19届全国初中数学竞赛试题及答案


     数学周报杯2019年全国初中数学竞赛试题
    选择题(5题题7分35分中选项正确 请正确选项代号填入题括号里填填错填0分)
    1.值( ).
    (A) (B) (C) (D)
    解: 题设.
    2.实数ab满足a取值范围 ( ).
    (A)a≤ (B)a≥4 (C)a≤ a≥4 (D)≤a≤4
    解.C
    b实数关b元二次方程
    判式 ≥0解a≤ a≥4.
    3.图四边形ABCD中∠B=135°∠C=120°ABBCCD=AD边长( ).
    (A) (B)
    (C) (D)
    (第3题)
    解:D
    图点AD分作AEDF垂直直线BC垂足分EF.
    已知
    (第3题)
    BEAECF=DF=2
    EF=4+.
    点A作AG⊥DF垂足G.Rt△ADG中根勾股定理
    AD=.
    4.列数……中已知k≥2时
    (取整符号表示超实数整数例)等( ).
    (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
    解:B



    ……
    20104×502+22.
    5.图面直角坐标系xOy中等腰梯形ABCD顶点坐标分A(11)B(2-1)C(-2-1)D(-11).y轴点P(02)绕点A旋转180°点P1点P1绕点B旋转180°点P2点P2绕点C旋转180°点P3点P3绕点D旋转180°点P4……重复操作次点P1P2… 点P2010坐标( ).
    (A)(20102) (B)(2010)
    (C)(2012) (D)(02)
    解:B已知点坐标分(20)(2).
    (第5题)
    记中.
    根称关系次求:

    令样求点坐标()()
    20104502+2点坐标(2010).
    二填空题
    6.已知a=-12a3+7a2-2a-12 值等 .
    解:0
    已知 (a+1)2=5a2+2a=4
    2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.
    7.辆客车辆货车辆轿车条笔直公路方匀速行驶.某时刻客车前轿车货车客车轿车正中间.10分钟轿车追货车5分钟轿车追客车t分钟货车追客车t= .
    解:15
    设某时刻货车客车轿车距离均S千米轿车货车客车速度分 (千米分)设货车x分钟追客车题意

    ② . ③
    ①②x30. (分).
    8.图面直角坐标系xOy中边形OABCDE顶点坐标分O(00)A(06)B(46)C(44)D(64)E(60).直线l点M(23)边形OABCDE分割成面积相等两部分直线l函数表达式 .
    (第8题






    (第8题)


    解:
    图延长BC交x轴点F连接OBAFCEDF相交点N.
    已知点M(23)OBAF中点点M矩形ABFO中心直线矩形ABFO分成面积相等两部分.点N(52)矩形CDEF中心
    点N(52)直线矩形CDEF分成面积相等两部分.
    直线求直线.
    设直线函数表达式
    解 求直线函数表达式.
    9.图射线AMBN垂直线段AB点EAM点点A作BE垂线AC分交BEBN点FC点C作AM垂线CD垂足D.CD=CF .

    (第9题)
    解:
    见题图设.
    Rt△AFB∽Rt△ABC .
    FC=DC=AB
    解(舍).
    Rt△∽Rt△ .
    10.i23…k正整数ni余数i-1.值满足正整数值 .
    解: 倍数值满足

    中表示公倍数.


    满足正整数值.
    三解答题(4题题20分80分)
    11.图△ABC等腰三角形AP底边BC高点D线段PC点BECF分△ABD△ACD外接圆直径连接EF 求证: (第12A题)



    (第12B题)




    (第11题)



    (第12B题)
    证明:图连接EDFD BECF直径
    ED⊥BC FD⊥BC
    DEF三点线 …………(5分)
    连接AEAF

    △ABC∽△AEF …………(10分)
    (第11题)
    作AH⊥EF垂足HAHPD △ABC∽△AEF


    …………(20分)
    12.图抛物线(a0)双曲线相交点AB 已知点A坐标(14)点B第三象限△AOB面积3(O坐标原点)
    (1)求实数abk值
    (2)抛物线点A作直线AC∥x轴交抛物线点C求 满足△EOC∽△AOB点E坐标
    解:(1)点A(14)双曲线
    k4 双曲线函数表达式
    (第12题)
    设点B(t)AB直线函数表达式

    直线ABy轴交点坐标
    整理
    解t=(舍).点B坐标().
    点AB抛物线(a0)
    解 …(10分)
    (2)图AC∥x轴C(4)
    CO=4 BO2
    设抛物线(a0)x轴负半轴相交点D
    点D坐标(0)
    (第12题)
    ∠COD=∠BOD=∠COB
    (i)△绕点O时针旋转△时点(2)CO中点点坐标(4)
    延长点时点(8)符合条件点
    (ii)作△关x轴称图形△点(1)延长点=时点E2(2)符合条件点.
    点坐标(8)(2) …………(20分)

    13.求满足素数p正整数m
    解:题设
    p素数 ……(5分)
    (1)令k正整数


    解 …………(10分)
    (2)令k正整数


    2
    奇数


    时正整数解时正整数解
    综述求素数p5正整数m9 …………(20分)

    14.12…20102010正整数中取出少数取出数中意三数33整?

    解:首先61数:11…(1991)满足题设条件(5分)
    方面设12…2010中取出满足题设条件数n数中意4数


    取数中意两数差33倍数 …………(10分)
    设i123…n

    ≥11 …………(15分)

    ≤60 n≤61
    综述n值61 …………(20分)

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