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高三（）期末数学试卷（文科）
选择题（题 12 题）
1．集合 A＝{x|x2﹣3x+2＞0}B＝{x||x﹣1|＜2} A∩B＝（ ）
A．（﹣11） B．（23）
C．（﹣13） D．（﹣11）U（23）
2．复数 z 满足 z（1+2i）＝4+3i ＝（ ）
A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
3．命题∃x≤0x2﹣x＞0否定（ ）
A．∀x＞0x2﹣x≤0 B．∀x≤0x2﹣x≤0
C．∃x＞0x2﹣x≤0 D．∃x≤0x2﹣x≤0
4．已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）焦点 F称轴准线交点 TP C 意点|PT|
＝2|PF|∠PTF＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．图示函数图象种变换 y＝sin2x 图象（ ）

A．左移 单位 B．右移 单位
C．左移 单位 D．右移 单位
6．已知变量 xy 满足等式组 2x﹣y 值（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4
7．体三视图图示该体表面积（ ） 页 2 第

A．48+12 B．60+12 C．72+12 D．84
8．已知 cos（﹣α）＝ α∈（ π） sinα﹣cosα＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
9．某设备年限 x（年）支出维修费 y（万元）统计数（xy）分（215）（3
45）（455）（565）二法回直线方程 ＝16x+ 计划维修费超
15 万元该设备报废该设备年限（ ）
A．8 年 B．9 年 C．10 年 D．11 年
10．公 2 等数列{an}中存两项 aman满足 aman＝32a12 值（ ）
A． B． C． D．
11．函数 f（x）＝2x3﹣ax2+1 （0+∞）零点 a 值（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
12．设 F1F2 分双曲线 （a＞0b＞0）左右焦点点 F1 作圆 x2+y2＝b2 切线
双曲线左支交点 P|PF2|＝2|PF1|双曲线离心率（ ）
A． B． C． D．
二填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13．记 Sn 等数列{an}前 n 项已知 a5＝﹣2S3＝a2+3a1 a1＝ ．
14．已知半径 R 圆周定点 A圆周等取点点 A 连接弦长介 R R
间概率 ．
15．图示梯子结构点数次构成数列{an} a100＝ ． 页 3 第

16．△ABC 中∠BAC＝60°AD ∠BAC 角分线 ＝ + AB＝2 BC＝ ．
三解答题：题 5 题 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．△ABC 中角 ABC 边分 abc sin（A+B）＝4 ．
（Ⅰ）求 cosC
（Ⅱ） b＝7D BC 边点△ACD 面积 6 求 sin∠ADB．
18．改革开放 40 年国济取飞速发展城市汽车保量断增加交通安全意识需
断加强．解某城市性驾驶员交通安全意识某组利假期进行次全市驾驶员交通安
全意识调查．机抽取男女驾驶员 50 进行问卷测评分数频率分布直方图图示．规
定分 80 分交通安全意识强．
（Ⅰ）求 a 值估计该城市驾驶员交通安全意识强概率
（Ⅱ）已知交通安全意识强样中男女例 4：1完成列 2×2 列联表判断握认
交通安全意识性关
（Ⅲ）分层抽样方式分 50 分样中抽取 6 6 中机选取 2 未
年交通违章情况进行踪调查求少 1 分低 40 分概率．
安全意识强 安全意识强 合计
男性
女性
合计
附： 中 n＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0010 0005 0001
k 6635 7879 10828 页 4 第

19． ABCDEF 顶点五面体中底面 ABCD 菱形∠ABC＝120°AB＝AE＝ED＝2EFEF∥AB
点 G CD 中点面 EAD⊥面 ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥EG
（Ⅱ）三棱锥 VE﹣FBC＝ 求菱形 ABCD 边长．

20．已知抛物线 y2＝4x 准线椭圆 C：（a＞b＞0）左焦点 F点 F 直线 l：x＝ （c
椭圆焦距半）距离 4．
（Ⅰ）求椭圆 C 标准方程
（Ⅱ）点 F 做直线椭圆 C 交 AB 两点P AB 中点线段 AB 中垂线交直线 l 点 Q．
|PQ|＝2|AB|求直线 AB 方程．
21．设函数 f（x）＝ex﹣ax﹣1（a∈R）．
（Ⅰ）讨函数 f（x）单调性
（Ⅱ）关 x 方程 ln（ax+a+1）﹣x＝1 唯实数解求 a 取值范围．
四解答题（ 2 题满分 10 分）
22．面直角坐标系 xOy 中直线 l 参数方程 参数）原点 O 极点x 轴正半
轴极轴建立极坐标系曲线 C 极坐标方程ρ＝10cosθ． 页 5 第
（Ⅰ）设直线 l 曲线 C 交 MN 两点求|MN|
（Ⅱ）点 P（xy）曲线 C 意点求|x+ y﹣10|取值范围．
23．已知函数 f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|（a∈R）．
（Ⅰ） a＝1 时求等式 f（x）≥1 解集
（Ⅱ）存 x∈R 满足等式 f（x）＜4求实数 a 取值范围． 页 6 第


参考答案
1．选：D．
2．
选：B．
3．
选：B．
4．
选：C．
5．
选：D．
6．
选：B．

7．
选：B．
8．
选：C．
9．
选：C．
10．
选：D． 页 7 第
11．
选：A．
12．
选：C．
二填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13．
答案：﹣ ．
14．
答案： ．
15．
答案：5252．
16．
答案：2

三解答题：题 5 题 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．△ABC 中角 ABC 边分 abc sin（A+B）＝4 ．
（Ⅰ）求 cosC
（Ⅱ） b＝7D BC 边点△ACD 面积 6 求 sin∠ADB．
分析（I）已知结合二倍角诱导公式进行化简求 cosC
（II）结合三角形面积求 CD然余弦定理求 AD正弦定理诱导公式求解
解：（I）∵ sin（A+B）＝4
∴ ＝4× 页 8 第
+2cosC＝2
∴7cos2C﹣8cosC+1＝0
∵C∈（0π）
∴cosC＝1（舍） cosC＝
（II）b＝7△ACD 面积 6 舍 CD＝m
结合（1） sinC＝
∴ ＝6
∴m＝CD＝3
余弦定理AD2＝9 ＝52
∴AD＝2
正弦定理
∴sin∠ADB＝sin∠ADC＝
18．改革开放 40 年国济取飞速发展城市汽车保量断增加交通安全意识需
断加强．解某城市性驾驶员交通安全意识某组利假期进行次全市驾驶员交通安
全意识调查．机抽取男女驾驶员 50 进行问卷测评分数频率分布直方图图示．规
定分 80 分交通安全意识强．
（Ⅰ）求 a 值估计该城市驾驶员交通安全意识强概率
（Ⅱ）已知交通安全意识强样中男女例 4：1完成列 2×2 列联表判断握认
交通安全意识性关
（Ⅲ）分层抽样方式分 50 分样中抽取 6 6 中机选取 2 未
年交通违章情况进行踪调查求少 1 分低 40 分概率．
安全意识强 安全意识强 合计 页 9 第
男性
女性
合计
附： 中 n＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0010 0005 0001
k 6635 7879 10828

分析（Ⅰ）根频率 1 列方程求 a 值计算分 80 分频率
（Ⅱ）根题意填写列联表计算 K2界值出结
（Ⅲ）分层抽样法求抽取分数段数列举法求出基事件数计算求概率值．
解：（Ⅰ）根频率 1（0004+0008+0020+0028+0020+a+0004）×10＝1
解 a＝0016
计算分 80 分频率（0016+0004）×10＝020
估计该城市驾驶员交通安全意识强概率 020
（Ⅱ）根题意知安全意识强数 100×02＝20
中男性 20× ＝16（）女性 4
填写列联表
安全意识强 安全意识强 合计
男性 16 34 50 页 10 第
女性 4 46 50
合计 20 80 100
计算 K2＝ ＝9＞7879
超 995握认交通安全意识性关
（Ⅲ）分层抽样法分 50 分样中抽取 6 中[3040） 2 记 AB
[4050） 4 分记 cdef
6 中机选取 2 基事件：
ABAcAdAeAfBcBdBeBfcdcecfdedfef 15 种取法
少 1 分低 40 分基事件
ABAcAdAeAfBcBdBeBf 9 种取法
求概率 P＝ ＝ ．
19． ABCDEF 顶点五面体中底面 ABCD 菱形∠ABC＝120°AB＝AE＝ED＝2EFEF∥AB
点 G CD 中点面 EAD⊥面 ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥EG
（Ⅱ）三棱锥 VE﹣FBC＝ 求菱形 ABCD 边长．

分析（Ⅰ）取 AD 中点 O连结 EOGOAC推导出 OG⊥BDEO⊥AD EO⊥面 ABCD
进 EO⊥BDBD⊥面 EOG证明 BD⊥EG．
（Ⅱ）设菱形 ABCD 边长 a AB＝AE＝ED＝2EF＝a O 原点OA x 轴OB y 轴
OE z 轴建立空间直角坐标系利量法求出菱形 ABCD 边长．
解：（Ⅰ）证明：取 AD 中点 O连结 EOGOAC 页 11 第
∵底面 ABCD 菱形∠ABC＝120°AB＝AE＝ED＝2EFEF∥AB
点 G CD 中点面 EAD⊥面 ABCD．
∴OG⊥BDEO⊥AD∴EO⊥面 ABCD
∵BD⊂面 ABCD∴EO⊥BD
∵OE∩OG＝O∴BD⊥面 EOG
∵EG⊂面 EOG∴BD⊥EG．
（Ⅱ）解：设菱形 ABCD 边长 a AB＝AE＝ED＝2EF＝a
O 原点OA x 轴OB y 轴OE z 轴建立空间直角坐标系
E（00）F（）B（00）C（﹣2a0）
＝（ 0） ＝（0﹣ ） ＝（﹣2a﹣ ）
设面 EFB 法量 ＝（xyz）
取 x＝ ＝（ ）
∴C 面 EFB 距离 d＝ ＝
cos＜ ＞＝ ＝ ＝
∴sin＜ ＞＝ ＝
S△BEF＝
＝ ＝ ．
∵三棱锥 VE﹣FBC＝
∴VE﹣FBC＝ ＝ × a＝
解 a＝ ． 页 12 第
∴菱形 ABCD 边长 ．

20．已知抛物线 y2＝4x 准线椭圆 C：（a＞b＞0）左焦点 F点 F 直线 l：x＝ （c
椭圆焦距半）距离 4．
（Ⅰ）求椭圆 C 标准方程
（Ⅱ）点 F 做直线椭圆 C 交 AB 两点P AB 中点线段 AB 中垂线交直线 l 点 Q．
|PQ|＝2|AB|求直线 AB 方程．
分析（Ⅰ）题意知椭圆 c点 F 直线 l：x＝ （c 椭圆焦距半）距离 4 知a
c 关系 abc 间关系求出椭圆方程
（Ⅱ）神州行 AB 方程椭圆联立求出两根两根积进求出弦长 AB 中点坐标
椭圆求出 Q 坐标进求出 PQ 长题意求出参数 m 值求出直线 AB 方程．
解：（Ⅰ）题意 c＝1 +c＝4b2＝a2﹣c2解：a2＝3b2＝2
椭圆 C 标准方程： + ＝1
（Ⅱ）（Ⅰ） F（﹣10）x＝ ＝3显然直线 AB 斜率零设直线 AB 方程：x＝
my﹣1A（xy）B（x＇y＇）
联立椭圆方程：（3+2m2）y2﹣4my﹣4＝0y+y＇＝ yy＇＝ x+x＇＝m（y+y＇）
﹣2＝
中点 P 坐标（ ） AB 中垂线方程：y﹣ ＝﹣m（x+ ）页 13 第
：y＝﹣mx﹣
直线 x＝3 联立： Q 坐标（3﹣ ）∴|PQ|2＝（3+ ）2+（）2
＝36•
|AB|2＝（ ）2•|y﹣y＇|2＝（1+m2）•[（）2+ ]＝48•（ ）2
题意|PQ|＝2|AB|∴36 ＝4•48•（ ）2整理：3m4﹣4m2﹣4＝0解
：m2＝2 m＝
直线 AB 方程：x＝ y﹣1．
21．设函数 f（x）＝ex﹣ax﹣1（a∈R）．
（Ⅰ）讨函数 f（x）单调性
（Ⅱ）关 x 方程 ln（ax+a+1）﹣x＝1 唯实数解求 a 取值范围．
分析（1）函数求导然结合导数单调性关系判断
（2）结合（1）讨零点判定定理求解．
解：（I）∵f（x）＝ex﹣ax﹣1
∴f′（x）＝ex﹣a
① a≤0 时f′（x）＞0 恒成立f（x） R 单调递增
②a＞0 时 x∈（lna+∞）f′（x）＞0f（x）单调递增 x∈（﹣∞lna）f′（x）＜0f
（x）单调递减
综 a≤0 时f（x） R 单调递增a＞0 时f（x）（lna+∞）单调递增（﹣∞
lna）单调递减
（Ⅱ）关 x 方程 ln（ax+a+1）﹣x＝1 唯实数解
ex+1＝ax﹣a+1＝a（x+1）+1 唯实数根 页 14 第
令 t＝x+1 et＝at+1 et﹣at﹣1＝0 唯实数根
结合（1）讨知
① a≤0 时f′（t）＞0 恒成立f（t） R 单调递增f（0）＝0结合零点判定定理知
零点 0
②a＞0 时t∈（lna+∞）f′（x）＞0f（t）单调递增 t∈（﹣∞lna）f′（t）＜0
f（t）单调递减
1 零点 f（lna）＝a﹣alna﹣1＝0
令 g（x）＝x﹣xlnx﹣1 g′（x）＝﹣lnx
g（x）（01）单调递增（1+∞）单调递减
x＝1 时g（x）取值 g（1）＝0
∴a＝1
综a 范围{a|a≤0 a＝1}
四解答题（ 2 题满分 10 分）
22．面直角坐标系 xOy 中直线 l 参数方程 参数）原点 O 极点x 轴正半
轴极轴建立极坐标系曲线 C 极坐标方程ρ＝10cosθ．
（Ⅰ）设直线 l 曲线 C 交 MN 两点求|MN|
（Ⅱ）点 P（xy）曲线 C 意点求|x+ y﹣10|取值范围．
分析（Ⅰ）参数方程极坐标方程直角坐标方程间转换利勾股定理应求出弦长．
（Ⅱ）利方程间转换三角函数关系式恒等变换正弦型函数性质应求出结果．
解：（Ⅰ）直线 l 参数方程 参数）转换直角坐标方程：4x+3y＝0
曲线 C 极坐标方程ρ＝10cosθ转换直角坐标方程（x﹣5）2+y2＝25．
圆心（50）直线 4x﹣3y＝0 d＝
：|MN|＝2 ． 页 15 第
（Ⅱ）圆直角坐标方程转换参数方程 （θ参数）
y＝|x+ ＝| ＝
时ymax＝15
时ymin＝0
|x+ y﹣10|取值范围[015]．
23．已知函数 f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|（a∈R）．
（Ⅰ） a＝1 时求等式 f（x）≥1 解集
（Ⅱ）存 x∈R 满足等式 f（x）＜4求实数 a 取值范围．
分析（Ⅰ） a＝1 时f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|绝值意义绝值解等式求集
解集
（Ⅱ）题意 f（x）min＜4绝值性质绝值意义求值解等式 a 范
围．
解：（Ⅰ） a＝1 时f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|
x≥1 时f（x）≥1 2x﹣1+x﹣1≥1解 x≥1
x≤ 时f（x）≥1 1﹣2x+1﹣x≥1解 x≤
＜x＜1 时f（x）≥1 2x﹣1+1﹣x≥1解 x∈∅
原等式解集（﹣∞ ]∪[1+∞）
（Ⅱ）存 x∈R 满足等式 f（x）＜4
f（x）min＜4
f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|＝|x﹣ |+（|x﹣ |+|x﹣1|）
≥0+|（x﹣）﹣（x﹣1）|＝|1﹣ | x＝ 时 f（x）取值|1﹣ |
|1﹣ |＜4
解﹣6＜a＜10． 页 16 第


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