 变量(包括XY)数块第列 (8)
印第 2 方程间接二回结果
次回变量变量
1029600 13400 84800 280000
1143800 14400 91900 350000
…………………………………………………………
2082400 61900 288400 380000
2354300 66900 343600 410000
印第 2 方程间接二回系数
19569 55537 13312
现作线性回显著性检验 计算tFR 统计量
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a (005)
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 20 变量数 3
回方程 Y b1*X1++b3*X3
回系数 b1 b2 b3
19569 55537 13312
残差方 375026 回方 4557966
误差方差估计 1875129 标准差 136935
线 性 回 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b30
F统计量 648200 F界值F(3 16) 3239
全相关系数 R 9345
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i13
t 界值 t( 16) 17459
回系数b1b 3t值 0903 10321 15466
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0)
第 3 方程 请告知变量数块第列 (3)
第 3 方程 请告知变量(包括 X Y )列 (3)
请告知第 1 变量(包括XY)数块第列 (5)
请告知第 2 变量(包括XY)数块第列 (6)
请告知第 3 变量(包括XY)数块第列 (7)
印第 3 方程间接二回结果
次回变量变量
5784900 30600 13400 84800
6508600 31900 14400 91900
…………………………………………………………
12469900 80900 61900 288400
14019400 92400 66900 343600
印第 3 方程间接二回系数
1189161 1363537 405328
现作线性回显著性检验 计算tFR 统计量
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a (005)
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 20 变量数 3
回方程 Y b1*X1++b3*X3
回系数 b1 b2 b3
1189161 1363537 405328
残差方 22130730 回方 152452500
误差方差估计 110653600 标准差 1051920
线 性 回 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b30
F统计量 367399 F界值F(3 16) 3239
全相关系数 R 8996
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i13
t 界值 t( 16) 17459
回系数b1b 3t值 10795 14307 13234
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0)
面计算广义二
第1方程
先印第 1 方程间接二回系数
1366624 813016 305261
基础计算广义二
现作线性回显著性检验 计算tFR 统计量
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a （005）
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 20 变量数 3
回方程 Y b1*X1++b3*X3
回系数 b1 b2 b3
1253844 761727 392183
残差方 106686 回方 10815680
误差方差估计 533430 标准差 73036
线 性 回 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b30
F统计量 5406864 F界值F(3 16) 3239
全相关系数 R 9951
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i13
t 界值 t( 16) 17459
回系数b1b 3t值 3653 4611 2298
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0)
Ctrl+C 中断计算立显示前拟合图
第2方程
先印第 2 方程间接二回系数
19569 55537 13312
基础计算广义二
现作线性回显著性检验 计算tFR 统计量
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a （005）
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 20 变量数 3
回方程 Y b1*X1++b3*X3
回系数 b1 b2 b3
4717 52168 13899
残差方 23051 回方 21929400
误差方差估计 115256 标准差 33949
线 性 回 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b30
F统计量 50737700 F界值F(3 16) 3239
全相关系数 R 9995
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i13
t 界值 t( 16) 17459
回系数b1b 3t值 0041 1840 2392
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0)
Ctrl+C 中断计算立显示前拟合图
第3方程
先印第 3 方程间接二回系数
1189161 1363537 405328
基础计算广义二
现作线性回显著性检验 计算tFR 统计量
请输入显著性水a 通常取a001 005 010 a (005)
线 性 回 分 析 计 算 结 果
样总数 20 变量数 3
回方程 Y b1*X1++b3*X3
回系数 b1 b2 b3
1379099 1455999 368791
残差方 174301 回方 4580232
误差方差估计 871507 标准差 93355
线 性 回 显 着 性 检 验 显著性水 050
回方程整体显著性F检验 H0b0b1b30
F统计量 1401475 F界值F(3 16) 3239
全相关系数 R 9776
回系数逐显著性t检验 H0bi0 i13
t 界值 t( 16) 17459
回系数b1b 3t值 8311 10613 9284
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0)
计算结束
面显示三方程原始数拟合数6条曲线
二二阶段二三阶段二
广义二估计表达许形式解释较名Theil建立二阶段二方法(TwoStage Least Squares Estimate2SLS)导出二阶段二改写
（8340）
已知道结构式写成简化式
（8341）
式剖分取第i方程
（8342）
中yi第i存变量(T×1)量Yi包含第i方程里出现余变量矩阵专指第i方程里出现变量简化式里相应系数Πi二估计
（8343）
里(T×(mi1))矩阵利(X′X)1X′XI事实前面复杂剖分式继续简化：
（8344）
果记（定义见（836）式）二阶段二估计写
（8345）
估计然回方程
（8346）
普通二法
二阶段二（2SLS）法：
（1）统计模型YiXΠi+Vi中LSE估计简化式参数作出预测
（2）统计模型中LSE作出结构参数估计
结构方程中重复述步骤全部结构参数估计
前面已说明样二阶段二估计相合估计满足未必效估计单独方程获估计没利关信息第i方程里出现生变量提供信息没利关方差信息ZellnerTheil(1962)考虑点提出种三阶段二估计(ThreeStage Least Squares Estimate3SLS)作出结构参数仅相合效估计
面先叙述三阶段二(3SLS)方法
段讨第i方程时左X′i1…M行排
（8347）
果Kronecker积紧缩记
（8348）
里
（8349）
y(TM×1)量Z矩阵量TM×1量X外生变量假定独立方差阵
（8350）
里Σ未知(M×M)矩阵假定收敛非机极限相合估计式中ΣX′X代结果
述假设紧缩模型广义二
（8351）
X′X正定存正交阵P1前面述紧缩模型
（8352）
（8353）
里方差
式重写
（8354）
里式广义二
（8355）
两处结果样未知方差矩阵Σ关实现计算需估计利前面二阶段二结果：
（8356）
里前面二阶段二估计结果
（8357）
（8358）
p模型中估参数总数果模型中交叉方程系数限制取
（8359）
计算估计
（8360）
正三阶段二估计
总结三阶段二估计算：
（1）计算二阶段二估计利计算
（2）利作广义二计算三阶段二估计
面分析3SLS估计样性质先分解：
（8361）
证明相合估计假定M结构方程中识式取概率极限：
（8362）
已假定意味着估计式需估计者转置着思路分步进行
（8363）
（8364）
（8365）
果记转置
（8366）
（8367）
证明果结构方程识三阶段二估计相合估计
渐分布仿广义二情形时方法考虑：
（8368）
果服均值0方差
（8369）
正态分布渐服均值0方差正态分布二阶段二估计基础极限正态分布均值0方差
（8370）
相合估计
（8371）
作渐方差估计作段结束证明三阶段二估计二阶段二估计更效方差更
前面已求二阶段二估计行排列
（8372）
极限分布方差阵
（8373）
三阶段二估计方差阵
（8374）
现较两方差阵正定阵较办法作差果非负定记作计算：
（8375）
里
（8376）
正定阵非负定阵证明三阶段二估计二阶段二估计更效
算例832 二阶段二三阶段二
出具体数值例子演示二阶段二三阶段二计算程序然通程序设结构方程
（8377）
列排整齐：
（8377）
矩阵形式写成
（8378）
中YXT观察
（8379）
观察资料表采全书参考书目[21]
表832
Y1
Y2
Y3
3592700
1029600
6784900
10000
30600
13400
84800
280000
4157600
1143800
6508600
10000
31900
14400
91900
350000
4351100
1182300
6848700
10000
33000
15400
9900
370000
4401700
1204500
6804700
10000
34000
17100
110200
360000
4106600
1162500
6421900
10000
34800
18900
116400
290000
5303300
1402700
7874100
10000
36000
19900
127300
470000
5571500
1438400
8180600
10000
36800
22200
138000
500000
4728000
1282000
7121600
10000
37200
24300
145000
350000
4717600
1266500
7222300
10000
39200
24300
154700
330000
5383000
1410500
8114400
10000
41500
23100
166100
400000
5477600
1437100
8163600
10000
43500
23900
174000
380000
5390000
1423700
8077800
10000
43700
26300
188300
370000
6776000
1731300
9835300
10000
45900
26900
206200
560000
9438500
2232100
12929900
10000
52300
33500
237600
880000
8934200
1986400
11796400
10000
60400
58100
265200
620000
8710000
1918900
11347800
10000
63600
63800
274500
510000
7939300
1812700
10531600
10000
70400
61400
302800
290000
8503600
1805600
10859100
10000
78100
61400
254000
220000
9674200
2082400
12469900
10000
80900
61900
288400
380000
11026100
2354300
14049400
10000
92400
66900
343600
410000
观察资料表实际资料Monte Carlo方法发生发生资料时规定系数矩阵
（8380）
误差项服正态分布E[]0
（8381）
（8382）
发生资料ΓB
（8383）
然面列举ΓBΣΠ数字回计算未知参回计算表832中XY务已知模型形式(8377)出发利XY资料估计ΠΣΓB
估计Π第阶段工作容易模型(8378)假定存简化式：
（8384）
（8385）
者
（8386）
种变量线性回模型分开写
（8387）
已普通单变量线性回模型马OLS作出回系数Πi误差方差估计：
（8388）
（8389）
第阶段估计务完成
第二阶段回原模型(8377)方程中
取代方程右边(代左边)Yi回模型作出参数估计第方程
（8390）
里已知(T×1)资料量OLS估计出
第二方程
（8391）
里已知(T×1)量OLS估计出
第三方程
（8392）
估计出
算例未前面复杂理分析读者会说早知必第阶段回方程中代入原始资料回出系数嘛直接作OLS面列出直接OLS计算结果样回方程间Y1Y2Y3互相牵扯影响回结果统计性质(相合性渐效性)回方程右边取代Yi方程间Yi互相牵扯
前面理分析读者会觉晕头转真明白简单二阶段二法数学家说难懂数学家会复杂事情数学表述简单常简单事情表述复杂
面原始模型（832）第方程代入XiYi直接作OLS参数估计写成矩阵形式：
面二阶段二法估计：
见二阶段二结果普通二差前者更原始参数
二阶段二工作估计误差方差（8356）
（8393）
中T观察样总数p估参数总例T20p12M3原模型（8387）中右边代Yi二阶段二参数估计代入参数算出值左端二阶段估计值例中算：
二阶段二工作全部完成
未必形式马想作广义二改进估计性质公式（8361）（8365）结果联立方程组三阶段二估计
（8394）
中
（8395）
（8396）
（8397）
YiZiδi原始模型第i方程紧缩形式
（8398）
估计计算公式中Σ应该代入二阶段二估计Zi中Yi应该代入第阶段二结果(代原始资料)
编程计算三阶段二估计时（8394）中Kronecker积导致矩阵维数太高实现困难宁采原始方法反简单紧缩模型（8346）矩阵式
现问题取满秩分解右式
资料资料作OLS回系数右U三阶段二估计
例资料中三阶段二估计结果
例资料中二阶段二估计结果三阶段二估计结果更原始参数然般性结般情况应该三阶段二估计渐效性更
ΓB估计代入原始模型中系列方程作出种预测例中果取2SLS
预测角度许代入简化式更方便：
计算程需强调指出关结构方程非零系数确定需键入矩阵Γ（程序C）B（程序B）例言
C（21）1 C（31）1
C（12）1 C（32）0
C（13）0 C（23）1
C（11）C（22）C（33）1程序动赋值样读者正确键入方程系数
二阶段二三阶段二回计算程序 例 832
变量 Y 放前 My(<6) 列 变量 X 放 Mx(<10) 列
例832D 数文件中 n20 Mx5 My3
显示原始资料 0显示 1显示 (0)
分开印 Y X 值 0印 1印 (0)
印第阶段二结果 矩阵 Π
1378313 125428 106898
1085482 174090 1177522
140445 33120 79135
32125 10132 15603
61649 12084 74670
面确定联立方程形式
联立方程模型3 方程组成 方程形式
Y1C(21)*Y2+C(31)*Y3++B(11)*X1+B(21)*X2++B(51)* X5
Y2C(12)*Y1+C(32)*Y3++B(12)*X1+B(22)*X2++B(52)* X5
Y3C(13)*Y1+C(23)*Y2++B(13)*X1+B(23)*X2++B(53)* X5
总 左边次变量 Y 变量 右边出现左边变量
Y 系数 C(IJ) X 系数 B(IJ) 面确定 C(IJ)
B(IJ) 中 0 请注意行方程系数标号特点
请作出工作选择 0 例文件 动出 C B
1 文件逐键入 C B
矩阵 C 1 1 0
矩阵 C 1 1 1
矩阵 C 1 0 1
矩阵 B 1 1 1
矩阵 B 0 1 1
矩阵 B 0 1 0
矩阵 B 0 1 0
矩阵 B 0 0 1
面作第二阶段二
第 1 方程右边 3 非零系数
第1方程二阶段回系数 9424 2411 65711
第 2 方程右边 5 非零系数
第2方程二阶段回系数 196 39560 3868 6065 1643
第 3 方程右边 4 非零系数
第3方程二阶段回系数 1950 8919 80648 5055
印第二阶段二回结果
Y 回系数矩阵 Γ
10000 1960 0000
94236 10000 19505
24115 0000 10000
X 回系数矩阵 Β
657105 395598 89190
0000 38675 806480
0000 60651 0000
0000 16431 0000
0000 0000 50545
面作回预测 利简化式二阶段系数
印二阶段简化式回方程系数 Π
1422950 116684 138397
1105007 177919 1153504
148702 31504 61447
40286 8535 16647
63312 12410 74751
利二阶段简化式作回预测 0预测 1预测
显示 Y 回拟合数结果 0显示 1显示
显示 Y 回拟合图结果 0显示 1显示 (0)
印误差方差阵 Σ 估计 0印 1印 (1)
误差方差阵估计
83383 26128 0116
26128 16280 1211
0116 1211 110558
计算结束
三阶段回计算结果里省略
例样数(20)变量较(7)采二阶段二改进拟合效果想象回结果必高度拟合图果然拟合曲线原始资料贴条线图中实际6条线中间条Y1边条Y2边条Y3
三限信息完全信息极似然估计
前面谈联立方程参数估计方法没利含误差项里信息尤没考虑误差正态分布假设段考虑点先简化式写：
（8399）
者
（83100）
样误差假定ε概率密度函数
（83101）
推导y分布密度f (y)需考虑Jacobian变换结构方程组线性Jacobian变换仅含Γ矩阵行列式T次幂y密度
（83102）
yZ定δΣ视作参数时式似然函数求极化时等价数似然函数
（83103）
里
谓完全信息似然估计(Full Information Maximum Likelihood MethodFIML)考虑参数ΓBΣ种约束数似然函数极化ΓB零约束信息已包含δ中量δ仅仅包含非0结构系数果约束信息ΓB0约束需δΣ求极化时求导产生δ非线性函数果Σ没约束δ完全信息似然估计三阶段二估计相渐分布
方程组太时计算关δ非线性函数存计算困难作代方法单方程某方程子集似然估计方法限信息似然估计法(Limited Information Maximum Likelihood MethodsLIML)
第i方程估计未知结构参数：
（83104）
里Zi(YiXi)写yiYi联合密度：
（83105）
里(mi×mi)阶矩阵Σ*矩阵Σ分块阵y*y分段量包含y1…ymiZ*Z分块矩阵包含Z1…Zmiδ*δ分段量包含δ1…δmi式等价数似然函数
（83106）
第i结构方程识约束
（83107）
数似然函数极化δ*Σ*估计中δ*包含δi估计
继续考虑限信息似然估计方法前面推导出简化式（8249）中取前mi分块记作
（83108）
基V*似然函数
（83109）
中(mi×mi)分块阵取Jacobian变换等价数似然函数（8394）关Σ*数似然函数形式相般说LIML估计FIML估计效正2SLS估计3SLS估计效样
Pagan(1979)研究LIML计算问题认计算LIML估计够似关回技术方差阵角化方程变量分离开结构方程写成
（83110）
形式关Yi简化式写：
（83111）
里 (拉直运算)写法成立简化式里yiyk限制恰LIML限制谓似关回
（83112）
εi元素Vi列间方差阵分块成
（83113）
取逆矩阵分块
（83114）
δiπkLIML估计
（83115）
式中逆矩阵分块δiLIML：
中令建立限信息似然估计二阶段二估计间关系：
（83116）
中
算例833 限信息完全信息MLE
限信息完全信息似然估计计算程序 例 833
联立方程简化式 yZδ+ε ε～N(0Σ×IT) (83100) 里 Z 包含 Y 包含 X果Σ完全未知 需估计参数太 计算复杂倒说 计算结果信度成问题 计算结果难握解释简化计算 假定Σ角阵 样需估计参数δ1…δM σ1…σT充分利约束信息进步简化计算 方程分计算似然估计时方程需估计误差方差σ
例数文件求前面 My 列变量 面 Mx 列变量
者明确结构方程组中 方程 Y 系数1 明确方程中变量系数 0
例833D 数文件中 n30 Mx4 My2
显示原始资料 0显示 1显示 （1）
7796 6122 4182 1311 2100 14737
15065 0215 10575 1410 4445 1436
8912 6285 0334 15756 5829 8559
4062 0500 1912 9611 12896 7752
1517 0473 7747 20981 3616 7862
12203 3373 14085 20200 14258 5909
7738 7768 1266 3684 15783 2278
4141 11470 11616 0137 14122 9517
6019 11824 16209 12640 7270 6649
9125 1741 6598 12186 3467 0503
0275 10522 16916 3188 5680 18774
2458 0716 6208 9296 3143 9425
6525 2855 0069 0752 10368 17283
18274 0621 8758 2585 6984 2686
20596 14113 1073 7692 5817 4280
10135 2951 17615 8695 3141 15655
10222 0580 4550 10428 0454 8836
9883 12853 5311 22248 13972 15188
9172 4531 4193 3222 4001 3265
1917 2206 5034 1179 1374 0368
3257 10517 1483 1303 2117 4518
18341 12356 11979 11727 21618 4489
6443 4776 3637 7291 10818 3806
18400 12531 11186 14939 1379 5492
33267 19360 6871 6908 5499 6925
9337 9322 12409 7875 14553 4112
22321 20561 10423 8813 1012 10904
2215 11518 0551 23700 18573 11282
6692 1002 8025 13238 15286 15029
3111 8136 12310 16361 2804 14641
假定变量 方程
先计算间接二 计算似然估计
第 1 方程 请告知变量数块第列 （2）
第 1 方程 请告知变量(包括 X Y )列 （3）
请告知第 1 变量(包括XY)数块第列 （4）
请告知第 2 变量(包括XY)数块第列 （5）
请告知第 3 变量(包括XY)数块第列 （6）
印第 1 方程间接二回结果
印次回变量变量 0印 1印 （0）
次回变量变量
6122 1311 2100 14737
0215 1410 4445 1436
………………………………………………………
1002 13238 15286 15029
8136 16361 2804 14641
印第 1 方程间接二回系数
1568 3832 4058
印第 1 方程误差方差估计 6277
面计算似然估计
逐输入 POWELL 算法迭代初值 参考第次回结果
注意迭代初值方差估计值 必须正
X(1) （02）
X(2) (04)
X(3) (04)
X(4) (06)
印目标函数值迭代中变化 0印 1印 (0)
印POWELL算法回结果(般说 二效果差)
Y 2742 X1 + 2703 X2 + 0563 X3
误差方差估计 15242
似然函数极值 FY 213188
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0) (见图8331)
第 2 方程 请告知变量数块第列 (1)
第 2 方程 请告知变量(包括 X Y )列 (4)
请告知第 1 变量(包括XY)数块第列 (5)
请告知第 2 变量(包括XY)数块第列 (6)
请告知第 3 变量(包括XY)数块第列 (7)
请告知第 4 变量(包括XY)数块第列 (8)
印第 2 方程间接二回结果
印次回变量变量 0印 1印 (0)
次回变量变量
7796 4182 1311 2100 14737
15065 10575 1410 4445 1436
…………………………………………………………………………
6692 8025 13238 15286 15029
3111 12310 16361 2804 14641
印第 2 方程间接二回系数
0843 1884 2352 2949
印第 2 方程误差方差估计 13499
面计算似然估计
逐输入 POWELL 算法迭代初值 参考第次回结果
注意迭代初值方差估计值 必须正
X(1) (0)
X(2) (02)
X(3) (02)
X(4) (03)
X(5) (14)
印目标函数值迭代中变化 0印 1印 (0)
印POWELL算法回结果(般说 二效果差)
Y 4266 X1 + 6173 X2 + 8559 X3 + 1030X4
误差方差估计 28303
似然函数极值 FY 306012
作回预测 键入 0预测 1预测 (0)
印拟合数 0印 1印 (0) (见图8332)
计算结束
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