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高三第二轮复测试试卷
理科数学(五)


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．设  1012U   集合  2|1A x x x U  UCA 
A． 012 B． 112 C． 10 2 D． 101
2设函数 xxf 2log)(  区间 )60( 机取然数 x 2)( xf 概率
A． 1
3 B． 2
3 C． 3
5 D． 4
5
3．已知项均正数等数列 na 中 132
13 22a a a 成等差数列 11 13
810
a a
a a


A． 27 B．3 C． 1 3 D．1 27
4．某区计划建造椭圆形花坛O 椭圆中心
ON 位椭圆长轴 MON 直角欲中建立
长方形水池图已知矩形OAPB 8ON 
6OM  该矩形面积
A．10 B．12 C． 20 D． 24
5．元著名数学家朱世杰四元玉鉴中首诗：
壶酒携着游春走遇店添倍逢友饮斗店友四处没
壶中酒问壶中原少酒？程序框图表达图
示终输出 0x  开始输入 x 值
A 3
4 B 7
8 C15
16 D 31
32
6． x y 满足约束条件
1
1
22
x y
x y
x y
 
   
  
目标函数 z ax by 
( 0 0)a b  值 7 3 4
a b 值
A7 B13 C14 D18 — 高三理科数学(五)第 2 页( 4 页) —
O
A1
AB
B1
C
C1D1
D
7已知| | | | 2OA OB   点C 线段 AB | |OC 值 1| |OA tOB  (t R )
值
A 2 B 3 C2 D 5
8已知复数 1 cos 2 ( )iz x fx  2 ( 3 sin cos ) iz xx   xR复面设复数 1z 2z
应点分 1Z 2Z 1 2 90Z OZ   中O 坐标原点函数 ( )f x 值
A． 1
4 B． 1
4 C． 1
2 D． 1
2
9已知 2 2
0
2 4a xdx  2020(1 )ax  2 2020
0 1 2 2020 ( )bbxbx bx xR   
20201 2
2 20202 2 2
bb b  值
A 1 B0 C1 D 2
10图正方体 1 1 1 1ABCD ABCD 中点O线段 BD 中点．设点 P 线段 1CC 直线OP
面 1ABD 成角 sin 取值范围
A． 3[ 1]3

B． 6[ 1]3
C． 6 2 2[ ]3 3 D． 2 2[ 1]3
11已知数列 na 等差数列 nS 前 n 项 2 55 35a S  数列 1{ }
na 前 n 项 nT
切 *Nn 2 25n n
mT T  m 取整数
A3 B 4 C5 D 6
12已知双曲线C：
2
2 1( 0)x y mm   离心率 6
2
点  20P 直线 l 双曲线C 交
两点 ABAOB 钝角（中O 坐标原点）直线 l 斜率取值范围
A 5 5( )5 5 B 5 5( 0) (0 )5 5  C 2 2( )2 2 D 2 2( 0) (0 )2 2 
二填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13设量 (2tan tan )a   量 (4 3)b   | | 0a b   tan( )   ________．
14某校高三年级组 3 名青年语文老师4 名数学老师5 名英语老师中挑选 5 组成高三学生
心理减压辅导组语文数学英语老师少选择方法种数______(数字作答)．
15定义R 函数 ( )f x 满足 ( ) ()f x fx  0x 时
2 1 1 0
( ) 12 ( ) 12
x
x x
f x
x
     

意 ]1[  mmx 等式 )()1( mxfxf  恒成立实数 m 取值范围_____．
16棱长 446  密封直棱柱容器半径 1 球晃动容器球
空间体积_________． — 高三理科数学(五)第 3 页( 4 页) —
三解答题题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤
（）必做部分
17( 题 满 分 12 分 ） ABC 中 角 ABC 应 边 分 a b c
tan 3( cos cos )bB aCcA  ．
（Ⅰ）求角 B
（Ⅱ）函数 π( ) 2sin(2 ) 2cos26fx x x  6( )2 5f A  求 πcos( )6A 值．



18(题满分 12 分）图：正四面体 ABCD点 MN 分棱 ABCD 点 N 线
段CD 中点
（Ⅰ）求证：面 ABN  面 MCD
（Ⅱ）点 P 棱 AD 点二面角 A BC P  30
求直线 AC 面 PBC 成角正弦值







19(题满分 12 分）1885 年沙门氏菌等霍乱流行时分离猪霍乱沙门氏菌定名沙门氏
菌沙门氏菌属专类致病动物致病动物致病统计世界国
种类细菌性食物中毒中沙门氏菌引起食物中毒常列榜首2019 年 10 月 26 日江西省南昌
市发生起食品中毒事件截止 11 月 1 日疾控机构 596 名相关员开展流行病学调查
采集 50 份病例报告中 43 份检查出肠炎沙门氏菌
现某疾控中心筛查沙门氏菌需检验粪便现 n 份样样取性相等
两种检验方式：①逐份检验需检验 n 次②混合检验中 k 份样分取样混起检验
检查结果含沙门氏菌 k 份样需次检验检验结果含沙门氏菌明
确 k 份样究竟份含需 k 份逐份检验假设接受检验样中份样
检查结果相互独立份样结果含沙门氏菌概率 p
现取中 k 份样记采逐份检验方式需检验总次数 1X采混合检验方式检验总次数
2X
（Ⅰ） 1X 2X 数学期值相等请 k 表示 p 求函数 ( )p fk
（Ⅱ） p 检验时某药剂量 nx 关中 )2(21 nxxx n  满足： 11 x 31 en
n
x
x
 
3
4
11
x
p  时采混合检验方式样需检验总次数期值逐份检验总次
数期值更少求 k 值
（参考数： 609415ln386314ln098613ln693102ln  ）


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20（题满分 12 分）已知椭圆C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b    离心率 3
2
椭圆C 四顶
点围成四边形面积 4
（Ⅰ）求椭圆C 方程
（Ⅱ）C 左顶点顶点分 A B P 线段 AB 点直线 )0(2
1  mmxy 交椭
圆C MN 两点． MNP 斜边长 10 直角三角形求直线 MN 方程．





21(题满分 12 分）已知函数    1 lnfx x x 
（Ⅰ）证明：意  1x     2 1fx x  恒成立
（Ⅱ） 1 2x x 函数   ln 2019
xhx x  两零点 1 2x x 证明： 2
1 2 ex x 





（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22（题满分 10 分）直角坐标系 xOy 中曲线C 参数方程










2
2
2
2
1
323
1
1
t
tty
t
tx
（t 参
数）．坐标原点 O 极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系直线 l 极坐标方程
02sincos  
（Ⅰ）求曲线 C 普通方程直线l 直角坐标方程
（Ⅱ）点 (2 4)P设曲线C 直线l 交 AB 两点求| || |PA PB



23（题满分 10 分）设函数 1()|3 |2| |2fx x x  ．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 取值范围
（Ⅱ）意 st R 等式 (| 1| |1 |) ()kt t fs  恒成立求 k 取值范围．



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理科数学(五)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D C A B B A B B D
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13． 1
7
14．590 15． 1[ 1 ]3 

16． 2856
3

三解答题题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．解析（Ⅰ）  tan 3 cos cosbB a C c A 正弦定理
 sin tan 3 sin cos sin cosBBACCA
 sin tan 3sin 3 sinBBACB 
0 πC  sin 0B  tan 3B  π
3B 
（Ⅱ）   πππ2sin(2 ) 2cos2 2sin2 cos 2cos2 sin 2cos 2666fx xxxxx 
π3sin2 cos2 2sin(2 )6xxx π 6( ) 2sin( )26 5AAf   ∴
π 3sin( )6 5A 
(1) π
3B  2π(0 )3A  ππ π()66 2A   
2ππ 4cos( ) 1sin( )66 5AA  
ππ πππ πcos( ) cos( ) cos( )cos sin( )sin663 636 3AAAA   
4 1 3 3 4 3 3
5252 10
    

18．解析（Ⅰ）证明：∵ 正四面体 ABCD∴ ACD BCD 均等边三角形
N CD 中点∴ CD AN CD BN AN BN N
∴ CD  面 ABNCD  面 MCD
∴ 面 ABN 面 MCD
（Ⅱ）失般性设正四面体棱长 2
解法：设点 A 面 PBC 射影 A AA  面 PBC取棱 BC 中点 E 连 AE
∵ ABC 等边三角形∴ AE BC AA  面 PBC∴ AA BC  ∴ BC  面 AA E
BC A E ∴ AEA 二面角 A BC P  面角 030AEA  — 高三理科数学(五)第 6 页( 4 页) —
∵ 3 32AE AB 
∴
1sin 23
AA AAAEAAE
     ∴ 3
2AA 
∵ AA  面 PBC点 A面 PBC
∴ ACA 直线 AC 面 PBC 成角面角
∴
3
32sin 2 4
AAACAAC
  
直线 AC 面 PBC 成角正弦值 3
4

解法二：图：点 A 面 BCD射影O原点点O BC 行直线 x 轴OD
直线 y 轴OA直线 z 轴建立空间直角坐标系
2 3 3 3 2 6(0 0) ( 1 0) (1 0) (00 )3 3 3 3D B C A 
设 ( (01))AP AD    2 3 2 6 2 6(0 )3 3 3P  
∴ (200)BC  3 2 6( 1 )3 3CA  
3 2 3 2 6 2 6( 1 )3 3 3 3CP   
设面 ABC 面 PBC 法量分 1 1 1 2 2 2() ()m xyz n xyz  

1
1 1 1
2 00
3 2 6 00 3 3
xm BC mBC
x y zm AC mAC
               
   
   
⊥
⊥
取 1 1z  (0 2 21)m  
理
2
2 2 2
2 0
3 2 3 2 6 2 6( ) ( ) 03 3 3 3
x
x y z 
  
取 2 1z  2 2( 1)(0 1)2 1n 

 

∵ 二面角 A BC P  030 ∴ 2
2
8( 1)| 1|| | 32 1cos30 2| || | 8(1 )3 1 (2 1)
m n
m n




   
  

 
 
解 3( 6 1)
10  ∴ 8 2 9 3(0 1)5n  — 高三理科数学(五)第 7 页( 4 页) —
设直线 AC 面 PBC 成角
2
3 8 2 9 3 2 6| || | 33 5 3sin 4| || | 8 2 9 32 ( ) 15
CA n
CA n

  
 
 
 
∴ 直线 AC 面 PBC 成角正弦值 3
4

19．解析（Ⅰ）题意知 kEX 1
kkk pkkpkpEX)1()1(])1(1)[1()1(12 
21 EXEX  kpkkk )1()1(  整理
111()()kp f k k  
（Ⅱ） }{ nx 等数列
1
3e
n
nx

 3 e
11p ∵ 21 EXEX  kpkkk )1()1( 
∴ 3
1 1 1(1 ) ( ) ln 3e
k kp kkk  
设函数 )0(3
1ln)(  xxxxf
x
xxf 3
3)(＇  )(xf )3[  单调递减

03
55ln)5(609415ln
03
44ln)4(386314ln
013ln)3(098613ln
03
22ln)2(693102ln




f
f
f
f
k 值 4
20．解析（Ⅰ）题意 4222
12
3  baSa
ce 2 2 2a b c  2 1a b
椭圆C 方程
2
2 14
x y 
（Ⅱ）设 )()( 2211 yxNyxM







14
2
1
2
2
yx
mxy
消 y 012
1 22  mmxx
02 2  m mxx 221  22 2
21  mxx
2
21 510||2
5|| mxxMN  ． — 高三理科数学(五)第 8 页( 4 页) —
① MN 斜边时 10510 2  m 解 0m 满足 0 时 MN 直径圆方程
2 2 5
2x y  点 )10()02(BA  分圆外圆线段 AB 存点 P时直线 MN
方程 xy 2
1 满足题意
② MN 直角边时两行直线 AB MN 距离 2 5 | 1|5d m 
10)510(|1|5
4|| 2222  mmMNd 04821 2  mm
解
7
2m
3
2m （舍） 0
7
2m
点 A作直线 MN
7
2
2
1  xy 垂线垂足坐标 )7
47
12(  垂足椭圆外线段
AB 存点 P直线 MN 方程
7
2
2
1  xy 符合题意．
综述直线 MN 方程 xy 2
1
7
2
2
1  xy ．
21．解析（Ⅰ）意  1x     2 1fx x  恒成立等价    2 1ln 0 11
xx xx
 
恒成立令      2 1ln 11
xgx x xx
 
   
 
2
2
1 0
1
xg x
x x
  


 1x    0g x  恒成立  g x  1 单调递增    1 0g x g 
（Ⅱ） 2
1 2 1 2e ln ln 2xx xx   注意   2019
2019
xh x x
 
     0 2019 0x fx fx  单调递增      2019 0x fxfx   单调递减
（I）知令  0ax a bb  (*)ln ln 2
a b a b
a b
 
已知：
1
1
2
2
ln (1)2019
ln (2)2019
xx
xx
 
 

（1）式（2）式： 1 2
1 2ln ln 2019
x xx x   （*）式 1 2 4038x x 
（1）式+（2）式： 1 2
1 2ln ln 2019
x xx x   1 2
1 2ln ln 22019
x xx x    2
1 2 ex x  — 高三理科数学(五)第 9 页( 4 页) —
22．解析（Ⅰ）曲线 C 参数方程










2
2
2
2
1
323
1
1
t
tty
t
tx
（t 参数）
2
2
11 11
t
t
 

1)1
2()1
1()3(x 2
2
2
2
2
22 
 t
t
t
ty 曲 线 C 普 通 方 程
2 2( 3) 1 ( 1)xy x     
直线 l 极坐标方程 02sincos   直线 l 直角坐标方程 2 0x y  
（Ⅱ）（Ⅰ）直线 l 参数方程
22 2
24 2
x t
y t
  
  
代入 2 2( 3) 1x y  
2 22 2(2 ) (4 3) 12 2t t   2 3 2 4 0t t  设点 AB 应参数分 1t 2t
1 2
1 2
3 2 0
4 0
t t
tt
     
 1 2 1 2 3 2PAPB t t tt   
23．解析（Ⅰ） 1()|3 |2| |2fx x x  1
2x  时 ( ) 3 4fx x 
1 32 x  时 ( ) 2fx x  3x  时 ( )3 4fx x  ( )f x 值 5
2
5( ) 2f x 
（Ⅱ）题意知：意 st R 等式 (| 1| |1 |) ()kt t fs  恒成立
等价 5(| 1| |1 |) 2kt t  恒成立设 | 1| |1 |ut t   | 1| |1 | 2ut t  
2 2u  52 2k  52 2k  解 5 5
4 4k  











高三理科数学（五）选择填空详细解析
1．B解析 2 1x  ： 1 1x   0A   112UC A  
2C解析已知 2( ) logfx x 区间(06) 机取然数 x 12345五数— 高三理科数学(五)第 10 页( 4 页) —
( ) 2f x  0 4x  123三数概率 3
5
3．A解析题意 3 1 23 2a a a  2
1 1 13 2a q a a q  解 3q  1q  （舍）
11 13
8 10
a a
a a

 ＝
3 5
38 8
2
8 8
27a q a q qa a q
   ．
4D解析设 )sin6cos8( P  2sin24sin6cos8 OAPBS矩形

4
  24OAPBS 矩形 选 D
5．C解析 1 2 1i x x   2 2 (2 1) 1 4 3ix x x    3 2 (4 3) 1 8 7ix x x   
4 2 (8 7) 1 16 15ixx x    16 15 0x   时解： 15
16x 
6．A解析作出等式组
1
1
2 2
x y
x y
x y
 
  
  
表示面区域
图 ABC 部中      10 01 34A B C
设     0 0z F x y ax by a b   直线 l z ax by  进行移
l 点C 时目标函数 z 达值  34 3 4 7F a b    1 3 4 17 a b 
3 4 1 3 4 1 12 12(3 4)( ) (25 )7 7
b aa ba b a b a b   
12 12 12 122 24b a b a
a b a b 
1 12 12 1 1(25 ) (25 24) 49 77 7 7
b a
a b   
仅 1a b  时 3 4
a b 值 7
7B解析∵ 2OA OB   ∴ 点 O 线段 AB 垂直分线．
∵ 点C 线段 AB OC 值 1∴ C AB 中点时 OC 时 1OC 
∴ OB OC 夹角60∴ OA OB  夹角120 ．
2 2 22 2OA tOB OA t OB tOA OB          24 4 2 2 cos120t t   24 2 4t t 
214( ) 3 32t   仅 1
2t  时等号成立．
∴
2
OA tOB  值 3∴ OA tOB  值 3 ．
8B解析条件 1(cos 2 ( ))Z xfx 2 3 sin()cos 1x xZ  1 2OZ OZ — 高三理科数学(五)第 11 页( 4 页) —
cos ( 3 sin cos ) 2 ( ) 0x x xfx   化简 1 π 1() sin(2 )2 6 4fx x 
sin(2 ) 1π
6x   时 1 π 1() sin(2 )2 6 4fx x  取值 1
4
9 A解析积分意义知 22 1( π 2 ) 2π 4a   
2020 2 2020
0 1 2 2020(1 2 )  x bbxbx bx 中 0 1b 
令 1
2x  20201 2
0 2 2020 02 2 2 
bb bb ∴ 20201 2
2 2020 12 2 2  
bb b ．选 A
10．B解析直线OP 面 1ABD 成角 取值范围
1 1 12
πAOA C OA  1
6sin 3AOA 
1 1
6 3 2 2 6sin 2 3 3 3 3C OA   sin π 12 
sin 取值范围 6[ 1]3
．
11B解析题意 1 12 1 2 1  n
n
a n a n
令 2 n n nA T T 1 1 12 3 2 5 4 1   nA n n n
1
1 1 1 1 12 5 2 7 4 1 4 3 4 5      nA n n n n n
1
1 1 1 1 1 1 0434523464623         n nA A n n n n n n
1 n nA A 切 *n N 成立 1n  nA 取值 1
5
1 525 5 m m m 取整数 4选 B
12D解析解法：题意双曲线 C
2
2 12  x y
设直线 l： 2 x ty 双曲线 C 联立： 2 22 4 2 0  t y ty
设点    1 1 2 2BAxy xy  
2
2
1 2 1 2 1 2 1 22 2
2 2 8 2 42 2
    
tyy xxtyy tyyt t

AOB 钝角 1 2 1 2 0 xx yy

2
2
2 6 02
  
t
t
出 2 2 0t   直线 l 斜率 2
2
1 1
2k t  解 2 2
2 2k 
0k  时 AOB 钝角直线 l 斜率取值范围 2 2( 0) (0 )2 2  选 D — 高三理科数学(五)第 12 页( 4 页) —
解法二：题意双曲线 C
2
2 12  x y 两条渐线方程 2
2y x 点(20) 双曲线
部直线l 双曲线支交 AB o90AOB  合题意直线l 双曲线左右两
支分交 AB o90AOB  恒成立 2 2
2 2k  0k  时 AOB
钝角直线 l 斜率取值范围 2 2( 0) (0 )2 2  选 D
13
7
1 解析：| | 0a b   2 tan 4 0   tan 3 0   3tan2tan  

7
1)tan(  
14590解析分三种情况：选名英语老师选两名英语老师三名英语老师考虑方
法数360 210 20 590  
15 1[ 1 ]3  解析题意函数 ( )f x 定义 R 区间( 0) 单调递增偶函数
等式 ( 1) ( )fx fxm   恒成立| 1|| |x xm  
2(2 2) 1 0m xm   意 [ 1]x mm  恒成立代入端点
3
11  m
16 2856 3
π 解析容器八角附区域满足题意 3
1
π1 4 48(1 1 ) 88 3
π
3V    
容器十二条棱附区域满足题意体积 2 2
2 8(1 )2 4(1 )4 3284 4
π π πV   
球空间体积 1 2
286 4 5 π4 6 3V VV  

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