选择题解题技巧方法
■方法1 特值探路法
典例1 集合A{23a}B{3a2}A∩B{3a}a值( )
A0 B1 C±1 D01
解析 取a0(取特殊值)
A{230}B{30} A∩B{30}排BC(代入验证)
取a1(取特殊值)
A{231}B{31} A∩B{31}排A(代入验证)
选D(正确选项)
点评 特值探路法特殊化思想解题中体现合理运特值法繁杂问题简单化抽象问题具体化 高效省时省力特值选定典型定性说明问题二简单便定量运算
■方法2 避实击虚法
典例2 列命题中真命题( )
A∀x∈Rex>xe
Bp∧q假命题p∨q假命题
Ca∥b存唯实数λaλb充条件
D∃x0∈R|x0|≤0
解析 xe时eeee(举反例)
A错误(排)
p∧q假命题pq真假(举反例)
时p∨q真命题B错误 (排)
a∥b⇒存唯实数λaλb存唯实数λaλb⇒a∥b
a∥b存唯实数λaλb必充分条件C错误
(排)
x00时|x0|0≤0D正确(正确选项)
点评 避实击虚法指避开敌力找敌弱点进攻指解决问题时回避害选择题具相相关特点时真作假时假真似非选项结合题目选项逐较虚拟式果加分析验证正确选项
■方法3 估算辨伪法
典例3 堆火龙果中取20称火龙果质量(单位克)数分布表示
分组
[200210]
(210220]
(220230]
(230240]
(240250]
(250260]
频数
2
3
4
5
a
1
根频数分布表估计堆火龙果中质量240克火龙果数约占火龙果总数( )
A10 B30 C70 D80
解析 题知样容量20(确定样数)
2+3+4+5+a+120a5(列方程解方程)
质量240克火龙果数5+16估计堆火龙果中质量240克火龙果数约占火龙果总数62030(进行估计)
应选B(正确选项)
点评 估算辨伪法复杂问题转化较简单问题应关键首先确定象利已知条件确定估计象次进行估计通似值赋值等手段充分利已知条件等信息胆估算采估算辨伪方法抓住问题质样速算巧算甚须计算迅速准确答案
■方法4 特征分析法
典例4 图231水放置三棱柱ABCA1B1C1中侧棱AA1⊥面A1B1C1正视图边长a正方形俯视图边长a正三角形该三棱柱侧视图周长( )
A2a B32a+a C32a+2a D3a+2a
解析 三棱柱直观图正视图俯视图特征
(分析题目中图形特征)
根三视图作图原知侧视图矩形长宽分a32a
(判断侧视图图形特征)
周长3a+2a(求周长)
选D(正确选项)
图231
点评 特征分析法根题目提供图形信息结构特征位置特征等进行快速推理迅速作出判断方法关空间体拼接图形截面图形三视图直观图等常通观察题中图形结构特征联系背景抓住问题害处解决问题事半功倍
■方法5 定系数法
典例5 焦点x轴双曲线Γx2my2n1(m>0n>0)点(20)离心率52双曲线Γ顶点渐线距离等( )
A25 B45 C255 D455
解析 已知22m02n1m+nm52(列出含定系数方程组)
解m4n1(解定系数)
双曲线x24y21渐线方程y±x2
x±2y0(转化题干问题)
双曲线顶点(±20)渐线距离25255(解决问题)
选C(结)
点评 定系数法实质方程思想某数学问题果知求结果具某种确定形式引进确定系数(参数)表示种结果然利已知条件通变形较根恒等关系列出含定系数方程(组)解定系数进问题解决
■方法6 分类整合法
典例6 已知程序框图图232示执行该程序果输入x9输出y8明图中空白处理框填入xx+bb∈[60)b∈Zb取值集合( )
图232
A{1246} B{2356}
C{356} D{346}
解析 b∈[60)b∈Z分六类进行检验
(确定分类标准)
b1循环输出结果y2(分类解决)
b2循环输出结果y2
b3循环输出结果y8
b4循环输出结果y8
b5循环输出结果y2
b6循环输出结果y8
综输出结果y8b取值集合{346}(整合回)
选D(正确选项)
点评 研究问题包含种情况时常选分类整合法研究基方分分类解决问题必须整合起种分—合解决问题方法分类整合方法分类注意标准统样避免重漏
■方法7 等价转化法
典例7 已知O坐标原点点A(32)点M(xy)面区域xy≥02xy10≤03x+y53≥0动点OA·OM值( )
A15 B45 C50 D55
解析 点AM坐标分(32)(xy)(定目标转化)
设zOA·OMz3x+2y
(面量数量积问题转化线性规划问题)
作出行域图233示
图233
(作图)
图知直线y32x+z2点D时
y轴截距时z取值
(求z值问题转化目标函数y轴截距值问题)
xy02xy100解x10y10D(1010)(求两直线交点坐标)
代入z3x+2y50zOA·OM值50
选C(正确选项)
点评 等价转化法关键定目标转化已知条件入手问题转化熟悉问题二解决转化问题相关知识解决转化简单问题通转化熟悉规范复杂问题转化熟悉规范甚模式化简单化问题
■方法8 数形合璧法
典例8 已知函数g(x)ln x反函数h(x)函数f(x)h(x)x2导函数f ＇(x)直角坐标系部分图图234示关x方程f ＇(x)f(a)x≤a时两解实数a取值范围( )
Aa>2 Ba≥2 Ca>ln 2 Da≥ln 2
图234
图235
解析 函数g(x)ln x反函数h(x)
h(x)ex(求反函数)
f(x)exx2f ＇(x)ex2x(求导函数)
f(1)e11<0两函数图图235示(判断图)
令f(x)f ＇(x)x0x2(求两图交点横坐标)
令f ″(x)ex20xln 2(求函数f ＇(x)图极值点)
关x方程f ＇(x)f(a)0(x≤a)两解需函数yf ＇(x)图直线yf(a)x≤a时两交点(等价转化问题)
观察图a>ln2f ＇(a)≥f(a)解a≥2(形解题)
选B(正确选项)
点评 数形合璧法指处理数学问题时够抽象数学语言直观图形机结合起通规范图形示意图形观察分析数问题(解方程解等式判断单调性求取值范围等)某图形结合起利图直观性化抽象直观化直观精确问题解决
填空题解题技巧方法
■方法9 直接求解法
典例9 已知复数za+(a1)i(a∈R)(a∈Ri虚数单位)实数复数zi复面应点坐标
解析 复数za+(a1)i(a∈Ri虚数单位)实数
a10(利复数实数概念关a方程)
解a1(解方程)
复数z1zii(利复数法法求复数zi)
复数zi复面应点坐标(01)
(利复数意义结)
点评 直接求解法求类问题关键首先题设条件出发利复数概念求出参数值次利复数四运算法化简复数利复数意义复数复面点(原点起点量)应数形结合 水渠成
■方法10 正难反法
典例10 半径2圆分成相等四段弧(图236示)四段弧围成星形放单位圆现该圆投点点落星形概率
图236
图237
解析 求概率等星形面积圆面积
(利概型概率公式)
半径2圆面积4π(求出圆面积)
欲求星形面积根称性图237示
(利正难反法求图形面积转化熟悉图形面积)
知星形面积正方形面积圆面积差164π
(求出星形面积)
求概率164π4π4π1(结)
点评 利正难反法情形般问题正面求解手头绪繁难处理常问题反面推理复杂问题简单化抽象问题直观化具体化
■方法11 基等式法
典例11 △ABC中角ABC边分abca1 cos(A+B)c2b△ABC周长值
解析 △ABC中cos(A+B)c2bcos Cbc2余弦定理cos Ca2+b2c22ab
a11+b2c22bbc2
化简(b+c)213bc(转化关bc关系式)
基等式知bc≤(c+b2)2(利基等式)
(b+c)21≤3(c+b2)2解b+c≤2(仅bc1时取等号)
a+b+c≤3△ABC周长值3(结)
点评 运基等式法求值关键首先判断正判断两数正数次注重二定式积式定值检验三相等检验否满足等号成立条件连续两次基等式求值必须两次等号成立条件致否值取
■方法12 类推理法
典例12 横成岭侧成峰远高低事物角度会认识数学解题中恰改变分析问题角度会山重水复疑路柳暗花明村豁然开朗感阅读问题解答
问题意a∈[11]等式x2+ax2≤0恒成立求实数x取值范围
解答令f(a)xa+(x22)意a∈[11]等式x2+ax2≤0恒成立
需满足x2x2≤0x2+x2≤01≤x≤1
类述方法解函数g(x)2x3ax28x(a2+4a)(a<1)零点
解析 令g(x)02x3ax28x(a2+4a)0
a2+(x2+4)a2(x34x)0(利类推理)
[a2(x2)][a+(x2+2x)]0(解关a方程)
解a2(x2)ax22x(解关x方程)
x2+a2x1±1a
函数g(x)零点x12+a2x21+1ax311a
(结)
点评 类推理法两类象具某类似特征中类象某已知特征推出类象具特征推理方法求解关键找出两类象间确切表述相似特征类事物性质推测类事物性质
解答题解题技巧方法
■方法13 公式应法
典例13 等差数列{an}前n项Tn已知a13T10120
(1)求数列{an}通项公式
(2)数列{bn}前n项SnSn2bn1(n∈N*)求数列{bn}前2 014项
解析 (1)设等差数列{an}公差d
T1012010×3+10×92×d120
(利等差数列前n项公式)
解d2
ana1+(n1)d2n+1(利等差数列通项公式)
(2)Sn2bn1(n∈N*)①(观察关系式特征)
n≥2时Sn12bn11②
①②n≥2时bn2bn2bn1bn2bn1
(转化数列递推关系式)
n1时S12b11解b11
数列{bn}首项1公2等数列(利等数列定义)
数列{bn}前2 014项S2 014122 0141222 0141
(利等数列前n项公式)
点评 关数列解答题常利等差()数列定义通项公式前n项公式等进行求解出数列递推关系式常通构造转化等差数列等数列形式求解出数列间关系式常通已知条件寻求转化解题中注意累加法叠法错位相减法裂项相消法等应
■方法14 三角化简转化法
典例14 已知量a(cos2x23sin x)b(2cos x)函数f(x)a·b1
(1)求函数yf(x)零点
(2)求函数yf(x)正周期单调增区间
解析 f(x)a·b1
(cos2x23sin x)·(2cos x)1
2cos2x+23sin xcos x1 (利面量数量积进行转化)
cos 2x+3sin 2x
2sin(2x+π6)(利辅助角公式进行化简)
(1)f(x)02sin(2x+π6)0
(求函数零点转化求方程根)
2x+π6kπ(k∈Z)解xkπ2π12(k∈Z)(解方程)
函数yf(x)零点xkπ2π12(k∈Z)
(2)函数f(x)正周期T2π2π(利三角函数周期公式)
π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)
(利正弦函数单调性换元思想进行转化)
π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)
函数f(x)单调增区间[π3+kππ6+kπ](k∈Z)
点评 三角化简转化法指关三角解答题面量相交汇般先利面量坐标公式转化三角函数形式利角三角函数诱导公式二倍角公式辅助角公式等进行化简利三角函数图性质加解决三角化简程中应熟练掌握三角公式正逆变形等
■方法15 等体积法
图238
典例15 图238CE圆直径点B该圆点D该圆CD∥BEAB垂直该圆面EF∥ABABBE2BCCDEF1
(1)点G线段ABBG∶GA3∶1求证CG∥面ADF
(2)求三棱锥BDEF体积
解析 (1)图239分取ABAF中点MH连接MFGHDH
图239
BG∶GA3∶1AB2EFAB∥EF
AGGMBMEFMFBE
AHHF GH12MF
CD12BEBEMFCDGH
四边形CDHG行四边形CG∥DH
CG⊄面ADFDH⊂面ADF
CG∥面ADF
(2)AB⊥面BCDEEF∥AB
EF⊥面BCDE(证线面垂直)
三棱锥BDEF体积VBDEFVFBDE
(变换三棱锥底面求三棱锥体积)
CE圆直径点B该圆CB⊥BE
CD∥BE点DBE距离等BC1
BE2S△BDE12BE×BC12×2×11(求三棱锥底面面积)
VFBDE13S△BDE×EF13×1×113
(利三棱锥体积公式求体积)
三棱锥BDEF体积VBDEF13(求三棱锥体积)
点评 体三棱锥(四面体)公式法计算三棱锥体积较困难时常利等体积法解决等体积法求解关键通变换三棱锥底面时变换高计算三棱锥体积
■方法16 分析法综合法
典例16 已知函数f(x)axln x1曲线yf(x)点(1f(1))处切线斜率0关x方程f(x)m(x1)0(m∈R)恰两实数根x1x2(x1(1)求实数m取值范围
(2)求证12x1+x2>m
解析 f ＇(x)a1xf ＇(1)0解a1
(1)设函数g(x)f(x)m(x1)(m∈R)
g(x)(1m)(x1)ln xx∈(0+∞)g＇(x)1m1x(1m)x1x
1m≤0m≥1时g＇(x)<0g(x)(0+∞)单调递减
时方程g(x)0实数根合题意
m<1时令g＇(x)0解x11m
x变化时g(x)g＇(x)变化情况表
x
(011m)
11m
(11m+∞)
g＇(x)
0
+
g(x)
↘
极值
↗
g(x)ming(11m)m+ln(1m)设h(m)m+ln(1m)
m0时h(0)0g(x)min0时方程g(x)0实数根合题意
m≠0m<1时h＇(m)111mm1mm<0时h＇(x)>00h(m)(∞0)单调递增(01)单调递减h(m)综m取值范围(∞0)∪(01)
(2)解法 (分析法)
方程f(x)m(x1)0(m∈R)恰两实数根x1x2(x1(1m)(x11)ln x10(1m)(x21)ln x20
两式相减(1m)(x2x1)lnx2x10
1m1x2x1lnx2x1(求出mx1x2关系式)
证12x1+x2>m(分析证等式特点)
证1m2x1+x2>0
证1x2x1lnx2x12x1+x2>0(转化含参数m等式)
证lnx2x12(x2x1)x1+x2>0
证lnx2x12(x2x11)x2x1+1>0(化构造函数等式)
设φ(t)ln t2(t1)t+1(t>1)(构造函数)
φ＇(t)(t1)2t(t+1)2>0φ(t)(1+∞)单调递增
(利函数单调性)
φ(t)>φ(1)0 lnx2x12(x2x11)x2x1+1>0成立
等式12x1+x2>m成立(结)
解法二 (综合法)
方程f(x)m(x1)0(m∈R)恰两实数根x1x2(x1(1m)(x11)ln x10(1m)(x21)ln x20两式相减(1m)(x2x1)lnx2x10
1x2x1lnx2x11m(求出mx1x2关系式)
设φ(t)ln t2(t1)t+1(t>1)(构造函数)
φ＇(t)(t1)2t(t+1)2>0φ(t)(1+∞)单调递增
(求函数单调性)
φ(t)>φ(1)0ln t2(t1)t+1>0(t>1)(等式)
01(换元)
lnx2x12(x2x11)x2x1+1>0lnx2x12(x2x1)x1+x2>0
1x2x1lnx2x12x1+x2>0
1m2x1+x2>012x1+x2>m(利mx1x2关系结)
点评 综合法解决问题关键已知知逐步逼未知逐步推理实际寻找已知必条件分析法解决问题关键未知须知逐步拢已知逐步推理实际寻找结充分条件分析法容易探路缺点表述繁琐容易出错综合法条理清晰易表述缺点探路艰难易生枝节实际解题时通常分析法寻求解题思路综合法条理表述解题程
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■方法1 特值探路法
典例1 集合A{23a}B{3a2}A∩B{3a}a值( )
A0 B1 C±1 D01
解析 取a0(取特殊值)
A{230}B{30} A∩B{30}排BC(代入验证)
取a1(取特殊值)
A{231}B{31} A∩B{31}排A(代入验证)
选D(正确选项)
点评 特值探路法特殊化思想解题中体现合理运特值法繁杂问题简单化抽象问题具体化 高效省时省力特值选定典型定性说明问题二简单便定量运算
■方法2 避实击虚法
典例2 列命题中真命题( )
A∀x∈Rex>xe
Bp∧q假命题p∨q假命题
Ca∥b存唯实数λaλb充条件
D∃x0∈R|x0|≤0
解析 xe时eeee(举反例)
A错误(排)
p∧q假命题pq真假(举反例)
时p∨q真命题B错误 (排)
a∥b⇒存唯实数λaλb存唯实数λaλb⇒a∥b
a∥b存唯实数λaλb必充分条件C错误
(排)
x00时|x0|0≤0D正确(正确选项)
点评 避实击虚法指避开敌力找敌弱点进攻指解决问题时回避害选择题具相相关特点时真作假时假真似非选项结合题目选项逐较虚拟式果加分析验证正确选项
■方法3 估算辨伪法
典例3 堆火龙果中取20称火龙果质量(单位克)数分布表示
分组
[200210]
(210220]
(220230]
(230240]
(240250]
(250260]
频数
2
3
4
5
a
1
根频数分布表估计堆火龙果中质量240克火龙果数约占火龙果总数( )
A10 B30 C70 D80
解析 题知样容量20(确定样数)
2+3+4+5+a+120a5(列方程解方程)
质量240克火龙果数5+16估计堆火龙果中质量240克火龙果数约占火龙果总数62030(进行估计)
应选B(正确选项)
点评 估算辨伪法复杂问题转化较简单问题应关键首先确定象利已知条件确定估计象次进行估计通似值赋值等手段充分利已知条件等信息胆估算采估算辨伪方法抓住问题质样速算巧算甚须计算迅速准确答案
■方法4 特征分析法
典例4 图231水放置三棱柱ABCA1B1C1中侧棱AA1⊥面A1B1C1正视图边长a正方形俯视图边长a正三角形该三棱柱侧视图周长( )
A2a B32a+a C32a+2a D3a+2a
解析 三棱柱直观图正视图俯视图特征
(分析题目中图形特征)
根三视图作图原知侧视图矩形长宽分a32a
(判断侧视图图形特征)
周长3a+2a(求周长)
选D(正确选项)
图231
点评 特征分析法根题目提供图形信息结构特征位置特征等进行快速推理迅速作出判断方法关空间体拼接图形截面图形三视图直观图等常通观察题中图形结构特征联系背景抓住问题害处解决问题事半功倍
■方法5 定系数法
典例5 焦点x轴双曲线Γx2my2n1(m>0n>0)点(20)离心率52双曲线Γ顶点渐线距离等( )
A25 B45 C255 D455
解析 已知22m02n1m+nm52(列出含定系数方程组)
解m4n1(解定系数)
双曲线x24y21渐线方程y±x2
x±2y0(转化题干问题)
双曲线顶点(±20)渐线距离25255(解决问题)
选C(结)
点评 定系数法实质方程思想某数学问题果知求结果具某种确定形式引进确定系数(参数)表示种结果然利已知条件通变形较根恒等关系列出含定系数方程(组)解定系数进问题解决
■方法6 分类整合法
典例6 已知程序框图图232示执行该程序果输入x9输出y8明图中空白处理框填入xx+bb∈[60)b∈Zb取值集合( )
图232
A{1246} B{2356}
C{356} D{346}
解析 b∈[60)b∈Z分六类进行检验
(确定分类标准)
b1循环输出结果y2(分类解决)
b2循环输出结果y2
b3循环输出结果y8
b4循环输出结果y8
b5循环输出结果y2
b6循环输出结果y8
综输出结果y8b取值集合{346}(整合回)
选D(正确选项)
点评 研究问题包含种情况时常选分类整合法研究基方分分类解决问题必须整合起种分—合解决问题方法分类整合方法分类注意标准统样避免重漏
■方法7 等价转化法
典例7 已知O坐标原点点A(32)点M(xy)面区域xy≥02xy10≤03x+y53≥0动点OA·OM值( )
A15 B45 C50 D55
解析 点AM坐标分(32)(xy)(定目标转化)
设zOA·OMz3x+2y
(面量数量积问题转化线性规划问题)
作出行域图233示
图233
(作图)
图知直线y32x+z2点D时
y轴截距时z取值
(求z值问题转化目标函数y轴截距值问题)
xy02xy100解x10y10D(1010)(求两直线交点坐标)
代入z3x+2y50zOA·OM值50
选C(正确选项)
点评 等价转化法关键定目标转化已知条件入手问题转化熟悉问题二解决转化问题相关知识解决转化简单问题通转化熟悉规范复杂问题转化熟悉规范甚模式化简单化问题
■方法8 数形合璧法
典例8 已知函数g(x)ln x反函数h(x)函数f(x)h(x)x2导函数f ＇(x)直角坐标系部分图图234示关x方程f ＇(x)f(a)x≤a时两解实数a取值范围( )
Aa>2 Ba≥2 Ca>ln 2 Da≥ln 2
图234
图235
解析 函数g(x)ln x反函数h(x)
h(x)ex(求反函数)
f(x)exx2f ＇(x)ex2x(求导函数)
f(1)e11<0两函数图图235示(判断图)
令f(x)f ＇(x)x0x2(求两图交点横坐标)
令f ″(x)ex20xln 2(求函数f ＇(x)图极值点)
关x方程f ＇(x)f(a)0(x≤a)两解需函数yf ＇(x)图直线yf(a)x≤a时两交点(等价转化问题)
观察图a>ln2f ＇(a)≥f(a)解a≥2(形解题)
选B(正确选项)
点评 数形合璧法指处理数学问题时够抽象数学语言直观图形机结合起通规范图形示意图形观察分析数问题(解方程解等式判断单调性求取值范围等)某图形结合起利图直观性化抽象直观化直观精确问题解决
填空题解题技巧方法
■方法9 直接求解法
典例9 已知复数za+(a1)i(a∈R)(a∈Ri虚数单位)实数复数zi复面应点坐标
解析 复数za+(a1)i(a∈Ri虚数单位)实数
a10(利复数实数概念关a方程)
解a1(解方程)
复数z1zii(利复数法法求复数zi)
复数zi复面应点坐标(01)
(利复数意义结)
点评 直接求解法求类问题关键首先题设条件出发利复数概念求出参数值次利复数四运算法化简复数利复数意义复数复面点(原点起点量)应数形结合 水渠成
■方法10 正难反法
典例10 半径2圆分成相等四段弧(图236示)四段弧围成星形放单位圆现该圆投点点落星形概率
图236
图237
解析 求概率等星形面积圆面积
(利概型概率公式)
半径2圆面积4π(求出圆面积)
欲求星形面积根称性图237示
(利正难反法求图形面积转化熟悉图形面积)
知星形面积正方形面积圆面积差164π
(求出星形面积)
求概率164π4π4π1(结)
点评 利正难反法情形般问题正面求解手头绪繁难处理常问题反面推理复杂问题简单化抽象问题直观化具体化
■方法11 基等式法
典例11 △ABC中角ABC边分abca1 cos(A+B)c2b△ABC周长值
解析 △ABC中cos(A+B)c2bcos Cbc2余弦定理cos Ca2+b2c22ab
a11+b2c22bbc2
化简(b+c)213bc(转化关bc关系式)
基等式知bc≤(c+b2)2(利基等式)
(b+c)21≤3(c+b2)2解b+c≤2(仅bc1时取等号)
a+b+c≤3△ABC周长值3(结)
点评 运基等式法求值关键首先判断正判断两数正数次注重二定式积式定值检验三相等检验否满足等号成立条件连续两次基等式求值必须两次等号成立条件致否值取
■方法12 类推理法
典例12 横成岭侧成峰远高低事物角度会认识数学解题中恰改变分析问题角度会山重水复疑路柳暗花明村豁然开朗感阅读问题解答
问题意a∈[11]等式x2+ax2≤0恒成立求实数x取值范围
解答令f(a)xa+(x22)意a∈[11]等式x2+ax2≤0恒成立
需满足x2x2≤0x2+x2≤01≤x≤1
类述方法解函数g(x)2x3ax28x(a2+4a)(a<1)零点
解析 令g(x)02x3ax28x(a2+4a)0
a2+(x2+4)a2(x34x)0(利类推理)
[a2(x2)][a+(x2+2x)]0(解关a方程)
解a2(x2)ax22x(解关x方程)
x2+a2x1±1a
函数g(x)零点x12+a2x21+1ax311a
(结)
点评 类推理法两类象具某类似特征中类象某已知特征推出类象具特征推理方法求解关键找出两类象间确切表述相似特征类事物性质推测类事物性质
解答题解题技巧方法
■方法13 公式应法
典例13 等差数列{an}前n项Tn已知a13T10120
(1)求数列{an}通项公式
(2)数列{bn}前n项SnSn2bn1(n∈N*)求数列{bn}前2 014项
解析 (1)设等差数列{an}公差d
T1012010×3+10×92×d120
(利等差数列前n项公式)
解d2
ana1+(n1)d2n+1(利等差数列通项公式)
(2)Sn2bn1(n∈N*)①(观察关系式特征)
n≥2时Sn12bn11②
①②n≥2时bn2bn2bn1bn2bn1
(转化数列递推关系式)
n1时S12b11解b11
数列{bn}首项1公2等数列(利等数列定义)
数列{bn}前2 014项S2 014122 0141222 0141
(利等数列前n项公式)
点评 关数列解答题常利等差()数列定义通项公式前n项公式等进行求解出数列递推关系式常通构造转化等差数列等数列形式求解出数列间关系式常通已知条件寻求转化解题中注意累加法叠法错位相减法裂项相消法等应
■方法14 三角化简转化法
典例14 已知量a(cos2x23sin x)b(2cos x)函数f(x)a·b1
(1)求函数yf(x)零点
(2)求函数yf(x)正周期单调增区间
解析 f(x)a·b1
(cos2x23sin x)·(2cos x)1
2cos2x+23sin xcos x1 (利面量数量积进行转化)
cos 2x+3sin 2x
2sin(2x+π6)(利辅助角公式进行化简)
(1)f(x)02sin(2x+π6)0
(求函数零点转化求方程根)
2x+π6kπ(k∈Z)解xkπ2π12(k∈Z)(解方程)
函数yf(x)零点xkπ2π12(k∈Z)
(2)函数f(x)正周期T2π2π(利三角函数周期公式)
π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)
(利正弦函数单调性换元思想进行转化)
π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)
函数f(x)单调增区间[π3+kππ6+kπ](k∈Z)
点评 三角化简转化法指关三角解答题面量相交汇般先利面量坐标公式转化三角函数形式利角三角函数诱导公式二倍角公式辅助角公式等进行化简利三角函数图性质加解决三角化简程中应熟练掌握三角公式正逆变形等
■方法15 等体积法
图238
典例15 图238CE圆直径点B该圆点D该圆CD∥BEAB垂直该圆面EF∥ABABBE2BCCDEF1
(1)点G线段ABBG∶GA3∶1求证CG∥面ADF
(2)求三棱锥BDEF体积
解析 (1)图239分取ABAF中点MH连接MFGHDH
图239
BG∶GA3∶1AB2EFAB∥EF
AGGMBMEFMFBE
AHHF GH12MF
CD12BEBEMFCDGH
四边形CDHG行四边形CG∥DH
CG⊄面ADFDH⊂面ADF
CG∥面ADF
(2)AB⊥面BCDEEF∥AB
EF⊥面BCDE(证线面垂直)
三棱锥BDEF体积VBDEFVFBDE
(变换三棱锥底面求三棱锥体积)
CE圆直径点B该圆CB⊥BE
CD∥BE点DBE距离等BC1
BE2S△BDE12BE×BC12×2×11(求三棱锥底面面积)
VFBDE13S△BDE×EF13×1×113
(利三棱锥体积公式求体积)
三棱锥BDEF体积VBDEF13(求三棱锥体积)
点评 体三棱锥(四面体)公式法计算三棱锥体积较困难时常利等体积法解决等体积法求解关键通变换三棱锥底面时变换高计算三棱锥体积
■方法16 分析法综合法
典例16 已知函数f(x)axln x1曲线yf(x)点(1f(1))处切线斜率0关x方程f(x)m(x1)0(m∈R)恰两实数根x1x2(x1
(2)求证12x1+x2>m
解析 f ＇(x)a1xf ＇(1)0解a1
(1)设函数g(x)f(x)m(x1)(m∈R)
g(x)(1m)(x1)ln xx∈(0+∞)g＇(x)1m1x(1m)x1x
1m≤0m≥1时g＇(x)<0g(x)(0+∞)单调递减
时方程g(x)0实数根合题意
m<1时令g＇(x)0解x11m
x变化时g(x)g＇(x)变化情况表
x
(011m)
11m
(11m+∞)
g＇(x)
0
+
g(x)
↘
极值
↗
g(x)ming(11m)m+ln(1m)设h(m)m+ln(1m)
m0时h(0)0g(x)min0时方程g(x)0实数根合题意
m≠0m<1时h＇(m)111mm1mm<0时h＇(x)>00
(2)解法 (分析法)
方程f(x)m(x1)0(m∈R)恰两实数根x1x2(x1
两式相减(1m)(x2x1)lnx2x10
1m1x2x1lnx2x1(求出mx1x2关系式)
证12x1+x2>m(分析证等式特点)
证1m2x1+x2>0
证1x2x1lnx2x12x1+x2>0(转化含参数m等式)
证lnx2x12(x2x1)x1+x2>0
证lnx2x12(x2x11)x2x1+1>0(化构造函数等式)
设φ(t)ln t2(t1)t+1(t>1)(构造函数)
φ＇(t)(t1)2t(t+1)2>0φ(t)(1+∞)单调递增
(利函数单调性)
φ(t)>φ(1)0 lnx2x12(x2x11)x2x1+1>0成立
等式12x1+x2>m成立(结)
解法二 (综合法)
方程f(x)m(x1)0(m∈R)恰两实数根x1x2(x1
1x2x1lnx2x11m(求出mx1x2关系式)
设φ(t)ln t2(t1)t+1(t>1)(构造函数)
φ＇(t)(t1)2t(t+1)2>0φ(t)(1+∞)单调递增
(求函数单调性)
φ(t)>φ(1)0ln t2(t1)t+1>0(t>1)(等式)
0
lnx2x12(x2x11)x2x1+1>0lnx2x12(x2x1)x1+x2>0
1x2x1lnx2x12x1+x2>0
1m2x1+x2>012x1+x2>m(利mx1x2关系结)
点评 综合法解决问题关键已知知逐步逼未知逐步推理实际寻找已知必条件分析法解决问题关键未知须知逐步拢已知逐步推理实际寻找结充分条件分析法容易探路缺点表述繁琐容易出错综合法条理清晰易表述缺点探路艰难易生枝节实际解题时通常分析法寻求解题思路综合法条理表述解题程
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