2004年全国高中数学联赛试题
第试
选择题（题满分36分题6分）
1设锐角q关x方程重根q弧度数
A． B C D 答：[ ]
2已知MN均取值范围
A．[] B（）C（） D[]
答：[ ]
3等式>0解集
A．[23] B（23） C[24] D（24） 答：[ ]
4设O点△ABC部△ABC面积△AOC面积
A．2 B C3 D 答：[ ]
5设三位数三条边长构成
等腰（含等边）三角形样三位数
A．45 B81 C165 D216 答：[ ]
6顶点P圆锥轴截面等腰直角三角形A底面圆周点B底面圆点O底面圆圆心AB⊥OB垂足BOH⊥PB垂足HPA4CPA中点三棱锥O—HPC体积时OB长
A． B C D 答：[ ]
二填空题（题满分54分题9分）
7面直角坐标系中函数正周期长区间图函数图围成封闭图形面积_____________
8设函数满足意
9图正方体中二面角度数______________
10设定奇质数正整数
正整数________________
11已知数列满足关系式
值______
12面直角坐标系中定两点M（12）N（14）点PX轴移动∠MPN取值时点P横坐标___________
三解答题（题满分60分题20分）
13项关游戏规规定：第关抛掷颗骰子次果次抛掷出现点数算关问：
（Ⅰ）某项游戏中关？
（Ⅱ）连前三关概率少？
（注：骰子面分123456点数均匀正方体抛掷骰子落静止面点数出现点数）
14面直角坐标系中定三点A（0）B（10）C（10）点P直线BC距离该点直线ABAC距离等中顶
（Ⅰ）求点P轨迹方程
（Ⅱ）直线L△ABC心（设D）P点轨迹恰3公点求L斜率取值范围
15已知方程（）两等实根函数
定义域[]
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明：
第二试
（题满分50分）
锐角△ABC中AB高CEAC高BD相
交点HDE直径圆分交ABACFG两点
FGAH相交点K已知BC25BD20BE7求
AK长
二（题满分50分）
面直角坐标系中 轴正半轴点列曲线（≥0）点列满足直线X轴截距点横坐标
（Ⅰ）证明>>4
（Ⅱ）证明<
三（题满分50分）
整数≥4求出整数正整数集合
元子集中均少3两两互素元素
参考答案
第试
选择题（题满分36分题6分）
1解：方程重根
选B
2解：相点（0b）椭圆部 选A
3解：原等式等价
设 解
选C
4解：图设DE分ACBC边中点
（1）（2）
线
选C
5解：abc构成三角形边长显然均0
（1）构成等边三角形设样三位数数三位数中三数码相
（2）构成等腰（非等边）三角形设样三位数数三位数中2数码设ab注意三角形腰底置换取数码组（ab）数底时设a>b必须满足时构成三角形数码
a
9
8
7
6
5
4
3
2
1
b
43
21
43
21
32
1
32
1
12
12
1
1
20种情况
时数码组（ab）中二数码填三数位种情况
综
6解：
CPA中点
时
选D
二填空题（题满分54分题9分）
7解：正周期振幅图图围成封闭图形称性图形割补成长宽长方形面积
8解：
9解：连结垂足E延长CE交F连结AE称性知二面角面角
连结AC设AB1
中
补角
10解：设方数设
（负值舍）
11解：设
数列公2等数列
12解：MN两点圆圆心线段MN垂直分线y3－x设圆心
S（a3－a）圆S方程：
定长弦优弧圆周角会着圆半径减角度增取值时MNP三点圆S必X轴相切点P圆S方程中a值必须满足解 a1a－7
应切点分点MN圆半径点MNP圆半径点P（10）求点P横坐标1
三解答题（题满分60分题20分）
13解：骰子均匀正方体抛掷点数出现性相等
（Ⅰ）骰子出现点数6时n次出现点数已事件关概率0连4关 5分
（Ⅱ）设事件第n关关失败立事件第n关关成功
第n关游戏中基事件总数
第1关：事件含基事件数2（出现点数12两种情况）
关概率：
第2关：事件含基事件数方程a分取234时正整数解组数（）
关概率： 10分
第3关：事件含基事件方程a分取345678时正整数解组数（）
关概率： 15分
连前三关概率： 20分
（说明：第23关基事件数列举出）
14解：（Ⅰ）直线ABACBC方程次点ABACBC距离次设化简点P轨迹方程
圆S： 5分
（Ⅱ）前知点P轨迹包含两部分
圆S： ①
双曲线T： ②
B（－10）C（10）适合题设条件点点B点C点P轨迹点P轨迹曲线ST公点BC两点
心D适合题设条件点解知圆S直线LD点P轨迹3公点L斜率存设L方程
③
（i）k0时L圆S相切唯公点D时直线行x轴表明L双曲线D两公点L恰点P轨迹3公点10分
（ii）时L圆S两交点时L点P轨迹恰3公点两种情况：
情况1：直线L点B点C时L斜率直线L方程代入方程②解表明直线BD曲线T2交点BE直线CD曲线T2交点CF
时L恰点P轨迹3公点 15分
情况2：直线L点BC（）LS两交点L双曲线T公点方程组组实数解消y化简
该方程唯实数解充条件 ④
⑤
解方程④解方程⑤
综合直线L斜率k取值范围限集 20分
15解：（Ⅰ）设
区间增函数 5分
10分
（Ⅱ）证：
15分
均值等式柯西等式中等号时成立
20分
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第试
选择题（题满分36分题6分）
1设锐角q关x方程重根q弧度数
A． B C D 答：[ ]
2已知MN均取值范围
A．[] B（）C（） D[]
答：[ ]
3等式>0解集
A．[23] B（23） C[24] D（24） 答：[ ]
4设O点△ABC部△ABC面积△AOC面积
A．2 B C3 D 答：[ ]
5设三位数三条边长构成
等腰（含等边）三角形样三位数
A．45 B81 C165 D216 答：[ ]
6顶点P圆锥轴截面等腰直角三角形A底面圆周点B底面圆点O底面圆圆心AB⊥OB垂足BOH⊥PB垂足HPA4CPA中点三棱锥O—HPC体积时OB长
A． B C D 答：[ ]
二填空题（题满分54分题9分）
7面直角坐标系中函数正周期长区间图函数图围成封闭图形面积_____________
8设函数满足意
9图正方体中二面角度数______________
10设定奇质数正整数
正整数________________
11已知数列满足关系式
值______
12面直角坐标系中定两点M（12）N（14）点PX轴移动∠MPN取值时点P横坐标___________
三解答题（题满分60分题20分）
13项关游戏规规定：第关抛掷颗骰子次果次抛掷出现点数算关问：
（Ⅰ）某项游戏中关？
（Ⅱ）连前三关概率少？
（注：骰子面分123456点数均匀正方体抛掷骰子落静止面点数出现点数）
14面直角坐标系中定三点A（0）B（10）C（10）点P直线BC距离该点直线ABAC距离等中顶
（Ⅰ）求点P轨迹方程
（Ⅱ）直线L△ABC心（设D）P点轨迹恰3公点求L斜率取值范围
15已知方程（）两等实根函数
定义域[]
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明：
第二试
（题满分50分）
锐角△ABC中AB高CEAC高BD相
交点HDE直径圆分交ABACFG两点
FGAH相交点K已知BC25BD20BE7求
AK长
二（题满分50分）
面直角坐标系中 轴正半轴点列曲线（≥0）点列满足直线X轴截距点横坐标
（Ⅰ）证明>>4
（Ⅱ）证明<
三（题满分50分）
整数≥4求出整数正整数集合
元子集中均少3两两互素元素
参考答案
第试
选择题（题满分36分题6分）
1解：方程重根
选B
2解：相点（0b）椭圆部 选A
3解：原等式等价
设 解
选C
4解：图设DE分ACBC边中点
（1）（2）
线
选C
5解：abc构成三角形边长显然均0
（1）构成等边三角形设样三位数数三位数中三数码相
（2）构成等腰（非等边）三角形设样三位数数三位数中2数码设ab注意三角形腰底置换取数码组（ab）数底时设a>b必须满足时构成三角形数码
a
9
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21
43
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32
1
32
1
12
12
1
1
20种情况
时数码组（ab）中二数码填三数位种情况
综
6解：
CPA中点
时
选D
二填空题（题满分54分题9分）
7解：正周期振幅图图围成封闭图形称性图形割补成长宽长方形面积
8解：
9解：连结垂足E延长CE交F连结AE称性知二面角面角
连结AC设AB1
中
补角
10解：设方数设
（负值舍）
11解：设
数列公2等数列
12解：MN两点圆圆心线段MN垂直分线y3－x设圆心
S（a3－a）圆S方程：
定长弦优弧圆周角会着圆半径减角度增取值时MNP三点圆S必X轴相切点P圆S方程中a值必须满足解 a1a－7
应切点分点MN圆半径点MNP圆半径点P（10）求点P横坐标1
三解答题（题满分60分题20分）
13解：骰子均匀正方体抛掷点数出现性相等
（Ⅰ）骰子出现点数6时n次出现点数已事件关概率0连4关 5分
（Ⅱ）设事件第n关关失败立事件第n关关成功
第n关游戏中基事件总数
第1关：事件含基事件数2（出现点数12两种情况）
关概率：
第2关：事件含基事件数方程a分取234时正整数解组数（）
关概率： 10分
第3关：事件含基事件方程a分取345678时正整数解组数（）
关概率： 15分
连前三关概率： 20分
（说明：第23关基事件数列举出）
14解：（Ⅰ）直线ABACBC方程次点ABACBC距离次设化简点P轨迹方程
圆S： 5分
（Ⅱ）前知点P轨迹包含两部分
圆S： ①
双曲线T： ②
B（－10）C（10）适合题设条件点点B点C点P轨迹点P轨迹曲线ST公点BC两点
心D适合题设条件点解知圆S直线LD点P轨迹3公点L斜率存设L方程
③
（i）k0时L圆S相切唯公点D时直线行x轴表明L双曲线D两公点L恰点P轨迹3公点10分
（ii）时L圆S两交点时L点P轨迹恰3公点两种情况：
情况1：直线L点B点C时L斜率直线L方程代入方程②解表明直线BD曲线T2交点BE直线CD曲线T2交点CF
时L恰点P轨迹3公点 15分
情况2：直线L点BC（）LS两交点L双曲线T公点方程组组实数解消y化简
该方程唯实数解充条件 ④
⑤
解方程④解方程⑤
综合直线L斜率k取值范围限集 20分
15解：（Ⅰ）设
区间增函数 5分
10分
（Ⅱ）证：
15分
均值等式柯西等式中等号时成立
20分
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