2019届高三上学期期末考试数学(理)试题 PDF版含答案


    书书书
    试卷类型:A
    高 三 年 级 考 试
    数  学  试  题(理科)
    选择题(题 12 题题 5 分 60 分. 题出四选项中
    项符合题目求. )
    1. 已知集合 A = {x | x(x - 2)≤0}B = {x |0 < x≤1} A∩B =
    A. {x |0≤x≤1}                    B. {x |0 < x≤1}
    C. {x |0 < x≤2} D.
    2. 已知命题 p: x0 ∈Rx2
    0 + 4x0 + 6 < 0 p
    A. x∈Rx2 + 4x + 6≥0 B. x0 ∈Rx2
    0 + 4x0 + 6 > 0
    C. x∈Rx2 + 4x + 6 > 0 D. x0 ∈Rx2
    0 + 4x0 + 6≥0
    3. 已知函数 f(x)= lnx + x2 - 2 y = f(x)零点区间
    A. (01)        B. (12)        C. (23)        D. (24)
    4. 已知 tan(α + β)= 2
    5 tan(β - π
    4 )= 1
    4 tan(α + π
    4 )值
    A. 1
    6 B. 22
    13 C. 3
    22 D. 13
    18
    5. 已知数列{an }中a1 = 1an + 1 = 2an + 1(n∈N )Sn 前 n 项 S5 值
    A. 63 B. 62 C. 61 D. 57
    6. 设 D △ABC 面点→AB = 2 →DC
    A →. BD = →AC - 3

    →AB B →. BD = 3

    →AC - →AB
    C →. BD = 1

    →AC - →AB D →. BD = →AC - 1

    →AB
    高三数学试题(理)第 1 页( 4 页)7. 函数 f(x)= e2x - 1
    x2 ex 图象致
    8. 设 ab 两条直线αβ 两面 a⊥b 充分条件
    A. a⊥αb∥βα⊥β            B. a⊥αb⊥βα∥β
    C. a αb⊥βα∥β D. a αb∥βα⊥β
    9. 某体三视图图示该体表面积
    A. ( 槡10 + 2 2)π
    2 + 1 B. 13π

    C. ( 槡11 + 2)π
    2 + 1 D. ( 槡11 + 2 2)π
    2 + 1
    10. 已知函数 f(x)= Asin(ωx + φ)(A > 0ω > 0| φ | < π
    2 )
    值槡2图象相邻两条称轴间距离 π
    2 f(x)图象关点(- π
    120)
    称列判断正确
    A. 函数 f(x)图象需 y 槡= 2cos2x 图象右移 π
    6 单位
    B. 函数 f(x)图象关直线 x = 5
    12π 称
    C. x∈[- π
    6 π
    6 ]时函数 f(x)值 槡- 2
    D. 函数 f(x)[π
    6 π
    3 ]单调递增
    11. 设 F1 F2 分双曲线 x2 - y2
    4 = 1 左右焦点双曲线右支存点 P
    (→OP + OF→
    2 )·F2
    → P = 0(O 坐标原点)| PF→
    1 | = λ | PF→
    2 | λ 值
    A. 1
    3         B. 1
    2         C. 3         D. 2
    12. 已知函数 f (x)导函数 f ′ (x) f (x)+ f ′ (x)> 2f (0)= 5等式
    f(x)- 3e - x > 2解集
    A. (- ∞ 0) B. (- ∞ 0)∪(1+ ∞ )
    C. (0+ ∞ ) D. (1+ ∞ )
    高三数学试题(理)第 2 页( 4 页)二填空题:题 4 题题 5 分 20 分.
    13. 实数 xy 满足
    x + y - 1≥0
    x - y - 2≤0
    y≤{ 1
    z = - 1
    3 x + y 值    ▲    .
    14. 已知直线 l:x 槡- 3y + 4 = 0 圆 x2 + y2 = 9 交 AB 两点 AB 分作 l 垂线 x
    轴交 CD 两点| CD| =     ▲    .
    15. 直线 y = ax 曲线 y = 2lnx + 1 条切线实数 a =   ▲  .
    16. △ABC 中D BC 中点H AD 中点点 H 作直线 MN 分边 ABAC
    交 MN →AM = →x AB→AN = →y AC中 xy∈R x + 4y 值    ▲    .
    三解答题: 70 分. 解答应写出文字说明证明程演算步骤. 第 17 ~ 21 题必考题
    试题考生必须作答. 第 2223 题选考题考生根求作答.
    17. (12 分)
    已知 abc 分△ABC 三角 ABC 边 2asin C + π( )3 槡= 3b.
    (1)求角 A 值.
    (2) b = 3c = 4点 D BC 边AD = BD求 AD 长.
    18. (12 分)
    设数列{an }前 n 项 Sn 已知 a1 = 1a2 = 2 Sn + 2 = 3Sn + 3.
    (1)求{an }通项公式
    (2)求 S2n .
    19. (12 分)
    图 1行四边形 ABCD 中AB = 2AD∠DAB = 60°点 E AB 中点点 F
    CD 中点. 分 DEBF △ADE △CBF 折起面 ADE∥面 CBF(点 AC
    面 BFDE 侧)连接 ACCE图 2 示.
    (1)求证:CE⊥BF
    (2) AD = 2面 CBF⊥面 BFDE 时求二面角 B - AC - D 余弦值.
    高三数学试题(理)第 3 页( 4 页)20. (12 分)
    已知椭圆 C1 :x2
    a2 + y2
    b2 = 1(a > b > 0)离
    心率槡2
    2 抛物线 C2 :y2 = - 4x 准线椭
    圆 C1 截线段长槡2.
    (1)求椭圆 C1 方程
    (2)图点 AF 分椭圆 C1 左
    顶点左焦点直线 l 椭圆 C1 交
    两点 MN (MN x 轴方).
    ∠AFM = ∠OFN.
    证明:直线 l 定点求出该定点坐标.
    21. (12 分)
    设 a∈R函数 f(x)= alnx - x.
    (1) f(x)零点求实数 a 取值范围.
    (2) a = 1证明: m≤2 时xf ′(x)< ex - mx2 .
    请考生第 2223 题中选题作答. 果做做第题记分.
    22. [选修 4 -4:坐标系参数方程](10 分)
    面直角坐标系 xOy 中曲线 C 参数方程 x = 2cosβ
    y = 2sinβ{ + 1
    (β 参数). 坐标原
    点极点x 轴正半轴极轴建立极坐标系. 直线 l 极坐标方程 ρcos(α - π
    4 ) 槡= 2.
    (1)求曲线 C 极坐标方程直线 l 直角坐标方程
    (2)已知直线 l 曲线 C 交 MN 两点 x 轴交点 P. 求| PM| ·| PN| .
    23. [选修 4 -5:等式选讲](10 分)
    已知函数 f(x)= | x - 1 | + |2x - m| m∈R.
    (1) m = 3 时解等式 f(x)≥3.
    (2)存 x0 满足 f(x0 )< 2 - | x0 - 1 | 求实数 m 取值范围.
    高三数学试题(理)第 4 页( 4 页)高三数学试题( 理) 参考答案评分标准
    选择题
    题  号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    答  案 B A B C D A B C C A D C
    二填空题
    13. - 1      14. 槡4 15
    3       15. 2e - 1
    2       16. 9

    三解答题
    17. (12 分)
    解:(1) 2asin C + π( )3 槡= 3b
    变形 2sinA sinCcos π
    3 + cosCsin π( )3 槡= 3sinB
    sinAsinC 槡+ 3sinAcosC 槡= 3sin[π - (A + C)]
    sinAsinC 槡+ 3sinAcosC 槡= 3sin(A + C) 2 分
    sinAsinC 槡+ 3sinAcosC 槡= 3sinAcosC 槡+ 3cosAsinC
    sinAsinC 槡= 3cosAsinC 4 分
    sinC≠0
    sinA 槡= 3cosA
    tanA 槡= 3 5 分
    ∵ A∈(0π)  ∴ A = π
    3 6 分
    (2)题意:
    a2 = b2 + c2 - 2bccosA
    = 16 + 9 - 2 × 4 × 3 × 1

    = 13
    ∴ a 槡= 13 7 分

    sinA = b
    sinB
    ∴ sinB = bsinA
    a = 槡3 3
    槡2 13
    ∴ cosB = 1 - sin2槡 B = 5
    槡2 13
    9 分
    高三数学试题(理)参考答案 第 1 页( 6 页)△ABD 中∵ AD = BD∴ ∠B = ∠BAD.
    sin∠ADB = sin(π - 2B)= 2sinBcosB 10 分
    △ABD 中正弦定理
    AD
    sinB = AB
    sin∠ADB
    AD
    sinB = 4
    2sinBcosB
    ∴ AD = 2
    cosB = 槡4 13
    5 12 分
    18. (12 分)解:(1)∵ Sn + 2 = 3Sn + 3.
    ∴ n > 1 时Sn + 1 = 3Sn - 1 + 3∴ an + 2 = 3an 3 分
    ∵ a1 = 1a2 = 2S3 = 3S1 + 3∴ 3 + a3 = 3 + 3∴ a3 = 3 = 3a1 4 分
    ∴ an + 2 = 3an n∈N 成立 5 分
    数列{a2n - 1 }首项 1公 3 等数列数列{a2n }首项 2公 3 等数列.
    a2n - 1 = 3n - 1 a2n = 2 × 3n - 1 7 分
    ∴ an =

    n - 1
    2 n 奇数
    2 × 3

    2 - 1 n 偶数{ .
    8 分
    (2)S2n = a1 + a2 + … + a2n
    = (a1 + a3 + … + a2n - 1 )+ (a2 + a4 + …a2n ) 10 分
    = (1 + 3 + … + 3n - 1 )+ 2(1 + 3 + …3n - 1 )
    = 3(1 + 3 + … + 3n - 1 )
    = 3(3n - 1)
    2 . 12 分
    19. (12 分)解:(1)四边形 ABCD 行四边形AB = 2AD∠DAB =
    60°点 F CD 中点 CF = CB∠FCB = 60°△CBF 等边三角形. 2 分
    连接 EF BF = CB = BE∠EBF = ∠CFB = 60°
    △BEF 等边三角形. 3 分
    取 BF 中点 O连接 OCOE图示CO⊥BF
    EO⊥BF.
    BF⊥面 COE. 5 分 BF⊥CE 6 分(2)(1)知:BF⊥COBF⊥EO.
    面 CBF⊥面 BFDE CO⊥EO.
    点 O 坐标原点直线 OEOBOC 分 x 轴y 轴 z 轴建立图示空间直角坐标系.
    AD = 2 :BF = 2OE = OC 槡= 3B(010)C(00槡3)E(槡300)高三数学试题(理)参考答案 第 2 页( 6 页)F(0- 10).
    →BC = (0- 1槡3)→EB = ( 槡- 310)→FC = (01槡3).
    →DF = →EB →DF = ( 槡- 310).
    设面 BCE 法量 m = (x1 y1 z1 )面
    CDF 法量 n = (x2 y2 z2 )
    →BC·m = 0→EB·m = 0{ - y1 槡+ 3z1 = 0
    槡- 3x1 + y1 = 0{ 取 x1 = 1 y1 槡= 3
    z1 = 1.
    →FC·n = 0→DF·n = 0{ y2 槡+ 3z2 = 0
    槡- 3x2 + y2 = 0{ 取 x2 = 1y2 槡= 3z2 = - 1.
    m = (1槡31)n = (1槡3- 1) 11 分
    cos < mn > = m·n
    | m| ·| n| = 3

    二面角 B - AC - D 余弦值 3
    5 . 12 分
    20. (12 分)解:(1)题意知抛物线 C2 准线方程:x = 1
    椭圆 C1 准线截弦长槡2
    ∴ 点(1槡2
    2 )椭圆
    ∴ 1
    a2 + 1
    2b2 = 1    ① 1 分
      e = c
    a = 槡2

    ∴ e2 = a2 - b2
    a2 = 1

    ∴ a2 = 2b2 ② 2 分
    ①②联立解:
    a2 = 2b2 = 1
    ∴ 椭圆 C1 标准方程:
    x2
    2 + y2 = 1 4 分
    (2)设直线 l:y = kx + mM(x1 y1 )N(x2 y2 )直线 l 代入椭圆方程整理(2k2 + 1)x2 + 4kmx + 2m2 - 2 = 0
    Δ = 16k2 m2 - 4(2k2 + 1)(2m2 - 2)
    = 16k2 - 8m2 + 8 > 0
      2k2 - m2 + 1 > 0
    高三数学试题(理)参考答案 第 3 页( 6 页)x1 + x2 = - 4km
    2k2 + 1x1 ·x2 = 2m2 - 2
    2k2 + 1 6 分
    题意
    kFM = y1
    x1 + 1kFN = y2
    x2 + 1
    ∵ 点 MN x 轴方∠AFM = ∠OFN
    ∴ kFM = - kFN 7 分
    ∴ y1
    x1 + 1 = - y2
    x2 + 1
      kx1 + m
    x1 + 1 = - kx2 + m
    x2 + 1
    (kx1 + m)(x2 + 1)= - (kx2 + m)(x1 + 1)整理:
    2kx1 x2 + (k + m)(x1 + x2 )+ 2m = 0 9 分
    ∴ 2k·(2m2 - 2)
    2k2 + 1 - 4km(k + m)
    2k2 + 1 + 2m(2k2 + 1)
    2k2 + 1 = 0
    :4km2 - 4k - 4k2 m - 4km2 + 4k2 m + 2m = 0
    整理:m = 2k 11 分
    ∴ 直线 l:y = kx + 2k = k(x + 2)
    ∴ 直线 l 定点(- 20). 12 分
    21. (12 分)解:∵ f(x)= alnx - x
    ∴ f(x)定义域(0+ ∞ )
    f ′(x)= a
    x - 1 = a - x
    x 1 分
    (1)① a < 0 f ′(x)< 0f(x)(0+ ∞ )减函数
    ∵ f(1)= - 1 < 0f e

    ( )a = 1 - e



    a < 0 0 < e

    a < 1 f e

    ( )a = 1 - e

    a > 0
    ∴ f(1)·f(e

    a )< 0函数 f(x)(0+ ∞ )唯零点 2 分
    ② a = 0f(x)= - x(0+ ∞ )零点 3 分
    ③ a > 0令 f ′(x)= 0 x = a(0a)f ′(x)> 0函数 f(x)增函数(a+ ∞ )f ′(x)< 0函数 f(x)减函数(0+ ∞ )f(x)值 f(a)= alna - a f(x)零点 f(a)= alna - a < 0解 0 < a < e 4 分
    求实数 a 取值范围[0e) 5 分
    (2) a = 1 时 xf ′(x)< ex - mx2 整理:
    - mx2 + x + ex - 1 > 0(x > 0)证 m≤2 时式成立高三数学试题(理)参考答案 第 4 页( 6 页)证:ex - 2x2 + x - 1 > 0(x > 0)成立. 6 分
    令 g(x)= ex - 2x2 + x - 1(x > 0) g′(x)= ex - 4x + 1
    令 h(x)= g′(x) h′(x)= ex - 4
    令 h′(x)= 0:x = 2ln2.
    h′(x)单调递增 x∈(02ln2)时
    h′(x)< 0h(x)单调递减 g′(x)单调递减 x∈(2ln2+ ∞ )时h′(x)> 0h(x)单调递增 g′(x)单调递增. 8 分
    g′(2ln2)= 5 - 8ln2 < 0
    g′(0)= 2 > 0
    g′(2)= e2 - 8 + 1 = e2 - 7 > 0
    零点存性定理知 x1 ∈(02ln2) x2 ∈(2ln22) g′(x1 )= g′(x2 )= 0
    0 < x < x1 x > x2 时
    g′(x)> 0g(x)单调递增 x1 < x < x2 时g′(x)< 0g(x)单调递减 g(x)值 g(0)= 0 g(x2 ). 10 分
    h(x2 )= 0 ex2 = 4x2 - 1
    g(x2 )= ex2 - 2x2
    2 + x2 - 1 = - 2x2
    2 + 5x2 - 2 = - (x2 - 2)(2x2 - 1) x2 ∈(2ln22) g(x2 )> 0
    x > 0 时g(x)> 0原等式成立. 12 分
    22. (10 分)
    解:(1)∵ 曲线 C 参数方程 x = 2cosβ
    y = 2sinβ{ + 1(β 参数)
    ∴ 化直角坐标方程:x2 + (y - 1)2 = 4 2 分
    令 x = ρcosθy = ρsinθ
    曲线 C 极坐标方程:
    ρ2 - 2ρsinθ - 3 = 0 4 分
    直线 l 极坐标方程 ρcos(α - π
    4 ) 槡= 2
    槡2
    2 ρcosα + 槡2
    2 ρsinα 槡= 2
    直线 l 直角坐标方程:x + y - 2 = 0. 6 分
    (2)(1)知直线 l 交 x 轴点 P(20)高三数学试题(理)参考答案 第 5 页( 6 页)直线 l 参数方程表示 x = 2 - 槡2
    2 t
    y = 槡2

    { t
    (t 参数) 8 分
    代入 x2 + (y - 1)2 = 4
    :t2 槡- 3 2t + 1 = 0
    韦达定理 t1 t2 = 1
    | PM| ·| PN| = 1 10 分
    23. (10 分)解:(1) m = 3 时
    f(x)= | x - 1 | + |2x - 3 | =
    3x - 4x > 3

    2 - x1≤x≤ 3

    4 - 3xx



    
    
    < 1
    2 分
    f(x)≥3
    x > 3
    2 时3x - 4≥3解 x≥ 7

    1≤x≤ 3
    2 时2 - x≥3解.
    x < 1 时4 - 3x≥3解 x≤ 1

    综等式 f(x)≥3 解集:(- ∞ 1
    3 ]∪[7
    3 + ∞ ) 6 分
    (2)存 x0 满足 f(x0 )< 2 - | x0 - 1 |
    存 x0 满足| x0 - 1 | + |2x0 - m| < 2 - | x0 - 1 |
    | x0 - 1 | + | x0 - m
    2 | < 1 8 分
    ∵ | x0 - 1 | + | x0 - m
    2 | ≥| x0 - 1 - x0 + m
    2 | = | - 1 + m
    2 | 9 分
    ∴ 需| - 1 + m
    2 | < 1
    解  0 < m < 4. 10 分
    高三数学试题(理)参考答案 第 6 页( 6 页)

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