20192020 学年度第学期高招班期末考试
数学试题
（时间：120 分钟 分值：150 分 命 ．选择题（60 分）
1已知集合 A｛21012｝B｛x|（X1）（x+2）＜0｝ A∩B（ ）
A｛10｝ B｛01｝ C｛101｝ D｛012｝
2已知量 (1 ) (3 2)a m a− ()a b b⊥+ m（ ）
A－8 B－6 C6 D8
3圆锥高扩原 2 倍底面半径缩短原1
2圆锥体积（ ）
A．扩原 2 倍 B．缩原半 C．变 D．缩原1
6
4直线 0cos ++ byx 倾斜角取值范围 ( )
A． )0[ B． ]4
32()24[ C． ]4
34[ D． )4
3[]40[
5函数 零点区间
A B C D
6 第二象限角 ( ) 5Px 终边点 2cos 4 x x 值 ( )
A 3 B 3 C 3− D 2−
7列命题中错误 ( )
A 果 ⊥ 定存直线行面
B 果 直线垂直面
C 果面 垂直面 定存直线垂直面
D 果 ⊥ ⊥ l ⊥l
8函数 段图象致（ ）
A B
C D
9图已知矩形 中 该矩形面点 满足 记
（ ）
A 存点 B 存点
C 意点 D 意点
10存函数 满足意 ( )
A B C D
11棱长 1 正方体 1111ABCDA B C D− 中 EF分棱 11AD 11CD 中点N 线段 1BC 中
点点 PM分线段 1 D BEF 动点 PM PN+ 值（ ）
A． 1 B． 32
4 C． 2 6 2
4
+ D． 31
2
+
12已知函数 方程 5 解
取值范围 ( )
A B C D 2
二．填空题（20 分）
13 函数 称中心坐标__________．
14 a 意实数时直线(a1)xy+a+10 恒定点 C C 圆心 5 半径圆方程___
15 曲线 219yx + − 直线 3 4 0kx y k− − + 两交点时实数 k
取值范围
16已知函数 f(x)sin(2x+φ)(0<φ< 2
)意实数 x f(x)≤|f( 6
)| f(x)单调增区间
三．解答题（70 分）
17（题满分 10 分）已知函数 （ ）值 1
（1）求 值取值时 值
（2）求函数 正周期单调递增区间
18（12 分） A BC 中设 BCCACAAB．
（Ⅰ）求证： A BC 等腰三角形
（Ⅱ）||2BABC+ 2[]33B 求 BA BC 取值范围．
19（题满分 12 分）已知函数 ．
（1） 图象点横坐标变原 倍（坐标变） 图象．
求 值域
（2） 求 值．
20（题满分 12 分）图直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 底面菱形AA14AB2∠BAD60°EM
N 分 BCBB1A1D 中点
（1）证明：MN∥面 C1DE
（2）求点 C1B 面 C1DE 成角正弦值．
21（题满分 12 分）已知圆 C： 4)3( 22 −+ yx 动直线 l )01( −A 圆 C 相交 PQ
两点 M PQ 中点l 直线 m： 063 ++ yx 相交 N
（Ⅰ）求证： l m 垂直时l 必圆心 C
（Ⅱ） 32PQ 时求直线 l 方程
（Ⅲ）探索 ANAM 否直线 l 倾斜角关关请求出值关请说明理
22已知函数 f(x) +−−− xx 1
1 中 )1( + x
（1） 1求函数 f(x)零点
（2）函数 f(x)恰两零点 x1x2 （x1
（ⅱ）求 x1+x2 值
N
C
M Q
P
O A x
y
·
·
·
l
m
l 3
20192020 学年度第学期高招班期末考试
数学答案
答案：15ADBDB 610CBBCB 1112BD
14 14(x+1)2＋(y－2)2＝5 156 16［
3
+kπ
6
+kπ］(k∈Z)
解：（1）
时 解
（2） 正周期
解
单调递增区间
18(1) ABCACABC () 0− ABBCCA 0++ CABCAB
()BCABCA +− ()() 0−+− ABBCBCAB 0
22
− BCAB
22
BCAB BCAB A BC 等腰三角形
（Ⅱ）
3
23
B
− 2
12
1cosB 设 aBCAB 2+ BCBA
4
2
+ BCBA 4cos2 222 ++ Baaa
Ba cos1
22
+
B
BBBCBABCBA cos1
cos2cos + Bcos1
22 +−
− 3
22
19解(1) 图象点横坐标变原 （坐标变）
图象
时取值
时 时取值
函数 值域
(2)
20（1）连结 1 B C M E
ME分 1 B B B C 中点 1 M E B C∥ 1
1
2ME B C
N 1AD中点 1
1
2NDA D
题设知 11A BDC∥ 11B CAD∥ MEND∥
四边形MNDE行四边形 MNED∥
MN 面 1C D E MN∥面
（2）C作C1E垂线垂足H
已知 DEBC⊥ 1DECC⊥ DE⊥面 1C CE DE⊥CH
CH⊥面 CH长C面 距离
已知CE1C1C4 1 17CE 4 17
17CH
点C面 距离 4 17
17
点 B 面 距离 ∴sinθ 85
852
21解：（Ⅰ）l m 垂直
3
1−mk 3 lk 3ACk
l m 垂直时l 必圆心C 4
（Ⅱ）①直线 l x 轴垂直时 易知 1−x 符合题意
②直线 x 轴垂直时 设直线 方程 )1( + xky 0+− kykx
32PQ 134 −CM 1
1
|3|
2
+
+−
k
kCM
3
4k
直线 l ： 0434 +− yx 求直线 l 方程 1−x
（Ⅲ） CM⊥MN ()AMANACCMANACANCMANACAN++
① l x 轴垂直时易 5( 1 )3N −− 5(0 )3AN − (13 )AC
5AMANACAN−
② 斜率存时设直线 方程 )1( + xky
++
+
063
)1(
yx
xky N（ 3613
k
k
−−
+ k
k
31
5
+
− ） 55()1313
kAN kk
−− ++
AMANACAN 5 15 51 3 1 3
k
kk
−−+ −++
综 ANAM 直线 l 斜率关 5− ANAM
22 (1) a1 f(x) 0111
1 −+−− xx
∴ 11
2 −−
− xx
x ∵ )1( +x
∴① ]21(x 2x(x1)2
∴
2
51+x
2
51−x （舍）
② 2)1(2)2( −−+ xxx
∴x23x+30
0
综述：
2
51 +x
（2）ⅰ研究函数 g(x) ax −−1
1 yxa 图（1+∞）公点
a0 时合题意
a>0 时x
1
1)(111
1)(111 −−
++−−
+ xaxgaxaxxga
直 线 yxa g(x)
++−− 111
1
axxa 相 切 满 足 题 意 axxa −−− 1
1
012)12(2 +++− axax 0)12(4)12( 2 +−+ aa
3
2a
直线 yxa g(x)
1
1
−− xa
++ 11 ax 点
+ 011 a
满足题意 011 −+ aa
2
15 +a a<时 () axxgx −−++ 1
1)(1 时直线 yxa g(x)
交点题意符
综知：
3
2a
2
15 +a
ⅱ
3
2a 时 2x2
15
21 +x
2
55
21
++ xx
2
15 +a 时
2
352
15
21
++ xx 2521 ++ xx
20192020 学年度第学期高招班期末考试
数学答案
答案：15ADBDB 610CBBCB 1112BD
13 14(x+1)2＋(y－2)2＝5 156 16［
3
π +kπ
6
π +kπ］(k∈Z)
解：（1）
时 解
（2） 正周期
解
单调递增区间
18(1) ABCACABC ⋅⋅ ( ) 0−⋅ ABBCCA 0++ CABCAB
( )BCABCA +− ( ) ( ) 0−⋅+− ABBCBCAB 0
22
− BCAB
22
BCAB BCAB ABC∆ 等腰三角形
（Ⅱ）
∈
3
23
ππB
−∈
2
12
1cos B 设 aBCAB 2+ BCBA
4
2
+ BCBA 4cos2 222 ++ Baaa
Ba cos1
22
+
B
BBBCBABCBA cos1
cos2cos +⋅⋅
Bcos1
22 +−
−∈
3
22
19解(1) 图象点横坐标变原 （坐标变）
图象
时取值
时 时取值
函数 值域
(2)
20（1）连结 1 B C ME
ME分 1BB BC 中点 1 ME B C∥ 1
1
2ME B C
N 1AD中点 1
1
2ND A D
题设知 11A B DC∥ 11BC AD∥ ME ND∥
四边形MNDE行四边形 MN ED∥
MN ⊄ 面 1C DE MN∥面 1C DE
（2）C作C1E垂线垂足H
已知 DE BC⊥ 1DE C C⊥ DE⊥面 1C CE DE⊥CH
CH⊥面 1C DE CH长C面 1C DE 距离
已知CE1C1C4 1 17CE 4 17
17CH
点C面 1C DE 距离 4 17
17
点 B 面 1C DE 距离
4 17
17 ∴sinθ
85
852
21解：（Ⅰ）l m 垂直
3
1−mk 3∴ lk 3ACk
l m 垂直时l 必圆心C （Ⅱ）①直线l x 轴垂直时 易知 1−x 符合题意
②直线l x 轴垂直时 设直线l 方程 )1( + xky 0+− kykx
32PQ 134 −CM 1
1
|3|
2
+
+−
k
kCM
3
4k
∴直线l ： 0434 +− yx 求直线l 方程 1−x 0434 +− yx
（Ⅲ） CM⊥MN ()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN∴⋅ + ⋅⋅+⋅⋅
① l x 轴垂直时易 5( 1 )3N −− 5(0 )3AN −
(1 3)AC
5AM AN AC AN∴⋅⋅−
② l 斜率存时设直线l 方程 )1( + xky
++
+
063
)1(
yx
xky N （ 3613
k
k
−−
+ k
k
31
5
+
− ） 55()13 13
kAN kk
−− ++
AM AN AC AN∴⋅⋅
5 15 513 13
k
kk
−−+−++
综 ANAM ⋅ 直线 l 斜率关 5−⋅ ANAM
22 (1) a1 f(x) 0111
1 −+−− xx
∴ 11
2 −−
− xx
x ∵ )1( +∞∈x
∴① ]21(∈x 2x(x1)2
∴
2
51+x
2
51−x （舍）
② 2)1(2)2( −−+∞∈ xxx
∴x23x+30
φχ ∈∴<∆ 0
综述：
2
51+x
（2）ⅰ研究函数 g(x) ax
−−1
1 yxa 图（1+∞）公点
a0 时合题意
a>0 时x
1
1)(111
1)(111 −−
+∞+∈−−
+∈
xaxgaxaxxga
直线 yxa g(x)
+∞+∈−− 111
1
axxa 相切满足题意 axxa −−−
1
1
012)12(2 +++− axax 0)12(4)12( 2 +−+ aa
3
2a
直线 yxa g(x)
1
1
−−
xa
+∞+∈ 11 ax 点
+ 011 a
满足题意 011 −+ aa
2
15 +a a<时 ( ) axxgx −−++∞∈
1
1)(1 时直线 yxa g(x) ax
−−1
1
交点题意符
综知：
3
2a
2
15 +a
ⅱ
3
2a 时 2x2
15
21 +x
2
55
21
++ xx
2
15 +a 时
2
352
15
21
++ xx 2521 ++ xx
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