高考数学-基本不等式专题


    公众号arctan2016
    1
    基等式专题辅导
    知识点总结
    1基等式原始形式
    (1) Rba  abba 222 
    (2) Rba 
    2
    22 baab 
    2基等式般形式(均值等式)
    * Rba  abba 2
    3基等式两重变形
    (1) * Rba  abba 
    2
    (2) * Rba 
    2
    2 

    

      baab
    总结:两正数积定植时值
    两正数定植时积值
    特说明:等式中仅 ba  时取
    4求值条件:正二定三相等
    5常结
    (1) 0x  1 2x x
      (仅 1x  时取)
    (2) 0x  1 2x x
       (仅 1x   时取)
    (3) 0ab 2
    a
    b
    b
    a (仅 ba  时取)
    (4) Rba 
    2)2(
    22
    2 babaab 
    (5) * Rba 
    2211
    1 22 babaab
    ba
    

    特说明:等式中仅 ba  时取
    6柯西等式
    (1) a b c d R 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd   
    (2) 1 2 3 1 2 3 a a a b b b R :
    2 2 2 2 2 2 2
    1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( )a a a b b b a b a b a b      
    (3)设 1 2 1 2 n na a a b b b 两组实数
    2 2 2
    1 2( na a a  ) 2 2 2
    1 2 )nb b b ( 2
    1 1 2 2( )n na b a b a b  
    二题型分析
    题型:利基等式证明等式
    1设 ba 均正数证明等式 ab ≥
    ba
    11
    2

    2 已 知 cba 两 两 相 等 实 数 求 证 :
    cabcabcba  222
    3已知 1a b c   求证: 2 2 2 1
    3a b c  
    4已 知 a b c R 1a b c   求 证 :
    abccba 8)1)(1)(1( 
    5已 知 a b c R 1a b c   求 证 :
    1 1 11 1 1 8a b c
                公众号arctan2016
    2
    6(2013 年新课标Ⅱ卷数学(理)选修 4—5:等式选讲
    设 a b c 均正数 1a b c   证明
    (Ⅰ) 1
    3ab bc ca   (Ⅱ)
    2 2 2
    1a b c
    b c a
      
    7(2013 年江苏卷(数学)选修 4—5:等式选 讲
    已知 0 ba 求证 baabba 2233 22 
    题型二:利等式求函数值域
    1求列函数值域
    (1) 2
    2
    2
    13 xxy  (2) )4( xxy 
    (3) )0(1  xxxy (4) )0(1  xxxy
    题型三:利等式求值 ()(凑项)
    1已知 2x 求函数
    42
    442 
    xxy 值
    变式 1:已知 2x 求函数
    42
    42 
    xxy 值
    变式 2:已知 2x 求函数
    42
    42 
    xxy 值公众号arctan2016
    3
    练:1已知 5
    4x  求函数 14 2 4 5y x x
       

    2已知 5
    4x  求函数 14 2 4 5y x x
       

    题型四:利等式求值 (二)(凑系数)
    1 时求 (8 2 )y x x  值
    变式 1: 时求 4 (8 2 )y x x  值
    变式 2:设
    2
    30  x 求函数 )23(4 xxy  值
    2 0 2 x 求 y x x ( )6 3 值
    变式: 40  x 求 )28( xxy  值
    3求函数 )2
    5
    2
    1(2512  xxxy 值
    (提示:方利基等式)
    变式:求函数 )4
    11
    4
    3(41134  xxxy 值公众号arctan2016
    4
    题型五:巧1代换求值问题
    1已知 120  baba 求 t a b
     1 1 值
    法:
    法二:
    变式 1:已知 220  baba 求 t a b
     1 1 值
    变式 2:已知 2 8 0 1x y x y
       求 xy 值
    变式 3:已知 0 yx 1 1 9x y
      求 x y 值
    变式 4:已知 0 yx 1 9 4x y
      求 x y 值
    变式 5:
    (1) 0 yx 12  yx 求 1 1
    x y
     值
    (2)  Ryxba 1
    y
    b
    x
    a 求 yx  值
    变式 6:已知正项等数列 na 满足: 567 2aaa 
    存两项 nm aa 14aaa nm  求
    nm
    41  值公众号arctan2016
    5
    题型六:分离换元法求值(解)
    1求函数 )1(1
    1072
    
     xx
    xxy 值域
    变式:求函数 )1(1
    82
    
     xx
    xy 值域
    2求函数
    52
    2

    
    x
    xy 值(提示:换元法)
    变式:求函数
    94
    1

    
    x
    xy 值
    题型七:基等式综合应
    1已知 1loglog 22  ba 求 ba 93  值
    2已知 0 ba 求 abba 211  值
    变 式 1 : 果 0 ba 求 关 ba 表 达 式
    )(
    112
    baaaba  值
    变式 2:已知 10  aa 时函数 1)1(log  xy a
    图恒定点 A 点 A 直线 0 nymx 求
    nm 24  值公众号arctan2016
    6
    3已知 0 yx 822  xyyx 求 yx 2 值
    变式 1:已知 0 ba 满足 3 baab 求 ab 范围
    变式 2:(2010 山东)已知 0 yx
    3
    1
    2
    1
    2
    1  yx

    求 xy 值(提示:通分三角换元)
    变式 3:已知 0 yx 122  xyyx 求 xy 值
    4设正实数 zyx 满足 043 22  zyxyx
    z
    xy
    取值时
    zyx
    212  值( ) ( )
    A. 0 B.1 C.
    4
    9 D.3
    (提示:代入换元利基等式函数求值)
    变式:设 zyx 正数满足 032  zyx 求
    xz
    y2

    值公众号arctan2016
    7
    题型八:利基等式求参数范围
    1已知 0 yx 9)1)(( 
    y
    a
    xyx 恒成立求正实
    数 a 值
    2已知 0 zyx
    zx
    n
    zyyx 
    11 恒成立
    果  Nn 求 n 值(参考:4)
    (提示:分离参数换元法)
    变式:已知 0 ba 满 241 
    ba
    cba  恒成立
    求 c 取值范围
    题型九:利柯西等式求值
    1二维柯西等式
    )( 时等号成立仅 bcadd
    b
    c
    aRdcba 
    a b c d R 2 2 2 2 2( )( ) ( )a b c d ac bd   
    2二维形式柯西等式变式
    bdacdcba  2222)1(
    )( 时等号成立仅 bcadd
    b
    c
    aRdcba 
    bdacdcba  2222)2(
    )( 时等号成立仅 bcadd
    b
    c
    aRdcba 
    2)())()(3( bdacdcba 
    )0( 时等号成立仅 bcadd
    b
    c
    adcba 
    3二维形式柯西等式量形式
     
    )0( 等号成立时存实数仅
    
      kak
    4三维柯西等式
    1 2 3 1 2 3 a a a b b b R :
    2 2 2 2 2 2 2
    1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( )a a a b b b a b a b a b      
    )(
    3
    3
    2
    2
    1
    1 时等号成立仅
    b
    a
    b
    a
    b
    aRba ii 
    5般 n 维柯西等式
    设 1 2 1 2 n na a a b b b 两组实数
    2 2 2
    1 2( na a a  ) 2 2 2
    1 2 )nb b b ( 2
    1 1 2 2( )n na b a b a b  
    )(
    2
    2
    1
    1 时等号成立仅
    n
    n
    ii b
    a
    b
    a
    b
    aRba 公众号arctan2016
    8
    题型分析
    题型:利柯西等式般形式求值
    1设 x y z R 2 2 2 4x y z   zyx 22 
    值 时 )( zyx
    析: ]2)2(1)[()22( 2222222  zyxzyx
    3694 
    ∴ zyx 22  值 6

    3
    2
    2)2(1
    6
    221 222
    
     zyx

    3
    2x
    3
    4y
    3
    4z
    2设 x y z R 2 2 6x y z   求 2 2 2x y z 
    值 m 求时 x y z 值
    Ans : )3
    43
    23
    4()(4  zyxm
    3设 x y z R 332  zyx 求 222 )1( zyx 
    值 时 y
    (析: 0)1(32332  zyxzyx )
    4已知 2 3 6a b c a b c   
    2 2 24 9a b c  值 ( 12Ans )
    5 设 x y z R 满
    足 2 2 2 1x y z   2 3 14x y z   求 zyx 

    6求  coscossincos3sin2  值
    值( Ans :值 22 值  22 )
    析:令

    a  (2sin 3 cos cos)

    b  (1sincos)

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