专题四 三角函数解三角形
第九讲 三角函数概念诱导公式三角恒等变换
2019 年
1（2019 北京 9）函数 f (x) sin2 2x 正周期 ________
2（2019 全国Ⅲ理 12）设函数  fxsin（
5x  ）( ＞0)已知  fx 02 仅
5 零点述四结：
①  fx（02 ）仅 3 极值点
②  fx（02 ）仅 2 极值点
③  fx（010
 ）单调递增
④ 取值范围[12 29
5 10
)
中正确结编号
A． ①④ B． ②③ C． ①②③ D． ①③④
3（2019 天津理 7）已知函数 ( ) sin( )( 0 0| | )f x A x A         奇函数
 y f x 图点横坐标伸长原 2 倍（坐标变）图应函
数  gx  gx正周期 2π π 24g 
3π
8f 

A 2 B 2 C 2 D 2
4（2019 全国Ⅱ理 10）已知 α∈(0
2
 )2sin 2αcos 2α+1 sin α
A． 1
5
B．
5
5
C．
3
3 D． 2
5
5
5（2019 江苏 13）已知
tan 2
π 3tan 4



πsin 2 4
值_________
6（2019 浙江 18）设函数 ( ) sin f x x xR
（1）已知 [02 ) 函数 ()fx  偶函数求 值
（2）求函数 22[ ( )] [ ( )]12 4y f x f x    值域

20102018 年
选择题
1．(2018 全国卷Ⅲ) 1sin 3  cos2 
A． 8
9 B． 7
9 C． 7
9 D． 8
9
2．（ 2016 年全国 III） 3tan 4  2cos 2sin 2
A． 64
25 B． 48
25 C．1 D． 16
25
3．（ 2016 年全国 II） 3cos( )45
 sin 2  （ ）
A． 7
25 B． 1
5 C． 1
5 D． 7
25
4．（ 2015 新课标Ⅰ）sin 20 cos10 cos160 sin10
A． 3
2 B． 3
2 C． 1
2 D． 1
2
5．（ 2015 重庆） tan 2tan 5
 
3cos( )10
sin( )5




＝
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（ 2014 新课标Ⅰ） 0tan 
A． 0sin  B． 0cos  C． 02sin  D． 02cos 
7．（ 2014 新课标Ⅰ）设 (0 )2
  (0 )2
  1 sintan cos
 

A．3 2
 B． 2 2
 C．3 2
 D． 2 2

8．（ 2014 江西） ABC 中角 ABC 应边分 cba 32ab
22
2
2sin sin
sin
BA
A
 值（ ）
A． 1
9 B． 1
3 C．1 D． 7
2
9．(2013 新课标Ⅱ)已知 2sin 2 3  2cos ( )4
 （ ）
A． 1
6 B． 1
3 C． 1
2 D． 2
3
10．（ 2013 浙江）已知
2
10cos2sin   R 2tan
A．
3
4 B．
4
3 C．
4
3 D．
3
4
11．（ 2012 山东） 


 24

8
732sin  sin
A．
5
3 B．
5
4 C．
4
7 D．
4
3
12．(2012 江西) sin cos 1
sin cos 2


 
tan2α
A．− 3
4 B． C．− 4
3 D．
13．（ 2011 新课标）已知角 顶点原点重合始边 x 轴正半轴重合终边直线
2yx cos2
A． 4
5 B． 3
5 C． 3
5 D． 4
5
14．（ 2011 浙江）0 2
＜ ＜ 02
  ＜ ＜ 1cos( )43
  3cos( )4 2 3

cos( )2
 
A． 3
3 B． 3
3 C． 53
9 D． 6
9
15．（ 2010 新课标） 4cos 5   第三象限角
1 tan 2
1 tan 2






A． 1
2 B． 1
2 C．2 D．2
二填空题
16．(2018 全国卷Ⅰ)已知函数 ( ) 2sin sin 2f x x x ()fx值_____．
17．(2018 全国卷Ⅱ)已知sin cos 1α β cos sin 0α β sin( )α β ___．
18．（2017 新课标Ⅱ）函数 2 3( ) sin 3 cos 4f x x x   ( [0 ])2x  值 ．
19．（2017 北京）面直角坐标系 xOy 中角 角  均Ox 始边终边关
y 轴称． 1sin 3  cos( ) ___________．
20．（ 2017 江苏） 1tan( )46
  tan ．
21．（ 2015 四川）   75sin15sin ．
22．（ 2015 江苏）已知 tan 2    1tan 7 tan  值_______．
23．（ 2014 新课标Ⅱ）函数      sin 2 2sin cosf x x x      值____．
24．（ 2013 新课标Ⅱ）设 第二象限角 1tan 42

sin cos ___．
25．（ 2013 四川）设sin 2 sin ()2
 tan 2 值_____．
26．（2012 江苏）设 锐角 4cos 65 
sin 2 12 
值 ．
三解答题
27．（2018 江苏）已知 锐角 4tan 3  5cos( ) 5   ．
(1)求 cos2 值
(2)求 tan( ) 值．
28．（2018 浙江）已知角 顶点原点O 重合始边 x 轴非负半轴重合终边
点 34()55P ．
(1)求sin( ) 值
(2)角  满足 5sin( ) 13求cos 值．
29．（ 2017 浙江）已知函数 22( ) sin cos 2 3sin cosf x x x x x   ()xR．
（Ⅰ）求 2()3f  值
（Ⅱ）求 ()fx正周期单调递增区间．
30．(2014 江苏)已知 )2(  
5
5sin  ．
(1)求 )4sin(   值
(2)求 )26
5cos(   值．
31．（ 2014 江西）已知函数       xxaxf 2coscos2 2 奇函数 04 



f
中   0Ra ．
（1）求 a 值
（2） 







 
25
2
4f 求 



  3sin  值．
32．（ 2013 广东）已知函数 ( ) 2 cos 12f x x x R  
．
(1) 求
3f 

值
(2) 33cos 252
  
求
6f 
．
33．（ 2013 北京）已知函数 2 1( ) (2cos 1)sin 2 cos42f x x x x  
（1）求 ()fx正周期值
（2） ()2
 2() 2f   求 值．
34．（ 2012 广东）已知函数 ( ) 2cos( )6f x x （中 0  xR ）正周期
10 ．
(1)求 值
(2)设 [0 ]2
 56(5 )35f    5 16(5 )6 17f 求 cos( ) 值．

专题四 三角函数解三角形
第九讲 三角函数概念诱导公式三角恒等变换
答案部分
2019 年
1解析： 2 1 cos4 1 1sin 2 cos42 2 2
xf x x x   （）（）
fx（）正周期 2π π
42T ．
2解析 [02 ]x时 25 5 5x     

 fx[02 ] 仅 5 零点5 2 65     „
12 29
5 10 „④正确
选项知需判断③否正确答案
面判断③否正确
(0 )10x  时 ( 2)5 5 10x     

 fx 010


单调递增
( 2)
10 2
    3  ③正确．
选 D．
3解析  fx奇函数 0    sinf x A x
 y f x 图点横坐标伸长原 2 倍（坐标变）图应
函数  gx   1sin 2g x A x 

 gx正周期 2 2 21
2
  2 
  sing x A x   sin 2f x A x
24g 
2sin 24 4 2g A A  
2A 
  2sin 2f x x 3 3 22sin 2 2sin 2 28 8 4 2f                 

选 C．
4解析： 2sin 2 cos2 1 24sin cos 2cos  
π0 2 
cos 2sin
22
cos 2sin
sin cos 1



 
5sin 5  选 B
5解析 tan 2
3tan( )4



tan 2
3tan tan 4
1 tan tan 4






tan (1 tan ) 2
1 tan 3


 
解 tan 2  1tan 3  ．
tan 2  时 2
2tan 4sin2 1 tan 5
 

2
2
1 tan 3cos2 1 tan 5
 
  

4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin4 4 4 5 2 5 2 10           
1tan 3  时 2
2tan 3sin2 1 tan 5
   

2
2
1 tan 4cos2 1 tan 5
 


3 2 4 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin4 4 4 5 2 5 2 10            
综sin(2 )4  值 2
10
．

6 解 析 （ 1 ） ( ) sin( )f x x   偶函数意实数 x
sin( ) sin( )xx   
sin cos cos sin sin cos cos sinx x x x      
2sin cos 0x  
cos 0  ．
[02π)  π
2  3π
2
．
（2）
22
22π π π πsin sin12 4 12 4y f x f x x x                                     

π π1 cos 2 1 cos 2 1 3 3621 cos 2 sin 22 2 2 2 2
xx
xx
                 

3 π1 cos 223x  
．
函数值域 33[1 1 ]22．

20102018 年

1．B解析 2217cos2 1 2cos 1 2 ( )39      ．选 B．
2．A解析 sin 3tan cos 4
  22cos sin 1 3sin 5  4cos 5 
3sin 5  4cos 5  24sin2 2sin cos 25  
2 16 48 64cos 2sin2 25 25 25    选 A．
3．D解析 23cos (sin cos )4 2 5
      
32sin cos 5
181 sin 2 25 7sin 2 25  选 D．
4．D解析原式 1sin 20 cos10 cos20 sin10 sin(20 10 ) sin30 2     ．
5．C 解析
3cos( )10
sin( )5





33cos cos sin sin10 10
sin cos cos sin55




33cos tan sin10 10
tan cos sin55






33cos 2 tan sin10 5 10
2 tan cos sin5 5 5
  
  



33cos cos 2sin sin5 10 5 10
sin cos55
   



＝
1 5 5(cos cos ) (cos cos )2 10 10 10 10
12sin25
   

   3cos10 3
cos10

选 C．
6．C解析 tan 0  知 终边第象限第三象限时sin cos 号
sin 2 2sin cos 0  选 C．
7．B解析条件 sin 1 sin
cos cos


 sin cos cos (1 sin )   
sin( ) cos sin( )2
      
22
    0 22
  

2
     2 2
．
8．D解析
22
2
2sin sin
sin
BA
A
 22sin2( ) 1 2( ) 1sin
Bb
Aa   ∵32ab ∴式 7
2
．
9．A解析 2
1 cos 2( ) 1 cos(2 ) 1 sin 242cos ( )4 2 2 2

       
2
211 sin 2 13cos ( )4 2 2 6

    选 A
10．C解析 2210(sin 2cos ) ( )2
22
22
sin 4cos 4sin cos 10
sin cos 4
   

 

进步整理 23tan 8tan 3 0   解 tan 3  1tan 3 
2
2tan 3tan 2 1 tan 4
   
．
11．D解析
42
 
]2[2  
8
12sin12cos 2  
4
3
2
2cos1sin   答案应选 D．
解： 37sin 2 8 sin cos 1 sin     
37 1667 9677 731 8 16 16 4 4
      
42
 
时
 cossin  结合选项
4
7cos4
3sin   ．
12．B解析分子分母 cos ： sin cos tan 1 1 sin cos tan 1 2
  
  

∴ tan 3 
∴ 2
2tan 3tan 2 1 tan 4
 
13．B解析角 终边直线 2yx tan 2 
2 2 2
22
2 2 2
cos sin 1 tan 3cos2 cos sin cos sin 1 tan 5
       
     
．
14．C解析cos( ) cos[( ) ( )]2 4 4 2
        cos( )cos( )4 4 2
    
sin( )sin( )4 4 2
     3()4 4 4
   ()4 2 4 2
   
22sin( )43
  6sin( )4 2 3

1 3 2 2 6 5 3cos( )2 3 3 3 3 9
       ．
15．A解析 ∵ 4cos 5   第三象限∴ 3sin 5 
∴
1 tan 2
1 tan 2





2cos sin (cos sin )2 2 2 2
cos sin (cos sin )(cos sin )2 2 2 2 2 2
   
     


  

22
1 sin 1 sin 1
cos 2cos sin22

 
   

．
16． 33
2 解析解法 ( ) 2sin sin 2f x x x
2 1( ) 2cos 2cos2 4cos 2cos 2 4(cos )(cos 1)2
        f x x x x x x x
( ) 0 ≥fx 1 cos 12
≤ ≤x 2233
≤ ≤k x k
( ) 0 ≤fx 11 cos 2 ≤ ≤x 223
  ≤ ≤k x k
223
  ≤ ≤k x k Zk
2 3
xk （）时()fx取值
min
33( ) (2 ) 2sin(2 ) sin 2(2 )3 3 3 2
           f x f k k k ．
解法二 ( ) 2sin sin 2 2sin (1 cos )   f x x x x x
2 2 2 3[ ( )] 4sin (1 cos ) 4(1 cos )(1 cos )    f x x x x x
44 3(1 cos ) (1 cos ) (1 cos ) (1 cos ) 27[]3 4 4
      ≤ xxxx
仅3(1 cos ) 1 cos  xx 1cos 2x 时取等号
2 270 [ ( )] 4
≤ ≤fx
()fx值 33
2 ．
17． 1
2 解析∵sin cos 1α β cos sin 0α β
∴ 22sin cos 2sin cos 1      ①
22cos sin 2cos sin 0      ②
①②两式相加
2 2 2 2sin cos sin cos 2(sin cos cos sin ) 1            
∴ 1sin( ) 2   ．
18．1解析化简三角函数解析式
  22311 cos 3 cos cos 3 cos44f x x x x x         23(cos ) 12x  
[0 ]2x  cos [01]x 3cos 2x  时函数 ()f x 取值 1．
19． 7
9 解析∵角 角  终边关 y 轴称 2k     
1sin sin(2 ) sin 3k         cos cos
2 2 2cos( ) cos cos sin sin cos sin 2sin 1               
2172 ( ) 139     ．
20． 7
5
解析
tan( ) tan 744tan tan[( ) ]4 4 51 tan( ) tan44
 

    
  
．
21． 6
2
解析 6sin15 sin 75 sin15 cos15 2 sin(15 45 ) 2      ．
22．3解析
1 2tan( ) tan 7tan tan( ) 321 tan( ) tan 1 7
        
      
．
23．1解析 ( ) sin[( ) ] 2sin cos( )f x x x       
sin( )cos cos( )sinxx      
sin( ) sinxx    ．∵ xR ()fx值 1．
24． 10
5 解析∵ 1tan 42

1tan 3  ∴ 12sin cos
10 10
  
sin cos ．
25． 3 解析 sin 2 2sin cos sin      1cos 2  ()2

tan 3  2
2tan 2 3tan 2 31 tan 1 3
 
  
．
26．
50
217 解析  锐角cos( )6
  4
5 ∴sin( 3
5

∴sin2(
25
24)6   cos2( 7)6 25
 
sin(
50
217
25
17
2
2]4)6(2sin[)122   ．
27．解析(1) 4tan 3  sintan cos
  4sin cos3 ．
22sin cos 1 2 9cos 25 
2 7cos2 2cos 1 25    ．
(2) 锐角 (0π) ．
5cos( ) 5   2 25sin( ) 1 cos ( ) 5       
tan( ) 2   ．
4tan 3  2
2tan 24tan 2 1 tan 7
   

tan 2 tan( ) 2tan( ) tan[2 ( )] 1+tan 2 tan( ) 11
         
      
．
28．解析(1)角 终边点 34()55P  4sin 5 
4sin( ) sin 5      ．
(2)角 终边点 3cos 5 
5sin( ) 13 12cos( ) 13   ．
()      cos cos( )cos sin( )sin         
56cos 65  16cos 65  ．
29．解析（Ⅰ） 23sin 32
  21cos 32
 
2()3f  223 1 3 1( ) ( ) 2 3 ( )2 2 2 2      
2( ) 23f   ．
（Ⅱ） 22cos2 cos sinx x xsin 2 2sin cosx x x
( ) cos2 3sin 2 2sin(2 )6f x x x x      
()fx正周期
正弦函数性质
32 2 22 6 2k x k    ≤ ≤ k Z
解 2
63k x k≤ ≤
单调递增区间 2[]63kk()．
30．解析（1）∵   5sin25  ∴ 2 25cos 1 sin 5    
  2 10sin sin cos cos sin (cos sin )4 4 4 2 10            
（2）∵ 2243sin 2 2sin cos cos2 cos sin55          
∴    3 3 1 4 3 3 4cos 2 cos cos2 sin sin 26 6 6 2 5 2 5 10        ．
31．解析（1）      22cos cos 2f x a x x    奇函数 2
1 2cosy a x 偶函
数 2 cos(2 )yx奇函数  0 2
  ．
 fx 2sin 2 2cosx a x  （） 04 



f ( 1) 0a 1a 
（2）（1）：   1 sin 4 2f x x 12sin4 2 5f     
4sin 5 
2

3cos 5 
sin sin cos sin cos3 3 3
       
4 3 3 10

32．解析（1）( ) 2 cos 13 12 4f     
（2） 33cos 52
  <θ<2π
2 94sin 1 cos 1 25 5       
( ) 2 cos( )6 6 12f      

2 cos( ) 2 cos cos 2 sin sin )4 4 4
3 2 4 2 12 2 ( )5 2 5 2 5
       
        

33．解析：（1） 2 1( ) (2cos 1)sin 2 cos42f x x x x  
1cos 2 sin 2 cos 42x x x11sin 4 cos 422xx
2 sin(4 )24x 
正周期 2
42T 
4242xk   ( kZ )
2 16
kx ()时 max
2() 2fx  ．
（2） 22( ) sin(4 )2 4 2f    sin(4 ) 14
 

2
  9 1744 4 4
    
54 42
  9
16
  ．
34．解析（1） 2110 5T      ．
（2） 5 6 3 3 4(5 ) cos( ) sin cos3 5 2 5 5 5f             
5 16 8 15(5 ) cos sin6 17 17 17f        ．
4 8 3 15 13cos( ) cos cos sin sin 5 17 5 17 85              ．


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