整数（整）性问题
解决整数（整）性问题般求参数求出量出现分式根式等形式根整数性质加
研究求解
类型 根式型
典例 1 已知数列 等差数列 数列 等数列 ．
① ．求数列 通项公式
② 正整数成等数列求 值．
答案（1） （2）
解析
解：（1）题 等差数列 公差
．
（2）设等差数列 公差 等数列 公
成等数列 ．
设
整理
解 （舍负根）
需 d 取值
仅 时 取值
类型二 分式型
典例 2 已知 )13
11(3
1

nTn 问否存正整数 mn 1＜m＜n T1TmTn 成等数列？
存求出 mn 值存说明理？
答案 2m n＝16
解析解：∴
3
1)13
11(3
1 
nTn 13 
n
n
nT ∴
134
1
1 
m
mTT m
3 1n
nT n
 
∵ nm TTT 1 成等数列．∴
12
1
134
1)13( 2  n
n
m
m 



  23
2123
21m
∵ m 正整数 2m ∴ 2m n＝16 1类型三 指数型
典例 3 已知数列{ }na 通项公式 2
1
2n na  nS 前 n 项问否存正整数 nm
1
2
2 1
m
n
m
n
S m
S m
  
成立？存求出符合条件序实数  nm 存请说明理
答案 (11)(21)(22)(32)(33)(34)
解析解：
12(1 ) 12 4(1 )1 21 2
n
n nS

  


1
2
2 1
m
n
m
n
S m
S m
  

1
14(1 ) 22
1 2 14(1 )2
mn
m
n
m
m
 
  +
1
4m 时分母 0 恒成立化简知等式成立 m 正整数 321m 1m 
时 ( ) 2 2 3 8n   1n  2m  时 ( ) 2 2 2 12n   1n  2 3m  时
( ) 2 2 20n  2n  3 4
综知存符合条件序实数 ( )m n ： (11)(21)(22)(32)(33)(34) ．
模拟：
1已知函数 2 2( ) 2 4 3f x ax b b x      2 2 2 *( ) (2 )( )g x x a x a Z b Z    存 0x 0( )f x
( )f x 值 0( )g x ( )g x 值时数 ( )a b
_________
答案（12）解析解： 2 2( ) 2 4 3f x ax b b x      知 2 4 3 0 1 3b b b       b Z
123b  ( )f x 值时 0x
2 4 3b b
a
   0( )g x ( )g x 值 2
0x a

2 4 3b b
a
   2a 6a  2 4 3b b   a  0 1时数 ( )a b （12）
2m∈N函数 ( ) 2 10 10f x x m x m     存整数零点 m 取值集合________
答案{031430}．
解析解： x∈Z x≤10 时 10m x ∈Z． m0 x 5 函数 f(x)整数零点．
m≠0令 f(x)0 m 2 10
10 1
x
x

 
∈N．注意5≤x≤10 10 x ∈N x∈{16910}
时 m∈{3 22
3
1430}． m 取值集合{031430}．
3已知二项式  5 1 n
x x 中 nN 20123  n 二项展开式中存连续三项二项式．．．系数
成等差数列问样 n 少？
答案42
解析解：连续三项二项式系数分 1k
nC k
nC 1k
nC （ 11  nk ）题意 112   k
n
k
n
k
n CCC
组 合 数 定 义 展 开 整 理 024)14( 22  knkn
2
9814
21
 kkn
2)12(98  mk 22 2  mmk 代入整理 2)1( 2
1  mn 22
2  mn 1936442 
2025452  n 取值 2442  2432  … 232  42
4已知等差数列 }{ na 公差 d 0等数列 }{ nb 公 q 1 正理数 2
11 dbda 
321
2
3
2
2
2
1
bbb
aaa

 正整数 q 等 ________
答案 1
2
解析
2 2 2
* 21 2 3
2 2
1 2 3
14 14 141 1 3 ( 14)1 1 3
a a a N q q mb b b q q q q
               2
561 314
1 2
mm qq q
  
   
（负舍）
q 1 正理数 18 2m q 
5函数 2( ) 2( 3) 2f x ax a x a     中a 负整数函数少整数零点 a 值
______________
答案14
解析
22( 3) 4( 3) 4 ( 2) 3 9 4
2
a a a a a ax a a
        
4a   时 3 9 4 2a
a
    10a   时 3 9 4 1a
a
    a 值 14
6 设 ba 均 1 然 数 函 数 xbxgxbaxf cos)()sin()(  存 实 数 m
)()( mgmf  _____ ba
答案 4
解析 )()( mgmf  ( sin ) cosa b m b m   sin cosa m m b ab  

2 2
2 2 2
2 2
1 11 ( ) 2 4 1 2( 1) ( 1)
a aa b ab b b a aa a
            
2a  时 2 5 2 4b b a b   
7项均正偶数数列 a1a2a3a4 中前三项次成公差 d（d > 0）等差数列三项次成公
q 等数列 4 1 88a a  q 值构成集合
答案 5 8 3 7

解析 4 1 88a a 
2 2
1
1 1
1
( 2 ) 4 8888 2 24262888 3
a d d da a da d d
        
24d  时 1
512 3a q  26d  时 1 416a  （舍） 28d  时 1
8168 7a q  q 值构
成集合 5 8 3 7


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