选择题(12题题5分60分.题出四选项中项符合题目求.)
1.(5分)复数( )
A.2+i B.2﹣i C.1+2i D.1﹣2i
2.(5分)已知集合A{13}B{1m}A∪BAm值( )
A.0 B.03 C.1 D.13
3.(5分)椭圆中心原点焦距4条准线x﹣4该椭圆方程( )
A. B. C. D.
4.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中AB2CC12ECC1中点直线AC1面BED距离( )
A.2 B. C. D.1
5.(5分)已知等差数列{an}前n项Sna55S515数列前100项( )
A. B. C. D.
6.(5分)△ABC中AB边高CD•0||1||2( )
A. B. C. D.
7.(5分)已知α第二象限角cos2α( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
8.(5分)已知F1F2双曲线C:x2﹣y22左右焦点点PC|PF1|2|PF2|cos∠F1PF2( )
A. B. C. D.
9.(5分)已知xlnπylog52( )
A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x
10.(5分)已知函数yx3﹣3x+c图象x轴恰两公点c( )
A.﹣22 B.﹣93 C.﹣11 D.﹣31
11.(5分)字母aabbcc排成三行两列求行字母互相列字母互相排列方法( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
12.(5分)正方形ABCD边长1点E边AB点F边BC动点PE出发直线F运动碰正方形边时反弹反弹时反射角等入射角点P第次碰E时P正方形边碰撞次数( )
A.16 B.14 C.12 D.10
二填空题:题4题题5分20分答案填题中横线.(注意:试题卷作答效)
13.(5分)xy满足约束条件z3x﹣y值 .
14.(5分)函数ysinx﹣cosx(0≤x<2π)取值时x .
15.(5分)展开式中第3项第7项二项式系数相等该展开式中系数 .
16.(5分)三棱柱ABC﹣A1B1C1中底面边长侧棱长相等∠BAA1∠CAA160°异面直线AB1BC1成角余弦值 .
三解答题:题6题70分解答应写出文字说明证明程演算步骤.
17.(10分)△ABC角ABC边分abc已知cos(A﹣C)+cosB1a2c求C.
18.(12分)图四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD菱形PA⊥底面ABCDPA2EPC点PE2EC.
(Ⅰ)证明:PC⊥面BED
(Ⅱ)设二面角A﹣PB﹣C90°求PD面PBC成角.
19.(12分)乒乓球赛规规定:局赛双方分10前方连续发球2次方连续发球2次次轮换.次发球胜方1分负方0分.设甲乙赛中次发球发球方1分概率06次发球胜负结果相互独立.甲乙局赛中甲先发球.
(Ⅰ)求开始第4次发球时甲乙分12概率
(Ⅱ)ξ表示开始第4次发球时乙分求ξ期.
20.(12分)设函数f(x)ax+cosxx∈[0π].
(Ⅰ)讨f(x)单调性
(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx求a取值范围.
21.(12分)已知抛物线C:y(x+1)2圆(r>0)公点AA处两曲线切线直线l.
(Ⅰ)求r
(Ⅱ)设mn异lCM相切两条直线mn交点D求Dl距离.
22.(12分)函数f(x)x2﹣2x﹣3定义数列{ xn}:x12xn+1两点P(45)Qn( xnf( xn))直线PQnx轴交点横坐标.
(Ⅰ)证明:2≤xn<xn+1<3
(Ⅱ)求数列{ xn}通项公式.
2012年全国统高考数学试卷(理科)(纲版)
参考答案试题解析
选择题(12题题5分60分.题出四选项中项符合题目求.)
1.(5分)复数( )
A.2+i B.2﹣i C.1+2i D.1﹣2i
考点A5:复数运算.菁优网版权
专题11:计算题.
分析分子分母分母轭复数利复数代数形式运算求出结果.
解答解:
1+2i.
选:C.
点评题考查复数代数形式运算基础题.解题时认真审题仔细解答.
2.(5分)已知集合A{13}B{1m}A∪BAm值( )
A.0 B.03 C.1 D.13
考点1C:集合关系中参数取值问题.菁优网版权
专题5J:集合.
分析题设条件中题先条件A∪BA出B⊆A判断出参数m取值进行验证出答案选出正确选项.
解答解:题意A∪BAB⊆AB{1m}
∴m3m解m3m0m1
验证知m1满足集合互异性m0m3求
选:B.
点评题考查集合中参数取值问题解题关键条件A∪BA转化B⊆A集合包含关系出参数取值.
3.(5分)椭圆中心原点焦距4条准线x﹣4该椭圆方程( )
A. B.
C. D.
考点K3:椭圆标准方程K4:椭圆性质.菁优网版权
专题11:计算题.
分析确定椭圆焦点x轴根焦距4条准线x﹣4求出量求椭圆方程.
解答解:题意椭圆焦点x轴
∴c2a28
∴b2a2﹣c24
∴椭圆方程
选:C.
点评题考查椭圆标准方程考查椭圆性质属基础题.
4.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中AB2CC12ECC1中点直线AC1面BED距离( )
A.2 B. C. D.1
考点MI:直线面成角.菁优网版权
专题11:计算题.
分析先利线面行判定定理证明直线C1A∥面BDE线面距离转化点面距离利等体积法求点面距离
解答解:图:连接AC交BDO三角形CC1A中易证OE∥C1AC1A∥面BDE
∴直线AC1面BED距离点A面BED距离设h
三棱锥E﹣ABD中VE﹣ABDS△ABD×EC××2×2×
三棱锥A﹣BDE中BD2BEDE∴S△EBD×2×2
∴VA﹣BDE×S△EBD×h×2×h
∴h1
选:D.
点评题考查线面行判定线面距离点面距离转化三棱锥体积计算方法等体积法求点面距离技巧属基础题
5.(5分)已知等差数列{an}前n项Sna55S515数列前100项( )
A. B. C. D.
考点85:等差数列前n项8E:数列求.菁优网版权
专题11:计算题.
分析等差数列通项公式求公式结合已知求a1d进求an代入裂项求
解答解:设等差数列公差d
题意
解方程d1a11
等差数列通项公式ana1+(n﹣1)d1+(n﹣1)×1n
∴
1﹣
选:A.
点评题考查等差数列通项公式求公式应数列求裂项求方法应属基础试题
6.(5分)△ABC中AB边高CD•0||1||2( )
A. B. C. D.
考点9Y:面量综合题.菁优网版权
分析题意CA⊥CBCD⊥AB射影定理AC2AD•AB求AD进求求关系进求
解答解:∵•0
∴CA⊥CB
∵CD⊥AB
∵||1||2
∴AB
射影定理AC2AD•AB
∴
∴
∴
选:D.
点评题考查直角三角形射影定理应量基运算应量数量积性质应.
7.(5分)已知α第二象限角cos2α( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
考点GG:角三角函数间基关系GS:二倍角三角函数.菁优网版权
专题56:三角函数求值.
分析α第二象限角知sinα>0cosα<0求sinα﹣cosα利cos2α﹣(sinα﹣cosα)(sinα+cosα)求cos2α
解答解:∵sinα+cosα两边方:1+sin2α
∴sin2α﹣①
∴(sinα﹣cosα)21﹣sin2α
∵α第二象限角
∴sinα>0cosα<0
∴sinα﹣cosα②
∴cos2α﹣(sinα﹣cosα)(sinα+cosα)
(﹣)×
﹣.
选:A.
点评题考查角三角函数间基关系突出二倍角正弦余弦应求sinα﹣cosα关键属中档题.
8.(5分)已知F1F2双曲线C:x2﹣y22左右焦点点PC|PF1|2|PF2|cos∠F1PF2( )
A. B. C. D.
考点KC:双曲线性质.菁优网版权
专题11:计算题.
分析根双曲线定义结合|PF1|2|PF2|利余弦定理求cos∠F1PF2值.
解答解:双曲线方程x2﹣y22化标准方程﹣1abc2
设|PF1|2|PF2|2m根双曲线定义|PF1|﹣|PF2|2am2
∴|PF1|4|PF2|2
∵|F1F2|2c4
∴cos∠F1PF2.
选:C.
点评题考查双曲线性质考查双曲线定义考查余弦定理运属中档题.
9.(5分)已知xlnπylog52( )
A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x
考点72:等式较.菁优网版权
专题11:计算题16:压轴题.
分析利xlnπ>10<ylog52<1>z>答案.
解答解:∵xlnπ>lne1
0<log52<log5y∈(0)
1e0>>z∈(1)
∴y<z<x.
选:D.
点评题考查等式较掌握数函数指数函数性质解决问题关键属基础题.
10.(5分)已知函数yx3﹣3x+c图象x轴恰两公点c( )
A.﹣22 B.﹣93 C.﹣11 D.﹣31
考点53:函数零点方程根关系6D:利导数研究函数极值.菁优网版权
专题11:计算题.
分析求导函数确定函数单调性确定函数极值点利函数yx3﹣3x+c图象x轴恰两公点极值等0极值等0求c值.
解答解:求导函数y′3(x+1)(x﹣1)
令y′>0x>1x<﹣1令y′<0﹣1<x<1
∴函数(﹣∞﹣1)(1+∞)单调增(﹣11)单调减
∴函数x﹣1处取极值x1处取极值.
∵函数yx3﹣3x+c图象x轴恰两公点
∴极值等0极值等0.
∴1﹣3+c0﹣1+3+c0
∴c﹣22.
选:A.
点评题考查导数知识运考查函数单调性极值解题关键利极值等0极值等0.
11.(5分)字母aabbcc排成三行两列求行字母互相列字母互相排列方法( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
考点D9:排列组合简单计数问题.菁优网版权
专题11:计算题16:压轴题.
分析题意分步原理计数列情况进行讨行讨更简洁.
解答解:题意分步原理计数
首先第列进行排列第列abc全排列种
分析第二列情况第列确定时第二列第行2种情况
第二列行确定时第二列第23行1种情况
排列方法:×2×1×112种
选:A.
点评题讨三行行情况讨情况较繁琐两列情况进行分析会简化解答程.
12.(5分)正方形ABCD边长1点E边AB点F边BC动点PE出发直线F运动碰正方形边时反弹反弹时反射角等入射角点P第次碰E时P正方形边碰撞次数( )
A.16 B.14 C.12 D.10
考点IG:直线般式方程直线性质IQ:直线关点直线称直线方程.菁优网版权
专题13:作图题16:压轴题.
分析通相似三角形确定反射点落位置结合图象分析反射次数.
解答解:根已知中点EF位置知第次碰撞点F反射程中直线行利行关系三角形相似第二次碰撞点GCG第二次碰撞点HDH作图
回E点时需碰撞14次.
选:B.
点评题考查反射原理三角形相似知识运.通相似三角形确定反射点落位置结合图象分析反射次数属难题.
二填空题:题4题题5分20分答案填题中横线.(注意:试题卷作答效)
13.(5分)xy满足约束条件z3x﹣y值 ﹣1 .
考点7C:简单线性规划.菁优网版权
专题11:计算题.
分析作出等式组表示面区域z3x﹣yy3x﹣z﹣z表示直线3x﹣y﹣z0y轴截距截距越z越结合图形求
解答解:作出等式组表示面区域图示
z3x﹣yy3x﹣z﹣z表示直线3x﹣y﹣z0y轴截距截距越z越
结合图形知直线z3x﹣y点C时z
C(01)时z﹣1
答案:﹣1
点评题考查线性规划简单应解题关键明确目标函数中z意义属基础试题
14.(5分)函数ysinx﹣cosx(0≤x<2π)取值时x .
考点GP:两角差三角函数HW:三角函数值.菁优网版权
专题11:计算题16:压轴题.
分析利辅助角公式ysinx﹣cosx化y2sin(x﹣)(0≤x<2π)求ysinx﹣cosx(0≤x<2π)取值时x值.
解答解:∵ysinx﹣cosx2(sinx﹣cosx)2sin(x﹣).
∵0≤x<2π
∴﹣≤x﹣<
∴ymax2时x﹣
∴x.
答案:.
点评题考查三角函数值两角差正弦函数着重考查辅助角公式应正弦函数性质ysinx﹣cosx(0≤x<2π)化y2sin(x﹣)(0≤x<2π)关键属中档题.
15.(5分)展开式中第3项第7项二项式系数相等该展开式中系数 56 .
考点DA:二项式定理.菁优网版权
专题11:计算题16:压轴题.
分析根第2项第7项系数相等建立等式求出n值根通项求满足条件系数
解答解:题意
∴n8
展开式通项
令8﹣2r﹣2r5
时系数56
答案:56
点评题考查二项式系数性质系数求解解题关键根二项式定理写出通项公式时考查计算力.
16.(5分)三棱柱ABC﹣A1B1C1中底面边长侧棱长相等∠BAA1∠CAA160°异面直线AB1BC1成角余弦值 .
考点LM:异面直线成角.菁优网版权
专题11:计算题16:压轴题.
分析先选组基底利量加法减法三角形法行四边形法两条异面直线方量基底表示利夹角公式求异面直线AB1BC1成角余弦值
解答解:图设棱长均1
∵
∴()•()﹣++﹣+
﹣++﹣1++11
||
||
∴cos<>
∴异面直线AB1BC1成角余弦值
点评题考查空间量解决立体问题中应空间量基定理量数量积运算性质夹角公式应定运算量
三解答题:题6题70分解答应写出文字说明证明程演算步骤.
17.(10分)△ABC角ABC边分abc已知cos(A﹣C)+cosB1a2c求C.
考点GL:三角函数中恒等变换应HP:正弦定理.菁优网版权
专题11:计算题.
分析cos(A﹣C)+cosBcos(A﹣C)﹣cos(A+C)1sinAsinCa2c正弦定理sinA2sinC联立求C
解答解:Bπ﹣(A+C)cosB﹣cos(A+C)
∴cos(A﹣C)+cosBcos(A﹣C)﹣cos(A+C)2sinAsinC1
∴sinAsinC①
a2c正弦定理sinA2sinC②
①②联立
∵0<C<π
∴sinC
a2ca>c
点评题考查两角差余弦公式正弦定理应属基础试题
18.(12分)图四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD菱形PA⊥底面ABCDPA2EPC点PE2EC.
(Ⅰ)证明:PC⊥面BED
(Ⅱ)设二面角A﹣PB﹣C90°求PD面PBC成角.
考点LW:直线面垂直MI:直线面成角MM:量语言表述线面垂直行关系.菁优网版权
专题11:计算题.
分析(I)先已知建立空间直角坐标系设D(b0)写出相关点相关量坐标利量垂直充条件证明PC⊥BEPC⊥DE利线面垂直判定定理证明结
(II)先求面PAB法量求面PBC法量利两面垂直性质求b值利空间量夹角公式求线面角正弦值进求线面角
解答解:(I)A坐标原点建立图空间直角坐标系A﹣xyz
设D(b0)C(200)P(002)E(0)B(﹣b0)
∴(20﹣2)(b)(﹣b)
∴•﹣0•0
∴PC⊥BEPC⊥DEBE∩DEE
∴PC⊥面BED
(II)(002)(﹣b0)
设面PAB法量(xyz)
取(b0)
设面PBC法量(pqr)
取(1﹣)
∵面PAB⊥面PBC∴•b﹣0.b
∴(1﹣1)(﹣﹣2)
∴cos<>
设PD面PBC成角θθ∈[0]sinθ
∴θ30°
∴PD面PBC成角30°
点评题考查利空间直角坐标系空间量解决立体问题般方法线面垂直判定定理空间线面角求法定运算量属中档题
19.(12分)乒乓球赛规规定:局赛双方分10前方连续发球2次方连续发球2次次轮换.次发球胜方1分负方0分.设甲乙赛中次发球发球方1分概率06次发球胜负结果相互独立.甲乙局赛中甲先发球.
(Ⅰ)求开始第4次发球时甲乙分12概率
(Ⅱ)ξ表示开始第4次发球时乙分求ξ期.
考点C8:相互独立事件相互独立事件概率法公式CH:离散型机变量期方差.菁优网版权
专题15:综合题.
分析(Ⅰ)记Ai表示事件:第1次第2次两次发球甲i分i012A表示事件:第3次发球甲1分B表示事件:开始第4次发球甲乙分12BA0A+A1根P(A)04P(A0)016P(A1)2×06×04048求结
(Ⅱ)P(A2)062036ξ表示开始第4次发球时乙分取0123计算相应概率求ξ期.
解答解:(Ⅰ)记Ai表示事件:第1次第2次两次发球甲i分i012A表示事件:第3次发球甲1分
B表示事件:开始第4次发球甲乙分12BA0A+A1
∵P(A)04P(A0)016P(A1)2×06×04048
∴P(B)016×04+048×(1﹣04)0352
(Ⅱ)P(A2)062036ξ表示开始第4次发球时乙分取0123
P(ξ0)P(A2A)036×040144
P(ξ2)P(B)0352
P(ξ3)P(A0)016×060096
P(ξ1)1﹣0144﹣0352﹣00960408
∴ξ期Eξ1×0408+2×0352+3×00961400.
点评题考查相互独立事件概率考查离散型机变量期确定变量取值计算相应概率关键.
20.(12分)设函数f(x)ax+cosxx∈[0π].
(Ⅰ)讨f(x)单调性
(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx求a取值范围.
考点6B:利导数研究函数单调性6E:利导数研究函数值.菁优网版权
专题15:综合题.
分析(Ⅰ)求导函数f'(x)a﹣sinxx∈[0.π]sinx∈[01]a进行分类讨确定函数单调区间
(Ⅱ)f(x)≤1+sinxf(π)≤1aπ﹣1≤1a≤构造函数g(x)sinx﹣(0≤x)g(x)≥0(0≤x)考虑:①0≤x②结.
解答解:(Ⅰ)求导函数f'(x)a﹣sinxx∈[0π]sinx∈[01]
a≤0时f'(x)≤0恒成立f(x)单调递减a≥1 时f'(x)≥0恒成立f(x)单调递增
0<a<1时f'(x)0x1arcsinax2π﹣arcsina
x∈[0x1]时sinx<af'(x)>0f(x)单调递增
x∈[x1x2]时sinx>af'(x)<0f(x)单调递减
x∈[x2π]时sinx<af'(x)>0f(x)单调递增
(Ⅱ)f(x)≤1+sinxf(π)≤1aπ﹣1≤1∴a≤.
令g(x)sinx﹣(0≤x)g′(x)cosx﹣
x时g′(x)>0时g′(x)<0
∵∴g(x)≥0(0≤x)
a≤时
①0≤x时cosx≤1f(x)≤1+sinx
②时1+≤1+sinx
综a≤.
点评题考查导数知识运考查函数单调性考查函数值解题关键正确求导确定函数单调性.
21.(12分)已知抛物线C:y(x+1)2圆(r>0)公点AA处两曲线切线直线l.
(Ⅰ)求r
(Ⅱ)设mn异lCM相切两条直线mn交点D求Dl距离.
考点IM:两条直线交点坐标IT:点直线距离公式KJ:圆圆锥曲线综合.菁优网版权
专题15:综合题16:压轴题.
分析(Ⅰ)设A(x0(x0+1)2)根y(x+1)2求出l斜率圆心M(1)求MA斜率利l⊥MA建立方程求A坐标求r值
(Ⅱ)设(t(t+1)2)C点该点处切线方程y﹣(t+1)22(t+1)(x﹣t)y2(t+1)x﹣t2+1该直线圆M相切圆心M该切线距离建立方程求t值求出相应切线方程D坐标求Dl距离.
解答解:(Ⅰ)设A(x0(x0+1)2)
∵y(x+1)2y′2(x+1)
∴l斜率k2(x0+1)
x01时合题意x0≠1
圆心M(1)MA斜率.
∵l⊥MA∴2(x0+1)×﹣1
∴x00∴A(01)
∴r|MA|
(Ⅱ)设(t(t+1)2)C点该点处切线方程y﹣(t+1)22(t+1)(x﹣t)y2(t+1)x﹣t2+1
该直线圆M相切圆心M该切线距离
∴
∴t2(t2﹣4t﹣6)0
∴t00t12+t22﹣
抛物线C点(ti(ti+1)2)(i012)处切线分lmn方程分
y2x+1①y2(t1+1)x﹣②y2(t2+1)x﹣③
②﹣③:x
代入②:y﹣1
∴D(2﹣1)
∴Dl距离
点评题考查圆抛物线综合考查抛物线切线方程考查导数知识运考查点直线距离公式运关键确定切线方程求交点坐标.
22.(12分)函数f(x)x2﹣2x﹣3定义数列{ xn}:x12xn+1两点P(45)Qn( xnf( xn))直线PQnx轴交点横坐标.
(Ⅰ)证明:2≤xn<xn+1<3
(Ⅱ)求数列{ xn}通项公式.
考点8H:数列递推式8I:数列函数综合.菁优网版权
专题15:综合题16:压轴题.
分析(Ⅰ)数学纳法证明:①n1时x12直线PQ1方程y0时②假设nk时结成立2≤xk<xk+1<3直线PQk+1方程y0时根纳假设2≤xk<xk+1<3证明2≤xk+1<xk+2<3结成立.
(Ⅱ)(Ⅰ)构造bnxn﹣3﹣首项5公等数列求数列{ xn}通项公式.
解答(Ⅰ)证明:①n1时x12直线PQ1方程
y0时∴∴2≤x1<x2<3
②假设nk时结成立2≤xk<xk+1<3直线PQk+1方程
y0时∴
∵2≤xk<xk+1<3∴
∴xk+1<xk+2
∴2≤xk+1<xk+2<3
nk+1时结成立
①②知:2≤xn<xn+1<3
(Ⅱ)(Ⅰ)
设bnxn﹣3∴
∴
∴﹣首项5公等数列
∴
∴
∴.
点评题考查数列通项公式考查数列函数综合解题关键函数入手确定直线方程求交点坐标利数列知识解决.
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