1
难 点 突 破
压轴题函数导数常考题型
点纳
1 曲 线 ( )y f x 0x x 处 切 线 斜 率 等 0( )f x 切 线 方 程
0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x
2导函数 ( )y f x 0x x 处取极值 0( ) 0f x 反成立
3导函数 ( )f x 等式 ( )f x 0 0( )解集决定函数 ( )f x 递增(减)区间
4函数 ( )f x 区间 I 递增(减)充条件: x I ( )f x 0 ( 0) 恒成立( ( )f x
恒 0)
5函数 ( )f x (非常量函数)区间 I 单调等价 ( )f x 区间 I 极值等价转
化方程 ( ) 0f x 区间 I 实根非二重根( ( )f x 二次函数 IR
0 )
6 ( )f x 区间 I 极值等价 ( )f x 区间单调函数进 ( )f x 0
( )f x 0 I 恒成立
7 x I Î ( )f x 0 恒成立 min( )f x 0 x I ( )f x 0 恒成立
max( )f x 0
8 0x I 0( )f x 0 max( )f x 0 0x I 0( )f x 0
min( )f x 0
9设 ( )f x ( )g x 定义域交集 D x D ( ) ( )f x g x 恒成立
min( ) ( ) 0f x g x
10 1 1x I 2 2x I 1 2( ) ( )f x g x 恒成立 min max( ) ( )f x g x
1 1x I 2 2x I 1 2( ) ( )f x g x min min( ) ( )f x g x
1 1x I 2 2x I 1 2( ) ( )f x g x max max( ) ( )f x g x
11 已 知 ( )f x 区 间 1I 值 域 A ( )g x 区 间 2I 值 域 B 高考数学 2018 届◆难点突破系列
2
1 1x I 2 2x I 1( )f x 2( )g x 成立 A B .
12三次函数 f(x)两极值点仅方程 ( ) 0f x 定两等实根 1 2x x
三次函数 f(x)没极值点方程 ( ) 0f x 两相等实根没实根.
13证题中常等式 ① 1xe x ② 1xe x ③ xe ex ④ 31
6
xe x
⑤ ln +1 ( 1)x x x ( ) ⑥ ln 1 ( 1)1 2
x x xx
⑦
2 2
ln 1 1 ( 0 )2 2
x xx x
⑧ 1 1 1ln ( ) 1 ( 1)2
x x x x xx x
⑨ ln 11 ( 0 )x xx x
二常考题型:
题型:恒成立求参数值取值范围问题
1 1( ) 0 1 01
xaxf x e x x yx
已知函数 处切线方程
(Ⅰ)求 a 值 (Ⅱ) ( ) 1f x 求 x 取值范围
2 已 知 函 数 ln( ) 1
a x bf x x x
曲 线 ( )y f x 点 (1 (1))f 处 切 线 方 程
2 3 0x y
(Ⅰ)求 a b 值 (Ⅱ)证明: 0x 1x 时 ln( ) 1
xf x x
3.已知函数 ln(1 )( ) ( 0)xf x xx
(Ⅰ)判断函数 ( )f x 单调性
(Ⅱ)否存实数 a 关 x 等式 ln(1 )x ax (0 ) 恒成立?存求
出 a 取值范围存试说明理
4.已知函数 1 ln( ) xf x x
.
(Ⅰ)设 a >0函数 )(xf 区间 1( )2a a 存极值求实数 a 取值范围
(Ⅱ)果 x 1 时等式
2
( ) 1
k kf x x
恒成立求实数 k 取值范围.
5.已知函数 2( ) 2 3 xf x e x x
(Ⅰ)求曲线 ( )y f x 点 (1 (1))f 处切线方程高考数学 2018 届◆难点突破系列
3
(Ⅱ)果 1x 时等式 25( ) ( 3) 12f x x a x 恒成立试求实数 a 取值范围.
6.设 ( ) lnaf x x xx
3 2( ) 3g x x x .
(Ⅰ) 2a 时求曲线 ( )y f x 1x 处切线方程
(Ⅱ)存 1 2 [02]x x 1 2( ) ( )g x g x M 成立求满足述条件整数 M
(Ⅲ)果意 1 [ 2]2s t ( ) ( )f s g t 成立求实数 a 取值范围.
7设函数 ( ) xf x xe 2( ) g x ax x
(Ⅰ) ( )f x ( )g x 具完全相单调区间求 a 值
(Ⅱ) 0x 时恒 ( ) ( )f x g x 求 a 取值范围
8已知函数 ( ) xf x e ( ) 1g x x
(Ⅰ)判断函数 ( ) ( )f x g x 零点数说明理
(Ⅱ) 0x 时 ( ) 1 1
axf x x
恒成立求实数 a 取值范围
9已知函数 3 2( ) 3 1( )f x ax x a x R
(Ⅰ) 0a 时求函数 f(x)极值.
(Ⅱ)设函数 '1( ) ( ) (2 1) 13h x f x a x ( 1 ]( 1)x b b 果存 ( 1]a
意 ( 1 ]x b ( ) 0h x 成立试求b 值.
10设函数 2( ) ln f x a x bx a b R
(Ⅰ)函数 ( )f x 1x 处直线 1
2y 相切①求实数 a b 值②求函数 ( )f x
1 ee
值
(Ⅱ ) 0b 时等式 ( )f x m x 230 12a x e
成立求实数
m 取值范围
11.已知函数 21 1( ) ln( )2 2f x ax x ax ( a 常数 0a )
(Ⅰ) 1
2x 函数 ( )f x 极值点求 a 值
(Ⅱ)求证: 0 2a 时 ( )f x 1 2
增函数
(Ⅲ)意.. a (12)总存.. 0
1 12x
等式 2
0( ) (1 )f x m a 成立求实
数 m 取范围高考数学 2018 届◆难点突破系列
4
12已知函数 3 21 2f x x a x a a x aR 'f x f x 导数
(Ⅰ) 3a 时证明 y f x 区间 11 单调....函数
(Ⅱ)设 19 1
6 3g x x 否存实数 a 意 1 11x 存 2 02x
1 1 22f x ax g x 成立?存求出 a 取值范围存说明理
13已知函数 2( ) ln ( 1)xf x a x x a a
(Ⅰ)求 ( )f x 单调增区间
( Ⅱ ) 存 1 2 11 x x 1 2( ) ( ) 1(f x f x e e a 然数)求实数
取值 范围
14 设函数 2( ) mxf x e x mx .
(Ⅰ)证明: ( )f x ( 0) 单调递减 (0 ) 单调递增
(Ⅱ)意 1 2 [ 11]x x 1 2( ) ( ) 1f x f x e 求 m 取值范围.
15.已知函数 Raxx
axxxf 1)1ln()( .
(Ⅰ) 0a 时求函数 )(xf 单调区间
(Ⅱ)存 0x )(11)( Zax
xxxf 成立求 a 值.
16设函数 ( ) 1 xf x e
(Ⅰ)证明: 1 ( ) 1
xx f x x
时
(Ⅱ) 0 ( ) 1
xx f x ax
时 恒成立求 a 取值范围
17已知函数 2( ) ( 1) ( 1)xf x x e x x
(Ⅰ)试判断方程 ( ) 0f x 根数
(Ⅱ) ( ) (1 ) k k f x k 整数等式 恒成立 求 值
18设函数 ( ) 2xf x e ax
(Ⅰ)求 ( )f x 单调区间
(Ⅱ) 1a k 整数 0x 时 '( ) ( ) 1 0x k f x x 求 k 值高考数学 2018 届◆难点突破系列
5
题型二:导数函数切线问题
19.已知函数 3 1 2( ) ln ( ) 2 3f x x x g x ax x e
.
(Ⅰ)求 ( )f x 单调增区间值
(Ⅱ)函数 ( )y f x 函数 ( )y g x 交点处存公切线求实数 a 值
(Ⅲ) 2(0 ]x e 时函数 ( )y f x 图象恰位两条行直线 1 l y kx
2 l y kx m 间 1l 2l 间距离时求实数 m 值.
20已知函数 ( ) ln( ) f x x a ax
(Ⅰ)求函数 ( )f x 单调区间极值
(Ⅱ) ( 1)a 函数 '( ) ( )g x a f x 图象存 1 2P P 两点横坐标满足
1 21 6x x ( )g x 图象两点处切线互相垂直求 a 取值范围
21已知函数 3 21 2 53y x x x 曲线存唯点 P 0 0( )x y 点 P 作曲线切线
l 曲线公点 P切线l 斜率 k ______________.
22.已知函数 2( ) xf x e ax ex a R
(Ⅰ)曲线 ( )y f x 点 (1 (1))f 处切线行 x 轴求函数 ( )f x 单调区间
(Ⅱ)试确定 a 取值范围曲线 ( )y f x 存唯点 P 曲线该点处切线
曲线公点 P
题型三:导数函数零点零点关系问题
23已知函数 3( ) sin ( ) [0 ]2 2f x ax x a R 值 3 2
(Ⅰ)求函数 ( )f x 解析式
(Ⅱ)判断函数 ( )f x (0 ) 零点数加证明.
24 已知函数 ( ) xf x x ae ( )a RÎ 两零点 1 2x x 1 2x x<
(Ⅰ)求 a 取值范围 (Ⅱ)证明 2
1
x
x
着 a 减增
(Ⅲ)证明 1 2x x+ 着 a 减增
25已知函数 ( ) 2ln ( )2
af x x x x x a a R + Î 定义域两极值点
(Ⅰ)求 a 取值范围高考数学 2018 届◆难点突破系列
6
(Ⅱ)记两极值点 1 2x x 1 2x x< 已知 0 等式 1
1 2e x xl l+ < × 恒成立求
取值范围
26已知函数 ( ) ( 0)axf x x e a >
(Ⅰ)求函数 ( )f x 单调区间
(Ⅱ)函数 ( )f x 两零点 1 2x x 1 2x x< 试证明 1
2
x aex
<
27.已知函数 ( )f x 1
x
x
e
( x ∈R)
(Ⅰ)求函数 ( )f x 单调区间极值
(Ⅱ)已知函数 ( )y g x 意 x 满足 ( ) (4 )g x f x 证明: x >2 时 ( )f x > ( )g x
(Ⅲ)果 1x ≠ 2x 1( )f x 2( )f x 证明: 1 2x x >4.
28.已知函数 2)1(2)( xaexxf x)( 两零点
(Ⅰ)求 a 取值范围
(Ⅱ)设 x1x2 两零点证明:x1+x2<2
29 已知函数 ( ) ( cos ) 2sin 2f x x x x 1 sin 2( ) ( ) 11 sin
x xg x x x
证明:(1)存唯 0 (0 )2x 0( ) 0f x
(2)存唯 1 ( )2x 1( ) 0g x (1)中 0 1x x
30.已知函数
2( )( ) ln
x af x x
(中 a 常数).
(Ⅰ) 0a 时求函数单调区间
(Ⅱ) 0 1a 时设函数 f(x)三极值点 1 2 3 x x x 1 2 3x x x 证明:
1 3
2x x
e
.
31 已知 ( ) ( 1)xf x e a x 两零点
(Ⅰ)求实数 a 取值范围
(Ⅱ)设 1 2 1 2x x R x x ( )f x 两零点证明: 1 2 1 2x x x x 高考数学 2018 届◆难点突破系列
7
32 已知 ( ) ln ( )f x x x mx m R
(Ⅰ) 1m 时 ( )f x 图象 1 1 处切线l 恰函数 ( 0 1)xy a a a 图象
相切求实数 a 值
( Ⅱ ) 函 数 21( ) ln 2 12F x x x mx 两 极 值 点 1 2 1 2 x x x x 求 证 :
2 1( ) 1 ( )f x f x
33.设函数 '( ) ln(1 ) ( ) ( ) 0f x x g x xf x x 中 ' ( )f x ( )f x 导函数.
(Ⅰ)令 1 1( ) ( ) ( ) ( ( )) n ng x g x g x g g x n N 求 ( )ng x 表达式
(Ⅱ) ( ) ( )f x ag x 恒成立求实数 a 取值范围
(Ⅲ)设 n N 较 (1) (2) ( )g g g n ( )n f n 加证明.
34.已知函数 f(x)exkxx∈R
(Ⅰ) k e 试确定函数 f(x)单调区间
(Ⅱ) k>0意 x∈Rf(|x|)>0 恒成立试确定实数 k 取值范围
(Ⅲ)设函数 F(x)f(x)+ f(x)求证:F(1)F(2)…F(n)> 1 22
n
ne (n∈ N )高考数学 2018 届◆难点突破系列
8
难 点 突 破(答案)
压轴题函数导数常考题型
二常考题型:
题型:恒成立求参数值取值范围问题
2解:(Ⅰ) 2 2
1( ln )
'( ) ( 1)
x x bxf x x x
直线 2 3 0x y 斜率 1
2
点 (11)
(1) 1
1'(1) 2
f
f
1
1 2 2
b
a b
解 1a 1b
(Ⅱ)(Ⅰ)知 ln 1f ( ) 1
xx x x
2
2
ln 1 ( 1)( ) (2ln )1 1
x xf x xx x x
考虑函数 ( ) 2lnh x x 2 1( 0)x xx
2 2 2
2 2
1 2 ( 1) ( 1)'( ) x x xh x x x x
x 1 时 '( ) 0h x h(1)0
2
2
2
2
2
(1 ) (1 ) 1( ) (1 ) 1
(1 )
(1 )
(0) 1 1 1
1 12 1 ( ) ( 1) ( ) 1 (1 )
( ) 0 ( ) ( 1)( 1 )
1( 1) ( )
x
x
x x
a x ax axf x ex x
ax a x a ex
f a a
x xf x e x f x ex x
f x f x
x f x
1解:(1)
已知
( )()
函数 减函数
时 0 ( ) 11
( 1 ) ( ) ( 1 )
(0) 1
0 ( ) (0) 1
0 ( ) (0) 1
( ) 1 0
xx e f xx
x f x
f
x f x f
x f x f
f x x x x
成立
时函数 减函数
时
1 时
综合述满足 取值范围: 1高考数学 2018 届◆难点突破系列
9
(01)x 时 ( ) 0h x 2
1 ( ) 01 h xx
x (1+ )时 ( ) 0h x 2
1 ( ) 01 h xx
0 1x x 时 ln( ) ( ) 01
x kf x x x
ln( ) 1
xf x x
3.解:(1) ln(1 )( ) ( 0)xf x xx
2
ln(1 )1( )
x xxf x x
设
( ) ln(1 )( 0)1
xg x x xx
2 2 2
1 1 1 (1 )( ) 0(1 ) 1 (1 ) (1 )
x x x xg x x x x x
( )y g x (0 ) 减函数 ( ) ln(1 ) (0) 01
xg x x gx
2
ln(1 )1( ) 0
x xxf x x
ln(1 )( ) ( 0)xf x xx
(0 ) 减函数
(2)(法): ln(1 )x ax (0 ) 恒成立 ln(1 ) 0x ax (0 ) 恒成立
设 ( ) ln(1 ) h x x ax (0) 0h 1( ) 1h x ax
① 0 1a 时令 1( ) 01h x ax
1 1x a
1(0 1)x a
时 ' ( ) 0h x ( ) ln(1 )h x x ax 1(0 1)a
增函数
1(0 1)x a
时 ( ) ln(1 ) 0h x x ax
ln(1 )x ax (0 ) 恒成立
② 1a 0x 时 ' 1( ) 01h x ax
恒成立
( ) ln(1 )h x x ax (0 ) 减函数
ln(1 ) (0) 0x ax h (0 ) 恒成立
ln(1 )x ax (0 ) 恒成立
③ 0a 显然满足条件高考数学 2018 届◆难点突破系列
10
综述①②③: 1a 时 ln(1 ) (0) 0x ax h (0 ) 恒成立
(法二): 0x 时等式 ln(1 )x ax 恒成立
: 0x 时等式 ln(1 )x ax
恒成立 0x 时 ln(1 )max xa x
(1)知 ln(1 )( ) xf x x
(0 ) 减函数
'
'0 0 0
ln( 1)ln( 1) 1lim lim lim 1( ) 1x x x
xx
x x x
(罗特法 0
0
型)
1a a 取值范围 +1
4.解:(1) 1 ln( ) xf x x
2
ln( ) ( 0)xf x xx
0 1x 时 ( ) 0f x 1x 时 ( ) 0f x .
( )f x (01) 单调递增 (1 ) 单调递减.
( )f x 1x 处取极值.
( )f x 区间 1( )2a a (中 0a )存极值
1
1 12
a
a
解 1 12 a .
(2)等式
2
( ) 1
k kf x x
2( 1)(1 ln )x x k kx
.
设
x
xxxg )ln1)(1()( 2
ln)(
x
xxxg .设 xxxh ln)(
xxh 11)( .
1x ( ) 0h x ( )h x [1 ) 单调递增.
( )h x 值 (1) 1 0h ( ) 0g x
( )g x [1 ) 单调递增 ( )g x 值 (1) 2g
2 2k k 解 1 2k .
'5 ( ) 4 3 (1) 1
(1) 1 ( ) (1))
1 ( 1)( 1) ( 1) 2 0
xf x e x f e
f e y f x f
y e e x e x y
解( )
曲线 点(1 处切线方程
高考数学 2018 届◆难点突破系列
11
2 2 2
2
2
2 2
2
2
5 5( ) ( ) ( 3) 1 2 3 ( 3) 12 2
1 11 21 1 2
1 11 ( 1) 12 2( ) ( )
1( ) ( 1) 1 ( ) ( 1)2
x
x
x
x x
x x
f x x a x e x x x a x
e x
ax e x x a x
e x e x x
g x g xx x
x e x x x x e
记
记
min
11 ( ) 0 ( ) [1 ) ( ) (1) 02
3( ) 0 ( ) [1 ) ( ) (1) 2
3 3( ) ( ) ( ]2 2
x x x x
g x g x g x g e
a g x a g x a e a e
单调递增
单调递增
恒成立 取值范围
6 解:(1) 2a 时 2( ) lnf x x xx
2
2'( ) ln 1f x xx
(1) 2f '(1) 1f
曲线 ( )y f x 1x 处切线方程 3y x
(2)存 1 2 [02]x x 1 2( ) ( )g x g x M 成立
等价: 1 2 max[ ( ) ( )]g x g x M
考察
3 2( ) 3g x x x
2 2'( ) 3 2 3 ( )3g x x x x x
表知: min max
2 85( ) ( ) ( ) (2) 13 27g x g g x g
1 2 max max min
112[ ( ) ( )] ( ) ( ) 27g x g x g x g x
满足条件整数 4M 高考数学 2018 届◆难点突破系列
12
(3) 1 22s t
( ) ( )f s g t 恒成立 1 22x
min( )f x max( )g x
max( ) 1g x 1 22x
( ) ln 1af x x xx
恒成立 2 lna x x x 恒
成立记 2( ) lnh x x x x ( ) 1 2 lnh x x x x 注意 (1) 0h
记 ( ) 1 2 lnm x x x x '( ) 3 2lnm x x
1 22x
'( ) 3 2ln 0m x x
( ) '( ) 1 2 lnm x h x x x x 1 22
递减
(1) 0h 1 12x
时 ( ) 0h x 12x 时 ( ) 0h x
函数 2( ) lnh x x x x 区间 1 12
递增区间 12 递减
max( ) (1) 1h x h 1a
(3)解: 1 22s t
( ) ( )f s g t 恒成立 1 22x
min( )f x max( )g x
(2)知区间 1 22
max( ) 1g x 注意 (1)f a 1a
证 1a 时区间 1 22
函数 ( ) 1f x 恒成立
1a 1 22x
时 1( ) ln lnaf x x x x xx x
记
1( ) lnh x x xx
2
1'( ) ln 1h x xx
'(1) 0h
1[ 1)2x
2
1'( ) ln 1 0h x xx
(12]x 2
1'( ) ln 1 0h x xx
函数
1( ) lnh x x xx
区间
1[ 1)2 递减区间 (12]递增高考数学 2018 届◆难点突破系列
13
min( ) (1) 1h x h ( ) 1h x 1a
1[ 2]2x
时 ( ) 1f x 成立
1 22s t
( ) ( )f s g t 恒成立
7解:(I) ( ) (1 )x x xf x e xe x e
1x 时 ( ) 0f x )(xf )1( 单调递减
1x 时 ( ) 0f x )(xf )1( 单调递增
'( ) 2 1g x ax '( 1) 2 1 0g a 1
2a
时 2
1)1(2
1
2
1)( 22 xxxxg
显然 )(xg )1( 单调递减 )1( 单调递增 1
2a
(II) )()( xgxf 0)1()()( axexxgxf x
令 1)( axexF x
'( ) xF x e a
0x '( ) 1xF x e a a
① 1a )0( x 时 '( ) 0F x )(xF 增函数 0)0( F
0)(0 xFx )()( xgxf
② 1a )ln0( ax 时 '( ) 0F x )(xF 减函数 0)0( F
)ln0( ax 时 0)( xF )()( xgxf )()( xgxf 成立
综 a 取值范围 ]1(
8解(Ⅰ)令 ( ) ( ) ( ) 1xh x f x g x e x
' ( ) 1xh x e
令 ' ( ) 0h x 0x 0x ' ( ) 0h x 0x ' ( ) 0h x
( )h x ( 0) 单调递减 (0 ) 单调递增
0x 时 ( )h x 值唯极值点
0x 时 ( )h x 值 (0) 0h
0x 时 ( ) 0h x 函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x 唯零点 0x
( ) ( )f x g x 唯零点 0x 高考数学 2018 届◆难点突破系列
14
(Ⅱ)令
( ) ( ) 1 1
axF x f x x
( ( ) 1)( 1) ( 1)( 1)( ) 1 1
xf x x ax e x axF x x x
令 ( ) ( 1)( 1)xH x e x ax
' ( ) (2 ) 1xH x e x a
令 ( ) (2 ) 1xx e x a
' ( ) (3 ) 0xx e x
( )x [0 ) 单调递增
' ( )H x [0 ) 单调递增
' '( ) (0) 1H x H a
1 1a 时
' ( ) 0H x ( )H x [0 ) 减函数
( ) (0) 0H x H ( ) ( ) 1 01
axF x f x x
2 1a 时
' (0) 1 0H a
' ( )H x [0 ) 单调递增
存区间 0(0 )x
' ( ) 0H x ( )H x 单调递减 ( ) (0) 0H x H
存区间 0(0 )x ( ) 0F x 显然
( ) 1 1
axf x x
恒成立相矛盾
综 1a
(法二) ① 1a 时(Ⅰ)知 0x 1xe x
( 1 )( ) 1 1 01 1 1 1
xax ax ax x x af x e xx x x x
9.解(1)f′(x)= 2 23 6 3 ( )ax x ax x a
令 f′(x)=0解 x=0 x= 2
a
.
0a 时 x 变化f′(x) f(x)变化情况:高考数学 2018 届◆难点突破系列
15
∴ f(x)极值=f(0)=1f(x)极值=f( 2
a
)= 2
4
a
+1
(2) 2( ) 3 6f x ax x 1( ) ( ) (2 1) 13h x f x a x
∴ 2( ) (2 1) 1h x ax a x 1 ( 1)x b b
1 x b 时令 2 (2 1) 1 0ax a x …………①
1a ∴ ( )h x 图象开口抛物线
闭区间值必区间端点处取
( 1) 0h a ∴等式①恒成立充条件 ( ) 0h b
2 (2 1) 1 0ab a b
∵ 1b ∴ 1 0b 0a ∴
2 2 1
1
b b
b a
1a 关 a 等式
2 2 1
1
b b
b a
成立
须
2
max
2 1( )1
b b
b a
2 2 11
b b
b
2 1 0b b
∴ 1 5 1 5
2 2b 1b 1 51 2b max
1 5
2b .
max
2
1( ) (1) 2
3(2) 0 ( ) ln ( ) [0 ] (1 ] 2
f x f
b f x a x f x m x a x e
时 等式 成立高考数学 2018 届◆难点突破系列
16
11解:(1) ( ) 21
af x x aax
1( ) 02f 2 2 0a a
解: 2a
(2) 0 2a 时 ( )f x 1[ )2
增函数须 ( ) 0f x 区间 1[ )2
恒成立
21 2 02
ax x a
时 恒成立2
21 2 (2 )( 1)0 2 02 2 2
a a aa a a
时-
21 2 10 ( ) 0 ( ) [ ) 2 2
ax x f x f xa
时 增函数2
2
2
'
(3) (12) 1 (1) ln( ) 1
1 1(12) ln( ) 1 ( 1) 02 2
1 1( ) ln( ) 1 ( 1)(1 2)2 2
1( ) 1 2 [2 (1 2 )]1 1
0 2 (1 2 )
a f f a a
a a a m a
g a a a m a a
ag a ma ma ma a
m ma m
1 1 1 时(2)知 (x) 值2 2 2
问题等价意 等式 恒成立
记
1) 时 '0 ( ) 0 ( )g a g a 区间(12)递减
'
'
( ) (1) 0
0 ( ) 0
2 10 ( ) [ ( 1)]1 2
1 11 1 ( ) min 2 1 )2 2
( ) (1) 0 ( ) 0
1 1 1 ( ) 0 ( ) (12)2
g a g
m g a
mam g a aa m
g am m
g a g g a
g a g am
时
时 恒成立
2) 时
知 区间(1 递减
区间 恒成立矛盾
时 递增'1 1 1 ( ) 0 ( ) (12)2 g a g am
时 递增高考数学 2018 届◆难点突破系列
17
0 1( ) (1) 0 1 41 12
1m [ )4
m
g a g m
m
恒 满足题设求
实数 取值范围
12解:(1) 3a 时 3 24 3f x x x x 23 8 3f x x x
11x 时 f x 单调增函数
11 0f x 1 3x
11 3
( )f x <0 ( )f x 减函数 1 13
( )f x >0 ( )f x 增函数
出 11 ( )f x 单调函数
(2) 02 19 1
6 3g x x 增函数 2 02x 2
1 63g x
设 2
1 1 1 1 1 12 3 2 2 11h x f x ax x x a a x
1 16 2h x x 1 0h x 1
1 3x
意 1 11x 存 2 02x 1 2h x g x 成立需 11
1
1 63 h x 11 3
1' 0h x 1 13
1' 0h x
1
1 3x 时 1h x 极值 21 1 23 3h a a
2 21 1 2 1 5 2h a a h a a
11 1h x 极值 1h x 值 21 23 a a
2
2
2
1 2 6
5 2 6
1 12 3 3
a a
a a
a a
解 02 a
13解:(1) ( ) ln 2 ln xf x a a x a 高考数学 2018 届◆难点突破系列
18
1a 时总 ' ( )f x R 增函数
'(0) 0f 等式 ' ( ) 0f x 解集 (0 )
函数 ( )f x 单调增区间 (0 )
(2)存 1 2 11 x x 1 2( ) ( ) 1f x f x e 成立
需: 11 x 时 max min( ) ( ) 1f x f x e
'( )f x ( )f x x 取值变化情况表:
x 0 0 0
'( )f x _ 0 +
( )f x 减函数 极值 增函数
表知: ( )f x 10 01 单调减函数 单调增函数
min m n( ) (0) 1 ( ) ( 1) (1) af x f f x f f 中值
1 1(1) ( 1) ( 1 ln ) ( 1 ln ) 2ln f f a a a a aa a
' 2
2
1( ) 2ln ( 1)
1 2 1( ) 1 (1 ) 0
g a a a aa
g a a a a
令
1( ) 2lng a a aa
(1+ )增函数
(1) 0g 1a 时 ( ) 0 (1) ( 1)g a f f
max min( ) ( ) (1) (0) 1 ln 1f x f x f f e a a e
令函数 ' 1 1( ) ln 1 1 0ah a a a a y a a
时
函数 ( ) lnh a a a (1 )a 增函数 ( ) 1h e e a e
综求 a 取值范围 e
14解 (Ⅰ) ' ( ) ( 1) 2mxf x m e x .
0m ( 0)x 时 1 0mxe ' ( ) 0f x (0 )x 时 1 0mxe 高考数学 2018 届◆难点突破系列
19
' ( ) 0f x 0m ( 0)x 时 1 0mxe ' ( ) 0f x (0 )x 时
1 0mxe ' ( ) 0f x .
( )f x ( 0) 单调递减 (0 ) 单调递增.
(Ⅱ)(Ⅰ)知意 m ( )f x [ 10] 单调递减[01] 单调递增 ( )f x 0x
处取值.意 1 2 [ 11]x x 1 2( ) ( ) 1f x f x e 充条件:
(1) (0) 1
( 1) (0) 1
f f e
f f e
1
1
m
m
e m e
e m e
①
设函数 ( ) 1tg t e t e ' ( ) 1tg t e . 0t 时 ' ( ) 0g t 0t 时 ' ( ) 0g t .
( )g t ( 0) 单调递减 (0 ) 单调递增. (1) 0g 1( 1) 2 0g e e
[ 11]t 时 ( ) 0g t .
[ 11]m 时 ( ) 0g m ( ) 0g m ①式成立.
1m 时 ( )g t 单调性 ( ) 0g m 1me m e
1m 时 ( ) 0g m 1me m e .
综 m 取值范围[ 11] .
15.解:(1) 1)1()(' 2
2
xx
axxxf .
4
1a 时 0)(' xf )(xf )1( 单调递减.
4
10 a 时令 0)(' xf
2
411
2
411 axa
令 0)(' xf
2
4111 ax
2
411 ax .
)(xf )2
4112
411( aa 单 调 递 增 )2
4111( a
)2
411( a 单调递减.高考数学 2018 届◆难点突破系列
20
( 2 ) 原 式 等 价 12)1ln()1( xxxax 存 0a 0x 时
x
xxxa 12)1ln()1( 恒成立.
设 012)1ln()1()( xx
xxxxg 0)1ln(1)(' 2 xx
xxxg
设 0)1ln(1)( xxxxh 01
11)('
xxh )(xh )0( 单调递增.
0)3(0)2( hh 根零点存性定理 )(xh )0( 唯零点设该零点
0x )1ln(1 00 xx )32(0 x
212)1)(1()( 0
0
000
min xx
xxxxg Zaxa 20 a 值 5.
16解:(1) 1 ( ) 1 1
xx f x xx
x时 仅e
令 '( ) 1 ( ) 1g x x g x x xe e
'0 ( ) 0 ( ) 0 x g x g x 时 单调增函数
0 ( ) 0 ( ) 0x g x g x 时 单调减函数
( ) 0 ( ) (0) 1 xg x x x R g x g e x 处达值 时
1 ( ) 1
xx f x x
时
(2)题设 0 ( ) 0x f x 时
10 1
xa x a ax
时 0 ( ) 1
xf x ax
成立
0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01
xa h x axf x f x x f x h xax
时 令 仅
' ' '( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )h x af x axf x f x af x axf x ax f x
① 10 ( 1) ( )2a x x f x 时 (1)知
' ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) (2 1) ( ) 0h x af x axf x a x f x f x a f x
( ) 0 ( ) (0) 0h x h x h 减函数 ( ) 1
xf x ax
② 1 2a 时 易证 ( ) 1 1x xx f x e x x e 高考数学 2018 届◆难点突破系列
21
' ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
(2 1 ) ( )
h x af x axf x ax f x
af x axf x af x f x
a ax f x
'2 10 ( ) 0ax h xa
时 ( ) (0) 0 ( ) 1
xh x h f x ax
综 a 取值范围 10 2
17解:(1) ' 2( ) ( 1) 1xf x e x
记 2( ) ( 1) 1xh x e x ' 2( ) ( 2 1)xh x e x x
(1 )x 时 '( ) 0h x 恒成立 ( )h x (1+ )增函数
2(1) 1 0 (2) 3 1 0h h e
0 0
0 0
0 0
(12) ( ) 0
(1 ) ( ) 0 ( ) ( ) 0
( ) (1 ) ( )
x h x
x x h x x x h x
f x x x
时 时
单调递减 单调递增
0
2
0
(1) 1 0 ( ) (1) 1 0
(2) 2 0
( ) ( )
( ) (1 )
f f x f
f e
f x x
f x
零点
综述 零点
0 0
0
2 2
0 0 0 0 0 0
(2) ( ) ( )
( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 0(1 2)x x
f x f x
f x x e x h x e x x
(1)知 唯极值点唯值点
2
2 0
0 0 0 02
0 0 0
1 1 2( ) ( 1) ( 1) 2 1 1 1
xf x x x xx x x
0 0
51 2 ( ) 13x f x
( ) (1 ) k k f x k 整数等式 恒成立时 值2
18解 (Ⅰ) f x 定义域 R xf x e a
0a 0f x 恒成立 f x R 总增函数
0a 令 0f x 求 lnx a f x 单增区间 ln a
令 0f x 求 lnx a f x 单减区间 ln a高考数学 2018 届◆难点突破系列
22
(Ⅱ)
1
x
a
f x e a
代入 1 0x k f x x 1 1 0xx k e x
0x 1 0xe 1 1xx k e x 1
1x
xx k e
1
1x
xk x e
1 ( 0) (*)1x
xk x xe
令 1
1x
xg x xe
2
2
1
x x
x
e e x
g x
e
(Ⅰ)知 2xh x e x 0 单调递增
1 0
2 0
h
h
h x 0 存唯零点 1 2
g x 0 存 唯 零 点 0 x 时 0g x
x 时 0g x 0 ming x g 0g
2e 1g 2 3g
(*)式等价 k g 整数值 2.
题型二:导数函数切线问题
19.解(1) ( ) ln 1f x x ' ( ) 0f x 1x e
( )f x 单调增区间 1( )e
1(0 )x e
时 ( ) 0f x ( )f x 1(0 )e
单调减
1( )x e
时 ( ) 0f x ( )f x 1( )e
单调增
( )f x 值 1 1( )f e e
.
(2) ( ) ln 1f x x 2 1( ) 3 2g x ax
设公切点处横坐标 x ( )f x 相切直线方程: (ln 1)y x x x
( )g x 相切直线方程: 2 31 2(3 ) 22 3y ax x ax e
2
3
1ln 1 3 2
22 3
x ax
x ax e
解 1lnx x e
(1)知 1x e
2
6
ea .高考数学 2018 届◆难点突破系列
23
(3)(提示:参考函数 ( )f x 图象图定义域
(0 ) 点 10 二阶导数 '' 1( ) 02f x
单凹函数极值点 1
e
)
直线 1l 点 2 2( 2 )e e 时 2k 函数 ( )f x 图象恰位两条行直线间
2k 1l 2l 间距离 2l 函数 ( )f x 图象必相切设切点横坐标 x
ln 1k x 2k x e (仅 2k 时等号成立)
2 l (ln 1)y x x x 1 l (ln 1)y x x x e 1l 2l 间 距 离
21 (ln 1)
xd
x
令 ( ) ln [(ln 1) ]h x x x x x x
( ) ln 1 ln 1 ln lnh x x x x x
x x 时 ( ) 0h x ( )h x (0 )x 单调减
x x 时 ( ) 0h x ( )h x 2( )x e 单调增
( )h x 值 ( ) 0h x 函数 ( )f x 图象均 2l 方
令
2
2( ) ln 2ln 2
xt x x x
2 2
2 2 2 2
2 ln 4 ln 4 2 ln 2 2 ln 2 ln 2( ) (ln 2ln 2) (ln 2ln 2)
x x x x x x x x x x x x xt x x x x x
x e 时 ( ) 0t x x e 时 ( ) ( )t x t e
d 时 x e 时 m e .
20解:函数 ( ) ln( ) f x x a ax 定义域 1( ) ( ) a f x ax a
0a 时区间 ( )a ( ) 0f x ( )f x 单调递增极值
0a 时令 1( ) 0f x ax a
1 x a a
1( )x a a a
时 ' ( ) 0f x 函数 ( )f x 单调递增高考数学 2018 届◆难点突破系列
24
1( )x a a
时 ' ( ) 0f x 函数 ( )f x 单调递减
函数 ( )f x 极值 21( ) ln( ) 1( 0)f a a a aa
极值
(2)(1)知 ( 1)a 时
2
'
2
1 1( ) ( )
1 ( )
a a x a ax a ag x a f x a ax a a a x ax a a
函数图象存符合求两点必须 1 2
11 6x a xa
1 5 3 102 a
1x a a a
时 2( ) ag x ax a
函数点 1P 处切线斜率
1 2
1
ak
x a
1( )x a a
时 2( ) ag x ax a
函数点 2P 处切线斜率
2 2
2
ak
x a
函数图象两点处切线互相垂直
2 2
1 2
[ ] [ ] 1a a
x a x a
2 2 2
1 2x a x a a
1 2
10 1 6 a x a x a aa
1 2x a x a a
1 ( 1 )
1 (6 )
a aa
a aa
3 2a
综述求 a 取值范围 1 5( 1)2
2
0 0 0 0
0 0
3 2
0 03 2
3 2
0 0
( )( 4 5)
( ) 1 2 5 ( )1 32 5 3
1 2 ( 5) ( ) 03
l y y k x x k x x
y y k x x
x x x k x x y
y x x x
x x k x y kx
21解切线 方程 中
联立 整理
高考数学 2018 届◆难点突破系列
25
3 2
0 0 0
' 2
2 ' 2 2 2 '
0 0 0 0 0 0
1( ) 2 ( 5) ( ) ( ) 03
( ) 4 ( 5) 16 4 5)4 9 )
4 5 ( ) 4 4 4( 2) 0 ( ) 0
g x x x k x y kx g x
g x x x k k k
k x x g x x x x x x g x
令 易知
求导: ( (
显然
'
0 0
3 2
0 0 0 0
'
1 0 2 0
0 1 0 2 0 2
0 1
46(1) 0 2 ( ) 03
2 ( 5) ( ) 0 2
9
(2) 0 9 ( ) 0
2 9 2 2 2 9 2 2
2 4
2 4
x y g x
x x k x y kx x
k
k g x
x k x x k x
x x x x x x x x
x x x
时
1方程 唯实根 符合题意3
时
令
记
时 g( )0
时
0 2 0 1
0 9 ( )
x x x x x
k g x
g( )0
时 两零点合题意
9k 综述
22解:(I) ' ( ) 2 xf x e ax e 曲线 ( )y f x 点 (1 (1))f 处切线斜率 2 0k a
0a ( ) xf x e ex
时 ' ( ) xf x e e ' ( ) 0f x 1x
( 1)x 时 ' ( ) 0f x (1 )x 时
' ( ) 0f x ( )f x 单调递减区间 ( 1) 单调递增区间 (1 ) .
(II)设点 0 0( ( ))P x f x 曲线 ( )y f x 点 P 处切线方程
'
0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x
令 '
0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( )g x f x f x x x f x 曲线 ( )y f x 点 P 处切线曲线
公点 P 等价函数 ( )g x 唯零点.
0( ) 0g x 0' ' '
0 0( ) ( ) ( ) 2 ( )xxg x f x f x e e a x x .
① 0a 0x x 时 ' ( ) 0g x 0x x 时 0( ) ( ) 0g x g x
0x x 时 ' ( ) 0g x 0x x 时 0( ) ( ) 0g x g x ( )g x 唯零点 0x x
0x 具意性符合 P 唯性 0a 合题意.
② 0a 令 0
0( ) 2 ( )xxh x e e a x x 0( ) 0h x ' ( ) 2xh x e a
令 ' ( ) 0h x ln( 2 )x a 记 ln( 2 )x a x∈(-∞x*)时 ' ( ) 0h x
( )h x (-∞x*)单调递减 x∈(x*+∞)时 ' ( ) 0h x ( )h x (x*+∞)
单调递增.
(i) 0x x x ∈(-∞x*)时 ' ( ) ( ) ( ) 0g x h x h x x ∈(x*+∞)时
' ( ) ( ) ( ) 0g x h x h x 知 ( )g x R 单调递增.
函数 ( )g x R 零点 x x
(ii) 0x x ( )h x (x*+∞)单调递增 0( )h x =0 x ∈(x*x0)
时 '
0( ) ( ) ( ) 0g x h x h x 0( ) ( ) 0g x g x 取 x ∈(x*x0) ( ) 0g x 高考数学 2018 届◆难点突破系列
26
x ∈(-∞x*)时易知 2 ' '
0 0 0 0( ) ( ( )) ( ) ( )xg x e ax e f x x f x x f x
x xe e
2 ' ' 2
0 0 0 0( ) ( ( )) ( ) ( )xg x e ax e f x x f x x f x ax bx c
中 '
0( ( ))b e f x '
0 0 0( ) ( )xc e f x x f x
.
0a 必存 1x x
2
1 1 0ax bx c
1( ) 0g x ( )g x 1( )x x 存零点. ( )g x R 少两零点.
(iii) 0x x 易证 ( ) 0g x
3
6
x xe
3
2 ' '
0 0 0 0( ) ( ( )) ( ) ( )6
xg x ax e f x x f x x f x x x 时总存 x ∈(x*
+∞)
3
2 ' '
0 0 0 0( ( )) ( ) ( ) 06
x ax e f x x f x x f x
时 ( ) 0g x ( )g x (x*+∞)存零点 ( )g x R 少两零点.
综述 0a 时曲线 ( )y f x 存唯点 (ln( 2 ) (ln( 2 ))P a f a 曲线
该点处切线曲线公点 P
题型三:导数函数零点零点关系问题
23解:(I)已知 ' ( )f x = a (sin cos )x x x
意 x∈
0π
2 sin cosx x x >0
a =0 时 ( )f x =-3
2
合题意
a <0x∈
0π
2 时 ' ( )f x <0 ( )f x
0π
2 单调递减
( )f x
0π
2 图象连续断
( )f x
0π
2 值 f(0)=-3
2
合题意
a >0x∈
0π
2 时 ' ( )f x >0 ( )f x
0π
2 单调递增
( )f x
0π
2 图象连续 ( )f x
0π
2 值 f
π
2
π
2 a -3
2
= 3
2
解 a =1
综述 ( )f x = sinx x -3
2
(II) ( )f x (0π)两零点.
证明:
(1)知 ( )f x = sinx x -3
2
(0)f =-3
2
<0 ( )2f = 3
2
>0
( )f x [0 ]2
图象连续断 ( )f x (0 )2
少存零点.
(1)知 ( )f x [0 ]2
单调递增 ( )f x (0 )2
仅零点.高考数学 2018 届◆难点突破系列
27
x∈[ ]2
时令 ( )g x = ' ( )f x =sin cosx x x
( )2g =1>0 ( )g =-π<0 ( )g x [ ]2
图象连续断存
m ∈ ( )2
( )g m =0
' ( )g x = 2cos sinx x x 知 x∈ ( )2
时 ' ( )g x <0
( )g x ( )2
单调递减.
x∈ ( )2 m 时 ( )g x > ( )g m =0 ' ( )f x >0 ( )f x ( )2 m 单调递增
x∈[ ]2 m 时 ( )f x ≥ ( )2f = 3
2
>0 ( )f x [ ]2 m 零点
x∈( m π)时 ( )g x < ( )g m =0 ' ( )f x <0 ( )f x ( m π)单调递减.
( )f m >0 ( )f <0 ( )f x [ m ]图象连续断 ( )f x ( m
)仅零点.
综述 ( )f x (0 )两零点.
24解:(Ⅰ) ( ) xf x x ae ( ) 1 xf x ae¢
面分两种情况讨:
(1) 0a £ 时 ( ) 0f x¢ > R 恒成立 ( )f x R 单调递增合题意
(2) 0a > 时 ( ) 0f x¢ lnx a
x 变化时 ( )f x¢ ( )f x 变化情况表:
x ( ) ln a¥ ln a ( )ln a +¥
( )f x¢ + 0 -
( )f x ↗ ln 1a ↘
时 ( )f x 单调递增区间( ) ln a¥ 单调递减区间( )ln a +¥
函数 ( )y f x 两零点等价条件时成立:
1° ( )ln 0f a > 2°存 ( )1 ln as Î ¥ 满足 ( )1 0f s <
3°存 ( )2 ln as Î +¥ 满足 ( )2 0f s <
( )ln 0f a > ln 1 0a > 解 10 a e< < 高考数学 2018 届◆难点突破系列
28
时取 1 0s 满足 ( )1 ln as Î ¥ ( )1 0f s a <
取 2
2 2lns a a
+ 满足 ( )2 ln as Î +¥ ( )
2 2
2
2 2ln 0a af s e ea a
+ <
a 取值范围( )10e
(Ⅱ)证明: ( ) 0xf x x ae x
xa e
设 ( ) x
xg x e
( ) 1
x
xg x e
¢ 知 ( )g x ( )1¥ 单调递增( )1+¥ 单调递减
( ]0x Î ¥ 时 ( ) 0g x £ ( )0x Î +¥ 时 ( ) 0g x >
已知 1 2x x 满足 ( )1a g x ( )2a g x ( )10a eÎ ( )g x 单调性
( )1 01x Î ( )2 1x Î +¥
意 ( )1
1 2 0 a a eÎ 设 1 2a a> ( ) ( )1 2 1g g ax x 中 1 20 1x x< < <
( ) ( )1 2 2g g ah h 中 1 20 1h h< < <
( )g x ( )01 单调递增 1 2a a> ( ) ( )1 1g gx h> 1 1x h> 类似
2 2x h<
1 1 0x h > 2 2 2
1 1 1
x h h
x x h
< < 2
1
x
x
着 a 减增
(Ⅲ)证明:(法) 1
1
xx ae 2
2
xx ae 1 1ln lnx a x + 2 2ln lnx a x +
2
2 1 2 1
1
ln ln ln xx x x x x
设 2
1
x tx
1t > 2 1
2 1
ln
x tx
x x t
ì ïïíï ïî
解 1
ln
1
tx t
2
ln
1
t tx t
( )
1 2
1 ln
1
t tx x t
++
①
令 ( ) ( )1 ln
1
x xh x x
+
( )1x Î +¥ ( ) ( )2
12ln
1
x x xh x
x
+
¢
高考数学 2018 届◆难点突破系列
29
令 ( ) 12lnu x x x x
+ ( )
21xu x x
÷ç¢ ÷ç ÷ç
( )1x Î +¥ 时 ( ) 0u x¢ > ( )u x ( )1+¥ 单调递增
意 ( )1x Î +¥ ( ) ( )1 0u x u>
( ) 0h x¢ > ( )h x ( )1+¥ 单调递增
① 1 2x x+ 着 t 增增
(Ⅱ)知t 着 a 减增 1 2x x+ 着 a 减增
(法二) 1
1
xx ae 2
2
xx ae 1 2
1 2 ( )x xx x a e e
1 2
1 2
x x
x xa e e
证明 1 2 2x x+ > 需证明 1 2( ) 2x xa e e+ >
证:
1 2
1 21 2( ) 2
x x
x x
e ex x e e
+ >
妨设 1 2x x> 记 1 2t x x 0 1tt e
证明: 1 21
t
t
et e
+× >
证 2 2 0tt e t
记 ( ) 2 2th t t e t 注意 (0) 0h 需证 ( )h x 0 增函数
25.解:(Ⅰ) ( )' lnf x x ax 函数 ( )f x 定义域两极值点转化
ln( ) xg x x
函数 y a 0 两交点
'
2
1 ln( ) xg x x
0x e 时 ' ( ) 0g x x e 时 ' ( ) 0g x
( )g x 0e 单调递增 ( )g x e 单调递减 max
1( ) ( )g x g e e
( )g x 零点 1 0x 时 ( )g x x 时 ( ) 0g x
想 ln( ) xg x x
函数 y a 0 两交点需 10 a e
(Ⅱ) 1
1 2e x xl l+ < × 等价 1 21 ln lnx x
(Ⅰ)知 1 2x x 分方程 ln 0x ax 两根 1 1 2 2ln lnx ax x ax
原式等价 1 21 ( )a x x 高考数学 2018 届◆难点突破系列
30
1 200 x x
1 2
1a x x
1 1 2 2ln lnx ax x ax 作差 ( )1
1 2
2
ln x a x xx
1
2
1 2
ln x
xa x x
原式等价
1
2
1 2 1 2
ln 1
x
x
x x x x
1 21
2 1 2
(1 )ln 0x xx
x x x
令 1
2
01xt tx
等式 (1 ) 1ln 0tt t
01t 恒成立
令 (1 ) 1( ) ln th t t t
22
'
22
11 (1 )( ) ( )
t t
h t t t t t
2 1 时见 ' ( ) 0h t ( )h t 01 单调递增 (1) 0h
( ) 0h t 01 恒成立符合题意
2 1 时见 20t 时 ' ( ) 0h t 2 1t 时 ' ( ) 0h t ( )h t 20
单调递增 2 1 单调递减 (1) 0h
( )h t 01 恒 0符合题意舍
综述等式 1
1 2e x xl l+ < × 恒成立需 2 1 0 1
26.解:(Ⅰ) ( ) 1 axf x ae¢ 令 ( )' 0f x 1 1lnx a a
易知函数 ( )f x 增区间 1 1 lna a
减区间 1 1ln a a
(Ⅱ)函数 ( )f x 两零点(Ⅰ)知 max
1 1( ) ( ln ) 0f x f a a
1a e
时 1 1( ) 0f ea a
1 2
1 1 1lnx xa a a
2 1
1 1 1lnx x a a a
1 2
1 1(1 ln )x x a a
1 2
1 1 2 2( ) 0 ( ) 0ax axf x x e f x x e
1
1 2
2
1 1[ (1 ln )] ln( )1
2
ax a aea x x a a
ax
x e e e e aex e
高考数学 2018 届◆难点突破系列
31
27.解:(1)f(x) 1
x
x
e
(x∈R) ( )f x 2
( 1)x x
x
e x e
e
2
x
x
e
∴x<2 时 ( )f x >0f(x)单调递增x>2 时 ( )f x <0f(x)单调递减.
∴f(x)极值f(2) 2
1
e
.
(2)设 h(x)f(x)g(x) 1
x
x
e
4
3
x
x
e
( )h x 2
x
x
e
4
2
x
x
e
4
4
(2 )( )x xx e e
e
x>2 时 ' ( )h x >0h(x)单调递增
∴h(x)>h(2)0∴f(x)>g(x).
(3)(1)妨设 x1<2<x2 4x2<2
∴(2) f(x1)f(x2)>g(x2)f(4x2)
(1)x<2 时f(x)单调递增
∴x1>4x2∴x1+x2>4.
28.解:(Ⅰ) '( ) ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2 )x xf x x e a x x e a .
(i)设 0a ( ) ( 2) xf x x e ( )f x 零点.
(ii)设 0a ( 1)x 时 '( ) 0f x (1 )x 时 '( ) 0f x . ( )f x
( 1) 单调递减 (1 ) 单调递增.
(1)f e (2)f a 取b 满足 0b ln 2
ab
2 2 3( ) ( 2) ( 1) ( ) 02 2
af b b a b a b b
( )f x 存两零点.
(iii)设 0a '( ) 0f x 1x ln( 2 )x a .
2
ea ln( 2 ) 1a (1 )x 时 '( ) 0f x ( )f x (1 ) 单调
递增. 1x 时 ( ) 0f x ( )f x 存两零点.
2
ea ln( 2 ) 1a (1ln( 2 ))x a 时 '( ) 0f x (ln( 2 ) )x a 时
'( ) 0f x . ( )f x (1ln( 2 ))a 单调递减 (ln( 2 ) )a 单调递增.
1x 时 ( ) 0f x ( )f x 存两零点.高考数学 2018 届◆难点突破系列
32
综 a 取值范围 (0 ) .
(Ⅱ)妨设 1 2x x (Ⅰ)知 1 2( 1) (1 )x x 22 ( 1)x ( )f x ( 1)
单调递减 1 2 2x x 等价 1 2( ) (2 )f x f x 2(2 ) 0f x .
22 2
2 2 2(2 ) ( 1)xf x x e a x 2 2
2 2 2( ) ( 2) ( 1) 0xf x x e a x
2 22
2 2 2(2 ) ( 2)x xf x x e x e .
设 2( ) ( 2)x xg x xe x e 2'( ) ( 1)( )x xg x x e e .
1x 时 '( ) 0g x (1) 0g 1x 时 ( ) 0g x .
2 2( ) (2 ) 0g x f x 1 2 2x x .
29 解:(Ⅰ) 0 2x
时 ( ) sin 2cos 0f x x x 函数 ( )f x 0 2
增函数 (0) 2 0f
2
( ) 4 02 2f 存唯 0 0 2x
0( ) 0f x
(Ⅱ) 2x
时化简 cos 2( ) 11 sin
x xg x x x
令t x 2x
时 0 2t
记 cos 2( ) ( ) 11 sin
t tu t g t tt
0 2t
( )( ) (1 sin )
f tu t t
(Ⅰ) 00t x 时 ( ) 0u t 0 2t x
时 ( ) 0u t 0 2x
( )u t 增函数 ( ) 02u 0 2t x
时
( ) 0u t ( )u t 零点 0 2x
零点 00 x ( )u t 减函数 (0) 1u
0( ) 0u x 存 唯 0 00t x 0( ) 0u t 设 1 0 2x t
1 0 0( ) ( ) ( ) 0g x g t u t 存 唯 1 2x
1( ) 0g x 高考数学 2018 届◆难点突破系列
33
1 0 0 0x t t x 0 1x x 命题证
30.解:(Ⅰ) ' ( )f x 2
(2ln 1)
ln
x x
x
令 ' ( ) 0f x x e .
列表:
x (01) 1) e ( e ) e (+
' ( ) 0f x 0
( )f x 减 减 极值 增
单调减区间(01) 1) e (增区间) e (+ .
(Ⅱ)题知 ( )f x 2
( )(2ln 1)
ln
ax a x x
x
函数 )x2 (lnx+ a
x 1 '
2
2( ) x ah x x
∴函数 (x) 0) 2
a (单调递减) 2
a (+ 单调递增
∵函数 f(x) 3 极值点 x1<x2<x3
min ( ) 2ln 1 02 2
a ah h a 2
e
0< a <1 时( a )2ln a <0(1) a 1<0
∴函数 f(x)递增区间(x1 a )(x3+)递减区间(0x1)( a 1)(1
x3)时函数 f(x) 3 极值点 x2 a
∴ 0< a <1 时x1x3 函数 )x2 (lnx+ a
x 1两零点
1
1
3
3
2ln 1 0
2ln 1 0
ax x
ax x
消 a 2x1lnx1x12x3lnx3x3
令 g(x)2xlnxx ( )g x 2lnx+1 零点 x 1
e
x 1
1
e
x 3
∴函数 g(x)2xlnxx 0) 1
e
(递减) 1
e
(+ 递增
证明 x+1x 3
2
e
x 3
2
e
x1g)x (3g) 2
e
x (1高考数学 2018 届◆难点突破系列
34
∵g(x1)g(x3)证 g)x (1g) 2
e
x(1g)x(1g) 2
e
x 0 (1
构造函数 F)x (g)x(g) 2
e
x( F) 1
e
0 (
需证明 x 0) 1
e
[单调递减.
' ( )F x 2 lnx2+ln) 2
e
x2+(F)x (
22( 2 )
02( )
x
e
x x
e
' ( )F x 0) 1
e
[单调递增 ' ( )F x < ' 1( )F
e
0.
∴ 0< a <1 时x+1x 3
2
e
.
31 解:(Ⅰ) '( ) xf x e a x R
(1) 0a 时 '( ) 0f x ( )f x R 单调递增显然成立
(2) 0a 时 '( ) 0f x lnx a lnx a 时 ( ) 0f x ( )f x ( ln )a 单
调递减 lnx a 时 ( ) 0f x ( )f x (ln )a 单调递增 ( )f x lnx a
时取值 x x 时 ( )f x (ln ) (2 ln ) 0f a a a
2a e 时 ( )f x 两零点
(Ⅱ)证 1 2 1 2x x x x 证 1 2( 1)( 1) 1x x
已知 1
1( 1)xe a x 2
2( 1)xe a x 证
1 2
1 2 2( 1)( 1) 1
x xex x a
证 1 2 2x xe a 证 1 2 2lnx x a 证 2 12lnx a x
2 lnx a ( )f x (ln )a 单调递增
需证 2 1(2ln )f x f a x 证 1 1(2ln )f x f a x
令 ( ) (2ln )g x f a x f x lnx a 高考数学 2018 届◆难点突破系列
35
2
2 2 2 2( ) 2 0
xx x
x
x x x
e aa a e aeg x e ae e e
( )g x ( ln )a 单调递减 ( ) (ln ) (2ln ln ) (ln ) 0g x g a f a a f a
(2ln ) ( )f a x f x ( ln )a 恒成立
1 1(2ln ) ( )f a x f x 原命题证
32.解:(Ⅰ) '( ) ln 1 2f x x x ' (1) 1f 切线l 方程 1y ( 1)x
y x 切线l 方程 y x
xy a ' ln xy a a 直线 y x xy a 图象相切切点 0
0 xx a
0
0
0
(1)ln 1
(2)
x
x
a a
a x
2 ( )ln 1x a ( )代入(1)
ln1 ln ln
ax aa a
11代入(2) 1 1ln ln alna lna
ln( ln ) 1a 1ln a e 1ln a e 解
1
ea e
(Ⅱ)题意
2
' 1 2 1( ) 2 x mxF x x mx x
函数 ( )F x 两极点 1 2x x
函数 2( ) 2 1h x x mx 0 两相异零点 1 2x x
2
1 2
1 2
4 4 01 0
2 0
mx x
x x m
1m
10 x x 2x x 时 ' ( ) 0F x 1 2x x x 时 ' ( ) 0F x
( )F x 1(0 )x 2( )x 单调递增 ( )F x 1 2( )x x 单调递减
1 2(1) 2 2 0 0 1h m x m x 令
2
2 12 1 0 2
xx mx m x
2 1( ) (ln ) (ln )2
xf x x x mx x x
2
' 3 1( ) ln 2 2
xf x x
设
2 2
'3 1 1 1 3( ) ln ( ) 3 2 2
x xs x x s x xx x
高考数学 2018 届◆难点突破系列
36
1 1x 时 ' ( ) 0 ( )s x s x 1 单调递减 ( ) ( ) (1) 1 0s x s m s
( )f x 1 单调递减 ( ) (1) 1 0f x f
21 m x 2( ) 1f x
② 0 1x 时 ' ( ) 0s x 30 3x ' ( ) 0s x 3 13 x
( )s x 3(0 )3
单调递增 3( 1)3
单调递减
3 3( ) ( ) ln 03 3s x s ( )f x 01 单调递减 ( ) (1) 1f x f
1x 01 1( ) 1f x
综述 2 1( ) 1 ( )f x f x
33.解:题设g(x)= x
1+x
(x≥0).
(1)已知g1(x)= x
1+x
g2(x)=g(g1(x))=
x
1+x
1+ x
1+x
= x
1+2x
g3(x)= x
1+3x
…
gn(x)= x
1+nx
面数学纳法证明:
① n=1 时g1(x)= x
1+x
结成立.
②假设 n=k 时结成立 gk(x)= x
1+kx
gk+1(x)=g(gk(x))= gk(x)
1+gk(x)
=
x
1+kx
1+ x
1+kx
= x
1+(k+1)x
n=k+1 时结成立.
①②知结 n∈N+成立.
(2)已知 f(x)≥ag(x)恒成立 ln(1+x)≥ ax
1+x
恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)- ax
1+x
(x≥0)
φ′(x)= 1
1+x
- a
(1+x)2
= x+1-a
(1+x)2
高考数学 2018 届◆难点突破系列
37
a≤1 时φ′(x)≥0(仅 x=0a=1 时等号成立)
∴ ( )x [0+∞)单调递增φ(0)=0
∴ ( )x ≥0 [0+∞)恒成立
∴a≤1 时ln(1+x)≥ ax
1+x
恒成立(仅 x=0 时等号成立).
1a 时 x∈(0a-1]φ′(x)<0∴ ( )x (0a-1]单调递减
∴ ( 1)a < (0) =0 1a 时存 x>0φ(x)<0知 ln(1+x)≥ ax
1+x
恒成立.
综知a 取值范围(-∞1].
(3)题设知 g(1)+g(2)+…+g(n)=1
2
+2
3
+…+ n
n+1
较结果 g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).
证明:
(方法)述等式等价1
2
+1
3
+…+ 1
n+1
1+x
x>0令 x=1
n
n∈N+ 1
n+1
面数学纳法证明.
① n=1 时1
2
2
+1
3
+…+ 1
k+1
2
+1
3
+…+ 1
k+1
+ 1
k+2
=ln(k+2)
n=k+1 时结成立.
①②知结 n∈N+成立.
(方法二)述等式等价1
2
+1
3
+…+ 1
n+1
1+x
x>0 令 x=1
n
n∈N+ lnn+1
n
> 1
n+1
ln 2-ln 1>1
2
ln 3-ln 2>1
3
……ln(n+1)-ln n> 1
n+1
述式相加 ln(n+1)>1
2
+1
3
+…+ 1
n+1
结证.
(方法三)图错误 x
x+1
dx 曲线 y= x
x+1
x=n x 轴围成曲边梯形面积
1
2
+2
3
+…+ n
n+1
图中示矩形面积高考数学 2018 届◆难点突破系列
38
∴1
2
+2
3
+…+ n
n+1
>错误 x
x+1
dx=错误
1- 1
x+1 dx=n-ln(n+1)结证.
34.解:(1) k e ( ) xf x e ex ( ) xf x e e
( ) 0f x 1x f(x)单调递增区间 1
( ) 0f x 1x f(x)单调递减区间 1
(2) ( ) ( )f x f x 知 f x 偶函数
0f x 意 x R 成立等价 ( ) 0f x 意 0x 成——
( ) 0xf x e k lnx k
1 时
2 时 单调递增 符合题意
3 时 x 变化时 变化情况表:
0 ( ) (ln ) lnf x f k k k k
题意 ∴
综合①②实数 k 取值范围 0 k e
(3)∵
∴
∴高考数学 2018 届◆难点突破系列
39
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