高考数学高频易错题举例解析
高中数学中许题目求解思路难解题时某特殊情形讨容易忽略转化程中没注意转化等价性会常出现错误文通例子剖析致错原希学学帮助加强思维严密性训练
● 忽视等价性变形导致错误
Û 等价
例1已知f(x) ax + 求范围
错误解法 条件
②×2－①
①×2－②
+
错误分析 采种解法忽视样事实：作满足条件函数值时受制约取（）值时定取（）值整解题思路错误
正确解法 题意 解：
范围代入
题中够检查出解题思路错误出正确解法体现思维具反思性牢固掌握基础知识反思性问题
●忽视隐含条件导致结果错误
例2
(1) 设方程两实根值
思路分析 例答案正确设3陷阱容易
利元二次方程根系数关系易：
学生常受选择答案（A）诱惑盲附正思维缺乏反思性体现果反思性态度考察选择答案源间区中选出正确答案
原方程两实根∴ Þ
时值8
时值18
时作出正确选择（B）正确
(2) 已知(x+2)2+ 1 求x2+y2取值范围
错解 已知 y2－4x2－16x－12 x2+y2－3x2－16x－12－3(x+)2+
∴x－时x2+y2值x2+y2取值范围(－∞ ]
分析 没注意x取值范围受已知条件限制丢掉值
事实(x+2)2+ 1 Þ (x+2)21－ ≤1 Þ －3≤x≤－1
x－1时x2+y2值1∴ x2+y2取值范围[1 ]
注意界性：偶次方x2≥0三角函数－1≤sinx≤1指数函数ax>0圆锥曲线界性等
●忽视等式中等号成立条件导致结果错误
例3已知：a>0 b>0 a+b1求(a+ )2+(b+ )2值
错解 (a+)2+(b+)2a2+b2+++4≥2ab++4≥4+48
∴(a+)2+(b+)2值8
分析 面解答中两次基等式a2+b2≥2ab第次等号成立条件ab第二次等号成立条件ab显然两条件时成立8值
事实原式 a2+b2+++4( a2+b2)+(+)+4[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4
(1－2ab)(1+)+4
ab≤()2 ：1－2ab≥1－ ≥161+≥17
∴原式≥×17+4 (仅ab时等号成立)
∴(a + )2 + (b + )2值
●进行分类讨导致错误
例4(1)已知数列前项求
错误解法
错误分析 显然时
错误原：没注意公式成立条件
运时必须检验时情形：
(2)实数值时圆抛物线两公点
错误解法 圆抛物线 联立消
①
两公点方程①两相等正根 解
错误分析 （图2－2－12－2－2）显然时圆抛物线两公点
x
y
O
图2－2－2
x
y
O
图2－2－1
圆抛物线两交点充条件方程①正根负根两相等正根
方程①正根负根时解
时圆抛物线两公点
思考题：实数值时圆抛物线
(1) 公点(2)三公点(3)四公点(4)没公点
●偏概全导致错误
偏概全指思考全面遗漏特殊情况致解答完全出问题全部答案表现出思维严密性
例5(1)设等数列全项求数列公
错误解法
错误分析 错解中
时应
等数列中显然公q完全1解题时应先讨公情况情况式子进行整理变形
正确解法 题设矛盾
题意 Þ Þ 解
说明 题1996年全国高考文史类数学试题第（21）题少考生解法错误解法根评分标准痛失2分
(2)求点直线抛物线仅交点
错误解法 设求点直线抛物线交点
消整理
直线抛物线仅交点解求直线
错误分析 处解法三处错误：
第设求直线时没考虑斜率存情形实际承认该直线斜率存零严密
第二题中求直线抛物线交点包含相交相切两种情况述解法没考虑相切情况考虑相交情况原直线抛物线相切交点关系理解透
第三直线方程抛物线方程联立元二次方程考虑判式二次项系数零述解法没作考虑表现出思维严密
正确解法 ①求直线斜率存时直线垂直轴点轴正抛物线相切
②求直线斜率零时直线y 1行轴正抛物线交点
③般设求点直线
令解k ∴ 求直线
综满足条件直线：
章节易错训练题
1已知集合M {直线} N {圆} M∩N中元素数 A(集合元素确定性)
(A) 0 (B) 01 (C) 02 (D) 012
2已知A A∩R* F 实数t集合T ___(空集)
3果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立实数k取值范围C(等号)
(A) －1≤k≤0 (B) －1≤k<0 (C) －14命题＜3命题＜0AB充分必条件取值范围C(等号)
（A） （B） （C） （D）
5等式x2－logax<0(0 )恒成立实数取值范围A(等号)
(A) [1) (B) (1 + ¥) (C) (1) (D) (1)∪(12)
6等式(－1)na < 2 +意正整数n恒成立实数取值范围A(等号)
(A) [－2) (B) (－2) (C) [－3) (D) (－3)
7已知定义实数集函数满足：时意
实数证明：奇函数(特殊般关系)
8已知函数f(x) 函数单调区间_____递减区间(－¥－1)(－1 +¥)
（单调性单调区间）
9函数y 单调递增区间________[－－1）（定义域）
10已知函数f (x) f (x)反函数f －1(x)
（漏反函数定义域原函数值域）
11函数 f (x) log (x 2 + a x + 2) 值域 R实数 a 取值范围D(正确△≥0△<0)
(A) (－22) (B) [－22]
(C) (－¥－2)∪(2+¥) (D) (－¥－2]∪[2+¥)
12x≥0y≥0x+2y12x+3y2值B(隐含条件)
（A）2 （B） （C） （D）0
13函数y值域________(－∞ )∪(1)∪(1+∞) （定义域）
14函数y sin x (1 + tan x tan )正周期 C （定义域）
(A) (B) p (C) 2p (D) 3
15已知 f (x) 周期 2 奇函数 x Î [01) 时f (x) 2 x f (log 23) D(数运算)
(A) (B) (C) － (D) －
16已知函数处取极值
（1）讨函数极值极值
（2）点作曲线切线求切线方程(2004天津)
（求极值值推理判断充分(建议列表)求点切线方程判断点否曲线）
17已知tan (a－) － tan a （化齐次式）
18 3 sin 2a + 2 sin 2b －2 sin a 0cos 2a + cos 2b 值 __ (隐含条件)
19已知sinq + cosq q Î (0p)cotq _______－(隐含条件)
20△ABC中abcABC分表示三条边三条边角a 2
∠B B(隐含条件)
（A） （B） （C） （D）
21已知a>0 b>0 a+b1(a + )2 + (b + )2值_______(三相等)
22已知x ≠ kp (k Î Z)函数y sin2x + 值______5（三相等）
23求值
错解1
错解2
错误分析 解法1中充条件
相矛盾
解法2中充条件
正确解法1
中
正 确 解 法2 取正常数易
中取＝充条件
24已知a1 1an an－1 + 2n－1(n≥2)an ________2n－1(认清项数)
25已知 －9a1a2－1 四实数成等差数列－9b1b2b3－1 五实数成等数列
b2 (a2－a1) A(符号)
(A) －8 (B) 8 (C) － (D)
26已知 {an} 等数列Sn前n项判断SkS2k－SkS3k－S2k成等数列？
q －1k偶数时Sk 0SkS2k－SkS3k－S2k成等数列
q≠－1q －1k奇数时SkS2k－SkS3k－S2k成等数列
（忽视公q －1）
27已知定义R函数数列满足列条件：
f(an)－f(an－1) k(an－an－1)(n 23┄)中a常数k非零常数（1）令证明数列等数列（2）求数列通项公式（3）时求(2004天津)
（等数列中01正确分类讨）
28等式m2－(m2－3m)i< (m2－4m + 3)i + 10成立实数m取值集合________{3}(隐含条件)
29i虚数单位虚部（ ）C(概念清)
(A) －1 (B) －i (C) －3 (D) －3 i
30实数方程少实根
错误解法 方程少实根
Þ
错误分析 实数集合复数集合真子集实数范围成立公式定理复数范围定成立必须严格推广方元二次方程根判式实系数元二次方程言题目盲目推广复系数元二次方程中造成解法错误
正确解法 设方程实数根
实数解
31a (3－4)行单位量_________a (3－4)垂直单位量_________
(－)(－)()(－ － )(漏解)
32函数y 4x－8图象L量a移LL函数表达式y 4x量a______
a (h4h+8) (中h Î R)(漏解)
33已知 ||＝1||＝求·
① ·＝||•||＝
②异·＝－||•||＝－(漏解)
34正三棱锥A－BCD中EFABBC中点EF⊥DEBC a正三棱锥A－BCD体积____________a3 (隐含条件)
35直二面角 a－AB－b 棱 AB 取点 P P 分 ab 两面作棱成 45° 斜线 PCPD∠CPDD(漏解)
(A) 45° (B) 60° (C) 120° (D) 60° 120°
36图四棱锥P—ABCD中底面ABCD正方形侧棱PD⊥底面ABCDPDDCEPC中点作EF⊥PB交PB点F
（1）证明PA面EDB
（2）证明PB⊥面EFD
（3）求二面角C—PB—D(2004天津)
(条件充分(漏PA Ë 面EDB面PDCDE∩EF E等)运算错误锐角钝角分)
37方程 + y 2 1表示椭圆m 范围_______(01)∪(1+ ¥)(漏解)
38已知椭圆 + y 2 1离心率 m 值 ____ 4 (漏解)
39椭圆中心原点称轴坐标轴椭圆短轴顶点 B 两焦点 F1F2 组成三角形周长 4 + 2∠F1BF2 椭圆方程 + y 2 1x 2 + 1(漏解)
40椭圆中心原点O短轴长相应焦点F（c0）（）准线x轴相交点A|OF|2|FA|点A直线椭圆相交PQ两点
（1）求椭圆方程离心率（2）求直线PQ方程
（3）设（）点P行准线直线椭圆相交点M证明(2004天津)
(设方程时漏条件a>误认短轴b 2分析直线PQ斜率否存(时设x ky + b)先元二次方程先二次项系数0否考虑△>0韦达定理)
41求轴相切右侧⊙相切圆圆心
轨迹方程
错误解法 图3－2－1示已知⊙C方程
设点求轨迹意点⊙P轴相切M点
⊙C相切N点根已知条件
化简
错误分析 题考虑求轨迹纯粹性（求轨迹点满足条件）没考虑求轨迹完备性（满足条件点求轨迹）事实符合题目条件点坐标满足求方程动圆已知圆切发现轴正半轴点圆心点原点距离半径（等3）圆符合条件求方程动圆圆心轨迹方程y2 12x(x>0)求轨迹时定完整细致周密分析问题样保证求轨迹纯粹性完备性
O
·
图3－2－2
42（图3－2－2）具公轴两直角坐标面成二面角等已知曲线方程求曲线射影曲线方程
错误解法 题意知曲线抛物线
焦点坐标
二面角等
设焦点射影位轴
点求射影焦点题意射影条抛物线开口右顶点原点曲线射影曲线方程
错误分析 述解答错误原直观误认F射影(曲线)焦点次没证明默认Ca 射影(曲线)条抛物线
O
·
图3－2－3
M
N
H
正确解法 设点曲线意点
（图3－2－3）点作垂足
作轴垂足连接
轴二面角
面角题意
知轴（重合）
轴（重合）设
点曲线
求射影方程
数学推理已知数学命题出新命题基思维形式数学求解核心已知真实数学命题定义公理定理性质等选择恰解题方法达解题目标出结系列推理程推理程中必须注意命题间相互关系（充分性必性充性等）做思考缜密推理严密
二选择题：
1．函数图象函数图象（ ）
A 右移 B 右移 C 左移 D左移
错误分析审题仔细目标函数搞错题容易犯错误
答案 B
2．函数正周期 ( )
A B C D
错误分析函数解析式化周期忽视定义域限制导致出错
答案 B
3． 曲线y2sin(x+cos(x)直线yy轴右侧交点横坐标次记P1P2P3……|P2P4|等 （ ） A．p B．2p C．3p D．4p
正确答案：A 错：学生该解析式变形化简Asin(x+)形式助函数图象函数周期性求出|P2P|
4．列四函数ytan2xycos2xysin4xycot(x+)中点(0)中心称三角函数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
正确答案：D 错：学生三角函数图象称性移变换未熟练掌握
5．函数yAsin(wx+j)(w>0A¹0)图象函数yAcos(wx+j)(w>0 A¹0)图象区间(x0x0+)（ ）
A．少两交点 B．两交点
C．交点 D．少交点
正确答案：C 错：学生采取特殊值数形结合思想方法解题
6． DABC中2sinA+cosB2sinB+2cosAÐC应( )
A． B． C． D．
正确答案：A 错：学生求ÐC两解代入检验
7．已知tana tanb方程x2+3x+40两根abÎ()a+b（ ）
A． B． C． D．
正确答案：D 错：学生准确限制角范围
8． 意实数取值（ ）
A 1 B 区间（01）
C D 确定
解：设点点满足
解
选A
解二：赋值法
令
样
选A
说明：题极易认答案A会关呢？实忽略隐含条件导致错选CD
9． 中（ ）
A B C D
解：方相加
选A
说明：题极易错选条件较隐蔽易发现里提示注意题目条件挖掘
10． 中C应边分三角形两解取值范围 ( )
A B C D
正确答案：A
错：知利数形结合寻找突破口
11．已知函数 ysin(x+)直线y＝交点中距离两点距离函数周期（ ）
A B C 2 D 4
正确答案：B
错：会利范围快速解题
12．函数增函数区间………………………… ( )
A B C D
正确答案：C
错：注意函数单调性
13．已知列式中成立（ ）
A B C D
正确答案(D)
错难抓住三角函数单调性
14．函数图象条称轴方程（）
正确答案A
错：没观察表达式整体构造盲目化简导致表达式变繁法继续化简
15．ω正实数函数增函数（ ）
A． B． C． D．
正确答案A
错：部分学生法正面解决解利特殊值法
16．(02π)cosx＞sinx＞tanx成立x取值范围 （ ）
A () B () C（） D()
正确答案：C
17．设关x方程两等实根
A B C D确定
正确答案：A
18．△ABC中已知cosAsinBcosC值（ ）
A B C D
答案：A
点评：易误选C忽略题中隐含条件挖掘
19．△ABC中3sinA+4cosB64sinB+3cosA1∠C（ ）
A B C D
答案：A
点评：易误选C忽略A+B范围
20．设cos1000ktan800（ ）
A B C D
答案：B
点评：误选C忽略三角函数符号选择
21．已知角终边点坐标（）角值（ ）
A B C D
正解：D
角终边第四象限选D
误解：选B
22．函数图右移单位作关轴称变换函数图（ ）
A B C D
正解：B
作关x轴称变换然左移单位函数
误解：未想逆推某步骤时未逆推终导致错解
23． ABCABC三角方程两实数根ABC（ ）
A钝角三角形 B锐角三角形 C等腰三角形 D等边三角形
正解：A
韦达定理：
中
钝角钝角三角形
24．曲线参数）点两坐标轴距离值（ ）
A B C1 D
正解：D
表示曲线圆称性考虑情况
∴
误解：计算错误致
25．锐角⊿ABC中取值范围（ ）
A B C D
错解 B
错注意未注意必须正
正解 A
26．已知（） （C）
A B C D
错解：A
错：忽略解出
正解：C
27．先函数ysin2x图象右移单位长度图象作关y轴称变换函数图象应解析式 （ ）
A．ysin(－2x+ ) B． ysin(－2x－)
C．ysin(－2x+ ) D． ysin(－2x－)
错解：B
错：函数ysin2x图象右移单位长度时写成
正解：D
28．果取值范围（ ）
A． B． C． D．
错解 D．
错注意定义域忽视解集中包含
正解 B．
29．函数单调减区间（ ）
A （） B
C D
答案：D
错解：B
错：没考虑根号里表达式非负
30．已知取值范围（ ）
A B C D
答案：A设sin2x sin2y2t
错解：BC
错：
选B相减时选C没考虑述两种情况均须满足
31．锐角ABC中C2B范围（ ）
A（02） B C D
答案：C
错解：B
错：没精确角B范围
32．函数 （ ）
A3 B5 C7 D9
正确答案：B
错误原：画图时0＜＜时＞意识性较差
33．△ABC中∠C （ ）
A30° B150° C30°150° D60°150°
正确答案：A
错误原：易选C讨意识事实果C150°A30°∴∴＜＜6题设矛盾
34． （ ）
A B C D
正确答案：C
错误原：利周期函数定义求周期容易忽视题直接检验
35． （ ）
A B C D
正确答案：B
错误原：忽视三角函数定义域周期影响
36．已知奇函数等调减函数αβ锐角三角形角（ ）
Af(cosα)＞ f(cosβ) Bf(sinα)＞ f(sinβ)
Cf(sinα)＜f(cosβ) Df(sinα)＞ f(cosβ)
正确答案：（C）
错误原：综合运函数关性质力强
37．设ω取值范围（ ）
A B C D
正确答案：(B)
错误原：三角函数周期单调性间关系搞清楚
二填空题：
1．已知方程（a1常数）两根
值_________________
错误分析：忽略隐含限制方程两负根导致错误
正确解法：
方程两负根
答案 2
2．已知取值范围_______________错误分析代入中化关二次函数范围忽视隐含限制导致错误
答案
略解
（1）代入
3．_______________
错误分析直接求值代入求两解忽略隐含限制出错
答案
4．函数值3值2_____________
解：
说明：题容易误认漏掉种情况里提醒考虑问题周全
5．Sin cosα角终边第_____象限
正确答案：四
错误原：注意角范围限制α范围
6．△ABC中已知ABC成等差数列值_________
正确答案：
错：出两角正切公式变形
7．函数值域 ．
正确答案：
8．函数值1值函数值 ．正确答案：5
9．定义运算例函数f(x)值域 ．正确答案：
10．α第二象限角__________
答案：5
点评：易忽略范围5
11．设ω>0函数f(x)2sinωx增函数ω取值范围_____
答案：0<ω≤
点评：
12．△ABC中已知a5b4cos(A－B)cosC__________
答案：
点评：未效运条件构造三角形运方程思想实施转化
13．中已知bc角ABC应边①R增函数②ABC③值④AB⑤中错误命题序号_____
正解：错误命题③⑤
①
②
③
显然
④
(舍)
⑤
错误命题③⑤
误解：③④⑤中未考虑④中未检验
14．已知锐角值_____
正解：令代入已知
误解：通计算求计算错误
15．出四命题：①存实数②存实数③偶函数④函数条称轴方程⑤第象限角中正确命题序号_____
正解：③④
① 成立
② 成立
③ 偶函数成立
④ 代入称轴成立
⑤ 成立
误解：①②没题目形式进行化简直接计算易找出错误
⑤没注意第象限角特点会认角根做出错误判断
16．函数正周期
错解：
错：函数正周期混淆
正解：
17．设tan成立取值范围_______________
错解：
错：tan考虑tan存情况
正解：
18．①函数定义域增函数
②第象限角
③函数定奇函数
④函数正周期
述四命题中正确命题 ④
错解：①②
错：忽视函数周期函数
正解：④
19函数f(x)值域______________
错解：
错：令忽视
正解：
20．2sin2α取值范围
错解：
错：中错误结果
结合（1）式正确结果
正解：[0 ]
21关函数列命题yf(x)图象关直线称 yf(x)表达式改写 yf(x)图象关点称 必整数倍中正确命题序号
答案：
错解：
错：忽视f(x) 周期相邻两零点距离
22．函数单调递增区间
答案：
错解：
错：忽视复合函数
23．
正确答案：
错误原：两角正切公式较呆板
24．
正确答案：
错误原：求三角函数值域方性明确
三解答题：
1．已知定义区间[p] 函数yf(x)图象关直线x 称xÎ[]时函数f(x)Asin(wx+j)(A>0 w>0(1)求函数yf(x)[p]表达式
(2)求方程f(x)解
解：(1)图象知A1T4()2pw
xÎ[]时
(1)代入f(x)
f()sin(+j)1
∵∴j
∴[]时
f(x)sin(x+)
∴yf(x)关直线x称
∴[p]时
f(x)sinx
综f(x)
(2)f(x)
区间[]
x1 x2
∵yf(x)关x 称
∴x3 x4
∴f(x)解xÎ{}
2． 求函数相位初相
解：
原函数相位初相
说明：部分学懂题目意思知道什相位手应函数式变形形式（注意必须正弦）
3． 求取值范围
解：令
说明：题极易方程组（1）中条件出原忽视正弦函数界性外等式组（2）求解中容易两式相减样做错误两式中等号成立条件定相两点应引起重视
4．求函数定义域
解：题意
时
时
时
函数定义域
说明：会部分学认等式组（*）两者没公部分定义域空集原没正确理解弧度实数关系总认二者格格入事实弧度实数
5 ．已知求值值
解：
令
称轴
时
时
说明：题易认时值存忽略条件正弦函数值域
6．求函数值
解：
仅
时等号成立
说明：题容易样做：
时等号成立条件样存忽略利等式求极值时均分析原
7． 求函数正周期
解：函数定义域满足两条件
意义
原函数式变时
时定义域
显然作样变换定义域扩两式等价
周期未必相求周期呢？首先作出图象：
原函数图象图象致相
图中掉应点
掉零值点原函数周期应
说明：题极易周期出原函数周期错误原正述说非等价变换周期呢？定1993年高考题：函数正周期（ ）A B C D 题周期原函数周期解法严密先求定义域画出图象通空点观察求周期
8．已知Sinα Sinβαβ锐角求α+β值
正确答案：α+β
错误原：挖掘特征数值缩角范围
9．求函数ySin(—3x)单调增区间：
正确答案：增区间[]（）
错误原：忽视t—3x减函数
10．求函数y正周期
正确答案：正周期π
错误原：忽略函数定义域讨
11．已知Sinx+Siny求Siny—cos2x值
正确答案：
错误原：挖掘隐含条件
12．（题满分12分）
设已知时值8
(1)求值（2）求满足集合A
错解：时
错：没注意应时取值
正解：时
13．求函数值域
答案：原函数化设
错解：
错：考虑换元新元t范围
14．已知函数f(x)－sin2x+sinx+a（1）f(x)0实数解时求a取值范围（2）x∈R1≤f(x)≤求a取值范围
解：（1）f(x)0asin2x－sinx(sinx－)2－
∴sinx时aminsinx－1时amax2
∴a∈[2]求
（2）1≤f(x)≤
∵ u1sin2x－sinx++4≥4
u2sin2x－sinx+1≤3
∴ 3≤a≤4
点评：题易错点盲目运△判式
15．已知函数≤≤R偶函数图关点M称区间[0]单调函数求值
正解：偶函数
意x成立
题设0≤≤
图关点M称
取
时减函数
时减函数
≥2时单调函数
综合
误解：①常见错误未K进行讨解
②题目条件区间单调函数进行讨≥排
补充题：
1．右图某市关部门根某干部月
收入情况调查画出样频率分布直方图
已知图中第组频数4000请根该图提
供信息解答列问题：（图中组包括左端
点包括右端点第组表示收入
）
（1）求样中月收入数
（2）分析干部收入年龄职业等方面关系必须样组中月收入分层抽样方法抽出作进步分析月收入段应抽少？
（3）试估计样数中位数
解：（1）∵月收入频率 4000
∴样容量
月收入频率
月收入频率
月收入频率
∴月收入频率
∴样中月收入数：
（2）∵月收入数：
∴分层抽样方法抽出月收入段应抽取
（）
（3）（１）知月收入频率：
∴样数中位数：（元）
2．先机投掷2枚正方体骰子中表示第枚骰子出现点数表示第枚骰子出现点数．
（1）求点直线概率
（2）求点满足概率．
解：（1）颗骰子出现点数种情况
基事件总数
记点直线事件5基事件：
（2）记点满足事件事件基事件
时时
时时
时时．
3．某班50名学生次百米测试中成绩全部介13秒18秒间测试结果方式分成五组：组第二组…第五组．图述分组方法频率分布直方图
（1）成绩等14秒16秒
认良求该班次百米测试中
成绩良数
（2）设表示该班某两位学百米
测试成绩已知
求事件概率
解：（1）频率分布直方图知成绩数：（）
该班成绩良数27
（2）频率分布直方图知成绩数设
成绩 数设
时3种情况
时6种情况
分时
A
B
C
D
x
xA
xB
xC
xD
y
yA
yB
yC
yD
z
zA
zB
zC
zD
12种情况
基事件总数21种事件包含基事件数12种
∴（）
4．已知点
(1) 求值
(2) 中坐标原点 求值
解：(1)
化简
（ 式成立）
(2)
5已知函数
（1）求正周期
（2）五点法画出函数周期图象
（3）求函数值值
（4）求值
解：（1）∵＝．
∴ 函数正周期．
（2）列表：
描点连线函数周期图象图示
（3）∵∴
∴时函数值2
时函数值1．
（4）已知
∵∴
∴
∴
∴
6．已知量
（1）求
（2）值
解：（1）
（2）
7 △ABC中
(1) 求角C
(2) △ABC长边长求△ABC短边长
解：（1） ∴．
∴．
（2）∵ ∴边长．
∵ ∴角边短边．
解．
正弦定理 ．
∴短边长．
8． 图（1）等腰直角三角形分 中点折起 面射影恰中点图（2）．
（1）求证：
（2）求三棱锥体积．
解：（1）证法：中等腰直角中位线
四棱锥中 面
面
证法二：证法 面
面
（2）直角梯形中 ．
垂直分 ．
∴ ．
三棱锥体积．
9．图简单组合体面ABC接圆OAB圆O直径
四边形DCBE行四边形DC面ABC．
（1）证明：面ACD面
（2）试求该简单组合体
体积V．
（１）证明：∵ DC面ABC 面ABC ∴．
∵AB圆O直径 ∴
∴面ADC．
∵四边形DCBE行四边形 ∴DEBC
∴面ADC
∵面ADE ∴面ACD面
（2）解法１：求简单组合体体积：
∵
∴
∴
∴该简单体体积
解法２：该简单组合体原成侧棱底面垂直三棱柱
图∵
∴
∴
A
B
C
P
M
10．图示体中面PAC⊥面PA PC该体左视图（侧视图）面积．
（1）求证：PA⊥BC
（2）画出该体视图求面积S
（3）求出面体体积V．
视方方
解：（1）BC2∴
∵面PAC⊥面面PAC∩面AC∴BC⊥面PAC
∵PA面PAC ∴PA⊥BC
（2）该体视图：
∵PA PC取AC中点D连接PDPD⊥AC
面PAC⊥面PD⊥面ABC
∴体左视图面积．
∴PD易知边长1正三角形
∴视图面积底边长分12PD长高直角梯形面积
∴S
（3）取PC中点N连接AN边长1正三角形知AN⊥PC（1）BC⊥面PAC知AN⊥BC∴AN⊥面PCBM∴AN四棱锥A—PCBM高AN BC⊥面PAC知BC⊥PC知四边形PCBM底边长分12PC长1高直角梯形面积．
．
11．制订投资计划时仅考虑获盈利考虑出现亏损某投资算投资甲乙两项目根预测甲乙两项目盈利率分10050亏损率分3010投资计划投资金额超10万元求确保资金亏损超18万元问投资甲乙两项目投资少万元盈利？
解：设投资分万元万元投资甲乙两项目
题意知
目标函数
述等式组表示面区域图示阴影部分（含边界）行域
作直线作行组直线R
行域相交中条直线行域点直线距离里点直线交点
解方程组解
时（万元）
∴时取值
答：投资4万元投资甲项目6万元投资乙项目
确保亏损超18万元前提盈利
12已知椭圆两焦点椭圆
(1)求椭圆方程
(2)直线圆圆心交椭圆两点关点称求直线方程
解(1)
椭圆
(2)设
圆方程 (31)关点称
中点
13．设数列前项意N常数
（1）求证数列等数列
（2）设数列公数列满足
N求数列通项公式
解：（1）已知 ①
②
②① 意N成立
∵常数∴数列等数列
（2）时
（1）知∵
∴
∴等差数列∴∴
14．已知数列首项等数列前项中成等差数列
（1）求数列通项公式
（2）设≤切N恒成立求实数值．
解：（1）显然构成等差数列
∴ 时成等差数列
∴
∵ ∴
∴
（2）∵
∴
∴＝
＝
≤ ≤ ∴≥
≤
∴值
B组
15．设数列满足中实数
（1）求数列通项公式
（2）设求数列前项
（3）意成立证明
(1) 法1：
时首项公等数列
时满足式
数列通项公式
法2：题设：时
时满足式
数列通项公式
(2) （1）
(3) （1）知
意成立知面证反证法
假设
恒成立 （＊）
常数 （＊）式恒成立导致矛盾
16．已知数列中正实数N
（1）求取值范围
（2）否存正实数意N成立存求取值范围存说明理
解：（1）∵N
∴
∴
∵
∴
解
（2）假设存正实数意N成立
意N成立
∴
∴
∴
取矛盾
存正实数意N成立
17已知椭圆两焦点分椭圆第象限弧点满足作倾斜角互补两条直线分交椭圆两点
（Ⅰ）求点坐标
（Ⅱ）求证直线斜率定值
（Ⅲ）求面积值
解：（1）题设
∴∵点曲线∴点P坐标
（2）题意知两直线PAPB斜率必存设PB斜率
BP直线方程： 设
理
：AB斜率定值
（3）设AB直线方程：
PAB距离
仅取等号
∴三角形PAB面积值．
18．已知函数．中．
（1）函数图公点恰轴求值
（2）方程两根满足
证明：时．
解：（1）设函数图轴交点坐标（0）
∵点（0）函数图∴．
∴．
（2）题意知．
∴
∴时．
∴<0 ∴
综知．
19．特定时段点E中心7海里海域设警戒水域点E正北55海里处雷达观测站A某时刻测艘匀速直线行驶船位点A北偏东点A相距40海里位置B40分钟测该船已行驶点A北偏东+(中sin)点A相距10海里位置C
（1）求该船行驶速度（单位：海里时）
（2）该船改变航行方继续行驶判断否会进入警戒水域说明理
解 （1）图AB40AC10
cos
余弦定理BC
船行驶速度（海里时）
（2）解法1： 图示A原点建立面直角坐标系
设点BC坐标分B（x1y2） C（x1y2）
BCx轴交点D
题设x1y1 AB40
x2ACcos
y2ACsin
点BC直线l斜率k直线l方程y2x40
点E（055）直线l距离d
船会进入警戒水域
解法2 图示设直线AEBC延长线相交点Q
△ABC中余弦定理
中正弦定理
AQ
AE55>40AQ点Q位点A点E间QEAEAQ15
点E作EP BC点PEP点E直线BC距离
Rt中PEQE·sin
船会进入警戒水域
20．某区荒山2200亩2002年开始年年初荒山植树造林
第年植树100亩年年植树50亩．
（1）植树全部成活年荒山全部绿化？
（2）右图某学设计解决问题（１）程序框图框图中ｐｑ
ｒ处应填什条件？
（3）亩植树苗木材量2立方米年树木木材量然增长率
20％全部绿化年年底该山木材总量少？
（精确１立方米 ）
解：（1）设植树ｎ年荒山全部绿化记第ｎ年初植树量
题意知数列首项公差等差数列
∵ ∴
∴2009年初植树荒山全部绿化．
（２）ｐ处填ｑ处填（ｐ处填ｑ处填）
ｒ处填．()
（３）2002年初木材量2009年底木材量增加
2003年初木材量2009年底木材量增加……
2009年初木材量2009年底木材量增加
2009年底木材总量
①
②
②①
∴ｍ2
答：全部绿化年年底该山木材总量9060ｍ2
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高中数学中许题目求解思路难解题时某特殊情形讨容易忽略转化程中没注意转化等价性会常出现错误文通例子剖析致错原希学学帮助加强思维严密性训练
● 忽视等价性变形导致错误
Û 等价
例1已知f(x) ax + 求范围
错误解法 条件
②×2－①
①×2－②
+
错误分析 采种解法忽视样事实：作满足条件函数值时受制约取（）值时定取（）值整解题思路错误
正确解法 题意 解：
范围代入
题中够检查出解题思路错误出正确解法体现思维具反思性牢固掌握基础知识反思性问题
●忽视隐含条件导致结果错误
例2
(1) 设方程两实根值
思路分析 例答案正确设3陷阱容易
利元二次方程根系数关系易：
学生常受选择答案（A）诱惑盲附正思维缺乏反思性体现果反思性态度考察选择答案源间区中选出正确答案
原方程两实根∴ Þ
时值8
时值18
时作出正确选择（B）正确
(2) 已知(x+2)2+ 1 求x2+y2取值范围
错解 已知 y2－4x2－16x－12 x2+y2－3x2－16x－12－3(x+)2+
∴x－时x2+y2值x2+y2取值范围(－∞ ]
分析 没注意x取值范围受已知条件限制丢掉值
事实(x+2)2+ 1 Þ (x+2)21－ ≤1 Þ －3≤x≤－1
x－1时x2+y2值1∴ x2+y2取值范围[1 ]
注意界性：偶次方x2≥0三角函数－1≤sinx≤1指数函数ax>0圆锥曲线界性等
●忽视等式中等号成立条件导致结果错误
例3已知：a>0 b>0 a+b1求(a+ )2+(b+ )2值
错解 (a+)2+(b+)2a2+b2+++4≥2ab++4≥4+48
∴(a+)2+(b+)2值8
分析 面解答中两次基等式a2+b2≥2ab第次等号成立条件ab第二次等号成立条件ab显然两条件时成立8值
事实原式 a2+b2+++4( a2+b2)+(+)+4[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4
(1－2ab)(1+)+4
ab≤()2 ：1－2ab≥1－ ≥161+≥17
∴原式≥×17+4 (仅ab时等号成立)
∴(a + )2 + (b + )2值
●进行分类讨导致错误
例4(1)已知数列前项求
错误解法
错误分析 显然时
错误原：没注意公式成立条件
运时必须检验时情形：
(2)实数值时圆抛物线两公点
错误解法 圆抛物线 联立消
①
两公点方程①两相等正根 解
错误分析 （图2－2－12－2－2）显然时圆抛物线两公点
x
y
O
图2－2－2
x
y
O
图2－2－1
圆抛物线两交点充条件方程①正根负根两相等正根
方程①正根负根时解
时圆抛物线两公点
思考题：实数值时圆抛物线
(1) 公点(2)三公点(3)四公点(4)没公点
●偏概全导致错误
偏概全指思考全面遗漏特殊情况致解答完全出问题全部答案表现出思维严密性
例5(1)设等数列全项求数列公
错误解法
错误分析 错解中
时应
等数列中显然公q完全1解题时应先讨公情况情况式子进行整理变形
正确解法 题设矛盾
题意 Þ Þ 解
说明 题1996年全国高考文史类数学试题第（21）题少考生解法错误解法根评分标准痛失2分
(2)求点直线抛物线仅交点
错误解法 设求点直线抛物线交点
消整理
直线抛物线仅交点解求直线
错误分析 处解法三处错误：
第设求直线时没考虑斜率存情形实际承认该直线斜率存零严密
第二题中求直线抛物线交点包含相交相切两种情况述解法没考虑相切情况考虑相交情况原直线抛物线相切交点关系理解透
第三直线方程抛物线方程联立元二次方程考虑判式二次项系数零述解法没作考虑表现出思维严密
正确解法 ①求直线斜率存时直线垂直轴点轴正抛物线相切
②求直线斜率零时直线y 1行轴正抛物线交点
③般设求点直线
令解k ∴ 求直线
综满足条件直线：
章节易错训练题
1已知集合M {直线} N {圆} M∩N中元素数 A(集合元素确定性)
(A) 0 (B) 01 (C) 02 (D) 012
2已知A A∩R* F 实数t集合T ___(空集)
3果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立实数k取值范围C(等号)
(A) －1≤k≤0 (B) －1≤k<0 (C) －1
（A） （B） （C） （D）
5等式x2－logax<0(0 )恒成立实数取值范围A(等号)
(A) [1) (B) (1 + ¥) (C) (1) (D) (1)∪(12)
6等式(－1)na < 2 +意正整数n恒成立实数取值范围A(等号)
(A) [－2) (B) (－2) (C) [－3) (D) (－3)
7已知定义实数集函数满足：时意
实数证明：奇函数(特殊般关系)
8已知函数f(x) 函数单调区间_____递减区间(－¥－1)(－1 +¥)
（单调性单调区间）
9函数y 单调递增区间________[－－1）（定义域）
10已知函数f (x) f (x)反函数f －1(x)
（漏反函数定义域原函数值域）
11函数 f (x) log (x 2 + a x + 2) 值域 R实数 a 取值范围D(正确△≥0△<0)
(A) (－22) (B) [－22]
(C) (－¥－2)∪(2+¥) (D) (－¥－2]∪[2+¥)
12x≥0y≥0x+2y12x+3y2值B(隐含条件)
（A）2 （B） （C） （D）0
13函数y值域________(－∞ )∪(1)∪(1+∞) （定义域）
14函数y sin x (1 + tan x tan )正周期 C （定义域）
(A) (B) p (C) 2p (D) 3
15已知 f (x) 周期 2 奇函数 x Î [01) 时f (x) 2 x f (log 23) D(数运算)
(A) (B) (C) － (D) －
16已知函数处取极值
（1）讨函数极值极值
（2）点作曲线切线求切线方程(2004天津)
（求极值值推理判断充分(建议列表)求点切线方程判断点否曲线）
17已知tan (a－) － tan a （化齐次式）
18 3 sin 2a + 2 sin 2b －2 sin a 0cos 2a + cos 2b 值 __ (隐含条件)
19已知sinq + cosq q Î (0p)cotq _______－(隐含条件)
20△ABC中abcABC分表示三条边三条边角a 2
∠B B(隐含条件)
（A） （B） （C） （D）
21已知a>0 b>0 a+b1(a + )2 + (b + )2值_______(三相等)
22已知x ≠ kp (k Î Z)函数y sin2x + 值______5（三相等）
23求值
错解1
错解2
错误分析 解法1中充条件
相矛盾
解法2中充条件
正确解法1
中
正 确 解 法2 取正常数易
中取＝充条件
24已知a1 1an an－1 + 2n－1(n≥2)an ________2n－1(认清项数)
25已知 －9a1a2－1 四实数成等差数列－9b1b2b3－1 五实数成等数列
b2 (a2－a1) A(符号)
(A) －8 (B) 8 (C) － (D)
26已知 {an} 等数列Sn前n项判断SkS2k－SkS3k－S2k成等数列？
q －1k偶数时Sk 0SkS2k－SkS3k－S2k成等数列
q≠－1q －1k奇数时SkS2k－SkS3k－S2k成等数列
（忽视公q －1）
27已知定义R函数数列满足列条件：
f(an)－f(an－1) k(an－an－1)(n 23┄)中a常数k非零常数（1）令证明数列等数列（2）求数列通项公式（3）时求(2004天津)
（等数列中01正确分类讨）
28等式m2－(m2－3m)i< (m2－4m + 3)i + 10成立实数m取值集合________{3}(隐含条件)
29i虚数单位虚部（ ）C(概念清)
(A) －1 (B) －i (C) －3 (D) －3 i
30实数方程少实根
错误解法 方程少实根
Þ
错误分析 实数集合复数集合真子集实数范围成立公式定理复数范围定成立必须严格推广方元二次方程根判式实系数元二次方程言题目盲目推广复系数元二次方程中造成解法错误
正确解法 设方程实数根
实数解
31a (3－4)行单位量_________a (3－4)垂直单位量_________
(－)(－)()(－ － )(漏解)
32函数y 4x－8图象L量a移LL函数表达式y 4x量a______
a (h4h+8) (中h Î R)(漏解)
33已知 ||＝1||＝求·
① ·＝||•||＝
②异·＝－||•||＝－(漏解)
34正三棱锥A－BCD中EFABBC中点EF⊥DEBC a正三棱锥A－BCD体积____________a3 (隐含条件)
35直二面角 a－AB－b 棱 AB 取点 P P 分 ab 两面作棱成 45° 斜线 PCPD∠CPDD(漏解)
(A) 45° (B) 60° (C) 120° (D) 60° 120°
36图四棱锥P—ABCD中底面ABCD正方形侧棱PD⊥底面ABCDPDDCEPC中点作EF⊥PB交PB点F
（1）证明PA面EDB
（2）证明PB⊥面EFD
（3）求二面角C—PB—D(2004天津)
(条件充分(漏PA Ë 面EDB面PDCDE∩EF E等)运算错误锐角钝角分)
37方程 + y 2 1表示椭圆m 范围_______(01)∪(1+ ¥)(漏解)
38已知椭圆 + y 2 1离心率 m 值 ____ 4 (漏解)
39椭圆中心原点称轴坐标轴椭圆短轴顶点 B 两焦点 F1F2 组成三角形周长 4 + 2∠F1BF2 椭圆方程 + y 2 1x 2 + 1(漏解)
40椭圆中心原点O短轴长相应焦点F（c0）（）准线x轴相交点A|OF|2|FA|点A直线椭圆相交PQ两点
（1）求椭圆方程离心率（2）求直线PQ方程
（3）设（）点P行准线直线椭圆相交点M证明(2004天津)
(设方程时漏条件a>误认短轴b 2分析直线PQ斜率否存(时设x ky + b)先元二次方程先二次项系数0否考虑△>0韦达定理)
41求轴相切右侧⊙相切圆圆心
轨迹方程
错误解法 图3－2－1示已知⊙C方程
设点求轨迹意点⊙P轴相切M点
⊙C相切N点根已知条件
化简
错误分析 题考虑求轨迹纯粹性（求轨迹点满足条件）没考虑求轨迹完备性（满足条件点求轨迹）事实符合题目条件点坐标满足求方程动圆已知圆切发现轴正半轴点圆心点原点距离半径（等3）圆符合条件求方程动圆圆心轨迹方程y2 12x(x>0)求轨迹时定完整细致周密分析问题样保证求轨迹纯粹性完备性
O
·
图3－2－2
42（图3－2－2）具公轴两直角坐标面成二面角等已知曲线方程求曲线射影曲线方程
错误解法 题意知曲线抛物线
焦点坐标
二面角等
设焦点射影位轴
点求射影焦点题意射影条抛物线开口右顶点原点曲线射影曲线方程
错误分析 述解答错误原直观误认F射影(曲线)焦点次没证明默认Ca 射影(曲线)条抛物线
O
·
图3－2－3
M
N
H
正确解法 设点曲线意点
（图3－2－3）点作垂足
作轴垂足连接
轴二面角
面角题意
知轴（重合）
轴（重合）设
点曲线
求射影方程
数学推理已知数学命题出新命题基思维形式数学求解核心已知真实数学命题定义公理定理性质等选择恰解题方法达解题目标出结系列推理程推理程中必须注意命题间相互关系（充分性必性充性等）做思考缜密推理严密
二选择题：
1．函数图象函数图象（ ）
A 右移 B 右移 C 左移 D左移
错误分析审题仔细目标函数搞错题容易犯错误
答案 B
2．函数正周期 ( )
A B C D
错误分析函数解析式化周期忽视定义域限制导致出错
答案 B
3． 曲线y2sin(x+cos(x)直线yy轴右侧交点横坐标次记P1P2P3……|P2P4|等 （ ） A．p B．2p C．3p D．4p
正确答案：A 错：学生该解析式变形化简Asin(x+)形式助函数图象函数周期性求出|P2P|
4．列四函数ytan2xycos2xysin4xycot(x+)中点(0)中心称三角函数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
正确答案：D 错：学生三角函数图象称性移变换未熟练掌握
5．函数yAsin(wx+j)(w>0A¹0)图象函数yAcos(wx+j)(w>0 A¹0)图象区间(x0x0+)（ ）
A．少两交点 B．两交点
C．交点 D．少交点
正确答案：C 错：学生采取特殊值数形结合思想方法解题
6． DABC中2sinA+cosB2sinB+2cosAÐC应( )
A． B． C． D．
正确答案：A 错：学生求ÐC两解代入检验
7．已知tana tanb方程x2+3x+40两根abÎ()a+b（ ）
A． B． C． D．
正确答案：D 错：学生准确限制角范围
8． 意实数取值（ ）
A 1 B 区间（01）
C D 确定
解：设点点满足
解
选A
解二：赋值法
令
样
选A
说明：题极易认答案A会关呢？实忽略隐含条件导致错选CD
9． 中（ ）
A B C D
解：方相加
选A
说明：题极易错选条件较隐蔽易发现里提示注意题目条件挖掘
10． 中C应边分三角形两解取值范围 ( )
A B C D
正确答案：A
错：知利数形结合寻找突破口
11．已知函数 ysin(x+)直线y＝交点中距离两点距离函数周期（ ）
A B C 2 D 4
正确答案：B
错：会利范围快速解题
12．函数增函数区间………………………… ( )
A B C D
正确答案：C
错：注意函数单调性
13．已知列式中成立（ ）
A B C D
正确答案(D)
错难抓住三角函数单调性
14．函数图象条称轴方程（）
正确答案A
错：没观察表达式整体构造盲目化简导致表达式变繁法继续化简
15．ω正实数函数增函数（ ）
A． B． C． D．
正确答案A
错：部分学生法正面解决解利特殊值法
16．(02π)cosx＞sinx＞tanx成立x取值范围 （ ）
A () B () C（） D()
正确答案：C
17．设关x方程两等实根
A B C D确定
正确答案：A
18．△ABC中已知cosAsinBcosC值（ ）
A B C D
答案：A
点评：易误选C忽略题中隐含条件挖掘
19．△ABC中3sinA+4cosB64sinB+3cosA1∠C（ ）
A B C D
答案：A
点评：易误选C忽略A+B范围
20．设cos1000ktan800（ ）
A B C D
答案：B
点评：误选C忽略三角函数符号选择
21．已知角终边点坐标（）角值（ ）
A B C D
正解：D
角终边第四象限选D
误解：选B
22．函数图右移单位作关轴称变换函数图（ ）
A B C D
正解：B
作关x轴称变换然左移单位函数
误解：未想逆推某步骤时未逆推终导致错解
23． ABCABC三角方程两实数根ABC（ ）
A钝角三角形 B锐角三角形 C等腰三角形 D等边三角形
正解：A
韦达定理：
中
钝角钝角三角形
24．曲线参数）点两坐标轴距离值（ ）
A B C1 D
正解：D
表示曲线圆称性考虑情况
∴
误解：计算错误致
25．锐角⊿ABC中取值范围（ ）
A B C D
错解 B
错注意未注意必须正
正解 A
26．已知（） （C）
A B C D
错解：A
错：忽略解出
正解：C
27．先函数ysin2x图象右移单位长度图象作关y轴称变换函数图象应解析式 （ ）
A．ysin(－2x+ ) B． ysin(－2x－)
C．ysin(－2x+ ) D． ysin(－2x－)
错解：B
错：函数ysin2x图象右移单位长度时写成
正解：D
28．果取值范围（ ）
A． B． C． D．
错解 D．
错注意定义域忽视解集中包含
正解 B．
29．函数单调减区间（ ）
A （） B
C D
答案：D
错解：B
错：没考虑根号里表达式非负
30．已知取值范围（ ）
A B C D
答案：A设sin2x sin2y2t
错解：BC
错：
选B相减时选C没考虑述两种情况均须满足
31．锐角ABC中C2B范围（ ）
A（02） B C D
答案：C
错解：B
错：没精确角B范围
32．函数 （ ）
A3 B5 C7 D9
正确答案：B
错误原：画图时0＜＜时＞意识性较差
33．△ABC中∠C （ ）
A30° B150° C30°150° D60°150°
正确答案：A
错误原：易选C讨意识事实果C150°A30°∴∴＜＜6题设矛盾
34． （ ）
A B C D
正确答案：C
错误原：利周期函数定义求周期容易忽视题直接检验
35． （ ）
A B C D
正确答案：B
错误原：忽视三角函数定义域周期影响
36．已知奇函数等调减函数αβ锐角三角形角（ ）
Af(cosα)＞ f(cosβ) Bf(sinα)＞ f(sinβ)
Cf(sinα)＜f(cosβ) Df(sinα)＞ f(cosβ)
正确答案：（C）
错误原：综合运函数关性质力强
37．设ω取值范围（ ）
A B C D
正确答案：(B)
错误原：三角函数周期单调性间关系搞清楚
二填空题：
1．已知方程（a1常数）两根
值_________________
错误分析：忽略隐含限制方程两负根导致错误
正确解法：
方程两负根
答案 2
2．已知取值范围_______________错误分析代入中化关二次函数范围忽视隐含限制导致错误
答案
略解
（1）代入
3．_______________
错误分析直接求值代入求两解忽略隐含限制出错
答案
4．函数值3值2_____________
解：
说明：题容易误认漏掉种情况里提醒考虑问题周全
5．Sin cosα角终边第_____象限
正确答案：四
错误原：注意角范围限制α范围
6．△ABC中已知ABC成等差数列值_________
正确答案：
错：出两角正切公式变形
7．函数值域 ．
正确答案：
8．函数值1值函数值 ．正确答案：5
9．定义运算例函数f(x)值域 ．正确答案：
10．α第二象限角__________
答案：5
点评：易忽略范围5
11．设ω>0函数f(x)2sinωx增函数ω取值范围_____
答案：0<ω≤
点评：
12．△ABC中已知a5b4cos(A－B)cosC__________
答案：
点评：未效运条件构造三角形运方程思想实施转化
13．中已知bc角ABC应边①R增函数②ABC③值④AB⑤中错误命题序号_____
正解：错误命题③⑤
①
②
③
显然
④
(舍)
⑤
错误命题③⑤
误解：③④⑤中未考虑④中未检验
14．已知锐角值_____
正解：令代入已知
误解：通计算求计算错误
15．出四命题：①存实数②存实数③偶函数④函数条称轴方程⑤第象限角中正确命题序号_____
正解：③④
① 成立
② 成立
③ 偶函数成立
④ 代入称轴成立
⑤ 成立
误解：①②没题目形式进行化简直接计算易找出错误
⑤没注意第象限角特点会认角根做出错误判断
16．函数正周期
错解：
错：函数正周期混淆
正解：
17．设tan成立取值范围_______________
错解：
错：tan考虑tan存情况
正解：
18．①函数定义域增函数
②第象限角
③函数定奇函数
④函数正周期
述四命题中正确命题 ④
错解：①②
错：忽视函数周期函数
正解：④
19函数f(x)值域______________
错解：
错：令忽视
正解：
20．2sin2α取值范围
错解：
错：中错误结果
结合（1）式正确结果
正解：[0 ]
21关函数列命题yf(x)图象关直线称 yf(x)表达式改写 yf(x)图象关点称 必整数倍中正确命题序号
答案：
错解：
错：忽视f(x) 周期相邻两零点距离
22．函数单调递增区间
答案：
错解：
错：忽视复合函数
23．
正确答案：
错误原：两角正切公式较呆板
24．
正确答案：
错误原：求三角函数值域方性明确
三解答题：
1．已知定义区间[p] 函数yf(x)图象关直线x 称xÎ[]时函数f(x)Asin(wx+j)(A>0 w>0
(2)求方程f(x)解
解：(1)图象知A1T4()2pw
xÎ[]时
(1)代入f(x)
f()sin(+j)1
∵
∴[]时
f(x)sin(x+)
∴yf(x)关直线x称
∴[p]时
f(x)sinx
综f(x)
(2)f(x)
区间[]
x1 x2
∵yf(x)关x 称
∴x3 x4
∴f(x)解xÎ{}
2． 求函数相位初相
解：
原函数相位初相
说明：部分学懂题目意思知道什相位手应函数式变形形式（注意必须正弦）
3． 求取值范围
解：令
说明：题极易方程组（1）中条件出原忽视正弦函数界性外等式组（2）求解中容易两式相减样做错误两式中等号成立条件定相两点应引起重视
4．求函数定义域
解：题意
时
时
时
函数定义域
说明：会部分学认等式组（*）两者没公部分定义域空集原没正确理解弧度实数关系总认二者格格入事实弧度实数
5 ．已知求值值
解：
令
称轴
时
时
说明：题易认时值存忽略条件正弦函数值域
6．求函数值
解：
仅
时等号成立
说明：题容易样做：
时等号成立条件样存忽略利等式求极值时均分析原
7． 求函数正周期
解：函数定义域满足两条件
意义
原函数式变时
时定义域
显然作样变换定义域扩两式等价
周期未必相求周期呢？首先作出图象：
原函数图象图象致相
图中掉应点
掉零值点原函数周期应
说明：题极易周期出原函数周期错误原正述说非等价变换周期呢？定1993年高考题：函数正周期（ ）A B C D 题周期原函数周期解法严密先求定义域画出图象通空点观察求周期
8．已知Sinα Sinβαβ锐角求α+β值
正确答案：α+β
错误原：挖掘特征数值缩角范围
9．求函数ySin(—3x)单调增区间：
正确答案：增区间[]（）
错误原：忽视t—3x减函数
10．求函数y正周期
正确答案：正周期π
错误原：忽略函数定义域讨
11．已知Sinx+Siny求Siny—cos2x值
正确答案：
错误原：挖掘隐含条件
12．（题满分12分）
设已知时值8
(1)求值（2）求满足集合A
错解：时
错：没注意应时取值
正解：时
13．求函数值域
答案：原函数化设
错解：
错：考虑换元新元t范围
14．已知函数f(x)－sin2x+sinx+a（1）f(x)0实数解时求a取值范围（2）x∈R1≤f(x)≤求a取值范围
解：（1）f(x)0asin2x－sinx(sinx－)2－
∴sinx时aminsinx－1时amax2
∴a∈[2]求
（2）1≤f(x)≤
∵ u1sin2x－sinx++4≥4
u2sin2x－sinx+1≤3
∴ 3≤a≤4
点评：题易错点盲目运△判式
15．已知函数≤≤R偶函数图关点M称区间[0]单调函数求值
正解：偶函数
意x成立
题设0≤≤
图关点M称
取
时减函数
时减函数
≥2时单调函数
综合
误解：①常见错误未K进行讨解
②题目条件区间单调函数进行讨≥排
补充题：
1．右图某市关部门根某干部月
收入情况调查画出样频率分布直方图
已知图中第组频数4000请根该图提
供信息解答列问题：（图中组包括左端
点包括右端点第组表示收入
）
（1）求样中月收入数
（2）分析干部收入年龄职业等方面关系必须样组中月收入分层抽样方法抽出作进步分析月收入段应抽少？
（3）试估计样数中位数
解：（1）∵月收入频率 4000
∴样容量
月收入频率
月收入频率
月收入频率
∴月收入频率
∴样中月收入数：
（2）∵月收入数：
∴分层抽样方法抽出月收入段应抽取
（）
（3）（１）知月收入频率：
∴样数中位数：（元）
2．先机投掷2枚正方体骰子中表示第枚骰子出现点数表示第枚骰子出现点数．
（1）求点直线概率
（2）求点满足概率．
解：（1）颗骰子出现点数种情况
基事件总数
记点直线事件5基事件：
（2）记点满足事件事件基事件
时时
时时
时时．
3．某班50名学生次百米测试中成绩全部介13秒18秒间测试结果方式分成五组：组第二组…第五组．图述分组方法频率分布直方图
（1）成绩等14秒16秒
认良求该班次百米测试中
成绩良数
（2）设表示该班某两位学百米
测试成绩已知
求事件概率
解：（1）频率分布直方图知成绩数：（）
该班成绩良数27
（2）频率分布直方图知成绩数设
成绩 数设
时3种情况
时6种情况
分时
A
B
C
D
x
xA
xB
xC
xD
y
yA
yB
yC
yD
z
zA
zB
zC
zD
12种情况
基事件总数21种事件包含基事件数12种
∴（）
4．已知点
(1) 求值
(2) 中坐标原点 求值
解：(1)
化简
（ 式成立）
(2)
5已知函数
（1）求正周期
（2）五点法画出函数周期图象
（3）求函数值值
（4）求值
解：（1）∵＝．
∴ 函数正周期．
（2）列表：
描点连线函数周期图象图示
（3）∵∴
∴时函数值2
时函数值1．
（4）已知
∵∴
∴
∴
∴
6．已知量
（1）求
（2）值
解：（1）
（2）
7 △ABC中
(1) 求角C
(2) △ABC长边长求△ABC短边长
解：（1） ∴．
∴．
（2）∵ ∴边长．
∵ ∴角边短边．
解．
正弦定理 ．
∴短边长．
8． 图（1）等腰直角三角形分 中点折起 面射影恰中点图（2）．
（1）求证：
（2）求三棱锥体积．
解：（1）证法：中等腰直角中位线
四棱锥中 面
面
证法二：证法 面
面
（2）直角梯形中 ．
垂直分 ．
∴ ．
三棱锥体积．
9．图简单组合体面ABC接圆OAB圆O直径
四边形DCBE行四边形DC面ABC．
（1）证明：面ACD面
（2）试求该简单组合体
体积V．
（１）证明：∵ DC面ABC 面ABC ∴．
∵AB圆O直径 ∴
∴面ADC．
∵四边形DCBE行四边形 ∴DEBC
∴面ADC
∵面ADE ∴面ACD面
（2）解法１：求简单组合体体积：
∵
∴
∴
∴该简单体体积
解法２：该简单组合体原成侧棱底面垂直三棱柱
图∵
∴
∴
A
B
C
P
M
10．图示体中面PAC⊥面PA PC该体左视图（侧视图）面积．
（1）求证：PA⊥BC
（2）画出该体视图求面积S
（3）求出面体体积V．
视方方
解：（1）BC2∴
∵面PAC⊥面面PAC∩面AC∴BC⊥面PAC
∵PA面PAC ∴PA⊥BC
（2）该体视图：
∵PA PC取AC中点D连接PDPD⊥AC
面PAC⊥面PD⊥面ABC
∴体左视图面积．
∴PD易知边长1正三角形
∴视图面积底边长分12PD长高直角梯形面积
∴S
（3）取PC中点N连接AN边长1正三角形知AN⊥PC（1）BC⊥面PAC知AN⊥BC∴AN⊥面PCBM∴AN四棱锥A—PCBM高AN BC⊥面PAC知BC⊥PC知四边形PCBM底边长分12PC长1高直角梯形面积．
．
11．制订投资计划时仅考虑获盈利考虑出现亏损某投资算投资甲乙两项目根预测甲乙两项目盈利率分10050亏损率分3010投资计划投资金额超10万元求确保资金亏损超18万元问投资甲乙两项目投资少万元盈利？
解：设投资分万元万元投资甲乙两项目
题意知
目标函数
述等式组表示面区域图示阴影部分（含边界）行域
作直线作行组直线R
行域相交中条直线行域点直线距离里点直线交点
解方程组解
时（万元）
∴时取值
答：投资4万元投资甲项目6万元投资乙项目
确保亏损超18万元前提盈利
12已知椭圆两焦点椭圆
(1)求椭圆方程
(2)直线圆圆心交椭圆两点关点称求直线方程
解(1)
椭圆
(2)设
圆方程 (31)关点称
中点
13．设数列前项意N常数
（1）求证数列等数列
（2）设数列公数列满足
N求数列通项公式
解：（1）已知 ①
②
②① 意N成立
∵常数∴数列等数列
（2）时
（1）知∵
∴
∴等差数列∴∴
14．已知数列首项等数列前项中成等差数列
（1）求数列通项公式
（2）设≤切N恒成立求实数值．
解：（1）显然构成等差数列
∴ 时成等差数列
∴
∵ ∴
∴
（2）∵
∴
∴＝
＝
≤ ≤ ∴≥
≤
∴值
B组
15．设数列满足中实数
（1）求数列通项公式
（2）设求数列前项
（3）意成立证明
(1) 法1：
时首项公等数列
时满足式
数列通项公式
法2：题设：时
时满足式
数列通项公式
(2) （1）
(3) （1）知
意成立知面证反证法
假设
恒成立 （＊）
常数 （＊）式恒成立导致矛盾
16．已知数列中正实数N
（1）求取值范围
（2）否存正实数意N成立存求取值范围存说明理
解：（1）∵N
∴
∴
∵
∴
解
（2）假设存正实数意N成立
意N成立
∴
∴
∴
取矛盾
存正实数意N成立
17已知椭圆两焦点分椭圆第象限弧点满足作倾斜角互补两条直线分交椭圆两点
（Ⅰ）求点坐标
（Ⅱ）求证直线斜率定值
（Ⅲ）求面积值
解：（1）题设
∴∵点曲线∴点P坐标
（2）题意知两直线PAPB斜率必存设PB斜率
BP直线方程： 设
理
：AB斜率定值
（3）设AB直线方程：
PAB距离
仅取等号
∴三角形PAB面积值．
18．已知函数．中．
（1）函数图公点恰轴求值
（2）方程两根满足
证明：时．
解：（1）设函数图轴交点坐标（0）
∵点（0）函数图∴．
∴．
（2）题意知．
∴
∴时．
∴<0 ∴
综知．
19．特定时段点E中心7海里海域设警戒水域点E正北55海里处雷达观测站A某时刻测艘匀速直线行驶船位点A北偏东点A相距40海里位置B40分钟测该船已行驶点A北偏东+(中sin)点A相距10海里位置C
（1）求该船行驶速度（单位：海里时）
（2）该船改变航行方继续行驶判断否会进入警戒水域说明理
解 （1）图AB40AC10
cos
余弦定理BC
船行驶速度（海里时）
（2）解法1： 图示A原点建立面直角坐标系
设点BC坐标分B（x1y2） C（x1y2）
BCx轴交点D
题设x1y1 AB40
x2ACcos
y2ACsin
点BC直线l斜率k直线l方程y2x40
点E（055）直线l距离d
船会进入警戒水域
解法2 图示设直线AEBC延长线相交点Q
△ABC中余弦定理
中正弦定理
AQ
AE55>40AQ点Q位点A点E间QEAEAQ15
点E作EP BC点PEP点E直线BC距离
Rt中PEQE·sin
船会进入警戒水域
20．某区荒山2200亩2002年开始年年初荒山植树造林
第年植树100亩年年植树50亩．
（1）植树全部成活年荒山全部绿化？
（2）右图某学设计解决问题（１）程序框图框图中ｐｑ
ｒ处应填什条件？
（3）亩植树苗木材量2立方米年树木木材量然增长率
20％全部绿化年年底该山木材总量少？
（精确１立方米 ）
解：（1）设植树ｎ年荒山全部绿化记第ｎ年初植树量
题意知数列首项公差等差数列
∵ ∴
∴2009年初植树荒山全部绿化．
（２）ｐ处填ｑ处填（ｐ处填ｑ处填）
ｒ处填．()
（３）2002年初木材量2009年底木材量增加
2003年初木材量2009年底木材量增加……
2009年初木材量2009年底木材量增加
2009年底木材总量
①
②
②①
∴ｍ2
答：全部绿化年年底该山木材总量9060ｍ2
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