1
绝密★启前
2019—2020 学年度期高中调研考试高二试题
理科数学
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名考生号等填写答题卡试卷指定位置
2．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡
皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3．考试结束试卷答题卡交回
选择题：题 12 题题 5 分 60 分题出四选项中
项符合题目求
1设命题 0
0 2 2019xP x R   P （ ）
A 2 2019xx R   B 2 2019xx R   C 2 2019xx R   D 2 2019xx R  
2等数列 na 项均正数已知量  4 5a a a  7 6b a a 4a b 
2 1 2 2 2 10log log log (a a a   )
A 12 B 10 C 5 D 22 log 5
3等式 11 0x
  成立充分必条件（ ）
A 0x  B 1x   C 1x   0x  D 1 0x  
4． ABC△ 中 30B   2 3AB  2AC  满足条件三角形（ ）．
A．1 B． 2 C． 3 D． 0
5命题 1 0p x   命题 2 6 0q x x   p q 假命题 p q 真命题实数 x 取值范围
（ ）2
A 1 3x  B 2 1x   3x  C 2 1x   3x  D 2 1x   3x 
6．列关命题说法正确（ ）
A．命题 12 x 1x 否命题： 12 x 1x
B． 1x 0652  xx 必充分条件
C．命题 a b 理数否定 a b 理数
D．命题 x y sin sinx y 逆否命题真命题．
7知数列 na 等差数列 1 4 7 2a a a     3 5tan a a 值（ ）．
A 3 B 3 C 3
3
D
3
3
8已知 ABC 角 A B C 边分 a b c ABC 面积 2 2 21 ( )4 a b c   1sin 2B 
A  （ ）
A 105 B 75 C 30 D 15
9周髀算中样问题：冬日起次寒寒立春雨水惊蛰春分清明
谷雨立夏满芒种十二节气日影长次成等差数列冬立春春分日影长 31．5
尺前九节气日影长 85．5 尺芒种日影长（ ）
A 1．5 尺 B 2．5 尺 C 3．5 尺 D 4．5 尺
10图正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中底面边长 2直线 1CC 面 1ACD 成角
正弦值 1
3
正四棱柱高（ ）．
A 2 B 3 C 4 D 5
11．设 x y 满足约束条件
3 6 0
2 0
0 0
x y
x y
x y
 
  

≤
≥
≥ ≥
目标函数 ( 0 0)z ax by a b    值值12
2 3
a b
 值（ ）．
A． 25
6 B． 8
3 C． 11
3 D． 4
12．已知锐角 ABC△ 中角 A B C 边分 a b c  2b a a c   
2sin
sin
A
B A
3
取值范围（ ）
A． 20 2
 
   
B． 1 32 2
 
   
C． 1 22 2
 
   
D． 30 2
 
   
二填空题（题 4 题题 5 分 20 分．答案填写题中横线）
13 ABC 中 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C   角 A ____．
14已知等数列 na 前 n 项 nS 满足 1 1a  33 S nS  ________
15三棱锥 S ABC 中 90SAB SAC ACB       2AC 13BC 29SB 
异面直线 SC AB 成角余弦值__________．
16．已知数列 na 满足  
 
 
1
21 1 2
n n
n na a n n

     nS 前 n 项 2017 1007S b   （中
1 0a b  ）
1
2 3
a b
 值_________________．
三解答题（题 6 题 70 分．解答应写出文字说明证明程演算步骤）
17 ． （ 题 满 分 10 分 ） 已 知 命 题 p 关 x 方 程 2 3 0x ax a    实 数 根 命 题
1 1q m a m    ．
(Ⅰ) p 真命题求实数 a 取值范围
(Ⅱ) p q 必非充分条件求实数 m 取值范围
18 （题满分 12 分）已知数列 na 中 1 2a  1 2 2n
n na a   
（1）证明数列 2n
na  等差数列求数列 na 通项公式
（2）求数列 na 前 n 项 nS
19 （题满分 12 分） ABC 中角 A B C 边分 a b c 满足 tan
tan 2
A a
C b a
  ．
(1)求角 C
(2)设 D 边 AB 中点 ABC 面积3 3 求边CD 值．4
20 （题满分 12 分）图示圆 O 直径 AB＝6C 圆周点BC＝3面 PAC 垂直圆 O
面直线 PC 圆 O 面成角 60°PA⊥PC．
（1）证明：AP⊥面 PBC
（2）求二面角 P—AB C 余弦值
21 （题满分 12 分） ABC 中角 A B C 边分 a b c
3sin sin sin sinB C A B
b a c
 

（1）求角 A
（2）等差数列 na 公差零 1sin1 Aa 2a 4a 8a 成等数列
1
1
n
n n
b a a 

求数列 nb 前 n 项 nS
22（题满分 12 分）已知数列 nb 前 n 项 nnSn 2
1
2
3 2  数列 na 满足 )2(3 4  nb
na )(  Nn
数列 nc 满足 nnn bac 
（1）求数列 na 数列 nb 通项公式
（2）求数列 nc 前 n 项 nT 1
2019—2020 学年度期高中调研考试高二理科数学答案
（评分标准）
．选择题
1答案A
解析命题 0
0 2 2019xP x R   P 2 2019xx R   选择 A
2答案C
解析量 a ＝（ 4a 5a ） b ＝（ 7a 6a ） a •b ＝4
∴ 4 7a a + 5 6a a ＝4等数列性质： 1 10a a ＝……＝ 4 7a a ＝ 5 6a a ＝2
2 1 2 2 2 10log log loga a a    log2（ 1 2a a • 10a ）＝  5 5
2 1 10 2log log 2 5a a   ．选：C．
3答案A
解析  1 11 0 0 1 0x x xx x
       0x  1x   需等式 11 0x
  成
立充分必条件需满足     1 0   真子集 A选择 A
点睛题考查解等式命题间关系属基础题
4答案B
解析设 AB c AC b BC a
sin sin
b c
B C
 2 2 3
1 sin
2
C

∴ 3sin 2C  ∴ 120C   60C   ．满足条件三角形 2 ．选 B ．
5答案B
解析首先解出两命题等式 p q 假命题 p q 真命题命题 P 命题 q真假
详解命题 1 0 1p x x    命题 2 6 0 2 3q x x x       p q 假命题 p q
真命题命题 P 命题 q真假 2 1x   3x  选择 B
6答案D
7答案A
解析 1 4 7 2a a a    4 4 3 5 4 3 5
2 4 43 2 2 tan( ) tan 33 3 3a a a a a a a         2
8答案D
解析题意 ABC 面积  2 2 21
4 a b c    2 2 21 1sin2 4ABCS ab C a b c     
根余弦定理
2 2 2
sin cos2
a b cC Cab
    
tan 1C   ∵ 0 180C   135C 
1sin 2B  0 180B   B C 30B  
   180 180 135 30 15A B C           选 D
9答案B
解析设十二节气日影长次成等差数列{ }na nS 前 n 项
 1 9
9 5
9 9 8552
a aS a
   5 95a 
题知 1 4 7 43 315a a a a    4 105a 
公差 5 4 1d a a    12 5 7 25a a d   选 B
10答案C
解析 D 原点 DA DC 1DD 坐标轴建立空间坐标系图示
设 1DD a (2A 0 0) 0(C 2 0) 1(0D 0 )a
( 2AC   2 0) 1 ( 2AD   0 )a 1 (0CC  0 )a
设面 1ACD 法量 (n x y )z
1
· 0
· 0
n AC
n AD
  


 2 2 0
2 0
x y
x az
  
  
令 1x  (1n  1 2)a

cos n 
1
1 2
1
2
2 2
| || | 4 2 42
n CCCC
n CC aa a
  
 
   ．
直线 1CC 面 1ACD 成角正弦值 1
3
 2
2 1
32 4a


解： 4a  ．选：C ．
11答案A3
解析根题意作出行域：
图象知函数 ( 0 0)z ax by a b    点 (46)A 处取值等式：
4 6 12a b  2 3 6a b  ． 2 3 2 3 2 3
6
a b
a b a b
        
13 13 2526 6 6
a b a b
b a b a
     ≥ 仅 a b 时等号成立．选 A ．
12．答案C
解析  2b a a c  2 2b a ac 
余弦定理： 2 2 2 2 cosb a c ac B   2 2 22 cosa c ac B a ac    2 cosa a B c  正
弦定理 sin 2sin cos sinA A B C   πC A B  
 sin 2sin cos sin sin cos cos sinA A B A B A B A B      sin sinA B A 
三角形锐角三角形 π0 2A    
π0 2B A   A B A  πA B A  
2B A πB  （合题意）
三角形锐角三角形 π0 2A  π0 2 2A  π0 π 3 2A  
π π
6 4A   
2sin 1 2sin sin 2 2
A AB A
      
选 C．4
13答案
3

解析正弦定理： 2 2 2a b c bc   2 2 2b c a bc  

2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
    0πA 题正确结果：
3

14答案  1 2
3
n  n
解析题 1q  时
3 2
1
3
(1 ) (1 )(1 ) 31 1
a q q q qS q q
      
解(q+2)(q1)0 q2时
 1 2
3
n
nS
  q1 时 1 1a  33 S 满足题意时 nS n 综  1 2
3
n
nS
  n
15答案 17
17
解析图取 A 原点AB AS 直线分 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系
点     13 40 170 002 3 2 017 17
B S C
 
   

13 42 2 317 17
SC
     
  0 170AB 
求夹角余弦值 17
17
SC AB
SC AB
 
 
  答案： 17
17
16答案5 2 6 ．
解析根题意已知： 3 2 3a a  5 4 5a a    2017 2016 2017a a  
式相加： 2017 1 1008S a   ： 1 1008 1007a b    1 1a b  
3
 A5
  1 1
1
1 1 1 1
3 32 3 2 3 2 25 5 2 5 2 6a ab ba ba b a b a b a b
             
 
仅 6326  ba 时
等号成立
1
2 3
a b
 值 5 2 6 答案 5 2 6 ．
三解答题（题 6 题 70 分．解答应写出文字说明证明程演算步骤）
17解法：(Ⅰ) 命题 p 真命题时满足 0 
2 4( 3) 0a a   解 2a   6a 
p 真命题 p 假命题 2 6a  
实数 a 取值范围 ( 26) ┈┈5 分
(Ⅱ) p q 必非充分条件
[ 1 1]m m      2 6    真子集
1 2m    1 6m   解 3m   7m 
实数 m 取值范围     3 7    ┈┈10 分
解法二：(Ⅰ) 命题 p ：关 x 方程 2 3 0x ax a    没实数根
p 真命题满足 0  2 4( 3) 0a a   解 2 6a  
实数 a 取值范围 ( 26) ┈┈5 分
(Ⅱ) (Ⅰ) 命题 p 真命题时实数 a 取值范围    2 6   
p q 必非充分条件
[ 1 1]m m      2 6    真子集
1 2m    1 6m   解 3m   7m 
实数 m 取值范围     3 7    ┈┈10 分
18详解（1）   1
1 2 2 2n n
n na a
     1
1 2 0a  
数列 2n
na  首项 0 公差 2 等差数列
2 0 2( 1)n
na n    2 2( 1)n
na n   ┈┈6 分
（2）   1 22 1 2 2( 1) 2 21 2 2
n
n
n
n nS n n      


1 22 2n
nS n n    ┈┈12 分6
19解析 (1) 正弦定理： sin
2 2sin sin
a A
b a B A
  tan sin cos
tan cos sin
A A C
C A C

题 tan
tan 2
A a
C b a
  sin cos
cos sin
A C
A C
sin
2sin sin
A
B A
 
sin 0A  cos (2sin sin ) cos sinC B A A C 
cos sin cos sin 2sin cosC A A C B C  sin sin( ) 2sin cosB A C B C  
sin 0B  1cos 2C 
3C 
┈┈6 分
(2) 1 sin2ABCS ab C  1 33 3 2 2ab  12ab 
┈8 分
1 ( )2CD CA CB    2 2 21 ( 2 )4CD CA CB CA CB       
2 2 2 21 1( 2 cos ) ( )4 4b a ab C b a ab     
1 (2 ) 94 ab ab   仅 a b 时取等
边CD 值 3
┈┈12 分
20解析
详解（1）已知知 AC BC 面 PAC  面圆O 面 PAC  面圆 O AC
∴ BC  面 PAC ∴ BC PA
PA PC PC BC C PC  面 PBC D 面 PBC
∴ PA  面 PBC ┈┈5 分
（2）法： P 作 PH AC H 面 PAC  面 O PH  面 O
PCH 直线 PC 圆O 面成角 60PCH  
H 作 HF AB F 连结 PF ABPF 
PFH 二面角 P AB C 面角 ┈┈8 分
已知 60ACP ABC     30CAP CAB    7
Rt APC 中 sin30 cos30 sin30PH AP AC       3 1 93 3 2 2 4
   
2AP AH AC 
2 9 3
4
APAH AC
  Rt AFH 中 9 3sin30 8FH AH  

9
2 34tan 39 3
8
PHPFH HF
    21cos 7PFH 
二面角 P AB C 余弦值
7
21 12 分
法二： P 作 PH AC H PH  面 O H 作 HF CB 交 AB F
H 原点 HA HF HP 分 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系
(000)H 9 3 004A
 
   
3 3 304B
    
900 4P 
  

9 3 904 4AP
     
 ( 3 330)AB  
设面 PAB 法量 ( )n x y z
9 3 9 04 4
3 3 3 0
AP n x z
AB n x y
     
     
 
 
3
3
z x
y x
 


令 1x  (1 3 3)n  面 ABC 法量 (001)m 
3 21cos 77
n mn m
n m
   
  
  二面角 P AB C 余弦值
7
21
21解析解：（1） 3sin sin sin sinB C A B
b a c
 
8
根正弦定理 3b c b a
b a c
 
2 2 2 3b c a bc  

2 2 2 3cos 2 2
b c aA bc
  
0 A   6A  ┈┈5 分
（2）设 na 公差  0dd 1sin1 Aa 1 1
1sin 16 2a a   21 a
2a 4a 8a 成等数列 2
4 2 8a a a     2
1 1 13 7a d a d a d   
0d 2d  2na n ┈┈8 分
 1
1 1 1 1 1
2 2 2 4 1n
n n
b a a n n n n
       
┈┈10 分
1 1 1 1 1 1 1 11 1 4 2 2 3 1 4 +1 4 4n
nS n n n n
                                 
 ┈┈12 分
22解：（1）已知 2n 时
23))1(2
1)1(2
3()2
1
2
3( 22
1   nnnnnSSb nnn
21311 b 符合式数列 nb 通项公式 23  nbn
∵ )2(3 4  nb
na ∴ n
nb
n
n
a )4
1(44 3
2)23(
3
)2(


数列 na 通项公式 n
na )4
1( ┈┈5 分
（2） n
nnn nbac )4
1()23( 
n
n nS )4
1()23()4
1(7)4
1(44
11 32  
1432 )4
1()23()4
1()53()4
1(7)4
1(4)4
1(14
1  nn
n nnS  ┈┈8 分
①② 1432 )4
1()23(])4
1()4
1()4
1()4
1[(34
1
4
3  nn
n nS 9
1
12
)4
1()23(
4
11
])4
1(1[)4
1(
34
1 




 n
n
n
1)4
1()23(2
1  nn ┈┈10 分
∴ nn
n
nnS )4
1(3
23
3
2)4
1(3
812
3
2 1   ┈┈12 分

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