全等三角形问题中常见辅助线作法(答案)
总：全等三角形问题构造全等三角形构造二条边间相等构造二角间相等
三角形辅助线做法
图中角分线两边作垂线 图折称关系现
角分线行线等腰三角形添 角分线加垂线三线合试试
线段垂直分线常两端线连 证线段倍半延长缩短试验
三角形中两中点连接成中位线 三角形中中线延长中线等中线
1等腰三角形三线合法：遇等腰三角形作底边高利三线合性质解题
2倍长中线：倍长中线延长线段原中线长相等构造全等三角形
3角分线三种添辅助线
4垂直分线联结线段两端
5截长法补短法： 遇二条线段长等第三条线段长
6图形补全法：角60度120度该角添线构成等边三角形
7角度数3060度作垂线法：遇三角形中角30度60度角边点角边作垂线目构成306090特殊直角三角形然计算边长度角度数样数值相等二条边二角证明全等三角形创造边角间相等条件
8计算数值法：遇等腰直角三角形正方形时306090特殊直角三角形406080特殊直角三角形常计算边长度角度数样数值相等二条边二角证明全等三角形创造边角间相等条件
常见辅助线作法种：构造全等三角形构造二条边间相等二角间相等
1) 遇等腰三角形作底边高利三线合性质解题思维模式全等变换中折法构造全等三角形．
2) 遇三角形中线倍长中线延长线段原中线长相等构造全等三角形利思维模式全等变换中旋转 法构造全等三角形．
3) 遇角分线三种添辅助线方法（1）角分线某点角两边作垂线利思维模式三角形全等变换中折考知识点常常角分线性质定理逆定理．（2）角分线点作该角分线垂线角两边相交形成全等三角形（3）该角两边距离角顶点相等长度位置截取二点然两点角分线某点作边线构造全等三角形
4) 图形某点作特定分线构造全等三角形利思维模式全等变换中移翻转折叠
5) 截长法补短法具体做法某条线段截取条线段特定线段相等某条线段延长特定线段相等利三角形全等关性质加说明．种作法适合证明线段差倍分等类题目．
6) 已知某线段垂直分线垂直分线某点该线段两端点作连线出全等三角形
特殊方法：求关三角形定值类问题时常某点原三角形顶点线段连接起利三角形面积知识解答．
倍长中线（线段）造全等
例1（希杯试题）已知图△ABC中AB5AC3中线AD取值范围_________
例2图△ABC中EF分ABACDE⊥DFD中点试较BE+CFEF
例3图△ABC中BDDCACEDC中点求证：AD分∠BAE
应：
1（09崇文二模）两边ABAC腰分外作等腰Rt等腰Rt连接DEMN分BCDE中点．探究：AMDE位置关系数量关系．
（1）图① 直角三角形时AMDE位置关系
线段AMDE数量关系
（2）图①中等腰Rt绕点A逆时针方旋转(0<<90)图②示（1）问中两结否发生改变？说明理．
二截长补短
1图中AB2ACAD分ADBD求证：CD⊥AC
2图AD∥BCEAEB分分∠DAB∠CBACD点E求证AB＝AD+BC
3图已知PQ分BCCAAPBQ分角分线求证：BQ+AQAB+BP
4图四边形ABCD中BC＞BAAD＝CDBD分
求证：
5图△ABC中AB＞AC∠1＝∠2PAD意点求证ABAC＞PBPC
应：
三移变换
例1 AD△ABC角分线直线MN⊥ADAEMN点△ABC周长记△EBC周长记求证＞
例2 图△ABC边取两点DEBDCE求证：AB+AC>AD+AE
四助角分线造全等
1图已知△ABC中∠B60°△ABC角分线ADCE相交点O求证：OEOD
2图△ABC中AD分∠BACDG⊥BC分BCDE⊥ABEDF⊥ACF
（1）说明BECF理（2）果ABAC求AEBE长
应：
1图①OP∠MON分线请利该图形画OP直线称轴全等三角形请参考作全等三角形方法解答列问题：
（1）图②△ABC中∠ACB直角∠B60°ADCE分∠BAC∠BCA分线ADCE相交点F请判断写出FEFD间数量关系
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
（2）图③△ABC中果∠ACB直角(1)中条件变请问(1)中结否然成立？成立请证明成立请说明理
五旋转
例1 正方形ABCD中EBC点FCD点BE+DFEF求∠EAF度数
例2 D等腰斜边AB中点DM⊥DNDMDN分交BCCA点EF
（1） 绕点D转动时求证DEDF
（2） AB2求四边形DECF面积
例3 图边长3等边三角形等腰三角形D顶点做角两边分交AB点M交AC点N连接MN周长
应：
1已知四边形中绕点旋转两边分交（延长线）．
绕点旋转时（图1）易证．
绕点旋转时图2图3两种情况述结否成立？成立请予证明成立线段样数量关系？请写出猜想需证明．
（图1）
（图2）
（图3）
2（西城09年模）已知PAPB4AB边作正方形ABCDPD两点落直线AB两侧
(1)图∠APB45°时求ABPD长
(2)∠APB变化条件变时求PD值相应∠APB
3等边两边ABAC直线分两点MND外点BDDC 探究：MN分直线ABAC移动时BMNCMN间数量关系周长Q等边周长L关系．
图1 图2 图3
（I）图1点MN边ABACDMDN时BMNCMN间数量关系 时
（II）图2点MN边ABACDMDN时猜想（I）问两结成立？写出猜想加证明
（III） 图3MN分边ABCA延长线时
ANQ （L表示）．
参考答案提示
倍长中线（线段）造全等
例1（希杯试题）已知图△ABC中AB5AC3中线AD取值范围_________
解：延长ADEAE＝2AD连BE三角形性质知
ABBE <2AD
例2图△ABC中EF分ABACDE⊥DFD中点试较BE+CFEF
解：(倍长中线等腰三角形三线合法)延长FDGFG＝2EF连BGEG
显然BG＝FC
△EFG中注意DE⊥DF等腰三角形三线合知
EG＝EF
△BEG中三角形性质知
EG：EF例3图△ABC中BDDCACEDC中点求证：AD分∠BAE
解：延长AEGAG＝2AE连BGDG
显然DG＝AC ∠GDC∠ACD
DCAC ∠ADC∠DAC
△ADB△ADG中
BD＝ACDGAD＝AD
∠ADB∠ADC+∠ACD∠ADC+∠GDC＝∠ADG
△ADB≌△ADG∠BAD∠DAGAD分∠BAE
应：
1（09崇文二模）两边ABAC腰分外作等腰Rt等腰Rt连接DEMN分BCDE中点．探究：AMDE位置关系数量关系．
（1）图① 直角三角形时AMDE位置关系
线段AMDE数量关系
（2）图①中等腰Rt绕点A逆时针方旋转(0<<90)图②示（1）问中两结否发生改变？说明理．
解：（1）
证明：延长AMG连BGABGC行四边形
G
C
H
A
B
D
M
N
E
∴
∵
∴
证：
∴
延长MN交DEH
∵
∴
∴
（2）结然成立．
证明：图延长CAFFA交DE点P连接BF
∵
∴
F
C
P
A
B
D
M
N
E
∵中
∴（SAS）
∴
∴
∴
∵
∴
∴
二截长补短
1图中AB2ACAD分ADBD求证：CD⊥AC
解：（截长法）AB取中点F连FD
△ADB等腰三角形F底AB中点三线合知
DF⊥AB∠AFD＝90°
△ADF≌△ADC（SAS）
∠ACD＝∠AFD＝90°：CD⊥AC
2图AD∥BCEAEB分分∠DAB∠CBACD点E求证AB＝AD+BC
解：（截长法）AB取点FAF＝AD连FE
△ADE≌△AFE（SAS）
∠ADE＝∠AFE
∠ADE+∠BCE＝180°
∠AFE+∠BFE＝180°
∠ECB＝∠EFB
△FBE≌△CBE（AAS）
BF＝BC
AB＝AD+BC
3图已知△ABCPQ分BCCAAPBQ分角分线求证：BQ+AQAB+BP
解：（补短法 计算数值法）延长ABDBD＝BP连DP
等腰△BPD中∠BDP＝40°
∠BDP＝40°＝∠ACP
△ADP≌△ACP（ASA）
AD＝AC
∠QBC＝40°＝∠QCB BQ＝QC
BD＝BP
BQ+AQAB+BP
4图四边形ABCD中BC＞BAAD＝CDBD分
求证：
解：（补短法）延长BAFBF＝BC连FD
△BDF≌△BDC（SAS）
∠DFB＝∠DCB FD＝DC
AD＝CD
等腰△BFD中
∠DFB＝∠DAF
∠BAD+∠BCD＝180°
5图△ABC中AB＞AC∠1＝∠2PAD意点求证ABAC＞PBPC
解：（补短法）延长ACFAF＝AB连PD
△ABP≌△AFP（SAS）
BP＝PF
三角形性质知
PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC
应：
分析：题连接AC梯形问题转化成等边三角形问题然利已知条件等边三角形性质通证明三角形全等解决问题
解：
D
E
A
C
B
F
连接ACE作ACF点
证等边三角形
∴
∵
∴
D
E
A
C
B
∵
∴
中
∴
∴
∴
点评：题解法较新颖梯形问题转化成等边三角形问题然利全等三角形性质解决
三移变换
例1 AD△ABC角分线直线MN⊥ADAEMN点△ABC周长记△EBC周长记求证＞
解：（镜面反射法）延长BAFAF＝AC连FE
AD△ABC角分线 MN⊥AD
知∠FAE＝∠CAE
△FAE≌△CAE（SAS）
EF＝CE
△BEF中： BE+EF>BFBA+AFBA+AC
PBBE+CE+BC>BF+BCBA+AC+BCPA
例2 图△ABC边取两点DEBDCE求证：AB+AC>AD+AE
证明：取BC中点M连AM延长NMNAM连BNDN
∵BDCE
∴DMEM
∴△DMN≌△EMA(SAS)
∴DNAE
理BNCA
延长ND交ABPBN+BP>PNDP+PA>AD
相加BN+BP+DP+PA>PN+AD
减DPBN+AB>DN+AD
∴AB+AC>AD+AE
四助角分线造全等
1图已知△ABC中∠B60°△ABC角分线ADCE相交点O求证：OEODDC+AE AC
证明L(角分线三种添辅助线计算数值法)∠B60度
∠BAC+∠BCA120度
ADCE均角分线
∠OAC+∠OCA60度∠AOE∠COD
∠AOC120度
AC截取线段AFAE连接OF
AOAO∠OAE∠OAF
⊿OAE≌ΔOAF(SAS)
OEOFAEAF
∠AOF∠AOE60度
∠COF∠AOC∠AOF60度∠COD
COCO∠OCD∠OCF
⊿OCD≌ΔOCF(SAS)
ODOFCDCF
OEOD
DC+AECF+AFAC
2图△ABC中AD分∠BACDG⊥BC分BCDE⊥ABEDF⊥ACF
（1）说明BECF理（2）果ABAC求AEBE长
解：(垂直分线联结线段两端)连接BDDC
DG垂直分BCBD＝DC
AD分∠BAC DE⊥ABEDF⊥ACF
ED＝DF
RT△DBE≌RT△DFC（HL）
BE＝CF
AB+AC＝2AE
AE＝（a+b）2
BE(ab)2
应：
1图①OP∠MON分线请利该图形画OP直线称轴全等三角形请参考作全等三角形方法解答列问题：
（1）图②△ABC中∠ACB直角∠B60°ADCE分∠BAC∠BCA分线ADCE相交点F请判断写出FEFD间数量关系
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
（2）图③△ABC中果∠ACB直角(1)中条件变请问(1)中结否然成立？成立请证明成立请说明理
解：（1）FEFD间数量关系
（2）答：（1）中结然成立
证法：图1AC截取连结FG
∵AF公边
∴
∴
F
B
E
A
C
D
图 1
2
1
4
3
G
∵ADCE分分线
∴
∴
∴
∵FC公边
∴
∴
∴
证法二：图2点F分作点G点H
F
B
E
A
C
D
图 2
2
1
4
3
H
G
∵ADCE分分线
∴F心
∴
∵
∴
∴证
∴
五旋转
例1 正方形ABCD中EBC点FCD点BE+DFEF求∠EAF度数
证明：三角形ADF绕点A时针旋转90度三角形ABG
GEGB+BEDF+BEEF
AEAEAFAG
三角形AEF全等AEG
∠EAF∠GAE∠BAE+∠GAB∠BAE+∠DAF
∠EAF+∠BAE+∠DAF90
∠EAF45度
例2 D等腰斜边AB中点DM⊥DNDMDN分交BCCA点EF
(1)绕点D转动时求证DEDF
(2)AB2求四边形DECF面积
解：(计算数值法)（1）连接DC
D等腰斜边AB中点CD⊥ABCD＝DA
CD分∠BCA＝90°∠ECD＝∠DCA＝45°
DM⊥DN∠EDN＝90°
CD⊥AB∠CDA＝90°
∠CDE＝∠FDA＝
△CDE≌△ADF（ASA）
DEDF
（2）S△ABC2 S四DECF S△ACD1
例3 图边长3等边三角形等腰三角形D顶点做角两边分交AB点M交AC点N连接MN周长
解：(图形补全法 截长法补短法 计算数值法) AC延长线BD延长线交点F线段CF取点ECE＝BM
∵△ABC等边三角形△BCD等腰三角形∠BDC120°
∴∠MBD∠MBC+∠DBC60°+30°90°
∠DCE180°∠ACD180°∠ABD90°
∵BMCEBDCD
∴△CDE≌△BDM
∴∠CDE∠BDMDEDM
∠NDE∠NDC+∠CDE∠NDC+∠BDM∠BDC∠MDN120°60°60°
∵△DMN△DEN中
DMDE
∠MDN∠EDN60°
DNDN
∴△DMN≌△DEN
∴MNNE
∵△DMA△DEF中
DMDE
∠MDA60° ∠MDB60° ∠CDE∠EDF (∠CDE∠BDM)
∠DAM∠DFE30°
∴△DMN≌△DEN (AAS)
∴MAFE
周长AN+MN+AMAN+NE+EFAF6
应：
1已知四边形中绕点旋转两边分交（延长线）．
绕点旋转时（图1）易证．
绕点旋转时图2图3两种情况述结否成立？成立请予证明成立线段样数量关系？请写出猜想需证明．
（图1）
（图2）
（图3）
解：（1）∵
∴（SAS）
∴
∵
∴等边三角形
∴
∴
（2）图2成立图3成立
证明图2延长DC点K连接BK
K
A
B
C
D
E
F
M
N
图 2
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
图3成立AECFEF关系
2（西城09年模）已知PAPB4AB边作正方形ABCDPD两点落直线AB两侧
(1)图∠APB45°时求ABPD长
(2)∠APB变化条件变时求PD值相应∠APB
分析：（1）作辅助线点A作点E中已知AP值根三角函数AEPE值求出PB值求BE值中根勾股定理AB值求出求PD值两种解法解法：绕点A时针旋转求PD长求长中值求出中根勾股定理值求出解法二：点P作AB行线DA延长线交F交PBG中求出AGEG长进知PG值中求出PF中根勾股定理PD值求出
（2）绕点A时针旋转PD值值PB三点线时取值根求值时．
E
P
A
D
C
B
解：（1）①图作点E
∵中
∴
∵
∴
中
∴
P′
P
A
C
B
D
E
②解法：图四边形ABCD正方形绕点A时针旋转
∴
∴
∴
解法二：图点P作AB行线DA延长线交F设DA延长线交PBG．
G
F
P
A
C
B
D
E
中
中
中
（2）图示绕点A时针旋转PD值值
∵中PD两点落直线AB两侧
∴PB三点线时取值（图）
P′
P
A
C
B
D
P′
P
A
C
B
D
时值6
时
3等边两边ABAC直线分两点MND外点BDDC 探究：MN分直线ABAC移动时BMNCMN间数量关系周长Q等边周长L关系．
图1 图2 图3
（I）图1点MN边ABACDMDN时BMNCMN间数量关系 时
（II）图2点MN边ABACDMDN时猜想（I）问两结成立？写出猜想加证明
（III） 图3MN分边ABCA延长线时
ANQ （L表示）．
分析：（1）果直角三角形MBDNCD中根HL定理两三角形全等三角形NCD中三角形DNM中三角形DMN等边三角形三角形AMN周长
三角形ABC周长．
（2）果通构建全等三角形实现线段转换延长ACE连接DE．（1）中已出三角形MBDECD中组直角两三角形全等．三角形MDNEDN中条公边两三角形全等BM转换成CEMN转换成NE．QL关系求法（1）出结果样
（3）通构建全等三角形实现线段转换思路（2）D作三角形BDMCDH中（1）中已出做角两三角形全等（ASA）．三角形MDNNDH中已知条件条公边ND想证两三角形全等需知道
样构成两三角形全等条件．三角形MDNDNH全等．三角形AMN周长
．三角形AMN周长．
解：（1）图1BMNCMN间数量关系：时．
图 1
N
M
A
D
C
B
（2）猜想：结然成立．
证明：图2延长ACE连接DE
∵
∴
等边三角形
E
图 2
N
M
A
D
C
B
∴
中
H
图 3
N
M
A
D
C
B
∴（SAS）
∴
∴
中
∴（SAS）
∴
周长
等边周长
∴
（3）图3MN分ABCA延长线时（xL表示）．
点评：题考查三角形全等判定性质题目中线段转换根全等三角形实现题中没明显全等三角形时根条件通作辅助线构建已知求条件相关全等三角形
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总：全等三角形问题构造全等三角形构造二条边间相等构造二角间相等
三角形辅助线做法
图中角分线两边作垂线 图折称关系现
角分线行线等腰三角形添 角分线加垂线三线合试试
线段垂直分线常两端线连 证线段倍半延长缩短试验
三角形中两中点连接成中位线 三角形中中线延长中线等中线
1等腰三角形三线合法：遇等腰三角形作底边高利三线合性质解题
2倍长中线：倍长中线延长线段原中线长相等构造全等三角形
3角分线三种添辅助线
4垂直分线联结线段两端
5截长法补短法： 遇二条线段长等第三条线段长
6图形补全法：角60度120度该角添线构成等边三角形
7角度数3060度作垂线法：遇三角形中角30度60度角边点角边作垂线目构成306090特殊直角三角形然计算边长度角度数样数值相等二条边二角证明全等三角形创造边角间相等条件
8计算数值法：遇等腰直角三角形正方形时306090特殊直角三角形406080特殊直角三角形常计算边长度角度数样数值相等二条边二角证明全等三角形创造边角间相等条件
常见辅助线作法种：构造全等三角形构造二条边间相等二角间相等
1) 遇等腰三角形作底边高利三线合性质解题思维模式全等变换中折法构造全等三角形．
2) 遇三角形中线倍长中线延长线段原中线长相等构造全等三角形利思维模式全等变换中旋转 法构造全等三角形．
3) 遇角分线三种添辅助线方法（1）角分线某点角两边作垂线利思维模式三角形全等变换中折考知识点常常角分线性质定理逆定理．（2）角分线点作该角分线垂线角两边相交形成全等三角形（3）该角两边距离角顶点相等长度位置截取二点然两点角分线某点作边线构造全等三角形
4) 图形某点作特定分线构造全等三角形利思维模式全等变换中移翻转折叠
5) 截长法补短法具体做法某条线段截取条线段特定线段相等某条线段延长特定线段相等利三角形全等关性质加说明．种作法适合证明线段差倍分等类题目．
6) 已知某线段垂直分线垂直分线某点该线段两端点作连线出全等三角形
特殊方法：求关三角形定值类问题时常某点原三角形顶点线段连接起利三角形面积知识解答．
倍长中线（线段）造全等
例1（希杯试题）已知图△ABC中AB5AC3中线AD取值范围_________
例2图△ABC中EF分ABACDE⊥DFD中点试较BE+CFEF
例3图△ABC中BDDCACEDC中点求证：AD分∠BAE
应：
1（09崇文二模）两边ABAC腰分外作等腰Rt等腰Rt连接DEMN分BCDE中点．探究：AMDE位置关系数量关系．
（1）图① 直角三角形时AMDE位置关系
线段AMDE数量关系
（2）图①中等腰Rt绕点A逆时针方旋转(0<<90)图②示（1）问中两结否发生改变？说明理．
二截长补短
1图中AB2ACAD分ADBD求证：CD⊥AC
2图AD∥BCEAEB分分∠DAB∠CBACD点E求证AB＝AD+BC
3图已知PQ分BCCAAPBQ分角分线求证：BQ+AQAB+BP
4图四边形ABCD中BC＞BAAD＝CDBD分
求证：
5图△ABC中AB＞AC∠1＝∠2PAD意点求证ABAC＞PBPC
应：
三移变换
例1 AD△ABC角分线直线MN⊥ADAEMN点△ABC周长记△EBC周长记求证＞
例2 图△ABC边取两点DEBDCE求证：AB+AC>AD+AE
四助角分线造全等
1图已知△ABC中∠B60°△ABC角分线ADCE相交点O求证：OEOD
2图△ABC中AD分∠BACDG⊥BC分BCDE⊥ABEDF⊥ACF
（1）说明BECF理（2）果ABAC求AEBE长
应：
1图①OP∠MON分线请利该图形画OP直线称轴全等三角形请参考作全等三角形方法解答列问题：
（1）图②△ABC中∠ACB直角∠B60°ADCE分∠BAC∠BCA分线ADCE相交点F请判断写出FEFD间数量关系
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
（2）图③△ABC中果∠ACB直角(1)中条件变请问(1)中结否然成立？成立请证明成立请说明理
五旋转
例1 正方形ABCD中EBC点FCD点BE+DFEF求∠EAF度数
例2 D等腰斜边AB中点DM⊥DNDMDN分交BCCA点EF
（1） 绕点D转动时求证DEDF
（2） AB2求四边形DECF面积
例3 图边长3等边三角形等腰三角形D顶点做角两边分交AB点M交AC点N连接MN周长
应：
1已知四边形中绕点旋转两边分交（延长线）．
绕点旋转时（图1）易证．
绕点旋转时图2图3两种情况述结否成立？成立请予证明成立线段样数量关系？请写出猜想需证明．
（图1）
（图2）
（图3）
2（西城09年模）已知PAPB4AB边作正方形ABCDPD两点落直线AB两侧
(1)图∠APB45°时求ABPD长
(2)∠APB变化条件变时求PD值相应∠APB
3等边两边ABAC直线分两点MND外点BDDC 探究：MN分直线ABAC移动时BMNCMN间数量关系周长Q等边周长L关系．
图1 图2 图3
（I）图1点MN边ABACDMDN时BMNCMN间数量关系 时
（II）图2点MN边ABACDMDN时猜想（I）问两结成立？写出猜想加证明
（III） 图3MN分边ABCA延长线时
ANQ （L表示）．
参考答案提示
倍长中线（线段）造全等
例1（希杯试题）已知图△ABC中AB5AC3中线AD取值范围_________
解：延长ADEAE＝2AD连BE三角形性质知
ABBE <2AD
例2图△ABC中EF分ABACDE⊥DFD中点试较BE+CFEF
解：(倍长中线等腰三角形三线合法)延长FDGFG＝2EF连BGEG
显然BG＝FC
△EFG中注意DE⊥DF等腰三角形三线合知
EG＝EF
△BEG中三角形性质知
EG
解：延长AEGAG＝2AE连BGDG
显然DG＝AC ∠GDC∠ACD
DCAC ∠ADC∠DAC
△ADB△ADG中
BD＝ACDGAD＝AD
∠ADB∠ADC+∠ACD∠ADC+∠GDC＝∠ADG
△ADB≌△ADG∠BAD∠DAGAD分∠BAE
应：
1（09崇文二模）两边ABAC腰分外作等腰Rt等腰Rt连接DEMN分BCDE中点．探究：AMDE位置关系数量关系．
（1）图① 直角三角形时AMDE位置关系
线段AMDE数量关系
（2）图①中等腰Rt绕点A逆时针方旋转(0<<90)图②示（1）问中两结否发生改变？说明理．
解：（1）
证明：延长AMG连BGABGC行四边形
G
C
H
A
B
D
M
N
E
∴
∵
∴
证：
∴
延长MN交DEH
∵
∴
∴
（2）结然成立．
证明：图延长CAFFA交DE点P连接BF
∵
∴
F
C
P
A
B
D
M
N
E
∵中
∴（SAS）
∴
∴
∴
∵
∴
∴
二截长补短
1图中AB2ACAD分ADBD求证：CD⊥AC
解：（截长法）AB取中点F连FD
△ADB等腰三角形F底AB中点三线合知
DF⊥AB∠AFD＝90°
△ADF≌△ADC（SAS）
∠ACD＝∠AFD＝90°：CD⊥AC
2图AD∥BCEAEB分分∠DAB∠CBACD点E求证AB＝AD+BC
解：（截长法）AB取点FAF＝AD连FE
△ADE≌△AFE（SAS）
∠ADE＝∠AFE
∠ADE+∠BCE＝180°
∠AFE+∠BFE＝180°
∠ECB＝∠EFB
△FBE≌△CBE（AAS）
BF＝BC
AB＝AD+BC
3图已知△ABCPQ分BCCAAPBQ分角分线求证：BQ+AQAB+BP
解：（补短法 计算数值法）延长ABDBD＝BP连DP
等腰△BPD中∠BDP＝40°
∠BDP＝40°＝∠ACP
△ADP≌△ACP（ASA）
AD＝AC
∠QBC＝40°＝∠QCB BQ＝QC
BD＝BP
BQ+AQAB+BP
4图四边形ABCD中BC＞BAAD＝CDBD分
求证：
解：（补短法）延长BAFBF＝BC连FD
△BDF≌△BDC（SAS）
∠DFB＝∠DCB FD＝DC
AD＝CD
等腰△BFD中
∠DFB＝∠DAF
∠BAD+∠BCD＝180°
5图△ABC中AB＞AC∠1＝∠2PAD意点求证ABAC＞PBPC
解：（补短法）延长ACFAF＝AB连PD
△ABP≌△AFP（SAS）
BP＝PF
三角形性质知
PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC
应：
分析：题连接AC梯形问题转化成等边三角形问题然利已知条件等边三角形性质通证明三角形全等解决问题
解：
D
E
A
C
B
F
连接ACE作ACF点
证等边三角形
∴
∵
∴
D
E
A
C
B
∵
∴
中
∴
∴
∴
点评：题解法较新颖梯形问题转化成等边三角形问题然利全等三角形性质解决
三移变换
例1 AD△ABC角分线直线MN⊥ADAEMN点△ABC周长记△EBC周长记求证＞
解：（镜面反射法）延长BAFAF＝AC连FE
AD△ABC角分线 MN⊥AD
知∠FAE＝∠CAE
△FAE≌△CAE（SAS）
EF＝CE
△BEF中： BE+EF>BFBA+AFBA+AC
PBBE+CE+BC>BF+BCBA+AC+BCPA
例2 图△ABC边取两点DEBDCE求证：AB+AC>AD+AE
证明：取BC中点M连AM延长NMNAM连BNDN
∵BDCE
∴DMEM
∴△DMN≌△EMA(SAS)
∴DNAE
理BNCA
延长ND交ABPBN+BP>PNDP+PA>AD
相加BN+BP+DP+PA>PN+AD
减DPBN+AB>DN+AD
∴AB+AC>AD+AE
四助角分线造全等
1图已知△ABC中∠B60°△ABC角分线ADCE相交点O求证：OEODDC+AE AC
证明L(角分线三种添辅助线计算数值法)∠B60度
∠BAC+∠BCA120度
ADCE均角分线
∠OAC+∠OCA60度∠AOE∠COD
∠AOC120度
AC截取线段AFAE连接OF
AOAO∠OAE∠OAF
⊿OAE≌ΔOAF(SAS)
OEOFAEAF
∠AOF∠AOE60度
∠COF∠AOC∠AOF60度∠COD
COCO∠OCD∠OCF
⊿OCD≌ΔOCF(SAS)
ODOFCDCF
OEOD
DC+AECF+AFAC
2图△ABC中AD分∠BACDG⊥BC分BCDE⊥ABEDF⊥ACF
（1）说明BECF理（2）果ABAC求AEBE长
解：(垂直分线联结线段两端)连接BDDC
DG垂直分BCBD＝DC
AD分∠BAC DE⊥ABEDF⊥ACF
ED＝DF
RT△DBE≌RT△DFC（HL）
BE＝CF
AB+AC＝2AE
AE＝（a+b）2
BE(ab)2
应：
1图①OP∠MON分线请利该图形画OP直线称轴全等三角形请参考作全等三角形方法解答列问题：
（1）图②△ABC中∠ACB直角∠B60°ADCE分∠BAC∠BCA分线ADCE相交点F请判断写出FEFD间数量关系
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
（2）图③△ABC中果∠ACB直角(1)中条件变请问(1)中结否然成立？成立请证明成立请说明理
解：（1）FEFD间数量关系
（2）答：（1）中结然成立
证法：图1AC截取连结FG
∵AF公边
∴
∴
F
B
E
A
C
D
图 1
2
1
4
3
G
∵ADCE分分线
∴
∴
∴
∵FC公边
∴
∴
∴
证法二：图2点F分作点G点H
F
B
E
A
C
D
图 2
2
1
4
3
H
G
∵ADCE分分线
∴F心
∴
∵
∴
∴证
∴
五旋转
例1 正方形ABCD中EBC点FCD点BE+DFEF求∠EAF度数
证明：三角形ADF绕点A时针旋转90度三角形ABG
GEGB+BEDF+BEEF
AEAEAFAG
三角形AEF全等AEG
∠EAF∠GAE∠BAE+∠GAB∠BAE+∠DAF
∠EAF+∠BAE+∠DAF90
∠EAF45度
例2 D等腰斜边AB中点DM⊥DNDMDN分交BCCA点EF
(1)绕点D转动时求证DEDF
(2)AB2求四边形DECF面积
解：(计算数值法)（1）连接DC
D等腰斜边AB中点CD⊥ABCD＝DA
CD分∠BCA＝90°∠ECD＝∠DCA＝45°
DM⊥DN∠EDN＝90°
CD⊥AB∠CDA＝90°
∠CDE＝∠FDA＝
△CDE≌△ADF（ASA）
DEDF
（2）S△ABC2 S四DECF S△ACD1
例3 图边长3等边三角形等腰三角形D顶点做角两边分交AB点M交AC点N连接MN周长
解：(图形补全法 截长法补短法 计算数值法) AC延长线BD延长线交点F线段CF取点ECE＝BM
∵△ABC等边三角形△BCD等腰三角形∠BDC120°
∴∠MBD∠MBC+∠DBC60°+30°90°
∠DCE180°∠ACD180°∠ABD90°
∵BMCEBDCD
∴△CDE≌△BDM
∴∠CDE∠BDMDEDM
∠NDE∠NDC+∠CDE∠NDC+∠BDM∠BDC∠MDN120°60°60°
∵△DMN△DEN中
DMDE
∠MDN∠EDN60°
DNDN
∴△DMN≌△DEN
∴MNNE
∵△DMA△DEF中
DMDE
∠MDA60° ∠MDB60° ∠CDE∠EDF (∠CDE∠BDM)
∠DAM∠DFE30°
∴△DMN≌△DEN (AAS)
∴MAFE
周长AN+MN+AMAN+NE+EFAF6
应：
1已知四边形中绕点旋转两边分交（延长线）．
绕点旋转时（图1）易证．
绕点旋转时图2图3两种情况述结否成立？成立请予证明成立线段样数量关系？请写出猜想需证明．
（图1）
（图2）
（图3）
解：（1）∵
∴（SAS）
∴
∵
∴等边三角形
∴
∴
（2）图2成立图3成立
证明图2延长DC点K连接BK
K
A
B
C
D
E
F
M
N
图 2
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
图3成立AECFEF关系
2（西城09年模）已知PAPB4AB边作正方形ABCDPD两点落直线AB两侧
(1)图∠APB45°时求ABPD长
(2)∠APB变化条件变时求PD值相应∠APB
分析：（1）作辅助线点A作点E中已知AP值根三角函数AEPE值求出PB值求BE值中根勾股定理AB值求出求PD值两种解法解法：绕点A时针旋转求PD长求长中值求出中根勾股定理值求出解法二：点P作AB行线DA延长线交F交PBG中求出AGEG长进知PG值中求出PF中根勾股定理PD值求出
（2）绕点A时针旋转PD值值PB三点线时取值根求值时．
E
P
A
D
C
B
解：（1）①图作点E
∵中
∴
∵
∴
中
∴
P′
P
A
C
B
D
E
②解法：图四边形ABCD正方形绕点A时针旋转
∴
∴
∴
解法二：图点P作AB行线DA延长线交F设DA延长线交PBG．
G
F
P
A
C
B
D
E
中
中
中
（2）图示绕点A时针旋转PD值值
∵中PD两点落直线AB两侧
∴PB三点线时取值（图）
P′
P
A
C
B
D
P′
P
A
C
B
D
时值6
时
3等边两边ABAC直线分两点MND外点BDDC 探究：MN分直线ABAC移动时BMNCMN间数量关系周长Q等边周长L关系．
图1 图2 图3
（I）图1点MN边ABACDMDN时BMNCMN间数量关系 时
（II）图2点MN边ABACDMDN时猜想（I）问两结成立？写出猜想加证明
（III） 图3MN分边ABCA延长线时
ANQ （L表示）．
分析：（1）果直角三角形MBDNCD中根HL定理两三角形全等三角形NCD中三角形DNM中三角形DMN等边三角形三角形AMN周长
三角形ABC周长．
（2）果通构建全等三角形实现线段转换延长ACE连接DE．（1）中已出三角形MBDECD中组直角两三角形全等．三角形MDNEDN中条公边两三角形全等BM转换成CEMN转换成NE．QL关系求法（1）出结果样
（3）通构建全等三角形实现线段转换思路（2）D作三角形BDMCDH中（1）中已出做角两三角形全等（ASA）．三角形MDNNDH中已知条件条公边ND想证两三角形全等需知道
样构成两三角形全等条件．三角形MDNDNH全等．三角形AMN周长
．三角形AMN周长．
解：（1）图1BMNCMN间数量关系：时．
图 1
N
M
A
D
C
B
（2）猜想：结然成立．
证明：图2延长ACE连接DE
∵
∴
等边三角形
E
图 2
N
M
A
D
C
B
∴
中
H
图 3
N
M
A
D
C
B
∴（SAS）
∴
∴
中
∴（SAS）
∴
周长
等边周长
∴
（3）图3MN分ABCA延长线时（xL表示）．
点评：题考查三角形全等判定性质题目中线段转换根全等三角形实现题中没明显全等三角形时根条件通作辅助线构建已知求条件相关全等三角形
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