专题三 导数应
第七讲 导数意义定积分微积分基定理
2019 年
1（2019 全国Ⅰ理 13）曲线 23( )exy x x点(0 )0 处切线方程____________．
2（2019 全国Ⅲ理 6）已知曲线 e lnxy a x x 点 1ea（）处切线方程 y2x+b
A． e1ab   B．aeb1
C． 1e1ab D． 1ea  1b 

20102018 年
选择题
1．(2018 全国卷Ⅰ)设函数 32( ) ( 1)f x x a x ax    ()fx奇函数曲线 ()y f x
点(00) 处切线方程
A． 2yx B． yx C． 2yx D． yx
2．(2016 年四川)设直线 1l 2l 分函数 ()fx
ln 0 1
ln 1
xx
xx
  
 
图象点 1P 2P 处切
线 2l 垂直相交点 P 2l 分 y 轴相交点 AB△ PAB 面积
取值范围
A．(01) B．(02) C．(0+∞) D．(1+∞)
3．（2016 年山东）函数 ()y f x 图象存两点函数图象两点处切线
互相垂直称 具 T 性质．列函数中具 T 性质
A． sinyx B． lnyx C． xye D． 3yx
4．(2015 福建)定义 R 函数  fx满足  01f  导函数  fx 满足
  1f x k  列结中定错误
A． 11()f kk B． 11() 1f kk 
C． 11()11f kk D． 1()11
kf kk
5．（ 2014 新课标Ⅰ）设曲线 ln( 1)y ax x   点(00) 处切线方程 2yx a
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（ 2014 山东）直线 xy 4 曲线 3yx 第象限围成封闭图形面积
A． 22 B． 24 C．2 D．4
7．（ 2013 江西） 2 2 22
1 2 31 1 1
1xS xdxS dxS edxx     1 2 3SSS 关系
A． 1 2 3SSS B． 213SSS C． 2 3 1SSS D． 3 2 1SSS
8．（ 2012 福建）图示边长 1 正方形OABC 中取点 P点 恰取阴
影部分概率

A． 1
4 B． 1
5
C． 1
6 D． 1
7
9．（ 2011 新课标）曲线 yx 直线 2yx y 轴围成图形面积
A．10
3 B．4 C．16
3 D．6
10．（ 2011 福建） 1
0
( 2 )xe x dx 等
A．1 B． 1e C．e D． 1e
11．（ 2010 湖南） 4
2
1dxx 等
A． 2ln 2 B． 2ln 2 C． ln 2 D．ln 2
12．（ 2010 新课标）曲线 3y 2 1xx   点(10) 处切线方程
A． 1yx B． 1yx   C． 22yx D． 22yx  
13．（ 2010 辽宁）已知点 P 曲线 y 4
1xe 
 曲线点 处切线倾斜角
取值范围
A．[0
4
 ) B．[)42
 C． 3(]24
 D． 3[)4
 
二填空题
14．(2018 全国卷Ⅱ)曲线 2ln( 1)yx点(0 0) 处切线方程__________．
15．(2018 全国卷Ⅲ)曲线 ( 1) xy ax e点(01) 处切线斜率 2 a ____．
16．(2016 年全国Ⅱ)直线 y kx b曲线 ln 2yx切线曲线 ln( 1)yx
切线b  ．
17．(2016 年全国Ⅲ) 已知 ()fx偶函数 0x  时 ( ) ln( ) 3f x x x   曲线
()y f x 点(1 3) 处切线方程_________．
18．（ 2015 湖南） 2
0
( 1)x dx ．
19．（2015 陕西）设曲线 xye 点（01）处切线曲线 1 ( 0)yxx点 P 处切线
垂直 坐标 ．
20．（ 2015 福建）图点 A 坐标 10 点C 坐标 24 函数   2f x x
矩形 ABCD机取点点取阴影部分概率等 ．

（第 15 题） （第 17 题）
21．（ 2014 广东）曲线 25   xey 点 )30( 处切线方程 ．
22．（ 2014 福建）图边长e （ 然数底数）正方形中机撒粒黄豆
落阴影部分概率______．
23．（ 2014 江苏）面直角坐标系 xOy 中曲线
x
baxy  2 (ab 常数)点 )52( P
该曲线点 P 处切线直线 0327  yx 行 ba  值 ．
24．（ 2014 安徽）直线l 曲线C 满足列两条件：
)(i 直线 点  00 yxP 处曲线 相切 )(ii 曲线 P 附位直线l 两侧称
直线 点 处切曲线C．列命题正确_________(写出正确命题
编号)
①直线 0 yl 点  00P 处切曲线C： 3yx
②直线 1 xl 点  01P 处切曲线 ： 2)1(  xy
③直线 xyl  点 处切曲线 ： xy sin
④直线 点 处切曲线 ： xy tan
⑤直线 1  xyl 点  01P 处切曲线 ： xy ln ．
25．（ 2013 江西）曲线 1yx（R  ）点(12) 处切线坐标原点 ．
26．(2013 湖南) 2
0
9T
x dx T 常数 值 ．
27．（ 2013 福建） 1x R x时表达式 2 11 1
nx x x x      
两边时积分：
1 1 1 1 1
22 2 2 2 2
0 0 0 0 0
11 1
ndx xdx x dx x dx dxx          
等式： 2 3 11 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ln 22 2 2 3 2 1 2
n
n
         
请根材料蕴含数学思想方法计算：
0 1 2 2 3 11 1 1 1 1 1 1()()()2 2 2 3 2 1 2
nn
n n n nCCCCn
      ．
28．（ 2012 江西）计算定积分
1 2
1
( sin )x x dx
 ___________．
29．（ 2012 山东）设 0a 曲线 xy  直线 0  yax 围成封闭图形面积 2a
a ．
30．（ 2012 新课标）曲线 (3ln 1)y x x点(11) 处切线方程________．
31．（ 2011 陕西）设 2
0
lg 0
()
30a
xx
fx
x t dt x
    „
( (1)) 1ff  a  ．
32．（ 2010 新课标）设 ()y f x 区间[01] 连续函数恒 0 ( ) 1fx
机模拟方法似计算积分 1
0
()f x dx 先产生两组（组 N ）区间 均匀
机数 12 Nx x x… 12 Ny y y… N 点 ( )( 12 )iix y i N …数出中
满足 ( )( 12 )iiy f x i N… 点数 1N机模拟方案积分
似值 ．
33．（ 2010 江苏）函数 2yx ( 0x  )图点 2()kkaa 处切线 x 轴交点横坐标
1ka  中 *kN 1 16a  1 3 5a a a ．
三解答题
34．（ 2017 北京）已知函数 ( ) cosxf x e x x．
（Ⅰ）求曲线 ()y f x 点(0 (0))f 处切线方程
（Ⅱ）求函数 ()fx区间[0 ]2
 值值．
35．(2016 年北京)设函数 () axf x xe bx曲线 ()y f x 点(2 (2))f 处切线方程
( 1) 4y e x  
（I）求 a b 值
（II）求 ()fx单调区间
36．（2015 重庆）设函数
23()()ex
x axf x a R．
（Ⅰ） ()fx 0x  处取极值确定 a 值求时曲线 ()y f x 点 (1 (1))f
处切线方程
（Ⅱ） [3 ) 减函数求 取值范围．
37．（ 2015 新课标Ⅰ）已知函数 3 1() 4f x x ax   ( ) lng x x ．
（Ⅰ） a 值时 x 轴曲线 ()y f x 切线
（Ⅱ） min  mn 表示 m n 中值设函数  ( ) min ( ) ( )h x f x g x
( 0)x  讨 ()hx 零点数．
38．(2014 新课标Ⅰ)设函数
1
( ) ln
x
x bef x ae x x

曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线
( 1) 2y e x   ．
(Ⅰ)求 ab
（Ⅱ）证明： ( ) 1fx ．
39．（ 2013 新课标Ⅱ）已知函数    lnxf x e x m  
(Ι)设 0x   fx极值点求 m 讨 单调性
（Ⅱ） 2m  时证明   0fx ．
40．（2012 辽宁）设      ln +1 + +1+ + fx x x axbabRab 常数 曲线  y f x
直线 3 2yx 00 点相切．
（1）求 ab值
（2）证明：0< <2x 时   9< +6
xfx x
．
41．（ 2010 福建）（1）已知函数 3( )f x x x 图象记曲线C．
（i）求函数 ()fx单调区间
（ii）证明：意非零实数 1x 曲线 C 点 1 1 1( ( ))P x f x 处切线交
点 2 2 2( ( ))P x f x 曲线 C 点 处切线交点 3 3 3( ( ))P x f x
线段 1 2 2 3PPPP 曲线C 围成封闭图形面积分记 1 2SS 1
2
S
S
定值
（2）般三次函数 32()g x ax bx cx d    ( 0)a  请出类似（1）（ ii）
正确命题予证明．
专题三 导数应
第七讲 导数意义定积分微积分基定理
答案部分
2019 年
1解析： 23exy x x（） 2＇ 3e 3 1xy x x  （）
0x  时 ＇3y  点 00（）处切线斜率 3k 
 00y  切线方程  0 3 0yx   3yx ．
2解析 e lnxy a x x 导数 ＇ e ln 1xy a x  
函数 e lnxy a x x 点(1 e)a 处切线方程 2y x b
e 0 1 2a    解 1ea 
切点(11) 12b 1b  ．选 D．

20102018 年

1．D解析通解 函数 32( ) ( 1)   f x x a x ax 奇函数 ()()  f x f x
3 2 3 2()(1)() () [ (1) ] x a x a x x a x ax 22( 1) 0ax
Rx 1a 3()f x x x 2( ) 3 1 f x x (0) 1 f
曲线 ()y f x 点(00) 处切线方程 yx．选 D．
优解 函数 奇函数 ( 1) (1) 0  ff
1 1 (1 1 ) 0        a a a a 解
曲线 点 处切线方程
．选 D．
优解二 易知 3 2 2( ) ( 1) [ ( 1) ]       fxx a xaxxx a xa ()fx奇函数
函数 2( ) ( 1)   g x x a x a 偶函数 10a 解 1a
3()f x x x 2( ) 3 1 f x x (0) 1 f 曲线 ()y f x 点 (00)
处切线方程 yx．选 D．
2．A解析妨设 1 1 1( ln )P x x 2 2 2( ln )P x x 12ll
12
11( ) 1xx   
1
2
1x x ．切线 1l ： 11
1
1ln ( )y x x xx   2 2 2
2
1 ln ( )l y x x xx   
1(0ln 1)Ax 1(01 ln )Bx | | 2AB  联立
11
1
22
2
1ln ( )
1ln ( )
y x x xx
y x x xx
   
    

解
1
1
2
1Px
x x



1
1
122 12PAB PSx
x x
    

1 1x  1
1
1 2x x
PABS 取值范围(01) 选 A．
3．A解析设函数 ()y f x 图象两点 11()P x y 22()Q x y 导数意义
知点 PQ 处切线斜率分 11()k f x 22()k f x 函数具 T 性质
12kk 1()fx 2()fx 1． A 选项 ( ) cosf x x  显然 12cos cosxx 1
数组解该函数具 T 性质 B 选项 1( ) ( 0)f x xx
 显然

12
11
xx 1 解该函数具 T 性质 C 选项 () xf x e  >0
显然 12xxee 1 解该函数具 T 性质 D 选项
2( ) 3f x x  ≥0显然 22
1233xx 1 解该函数具 T 性质．选 A．
4．C 解析 取满足题意函数 ( ) 2 1f x x取 3
2k 1 2 1()()33ffk
21
3 k<排 A．取 11
10k

11
11 10( ) ( ) (10) 19 1111 11111110 10
kf f fkk >
排 D取满足题
意函数 ( ) 10 1f x x取 2k 1 1 1 1( ) ( ) 4 12 2 1 1ffkk >
排 B
结定错误 C．
5．D解析 1
1yax
 
题意 0|2xy   3a  ．
6．D解析 3 4xx 0x  2x  2x  （舍）直线 xy 4 曲线 3yx
第象限围成封闭图形面积 2 3 2 4 2
00
1(4 ) (2 ) | 44S x x dx x x     ．
7．B解析
32 2
1 1
2 7
133
xS x dx   2
2 1
21 ln ln 21S dx xx  
2 2
3 1
2
1
xxS e dx e e e    ．显然 213SSS选 B．
8．C解析∵
31 22
0
12 1 1)() 03 2 6S x x dx x x   阴影 （正方形面积 1
∴ P 1
6
．
9．C解析定积分求解
34 242
00
2 1 16( 2) ( 2 )3 2 3x x dx x x x      选 C
10．C解析 1
0
( 2 )xe x dx 21
0()xe x e   选 C．
11．D解析∵ 1(ln )x x
  ∴ 4
2
1dxx
4ln ln 4 ln 2 ln 22x ．
12．A解析点 (10)处切线斜率 k 2
1 3 1 2 1xky     点斜式切线
方程 A．
13．D解析 ＇
2
441( 1) 2
x
x x x
ey e e e
     
tan  ≥－1 3
4
 ．
14． 2yx解析∵ 2ln( 1)yx∴ 2
1y x
  
． 0x  时 2y 
∴曲线 点(00) 处切线方程 0 2( 0)yx   ．
15． 3 解析 ( 1 ) xy ax a e    曲线点 (01) 处切线斜率 2
00( 1 ) 1 2x
xxy ax a e a        3a  ．
16．1 ln 2 解析设 y kx b ln 2yx ln( 1)yx切点分 11( ln 2)xx
22( ln( 1))xx ．
切线分 11
1
1ln 2 ( )y x x xx    22
2
1ln( 1) ( )1y x x xx   

化简 1
1
1 ln 1y x xx      2
2
22
1 ln 111
xy x xxx   

题意
 
12
2
12
2
11
1
ln 1 ln 1 1
xx
xxxx
  
     
解 1
1
2x 
1ln 1 1 ln2bx    ．
17． 21yx   解析题意 0x  时( ) ln 3f x x x 1( ) 3fx x
 
(1) 2f   点(1 3) 处切线方程 3 2( 1)yx    21yx   ．
18．0解析 2 2
0
21( 1) ( ) 002x dx x x    ．
19．(11) 解析 xye xye  曲线 点 01 处切线斜率
0
101xk y e   设  坐标 00xy（ 0 0x  ） 0
0
1y x 1y x
2
1y x
  曲线 1y x 点 P 处切线斜率
02 2
0
1
xxky x  
12 1kk   2
0
1 1x   2
0 1x  解 0 1x  0 1x 
0 1y  坐标 11 答案应填： ．
20． 5
12
解析已知阴影部分面积 2 2
1
754433x dx    ．点取阴影部分
概率等
5
53
4 12 ．
21． 53yx   解析 55 xye  点(03)处切线斜率 5
切线方程 3 5( 0)yx    53yx   ．
22． 2
2
e
解析根称性两阴影部分面积相等
∴ 1 1
00
2( ) 2 2 | 2xxS e e dx e e   阴 概型概率计算公式
求概率 2
2S
Se
阴
正
．
23．－3解析题意 54 2
ba   ① 2( ) 2 bf x ax x
 点 )52( P 切
线斜率 74 42
ba    ②①②解 1 2ab    3ab   ．
24．①③④解析 ① 2
03 | 0xy x y  0ly 曲线 3C y x 点 (00)P
处切线画图知曲线 点 附位直线l 两侧①正确
② 12( 1) | 0xy x y    1lx 曲线C： 2)1(  xy 点  01P
处切线②错误③ 0cos | 1xy x y 点  00P 处切线 xyl 
画图知曲线 ： xy sin 点 附位直线l 两侧③正确④
2
1
cosy x
  0 2
1|1cos 0xy  点 处切线 画图知曲线 ：
xy tan 点 附位直线 两侧④正确⑤ 1y x
  1|1xy  
点  01P 处切线 1  xyl 令 ( ) 1 ln ( 0)h x x x x   
11( ) 1 xhx xx
    min( ) (1) 0h x h 1 lnxx ≥
知曲线 ： xy ln 点 附位直线l 侧⑤错误．
25．2解析 1yx   k  切线方程 yx 点(12) 解 2  ．
26．3解析 3933
3
0
3
0
2  TTxdxx
T
T．
27． 113[( ) 1]12
n
n
 
解析

0 1 2 21 (1 )n n n
n n n nC C x C x C x x      
两边时积分：
1 1 1 1 1
22 2 2 2 2
0 0 0 0 0
1 (1 ) nn
n n n nC dx C xdx C x dx C x dx x dx          
等式：
0 1 2 2 3 11 1 1 1 1 1 1()()()2 2 2 3 2 1 2
nn
n n n nCCCCn
      113[( ) 1]12
n
n
 
．
28． 2
3
解析
31 21
11
11( sin ) cos | cos1 cos13 3 3
xx x dx x 
                
1 1 2
3 3 3   ．
29． 9
4
解析 aaxdxxS aa
  2
3
0
2
3
0 3
2
3
2 解
4
9a ．
30． 43yx解析∵ 3ln 4yx ∴切线斜率 4切线方程：4 3 0xy  
31．1解析 10x  (1) lg1 0f  23
0
( ) 3a
f x x t dt x a   
3(0)fa 3 1a  1a  ．
32． 1N
N
解析题意知
1
01
()
1
f x dxN
N   1 1
0
() Nf x dx N 积分 1
0
()f x dx 似
值 1N
N
．
33．21解析点 2()kkaa 处切线方程： 2 2 ( )k k ky a a x a   0y  时
解
2
kax  1 1 3 5 16 4 1 212
k
k
aa a a a        ．
34．解析（Ⅰ） ( ) e cosxf x x x ( ) e (cos sin ) 1 (0) 0xf x x x f    ．
(0) 1f  曲线 ()y f x 点(0 (0))f 处切线方程 1y  ．
（Ⅱ）设 ( ) e (cos sin ) 1xh x x x  
( ) e (cos sin sin cos ) 2e sinxxh x x x x x x       ．
π(0 )2x 时( ) 0hx 
()hx 区间 π[0 ]2
单调递减．
意 π(0 ]2x ( ) (0) 0h x h ( ) 0fx  ．
函数 ()fx区间 单调递减．
区间 值 (0) 1f  值 π π()22f  ．
35．解析（I）( ) eaxf x x bx∴ ( ) e e (1 )ea x a x a xf x x b x b        
∵曲线 ()y f x 点 (2 (2))f 处切线方程 (e 1) 4yx  
∴ (2) 2(e 1) 4f    (2) e 1f  
2(2) 2e 2 2(e 1) 4afb     ①
2(2) (1 2)e e 1afb      ②
①②解： 2a  eb 
（II）（I）知： 2( ) e exf x x x 2( ) (1 )e exf x x    
令 2( ) (1 )e xg x x  ∴ 2 2 2( ) e (1 )e ( 2)ex x xg x x x        
x  2 2  2
()gx  0 
()gx 极值
∴ ()gx值 22(2) (1 2)e 1g    
∴ ()fx 值 (2) (2) e e 1 0fg      ．
( ) 0fx  xR 恒成立．
∴ ()fx   单调递增减区间．
36．解析（Ⅰ） ()fx求导
22
2
(6 ) (3 ) 3 (6 )＇( ) ()
xx
xx
xae xaxe x axafx ee
      
0x  处取极值 ＇(0) 0f  0a  ．
时
223 3 6 ＇( ) xx
x x xfxee
 33(1) ＇(1) ffee 点
（1(1)f ）处切线方程 33( 1)yxee   化简30x ey．
（Ⅱ）（Ⅰ）知
23 (6 )＇( ) x
x a x afx e
    ．
令 2( ) 3 (6 )g x x a x a    
( ) 0gx 解
2
1
6 36
6
aax   
2
2
6 36
6
aax    ．
1xx 时 ( ) 0gx ＇( ) 0fx 减函数
12x x x 时 ( ) 0gx ＇( ) 0fx 增函数
2xx 时 ( ) 0gx ＇( ) 0fx ()fx减函数
 3  减函数知
2
2
6 36 36
aax   解 9 2a 
a 取值范围 9 2
 
．
37．解析（Ⅰ）设曲线 ()y f x x 轴相切点 0( 0)x 0( ) 0fx  0( ) 0fx 

3
00
2
0
1 04
30
x ax
xa
   
 
解 0
1324xa   ．
3
4a  时 x 轴曲线 切线．
（Ⅱ） (1 )x   时 ( ) ln 0g x x   ( ) min{ ( ) ( )} ( ) 0h x f x g x g x≤
∴ ()hx (1 ) 零点．
1 时 5
4a ≥ 5(1) 04fa≥ (1) min{ (1) (1)} (1) 0h f g g  
1 零点 5
4a  5(1) 04fa  
(1) min{ (1) (1)} (1) 0h f g f   1 零点．
(01)x 时 ( ) ln 0g x x   需考虑 ()fx (01) 零点数．
(ⅰ) 3a ≤ 0a≥ 2( ) 3f x x a  零点 单调
1(0) 4f  5(1) 4fa 3a ≤ 时 零点
a≥0 时 零点
(ⅱ) 30a   （0
3
a ）单调递减（ 1）单调递增
时 取值值 ()3
af  21
3 3 4
aa．
① ＞0 3
4 ＜ a ＜0 零点．
② ()3
af  0 3
4a  ()fx (01) 唯零点
③ ＜0 33 4a    1(0) 4f  5(1) 4fa
53
44a    时 两零点
53 4a    时 零点．
综 3
4a  5
4a  时 ()hx 零点
3
4a  5
4a  时 两零点 53
44a    时 三零点．
38．解析(1)函数 ()fx定义域(0 ) 11
2( ) lnx x x xa b bf x ae x e e ex x x
    ．
题意 (1) 2f  (1)fe  ． 1 2ab
(2)(1)知 12( ) lnxxf x e x ex
 ( ) 1fx 等价 2ln xx x xe e
．
设函数 ( ) 1g x x nx ＇( ) 1g x nx ．
1(0 )x e 时 ( ) 0gx  1()x e  时 ( ) 0gx  ．
()gx 1(0 )e
单调递减 1()e  单调递增
子啊(0 ) 值 11()g ee ．
设函数 2() xh x xe e
 ＇( ) (1 )xh x e x．
(01)x 时 ( ) 0hx  (1 )x  时 ( ) 0hx  ()hx (01) 单调递增
(1 ) 单调递减 ()hx 值 1(1)h e ．
39．解析(Ι) ＇ 1() xf x e xm x0  fx极值点 ＇ 1(0) 1 0f m  
解 1m  函数 xe ln(x+1)定义域( 1 ) 
＇ 1() 1
xf x e x ( 1) 1
1
xex
x



设 ( ) ( 1) 1xg x e x   ＇( ) ( 1) 0xxg x e x e    ()gx 增函
数 (0) 0g  0x  时 ( ) 0gx ＇( ) 0fx
10x   时 ( ) 0gx ＇( ) 0fx ()fx ( 10) 减函数(0 )
增函数．
（Ⅱ） 2m   x   时    ln ln 2x m x  
需证明 2m  时   0fx ．
2m  时函数   1
2
xf x e x
 
 2  单调递增．
   1 0 0 0ff     0fx  唯实根 0x  0 10x  ．
 02xx 时   0fx   0xx  时   0fx  0xx 时
 fx取值．  0 0fx   0
00
0
1 ln 22
xe x xx   

     2
0
00
00
11 022
xf x f x xxx
    
综 2m  时   0fx ．
40．解析（1）  y f x 图 00 点代入 1b 
处切线斜率 3
2
0
0
1 1 3＇ + + ++1 22 +1x
x
y a ax x



0a  ．
(2)(证法)均值等式 >0x 时  2 +1 1< +1+1 +2x x x +1< +12
xx ．
记     9+6
xh x f x x

           2 2 2
1 1 54 2++1 54 +6 54＇ + < +1 2 +1 4 +12 +1 +6 +6 +6
xxhx x x xx x x x

   
  
3
2
+6 216 +1
4 +1 +6
xx
xx

令      3 +6 216 +1g x x x 0< <2x 时    2＇ 3 +6 216<0g x x
 gx 02 减函数  0 0g  <0gx  ＇ <0hx
 hx 减函数  0 0h  <0hx
0< <2x 时   9< +6
xfx x
．
（证法二）（1）知    ln +1 + +11f x x x 均值等式
>0x 时  2 +1 1< +1+1 +2x x x +1< +12
xx
令    ln +1 k x x x     100＇ 1 <0+1 +1
xk k x xx
 <0kx
 ln +1 0x 时   3< 2f x x 记       +6 9h x x f x x
时
         3 1 1＇ + +6 ＇ 9< + +6 + 92 +1 2 +1
h x f x x f x x x x x



1 [3 ( 1) ( 6)(2 1) 18( 1)]2( 1) x x x x xx       
1 [3 ( 1) ( 6)(3 ) 18( 1)]2( 1) 2
xx x x xx      
    7 18 <04 +1
x xx
．
 hx 02 减函数  0 0h  <0hx ．
41．解析（1）（ i） 3( )f x x x 2( )3 1f x x  333( )( )33x x+
3()3x    3
3 （）时 ( )>0fx
3(3x 3 )3
时 ( )<0fx
()fx单调递增区间 3()3  
单调递减区间 3(3 ．
（ii）曲线 C 点 1P 处切线方程 23
1 1 1 1(3 1)( )+ y x x x x x  
23
11y(3 1) 2 x x x
23
11
3
(3 1) 2

y x x x
y x x
    
3 xx 23
11(3 1) 2x x x
2
11( ) +2 )0x x x x （解 1 1 2 1 2 2x x x x x x    进
1
1
2 3 2 3 4
1 1 1 1
27( 3 +2 ) 4
x
x
S x x x x dx x
 2x 代 1x 重复述计算程
322xx 4
22
27 4Sx 2120xx   4
21
27 16 04Sx 
1
2
116
S
S
．
（Ⅱ）记函数 32()g x ax bx cx d    ( 0)a  图象曲线 C 类似（Ⅰ）（ii）
正确命题：意等式
3
b
a 实数 1x 曲线 C 点 1 1 1( ( ))P x g x 处切
线交点 2 2 2( ( ))P x g x 曲线 C 点 处切线交点
3 3 3( ( ))P x g x 线段 1 2 2 3PPPP 曲线C 围成封闭图形面积分记 1 2SS 1
2
S
S

定值．
证明：
移变换改变面积曲线 ( )y g x 称中心 (3
b ga())3
b
a
移坐标原点妨设 3( ) ( 0)g x ax hx x   类似（i）（ ii）计算
4
11
27 4Sx 4
21
27 16 04Sx  1
2
116
S
S
．

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