理科数学试题 第 1页（ 6 页）
2019—2020学年高中毕业班第次综合质量检测
理 科 数 学
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
注意事项：
1．试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分
2．答题前考生务必姓名准考证号填写答题卡
3．全部答案答答题卡答试卷效
4．考试结束试卷答题卡交回
第Ⅰ卷
选择题：题 12 题题 5 分题出四选项中
项符合题目求
1．设集合 }03|{ 2  xxxA }0log|{ 2  xxB A B
A． }31|{  xx B． }20|{  xx
C． }30|{  xx D． }10|{  xx
2．复面复数 2
1 2i
(1 i)


应点
A．第象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题 p ： Rsin +cos 2x x x   p
A． 0 0 0Rsin cos 2x x x    B． Rsin +cos 2x x x  
C． Rsin +cos 2x x x   D． 0 0 0Rsin cos 2x x x   
4．列函数中奇函数 )0(  单调递减函数
A． xxy  22 B． xxy tan
C． xxy sin D． xxy 21 理科数学试题 第 2页（ 6 页）
5 已知函数 xx
xxf sin1)( 2  函数 ( )y f x 图致
A． B．
C． D．
6．区间  10机抽取 n2 数 nn yyyxxx 2121  组成坐标面 n 点
)( 11 yx )( 22 yx … )( nn yx 中原点距离1点 m 机模拟
方法圆周率 π 似值
A．
m
n4 B．
m
n2 C．
n
m4 D．
n
m2
7．执行图示程序框图输出结果
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知非零量 a b 满足 )4()4( baba  22 | | a a b  
量 a b 夹角
A． π
6 B． π
3 C． π
2 D． 2π
3
9．设抛物线C ： 2 4x y 焦点 F 直线 2y kx  C 交 A B
两点| | | | 25AF BF  k 值
A． 2 B． 1 C． 1 D． 2理科数学试题 第 3页（ 6 页）
10 已知函数 xx
x
xxf cossin2
tan1
tan1)( 2
2


 出列三结
①函数 )(xf 正周期 π
②函数 )(xf 区间 



8
π8
π 增函数
③函数 )(xf 图关点 



 08
π 称．
中正确结数
A．0 B．1 C．2 D．3
11 设数列{ }na 满足 1 2( 1)n na a n    1 2a  数列{( 1) }n
na  前 200 项
A．20100 B．20200 C．40200 D．40400
12．棱长 4 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 E F 分 1AA BC 中点点 M
棱 1 1B C 1 1 1
1
4B M B C 面 FEM 交 1 1A B 点 N 四棱锥 1 1N BDD B 五
顶点球O 球面球O 半径
A． 2 29
3 B． 5 2
2 C． 2 5 D． 30
第Ⅱ卷
卷包括必考题选考题两部分第 13～第 21 题必考题试题考生必须作答
第 2223 题选考题考生根求做答．
二填空题：题 4 题题 5 分
13．函数 ( ) lnf x x x 单调递减区间
14． 5 名志愿者分派 2 社区参加公益活动求社区少安排 2 参加活
动分派方案 种（数字作答）
15．设{ }na 公差零等差数列 4a 2a 8a 等中项 3 7 20a a 
na  理科数学试题 第 4页（ 6 页）
16．双曲线C ：
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b
    左右焦点分 1 2F F 双曲线存点
P 满足 2
1 2· 2PF PF a   双曲线C 离心率取值范围 ．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17（题满分 12 分）
锐角 ABC△ 角 CBA 边分 cba
设 abCcba 3tan)( 222  ．
（1）求C
（2）3sin 4sinA B ABC△ 面积3 3 求 ABC△ 周长．
18．（题满分 12 分）
图四棱锥 S ABCD 中面 SBD  面 ABCD 2 3AB AD 
2CB CD  120BCD   ．
（1）求证： AC  SB
（2） M 线段 BD 点
1
4DM BD 3 3
2SM  SM BD
求面 ABS 面 BCS 成锐二面角余弦值．
19．（题满分 12 分）
已 知 椭 圆 C ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
    长 轴 长 离 心 率 两 倍 直 线 l ：
4 4 3 0x y   交C A B 两点 AB 中点横坐标 1
2
 ．
（1）求椭圆C 方程
（2） M N 椭圆C 点O 坐标原点满足 2 2 3| | | | 4OM ON 
求证： OM ON 斜率方积定值．理科数学试题 第 5页（ 6 页）
20．（题满分 12 分）
已知函数 ln( ) ( R)x af x ax
  ( ) e 1xg x   ．
（1）求 ( )f x 单调区间
（2） ( ) ( )g x f x  0 成立求 a 取值范围．
21．（题满分 12 分）
某购物商场分推出支付宝微信扫码支付购物活动活动设置段时间推
广期推广期优惠力度较吸引越越开始扫码支付．现统计
活动刚推出周天扫码支付次 x 表示活动推出天数 y 表示天
扫码支付次统计数表示：
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
（1）根散点图判断推广期扫码支付次 y 关活动推出天数 x 回方程
适合 xdcy  表示求出该回方程预测活动推出第 8 天扫码支付次
（2）推广期结束商场顾客支付方式进行统计结果表：
支付方式 现金 会员卡 扫码
例 20 50 30
商场规定：现金支付顾客优惠会员卡支付顾客享受 8 折优惠扫码支付
顾客机优惠根统计结果知扫码支付顾客享受 7 折优惠概率
6
1
享受 8 折优惠概率
3
1 享受 9 折优惠概率
2
1 ．现名顾客购买 a 元商品
根数事件发生频率估计相应事件发生概率估计该顾客支付均费
少？
参考数：设 ii yv lg 5217
1 7
1
 
i
ivv 5649
7
1

i
ii vx 31310 520 
参考公式：组数 )()()( 2211 nn vuvuvu  回直线 uv   ˆˆˆ 斜率
截距二估计公式分：
2
1
2
1ˆ
unu
vunvu
n
i
i
n
i
ii






 uv  ˆˆ  ．理科数学试题 第 6页（ 6 页）
请考生第 2223 二题中选题作答注意：做选定题目果做
做第题目计分做答时请 2B 铅笔答题卡选题号方框涂黑．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
面直角坐标系 xOy 中原点O 极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系
直线 l 极坐标方程 π2 cos( ) 14
    曲线C 参数方程： 2(cos sin )
cos sin
x
y
 
 
 
  


（ 参数） BA 直线 l 距离 2 两动点点 P 曲线C 动点直线l
．
（1）求曲线 C 普通方程直线l 直角坐标方程．
（2）求 PAB△ 面积值．
23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数 |2|)( txxf  1)( xf 解集 )01( ．
（1）求t 解等式 2)(  xxf
（2）已知： Ra b  |22|2)(  xbaxf 切实数 x 成立
求证： 12 ba ．

20192020 学年高中毕业班第次综合质量检测
理科数学试题答案评分参考
说明：
1解答出种种解法供参考果考生解法解答根试题
考查容评分标准制定相应评分细
2计算题考生解答某步出现错误时果继部分解答未改变该题
容难度视影响程度决定继部分分超该部分正确解答应分数
半果继部分解答较严重错误分
3整数分数 选择题填空题中间分
选择题：题考查基础知识基运算题 5 分满分 60 分．
（1）A （2）C （3）D （4）D （5）C （6）C
（7）B （8） B （9）A （10）B （11）B （12）A
二填空题：题考查基础知识基运算题 5 分满分 20 分．
（13） 1(0 )e
（14） 20 （15）2n （16） [ 3 )
三解答题：题 6 题 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤．

（17）（题满分 12 分）
解：（1）已知余弦定理：
sin2 cos 2 sin 3cos
Cab C ab C abC   ···················2 分
∴ 3sin 2C  ∵ ABC△ 锐角三角形∴
3C  ···················5 分
（2）正弦定理34ab ·················6 分
∵ 13sin 3 324ABCS ab C ab△
∴ 12ab  ·················8 分
解 4 3ab·················9 分
余弦定理 2 2 2 2 cos 16 9 12 13c a b ab C      
13c 周长7 13 ·················12 分

(18) （题满分 12 分）
证明：设 AC 交 BD 点 P AD AB CB CD
ACD BCD△ △ 60ACB ACD    BCD△
中 CP BD
AC BD …………………2 分
面 SBD  面 ABCD面 面 ABCD BD
AC  面 AC 面 ………………………3 分
SB  面 SB ………………5 分
（2）面 面 面 面 SM  面 SAB
SM BD SM  面 ABCD ……………………6 分
P 原点射线 PA PB PQ x 轴 y 轴 z 轴正半轴建立空间直角坐标系
(300)A(0 30)B 3 3 3(0 )22S  ( 100)C 
3 3 3 3(0 )22SB ( 3 30)AB  ( 1 30)BC    ……………………7 分
设面 ASB 法量 ()n x y z
3 3 3 3 022
3 3 0
yz
xy
 
  

取 1x  (1 3 3)n  ………………9 分
设 面 SBC 法 量 ()n x y z  
3 3 3 3 022
30
yz
xy
 
   
取 1y
( 311)m ……………11 分
设求角 105| cos | | cos | | || || | 35
nmnm nm     
求锐二面角余弦值 105
35
………………12 分
(19) （题满分 12 分）

解：椭圆C：
22
221( 0)xy abab    长轴长离心率两倍
22ae 2ac ……… ①········1 分
设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y
联立
22
221xy
ab 4 4 3 0xy  
整理 2 2 2 2 2 2 239( ) 02 16a b x a x a a b     ········3 分

2
12 22
3
2 a
xx ab   

题意：
2
22
3
2 1
a
ab
222ab …… ②········5 分
①②题意 221124ab
椭圆 方程 222 4 1xy········6 分
（2）设 3 3 4 4( ) ( )M x y N x y 223| | | | 4OM ON 2 2 2 2
3 3 4 4
3
4x y x y    ········7 分
椭圆 22
34
1
2xx·······9 分
22
22 34
2234
2 2 2 2
3 4 3 4
11(1 2 ) (1 2 )44
OM ON
xxyyKK x x x x
  
  
2 2 2 2
3 4 3 4
22
34
1 1 2( ) 4 ) 116
4
x x x x
xx
  

（
···12
（20）（题满分 12 分）
20解(1) 2
1 ln＇( ) xafx x
 ( 0)x  ········1 分
10eax  时＇( ) 0 ( )f x f x 单调递增········2 分
1e ax  时＇( ) 0 ( )f x f x 单调递减 ········3 分
()fx单调递增区间 10e a 单调递减区间 1e+a ········4 分
(2) ()()g x f x lne1x xa
x

e lnxa x x x   令 ( ) e lnxh x x x x   ········5 分

1＇( ) e e 1xxh x x x    1( 1)(e )xx x 0x  知 10x 
设 1( ) extx x 2
1＇( ) e 0xtx x   ()tx 0 单调递增········6 分
1() e 2 0(1) e1 02tt      存 0
1 12x （） 0( ) 0tx 
0x
0
1e x ········7 分
 00xx 时＇( ) 0hx ()hx  00 x 单调递减
 0 xx  时＇( ) 0hx  0 x  单调递增 ········9 分
0
min 0 0 0 0( ) ( ) e lnxh x h x x x x    0011xx   ········11 分
a 取值范围 1 ········12 分
(21) （题满分 12 分）
解：（1） xdcy  两边时取常数： xdcdcy x  lglg)lg(lg
设 vy lg xdcv  lglg …………………………………………………………1 分
5214  vx 14049362516941
7
1
2 
i
ix …………………2 分
25028
7
47140
521475649
47
7
ˆlg 2
2
7
1
2
7
1 








i
i
i
ii
x
vxvx
d ………………………4 分
样中心点 )5214( 代入 xdcv  lglg 520ˆlg c
xv 250520ˆ  xy 250520ˆlg  ……………………………………5 分
y 关 x 回方程： xxxy )10(313101010ˆ 250250520250520  
8x 代入式 33110313ˆ 2 y
活动推出第 8 天扫码支付次 331 …………………………………………7 分
（2）记名顾客购物支付费
 取值： a a90 a80 a70 …………………………………… 8 分

20)(  aP  1502
130)90(  aP 
603
13050)80(  aP  0506
130)70(  aP  …………………10 分
分布列：
 a a90 a80 a70
P 20 150 60 050
名顾客购物均费：
aaaaa 8500507060801509020  （元）………………………12 分
（22）（题满分 10 分）
解：（1）直线l 极坐标方程 1)4(cos2   化成 1sincos  
  sincos  yx 直线l 直角坐标方程 01 yx ……………2 分
曲线C 参数方程化成： 参数）

 (
sincos
sincos2





y
x

方相加 24
2
2
 yx 128
22
 yx ………………5 分
（2）设点 P)sincossin2cos2(   P 直线l 距离：
2
|1sincos3|  d
2
|1)sin(10|   ………………8 分
sin( ) 1   时 max
25 2d ………………9 分
设 PAB 面积 S )2
25(||2
1
max  ABS 2
25  ……10 分
法二：设点 )sin2cos22( 

23已知函数 |2|)( txxf  1)( xf 解集 )01(
（1）求t 解等式 2)(  xxf
（2）已知：  Rba |22|2)(  xbaxf 切实数 x 成立求证： 12 ba

解：（1） 1)( xf ： 121  tx
2
1
2
1 txt 
解集（10） 1t …………………………………3 分

2
1x 时等式 2)(  xxf 化成 212  xx 解： 1x

2
1x 时等式 2)(  xxf 化成 212  xx 解： 1x
综述解集 )1()1(  ………………………………5 分
（2） 题意 baxx  2|22||12| 切实数 x 恒成立
min|)22||12(|2  xxba …………………………………6 分
3|)22()12(||22||12|  xxxx
|22||12|  xx 值 3 ………………………………8 分
 32 ba  Rba
 1)3( 32  baaba ………………………………10 分



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