专题三 导数应
第八讲 导数综合应
2019 年
1(2019 天津理 8)已知 aR设函数
2 2 2 1()
ln 1
x ax a xfx
x a x x
„ 关 x 等式
( ) 0fx… R 恒成立 a 取值范围
A 01 B 02 C 0e D 1e
2(2019 全国Ⅲ理 20)已知函数 32( ) 2f x x ax b
(1)讨 ()fx单调性
(2)否存 ab ()fx区间[01] 值 1 值 1?存求
出 ab值存说明理
3(2019 浙江 22)已知实数 0a 设函数 ( ) ln 1 0f x a x x x
(1) 3
4a 时求函数 ()fx单调区间
(2)意 2
1[)ex 均 ()2
xfx a 求 a 取值范围
注:e271828…然数底数
4(2019 全国Ⅰ理 20)已知函数 ( ) sin ln(1 )f x x x ()fx ()fx导数.证明:
(1)()fx 区间 ( 1 )2
存唯极值点
(2)()fx仅 2 零点.
5(2019 全国Ⅱ理 20)已知函数 1
1ln
x
f x x x
(1)讨 f(x)单调性证明 f(x)仅两零点
(2)设 x0 f(x)零点证明曲线 yln x 点 A(x0ln x0)处切线曲线 exy
切线
6(2019 江苏 19)设函数 ()( )( )( )fx xaxbxcabc R()f ' x f(x)导函
数.
(1) abcf(4)8求 a 值
(2) a≠bbc f(x) ()f ' x 零点均集合{ 313} 中求 f(x)极值
(3) 00 1 1a b c „ f(x)极值 M求证M≤ 4
27
.
7(2019 北京理 19)已知函数 321() 4f x x x x
(Ⅰ)求曲线 ()y f x 斜率 1 切线方程
(Ⅱ) 24x 时求证: 6x f x x
(III)设 ()F x f x x a a R记 ()Fx区间 24 值 Ma
时求 a 值
8(2019 天津理 20)设函数 ( ) e cos ( )xf x x g x fx导函数
(Ⅰ)求 fx单调区间
(Ⅱ) π π42x
时证明 π( ) ( ) 02f x g x x
…
(Ⅲ)设 nx 函数 ( ) ( ) 1u x f x区间 π π2 2 π42mm
零点中 nN证
明
2
00
π2 2 sin c
e
os
n
nnxxx
20102018 年
选择题
1.( 2017 新课标Ⅱ) 2x 函数 21( ) ( 1) xf x x ax e 极值点
21( ) ( 1) xf x x ax e 极值
A. 1 B. 32e C. 35e D.1
2.( 2017 浙江)函数 ()y f x 导函数 ()y f x 图图示函数 图
x
y
O
O
y
x x
y
O
A. B.
x
y
O x
y
O
C. D.
3.(2016 全国 I) 函数 2 | |2 xy x e[–22]图致
A. B.
C. D.
4.( 2015 四川)果函数 21 2 8 1 0 02f x m x n x m n 区间 1 22
单调递减 mn 值
A.16 B.18 C.25 D. 81
2
5.( 2015 新课标Ⅱ)设函数 ()fx 奇函数 ( )( )f x x R 导函数 ( 1) 0f 0x 时
'( ) ( )xf x f x 0 f (x) 0 成立 x 取值范围
A. 1 01 B. 10 1
C. 1 10 D. 01 1
6.(2015 新课标Ⅰ)设函数 ( ) (2 1)xf x e x ax a 中 1a 存唯整数 0x
0( ) 0fx a 取值范围
A. 3[ 1)2e B. 33[)24e C. 33[)24e D. 3[ 1)2e
7.( 2014 新课标Ⅱ)函数 ( ) lnf x kx x 区间(1 ) 单调递增 k 取值范围
A. 2 B. 1 C. 2 D. 1
8.( 2014 陕西)图修建条公路需段环湖弯曲路段两条直道滑连续(相切)
已知环湖弯曲路段某三次函数图部分该函数解析式
x
y
(千米)
(千米)
湖面
2O
y3x6yx
A. 3211
22y x x x B. 3211322y x x x
C. 31
4y x x D. 3211242y x x x
9.(2014 新课标Ⅱ)设函数 3sin xfx m
.存 fx极值点 0x 满足
222
00x f x m m 取值范围
A. 6 6 B. 4 4
C. 2 2 D. 1 1
10.( 2014 陕西)图某飞行器 4 千米高空水飞行距着陆点 A 水距离 10 千
米处降已知降飞行轨迹某三次函数图部分函数解析式
x
y
A
面跑道
2
2
5
5 O
A. 313
125 5y x x B. 324
125 5y x x
C. 33
125y x x D. 331
125 5y x x
11.( 2014 辽宁) [ 21]x 时等式 324 3 0ax x x 恒成立实数 a 取值范
围
A.[ 5 3] B. 9[ 6 ]8 C.[ 6 2] D.[ 4 3]
12.( 2014 湖南) 1201xx
A. 21
21ln lnxxe e x x B. 21
21ln lnxxe e x x
C. 12
21
xxx e x e D. 12
21
xxx e x e
13.( 2014 江西)直角坐标系中函数 2
2
ay ax x 2 3 22y a x ax x a
()aR 图...
x
y
A
O
x
y
B
O
x
y
C
O
x
y
D
O
14.( 2013 新课标Ⅱ)已知函数 32f x x ax bx c 列结中错误
A. 000x R f x
B.函数 y f x 图中心称图形
C. 0x fx极值点 区间 0 x 单调递减
D. 0x fx极值点 0'0fx
15.( 2013 四川)设函数 ( ) exf x x a ( a R e 然数底数)曲线 xy sin
存点 )( 00 yx 00 ))(( yyff a 取值范围
A. ]e1[ B.]11e[ 1 C. [ 1e1 ] D. [ 1e 1 e 1 ]
16.( 2013 福建)设函数 ()fx定义域 R 00( 0)xx 极值点结
定正确
A. 0()()x R f x f x B. 0x ()fx 极值点
C. ()fx 极值点 D. ()fx极值点
17.( 2012 辽宁)函数 xxy ln2
1 2 单调递减区间
A.(-11] B.(01] C. [1+ ) D.(0+ )
18.( 2012 陕西)设函数 () xf x xe
A. 1x ()fx极值点 B. 极值点
C. 1x 极值点 D. 极值点
19.( 2011 福建) 0a 0b 函数 32( ) 4 2 2f x x ax bx 1x 处极值
ab 值等
A.2 B.3 C.6 D.9
20.( 2011 浙江)设函数 2 fx ax bxcabc R 1x 函数 xf x e
极值点列图象 y f x 图象
A B C D
21.( 2011 湖南)设直线 xt 函数 2()f x x ( ) lng x x 图分交点 MN
MN 达时t 值
A.1 B. 1
2 C. 5
2 D. 2
2
二填空题
22.( 2015 安徽)设 3 0x ax b 中 ab均实数列条件中该三次方程仅
实根 (写出正确条件编号)
① 3 3ab ② 3 2ab ③ 3 2ab ④ 0 2ab
⑤ 1 2ab.
23.( 2015 四川)已知函数 xxf 2)( axxxg 2)((中 Ra ).相等实数
21 xx 设
21
21 )()(
xx
xfxfm
21
21 )()(
xx
xgxgn
现命题:
①意相等实数 0m
②意 a 意相等实数 0n
③意 存相等实数 nm
④意 存相等实数 nm .
中真命题 (写出真命题序号).
24.( 2015 江苏)已知函数 |ln|)( xxf
12|4|
100)( 2 xx
xxg 方程
1|)()(| xgxf 实根数 .
25.( 2011 广东)函数 32( ) 3 1f x x x x ______处取极值.
三解答题
26.(2018 全国卷Ⅰ)已知函数 1( ) lnf x x a xx .
(1)讨 ()fx单调性
(2) ()fx存两极值点 12xx证明: 12
12
()() 2
f x f x axx
.
27.(2018 全国卷Ⅱ)已知函数 2( ) exf x ax .
(1) 1a 证明: 0≥x 时 ( ) 1≥fx
(2) ()fx(0 ) 零点求 a .
28.(2018 全国卷Ⅲ)已知函数 2() (2 )ln(1 )2f x x ax x x .
(1) 0a 证明: 10x 时 ( ) 0fx 0x 时 ( ) 0fx
(2) 0x ()fx极值点求 a .
29.(2018北京)设函数 2( ) [ (4 1) 4 3] xf x ax a x a e .
(1)曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线 x 轴行求 a
(2) ()fx 2x 处取极值求 a 取值范围.
30.(2018 天津)已知函数 () xf x a ( ) logag x x 中 1a .
(1)求函数 ( ) ( ) lnh x f x x a单调区间
(2)曲线 ()y f x 点 11( ( ))x f x 处切线曲线 ()y g x 点 22( ( ))x g x 处切
线行证明 12
2ln ln() ln
ax g x a
(3)证明
1
eea≥ 时存直线l 曲线 切线曲线
切线.
31.(2018 江苏)记 ( ) ( )f x g x分函数 ( ) ( )f x g x 导函数.存 0x R满足
00()()f x g x 00()()f x g x 称 0x 函数 ()fx ()gxS 点.
(1)证明:函数 ()f x x 2( ) 2 2g x x x 存 点
(2)函数 2( ) 1f x ax ( ) lng x x 存 点求实数 a 值
(3)已知函数 2()f x x a e()
xbgx x .意 0a 判断否存 0b 函
数 ()fx ()gx区间(0 ) 存 点说明理.
32.(2018 浙江)已知函数 ( ) lnf x x x.
(1) ()fx 1xx 2x ( 12xx )处导数相等证明: 12( ) ( ) 8 8ln 2f x f x
(2) 3 4ln 2a ≤ 证明:意 0k 直线 y kx a曲线 ()y f x 唯
公点.
33.( 2017 新课标Ⅰ)已知函数 2( ) ( 2)xxf x ae a e x .
(1)讨 ()fx单调性
(2) 两零点求 a 取值范围.
34.( 2017 新课标Ⅱ)已知函数 2( ) lnf x ax ax x x ( ) 0fx≥ .
(1)求 a
(2)证明: ()fx存唯极值点 0x 22
0( ) 2e f x.
35.( 2017 新课标Ⅲ)已知函数 ( ) 1 lnf x x a x .
(1) ( ) 0fx≥ 求 a 值
(2)设 m 整数意正整数 n 2
1 1 1(1 )(1 ) (1 )2 2 2n m 求 m 值.
36.( 2017 浙江)已知函数 ( ) ( 2 1) xf x x x e 1()2x≥ .
(Ⅰ)求 ()fx导函数
(Ⅱ)求 区间 1[)2 取值范围.
37.(2017 江苏)已知函数 32( ) 1f x x ax bx ( 0 )abR 极值导函数 ()fx
极值点 ()fx零点.(极值点指函数取极值时应变量值)
(1)求b 关 a 函数关系式写出定义域
(2)证明: 2 3ba
(3) ()fx()fx 两函数极值 7
2 求 a 取值范围.
38.(2017 天津)设 aZ已知定义 R 函数 4 3 2( ) 2 3 3 6f x x x x x a 区
间 (12) 零点 0x ()gx ()fx导函数.
(Ⅰ)求 单调区间
(Ⅱ)设 00[1 ) ( 2]m x x 函数 0( ) ( )( ) ( )h x g x m x f m 求证: 0( ) ( ) 0h m h x
(Ⅲ)求证:存 0 常数 A意正整数 pq 00[1 ) ( 2]p xxq
满足 0 4
1||p xq Aq .
39.(2017 山东)已知函数 2 2cosf x x x cos sin 2 2xg x e x x x 中
271828e 然数底数.
(Ⅰ)求曲线 y f x 点 ( ( ))f处切线方程
(Ⅱ)令 ()()()h x g x af x ()aR 讨 ()hx 单调性判断极值极值
时求出极值.
40.(2016 年山东)已知 2
21( ) ln Rxf x a x x ax
.
(I)讨 ()fx单调性
(II) 1a 时证明 3()' 2f x f x > 意 12x 成立.
41.(2016 年四川) 设函数 2( ) lnf x ax a x 中 aR
(I)讨 ()fx单调性
(II)确定 a 取值 11() xf x ex
区间(1 ) 恒成立(e2718…
然数底数).
42.(2016 年天津)设函数 3( ) ( 1)f x x ax b Rx 中 Rba
(I)求 )(xf 单调区间
(II) )(xf 存极值点 0x )()( 01 xfxf 中 01 xx 求证: 1023xx
(Ⅲ)设 0a 函数 |)(|)( xfxg 求证: )(xg 区间 ]11[ 值...4
1 .
43.(2016 年全国Ⅰ) 已知函数 2( ) ( 2) ( 1)xf x x e a x 两零点.
(I)求 a 取值范围
(II)设 1x 2x ()fx两零点证明: 122xx.
44.(2016 年全国Ⅱ)
(I)讨函数 2( ) e2
xxfx x
单调性证明 0x 时( 2)e 2 0xxx
(II)证明: [01)a 时函数 2
e ( 0)
x ax ag x xx
值.设 gx值
()ha 求函数 ()ha 值域.
45.(2016 年全国Ⅲ) 设函数 ( ) cos2 ( 1)(cos 1)f x x x 中 0
记| ( ) |fx 值 A.
(Ⅰ)求 ()fx
(Ⅱ)求
(Ⅲ)证明| ( )| 2f x A ≤ .
46.( 2016 年浙江高考)已知 3a≥ 函数 ()Fx 2min{2| 1| 2 4 2}x x ax a 中
min{ }pq >
p p q
q p q
≤ .
(I)求等式 2( ) 2 4 2F x x ax a 成立 x 取值范围
(II)( i)求 ()Fx值 ()ma
(ii)求 区间[06] 值 ()Ma.
47.(2016 江苏) 已知函数 0 0 1 1xxf x a b a b a b .
(1)设 2a 1
2b .
①求方程 2fx 根
②意 xR等式 26f x mf x ≥ 恒成立求实数 m 值
(2) 01a 1b 函数 2g x f x 1 零点求 ab 值.
48.(2015 新课标Ⅱ)设函数 2() mxf x e x mx .
(Ⅰ)证明: ()fx ( 0) 单调递减(0 ) 单调递增
(Ⅱ)意 1x 2x [ 11] 12| ( ) ( ) |f x f x 1e≤ 求 m 取值范围.
49.(2015 山东)设函数 2( ) ln( 1) ( )f x x a x x 中 aR .
(Ⅰ)讨函数 ()fx极值点数说明理
(Ⅱ) 0x ( ) 0fx≥ 成立求 a 取值范围.
50.( 2015 湖南)已知 0a 函数 ( ) sin ( [0 ))axf x e x x .记 nx ()fx
第 n *()nN 极值点.
证明:(1)数列{ ( )}nfx 等数列
(2)
2
1
1
a
e
≥ 切 *nN | ( ) |nnx f x 恒成立.
51.( 2014 新课标Ⅱ)已知函数 32( ) 3 2f x x x ax 曲线 ()y f x 点(02)处
切线 x 轴交点横坐标-2.
(Ⅰ)求 a
(Ⅱ)证明: 1k 时曲线 直线 2y kx交点.
52.(2014 山东)设函数 )ln2(2 xxkx
exf
x
( k 常数 271828e 然数
底数).
(Ⅰ) 0k 时求函数 fx单调区间
(Ⅱ)函数 02 存两极值点求 k 取值范围.
53.( 2014 新课标Ⅰ)设函数 21ln 12
af x a x x bx a 曲线 ()y f x 点
(1 (1))f 处切线斜率 0.
(Ⅰ)求b
(Ⅱ)存 0 1x 0 1
afx a
求 a 取值范围.
54.( 2014 山东)设函数 1( ) ln 1
xf x a x x
中 a 常数.
(Ⅰ) 0a 求曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线方程
(Ⅱ)讨函数 ()fx单调性.
55.(2014 广东) 已知函数 321( ) 1( )3f x x x ax a R .
(Ⅰ)求函数 ()fx单调区间
(Ⅱ) 0a 时试讨否存 0
11(0 ) ( 1)22x 0
1()()2f x f .
56.(2014 江苏)已知函数 xxxf ee)(中 e 然数底数.
(Ⅰ)证明:)(xf R 偶函数
(Ⅱ)关 x 等式 )(xmf ≤ 1e mx )0( 恒成立求实数 m 取值范围
(Ⅲ)已知正数 a 满足:存 )1[0 x )3()( 0
3
00 xxaxf 成立.试较 1e a
1ea 证明结.
57.(2013 新课标Ⅰ)已知函数 2( ) ( ) 4xf x e ax b x x 曲线 ()y f x 点 (0 (0))f
处切线方程 44yx.
(Ⅰ)求 ab值
(Ⅱ)讨 ()fx单调性求 ()fx极值.
58.(2013 新课标Ⅱ)已知函数 2() xf x x e .
(Ⅰ)求 ()fx极值极值
(Ⅱ)曲线 切线l 斜率负数时求l x 轴截距取值范围.
59.(2013 福建)已知函数 ( ) 1 x
af x x e ( aR e 然数底数).
(Ⅰ)曲线 点(1 (1))f 处切线行 x 轴求 a 值
(Ⅱ)求函数 ()fx极值
(Ⅲ) 1a 值时直线 1l y kx曲线 ()y f x 没公点求 k
值.
60.(2013 天津)已知函数 2( ) lnf x x x .
(Ⅰ)求函数 单调区间
(Ⅱ) 证明:意 0t 存唯 s ()t f s .
(Ⅲ)设(Ⅱ)中确定 s 关t 函数 ()s g t
证明: 2te 时 2 ln ( ) 1
5 ln 2
gt
t.
61.(2013 江苏)设函数 ( ) lnf x x ax() xg x e ax中 a 实数.
(Ⅰ) ()fx (1 ) 单调减函数 ()gx 值求 a 取值
范围
(Ⅱ) ( 1 ) 单调增函数试求 零点数证明结.
62.(2012 新课标)设函数 ( ) 2xf x e ax .
(Ⅰ)求 单调区间
(Ⅱ) 1a k 整数 0x 时( ) ( ) 1 0x k f x x 求 k 值.
63.(2012 安徽)设函数 1( ) ( 0)x
xf x ae b aae .
(Ⅰ)求 ()fx[0 ) 值
(Ⅱ)设曲线 ()y f x 点(2 (2))f 切线方程 3
2yx 求 ab值.
64.( 2012 山东)已知函数 ln() x
xkfx e
( k 常数 718282e 然数底数)
曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线 x 轴行.
(Ⅰ)求 值
(Ⅱ)求 单调区间
(Ⅲ)设 2()()()g x x x f x 中 ()fx 导数.
证明:意 0x 2( ) 1g x e .
65.( 2011 新课标)已知函数 ln() 1
a x bfx xx
曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线方程
2 3 0xy .
(Ⅰ)求 a b 值
(Ⅱ)证明: 0x 1x 时 ln() 1
xfx x
.
66.( 2011 浙江)设函数 axxxaxf 22 ln)( 0a .
(Ⅰ)求 )(xf 单调区间
(Ⅱ)求实数 a 21 ( )e f x e ≤ ≤ ]1[ ex 恒成立.注:e 然数底
数.
67.( 2011 福建)已知 a b 常数 0a 函数 ( ) lnf x ax b ax x ( ) 2fe
(e271828…然数底数).
(Ⅰ)求实数 值
(Ⅱ)求函数 ()fx单调区间
(Ⅲ) 1a 时否时存实数 m M( mM )t ∈[]mM
直线 yt 曲线 ()y f x ( x ∈[ 1
e
e])公点?存求出实数
实数 存说明理.
68.( 2010 新课标)设函数 2( ) ( 1)xf x x e ax .
(Ⅰ) 1
2a 求 ()fx单调区间
(Ⅱ) 0x≥ 时 ( ) 0fx≥ 求 a 取值范围. 专题三 导数应
第八讲 导数综合应
答案部分
2019 年
1解析 1x 时 1 1 2 2 1 0f a a 恒成立
1x 时
2
2 2 2 0 2 1
xf x x ax a a x
厖 恒成立
令 22221 1 1 2 1 1
1 1 1 1
x x xxxgx x x x x
111 2 2 1 2 011xxxx
max20a g x … 0a .
1x 时 ln 0 ln
xf x x a x a x 厔 恒成立
令 ln
xhx x 22
1ln ln 1
ln ln
xx xxhx
xx
ex 时 0hx hx递增1ex时 0hx hx递减
ex 时 hx取值 eeh
min ea h x „
综 a 取值范围 0e .
2解析(1) 2( ) 6 2 2 (3 )f x x ax x x a .
令 ( ) 0fx x0
3
ax
a>0 ( 0) 3
ax
时 ( ) 0fx 0 3
ax
时 ( ) 0fx . ()fx
( 0) 3
a
单调递增 0 3
a
单调递减 a0()fx() 单调递增
a<0 (0 )3
ax
时 ( ) 0fx 03
ax
时 ( ) 0fx .
(0 )3
a
单调递增 03
a
单调递减
(2)满足题设条件 ab 存
(i) a≤0 时(1)知 [01]单调递增 区间[0l]值 (0)fb
值 (1) 2f a b 时 ab 满足题设条件仅 1b 21ab a0
.
(ii) a≥3 时(1)知 [01]单调递减 区间[01]值
值 .时 ab 满足题设条件仅 21ab b1
a4b1.
(iii) 03
3 27
aafb
值 b
2 ab.
3
127
a b b1 332a 0 21ab 33a 33a a0 0综仅 a0 1b a4b1 时 ()fx[01]值–1值 1.
3解析:(Ⅰ) 3
4a 时 3( ) ln 1 04f x x x x .
3 1 (1 2)(21 1)() 4 2 1 4 1
xxf ' x x x x x
函数 ()fx单调递减区间(03)单调递增区间(3+ ).
(Ⅱ) 1(1) 2f a 20 4a .
20 4a 时 () 2
xfx a 等价 2
21 2ln 0xxxaa
.
令 1t a 22t . 设 2( ) 2 1 2ln 2 2g t t x t x x t
() (22)8 421 2lng t g x x x .
(i) 1 7x
时 11 2 2x
() (22)8 421 2lng t g x x x .
记 1( ) 4 2 2 1 ln 7p x x x x x
2 2 1 2 1 2 1()
11
x x x xp' x xx x x x
x 1
7 1( 1)7 1 (1 )
()p' x 0 +
()px 1()7p 单调递减 极值 (1)p 单调递增
( ) (1) 0p x p .
( ) (2 2) 2 ( ) 0g t g p x .
(ii) 2
11e7x
时 1 2 ln ( 1)( ) 1
2
x x xg t g x x
….
令 2
11( ) 2 ln ( 1) e7q x x x x x
ln 2( ) 1 0xq' x
x
()qx 2
11e7
单调递增 1() 7q x q
„.
(i) 1 2 7 1 2 7 (1) 07 7 7 7q p p
.
( )<0qx .
1 ( )( ) 1 0
2
qxg t g x x
….
(i)( ii)意 2
1 ex
[2 2 ) ( ) 0t g t … 意 2
1 ex
均 () 2
xfx a„.
综述求a取值范围
20 4
4解析:(1)设 ()()g x f ' x 1( ) cos 1g x x x
2
1sin())(1x' xgx
1 2x
时 ()g' x 单调递减 (0) 0 ( ) 02g' g'
()g' x 1 2
唯零点设
( 1 )x 时 ( ) 0g' x 2x
时 ( ) 0g' x
()gx( 1 ) 单调递增 2
单调递减 ()gx 存唯极
值点 ()f ' x 存唯极值点
(2)()fx定义域( 1 )
(i) ( 10]x 时(1)知 ()f ' x ( 10) 单调递增 (0) 0f'
( 10)x 时 ( ) 0f ' x ()fx 单调递减 (0)0f 0x
()fx( 10] 唯零点
(ii) 0 2x
时(1)知 ()f ' x (0 ) 单调递增 2
单调递减
(0)0f' 02f'
存 2
( ) 0f' (0 )x 时
( ) 0f ' x 2x
时 ( ) 0f ' x ()fx(0 ) 单调递增 2
单调
递减 (0)0f 1 ln 1 022f
0 2x
时 ( ) 0fx
()fx 0 2
没零点
(iii) 2x
时 ( ) 0f ' x ()fx 2
单调递减 02f
( ) 0f ()fx 2
唯零点
(iv) ()x 时ln( 1) 1x ()fx<0 ()fx() 没零点
综 ()fx仅2零点
5解析:(1)f(x)定义域(01) (1 )
2
11( ) 0( 1)fx xx
()fx(01)(1+∞)单调递增.
f(e) e110e1
22
2
22
e 1 e 3(e ) 2 0e 1 e 1f
f(x)(1+∞)唯零点 x1 f(x1)0.
1
101x 1
11
11
11( ) ln ( ) 01
xf x f xxx
f(x)(01)唯零点
1
1
x .
综f(x)仅两零点.
(2) 0ln
0
1 e x
x
点 B(–lnx0
0
1
x )曲线 yex .
题设知 0( ) 0fx 0
0
0
1ln 1
xx x
直线 AB 斜率
0
0
0 0 0
00 0 0
0
0
111ln 1 1
1ln
1
xxx x xk xx x xxx
. 曲线 yex 点 0
0
1( ln )Bxx 处切线斜率
0
1
x 曲线 lnyx 点 00( ln )A x x 处切线
斜率
曲线 点 处切线曲线yex切线.
6解析(1) abc 3( ) ( )( )( ) ( )f x x a x b x c x a .
(4) 8f 3(4 ) 8a解 2a .
(2)bc
2 3 2 2()( )( ) (2) (2 )fx xaxb x a bx babxab
2( ) 3( ) 3
abf ' x x b x
.令 ( ) 0f ' x xb 2
3
abx .
2 3
abab 集合{ 313} 中 ab
2 1 3 33
ab ab .
时 2( ) ( 3)( 3)f x x x ( ) 3( 3)( 1)f' x x x .
令 ( ) 0f ' x 3x 1x .列表:
x ( 3) 3 ( 31) 1 (1 )
()f ' x + 0 – 0 +
()fx 极值 极值
()fx极值 2(1) (1 3)(1 3) 32f .
(3) 0 1ac 32( ) ( )( 1) ( 1)fxxxbx x b xbx
2( ) 3 2( 1)f' x x b x b .
01b 224( 1) 12 (2 1) 3 0b b b
()f ' x 2零点设 1 2 1 2x x x x . ( ) 0f ' x
22
12
1 1 1 133
b b b b b bxx .
列表:
x 1()x 1x 12xx 2x 2()x
()f ' x + 0 – 0 +
()fx 极值 极值
()fx极值 1M f x .
解法: 32
1 1 1 1( 1)M f x x b x bx
2
2 1
1 1 1
211 ( 1)[3 2( 1) ] 3 9 9 9
bbx b b bx b x b x
2 3
22 1 ( 1) ( 1) 2 127 9 27
b b b bb bb
2
3( 1) 2( 1) ( 1) 2 ( ( 1) 1)27 27 27
b b b b bb
( 1) 2 4
27 27 27
bb . 4
27M .
解法二:01b 1 (01)x .
(01)x 时 2( ) ( )( 1) ( 1)f x x x b x x x .
令 2( ) ( 1) (01)g x x x x 1( ) 3 ( 1)3g' x x x
.
令 ( ) 0g' x 1
3x .列表:
x 1(0 )3 1
3 1( 1)3
()g' x + 0 –
()gx 极值
1
3x 时 ()gx取极值值 max
14() 3 27g x g
. (01)x 时 4()() 27f x g x 4
27M .
7解析:(I) 321() 4f x x x x 23'( ) 2 14f x x x .
令 '( ) 1fx 23 2 1 14 xx 解 0x 8
3x
88(0) 0 ( ) 3 27ff
曲线 ()y f x 斜率 1 切线方程 yx 88
27 3yx
64
27yx
(II)令 ()()g x f x x 24x
321() 4g x x x 23'( ) 24g x x x
令 '( ) 0gx
'( ) ( )g x g x x 变化情况表示
x 2 20 0 80 3
8
3
8 43
4
'( )gx + +
()gx 6 Z 0 ] 64
27 0
()gx值6值 0 6 ( ) 0gx 6 ( )x f x x
(III)(II)知
3a 时 0 0 3M a F g a a
3a 时 2 2 6 3M a F g a a
3a 时 3Ma
综 Ma时
8 解析 ( Ⅰ ) 已 知 '( ) e (cos sin )xf x x x
52 244x k k
()k Z 时sin cosxx '0fx fx单调递减 32 244x k k
()k Z 时sin cosxx '0fx fx单调递
增
单调递增区间 32 2 ( ) ( )44k k k f x
Z 单调递减区间
52 2 ( )44k k k
Z
(Ⅱ)记 ()()() 2h x f x g x x
题意(Ⅰ) ( ) e (cos sin )xg x x x
'( ) 2e sinxg x x
π π42x
时 '0gx
'( ) '( ) '( ) ( )( 1) '( ) 022hxfxgx xgx gx x
hx区间 42
单调递减进 ( ) 022h x h f
…
42x
时 ( ) ( ) 02f x g x x
…
(Ⅲ)题意 10nnu x f x cose 1nx
nx
记 2nny x n 42ny
2 2e cos e cos 2 enny x n n
n n n nf y y x n N
2
0e1n
nf y f y„ (Ⅰ) 0nyy…
(Ⅱ)知 42x
时 '0gx gx 42
减函数
0 04ng y g y g
„ (Ⅱ)知 02n n nf y g y y
…
0
2 2 2 2
0 0 0 0 02 sin cos sin c
e e e
e os
en n n n
n
n y
nn
fyy g y g y g y y y x x
剟
2
00
2 2 sin c s
e
o
n
nnxxx
20102018 年
1.A解析∵ 21( ) [ ( 2) 1] xf x x a x a e ∵ ( 2) 0f ∴ 1a
21( ) ( 1) xf x x x e 21( ) ( 2) xf x x x e
令 ( ) 0fx 解 2x 1x ( 2)x ( ) 0fx ()fx单调递
增 ( 21)x 时( ) 0fx ()fx单调递减 (1 )x
单调递增 ()fx极值 11(1) (1 1 1) 1fe 选 A.
2.D解析导函数图象知 ()y f x 单调性减增 减 增排 AC
导函数图象知 极值点负两正 D 符合选 D.
3.D解析 0x 时令函数 2( ) 2 xf x x e ( ) 4 xf x x e 易知 ()fx [0
ln4 )单调递增[2]单调递减 (0) 1 0f 1( ) 2 02fe
(1) 4 0fe 2(2) 8 0fe 存 0
1(0 )2x 函数 ()fx极值点
函数 0(0 )x 单调递减 0( 2)x 单调递增该函数偶函数符合
条件图 D.
4.B解析(解法) 2m 时抛物线称轴 8
2
nx m
.题意 2m 时
8 22
n
m
2 12mn . 2262
mnmn 18mn. 2mn 2 12mn 3 6mn. 2m 时抛物线开口题意 81
22
n
m
2 18mn. 2292
mnmn 81
2mn. 2nm 2 18mn
92m 应舍 mn 取值应 2 18mn( 2 8)mn.
(18 2 ) (18 2 8) 8 16mn n n 值 18.选 B.
(解法二)已知 ( ) ( 2) 8f x m x n 意 1[ 2]2x ( ) 0fx ≤
1( ) 02
( ) 0
f
fx
≤
≤
0 0
2 18
22
mn
mn
mn
≥ ≥
≤
≤
.画出该等式组表示面区域图中阴影部分
示
n
m
m+2n18
2m+n12
129
6
18
O
令 mn t 0n 时 0t 0n 时 tm n 线性规划相关知识
直线 2 12mn 曲线 tm n 相切时t 取值
2
1
2
19 2
t
n
tn n
解 6n
18t max( ) 18mn 选 B.
5.A解析令 ()() fxhx x ()fx奇函数 ()hx 偶函数
2
()()() xf x f xhx x
0x > 时 '( ) ( )xf x f x 0 ()hx (0 )
单调递减根称性 ()hx ( 0) 单调递增 ( 1) 0f (1) 0f
数形结合知 ( ) 0fx> 成立 x 取值范围 1 01 .
6.D解析题意知存唯整数 0x 0
00(2 1) xe x ax a 设
( ) (2 1)xg x e x ()h x ax a ( ) (2 1)xg x e x 知 ()gx 1()2
单调递减 1()2 单调递增作出 ()gx ()hx 致图象图示 x
y
g(x)ex(2x1)
h(x)axa
–3 –2 –1 1 2
–1
1
2
3
O
(0) (0)
( 1) ( 1)
hg
hg≤
1
32
a
a e
≤ 3 12 ae <≤ .
7.D解析∵ ( ) lnf x kx x ∴ 1()f x k x
∵ ()fx (1 ) 单调递增
1x 时 1( ) 0f x k x
≥ 恒成立 1k x
≥ 恒成立
∵ 1x ∴ 101x k ≥1选 D.
8.A解析法 题意知该三次函数满足条件:点(00)(20)(0
0)处切线方程 yx (20)处切线方程 36yx选项进行检验.A
选项 3211
22y x x x 显然两定点 23 12y x x
02| 1 | 3xxyy 条件满足选择题特点知应选 A.
法二 设该三次函数 32()f x ax bx cx d 2( ) 3 2f x ax bx c
题设
(0) 0
(2) 0
(0) 1
(2) 3
f
f
f
f
解 11 1 022a b c d .
该函数解析式 3211
22y x x x 选 A.
9.C解析正弦型函数图象知: fx极值点 0x 满足 0( ) 3fx
0 22
x km
()kZ 0
1()()2x k m k Z .等式
2 2 2
00[]x f x m 2 2 21( ) 32k m m 变形 2 1[1 ( )] 32mk
中 kZ .题意存整数 k 等式 成立. 1k 0k 时必 21( ) 12k 时等式显然成立
1k 0k 时等式 23 34 m 解 2m 2m .
10.A解析设求函数解析式 ()y f x 题意知 (5) 2 5 2ff ()
( 5) 0f 代入验证易 313
125 5y x x符合题意选 A.
11.C解析 (01]x 时 321 1 13( ) 4( )a x x x ≥ 令 1t x [1 )t
3234a t t t ≥ 令 ()gt 3234t t t
29 8 1 ( 1)(9 1)g x t t t t 显然[1 ) 0gt
()gt单调递减 max( ) (1) 6g t g 6a ≥
理 [ 20)x 时 2a ≤ .两种情况 62a≤ ≤ .
显然 0x 时成立实数 a 取值范围[ 6 2].
12.C解析设 ( ) lnxf x e x 1() xf x e x
()fx (01) 极值点
()fx 单调函数法判断 1()fx 2()fx AB 错构造
函数 ()
xegx x 2
( 1)()
xexgx x
()gx 单调递减 12g x g x
选 C.
13.解析B 0a 图象 D记 2() 2
af x ax x 2 3 2( ) 2g x a x ax
()x a a R取 1
2a 211( ) ( 1)24f x x 令 ( ) 0gx 2 23x 易知
()gx极值 1(2) 2g 1(2) 4f (2) (2)gf 图象 A
理取 2a 图象 C 利排法知选 B.
14.C解析 0c (0) 0f A 正确. 32()f x x ax bx c
32()f x c x ax bx 函数 32y x ax bx 称中心(00)
称中心(0 )c B 正确.三次函数图象
知 0x ()fx极值点极值点 左侧函数区间 0()x 单调递减错误D 正确.选 C.
15.A解析法:题意 00sinyx [ 11]
( ) exf x x a 知 0 [01]y
0a 时 ()fx= ex x 增函数
∴ 时 0( ) [1 1]f x e.
∴ 0( ( )) 1 1f f y e≥ .
∴ 存 00 ))(( yyff 成立 BD 错
1ae时 = e e 1x x
时 0 1y 时 意义 (1) 0f
∴ ( (1)) (0)f f f 显然意义 C 错.选 A.
法二:显然函数 ()fx增函数 ( ) 0fx≥ 题意知 0 [01]y .
00()f y y .然话 00()f y y 0 0 0( ( )) ( )f f y f y y
条件矛盾 00()f y y 0 0 0( ( )) ( )f f y f y y条件矛盾.
问题转化 ()f t t [01] 解.
tt e t a 2 tt e t a 分离变量 2() ta g t e t t [01]t
( ) 2 1 0tg t e t
函数 ()gt[01] 增函数1 (0) ( ) (1)g g t g e≤ ≤
[1 ]ae 应选 A.
16.D解析A. 0()()x R f x f x 错误. 00( 0)xx ()fx极值点
值点B. 0x ()fx 极值点.错误. 相 关 y 轴称
图 应 极值点C. ()fx 极值点.错误. 相
关 x 轴称图 0x 应 极值点. 没关系D.
()fx极值点.正确. 相 先关 y 轴称关 轴
称图. D 正确. 17.B解析∵ 21 ln2y x x∴ 1yxx
0y„解 11x 剟 0x
∴ 01x „ 选 B.
18.D解析 () xf x xe ( ) ( 1)xf x e x 0xe 恒成立令 ( ) 0fx 1x
1x 时 ( ) 0fx 函数单调减 1x 时 ( ) 0fx 函数单调增
1x ()fx极值点选 D.
19.D解析 2( ) 12 2 2f x x ax b (1) 0f 12 2 2 0ab
6ab. 0a 0b 2( ) 92
abab ≤ 仅 3ab时取等号.选
D.
20.D解析 1x 函数 ()xf x e 极值点易知 ac ∵选项 AB 函数
2( ) ( 1)f x a x∴[()][() ()] ( 1)( 3)x x xfxe fx fxe ax x e
∴ 函数 极值点满足条件选项 C 中称轴 02
bx a
开口∵ 0 0ab∴ ( 1) 2 0f a b 满足条件
选项 D 中称轴 02
bx a 开口∴ 0 2a b a
∴ 题图矛盾选 D.
21.D解析题 2| | lnMN x x ( 0)x 妨令 2( ) lnh x x x
1'( ) 2h x x x令 '( ) 0hx 解 2
2x 2(0 )2x 时 '( ) 0hx
2()2x 时 '( ) 0hx 时||MN 达.
2
2t .
22.①③④⑤ 解析 令 32( ) ( ) 3f x x ax b f x x a 0a 时 ( ) 0fx
()fx R 单调递增函数时 3 0x ax b 仅实根(4)(5)
3a 时 2( ) 3 3 0f x x 11x 1x 极值点. (1) 0f 31 3 1 0b 2b (3). 1x ()fx极值点
( 1) 0f 3( 1) 3 ( 1) 0b 2b (1).
23.①④解析(1)设 12x > x 函数 2x 单调递增 122 >2xx 120xx>
m 12
12
()()f x f x
xx
12
12
22xx
xx
>0正确
(2)设 1x > 2x 120xx 12
12
()()g x g xn xx
22
1 2 1 2
12
()x x a x x
xx
+
1 2 1 2
12
12
( )( )x x x x a x x axx
+ + + +
令 1 2 4a
10n 错误
(3) mn (2):
21
21 )()(
xx
xfxf
12x x a 分母右边
右边 12()()g x g x 原等式 12()()f x f x 12()()g x g x
12()()f x g x 12()()f x g x令 ()()()h x f x g x
原题意转化意 a 函数 ()()()h x f x g x存相等实数
函数值相等 2( ) 2xh x x ax ( ) 2 ln 2 2xh x x a
( ) 2 (ln 2) 2xhx 令 0( ) 0hx 012x 0()hx 极值.
10000a 0( ) 0hx 0( ) 0hx ()hx 单调递增满足题意
错误.
(4)(3) 12()()f x f x 12()()g x g x 1 1 2 2()()()()f x g x g x f x
设 ()()()h x f x g x 1x 2x 函数值相等 恒单调.
2( ) 2xh x x ax ( ) 2 ln 2 2xh x x a 2( ) 2 ln 2 2 0xhx 恒成立
()hx 单调递增 ( ) 0h ( ) 0h . 先减增满足题意正
确.
24.4解析01x< ≤ 时 ( ) lnf x x ( ) 0gx 时方程| ( ) ( ) | 1f x g x+ ln 1x ln 1x xe 1x e 时 1x e 符合题意方程实根.
12x<<时 ( ) lnf x x 22( ) 4 2 2g x x x 方程| ( ) ( ) | 1f x g x+
2ln 2 1xx+ 2ln 2 1xx+ 2ln 1 0xx+ 2ln 3 0xx+
令 2ln 1y x x + 1 20yxx
¢ < 函数 (12)xÎ 单调递减
1x 时 0y 12x<<时方程 2ln 1 0xx+ 解令 2ln 3y x x +
1 20yxx
¢ < 函数 单调递减 1x 时 20y >
2x 时 ln 2 1 0y < 12x<<时方程 2ln 3 0xx+ 实根.
2x≥ 时 ( ) lnf x x 2( ) 6g x x方程 2ln 6 1xx+
2ln 6 1xx+ 2ln 7 0xx+ 2ln 5 0xx+ 令 2y ln 7xx +
1 20yxx
¢ + > 函数 [2 )x单调递增 2x 时
ln 2 3 0y < 3x 时 ln3 2 0y + > 2x≥ 时方程
1 实根理 1 实根.
方程 1|)()(| xgxf 实根数 4 .
25.2解析题意 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x 令 ( ) 0fx 0x 2x .
0x 2x 时 ( ) 0fx 02x时 ( ) 0fx .
∴ 2x 时 ()fx取极值.
26.解析(1) ()fx定义域(0 )
2
22
11( ) 1 a x axfx x x x
.
(i) 2≤a ( ) 0 ≤fx 仅 2a 1x 时 ( ) 0fx
单调递减.
(ii) 2a 令 ( ) 0fx
2 4
2
aax
2 4
2
aax .
2244(0 ) ( )22
a a a ax U 时 ( ) 0fx
2244()22
a a a ax 时 ( ) 0fx . ()fx
2 4(0 )2
aa
2 4()2
aa 单调递减
2244()22
a a a a 单调递增.
(2)(1)知 存两极值点仅 2a .
两极值点 1x 2x 满足 2 10x ax 12 1xx 妨设 12xx
2 1x .
1 2 1 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
( ) ( ) ln ln ln ln 2ln1 1 2 2 1
f x f x x x x x xaaax x x x x x x x xx
12
12
()() 2f x f x axx
等价 22
2
1 2ln 0xxx .
设函数 1( ) 2lng x x xx (1)知 ()gx (0 ) 单调递减 (1) 0g
(1 )x 时 ( ) 0gx .
.
27.解析(1) 1a 时 ( ) 1≥fx 等价 2( 1)e 1 0≤xx .
设函数 2( ) ( 1) 1 xg x x e 22( ) ( 2 1) ( 1) xxg' x x x e x e .
1x 时 ( ) 0g' x ()gx (0 ) 单调递减.
(0) 0g 0≥x 时 ( ) 0≤gx ( ) 1≥fx .
(2)设函数 2( ) 1 e xh x ax .
()fx (0 ) 零点仅 ()hx 零点.
(i) 0≤a 时 ( ) 0hx 没零点
(ii) 0a 时 ( ) ( 2)e xh' x ax x .
(02)x 时 ( ) 0h' x (2 ) x 时 ( ) 0h' x . ()hx (02) 单调递减(2 ) 单调递增.
2
4(2) 1 eah [0 ) 值.
① (2) 0h
2e
4a (0 ) 没零点
② (2) 0h
2e
4a 零点
③ (2) 0h
2e
4a (0) 1h (02) 零点
(1)知 0x 时 2e x x
3 3 3
4 2 2 4
16 16 16 1(4 ) 1 1 1 1 0e (e ) (2 ) aa
a a aha aa
.
(24 )a 零点 两零点.
综 ()fx 零点时
2e
4a .
28.解析(1) 0a 时 () (2 )ln(1 ) 2f x x x x ( ) ln(1 ) 1
xf x x x
.
设函数 ( ) ( ) ln(1 ) 1
xg x f x x x
2() (1 )
xgx x
.
10x 时 ( ) 0gx 0x 时 ( ) 0gx .
1x 时 ( ) (0) 0g x g ≥ 仅 0x 时 ( ) 0gx ( ) 0fx ≥
仅 时 ( ) 0fx .
()fx ( 1 ) 单调递增.
(0) 0f 时 ( ) 0fx 0x 时 ( ) 0fx .
(2)(i) 0a≥ (1)知 0x 时 ( ) (2 )ln(1 ) 2 0 (0)f x x x x f ≥
极值点矛盾.
(ii) 0a 设函数 22
( ) 2( ) ln(1 )22
f x xh x xx ax x ax
. 1| | min{1 }||x a 时 220x ax ()hx ()fx符号相.
(0) (0) 0hf 0x 极值点仅 0x 极值点.
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2(2 )2(12) ( 4 61)() 1 (2 ) ( 1)( 2)
xax x ax xax ax ahx x x ax x ax x
.
果6 1 0a 610 4
ax a
时 ( ) 0hx
极值点.
果6 1 0a 22 4 6 1 0a x ax a 存根 1 0x
1( 0)xx 时 ( ) 0hx 极值
点.
果6 1 0a
3
22
( 24)() ( 1)( 6 12)
xxhx x x x
. ( 10)x 时
(01)x 时 . 极值点 极
值点
综 1
6a .
29.解析(1) 2( ) [ (4 1) 4 3] xf x ax a x a e
2()[2 (4 1)] [ (4 1) 4 3]xxfx ax a eax axae ( xR)
2[ (2 1) 2] xax a x e .
(1) (1 )f a e .
题设知 (1) 0f (1 ) 0ae解 1a .
时 (1) 3 0fe.
a 值 1.
(2)(1) 2( ) [ (2 1) 2] ( 1)( 2)xxfxax ax e ax x e . 1
2a 1( 2)x a 时 ( ) 0fx
(2 )x 时 ( ) 0fx .
( ) 0fx 2x 处取极值.
1
2a ≤ (02)x 时 20x 11 1 02ax x ≤
.
2 ()fx极值点.
综知 a 取值范围 1()2 .
30.解析(1)已知 ( ) lnxh x a x a ( ) ln lnxh x a a a .
令 ( ) 0hx 解 0x .
1a 知 x 变化时 ()hx ()hx 变化情况表:
x ( 0) 0 (0 )
()hx 0 +
()hx 极值
函数 单调递减区间 单调递增区间 .
(2)证明: ( ) lnxf x a a 曲线 ()y f x 点 11( ( ))x f x 处切线斜率
1 lnxaa. 1() lngx xa
曲线 ()y g x 点 22( ( ))x g x 处切线斜率
2
1
lnxa
.两条切线行 1
2
1ln ln
xaaxa 1 2
2 (ln ) 1xx a a .
两边取 a 底数 21log 2log ln 0aax x a 12
2ln ln() ln
ax g x a .
(3)证明:曲线 ()y f x 点 1
1()xxa 处切线 1l : 11
1ln ( )xxy a a a x x .
曲线 ()y g x 点 22( log )axx处切线 2l : 22
2
1log ( )lnay x x xxa .
证明
1
eea≥ 时存直线l 曲线 切线曲线 切线需证明
1
eea≥ 时存 1 ()x 2 (0 )x l1 l2 重合.
需证明 时方程组
1
11
2
12
1ln ln
1ln log ln
x
xx
a
aaxa
a x a a x a
①
②
解
①
12 2
1
(ln )xx aa 代入② 11
11
1 2ln lnln 0ln ln
xx aa x a a x aa . ③
需证明 时关 1x 方程③实数解.
设函数 1 2ln ln( ) ln ln ln
xx au x a xa a x aa
证明 时函数 ()y u x 存零点.
2( ) 1 (ln ) xu x a xa 知 ( 0)x 时( ) 0ux (0 )x 时()ux 单调递
减 (0) 1 0u 2
1
(ln )
2
1( ) 1 0(ln )
auaa
存唯 0x 0 0x 0( ) 0ux 02
01 (ln ) 0xa x a.
()ux 0()x 单调递增 0()x 单调递减.
0xx 处取极值 0()ux .
ln(ln ) 1a ≥
00
0 0 0
1 2ln ln( ) ln ln ln
xx au x a x a a x aa
02
0
1 2ln ln 2 2ln ln 0(ln ) ln ln
aaxx a a a
≥ ≥ .
面证明存实数t ( ) 0ut .
(1) 1 lnxa x a≥
1
lnx a 时
1 2ln ln( ) (1 ln )(1 ln ) ln ln
au x x a x a x aa ≤
22 1 2ln ln(ln ) 1 ln ln
aa x x aa 存实数t ( ) 0ut
1
eea≥ 时存 1 ()x 1( ) 0ux .
时存直线l 曲线 ()y f x 切线曲线 ()y g x
切线.
31.解析(1)函数 ()f x x 2( ) 2 2g x x x ( ) 1fx ( ) 2 2g x x .
()()f x g x ()()f x g x
2 22
1 2 2
x x x
x
方程组解
()fx ()gx存S 点.
(2)函数 2( ) 1f x ax( ) lng x x
1( ) 2 ( )f x ax g x x .
设 0x 点 00()()f x g x 00()()f x g x
2
00
0
0
1 ln
12
ax x
ax x
2
00
2
0
1 ln
21
ax x
ax
( *)
0
1ln 2x
1
2
0 ex
1
22
1e
22(e )
a
.
e
2a 时
1
2
0 ex
满足方程组(*) 0x 点.
a 值 e
2
.
(3)意 0a 设 32( ) 3h x x x ax a .
(0) 0 (1) 1 3 2 0h a h a a ()hx 图象间断
存 0 (01)x 0( ) 0hx .令
0
3
0
0
2
e (1 )x
xb x
0b .
函数 2 e()()
xbf x x a g x x 2
e ( 1)( ) 2 ( )
xbxf x x g x x
′′.
()()f x g x ()()f x g x
2
2
e
e ( 1)2
x
x
bxa x
bxx x
0
0
3
2 0
0
3
0
2
0
2 e
e (1 )
2 e ( 1)2 e (1 )
x
x
x
x
xxa xx
x xx xx
(**)
时 0x 满足方程组(**) 函数 ()fx ()gx区间(01) S 点.
意 0a 存 0b 函数 区间(0 ) 存 点.
32.解析(1)函数 ()fx导函数 11()
2
fx xx
12()()f x f x
1212
1 1 1 1
22xxxx
12xx
12
1 1 1
2xx
.
基等式 4
1 2 1 2 1 2
1 22 x x x x x x≥ .
12 256xx .
题意 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1( ) ( ) ln ln ln( )2fxfx x xx x xx xx .
设 1( ) ln2g x x x
1( ) ( 4)4g x xx
x (016) 16 (16 )
()gx 0 +
()gx 2 4ln 2
()gx[256 ) 单调递增
12( ) (256) 8 8ln 2g x x g 12( ) ( ) 8 8ln 2f x f x .
(2)令 (| | )akme 2| | 1( ) 1an k
( ) | | 0f m km a a k k a ≥
1 | | 1( ) ( ) ( ) 0aaf n kn a n k n knnn
≤
存 0 ()x m n 00()f x kx a
意 aR (0 )k 直线 y kx a曲线 ()y f x 公点.
()f x kx a lnx x ak x
.
设 ln() x x ahx x
22
ln 1 ( ) 12()
xxag x ahx xx
中 ( ) ln2
xg x x.
(1)知 ( ) (16)g x g≥ 3 4ln 2a ≤
( ) 1 (16) 1 3 4ln 2g x a g a a ≤
( ) 0hx ≤ 函数 ()hx (0 ) 单调递减方程 ( ) 0f x kx a
1 实根.
综 时意 0k 直线 曲线 唯
公点.
33.解析(1)()fx定义域 ()
2()2 ( 2) 1( 1)(2 1)x x x xf x ae a e ae e
(ⅰ) 0a≤ ( ) 0fx ()fx 单调递减.
(ⅱ) 0a ( ) 0fx lnxa . ( ln )xa 时 ( ) 0fx ( ln )xa 时( ) 0fx
()fx ( ln )a 单调递减( ln )a 单调递增.
(2)(ⅰ) 0a≤ (1)知 零点.
(ⅱ) 0a (1)知 lnxa 时 取值值
1( ln ) 1 lnf a aa .
① 1a 时 ( ln ) 0fa ()fx零点
② (1 )a 时 11 ln 0aa ( ln ) 0fa 没零点
③ (01)a 时 11 ln 0aa ( ln ) 0fa.
4 2 2( 2) e ( 2)e 2 2e 2 0f a a ()fx ( ln )a 零点.
设正整数 0n 满足 0
3ln( 1)n a
0 0 0 0
0 0 0 0( ) e ( e 2) e 2 0n n n nf n a a n n n .
3ln( 1) ln aa ( ln )a 零点.
综 a 取值范围(01) .
34.解析(1)()fx定义域 (0 ) .
设 ( ) lng x ax a x ()()f x xg x ( ) 0fx≥ 等价 ( ) 0gx≥ .
(1) 0g (1) 0g 1()g x a x
(1) 1ga 1a .
1a 1( ) 1gx x
.01x时 ( ) 0gx ()gx单调递减 1x 时
( ) 0gx 单调递增. 1x 极值点 ( ) (1) 0g x g ≥ .
综 .
(2)(1)知 2( ) lnf x x x x x ( ) 2 2 lnf x x x .
设 ( ) 2 2 lnh x x x 1( ) 2hx x
.
1(0 )2x 时 ( ) 0hx 1()2x 时 ( ) 0hx . ()hx 1(0 )2
单调递减 1()2 单调递增.
2( ) 0he 1( ) 02h (1) 0h ()hx 1(0 )2
唯零点 0x 1[)2
唯零点 1 0(0 )xx 时 ( ) 0hx 0( 1)xx 时 ( ) 0hx (1 )x 时
.
()()f x h x 0xx ()fx唯极值点.
0( ) 0fx 00ln 2( 1)xx 0 0 0( ) (1 )f x x x.
0 (01)x 0
1() 4fx .
0xx ()fx(01) 值点 1 (01)e 1( ) 0fe
12
0()()f x f e e.
22
0( ) 2e f x.
35.解析(1)()fx定义域 (0 ) .
① a 0≤ 11( ) ln 2 022fa 满足题意
② >0a 1 a x af ' x xx
知 0x a 时 <0f ' x +xa
时 >0f ' x (0 )a 单调递减 ()a 单调递增 xa
(0 ) 唯值点.
10f 仅 a1 时 ( ) 0fx≥ .
a1.
(2)(1)知 (1 )x 时 1 ln 0xx
令 11 2nx 11ln(1 )22nn
22
1 1 1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 1 12 2 2 2 2 2 2n n n
2
1 1 1(1 )(1 ) (1 )2 2 2n e
23
1 1 1(1 )(1 )(1 ) 22 2 2 m 值 3. 36.解析(Ⅰ) 1( 2 1) 1
21
xx
x
()xxee
1( ) (1 ) ( 2 1)
21
xxf x e x x e
x
(1 )( 2 1 2)
21
xx x e
x
1()2x
(Ⅱ) (1 )( 2 1 2)( ) 0
21
xx x efx
x
解 1x 5
2x .
x 1
2 (1) 1 (1 5
2
) ( )
()fx 0 + 0
()fx
↘ 0 ↗ ↘
21( ) ( 2 1 1) 02
xf x x e ≥
区间 1[)2 取值范围
1
21[0 ]2 e
.
37.解析(1) 32( ) 1f x x ax bx
2
22( ) 3 2 3( )33
aaf x x ax b x b
3
ax 时 ()fx 极值
2
3
ab
极值点 ()fx零点
33
( ) 1 03 27 9 3
a a a abf 0a
223
9
ab a
极值 ( )0fx 实根
2
31 (27 a ) 039
ab a 3a
3a 时 ( )>0( 1)f x x R 增函数 没极值 3a 时 ( )0fx 两相异实根
2
1
3 3
a a bx
2
2
3 3
a a bx
列表
x 1()x 1x 12()xx 2x 2()x
()fx + 0 – 0 +
()fx 极值 极值
极值点 12xx
223
9
ab a定义域(3 )
(2)(1)知 23
9
b a a
a a a
.
设 23() 9
tgt t
2
22
2 2 2 27() 39
tgt tt
.
36()2t 时 ( ) 0gt ()gt 36()2 单调递增.
3a 33aa ( ) (3 3) 3g a a g 3b
a
.
2 3ba .
(3)(1)知 极值点 12
2
3x x a
2
22
12
46
9
abxx
3 2 3 2
1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 1 1fx fx x ax bx x ax bx
2 2 2 212
1 1 2 2 1 2 1 2
12(32 )(32 )( )( )23 3 3 3
xxx axb x axb axx bxx
34 6 4 2027 9
a ab ab
记 极值 ()ha ()fx 极值
2
213
39
abaa 213( ) 9h a a a 3a
2
23( ) 09h a a a
()ha (3 ) 单调递减
7(6) 2h ( ) (6)h a h≥ 6a≤
a 取值范围(3 6]
38.解析(Ⅰ) 4 3 2( ) 2 3 3 6f x x x x x a
32( ) ( ) 8 9 6 6g x f x x x x
进 2( ) 24 18 6g x x x 令 ( ) 0gx 解 1x 1
4x
x 变化时 ( ) ( )g x g x 变化情况表:
x ( 1) 1( 1 )4 1()4
()gx + +
()gx ↗ ↘ ↗
单调递增区间 单调递减区间
(Ⅱ)证明: 0( ) ( )( ) ( )h x g x m x f m 0( ) ( )( ) ( )h m g m m x f m
0 0 0( ) ( )( ) ( )h x g x m x f m
令函数 10( ) ( )( ) ( )H x g x x x f x 10( ) ( )( )H x g x x x
(Ⅰ)知 [12]x 时 ( ) 0gx 0[1 )xx 时 1 ( ) 0Hx 1()Hx单调
递减 0( 2]xx 时 1 ( ) 0Hx 单调递增 00[1 ) ( 2]x x x 时
1 1 0 0( ) ( ) ( ) 0H x H x f x 1( ) 0 ( ) 0H m h m
令函数 2 0 0( ) ( )( ) ( )H x g x x x f x 20()()()H x g x g x ( Ⅰ)知
[12] 单调递增 时 2 ( ) 0Hx 2 ()Hx单调递增 时
2 ( ) 0Hx 单调递减 时 2 2 0( ) ( ) 0H x H x
20( ) 0 ( ) 0H m h x 0( ) ( ) 0h m h x
(Ⅲ)证明:意正整数 p q 00[1 ) ( ] 2p xxq
令 pm q 函数 0( ) ( )( ) ( )h g m xx x mf
(Ⅱ)知 0[1 )mx 时 ()h x 区间 0()mx 零点
0( 2]mx 时 区间 0()xm零点
(12) 少零点妨设 1x
11 0( ) ( )( ) ( ) 0pph g x fqx qx
(Ⅰ)知 ()g x [12] 单调递增 10 ( ) ( )12()g xgg
4 3 2 2 3 4
0 4
1
( ) | ( ) | | 2 3 3 6 || | | |()()(2 )2
ppffp p p q p q pq aqqqxq g x g g q
≥
[1 2]x 时 ( ) 0g x ()f x [12] 单调递增
区间 0x 外没零点 0
p xq ( ) 0pf q
a 均整数 4 3 2 2 3 4| 2 3 3 6 |p p q p q pq aq 正整数
4 3 2 2 3 4| 2 3 3 6 | 1p p q p q pq aq ≥
0 4
1| 2| ()
p xq g q ≥ 取 ()2Ag 0 4
1||p xq Aq ≥
39.解析(Ⅰ)题意 2 2f
2 2sinf x x x
2f
曲线 y f x 点 f处切线方程
2 22yx
222yx . (Ⅱ)题意 2( ) (cos sin 2 2) ( 2cos )xh x e x x x a x x
cos sin 2 2 sin cos 2 2 2sinxxhxexxx e xx ax x
2 sin 2 sinxe x x a x x
2 sinxe a x x
令 sinm x x x
1 cos 0m x x
mx R 单调递增.
(0) 0m
0x 时 ( ) 0mx
0x 时 0mx
(1) 0a 时 xea 0
0x 时 0hx hx单调递减
0x 时 0hx 单调递增
0x 时 hx取极值极值 0 2 1ha
(2) 0a 时 ln2 sinxah x e e x x
0hx 1 lnxa 2 0x
① 01a时 ln 0a
lnxa 时 ln 0 0xae e h x hx单调递增
ln 0xa 时 ln 0 0xae e h x 单调递减
0x 时 ln 0 0xae e h x 单调递增.
lnxa 时 hx取极值.
极值 2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a
0x 时 hx取极值极值 0 2 1ha ② 1a 时 ln 0a
x 时 0hx 函数 hx 单调递增极值
③ 1a 时 ln 0a
0x 时 ln 0xaee 0h x h x 单调递增
0lnxa 时 0h x h x 单调递减
ln xa 时 ln 0xaee 单调递增
0x 时 hx取极值极值 0 2 1ha
lnxa 时 hx取极值.
极值 2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a .
综述:
0a 时 hx 0 单调递减 0 单调递增
函数 hx极值极值 0 2 1ha
01a时函数 hx lna 0lna 0 单调递增 ln 0a 单
调递减函数 hx极值极值
极值
极值
时函数 单调递增极值
时函数 hx 0 ln a 单调递增
0lna 单调递减函数 hx极值极值
极值
极值 .
40.解析(Ⅰ) 3
22)11()(′
x
x
xaxf --- 3
2 2)(1( x
axx )--
0a≤ 时 (01)x 0>)(′xf )(xf 单调递增
(1 )x 0<)(′xf 单调递减
0>a 时 33
2
2+(2)(1(
2)(1()(′
x
axaxxa
x
axxxf
))--)--
①02a时 1>2
a
2()x a 0>)(′xf )(xf 单调递增
2(1 )x a 0<)(′xf )(xf 单调递减
② 2a 时 12
a (0 )x ( ) 0fx ≥ 单调递增
③ 2a 时 1<2<0 a
2(0 )x a (1 )x 单调递增
2( 1)x a 单调递减
(Ⅱ) (Ⅰ)知 1a 时 2
21( ) ln xf x x x x
2
3 2 3
( 1)( 2 1 2( ) 1xxfx x x x x
)2
2 2 3
2 1 1 2( ) ( ) ln 1 )xf x f x x x x x x x
2(
23
32lnxx x x x 11 ]21[x
令 g( ) lnx x x 23
32()hx x x x 11 ( ) ( ) g( ( )f x f x x h x )
1g ( ) 1 0xx xx
1 ≥ )g( x 值 1g(1)
2
2 3 4 4
3 2 6 3 2 6() xxhx x x x x
设 2( ) 3 2 6x x x ()x ]21[x 单调递减 (1) 1 (2) 10
存 ]21[0 ∈x 0( ) 0x
0<<1 xx 时 ( ) 0x )(xh 单调递增
2<<0 xx 时 ( ) 0x )(xh 单调递减
1)1(h 2
1)2(h )(xh 值 2
1)2(h .
13() () g( () g(1 (2)1 22f x f x x h x h )).
2
3)()( xfxf 意 成立.
41.解析(I)题意
21 2 1' 2 0axf x ax xxx
① 0a „ 时 22 1 0ax '0fx fx 0 单调递减
② 0a 时令 ( ) 0fx 1
2
x
a
1(0 )2x a 时 '0fx
1()2x a 时 '0fx
fx 1(0 )2a
单调递减 1()2a 单调递增
(II)令 1
11() xgx xe 1() xs x e x. 1( ) 1xs x e . 1x 时
( ) 0sx ()sx区间(1 ) 单调递增. (1) 0S ( ) 0sx
1x 时 ( ) 0gx .
0a „ 1x 时 2( ) ( 1) ln 0f x a x x .
()()f x g x 区间 恒成立时必 0a . 10 2a时 1 1
2a
.
(I) 1( ) (1) 0
2
ff
a
1( ) 0
2
g
a
时 ()()f x g x 区间(1 ) 恒成立.
1
2a … 时令 ( ) ( ) ( )( 1)h x f x g x x ….
1x 时 1
22
1 1 1 1 1( ) 2 xh x ax e xx x x x x
32
22
2 1 2 1 0x x x x
xx
()hx区间(1 ) 单调递增.
(1) 0h 1x 时 ( ) ( ) ( ) 0h x f x g x ()()f x g x 恒成立.
综 1[)2a
42.解析(I) 31f x x ax b 2( ) 3( 1)f x x a
面分两种情况讨:
① 0a „ 2( ) 3( 1) 0f x x a … 恒成立 ()fx R 单调递增
② 0a 令 ( ) 0fx 解 31 3
ax 31 3
ax .
x 变化时 )(' xf )(xf 变化情况表:
x )3
31( a
3
31 a )3
313
31( aa
3
31 a )3
31( a
+ 0 - 0 +
单调递增 极值 单调递减 极值 单调递增
fx 1 3
a
单调递增 1 133
aa
单调递减 13
a
单
调递增
(II) ()fx存极值点(I)知 0a 0 1x .
题意 2
00( ) 3( 1) 0f x x a 2
0( 1) 3
ax 3
0 0 0( ) ( 1)f x x ax b 0
2
33
aaxb
32
0 0 0 03 2 2 2 3 1 3 2f x x x x b
2
0 0 01 8 8 9 6x x x b
2
00 1 2 1x x b
∴ 00(3 2 ) ( )f x f x
0032xx题意(I)知存唯实数 1x 满足 10()()f x f x 10xx
1032xx 1023xx
(Ⅲ)证明:设 )(xg 区间 ]20[ 值 M}max{ yx 表示 yx 两数
值面分三种情况理:
(1) 3a 时 331 0 2 133
aa 剟 (Ⅰ)知 )(xf 区间 单
调递减 )(xf 区间 取值范围 )]0()2([ ff ()gx区间[02]
值
|}1||21max{||})0(||)2(max{| bbaffM
|})(1||)(1max{| baabaa
1 ( ) 0
1 ( ) 0
a a b a b
a a b a b
… 1 | | 2M a a b …
(2) 3 34 a „ 时 2 3 3 3 2 31 0 1 1 2 13 3 3 3
a a a a 剟
(Ⅰ)(Ⅱ)知 2 3 3(0) (1 ) (1 )33
aaf f f …
2 3 3(2) (1 ) (1 )33
aaf f f „
区间 取值范围 )]3
31()3
31([ afaf
33max{| (1 ) || (1 ) |}33
aaM f f 22max{| 3 || 3 |}99
aaa a b a a b
|})(39
2||)(39
2max{| baaabaaa
2 2 3 3 13 | | 39 9 4 4 4
a a a b …
(3) 30 4a时 2 3 2 30 1 1 233
aa
(Ⅰ)(Ⅱ)知 2 3 3(0) (1 ) (1 )33
aaf f f
2 3 3(2) (1 ) (1 )33
aaf f f
()fx区间[02]取值范围[ (0) (2)]ff
max{| (0) || (2) |} max{| 1 ||1 2 |}M f f b a b
|})(1||)(1max{| baabaa
11 | | 4a a b .
综述 0a 时 ()gx区间[02]值 1
4
.
43.解析(Ⅰ) '( ) ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2 )xxf x x e a x x e a .
(i)设 0a ( ) ( 2) xf x x e ()fx零点.
(ii)设 0a ( 1)x 时 '( ) 0fx (1 )x 时 '( ) 0fx .
()fx ( 1) 单调递减(1 ) 单调递增.
(1)fe (2)fa 取b 满足 0b ln 2
ab
223() (2)(1) ( )022
af b b a b a b b ()fx存两零点.
(iii)设 0a '( ) 0fx 1x ln( 2 )xa .
2
ea ln( 2 ) 1a (1 )x 时'( ) 0fx
()fx (1 ) 单调递增. 1x 时 ( ) 0fx ()fx存两零点.
2
ea ln( 2 ) 1a (1ln( 2 ))xa时 '( ) 0fx
(ln( 2 ) )xa 时 '( ) 0fx . (1ln( 2 ))a 单调递减
(ln( 2 ) )a 单调递增. 1x 时 ( ) 0fx
()fx存两零点.综 a 取值范围(0 ) .
(Ⅱ)妨设 12xx (Ⅰ)知 12( 1) (1 )xx 22 ( 1)x
()fx( 1) 单调递减 122xx等价 12( ) (2 )f x f x
2(2 ) 0fx. 22 2
2 2 2(2 ) ( 1)xf x x e a x
2 2
2 2 2( ) ( 2) ( 1) 0xf x x e a x 222
2 2 2(2 ) ( 2)xxf x x e x e .
设 2( ) ( 2)xxg x xe x e 2'( ) ( 1)( )xxg x x e e .
1x 时 '( ) 0gx (1) 0g 1x 时 ( ) 0gx .
22( ) (2 ) 0g x f x 122xx.
44.解析(I)证明: 2 e2
xxfx x
2
22
2 4 ee 2 22
x
x xxfx x xx
∵ x 2 2 时 0fx
∴ fx 2 2 单调递增
∴ 0x 时 2 e 0 12
xx fx
∴ 2 e 2 0xxx
(Ⅱ) 33
( 2) ( 2) 2()(())
xx e a x xg x f x axx
(Ⅰ)知 ()f x a 单调递增意 01a (0) 1 0f a a
(2) 0f a a…存唯 (02]ax ( ) 0af x a ( ) 0agx
0 axx 时 ( ) 0f x a( ) 0gx ()gx单调递减
axx 时 ( ) 0f x a( ) 0gx 单调递增. ()gx axx 处取值值
22
( 1) ( )( 1)() 2
a a ax x x
a a a
a
a a a
e a x e f x x egx x x x
.
() 2
ax
a
eha x
2
( 1)( ) 02 ( 2)
xxe x e
xx
2
xe
x
单调递增.
(02]ax
0 2 21 ()2 0 2 2 2 2 4
ax
a
e e e eha x „
单调递增意
21(]24
e 存唯
( ) [01)aa f x ()ha ()ha 值域
21e
24
.
综 [01)a 时 值 值域 .
45.解析(Ⅰ) ( ) 2 sin2 ( 1)sinf x a x a x .
(Ⅱ) 1a … 时| ( ) | | sin2 ( 1)(cos 1) |f x a x a x
2( 1)aa„ 32a (0)f
32Aa.
01a时 ()fx变形 2( ) 2 cos ( 1)cos 1f x a x a x .
令 2( ) 2 ( 1) 1g t at a t A | ( ) |gt [ 11] 值
( 1)ga(1) 3 2ga 1
4
at a
时 ()gt取极值
极值
221 ( 1) 6 1( ) 14 8 8
a a a ag a a a
.
令 1114
a
a
解 1
3a (舍) 1
5a .
(ⅰ) 10 5a „ 时 [ 11] 极值点| ( 1)|ga| (1)| 2 3ga
| ( 1)| | (1)|gg 23Aa .
(ⅱ) 1 15 a时 ( 1) (1) 2(1 ) 0g g a 知 1( 1) (1) ( )4
ag g g a
.
1 (1 )(1 7 )| ( ) | | ( 1) | 048
a a aggaa
21 6 1| ( ) |48
a a aAg aa
. 综
2
12 3 0 5
6 1 1185
3 2 1
aa
aaAaa
aa
„
…
.
(Ⅲ)(Ⅰ)| ()||2sin2 ( 1)sin | 2 | 1|f x a x a x a a „
10 5a „ 时|()|1 24 2(23)2f x a a a A 剟
1 15 a时 1318 8 4
aA a …| ( ) | 1 2f x a A „
1a … 时| ( ) | 3 1 6 4 2f x a a A 剟 | ( ) | 2f x A „
46.解析(I) 3a≥
1x≤ 时 222 4 2 2 1 2 1 2 0x ax a x x a x
1x 时 2 2 4 2 2 1 2 2x ax a x x x a .
等式 2( ) 2 4 2F x x ax a 成立 x 取值范围 22a .
(II)( i)设函数 ( ) 2 1f x x 2( ) 2 4 2g x x ax a
min( ) (1) 0f x f 2
min( ) ( ) 4 2g x g a a a
()Fx定义知 min 1 m a f g a
2
03 2 2
4 2 2 2
ama
a a a
≤ ≤
.
(ii)02x≤ ≤ 时
( ) ( ) max (0) (2) 2 (2)F x f x f f F≤ ≤
26x≤ ≤ 时
( ) ( ) max (2) (6) max 234 8 max (2) (6)F x g x g g a F F ≤ ≤ .
34 8 3 4() 2 4
aaMa a
≤
≥ .
47.解析(1) 12 2ab ( ) 2 2xxfx ①方程 ( ) 2fx 2 2 2xx 2(2 ) 2 2 1 0xx
2(2 1) 0x 21x 解 0x
②条件知 2 2 2 2(2)2 2 (2 2) 2(()) 2x x x xf x f x
(2 ) ( ) 6f x mf x xR 恒成立 ( ) 0fx
2( ( )) 4
()
fxm fx
恒成立
2( ( )) 4 4 4( ) 2 ( ) 4()()()
fx f x f xf x f x f x
2( (0)) 4 4(0)
f
f
4m 实数 m 值 4
(2)函数 ( ) ( ) 2g x f x 1 零点 00(0) (0) 2 2 0g f a b
0 函数 ()gx唯零点
( ) ln lnxxg x a a b b 0 1 1ab 知ln 0ln 0ab
( ) 0gx 唯解 0
lnlog ( )lnb
a
ax b
令 ()()h x g x ' 2 2( ) ( ln ln ) (ln ) (ln )x x x xh x a a b b a a b b
意 ( ) 0hx ()()g x h x () 单调增函数
0()xx 0( ) ( ) 0g x g x
0()xx 时 0( ) ( ) 0g x g x
函数 ()gx 0()x 单调减函数 0()x 单调增函数
证 0 0x
0 0x 0
0 02
xx 0( ) (0) 02
xgg
log 2 log 2 log 2(log 2) 2 2 0a a a
ag a b a 函数 0
2
x log 2a 端点
闭区间图象间断 间存 零点记 1x
01alog 2 0a 0 02
x 1 0x 0 函数 ()gx唯零点矛盾
0 0x 理 0
2
x log 2a 间存 非 0 零点矛盾
0 0x ln 1ln
a
bln ln 0ab 1ab .
48.解析(Ⅰ)( ) (e 1) 2mxf x m x .
0m≥ ( 0)x 时 10mxe ≤ ( ) 0fx
(0 )x 时 10mxe ≥ ( ) 0fx .
0m < ( 0)x 时 10mxe ( ) 0fx
(0 )x 时 10mxe ( ) 0fx .
()fx( 0) 单调递减(0 ) 单调递增.
(Ⅱ)(Ⅰ)知意 m [ 10] 单调递减[01] 单调递增.
()fx 0x 处取值.
意 1x 2x [ 11] 12| ( ) ( ) | 1f x f x e≤ 充条件:
(1) (0) 1
( 1) (0) 1
f f e
f f e
≤
≤ 1
1
m
m
e m e
e m e
≤
≤ ①
设函数 ( ) 1tg t e t e ( ) 1tg t e .
0t < 时 ( ) 0gt 0t > 时 ( ) 0gt .
()gt( 0) 单调递减(0 ) 单调递增.
(1) 0g 1( 1) 2 0g e e [ 11]t 时 ( ) 0gt≤ .
[ 11]m 时 ( ) 0 ( ) 0g m g m≤ ≤ ①式成立
1m > 时 ()gt单调性 ( ) 0gm> 1me m e
1m 时 ( ) 0gm 1me m e
综 m 取值范围[ 11] .
49.解析:(Ⅰ)题意知 函数 )(xf 定义域 )1( 1
12)12(1
1)(
2
x
aaxaxxaxxf
令 2( ) 2 1g x ax ax a ( 1 )x
(1) 0a 时 1)( xg
时 0)( xf 函数 )(xf )1( 单调递增极值点
(2) 0a 时 )89()1(82 aaaaa
①
9
80 a 时 0 0)( xg
0)( xf 函数 单调递增极值点
②
9
8a 时 0
设方程 012 2 aaxax 两根 )( 2121 xxxx
2
1
21 xx
1
1
4x 2
1
4x
01)1( g
4
11 1 x
)1( 1xx 时 0)(0)( xfxg 函数 )(xf 单调递增
)( 21 xxx 时 ( ) 0gx ( ) 0fx 函数 单调递减
2()xx 时 ( ) 0gx ( ) 0fx 函数 单调递增
函数两极值点
(3) 0a 时 0
01)1( g 11 x
)1( 2xx 时 ( ) 0gx ( ) 0fx 函数 单调递增
2()xx 时 ( ) 0gx ( ) 0fx 函数 单调递减
函数极值点
综述: 时函数 极值点
9
80 a 时函数 极值点
9
8a 时函数 )(xf 两极值点
(II)(I)知
(1)
9
80 a 时函数 )0( 单调递增
0)0( f )0( x 时 0)( xf 符合题意
(2) 19
8 a 时 0)0( g 02 x
函数 单调递增
时 符合题意
(3) 1a 时 0)0( g 02 x
2(0 )xx 时函数 )(xf 单调递减
)0( 2xx 时 0)( xf 合题意
(4) 0a 时设 )1ln()( xxxh
)0( x 时 011
11)(
x
x
xxh
)(xh )0( 单调递增
时 ( ) (0) 0h x h xx )1ln(
xaaxxxaxxf )1()()( 22
ax 11 时 0)1(2 xaax
时 0)( xf 合题意
综述 a 取值范围 ]10[.
50.解析(1)'( ) sin cosax axf x ae x e x ( sin cos )axe a x x 2 1 sin( )axa e x
中 tan 1
a
0< < 2
.
令 ()fx 0 x 0 + mx m m *N.
k N 2k < + <( 21k + ) < <( ) '()fx>0 ( 21k + ) < x + <( 22k + )( ) < <( ) '()fx<0.
区间(( 1)m m )( ) 符号总相反.
( m *N )时 ()fx取极值 *() nxn nN
时 1 sin( )() ( 1) sin a n a nn
nx e nf e 易知 ()nf x 0
1
1
2
1
()( 1)
() (1
s n
in)
i
s
an
ax
n
n
n
an
n
f ef
x e
x e
常数数列 ()nf x 首项
1()f x sinane 公 axe 等数列
(2)(1)知sin
2
1
1a
切 *nN nx <| ()nf x |恒成立
2
1
1
an
a
ne
恒成立
等价
2 1 ana e
a an
(*)恒成立( a >0)
设 ()gt
te
t
( 0t > ) 2
( 1)te
tgt t() .令 gt() 0 t 1
0< <1 时 ( ) 0gt 区间(01)单调递减
>1 时 ( ) 0gt 区间(01)单调递增.
1 时函数 取值 (1) eg .
(*)式恒成立需
2
()1 1ga ea 需
2
1
1
a
e
2
1
1e
时 tan 1
a 2 1e 3 0 2
.
22 13 e n 2≥ 时 22 13
2 en .
切 *nN
2
1
1nx
e
na
()ng ax
2 1(1) age a
.
(*)式恒成立. 综述
2 1
1a
e
切 *nN ( ) ||nnxxf 恒成立.
51.解析(Ⅰ) '( )fx 236x x a'(0)fa
曲线 ()y f x 点(02)处切线方程 2y ax.
题设 2 2a 1a .
(Ⅱ)(Ⅰ)知 32( ) 3 2f x x x x
设 ()gx ( ) 2f x kx 323 (1 ) 4x x k x 题设知10k.
x ≤0 时 '( )gx 23 6 1 0x x k 单调递增
( 1) 1 0 (0) 4g k g 0 0 唯实根.
0x 时令 32( ) 3 4h x x x ( ) (1 ) ( )h x k x h x .
2'( ) 3 6 3 ( 2)h x x x x x ()hx (02) 单调递减(2 ) 单调递增
( ) ( ) (2) 0g x h x h ( ) 0gx (0 ) 没实根
综 ()gx0 R 唯实根曲线 ()y f x 直线 2y kx交点.
52.解析(Ⅰ)函数 y f x 定义域(0 )
2
42
2 2 1()()
xxe x xef x kx x x
3
( 2)( ) ( 0)
xx e kx xx
0k 0xe kx
(02)x 时 ( ) 0fx 函数 ()y f x 单调递减
(2 )x 时 ( ) 0fx 函数 单调递增
()fx单调递减区间(02) 单调递增区间(2 )
(Ⅱ)(Ⅰ)知 0k 时 单调递减
存极值点
0k 时设函数 xg x e kx[0 )x ln() x x kg x e k e e . 01k时 (02)x 时 ( ) 0xg x e k 函数 y g x 单调递增
()fx(02) 存两极值点
1k 时
x (0ln )k ln k (ln )k
gx 0
()gx
函数(02) 存两极值点
仅
(0) 0
(ln ) 0
(2) 0
0 ln 2
g
gk
g
k
解
2
2
eek
综函数 fx 02 存两极值点时 k 取值范围
2
()2
ee .
53.解析(Ⅰ) ( ) (1 )af x a x bx
题设知 (1) 0f 解 1b .
(Ⅱ)()fx定义域(0 ) (Ⅰ)知 21( ) ln 2
af x a x x x
1() (1)1 ( )(1)1
a a af x a x x xx x a
(ⅰ) 1
2a 11
a
a
(1 )x 时 ( ) 0fx ()fx(1 )
单调递增存 0 1x 0() 1
afx a
充条件 (1) 1
af a
1 121
aa
a
解 2 1 2 1a .
(ii) 1 12 a 11
a
a
(1 )1
ax a
时 '( ) 0fx
()1
ax a
时 ( ) 0fx (1 )1
a
a
单调递减()1
a
a
单调
递增.存 充条件 ()11
aaf aa
2
( ) ln1 1 2(1 ) 1 1
a a a a afaa a a a a
合题意. (iii) 1a 11(1) 12 2 1
aaaf a
.
综 a 取值范围( 2 1 2 1) (1 ) .
54.解析(Ⅰ)题意知 0a 时 1( ) (0 )1
xf x xx
时 2
2() ( 1)fx x
1(1) 2f (1) 0f
曲线 ()y f x (1 (1))f 处切线方程 2 1 0xy .
(Ⅱ)函数 ()fx定义域(0 )
2
22
2 (2 2)() ( 1) ( 1)
a ax a x afx x x x x
0a 时 ( ) 0fx 函数 单调递增
0a 时令 2( ) (2 2)g x ax a x a
22(2 2) 4 4(2 1)a a a
① 1
2a 时 0
2
2
1 ( 1)2( ) 0( 1)
x
fx xx
函数 ()fx 单调递减
② 1
2a 时 0 ( ) 0gx ( ) 0fx 函数 单调递减
③ 1 02 a 时 0
设 1 2 1 2()x x x x 函数 ()gx两零点
1
( 1) 2 1aax a
2
( 1) 2 1aax a
1
1 2 1aax a
2 2 1 2 1 0a a a
a
1(0 )xx 时 ( ) 0 ( ) 0g x f x函数 单调递减
12()x x x 时 ( ) 0 ( ) 0g x f x函数 单调递增 2()xx 时 ( ) 0 ( ) 0g x f x函数 ()fx单调递减
综知 0a 时函数 ()fx (0 ) 单调递增
1
2a 时函数 单调递减
1 02 a 时 ( 1) 2 1(0 )aa
a
( 1) 2 1()aa
a
单调
递减 ( 1) 2 1 ( 1) 2 1()a a a a
aa
单调递增.
55.解析(Ⅰ) 2( ) 2f x x x a 方程 2 20x x a 判式: 44a .
∴ 1a≥ 时 0≤ ∴ ( ) 0fx ≥ 时 ()fx() 增函数.
1a 时方程 2 20x x a 两根 11a .
( 1 1 )xa 时 ( ) 0fx ∴时 ()fx增函数
( 1 1 1 1 )x a a 时 ( ) 0fx ∴时 减函数
( 1 1 )xa 时 ∴时 增函数
综 1a≥ 时 ()fx 增函数
时 ()fx单调递增区间( 1 1 )a ( 1 1 )a .
()fx单调递减区间( 1 1 1 1 )aa .
(Ⅱ) 3 2 3 2
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1()() 1()()()12 3 3 2 2 2f x f x x ax a
3 3 2 2
0 0 0
1 1 1 1()()()3 2 2 2x x a x
2 0
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )3 2 2 4 2 2 2
xx x x x a x
2
00
00
1 1 1( )( )2 3 6 12 2
xxx x a
2
0 0 0
11( )(4 14 7 12 )12 2x x x a ∴存 0
11(0 ) ( 1)22x 0
1()()2f x f
必须 2
004 14 7 12 0x x a 11(0 ) ( 1)22
解
∵ 0a ∴ 214 16(7 12 ) 4(21 48 ) 0aa
方程两根: 14 2 21 48 7 21 48
84
aa ∵ 0 0x
∴ 0x 7 21 48
4
a
题意 7 21 48014
a 7 21 48 11a
∴ 49 21 48 121a 25 7
12 12a
7+ 21 48 142
a 5
4a 欲满足题意 0x 存 5
4a .
∴ 25 5 5 7()()12 4 4 12a 时存唯 满足
0
1()()2f x f .
25 7 5( ] [ 0)12 12 4a
时存
.
56.解析(Ⅰ) xR( ) e e ( )xxf x f x ∴ ()fx R 偶函数
(Ⅱ)题意 (e e ) e 1x x xmm ≤ (e e 1) e 1x x xm ≤
∵ (0 )x ∴e e 1 0xx e1
e e 1
x
xxm
≤ (0 )x 恒成立
令 e ( 1)xtt 2
1
1
tm tt
≤ 意 (1 )t 恒成立
∵ 22
1 1 1 1
1 ( 1) ( 1) 1 1 3111
tt
t t t t t t
≥
仅 2t 时等号成立
∴ 1
3m ≤ (Ⅲ)'( ) e exxfx 1x 时 '( ) 0fx ∴ ()fx (1 ) 单调增
令 3( ) ( 3 )h x a x x '( ) 3 ( 1)h x ax x
∵ 01ax∴ '( ) 0hx ()hx (1 )x 单调减
∵存 0 [1 )x 3
0 0 0( ) ( 3 )f x a x x ∴ 1(1) e 2efa
11e2ea
∵
e1
e 1 1
1ln ln ln e (e 1)ln 1e
a
a
a a a a
设 ( ) (e 1)ln 1m a a a e 1 e 1 1 1'( ) 1 e2e
am a aaa
11e e 12ea 时 '( ) 0ma ()ma 单调增
e1a 时 '( ) 0ma 单调减
两零点 (1) (e) 0mm
∴ ea 时 ( ) 0ma e 1 1eaa
11ee2ea 时 e 1 1eaa
ea 时 ( ) 0ma e 1 1eaa .
57.解析(I) 2( ) ( ) 2 4f x e ax a b x .已知 (0) 4f (0) 4f .
4b 8ab. 4ab
(II) (I)知 2( ) 4 ( 1) 4xf x e x x x
1( ) 4 ( 2) 2 4 4( 2)( )2
xxf x e x x x e
令 ( ) 0fx ln 2x 2x .
( 2) ( 1 2 )xn 时 ( ) 0fx ( 2 1 2)xn ( ) 0fx .
()fx( 2) ( ln 2 ) 单调递增( 2 ln 2) 单调递减.
2x 时函数 ()fx取极值极值 2( 2) 4(1 )fe .
58.解析(Ⅰ) fx定义域 2xf x e x x ① 0x 2x 时 0fx 02x 时 0fx
fx 0 2 单调递减 02 单调递增.
0x 时 fx取极值极值 00f 2x 时 fx取极
值极值 224fe .
(Ⅱ)设切点 t f t l 方程 y f t x t f t
l x 轴截距
22322
ft tm t t t tf t t t
已知① 0 2t
令 2 0h x x xx 0x 时 hx取值范围[2 2 )
2x 时 hx取值范围 3 .
0 2t 时 mt取值范围 0 [2 2 3 ) .
综l x 轴截距取值范围 .
59. 解析(Ⅰ) 1 x
af x x e 1 x
afx e
.
曲线 y f x 点 1 1f 处切线行 x 轴
10f 10a
e解 ae .
(Ⅱ)
① 0a 时 0fx fx 增函数函数 fx极值.
② 0a 时令 0fx xea lnxa .
lnxa 0fx ln xa 0fx .
ln a 单调递减 ln a 单调递增
fx lnxa 处取极值极值 ln lnf a a 极值.
综 0a 时函数 极值
处取极值ln a 极值. (Ⅲ) 1a 时 11 xf x x e
令 111 xg x f x kx k x e
直线l : 1y kx曲线 y f x 没公点
等价方程 0gx R 没实数解.
假设 1k 时 0 1 0g 1
1
11101 k
g k e
函数 gx图象连续断零点存定理知 0gx R 少解
方程 0gx R 没实数解矛盾 1k .
1k 时 1 0xgx e知方程 0gx R 没实数解.
k 值1.
解法二:(Ⅰ)( Ⅱ)解法.
(Ⅲ) 1a 时 11 xf x x e .
直线 : 曲线 没公点
等价关 x 方程 111xkx x e R 没实数解关 x 方程:
11 xkxe (*)
没实数解.
① 1k 时方程(*)化 1 0xe 没实数解.
② 1k 时方程(*)化 1
1
xxek
.
令 xg x xe 1 xg x x e .
令 0gx 1x
x 变化时 gx 变化情况表:
1 1 1
gx 0 gx
1
e
1x 时 min
1gx e 时 x 趋 时 gx趋
gx取值范围 1 e
.
111ke
时方程(*)实数解解 k 取值范围 1 1e .
综 k 值1.
60. 解析(Ⅰ)函数 ()fx定义域(0+∞).
() 2ln (2ln 1)f x x x x x x 令 ()fx =0 1
e
x
x 变化时f′(x) 变化情况表:
x 10
e
1
e
1
e
()fx - 0 +
极值
函数 单调递减区间 单调递增区间
(Ⅱ)证明:01x ≤ 时 ≤0
设 0t 令 ()()h x f x t[1 )x .
(1)知 ()hx 区间(1 ) 单调递增.
(1) 0ht 22( ) ln ( 1) 0t t t th e e e t t e .
存唯 (1 )s ()t f s 成立.
(Ⅲ)证明: ()s g t (2)知 ()t f s 1s
2
ln ( ) ln ln ln
ln ln ( ) ln( ln ) 2ln ln(ln ) 2 ln
g t s s s u
t f s s s s s u u
中 lnus .
2 ln ( ) 1
5 ln 2
gt
t成立需0 ln 2
uu
2te 时 ()s g t e ≤ ()fs单调性 2()()t f s f e e≤ 矛盾.
se 1u ln 0u 成立. 方面令 ( ) ln 2
uF u u 1u . 11() 2Fu u
令 ( ) 0Fu 2u .
12u( ) 0Fu 2u 时 ( ) 0Fu
( 0 (2) 0F u F ≤ .
ln 2
uu 成立.
综 2te 时 2 ln ( ) 1
5 ln 2
gt
t
61.解析(Ⅰ)题 1'( ) 0f x ax )1( 恒成立 1a x )1( 恒成立
1a'( ) xg x e a
0a '( ) 0xg x e a )1( 恒成立 )(xg )1( 递增
()gx )1( 没值 0a lnxa 时 '( ) 0gx
'( ) xg x e a )1( 递增 lnxa 时 '( ) 0gx )(xg 递增
lnxa 时 '( ) 0gx )(xg 递减 lnxa )(xg 疑极点
题ln 1a ae
综 a 取值范围 ae .
(Ⅱ)题 '( ) 0xg x e a ( 1 ) 恒成立
xea ( 1 ) 恒成立 1a e
( ) ln 0( 0)f x x ax x ln ( 0)xaxx
令 ln( ) ( 0)xh x xx 2
1 ln'( ) ( 0)xh x xx
0 xe时 '( ) 0hx ln( ) ( 0)xh x xx递增
xe 时 '( ) 0hx ln( ) ( 0)xh x xx递减
xe时 ln( ) ( 0)xh x xx值 1
e
01x时 ln( ) 0xhx x 1x 时 ln( ) 0xhx x
作出 ln( ) ( 0)xh x xx致图象 x
y
1
e
eO
图知: 0a 1a e 时 )(xf 零点 1 10 a e时 )(xf 零点
2
62.解析(Ⅰ) ()fx定义域() () xf x e a .
0a „ ( ) 0fx 单调递增.
0a ( ln )xa 时 ( ) 0fx (ln )xa
( ln )a 单调递减(ln )a 单调递增.
(Ⅱ) 1a (x-k) f´(x)+x+1 ( )( 1) 1xx k e x .
0x 时(x-k) f´(x)+x+1>0 等价
1
1x
xkxe
( 0x ) ①
令 1() 1x
xg x xe
22
1 ( 2)( ) 1( 1) ( 1)
x x x
xx
xe e e xgx ee
(Ⅰ)知函数 ( ) 2xh x e x (0 ) 单调递增. (1) 0 (2) 0hh ()hx
存唯零点 ()gx 存唯零点设零点
(12) . (0 )x 时 ( ) 0gx ()x 时 ( ) 0gx ()gx
值 ()g ( ) 0g 2e ( ) 1 (23)g
①等价 ()kg 整数 k 值 2.
63.解析(Ⅰ)设 ( 1)xt e t
22
22
1 1 1aty at b y aat at at
① 1a 时 0y 1y at bat 1t 增函数
: 1( 0)tx时 ()fx值 1aba
②01a时 1 2y at b bat
仅 11( ln )xat t e x aa 时 值 2b
(Ⅱ) 11()()xx
xxf x ae b f x aeae ae
题意:
2
2 2
2
2
1 2(2) 3 3
3 13 1(2) 2 2 2
f ae b aae e
f ae bae
.
64.解析(Ⅰ) ()fx xe
kx ln )(xf xe
xkx ln1
0)1( f
01
e
k 解 1k
(Ⅱ) xe
xx ln11
令 0)( xf 1x
10 x 时 0ln11)( xxxf 1x 时 0ln11)( xxxf .
)(xf 区间 )10( 增函数 )1( 减函数
(Ⅲ) xx e
xxxx
e
xxxxxg ln)(1ln11
)()(
22
2
1(1 ln ) (0 )x
x x x x xe
意 0x 21 exg 等价 2(1 ln ) (1 )1
xex x x ex
设 ( ) 1 ln (0 )h x x x x x
2( ) ln 2 (ln ln )h x x x e
2(0 )xe 时 ( ) 0 ( )h x h x 2()xe 时 ( ) 0 ( )h x h x
22
max( ) ( ) 1h x h e e 2(1 ln ) 1x x x e
设 ( ) ( 1)xx e x 0( ) 1xxx e e e
∵ 0x ∴ ( ) 0x ()x ∴ ( ) (0) 0x 11
xe
x
∴ 2(1 ln ) (1 )1
xex x x ex
意 0x 21 exg
65. 解析(Ⅰ) 22
1( ln )
'( ) ( 1)
x x bxfx xx
直线 2 3 0xy 斜率 1
2 点 (11)
(1) 1
1'(1) 2
f
f
1
1 22
b
a b
解 1a 1b .
(Ⅱ)(Ⅰ)知 ln 1() 1
xfx xx
)1ln2(1
1
1
ln)(
2
2 x
xxxx
xxf
考虑函数 ( ) 2lnh x xx
x 12 ( 0)x
2
2
2
22 )1()1(22)( x
x
x
xx
xxh
1x 时 0)1(0)( hxh
)10(x 时 0)(1
10)( 2 xhxxh
)1( x 时 0)(1
10)( 2 xhxxh
1
ln)(01
ln)(10 x
xxfx
xxfxx
66.解析(Ⅰ) 22( ) ln 0f x a x x ax x 中
2 ( )(2 )( ) 2a x a x af x x axx
0a ()fx增区间(0 )a 减区间()a
(Ⅱ)证明:题意 (1) 1 1f a c a c
(Ⅰ)知 ( ) [1 ]f x e 单调递增 21 ( ) [1 ]e f x e x e 恒成立
2 2 2
(1) 1 1
()
f a e
f e a e ae e
解 ae
67.解析(Ⅰ) ( ) 2fe 2b
(Ⅱ)(Ⅰ) ( ) 2 ln f x ax ax x '( ) ln f x a x 0a :
(1) 0a 时 ( ) > 0fx >1x ( ) < 0fx <
综 0a 时函数 ()fx单调递增区间(1 ) 单调递减区间(01)
0a 时函数 ()fx单调递增区间 单调递减区间(1 ) .
(Ⅲ) 1a 时 ( ) 2 lnf x x x x '( ) lnf x x .
(Ⅱ) x 区间 1()ee
变化时 '( ) ( )f x f x 变化情况表:
x 1
e 1( 1)e 1 (1 )e e
'( )fx - 0 +
()fx 22 e 单调递减 极值 1 单调递增 2
222e函数 ()fx 1( [ ])xee 值域[12].
1
2
m
M
[]t m M 直线 yt 曲线 ()y f x
1( [ ])xee 公点. ()()t m M 直线 yt
曲线 ()y f x 1( [ ])xee 没公点.
综 时存实数 m 1实数 M 2 []t m M
直线 曲线 1( )( [ ])y f x x ee公点. 68.解析(Ⅰ) 1
2a 时 21( ) ( 1) 2
xf x x e x
'( ) 1 ( 1)( 1)x x xf x e xe x e x . 1x 时 '( )fx
10x 时 '( ) 0fx 0x 时 '( ) 0fx .
()fx 1 0 单调增加( 10) 单调递减.
(Ⅱ) ( ) ( 1 )af x x x ax .令 ( ) 1ag x x ax '( ) xg x e a. 1a
0x 时 '( )gx()gx减函数 (0) 0g x≥0 时
≥0 ≥0. a 0lnxa 时 '( )gx
减函数 时 <0 <0.
综合 a 取值范围 1 .
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