1
20192020学年第学期高期末考试
数学试题卷
考试说明：1考查范围：必修 1全部必修 4第章第三章
2试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)试卷分值150 分考试时间120 分钟
3答案均答答题卷否效考试结束交答题卷
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
选择题：题 12 题题 5 分 60 分题选项符合题意答案填
涂答题卡
1．设集合 {124}A 2{ | 4 0}B xx x m − + AB {1} B （ ）
A．{1 3}− B．{1 3} C．{1 0} D．{1 5}
2．函数
1)(log
1)( 2
2 −

x
xf 定义域( )
A．（0 1
2
） B．（2 +
∞
） C．（

0 1
2
� ∪ �
2 +
∞
）D．（0 1
2
）
∪
（2 +
∞
）
3．已 知角 θ 顶点原点重合始边 x 轴正半轴重合终边直线
𝑦𝑦
3
𝑥𝑥
cos 2θ
（）
A． 4
5
− B． 3
5
− C． 3
5
D． 4
5
4．九章算术国古代容极丰富数学名著卷方田[三三] 宛田
周六步径四步问田？译成现代汉语意思：块扇形田弧长 6 步
圆直径 4 步问块田面积( )方步？
A 12 B 9 C 6 D 3
5．
𝜃𝜃 ∈
[0
𝜋𝜋4]
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝜃𝜃
3
√
7
8

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
) (1
4)
𝑥𝑥
−
4
𝑥𝑥

𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)（ ）
A．奇函数 R 增函数 B．偶函数 R 增函数
C．奇函数 R 减函数 D．偶函数 R 减函数
7．函数
𝑦𝑦
4
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
(3
𝑥𝑥 −
𝜋𝜋3)图需函数
𝑦𝑦
4
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
3
𝑥𝑥
图（ ）
5
3
4
7
5
4
4
32

A．左移
𝜋𝜋9
单位 B．右移
𝜋𝜋9
单位
C．左移
3
π 单位 D．右移
3
π 单位
8．函数 2()
−−
xxeefx x
图致（ ）

9．设函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝑥𝑥
+
𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
+
𝑐𝑐
()fx正周期（ ）
A． b 关 c 关 B． b 关 c 关
C． b 关 c 关 D． b 关 c 关
10．已知函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
�−𝑥𝑥
2 + 3
𝑥𝑥

𝑥𝑥 ≤
0
𝑙𝑙𝑙𝑙
(
𝑥𝑥
+ 1)
𝑥𝑥
> 0

| |≥ 取值范围（ ）
A． B． C．[－31] D．[－30]
11．已知函数 ( )( )fx x∈R 满足
𝑓𝑓
(
−𝑥𝑥
) 4
− 𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)函 数
𝑦𝑦
2
𝑥𝑥
+1
𝑥𝑥
( )y fx 图交点
(
𝑥𝑥
1
𝑦𝑦
1) (
𝑥𝑥
2
𝑦𝑦
2)… (
𝑥𝑥𝑚𝑚

𝑦𝑦𝑚𝑚
) ( )
1
m
ii
i
xy

+∑ （ ）
A．0 B．m C．2m D．4m
12．关函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
|
𝑥𝑥
| + |
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
|述四结：
①
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)偶函数 ②
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)值 2
③
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)[
−𝜋𝜋

𝜋𝜋
] 4 零点 ④
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)区间(
𝜋𝜋2
𝜋𝜋
)单调递减
中正确结编号（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
二填空题：题 4 题题 5 分 20 分请答案填写答题卡相应位置
13．已知函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑙𝑙𝑙𝑙�√
1 + 4
𝑥𝑥
2
−
2
𝑥𝑥�
+ 2
𝑓𝑓
(
𝑙𝑙𝑙𝑙
5) +
𝑓𝑓 �𝑙𝑙𝑙𝑙
1
5
�
__________
()fx ax a
( 0]−∞ ( 1]−∞3

14．已知
𝑓𝑓
(
𝛼𝛼
)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
(
𝛼𝛼−
5
𝜋𝜋
)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
(8
𝜋𝜋−𝛼𝛼
)
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
(
−𝛼𝛼−𝜋𝜋
)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�𝛼𝛼−
𝜋𝜋
2
�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
(3
𝜋𝜋
2 +
𝛼𝛼
) 中
𝛼𝛼
第三象限角
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝛼𝛼 −
3
𝜋𝜋2
�
1
5
𝑓𝑓
(
𝛼𝛼
) __________________．
15．0 <
𝛼𝛼
<
𝜋𝜋4

−
𝜋𝜋4 <
𝛽𝛽
< 0cos
�
𝜋𝜋4 +
𝛼𝛼�
1
3 cos
�
𝜋𝜋4
−
𝛽𝛽3
�

√
3
3 cos
�α
+
𝛽𝛽3
�
_______

16．设函数 ()fx 满足 ( ) ()f x fx− ( ) (2 )fx f x − 时
3()fx x ．函数 ( ) | cos( ) |gx x xπ 函数 () () ()hx gx f x − 13[ ]22
− 零
点数_______
三解答题：题 6 题 70 分解答应写出文字说明演算步骤证明程解答写
答题卡指定区域
17．（题满分 10 分）
已知 ．
(1)求
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
(
𝜋𝜋6 +
𝛼𝛼
)值
(2)求
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
(5
𝜋𝜋3
−
2
𝛼𝛼
)值．


18．（题满分 12 分）
已知函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝑥𝑥
+ 2
√
3
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
(
𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅
)．
（Ⅰ）求
𝑓𝑓
(
𝜋𝜋3)值
（Ⅱ）求 ()fx正周期单调递增区间．



19（题满分 12 分）
函数
𝑦𝑦

𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)周期2偶函数
𝑥𝑥 ∈
［12］时
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
−𝑥𝑥
+ 3
𝑦𝑦

𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)图象
两点 AB坐标相等横坐标区间［13］
(1) 求
𝑥𝑥 ∈
［23］时
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)解析式
(2) 定点 C 坐标(03)求
△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
面积值


( )xR∈ [ ]01x∈
)2( ππα ∈
5
5sin α4

20．（题满分 12 分）
图半圆长方形组成木块长方形边 CD 半圆直径O 半圆圆心
𝐴𝐴𝐴𝐴
2
𝐴𝐴𝐴𝐴
1现木块锯出等腰三角形
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸
底边
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸
点
𝐸𝐸
半圆．
(1)设∠
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸

𝜋𝜋6求三角形木块
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸
面积
(2)设∠
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸

𝜃𝜃
试
𝜃𝜃
表示三角形木块
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸
面积
𝑆𝑆

求
𝑆𝑆
值




21．（题满分 12 分）
函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)定义域存实数 x满足
𝑓𝑓
(
−𝑥𝑥
) 2
− 𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)称 局部中心函数
(1) 已知二次函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑎𝑎𝑥𝑥
2 + 2
𝑥𝑥 −
4
𝑎𝑎
+ 1(
𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅
)试判断
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)否局部中心函数
说明理
(2)
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
) 4
𝑥𝑥
− 𝑚𝑚 ⋅
2
𝑥𝑥
+1 +
𝑚𝑚
2
−
3定义域 R 局部中心函数求实数 m 取值
范围


22．（题满分 12 分）
已知 aR∈ 函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
2(1
𝑥𝑥
+
𝑎𝑎
)
（1）
𝑎𝑎
9时解等式
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
) > 0
（2）关 x 方程
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
− 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
2[(
𝑎𝑎 −
3)
𝑥𝑥
+ 2
𝑎𝑎 −
4] 0解集中恰元素求
𝑎𝑎

取值范围
（3）设
𝑎𝑎
> 0意t
∈
[1
2 1]函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)区间[
𝑡𝑡

𝑡𝑡
+ 1]值值差超
1求
𝑎𝑎
取值范围


1
20192020学年第学期高期末考试
数学参考答案（附解析评分细）
第Ⅰ卷（选择题题 5 分 60 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D A C B C B B A D C A
1．B解析
∵
1
∈ 𝐵𝐵

∴
12
−
4
∗
1 +
𝑚𝑚
0
𝑚𝑚
3
∴ 𝐵𝐵
{13}．选 B．
2．D解析
∵
(
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
2
𝑥𝑥
)2
−
1 > 0
∴ 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
2
𝑥𝑥
> 1
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
2
𝑥𝑥
<
−
1解
𝑥𝑥
> 2 0 <
𝑥𝑥
< 1
2
．
3．A解析角
𝜃𝜃
终边直线
𝑦𝑦
3
𝑥𝑥

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝜃𝜃

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝜃𝜃 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝜃𝜃
1
−𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
2
𝜃𝜃1+
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
2
𝜃𝜃

−
4
5
．
4．C解析 弧长 6 步圆直径 4 步 半径 2 步面积S 1
2
∗
2
∗
6 6(
方步)．
5．B解析
𝜃𝜃 ∈
[0
𝜋𝜋4]2
𝜃𝜃 ∈
[0
𝜋𝜋2]
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝜃𝜃

√
1
− 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
22
𝜃𝜃
1
8

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

�
1
−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝜃𝜃2
√
7
4
答案应选 B．
6．C解析∵
𝑦𝑦
(1
4)
𝑥𝑥
减函数
𝑦𝑦

−
4
𝑥𝑥
减函数 R 减函数
奇函数选 C．
7．B解析
𝑦𝑦
4
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
3(
𝑥𝑥 −
𝜋𝜋9)需函数
𝑦𝑦
4
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
3
𝑥𝑥
图右移
𝜋𝜋9
单位．
8．B解析
𝑥𝑥
< 0时
𝑒𝑒
𝑥𝑥
− 𝑒𝑒
−𝑥𝑥
< 0时
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑒𝑒
𝑥𝑥
−𝑒𝑒
−𝑥𝑥
𝑥𝑥
2 < 0排 A．D

𝑓𝑓
(1)
𝑒𝑒 −
1
𝑒𝑒
> 2排 C选 B．
9．A解析f(x)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝑥𝑥
+
𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
+
𝑐𝑐
1+
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝑥𝑥2 +
𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
+
𝑐𝑐
．

𝑏𝑏
0时
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)正周期
𝜋𝜋

b
≠
0时
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)正周期2
𝜋𝜋

𝑐𝑐
变化会引起
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)图象移会影响正周期．选 A．
10．D解析∵
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
�−𝑥𝑥
2 + 3
𝑥𝑥

𝑥𝑥 ≤
0
𝑙𝑙𝑙𝑙
(
𝑥𝑥
+ 1)
𝑥𝑥
> 0

∴|f(x)|
≥ 𝑎𝑎𝑎𝑎

� 𝑥𝑥 ≤
0
𝑥𝑥
2
−
3
𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎𝑎𝑎


� 𝑥𝑥
> 0
𝑙𝑙𝑙𝑙⁡
(
𝑥𝑥
+ 1)
≥ 𝑎𝑎𝑎𝑎


� 𝑥𝑥 ≤
0
𝑥𝑥
2
−
3
𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎𝑎𝑎


𝑎𝑎 ≥ 𝑥𝑥 −
3
𝑎𝑎 ≥ −
3排 AB

𝑎𝑎
1时取
𝑥𝑥
9ln(
𝑥𝑥
+ 1) <
𝑥𝑥
恒成立
𝑎𝑎
1适合排 C选 D．
11．C解析
𝑓𝑓
(
−𝑥𝑥
) 4
− 𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑓𝑓
(
−𝑥𝑥
) +
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
) 4知
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)关(02)称 2


𝑦𝑦
2
𝑥𝑥
+1
𝑥𝑥
2 + 1
𝑥𝑥
关(02) 称 ∴ 组称点
𝑥𝑥𝑖𝑖
+
𝑥𝑥𝑖𝑖
′
0
𝑦𝑦𝑖𝑖
+
𝑦𝑦𝑖𝑖
′
4
∑
(
𝑥𝑥𝑖𝑖
+
𝑦𝑦𝑖𝑖
)
∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖
𝑚𝑚
𝑖𝑖
1 +
∑ 𝑦𝑦𝑖𝑖
0 + 4
∙
𝑚𝑚2 2
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑖𝑖
1
𝑚𝑚
𝑖𝑖
1 ∴选 C．
12．A解析
𝑓𝑓
(
−𝑥𝑥
) sin|
−𝑥𝑥
| + |sin(
−𝑥𝑥
)| sin|
𝑥𝑥
| + |
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
|
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)

𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)偶函数①正确结合函数图知
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)值 2②正确
画出函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)[
−𝜋𝜋

𝜋𝜋
]图容易知道
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
) 3 零点③错误
（
π2

π
）
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)单调递减④正确答案选 A
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
二填空题
13．4解析
∵ 𝑙𝑙𝑙𝑙
5 +
𝑙𝑙𝑙𝑙
1
5 0
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
) +
𝑓𝑓
(
−𝑥𝑥
)
𝑙𝑙𝑙𝑙 ��
1 + 4
𝑥𝑥
2
−
2
𝑥𝑥�
+ 2 +
𝑙𝑙𝑙𝑙 ��
1 + 4(
−𝑥𝑥
)2 + 2
𝑥𝑥�
+ 2

𝑙𝑙𝑙𝑙 ��
1 + 4
𝑥𝑥
2
−
2
𝑥𝑥�
+
𝑙𝑙𝑙𝑙 ��
1 + 4
𝑥𝑥
2 + 2
𝑥𝑥�
+ 4

𝑙𝑙𝑙𝑙
[
��
1 + 4
𝑥𝑥
2
−
2
𝑥𝑥���
1 + 4
𝑥𝑥
2 + 2
𝑥𝑥�
] + 4

𝑙𝑙𝑙𝑙
(1 + 4
𝑥𝑥
2
−
4
𝑥𝑥
2) + 4
𝑙𝑙𝑙𝑙
1 + 4 4
14．
−
√
6
12
解析
𝑓𝑓
(
𝛼𝛼
)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
(
𝛼𝛼−
5
𝜋𝜋
)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
(8
𝜋𝜋−𝛼𝛼
)
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
(
−𝛼𝛼−𝜋𝜋
)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�𝛼𝛼−
𝜋𝜋
2
�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
(3
𝜋𝜋
2 +
𝛼𝛼
) (
−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
(
−𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
)
(
−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

−𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡


𝛼𝛼
第三象限角
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝛼𝛼 −
3
𝜋𝜋2
�

−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
1
5

sin
α

−
1
5
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

−√
1
− 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝛼𝛼

−
2
√
6
5
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

√
6
12

𝑓𝑓
(
𝛼𝛼
)
−
√
6
12
．
15．5
√
3
9
解析cos
�α
+
β3
�
cos [
�
π4 +
α� − �
π4
−
β3
�
] cos
�
π4 +
α�
cos
�
π4
−
β3
�
+
sin
�
π4 +
α�
sin
�
π4
−
β3
�

𝜋𝜋4 +
𝛼𝛼𝛼𝛼
(
𝜋𝜋4
𝜋𝜋2)
𝜋𝜋4
−
𝛽𝛽3
𝜖𝜖
(
𝜋𝜋4
𝜋𝜋3)
sin
�
π4 +
α�
2
√
2
3 sin
�
π4
−
β3
�

√
6
3
cos
�α
+
β3
�
1
3
∗
√
3
3 + 2
√
2
3
∗
√
6
3 5
√
3
9
．
16．6解析题意
𝑓𝑓
(
−𝑥𝑥
)
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)知函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)偶函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑓𝑓
(2
− 𝑥𝑥
)
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥 −
2)函数
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)周期 2 周期函数
𝑓𝑓
(0) 0
𝑓𝑓
(1) 1

𝑔𝑔
(
𝑥𝑥
) |
𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥
|偶函数
𝑔𝑔
(0)
𝑔𝑔 �
1
2
�

𝑔𝑔 �−
1
2
�

𝑔𝑔 �
3
2
�
0坐标系作出
两函数[
−
1
2 3
2]图发现[
−
1
2 3
2]图 6 公点函数
ℎ
(
𝑥𝑥
)
𝑔𝑔
(
𝑥𝑥
)
− 𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
[
−
1
2 3
2]零点数 6． 3


三解答题
17．解析（1）∵
α ∈ �
𝜋𝜋2
𝜋𝜋�

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

√
5
5
∴cos
α

−√
1
− 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝛼𝛼

−
2
√
5
5
……………2 分
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �
𝜋𝜋6 +
𝛼𝛼�

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝜋𝜋6
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
+
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝜋𝜋6
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

√
15
−
2
√
5
10
…………………………………5 分
（2）∵sin2
α
2sin
α
cos
α

−
4
5
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝛼𝛼

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝛼𝛼 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝛼𝛼
3
5
………………………7 分
∴ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �
5
𝜋𝜋3
−
2
𝛼𝛼�

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
5
𝜋𝜋3
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝛼𝛼
+
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
5
𝜋𝜋3
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝛼𝛼
3+4
√
3
10
．…………………………10 分
18．解析（Ⅰ）sin
𝜋𝜋3
√
3
2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝜋𝜋3 1
2
𝑓𝑓 �
𝜋𝜋3
�
2．………………………………………2 分
（Ⅱ）化简
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
2
𝑥𝑥
+
√
3
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
𝑥𝑥
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
(2
𝑥𝑥 −
𝜋𝜋6)…………………………………5 分

𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)正周期
𝜋𝜋
…………………………………………………………………8 分
正弦函数性质
2
𝑘𝑘𝑘𝑘 −
𝜋𝜋2
≤
2
𝑥𝑥 −
𝜋𝜋6
≤
2
𝑘𝑘𝑘𝑘
+
𝜋𝜋2
𝑘𝑘 ∈ 𝑍𝑍
解
𝑘𝑘𝑘𝑘 −
𝜋𝜋6
≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑘𝑘𝑘𝑘
+
𝜋𝜋3
𝑘𝑘 ∈ 𝑍𝑍


𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)单调递增区间
�𝑘𝑘𝑘𝑘 −
𝜋𝜋6

𝑘𝑘𝑘𝑘
+
𝜋𝜋3
�

𝑘𝑘 ∈ 𝑍𝑍
．……………………………………12 分
19．解析(1)∵
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
) 2 周期周期函数
𝑥𝑥 ∈
[12]时
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
−𝑥𝑥
+ 3
∴
𝑥𝑥 ∈
[
−
10]时
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
+ 2)
−
(
𝑥𝑥
+ 2) + 3 1
− 𝑥𝑥
……………………………2 分
∵
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)偶函数∴
𝑥𝑥 ∈
[01]时
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑓𝑓
(
−𝑥𝑥
) 1 +
𝑥𝑥
…………………………………4 分

𝑥𝑥 ∈
[23]时
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥 −
2) 1 +
𝑥𝑥 −
2
𝑥𝑥 −
1…………………………………6 分
(2)设
𝐴𝐴

𝐵𝐵
坐标
𝑡𝑡
横坐标分3－
𝑡𝑡

𝑡𝑡
+ 11
≤ 𝑡𝑡 ≤
2|
𝐴𝐴𝐴𝐴
| (
𝑡𝑡
+ 1)－(3－
𝑡𝑡
)
2
𝑡𝑡
－2 ………………………………………………………………………………………8 分
∴
△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
面积
𝑆𝑆
(2
𝑡𝑡
－2) · (3－
𝑡𝑡
) －t2+4
𝑡𝑡
－3(1
≤ 𝑡𝑡 ≤
2) －(t2)2+1
t2 时S 值1………………………………………………………………………………12 分
20．解析(1)：题意知
𝑂𝑂𝑂𝑂
1
2
𝐴𝐴𝐴𝐴
1
𝐴𝐴𝐴𝐴
……………………………………1 分

𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂
∠
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸
+
𝐴𝐴𝐴𝐴
3
2…………………………………………………………2 分
𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑂𝑂𝑂𝑂
+
𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂
∠
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸
1 +
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
30° 2+
√
3
2
．
𝑆𝑆∆𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
1
2
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∗ 𝐴𝐴𝐴𝐴
1
2
∗
3
2
∗
2+
√
3
2 6+3
√
3
8

2
14

三角形铁皮
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸
面积6+3
√
3
8
．……………………………………………………………5 分
(2)设∠
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸

𝜃𝜃
0
≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝜋𝜋

𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+ 1
𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
+ 1………………………6 分

𝑆𝑆∆𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
1
2
𝐸𝐸𝐸𝐸 ∗ 𝐴𝐴𝐴𝐴
1
2 (
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+ 1)(
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
+ 1) 1
2 (
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
+ 1)…8 分
令t sin
θ
+ cos
θ

√
2 sin
�θ
+
𝜋𝜋4
�
0
≤ 𝜃𝜃 ≤ 𝜋𝜋

𝜋𝜋4
≤ 𝜃𝜃
+
𝜋𝜋4
≤
5
𝜋𝜋4
−
1
≤ 𝑡𝑡 ≤ √
2．

𝑡𝑡
2 (
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
+
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
)2 1 + 2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠

𝑡𝑡
2
−
1
2
……………………10 分

𝑆𝑆∆𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
1
2
𝐸𝐸𝐹𝐹 ∗ 𝐴𝐴𝐴𝐴
1
2
�
𝑡𝑡
2
−
1
2 +
𝑡𝑡
+ 1
�
1
4 (
𝑡𝑡
2 + 2t + 1) 1
4 (
𝑡𝑡
+ 1)2
函数
𝑦𝑦
1
4 (
𝑡𝑡
+ 1)2区间[
−
1
√
2]单调递增
𝑡𝑡

√
2
𝜃𝜃

𝜋𝜋4时
𝑦𝑦
取值
𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
1
4 (
√
2 + 1)2 3+2
√
2
4

剪铁皮三角形 GEF 面积值3+2
√
2
4
．……………………………………12 分
21． 解析（ 1）
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
) +
𝑓𝑓
(
−𝑥𝑥
)
𝑎𝑎𝑥𝑥
2 + 2
𝑥𝑥 −
4
𝑎𝑎
+ 1 +
𝑎𝑎𝑥𝑥
2
−
2
𝑥𝑥 −
4
𝑎𝑎
+ 1 2
𝑎𝑎𝑥𝑥
2
−
8
𝑎𝑎
+ 2
2
𝑎𝑎
(
𝑥𝑥 −
2)(
𝑥𝑥
+ 2) + 2………………………………………………………………………3 分
∴x ±2时
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
) +
𝑓𝑓
(
−𝑥𝑥
) 2
𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)局部中心函数…………………………4 分
（2）
∵ 𝑓𝑓
(
𝑥𝑥
)
𝑅𝑅
局部中心函数∴4
𝑥𝑥
− 𝑚𝑚
2
𝑥𝑥
+1 +
𝑚𝑚
2
−
3 + 4
−𝑥𝑥
− 𝑚𝑚
2
−𝑥𝑥
+1 +
𝑚𝑚
2
−
3 2
(2
𝑥𝑥
+ 2
−𝑥𝑥
)2
−
2
𝑚𝑚
(2
𝑥𝑥
+ 2
−𝑥𝑥
) + 2
𝑚𝑚
2
−
10 0解………………………………………6 分
令
𝑡𝑡
2
𝑥𝑥
+ 2
−𝑥𝑥
≥
2
𝑡𝑡
2
−
2
𝑚𝑚𝑚𝑚
+ 2
𝑚𝑚
2
−
10 0
𝑡𝑡 ≥
2时解………………………8 分
∴1°
𝑚𝑚 ≥
2
∆≥
0
−√
10
≤ 𝑚𝑚 ≤ √
10
∴
2
≤ 𝑚𝑚 ≤ √
10…………………………………9 分
2°令
𝑔𝑔
(
𝑡𝑡
)
𝑡𝑡
2
−
2
𝑚𝑚𝑚𝑚
+ 2
𝑚𝑚
2
−
10
� 𝑚𝑚
< 2
𝑔𝑔
(2)
≤
0
∴ � 𝑚𝑚
< 2
−
1
≤ 𝑚𝑚 ≤
3
∴ −
1
≤ 𝑚𝑚
< 2………11 分
1°2°知
−
1
≤ 𝑚𝑚 ≤ √
10……………………………………………………………12 分
22．解析（1）
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
2(1
𝑥𝑥
+ 9) > 01
𝑥𝑥
+ 9 > 1解
𝑥𝑥 ∈
(
−∞

−
1
8)
∪
(0+
∞
)．……2 分
（2）1
𝑥𝑥
+ 9 (
𝑎𝑎 −
3)
𝑥𝑥
+ 2
𝑎𝑎 −
4 > 0 (
𝑎𝑎 −
3)
𝑥𝑥
2 + (
𝑎𝑎 −
4)
𝑥𝑥 −
1 0………………3 分

𝑎𝑎
3时 1x − 检验满足题意．……………………………………………4 分

𝑎𝑎
2时 12 1xx − 检验满足题意．………………………………………5 分 5


𝑎𝑎 ≠
3
𝑎𝑎 ≠
2时
𝑥𝑥
1 1
𝑎𝑎−
3
2 1x − 12xx≠ ．
1x 原方程解仅
1
1 0ax
+>
𝑎𝑎
> 1
2x 原方程解仅
2
1 0ax
+>
𝑎𝑎
> 3
2
．
满足题意a
∈
(1 3
2]．……………………………………………………………6 分
综 a 取值范围(1 3
2]
∪
{23}．…………………………………………………7 分
（3） 120 xx<<时
12
11aaxx
+> + 22
12
11log logaaxx
 +> + 
 

( )fx( )0+∞ 单调递减．…………………………………………………8 分
函数 ( )fx区间[ ]1tt+ 值值分 ( )ft ( )1ft+ ．
( ) ( ) 22
111 log log 11ft ft a att
  − + + − + ≤  +  
( )2 1 10at a t+ + −≥
意 1 12t ∈
成立．…………………………………………………………………10 分
0a > 函数 ( )2 11y at a t ++ −区间 1 12


单调递增
1
2t 时 y 值 31
42a − 31042a −≥ 2
3a ≥ ．
a 取值范围 2 3
+∞
．…………………………………………………………12 分

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