理科数学2010-2019高考真题分类训练8专题三 导数及其应用第八讲导数的综合应用—附解析答案



    专题三 导数应
    第八讲 导数综合应
    2019 年
    1(2019 天津理 8)已知 aR设函数
    2 2 2 1()
    ln 1
    x ax a xfx
    x a x x
       
    „ 关 x 等式
    ( ) 0fx… R 恒成立 a 取值范围
    A 01 B 02 C 0e D 1e
    2(2019 全国Ⅲ理 20)已知函数 32( ) 2f x x ax b  
    (1)讨 ()fx单调性
    (2)否存 ab ()fx区间[01] 值 1 值 1?存求
    出 ab值存说明理
    3(2019 浙江 22)已知实数 0a  设函数 ( ) ln 1 0f x a x x x  
    (1) 3
    4a  时求函数 ()fx单调区间
    (2)意 2
    1[)ex  均 ()2
    xfx a 求 a 取值范围
    注:e271828…然数底数
    4(2019 全国Ⅰ理 20)已知函数 ( ) sin ln(1 )f x x x   ()fx ()fx导数.证明:
    (1)()fx 区间 ( 1 )2
     存唯极值点
    (2)()fx仅 2 零点.
    5(2019 全国Ⅱ理 20)已知函数   1
    1ln
    x
    f x x x

    
    (1)讨 f(x)单调性证明 f(x)仅两零点
    (2)设 x0 f(x)零点证明曲线 yln x 点 A(x0ln x0)处切线曲线 exy 
    切线
    6(2019 江苏 19)设函数 ()( )( )( )fx xaxbxcabc    R()f ' x f(x)导函
    数.
    (1) abcf(4)8求 a 值
    (2) a≠bbc f(x) ()f ' x 零点均集合{ 313} 中求 f(x)极值
    (3) 00 1 1a b c  „ f(x)极值 M求证M≤ 4
    27

    7(2019 北京理 19)已知函数 321() 4f x x x x  
    (Ⅰ)求曲线 ()y f x 斜率 1 切线方程
    (Ⅱ)  24x 时求证:  6x f x x  
    (III)设    ()F x f x x a a   R记 ()Fx区间 24 值  Ma
    时求 a 值
    8(2019 天津理 20)设函数 ( ) e cos ( )xf x x g x  fx导函数
    (Ⅰ)求  fx单调区间
    (Ⅱ) π π42x 
    时证明 π( ) ( ) 02f x g x x

    (Ⅲ)设 nx 函数 ( ) ( ) 1u x f x区间 π π2 2 π42mm
    零点中 nN证

    2
    00
    π2 2 sin c
    e
    os
    n
    nnxxx



       

    20102018 年
    选择题
    1.( 2017 新课标Ⅱ) 2x  函数 21( ) ( 1) xf x x ax e    极值点
    21( ) ( 1) xf x x ax e    极值
    A. 1 B. 32e C. 35e D.1
    2.( 2017 浙江)函数 ()y f x 导函数 ()y f x 图图示函数 图

    x
    y
    O

    O
    y
    x x
    y
    O

    A. B.
    x
    y
    O x
    y
    O

    C. D.
    3.(2016 全国 I) 函数 2 | |2 xy x e[–22]图致
    A. B.
    C. D.
    4.( 2015 四川)果函数        21 2 8 1 0 02f x m x n x m n       区间 1 22
    
    

    单调递减 mn 值
    A.16 B.18 C.25 D. 81
    2
    5.( 2015 新课标Ⅱ)设函数 ()fx 奇函数 ( )( )f x x R 导函数 ( 1) 0f  0x  时
    '( ) ( )xf x f x 0 f (x) 0 成立 x 取值范围
    A.    1 01  B.   10 1 
    C.    1 10   D.   01 1
    6.(2015 新课标Ⅰ)设函数 ( ) (2 1)xf x e x ax a    中 1a  存唯整数 0x
    0( ) 0fx  a 取值范围
    A. 3[ 1)2e B. 33[)24e C. 33[)24e D. 3[ 1)2e
    7.( 2014 新课标Ⅱ)函数 ( ) lnf x kx x 区间(1 ) 单调递增 k 取值范围
    A. 2  B. 1  C. 2 D. 1 
    8.( 2014 陕西)图修建条公路需段环湖弯曲路段两条直道滑连续(相切)
    已知环湖弯曲路段某三次函数图部分该函数解析式
    x
    y
    (千米)
    (千米)
    湖面
    2O
    y3x6yx

    A. 3211
    22y x x x   B. 3211322y x x x  
    C. 31
    4y x x D. 3211242y x x x  
    9.(2014 新课标Ⅱ)设函数   3sin xfx m
     .存  fx极值点 0x 满足
      222
    00x f x m m 取值范围
    A.    6 6    B.    4 4   
    C.    2 2    D.    1 1   
    10.( 2014 陕西)图某飞行器 4 千米高空水飞行距着陆点 A 水距离 10 千
    米处降已知降飞行轨迹某三次函数图部分函数解析式
    x
    y
    A
    面跑道
    2
    2
    5
    5 O

    A. 313
    125 5y x x B. 324
    125 5y x x
    C. 33
    125y x x D. 331
    125 5y x x  
    11.( 2014 辽宁) [ 21]x 时等式 324 3 0ax x x    恒成立实数 a 取值范

    A.[ 5 3] B. 9[ 6 ]8 C.[ 6 2] D.[ 4 3]
    12.( 2014 湖南) 1201xx  
    A. 21
    21ln lnxxe e x x   B. 21
    21ln lnxxe e x x  
    C. 12
    21
    xxx e x e D. 12
    21
    xxx e x e
    13.( 2014 江西)直角坐标系中函数 2
    2
    ay ax x   2 3 22y a x ax x a   
    ()aR 图...
    x
    y
    A
    O
    x
    y
    B
    O
    x
    y
    C
    O
    x
    y
    D
    O

    14.( 2013 新课标Ⅱ)已知函数   32f x x ax bx c    列结中错误
    A.  000x R f x
    B.函数  y f x 图中心称图形
    C. 0x  fx极值点 区间 0 x 单调递减
    D. 0x  fx极值点  0'0fx
    15.( 2013 四川)设函数 ( ) exf x x a   ( a R e 然数底数)曲线 xy sin
    存点 )( 00 yx 00 ))(( yyff  a 取值范围
    A. ]e1[ B.]11e[ 1  C. [ 1e1 ] D. [ 1e 1 e 1 ]
    16.( 2013 福建)设函数 ()fx定义域 R 00( 0)xx 极值点结
    定正确
    A. 0()()x R f x f x   B. 0x ()fx 极值点
    C. ()fx 极值点 D. ()fx极值点
    17.( 2012 辽宁)函数 xxy ln2
    1 2  单调递减区间
    A.(-11] B.(01] C. [1+ ) D.(0+ )
    18.( 2012 陕西)设函数 () xf x xe
    A. 1x  ()fx极值点 B. 极值点
    C. 1x  极值点 D. 极值点
    19.( 2011 福建) 0a  0b  函数 32( ) 4 2 2f x x ax bx    1x  处极值
    ab 值等
    A.2 B.3 C.6 D.9
    20.( 2011 浙江)设函数    2 fx ax bxcabc R    1x  函数   xf x e
    极值点列图象  y f x 图象

    A B C D
    21.( 2011 湖南)设直线 xt 函数 2()f x x ( ) lng x x 图分交点 MN
    MN 达时t 值
    A.1 B. 1
    2 C. 5
    2 D. 2
    2
    二填空题
    22.( 2015 安徽)设 3 0x ax b   中 ab均实数列条件中该三次方程仅
    实根 (写出正确条件编号)
    ① 3 3ab    ② 3 2ab   ③ 3 2ab   ④ 0 2ab
    ⑤ 1 2ab.
    23.( 2015 四川)已知函数 xxf 2)(  axxxg  2)((中 Ra ).相等实数
    21 xx 设
    21
    21 )()(
    xx
    xfxfm 
    
    21
    21 )()(
    xx
    xgxgn 
     现命题:
    ①意相等实数 0m
    ②意 a 意相等实数 0n
    ③意 存相等实数 nm 
    ④意 存相等实数 nm  .
    中真命题 (写出真命题序号).
    24.( 2015 江苏)已知函数 |ln|)( xxf 



    
     12|4|
    100)( 2 xx
    xxg 方程
    1|)()(|  xgxf 实根数 .
    25.( 2011 广东)函数 32( ) 3 1f x x x   x ______处取极值.
    三解答题
    26.(2018 全国卷Ⅰ)已知函数 1( ) lnf x x a xx   .
    (1)讨 ()fx单调性
    (2) ()fx存两极值点 12xx证明: 12
    12
    ()() 2 
    f x f x axx

    27.(2018 全国卷Ⅱ)已知函数 2( ) exf x ax .
    (1) 1a 证明: 0≥x 时 ( ) 1≥fx
    (2) ()fx(0 ) 零点求 a .
    28.(2018 全国卷Ⅲ)已知函数 2() (2 )ln(1 )2f x x ax x x     .
    (1) 0a  证明: 10x   时 ( ) 0fx 0x  时 ( ) 0fx
    (2) 0x  ()fx极值点求 a .
    29.(2018北京)设函数 2( ) [ (4 1) 4 3] xf x ax a x a e     .
    (1)曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线 x 轴行求 a
    (2) ()fx 2x  处取极值求 a 取值范围.
    30.(2018 天津)已知函数 () xf x a ( ) logag x x 中 1a  .
    (1)求函数 ( ) ( ) lnh x f x x a单调区间
    (2)曲线 ()y f x 点 11( ( ))x f x 处切线曲线 ()y g x 点 22( ( ))x g x 处切
    线行证明 12
    2ln ln() ln
    ax g x a  
    (3)证明
    1
    eea≥ 时存直线l 曲线 切线曲线
    切线.
    31.(2018 江苏)记 ( ) ( )f x g x分函数 ( ) ( )f x g x 导函数.存 0x R满足
    00()()f x g x 00()()f x g x 称 0x 函数 ()fx ()gxS 点.
    (1)证明:函数 ()f x x 2( ) 2 2g x x x   存 点
    (2)函数 2( ) 1f x ax ( ) lng x x 存 点求实数 a 值
    (3)已知函数 2()f x x a   e()
    xbgx x .意 0a  判断否存 0b  函
    数 ()fx ()gx区间(0 ) 存 点说明理.
    32.(2018 浙江)已知函数 ( ) lnf x x x.
    (1) ()fx 1xx 2x ( 12xx )处导数相等证明: 12( ) ( ) 8 8ln 2f x f x  
    (2) 3 4ln 2a ≤ 证明:意 0k  直线 y kx a曲线 ()y f x 唯
    公点.
    33.( 2017 新课标Ⅰ)已知函数 2( ) ( 2)xxf x ae a e x    .
    (1)讨 ()fx单调性
    (2) 两零点求 a 取值范围.
    34.( 2017 新课标Ⅱ)已知函数 2( ) lnf x ax ax x x   ( ) 0fx≥ .
    (1)求 a
    (2)证明: ()fx存唯极值点 0x 22
    0( ) 2e f x.
    35.( 2017 新课标Ⅲ)已知函数 ( ) 1 lnf x x a x   .
    (1) ( ) 0fx≥ 求 a 值
    (2)设 m 整数意正整数 n 2
    1 1 1(1 )(1 ) (1 )2 2 2n m     求 m 值.
    36.( 2017 浙江)已知函数 ( ) ( 2 1) xf x x x e   1()2x≥ .
    (Ⅰ)求 ()fx导函数
    (Ⅱ)求 区间 1[)2  取值范围.
    37.(2017 江苏)已知函数 32( ) 1f x x ax bx    ( 0 )abR 极值导函数 ()fx
    极值点 ()fx零点.(极值点指函数取极值时应变量值)
    (1)求b 关 a 函数关系式写出定义域
    (2)证明: 2 3ba
    (3) ()fx()fx 两函数极值 7
    2 求 a 取值范围.
    38.(2017 天津)设 aZ已知定义 R 函数 4 3 2( ) 2 3 3 6f x x x x x a     区
    间 (12) 零点 0x ()gx ()fx导函数.
    (Ⅰ)求 单调区间
    (Ⅱ)设 00[1 ) ( 2]m x x 函数 0( ) ( )( ) ( )h x g x m x f m   求证: 0( ) ( ) 0h m h x 
    (Ⅲ)求证:存 0 常数 A意正整数 pq 00[1 ) ( 2]p xxq 
    满足 0 4
    1||p xq Aq .
    39.(2017 山东)已知函数   2 2cosf x x x    cos sin 2 2xg x e x x x    中
    271828e  然数底数.
    (Ⅰ)求曲线  y f x 点 ( ( ))f处切线方程
    (Ⅱ)令 ()()()h x g x af x ()aR 讨 ()hx 单调性判断极值极值
    时求出极值.
    40.(2016 年山东)已知   2
    21( ) ln Rxf x a x x ax
        .
    (I)讨 ()fx单调性
    (II) 1a  时证明   3()' 2f x f x > 意  12x 成立.
    41.(2016 年四川) 设函数 2( ) lnf x ax a x   中 aR
    (I)讨 ()fx单调性
    (II)确定 a 取值 11() xf x ex
     区间(1 ) 恒成立(e2718…
    然数底数).
    42.(2016 年天津)设函数 3( ) ( 1)f x x ax b    Rx 中 Rba 
    (I)求 )(xf 单调区间
    (II) )(xf 存极值点 0x )()( 01 xfxf  中 01 xx  求证: 1023xx
    (Ⅲ)设 0a 函数 |)(|)( xfxg  求证: )(xg 区间 ]11[ 值...4
    1 .
    43.(2016 年全国Ⅰ) 已知函数 2( ) ( 2) ( 1)xf x x e a x    两零点.
    (I)求 a 取值范围
    (II)设 1x 2x ()fx两零点证明: 122xx.
    44.(2016 年全国Ⅱ)
    (I)讨函数 2( ) e2
    xxfx x
      单调性证明 0x  时( 2)e 2 0xxx   
    (II)证明: [01)a 时函数   2
    e ( 0)
    x ax ag x xx
      值.设  gx值
    ()ha 求函数 ()ha 值域.
    45.(2016 年全国Ⅲ) 设函数 ( ) cos2 ( 1)(cos 1)f x x x    中 0 
    记| ( ) |fx 值 A.
    (Ⅰ)求 ()fx
    (Ⅱ)求
    (Ⅲ)证明| ( )| 2f x A ≤ .
    46.( 2016 年浙江高考)已知 3a≥ 函数 ()Fx 2min{2| 1| 2 4 2}x x ax a    中
    min{ }pq >
    p p q
    q p q



    ≤ .
    (I)求等式 2( ) 2 4 2F x x ax a    成立 x 取值范围
    (II)( i)求 ()Fx值 ()ma
    (ii)求 区间[06] 值 ()Ma.
    47.(2016 江苏) 已知函数    0 0 1 1xxf x a b a b a b      .
    (1)设 2a  1
    2b  .
    ①求方程   2fx 根
    ②意 xR等式    26f x mf x ≥ 恒成立求实数 m 值
    (2) 01a 1b  函数     2g x f x 1 零点求 ab 值.
    48.(2015 新课标Ⅱ)设函数 2() mxf x e x mx   .
    (Ⅰ)证明: ()fx ( 0) 单调递减(0 ) 单调递增
    (Ⅱ)意 1x 2x [ 11] 12| ( ) ( ) |f x f x 1e≤ 求 m 取值范围.
    49.(2015 山东)设函数 2( ) ln( 1) ( )f x x a x x    中 aR .
    (Ⅰ)讨函数 ()fx极值点数说明理
    (Ⅱ) 0x ( ) 0fx≥ 成立求 a 取值范围.
    50.( 2015 湖南)已知 0a  函数 ( ) sin ( [0 ))axf x e x x   .记 nx ()fx
    第 n *()nN 极值点.
    证明:(1)数列{ ( )}nfx 等数列
    (2)
    2
    1
    1
    a
    e 
    ≥ 切 *nN | ( ) |nnx f x 恒成立.
    51.( 2014 新课标Ⅱ)已知函数 32( ) 3 2f x x x ax    曲线 ()y f x 点(02)处
    切线 x 轴交点横坐标-2.
    (Ⅰ)求 a
    (Ⅱ)证明: 1k  时曲线 直线 2y kx交点.
    52.(2014 山东)设函数   )ln2(2 xxkx
    exf
    x
     ( k 常数 271828e  然数
    底数).
    (Ⅰ) 0k  时求函数  fx单调区间
    (Ⅱ)函数  02 存两极值点求 k 取值范围.
    53.( 2014 新课标Ⅰ)设函数    21ln 12
    af x a x x bx a    曲线 ()y f x 点
    (1 (1))f 处切线斜率 0.
    (Ⅰ)求b
    (Ⅱ)存 0 1x   0 1
    afx a 
    求 a 取值范围.
    54.( 2014 山东)设函数 1( ) ln 1
    xf x a x x
     中 a 常数.
    (Ⅰ) 0a  求曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线方程
    (Ⅱ)讨函数 ()fx单调性.
    55.(2014 广东) 已知函数 321( ) 1( )3f x x x ax a R     .
    (Ⅰ)求函数 ()fx单调区间
    (Ⅱ) 0a  时试讨否存 0
    11(0 ) ( 1)22x  0
    1()()2f x f .
    56.(2014 江苏)已知函数 xxxf  ee)(中 e 然数底数.
    (Ⅰ)证明:)(xf R 偶函数
    (Ⅱ)关 x 等式 )(xmf ≤ 1e  mx )0(  恒成立求实数 m 取值范围
    (Ⅲ)已知正数 a 满足:存 )1[0 x )3()( 0
    3
    00 xxaxf  成立.试较 1e a
    1ea 证明结.
    57.(2013 新课标Ⅰ)已知函数 2( ) ( ) 4xf x e ax b x x    曲线 ()y f x 点 (0 (0))f
    处切线方程 44yx.
    (Ⅰ)求 ab值
    (Ⅱ)讨 ()fx单调性求 ()fx极值.
    58.(2013 新课标Ⅱ)已知函数 2() xf x x e .
    (Ⅰ)求 ()fx极值极值
    (Ⅱ)曲线 切线l 斜率负数时求l x 轴截距取值范围.
    59.(2013 福建)已知函数 ( ) 1 x
    af x x e   ( aR e 然数底数).
    (Ⅰ)曲线 点(1 (1))f 处切线行 x 轴求 a 值
    (Ⅱ)求函数 ()fx极值
    (Ⅲ) 1a  值时直线 1l y kx曲线 ()y f x 没公点求 k
    值.
    60.(2013 天津)已知函数 2( ) lnf x x x .
    (Ⅰ)求函数 单调区间
    (Ⅱ) 证明:意 0t  存唯 s ()t f s .
    (Ⅲ)设(Ⅱ)中确定 s 关t 函数 ()s g t
    证明: 2te 时 2 ln ( ) 1
    5 ln 2
    gt
    t.
    61.(2013 江苏)设函数 ( ) lnf x x ax() xg x e ax中 a 实数.
    (Ⅰ) ()fx (1 ) 单调减函数 ()gx 值求 a 取值
    范围
    (Ⅱ) ( 1 )  单调增函数试求 零点数证明结.
    62.(2012 新课标)设函数 ( ) 2xf x e ax   .
    (Ⅰ)求 单调区间
    (Ⅱ) 1a  k 整数 0x  时( ) ( ) 1 0x k f x x    求 k 值.
    63.(2012 安徽)设函数 1( ) ( 0)x
    xf x ae b aae    .
    (Ⅰ)求 ()fx[0 ) 值
    (Ⅱ)设曲线 ()y f x 点(2 (2))f 切线方程 3
    2yx 求 ab值.
    64.( 2012 山东)已知函数 ln() x
    xkfx e
     ( k 常数 718282e 然数底数)
    曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线 x 轴行.
    (Ⅰ)求 值
    (Ⅱ)求 单调区间
    (Ⅲ)设 2()()()g x x x f x 中 ()fx 导数.
    证明:意 0x  2( ) 1g x e .
    65.( 2011 新课标)已知函数 ln() 1
    a x bfx xx
    曲线 ()y f x 点(1 (1))f 处切线方程
    2 3 0xy   .
    (Ⅰ)求 a b 值
    (Ⅱ)证明: 0x  1x  时 ln() 1
    xfx x 

    66.( 2011 浙江)设函数 axxxaxf  22 ln)( 0a .
    (Ⅰ)求 )(xf 单调区间
    (Ⅱ)求实数 a 21 ( )e f x e ≤ ≤ ]1[ ex 恒成立.注:e 然数底
    数.
    67.( 2011 福建)已知 a b 常数 0a  函数 ( ) lnf x ax b ax x    ( ) 2fe
    (e271828…然数底数).
    (Ⅰ)求实数 值
    (Ⅱ)求函数 ()fx单调区间
    (Ⅲ) 1a  时否时存实数 m M( mM )t ∈[]mM
    直线 yt 曲线 ()y f x ( x ∈[ 1
    e
    e])公点?存求出实数
    实数 存说明理.
    68.( 2010 新课标)设函数 2( ) ( 1)xf x x e ax   .
    (Ⅰ) 1
    2a  求 ()fx单调区间
    (Ⅱ) 0x≥ 时 ( ) 0fx≥ 求 a 取值范围. 专题三 导数应
    第八讲 导数综合应
    答案部分
    2019 年
    1解析 1x  时  1 1 2 2 1 0f a a     恒成立
    1x  时  
    2
    2 2 2 0 2 1
    xf x x ax a a x    
    厖 恒成立
    令        22221 1 1 2 1 1
    1 1 1 1
    x x xxxgx x x x x
                   
       111 2 2 1 2 011xxxx
            

     max20a g x … 0a  .
    1x  时   ln 0 ln
    xf x x a x a x  厔 恒成立
    令   ln
    xhx x      22
    1ln ln 1
    ln ln
    xx xxhx
    xx
      
    ex  时   0hx   hx递增1ex时   0hx   hx递减
    ex  时  hx取值  eeh 
     min ea h x „
    综 a 取值范围 0e .
    2解析(1) 2( ) 6 2 2 (3 )f x x ax x x a     .
    令 ( ) 0fx  x0
    3
    ax 
    a>0 ( 0) 3
    ax   
    时 ( ) 0fx  0 3
    ax 
    时 ( ) 0fx  . ()fx
    ( 0) 3
    a 
    单调递增 0 3
    a
    
    单调递减 a0()fx()  单调递增
    a<0 (0 )3
    ax   
    时 ( ) 0fx  03
    ax 
    时 ( ) 0fx  .
    (0 )3
    a 
    单调递增 03
    a
    
    单调递减
    (2)满足题设条件 ab 存
    (i) a≤0 时(1)知 [01]单调递增 区间[0l]值 (0)fb
    值 (1) 2f a b   时 ab 满足题设条件仅 1b  21ab   a0

    (ii) a≥3 时(1)知 [01]单调递减 区间[01]值
    值 .时 ab 满足题设条件仅 21ab    b1
    a4b1.
    (iii) 03
    3 27
    aafb  
    值 b
    2 ab.

    3
    127
    a b    b1 332a  0 21ab   33a  33a  a0 0综仅 a0 1b  a4b1 时 ()fx[01]值–1值 1.
    3解析:(Ⅰ) 3
    4a  时 3( ) ln 1 04f x x x x     .
    3 1 (1 2)(21 1)() 4 2 1 4 1
    xxf ' x x x x x
          
    

    函数 ()fx单调递减区间(03)单调递增区间(3+ ).
    (Ⅱ) 1(1) 2f a 20 4a .
    20 4a 时 () 2
    xfx a 等价 2
    21 2ln 0xxxaa
       .
    令 1t a 22t  . 设 2( ) 2 1 2ln 2 2g t t x t x x t    
    () (22)8 421 2lng t g x x x     .
    (i) 1 7x  
    时 11 2 2x
    () (22)8 421 2lng t g x x x     .
    记 1( ) 4 2 2 1 ln 7p x x x x x    
    2 2 1 2 1 2 1()
    11
    x x x xp' x xx x x x
          
    


    x 1
    7 1( 1)7 1 (1 )
    ()p' x  0 +
    ()px 1()7p 单调递减 极值 (1)p 单调递增
    ( ) (1) 0p x p .
    ( ) (2 2) 2 ( ) 0g t g p x   .
    (ii) 2
    11e7x  
    时 1 2 ln ( 1)( ) 1
    2
    x x xg t g x x
      
    ….
    令 2
    11( ) 2 ln ( 1) e7q x x x x x    
    ln 2( ) 1 0xq' x
    x
      
    ()qx 2
    11e7
    
    
    单调递增 1() 7q x q
    
    „.
    (i) 1 2 7 1 2 7 (1) 07 7 7 7q p p             

    ( )<0qx .
    1 ( )( ) 1 0
    2
    qxg t g x x
       
    ….
    (i)( ii)意 2
    1 ex  
    [2 2 ) ( ) 0t g t  … 意 2
    1 ex  
    均 () 2
    xfx a„.
    综述求a取值范围
    20 4
    
     

    4解析:(1)设 ()()g x f ' x 1( ) cos 1g x x x
    2
    1sin())(1x' xgx   
    1 2x 
    时 ()g' x 单调递减 (0) 0 ( ) 02g' g' 
    ()g' x 1 2
    
    唯零点设
    ( 1 )x  时 ( ) 0g' x  2x   
    时 ( ) 0g' x 
    ()gx( 1 ) 单调递增 2 
    
    单调递减 ()gx 存唯极
    值点 ()f ' x 存唯极值点
    (2)()fx定义域( 1 ) 
    (i) ( 10]x 时(1)知 ()f ' x ( 10) 单调递增 (0) 0f' 
    ( 10)x 时 ( ) 0f ' x  ()fx 单调递减 (0)0f 0x 
    ()fx( 10] 唯零点
    (ii) 0 2x   
    时(1)知 ()f ' x (0 ) 单调递增 2 
    
    单调递减
    (0)0f' 02f' 
    存 2
    ( ) 0f'   (0 )x  时
    ( ) 0f ' x  2x  
    时 ( ) 0f ' x  ()fx(0 ) 单调递增 2 
    
    单调
    递减 (0)0f 1 ln 1 022f             
    0 2x   
    时 ( ) 0fx
    ()fx 0 2
    
     
     没零点
    (iii) 2x  
    时 ( ) 0f ' x  ()fx 2
    
    单调递减 02f 

    ( ) 0f  ()fx 2
     
    唯零点
    (iv) ()x    时ln( 1) 1x  ()fx<0 ()fx()  没零点
    综 ()fx仅2零点
    5解析:(1)f(x)定义域(01) (1 )
    2
    11( ) 0( 1)fx xx
        ()fx(01)(1+∞)单调递增.
    f(e) e110e1
    

    22
    2
    22
    e 1 e 3(e ) 2 0e 1 e 1f    

    f(x)(1+∞)唯零点 x1 f(x1)0.

    1
    101x 1
    11
    11
    11( ) ln ( ) 01
    xf x f xxx
         
    f(x)(01)唯零点
    1
    1
    x .
    综f(x)仅两零点.
    (2) 0ln
    0
    1 e x
    x
     点 B(–lnx0
    0
    1
    x )曲线 yex .
    题设知 0( ) 0fx  0
    0
    0
    1ln 1
    xx x
     
    直线 AB 斜率
    0
    0
    0 0 0
    00 0 0
    0
    0
    111ln 1 1
    1ln
    1
    xxx x xk xx x xxx
      
    . 曲线 yex 点 0
    0
    1( ln )Bxx 处切线斜率
    0
    1
    x 曲线 lnyx 点 00( ln )A x x 处切线
    斜率
    曲线 点 处切线曲线yex切线.

    6解析(1) abc 3( ) ( )( )( ) ( )f x x a x b x c x a      .
    (4) 8f  3(4 ) 8a解 2a  .
    (2)bc
    2 3 2 2()( )( ) (2) (2 )fx xaxb x a bx babxab        
    2( ) 3( ) 3
    abf ' x x b x   
    .令 ( ) 0f ' x  xb 2
    3
    abx  .
    2 3
    abab  集合{ 313} 中 ab
    2 1 3 33
    ab ab     .
    时 2( ) ( 3)( 3)f x x x   ( ) 3( 3)( 1)f' x x x   .
    令 ( ) 0f ' x  3x  1x  .列表:
    x ( 3)  3 ( 31) 1 (1 )
    ()f ' x + 0 – 0 +
    ()fx 极值 极值
    ()fx极值 2(1) (1 3)(1 3) 32f      .
    (3) 0 1ac 32( ) ( )( 1) ( 1)fxxxbx x b xbx      
    2( ) 3 2( 1)f' x x b x b    .
    01b 224( 1) 12 (2 1) 3 0b b b       
    ()f ' x 2零点设  1 2 1 2x x x x . ( ) 0f ' x 
    22
    12
    1 1 1 133
    b b b b b bxx       .
    列表:
    x 1()x 1x  12xx 2x 2()x 
    ()f ' x + 0 – 0 +
    ()fx 极值 极值
    ()fx极值  1M f x .
    解法:   32
    1 1 1 1( 1)M f x x b x bx    
     2
    2 1
    1 1 1
    211 ( 1)[3 2( 1) ] 3 9 9 9
    bbx b b bx b x b x
          

       2 3
    22 1 ( 1) ( 1) 2 127 9 27
    b b b bb bb
            

    2
    3( 1) 2( 1) ( 1) 2 ( ( 1) 1)27 27 27
    b b b b bb      
    ( 1) 2 4
    27 27 27
    bb   . 4
    27M  .
    解法二:01b 1 (01)x  .
    (01)x 时 2( ) ( )( 1) ( 1)f x x x b x x x     .
    令 2( ) ( 1) (01)g x x x x   1( ) 3 ( 1)3g' x x x  

    令 ( ) 0g' x  1
    3x  .列表:
    x 1(0 )3 1
    3 1( 1)3
    ()g' x + 0 –
    ()gx 极值
    1
    3x  时 ()gx取极值值 max
    14() 3 27g x g 
    . (01)x 时 4()() 27f x g x 4
    27M  .
    7解析:(I) 321() 4f x x x x   23'( ) 2 14f x x x   .
    令 '( ) 1fx 23 2 1 14 xx   解 0x  8
    3x 
    88(0) 0 ( ) 3 27ff
    曲线 ()y f x 斜率 1 切线方程 yx 88
    27 3yx  
    64
    27yx
    (II)令 ()()g x f x x  24x
    321() 4g x x x 23'( ) 24g x x x
    令 '( ) 0gx
    '( ) ( )g x g x x 变化情况表示
    x 2  20 0 80 3
    
    
    8
    3
    8 43
    
    
    4
    '( )gx + +
    ()gx 6 Z 0 ] 64
    27 0
    ()gx值6值 0 6 ( ) 0gx   6 ( )x f x x  
    (III)(II)知
    3a  时      0 0 3M a F g a a     
    3a  时      2 2 6 3M a F g a a       
    3a  时   3Ma
    综  Ma时
    8 解析 ( Ⅰ ) 已 知 '( ) e (cos sin )xf x x x
    52 244x k k    
    ()k Z 时sin cosxx  '0fx  fx单调递减 32 244x k k    
    ()k Z 时sin cosxx  '0fx  fx单调递

    单调递增区间 32 2 ( ) ( )44k k k f x    
    Z 单调递减区间
    52 2 ( )44k k k    
    Z
    (Ⅱ)记 ()()() 2h x f x g x x  
    题意(Ⅰ) ( ) e (cos sin )xg x x x
    '( ) 2e sinxg x x
    π π42x 
    时  '0gx
    '( ) '( ) '( ) ( )( 1) '( ) 022hxfxgx xgx gx x                

     hx区间 42
    
    
    单调递减进 ( ) 022h x h f         

    42x 
    时 ( ) ( ) 02f x g x x

    (Ⅲ)题意     10nnu x f x   cose 1nx
    nx 
    记 2nny x n   42ny 

         2 2e cos e cos 2 enny x n n
    n n n nf y y x n      N
       2
    0e1n
    nf y f y„ (Ⅰ) 0nyy…
    (Ⅱ)知 42x 
    时  '0gx  gx 42
    
    
    减函数
       0 04ng y g y g 
    „ (Ⅱ)知     02n n nf y g y y

     
           0
    2 2 2 2
    0 0 0 0 02 sin cos sin c
    e e e
    e os
    en n n n
    n
    n y
    nn
    fyy g y g y g y y y x x
                 


    2
    00
    2 2 sin c s
    e
    o
    n
    nnxxx
        



    20102018 年
    1.A解析∵ 21( ) [ ( 2) 1] xf x x a x a e       ∵ ( 2) 0f  ∴ 1a 
    21( ) ( 1) xf x x x e    21( ) ( 2) xf x x x e    
    令 ( ) 0fx  解 2x  1x  ( 2)x   ( ) 0fx  ()fx单调递
    增 ( 21)x 时( ) 0fx  ()fx单调递减 (1 )x 
    单调递增 ()fx极值 11(1) (1 1 1) 1fe     选 A.
    2.D解析导函数图象知 ()y f x 单调性减增 减 增排 AC
    导函数图象知 极值点负两正 D 符合选 D.
    3.D解析 0x 时令函数 2( ) 2 xf x x e ( ) 4 xf x x e 易知 ()fx [0
    ln4 )单调递增[2]单调递减 (0) 1 0f     1( ) 2 02fe   
    (1) 4 0fe    2(2) 8 0fe    存 0
    1(0 )2x  函数 ()fx极值点
    函数 0(0 )x 单调递减 0( 2)x 单调递增该函数偶函数符合
    条件图 D.
    4.B解析(解法) 2m  时抛物线称轴 8
    2
    nx m
     
    .题意 2m  时
    8 22
    n
    m
    
    2 12mn . 2262
    mnmn    18mn. 2mn 2 12mn 3 6mn. 2m  时抛物线开口题意 81
    22
    n
    m
    
    2 18mn. 2292
    mnmn    81
    2mn. 2nm 2 18mn
    92m 应舍 mn 取值应 2 18mn( 2 8)mn.
    (18 2 ) (18 2 8) 8 16mn n n       值 18.选 B.
    (解法二)已知 ( ) ( 2) 8f x m x n     意 1[ 2]2x ( ) 0fx ≤

    1( ) 02
    ( ) 0
    f
    fx
     
     



    0 0
    2 18
    22
    mn
    mn
    mn

     
     
    ≥ ≥


    .画出该等式组表示面区域图中阴影部分

    n
    m
    m+2n18
    2m+n12
    129
    6
    18
    O

    令 mn t 0n 时 0t 0n  时 tm n 线性规划相关知识
    直线 2 12mn 曲线 tm n 相切时t 取值
    2
    1
    2
    19 2
    t
    n
    tn n
      
     
    解 6n
    18t max( ) 18mn  选 B.
    5.A解析令 ()() fxhx x ()fx奇函数 ()hx 偶函数
    2
    ()()() xf x f xhx x
       0x > 时 '( ) ( )xf x f x 0 ()hx (0 )
    单调递减根称性 ()hx ( 0) 单调递增 ( 1) 0f (1) 0f
    数形结合知 ( ) 0fx> 成立 x 取值范围    1 01  .
    6.D解析题意知存唯整数 0x 0
    00(2 1)  xe x ax a 设
    ( ) (2 1)xg x e x ()h x ax a ( ) (2 1)xg x e x 知 ()gx 1()2 
    单调递减 1()2  单调递增作出 ()gx ()hx 致图象图示 x
    y
    g(x)ex(2x1)
    h(x)axa
    –3 –2 –1 1 2
    –1
    1
    2
    3
    O

    (0) (0)
    ( 1) ( 1)
    
     
    hg
    hg≤
    1
    32
    
    a
    a e
    ≤ 3 12 ae <≤ .
    7.D解析∵ ( ) lnf x kx x ∴ 1()f x k x
     ∵ ()fx (1 ) 单调递增
    1x  时 1( ) 0f x k x
     ≥ 恒成立 1k x
    ≥ 恒成立
    ∵ 1x  ∴ 101x k ≥1选 D.
    8.A解析法 题意知该三次函数满足条件:点(00)(20)(0
    0)处切线方程 yx (20)处切线方程 36yx选项进行检验.A
    选项 3211
    22y x x x   显然两定点 23 12y x x   
    02| 1 | 3xxyy   条件满足选择题特点知应选 A.
    法二 设该三次函数 32()f x ax bx cx d    2( ) 3 2f x ax bx c   
    题设
    (0) 0
    (2) 0
    (0) 1
    (2) 3
    f
    f
    f
    f
    
       
      
    解 11 1 022a b c d      .
    该函数解析式 3211
    22y x x x   选 A.
    9.C解析正弦型函数图象知:  fx极值点 0x 满足 0( ) 3fx 
    0 22
    x km
       ()kZ 0
    1()()2x k m k Z   .等式
     2 2 2
    00[]x f x m 2 2 21( ) 32k m m   变形 2 1[1 ( )] 32mk  
    中 kZ .题意存整数 k 等式 成立. 1k  0k  时必 21( ) 12k 时等式显然成立
    1k  0k  时等式 23 34 m  解 2m  2m  .
    10.A解析设求函数解析式 ()y f x 题意知 (5) 2 5 2ff   ()
    ( 5) 0f  代入验证易 313
    125 5y x x符合题意选 A.
    11.C解析 (01]x 时 321 1 13( ) 4( )a x x x  ≥ 令 1t x [1 )t  
    3234a t t t  ≥ 令 ()gt  3234t t t  
      29 8 1 ( 1)(9 1)g x t t t t         显然[1 )   0gt 
    ()gt单调递减 max( ) (1) 6g t g   6a ≥
    理 [ 20)x 时 2a ≤ .两种情况 62a≤ ≤ .
    显然 0x  时成立实数 a 取值范围[ 6 2].
    12.C解析设 ( ) lnxf x e x 1() xf x e x
      ()fx (01) 极值点
    ()fx 单调函数法判断 1()fx 2()fx AB 错构造
    函数 ()
    xegx x 2
    ( 1)()
    xexgx x
      ()gx 单调递减    12g x g x
    选 C.
    13.解析B 0a  图象 D记 2() 2
    af x ax x   2 3 2( ) 2g x a x ax  
    ()x a a R取 1
    2a  211( ) ( 1)24f x x   令 ( ) 0gx  2 23x  易知
    ()gx极值 1(2) 2g  1(2) 4f  (2) (2)gf 图象 A
    理取 2a  图象 C 利排法知选 B.
    14.C解析 0c  (0) 0f  A 正确. 32()f x x ax bx c   
    32()f x c x ax bx    函数 32y x ax bx   称中心(00)
    称中心(0 )c B 正确.三次函数图象
    知 0x ()fx极值点极值点 左侧函数区间 0()x 单调递减错误D 正确.选 C.
    15.A解析法:题意 00sinyx [ 11]
    ( ) exf x x a   知 0 [01]y 
    0a  时 ()fx= ex x 增函数
    ∴ 时 0( ) [1 1]f x e.
    ∴ 0( ( )) 1 1f f y e≥ .
    ∴ 存 00 ))(( yyff  成立 BD 错
    1ae时 = e e 1x x  
    时 0 1y  时 意义 (1) 0f 
    ∴ ( (1)) (0)f f f 显然意义 C 错.选 A.
    法二:显然函数 ()fx增函数 ( ) 0fx≥ 题意知 0 [01]y  .
    00()f y y .然话 00()f y y 0 0 0( ( )) ( )f f y f y y
    条件矛盾 00()f y y 0 0 0( ( )) ( )f f y f y y条件矛盾.
    问题转化 ()f t t [01] 解.
    tt e t a   2 tt e t a   分离变量 2() ta g t e t t    [01]t 
    ( ) 2 1 0tg t e t    
    函数 ()gt[01] 增函数1 (0) ( ) (1)g g t g e≤ ≤
    [1 ]ae 应选 A.
    16.D解析A. 0()()x R f x f x   错误. 00( 0)xx ()fx极值点
    值点B. 0x ()fx 极值点.错误. 相 关 y 轴称
    图 应 极值点C. ()fx 极值点.错误. 相
    关 x 轴称图 0x 应 极值点. 没关系D.
    ()fx极值点.正确. 相 先关 y 轴称关 轴
    称图. D 正确. 17.B解析∵ 21 ln2y x x∴ 1yxx
      0y„解 11x 剟 0x 
    ∴ 01x „ 选 B.
    18.D解析 () xf x xe ( ) ( 1)xf x e x  0xe 恒成立令 ( ) 0fx  1x
    1x 时 ( ) 0fx  函数单调减 1x 时 ( ) 0fx  函数单调增
    1x  ()fx极值点选 D.
    19.D解析 2( ) 12 2 2f x x ax b    (1) 0f   12 2 2 0ab  
    6ab. 0a  0b  2( ) 92
    abab  ≤ 仅 3ab时取等号.选
    D.
    20.D解析 1x  函数 ()xf x e 极值点易知 ac ∵选项 AB 函数
    2( ) ( 1)f x a x∴[()][() ()] ( 1)( 3)x x xfxe fx fxe ax x e    
    ∴ 函数 极值点满足条件选项 C 中称轴 02
    bx a  
    开口∵ 0 0ab∴ ( 1) 2 0f a b    满足条件
    选项 D 中称轴 02
    bx a   开口∴ 0 2a b a
    ∴ 题图矛盾选 D.
    21.D解析题 2| | lnMN x x ( 0)x  妨令 2( ) lnh x x x
    1'( ) 2h x x x令 '( ) 0hx 解 2
    2x  2(0 )2x 时 '( ) 0hx
    2()2x  时 '( ) 0hx 时||MN 达.
    2
    2t  .
    22.①③④⑤ 解析 令 32( ) ( ) 3f x x ax b f x x a     0a  时 ( ) 0fx 
    ()fx R 单调递增函数时 3 0x ax b   仅实根(4)(5)
    3a  时 2( ) 3 3 0f x x    11x   1x  极值点. (1) 0f  31 3 1 0b    2b  (3). 1x  ()fx极值点
    ( 1) 0f  3( 1) 3 ( 1) 0b      2b  (1).
    23.①④解析(1)设 12x > x 函数 2x 单调递增 122 >2xx 120xx>
    m  12
    12
    ()()f x f x
    xx


    12
    12
    22xx
    xx

    >0正确
    (2)设 1x > 2x 120xx 12
    12
    ()()g x g xn xx

    22
    1 2 1 2
    12
    ()x x a x x
    xx
    +
    1 2 1 2
    12
    12
    ( )( )x x x x a x x axx
    + + + +
    令 1 2 4a 
    10n    错误

    (3) mn (2):
    21
    21 )()(
    xx
    xfxf


    12x x a   分母右边
    右边 12()()g x g x 原等式 12()()f x f x 12()()g x g x
    12()()f x g x 12()()f x g x令 ()()()h x f x g x
    原题意转化意 a 函数 ()()()h x f x g x存相等实数
    函数值相等 2( ) 2xh x x ax   ( ) 2 ln 2 2xh x x a   
    ( ) 2 (ln 2) 2xhx 令 0( ) 0hx  012x 0()hx 极值.
    10000a  0( ) 0hx  0( ) 0hx  ()hx 单调递增满足题意
    错误.
    (4)(3) 12()()f x f x 12()()g x g x 1 1 2 2()()()()f x g x g x f x  
    设 ()()()h x f x g x 1x 2x 函数值相等 恒单调.
    2( ) 2xh x x ax   ( ) 2 ln 2 2xh x x a     2( ) 2 ln 2 2 0xhx    恒成立
    ()hx 单调递增 ( ) 0h   ( ) 0h   . 先减增满足题意正
    确.
    24.4解析01x< ≤ 时 ( ) lnf x x ( ) 0gx 时方程| ( ) ( ) | 1f x g x+ ln 1x ln 1x xe 1x e 时 1x e 符合题意方程实根.
    12x<<时 ( ) lnf x x 22( ) 4 2 2g x x x 方程| ( ) ( ) | 1f x g x+
    2ln 2 1xx+ 2ln 2 1xx+ 2ln 1 0xx+ 2ln 3 0xx+
    令 2ln 1y x x + 1 20yxx
    ¢ < 函数 (12)xÎ 单调递减
    1x 时 0y 12x<<时方程 2ln 1 0xx+ 解令 2ln 3y x x +
    1 20yxx
    ¢ < 函数 单调递减 1x 时 20y >
    2x 时 ln 2 1 0y < 12x<<时方程 2ln 3 0xx+ 实根.
    2x≥ 时 ( ) lnf x x 2( ) 6g x x方程 2ln 6 1xx+
    2ln 6 1xx+ 2ln 7 0xx+ 2ln 5 0xx+ 令 2y ln 7xx +
    1 20yxx
    ¢ + > 函数 [2 )x单调递增 2x 时
    ln 2 3 0y < 3x 时 ln3 2 0y + > 2x≥ 时方程
    1 实根理 1 实根.
    方程 1|)()(|  xgxf 实根数 4 .
    25.2解析题意 2( ) 3 6 3 ( 2)f x x x x x     令 ( ) 0fx  0x  2x  .
    0x  2x  时 ( ) 0fx  02x时 ( ) 0fx  .
    ∴ 2x  时 ()fx取极值.
    26.解析(1) ()fx定义域(0 )
    2
    22
    11( ) 1 a x axfx x x x
           .
    (i) 2≤a ( ) 0 ≤fx 仅 2a  1x  时 ( ) 0fx 
    单调递减.
    (ii) 2a  令 ( ) 0fx 
    2 4
    2
    aax 
    2 4
    2
    aax  .

    2244(0 ) ( )22
    a a a ax     U 时 ( ) 0fx 
    2244()22
    a a a ax     时 ( ) 0fx  . ()fx
    2 4(0 )2
    aa
    2 4()2
    aa 单调递减
    2244()22
    a a a a    单调递增.
    (2)(1)知 存两极值点仅 2a  .
    两极值点 1x 2x 满足 2 10x ax   12 1xx  妨设 12xx
    2 1x  .
    1 2 1 2 1 2 2
    1 2 1 2 1 2 1 2
    2
    2
    ( ) ( ) ln ln ln ln 2ln1 1 2 2 1
    f x f x x x x x xaaax x x x x x x x xx
                   

    12
    12
    ()() 2f x f x axx
     
    等价 22
    2
    1 2ln 0xxx    .
    设函数 1( ) 2lng x x xx   (1)知 ()gx (0 ) 单调递减 (1) 0g 
    (1 )x  时 ( ) 0gx .

    27.解析(1) 1a 时 ( ) 1≥fx 等价 2( 1)e 1 0≤xx .
    设函数 2( ) ( 1) 1  xg x x e 22( ) ( 2 1) ( 1)      xxg' x x x e x e .
    1x 时 ( ) 0g' x ()gx (0 ) 单调递减.
    (0) 0g 0≥x 时 ( ) 0≤gx ( ) 1≥fx .
    (2)设函数 2( ) 1 e xh x ax .
    ()fx (0 ) 零点仅 ()hx 零点.
    (i) 0≤a 时 ( ) 0hx 没零点
    (ii) 0a  时 ( ) ( 2)e xh' x ax x .
    (02)x 时 ( ) 0h' x (2 ) x 时 ( ) 0h' x . ()hx (02) 单调递减(2 ) 单调递增.
    2
    4(2) 1 eah [0 ) 值.
    ① (2) 0h
    2e
    4a (0 ) 没零点
    ② (2) 0h
    2e
    4a 零点
    ③ (2) 0h
    2e
    4a (0) 1h (02) 零点
    (1)知 0x 时 2e x x

    3 3 3
    4 2 2 4
    16 16 16 1(4 ) 1 1 1 1 0e (e ) (2 )        aa
    a a aha aa

    (24 )a 零点 两零点.
    综 ()fx 零点时
    2e
    4a .
    28.解析(1) 0a  时 () (2 )ln(1 ) 2f x x x x    ( ) ln(1 ) 1
    xf x x x
        

    设函数 ( ) ( ) ln(1 ) 1
    xg x f x x x
        
    2() (1 )
    xgx x
      

    10x   时 ( ) 0gx  0x  时 ( ) 0gx  .
    1x  时 ( ) (0) 0g x g ≥ 仅 0x  时 ( ) 0gx ( ) 0fx ≥
    仅 时 ( ) 0fx  .
    ()fx ( 1 )  单调递增.
    (0) 0f  时 ( ) 0fx 0x  时 ( ) 0fx .
    (2)(i) 0a≥ (1)知 0x  时 ( ) (2 )ln(1 ) 2 0 (0)f x x x x f    ≥
    极值点矛盾.
    (ii) 0a  设函数 22
    ( ) 2( ) ln(1 )22
    f x xh x xx ax x ax      
    . 1| | min{1 }||x a 时 220x ax   ()hx ()fx符号相.
    (0) (0) 0hf 0x  极值点仅 0x  极值点.
    2 2 2 2
    2 2 2 2
    1 2(2 )2(12) ( 4 61)() 1 (2 ) ( 1)( 2)
    xax x ax xax ax ahx x x ax x ax x
                  

    果6 1 0a  610 4
    ax a
       时 ( ) 0hx 
    极值点.
    果6 1 0a  22 4 6 1 0a x ax a    存根 1 0x 
    1( 0)xx 时 ( ) 0hx  极值
    点.
    果6 1 0a 
    3
    22
    ( 24)() ( 1)( 6 12)
    xxhx x x x
        
    . ( 10)x 时
    (01)x 时 . 极值点 极
    值点
    综 1
    6a  .
    29.解析(1) 2( ) [ (4 1) 4 3] xf x ax a x a e    
    2()[2 (4 1)] [ (4 1) 4 3]xxfx ax a eax axae         ( xR)
    2[ (2 1) 2] xax a x e   .
    (1) (1 )f a e  .
    题设知 (1) 0f   (1 ) 0ae解 1a  .
    时 (1) 3 0fe.
    a 值 1.
    (2)(1) 2( ) [ (2 1) 2] ( 1)( 2)xxfxax ax e ax x e        . 1
    2a  1( 2)x a 时 ( ) 0fx 
    (2 )x  时 ( ) 0fx  .
    ( ) 0fx 2x  处取极值.
    1
    2a ≤ (02)x 时 20x  11 1 02ax x  ≤

    2 ()fx极值点.
    综知 a 取值范围 1()2  .
    30.解析(1)已知 ( ) lnxh x a x a ( ) ln lnxh x a a a .
    令 ( ) 0hx  解 0x  .
    1a  知 x 变化时 ()hx ()hx 变化情况表:
    x ( 0) 0 (0 )
    ()hx  0 +
    ()hx 极值
    函数 单调递减区间 单调递增区间 .
    (2)证明: ( ) lnxf x a a  曲线 ()y f x 点 11( ( ))x f x 处切线斜率
    1 lnxaa. 1() lngx xa
      曲线 ()y g x 点 22( ( ))x g x 处切线斜率
    2
    1
    lnxa
    .两条切线行 1
    2
    1ln ln
    xaaxa 1 2
    2 (ln ) 1xx a a  .
    两边取 a 底数 21log 2log ln 0aax x a   12
    2ln ln() ln
    ax g x a   .
    (3)证明:曲线 ()y f x 点 1
    1()xxa 处切线 1l : 11
    1ln ( )xxy a a a x x    .
    曲线 ()y g x 点 22( log )axx处切线 2l : 22
    2
    1log ( )lnay x x xxa    .
    证明
    1
    eea≥ 时存直线l 曲线 切线曲线 切线需证明
    1
    eea≥ 时存 1 ()x    2 (0 )x   l1 l2 重合.
    需证明 时方程组
    1
    11
    2
    12
    1ln ln
    1ln log ln
    x
    xx
    a
    aaxa
    a x a a x a
     
       




    12 2
    1
    (ln )xx aa 代入② 11
    11
    1 2ln lnln 0ln ln
    xx aa x a a x aa     . ③
    需证明 时关 1x 方程③实数解.
    设函数 1 2ln ln( ) ln ln ln
    xx au x a xa a x aa    
    证明 时函数 ()y u x 存零点.
    2( ) 1 (ln ) xu x a xa  知 ( 0)x  时( ) 0ux  (0 )x  时()ux 单调递
    减 (0) 1 0u  2
    1
    (ln )
    2
    1( ) 1 0(ln )
    auaa
       
    存唯 0x 0 0x  0( ) 0ux  02
    01 (ln ) 0xa x a.
    ()ux 0()x 单调递增 0()x  单调递减.
    0xx 处取极值 0()ux .
    ln(ln ) 1a ≥
    00
    0 0 0
    1 2ln ln( ) ln ln ln
    xx au x a x a a x aa    
    02
    0
    1 2ln ln 2 2ln ln 0(ln ) ln ln
    aaxx a a a
       ≥ ≥ .
    面证明存实数t ( ) 0ut  .
    (1) 1 lnxa x a≥
    1
    lnx a 时
    1 2ln ln( ) (1 ln )(1 ln ) ln ln
    au x x a x a x aa    ≤
    22 1 2ln ln(ln ) 1 ln ln
    aa x x aa      存实数t ( ) 0ut 

    1
    eea≥ 时存 1 ()x    1( ) 0ux  .
    时存直线l 曲线 ()y f x 切线曲线 ()y g x
    切线.
    31.解析(1)函数 ()f x x 2( ) 2 2g x x x   ( ) 1fx  ( ) 2 2g x x .
    ()()f x g x ()()f x g x
    2 22
    1 2 2
    x x x
    x
       
     
    方程组解
    ()fx ()gx存S 点.
    (2)函数 2( ) 1f x ax( ) lng x x
    1( ) 2 ( )f x ax g x x   .
    设 0x 点 00()()f x g x 00()()f x g x
    2
    00
    0
    0
    1 ln
    12
    ax x
    ax x
     
     

    2
    00
    2
    0
    1 ln
    21
    ax x
    ax
      
    ( *)
    0
    1ln 2x 
    1
    2
    0 ex 
     1
    22
    1e
    22(e )
    a

    .
    e
    2a  时
    1
    2
    0 ex 
     满足方程组(*) 0x 点.
    a 值 e
    2

    (3)意 0a  设 32( ) 3h x x x ax a    .
    (0) 0 (1) 1 3 2 0h a h a a         ()hx 图象间断
    存 0 (01)x  0( ) 0hx  .令
    0
    3
    0
    0
    2
    e (1 )x
    xb x 
    0b  .
    函数 2 e()()
    xbf x x a g x x    2
    e ( 1)( ) 2 ( )
    xbxf x x g x x
      ′′.
    ()()f x g x ()()f x g x
    2
    2
    e
    e ( 1)2
    x
    x
    bxa x
    bxx x
       

    0
    0
    3
    2 0
    0
    3
    0
    2
    0
    2 e
    e (1 )
    2 e ( 1)2 e (1 )
    x
    x
    x
    x
    xxa xx
    x xx xx
            
    (**)
    时 0x 满足方程组(**) 函数 ()fx ()gx区间(01) S 点.
    意 0a  存 0b  函数 区间(0 ) 存 点.
    32.解析(1)函数 ()fx导函数 11()
    2
    fx xx
     
    12()()f x f x
    1212
    1 1 1 1
    22xxxx
      
    12xx
    12
    1 1 1
    2xx
    .
    基等式 4
    1 2 1 2 1 2
    1 22 x x x x x x≥ .
    12 256xx  .
    题意 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
    1( ) ( ) ln ln ln( )2fxfx x xx x xx xx       .
    设 1( ) ln2g x x x
    1( ) ( 4)4g x xx
     

    x (016) 16 (16 )
    ()gx  0 +
    ()gx 2 4ln 2
    ()gx[256 ) 单调递增
    12( ) (256) 8 8ln 2g x x g   12( ) ( ) 8 8ln 2f x f x   .
    (2)令 (| | )akme 2| | 1( ) 1an k
    
    ( ) | | 0f m km a a k k a      ≥
    1 | | 1( ) ( ) ( ) 0aaf n kn a n k n knnn
          ≤
    存 0 ()x m n 00()f x kx a
    意 aR (0 )k   直线 y kx a曲线 ()y f x 公点.
    ()f x kx a lnx x ak x
     .
    设 ln() x x ahx x
    
    22
    ln 1 ( ) 12()
    xxag x ahx xx
          
    中 ( ) ln2
    xg x x.
    (1)知 ( ) (16)g x g≥ 3 4ln 2a ≤
    ( ) 1 (16) 1 3 4ln 2g x a g a a         ≤
    ( ) 0hx ≤ 函数 ()hx (0 ) 单调递减方程 ( ) 0f x kx a  
    1 实根.
    综 时意 0k  直线 曲线 唯
    公点.
    33.解析(1)()fx定义域 () 
    2()2 ( 2) 1( 1)(2 1)x x x xf x ae a e ae e       
    (ⅰ) 0a≤ ( ) 0fx  ()fx 单调递减.
    (ⅱ) 0a  ( ) 0fx  lnxa . ( ln )xa   时 ( ) 0fx  ( ln )xa   时( ) 0fx 
    ()fx ( ln )a  单调递减( ln )a  单调递增.
    (2)(ⅰ) 0a≤ (1)知 零点.
    (ⅱ) 0a  (1)知 lnxa 时 取值值
    1( ln ) 1 lnf a aa    .
    ① 1a  时 ( ln ) 0fa ()fx零点
    ② (1 )a  时 11 ln 0aa   ( ln ) 0fa 没零点
    ③ (01)a 时 11 ln 0aa   ( ln ) 0fa.
    4 2 2( 2) e ( 2)e 2 2e 2 0f a a           ()fx ( ln )a  零点.
    设正整数 0n 满足 0
    3ln( 1)n a
    0 0 0 0
    0 0 0 0( ) e ( e 2) e 2 0n n n nf n a a n n n         .
    3ln( 1) ln aa    ( ln )a  零点.
    综 a 取值范围(01) .
    34.解析(1)()fx定义域 (0 ) .
    设 ( ) lng x ax a x   ()()f x xg x ( ) 0fx≥ 等价 ( ) 0gx≥ .
    (1) 0g  (1) 0g  1()g x a x
     (1) 1ga  1a  .
    1a  1( ) 1gx x
      .01x时 ( ) 0gx  ()gx单调递减 1x  时
    ( ) 0gx  单调递增. 1x  极值点 ( ) (1) 0g x g ≥ .
    综 .
    (2)(1)知 2( ) lnf x x x x x   ( ) 2 2 lnf x x x    .
    设 ( ) 2 2 lnh x x x   1( ) 2hx x
     .
    1(0 )2x 时 ( ) 0hx  1()2x   时 ( ) 0hx  . ()hx 1(0 )2
    单调递减 1()2  单调递增.
    2( ) 0he  1( ) 02h  (1) 0h  ()hx 1(0 )2
    唯零点 0x 1[)2 
    唯零点 1 0(0 )xx 时 ( ) 0hx  0( 1)xx 时 ( ) 0hx (1 )x  时

    ()()f x h x  0xx ()fx唯极值点.
    0( ) 0fx  00ln 2( 1)xx 0 0 0( ) (1 )f x x x.
    0 (01)x  0
    1() 4fx  .
    0xx ()fx(01) 值点 1 (01)e  1( ) 0fe 
    12
    0()()f x f e e.
    22
    0( ) 2e f x.
    35.解析(1)()fx定义域 (0 ) .
    ① a 0≤ 11( ) ln 2 022fa    满足题意
    ② >0a   1 a x af ' x xx
       知  0x a 时  <0f ' x  +xa
    时  >0f ' x (0 )a 单调递减 ()a  单调递增 xa
    (0 ) 唯值点.
     10f  仅 a1 时 ( ) 0fx≥ .
    a1.
    (2)(1)知 (1 )x  时 1 ln 0xx  
    令 11 2nx  11ln(1 )22nn
    22
    1 1 1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 1 12 2 2 2 2 2 2n n n        
    2
    1 1 1(1 )(1 ) (1 )2 2 2n e    
    23
    1 1 1(1 )(1 )(1 ) 22 2 2    m 值 3. 36.解析(Ⅰ) 1( 2 1) 1
    21
    xx
    x
       

    ()xxee 
    1( ) (1 ) ( 2 1)
    21
    xxf x e x x e
    x
         


    (1 )( 2 1 2)
    21
    xx x e
    x
      

    1()2x 
    (Ⅱ) (1 )( 2 1 2)( ) 0
    21
    xx x efx
    x
       


    解 1x  5
    2x  .

    x 1
    2 (1) 1 (1 5
    2
    ) ( )
    ()fx 0 + 0
    ()fx

    ↘ 0 ↗ ↘
    21( ) ( 2 1 1) 02
    xf x x e   ≥
    区间 1[)2  取值范围
    1
    21[0 ]2 e

    37.解析(1) 32( ) 1f x x ax bx   
    2
    22( ) 3 2 3( )33
    aaf x x ax b x b       

    3
    ax  时 ()fx 极值
    2
    3
    ab 
    极值点 ()fx零点

    33
    ( ) 1 03 27 9 3
    a a a abf        0a 
    223
    9
    ab a
    极值 ( )0fx 实根
    2
    31 (27 a ) 039
    ab a    3a 
    3a  时 ( )>0( 1)f x x  R 增函数 没极值 3a  时 ( )0fx 两相异实根
    2
    1
    3 3
    a a bx   
    2
    2
    3 3
    a a bx   
    列表
    x 1()x 1x 12()xx 2x 2()x 
    ()fx + 0 – 0 +
    ()fx 极值 极值
    极值点 12xx


    223
    9
    ab a定义域(3 )
    (2)(1)知 23
    9
    b a a
    a a a
    .
    设 23() 9
    tgt t
    2
    22
    2 2 2 27() 39
    tgt tt
        .
    36()2t   时 ( ) 0gt  ()gt 36()2  单调递增.
    3a  33aa ( ) (3 3) 3g a a g 3b
    a
     .
    2 3ba .
    (3)(1)知 极值点 12
    2
    3x x a  
    2
    22
    12
    46
    9
    abxx 
    3 2 3 2
    1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 1 1fx fx x ax bx x ax bx        
    2 2 2 212
    1 1 2 2 1 2 1 2
    12(32 )(32 )( )( )23 3 3 3
    xxx axb x axb axx bxx    
    34 6 4 2027 9
    a ab ab   
    记 极值 ()ha ()fx 极值
    2
    213
    39
    abaa    213( ) 9h a a a 3a 
    2
    23( ) 09h a a a
        ()ha (3 ) 单调递减
    7(6) 2h  ( ) (6)h a h≥ 6a≤
    a 取值范围(3 6]
    38.解析(Ⅰ) 4 3 2( ) 2 3 3 6f x x x x x a    
    32( ) ( ) 8 9 6 6g x f x x x x    
    进 2( ) 24 18 6g x x x    令 ( ) 0gx  解 1x  1
    4x 
    x 变化时 ( ) ( )g x g x 变化情况表:
    x ( 1)  1( 1 )4 1()4 
    ()gx + +
    ()gx ↗ ↘ ↗
    单调递增区间 单调递减区间
    (Ⅱ)证明: 0( ) ( )( ) ( )h x g x m x f m   0( ) ( )( ) ( )h m g m m x f m  
    0 0 0( ) ( )( ) ( )h x g x m x f m  
    令函数 10( ) ( )( ) ( )H x g x x x f x   10( ) ( )( )H x g x x x 
    (Ⅰ)知 [12]x 时 ( ) 0gx  0[1 )xx 时 1 ( ) 0Hx  1()Hx单调
    递减 0( 2]xx 时 1 ( ) 0Hx  单调递增 00[1 ) ( 2]x x x 时
    1 1 0 0( ) ( ) ( ) 0H x H x f x    1( ) 0 ( ) 0H m h m
    令函数 2 0 0( ) ( )( ) ( )H x g x x x f x   20()()()H x g x g x ( Ⅰ)知
    [12] 单调递增 时 2 ( ) 0Hx  2 ()Hx单调递增 时
    2 ( ) 0Hx  单调递减 时 2 2 0( ) ( ) 0H x H x
    20( ) 0 ( ) 0H m h x 0( ) ( ) 0h m h x 
    (Ⅲ)证明:意正整数 p q 00[1 ) ( ] 2p xxq 
    令 pm q 函数 0( ) ( )( ) ( )h g m xx x mf  
    (Ⅱ)知 0[1 )mx 时 ()h x 区间 0()mx 零点
    0( 2]mx 时 区间 0()xm零点
    (12) 少零点妨设 1x
    11 0( ) ( )( ) ( ) 0pph g x fqx qx   
    (Ⅰ)知 ()g x [12] 单调递增 10 ( ) ( )12()g xgg  
    4 3 2 2 3 4
    0 4
    1
    ( ) | ( ) | | 2 3 3 6 || | | |()()(2 )2
    ppffp p p q p q pq aqqqxq g x g g q
         ≥
    [1 2]x 时 ( ) 0g x  ()f x [12] 单调递增
    区间 0x 外没零点 0
    p xq  ( ) 0pf q 
    a 均整数 4 3 2 2 3 4| 2 3 3 6 |p p q p q pq aq    正整数
    4 3 2 2 3 4| 2 3 3 6 | 1p p q p q pq aq    ≥
    0 4
    1| 2| ()
    p xq g q ≥ 取 ()2Ag 0 4
    1||p xq Aq ≥
    39.解析(Ⅰ)题意   2 2f 
      2 2sinf x x x 
      2f  
    曲线  y f x 点    f处切线方程
       2 22yx     
    222yx   . (Ⅱ)题意 2( ) (cos sin 2 2) ( 2cos )xh x e x x x a x x     
           cos sin 2 2 sin cos 2 2 2sinxxhxexxx e xx ax x          
       2 sin 2 sinxe x x a x x   
      2 sinxe a x x  
    令   sinm x x x
      1 cos 0m x x   
     mx R 单调递增.
    (0) 0m 
    0x  时 ( ) 0mx 
    0x  时   0mx
    (1) 0a  时 xea 0
    0x  时   0hx   hx单调递减
    0x  时   0hx  单调递增
    0x  时  hx取极值极值  0 2 1ha  
    (2) 0a  时     ln2 sinxah x e e x x   
      0hx  1 lnxa 2 0x
    ① 01a时 ln 0a 
     lnxa  时  ln 0 0xae e h x    hx单调递增
     ln 0xa 时  ln 0 0xae e h x   单调递减
     0x  时  ln 0 0xae e h x   单调递增.
    lnxa 时  hx取极值.
    极值      2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a     
    0x  时  hx取极值极值  0 2 1ha   ② 1a  时 ln 0a 
     x   时   0hx  函数  hx   单调递增极值
    ③ 1a  时 ln 0a 
     0x  时 ln 0xaee    0h x h x  单调递增
     0lnxa 时    0h x h x  单调递减
     ln xa  时 ln 0xaee 单调递增
    0x  时  hx取极值极值  0 2 1ha  
    lnxa 时  hx取极值.
    极值      2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a     .
    综述:
    0a  时  hx 0 单调递减 0 单调递增
    函数  hx极值极值  0 2 1ha  
    01a时函数  hx lna  0lna  0 单调递增 ln 0a 单
    调递减函数  hx极值极值
    极值
    极值
    时函数 单调递增极值
    时函数  hx 0  ln a  单调递增
     0lna 单调递减函数  hx极值极值
    极值
    极值 .
    40.解析(Ⅰ) 3
    22)11()(′
    x
    x
    xaxf --- 3
    2 2)(1( x
    axx )--
    0a≤ 时 (01)x 0>)(′xf )(xf 单调递增
    (1 )x  0<)(′xf 单调递减
    0>a 时 33
    2
    2+(2)(1(
    2)(1()(′
    x
    axaxxa
    x
    axxxf
    ))--)--

    ①02a时 1>2
    a
    2()x a  0>)(′xf )(xf 单调递增
    2(1 )x a 0<)(′xf )(xf 单调递减
    ② 2a  时 12
    a (0 )x  ( ) 0fx ≥ 单调递增
    ③ 2a  时 1<2<0 a
    2(0 )x a (1 )x  单调递增
    2( 1)x a 单调递减
    (Ⅱ) (Ⅰ)知 1a 时 2
    21( ) ln xf x x x x
      

    2
    3 2 3
    ( 1)( 2 1 2( ) 1xxfx x x x x
         )2
    2 2 3
    2 1 1 2( ) ( ) ln 1 )xf x f x x x x x x x
           2(
    23
    32lnxx x x x     11 ]21[x
    令 g( ) lnx x x 23
    32()hx x x x    11 ( ) ( ) g( ( )f x f x x h x  )
    1g ( ) 1 0xx xx
       1 ≥ )g( x 值 1g(1)

    2
    2 3 4 4
    3 2 6 3 2 6() xxhx x x x x
           
    设 2( ) 3 2 6x x x     ()x ]21[x 单调递减 (1) 1  (2) 10 
    存 ]21[0 ∈x 0( ) 0x 
    0<<1 xx 时 ( ) 0x  )(xh 单调递增
    2<<0 xx 时 ( ) 0x  )(xh 单调递减
    1)1(h 2
    1)2(h )(xh 值 2
    1)2(h .
    13() () g( () g(1 (2)1 22f x f x x h x h       )).

    2
    3)()(  xfxf 意 成立.
    41.解析(I)题意  
    21 2 1' 2 0axf x ax xxx
       
    ① 0a „ 时 22 1 0ax   '0fx  fx 0 单调递减
    ② 0a  时令 ( ) 0fx  1
    2
    x
    a
     1(0 )2x a 时  '0fx
    1()2x a  时  '0fx
     fx 1(0 )2a
    单调递减 1()2a  单调递增
    (II)令 1
    11() xgx xe 1() xs x e x. 1( ) 1xs x e  . 1x  时
    ( ) 0sx  ()sx区间(1 ) 单调递增. (1) 0S  ( ) 0sx
    1x  时 ( ) 0gx .
    0a „ 1x  时 2( ) ( 1) ln 0f x a x x    .
    ()()f x g x 区间 恒成立时必 0a  . 10 2a时 1 1
    2a
     .
    (I) 1( ) (1) 0
    2
    ff
    a
     1( ) 0
    2
    g
    a

    时 ()()f x g x 区间(1 ) 恒成立.
    1
    2a … 时令 ( ) ( ) ( )( 1)h x f x g x x ….
    1x  时 1
    22
    1 1 1 1 1( ) 2 xh x ax e xx x x x x
            
    32
    22
    2 1 2 1 0x x x x
    xx
         
    ()hx区间(1 ) 单调递增.
    (1) 0h  1x  时 ( ) ( ) ( ) 0h x f x g x   ()()f x g x 恒成立.
    综 1[)2a  
    42.解析(I)    31f x x ax b    2( ) 3( 1)f x x a   
    面分两种情况讨:
    ① 0a „ 2( ) 3( 1) 0f x x a    … 恒成立 ()fx R 单调递增
    ② 0a  令 ( ) 0fx  解 31 3
    ax  31 3
    ax  .
    x 变化时 )(' xf )(xf 变化情况表:
    x )3
    31( a
    3
    31 a )3
    313
    31( aa 
    3
    31 a )3
    31(  a
    + 0 - 0 +
    单调递增 极值 单调递减 极值 单调递增
     fx 1 3
    a 
    单调递增 1 133
    aa
    单调递减 13
    a  

    调递增
    (II) ()fx存极值点(I)知 0a  0 1x  .
    题意 2
    00( ) 3( 1) 0f x x a     2
    0( 1) 3
    ax  3
    0 0 0( ) ( 1)f x x ax b    0
    2
    33
    aaxb  
           32
    0 0 0 03 2 2 2 3 1 3 2f x x x x b      
       2
    0 0 01 8 8 9 6x x x b     
       2
    00 1 2 1x x b   
    ∴ 00(3 2 ) ( )f x f x
    0032xx题意(I)知存唯实数 1x 满足 10()()f x f x 10xx
    1032xx 1023xx
    (Ⅲ)证明:设 )(xg 区间 ]20[ 值 M}max{ yx 表示 yx 两数
    值面分三种情况理:
    (1) 3a 时 331 0 2 133
    aa  剟 (Ⅰ)知 )(xf 区间 单
    调递减 )(xf 区间 取值范围 )]0()2([ ff ()gx区间[02]

    |}1||21max{||})0(||)2(max{| bbaffM 
    |})(1||)(1max{| baabaa 
    1 ( ) 0
    1 ( ) 0
    a a b a b
    a a b a b
             
    … 1 | | 2M a a b    …
    (2) 3 34 a „ 时 2 3 3 3 2 31 0 1 1 2 13 3 3 3
    a a a a      剟
    (Ⅰ)(Ⅱ)知 2 3 3(0) (1 ) (1 )33
    aaf f f  …
    2 3 3(2) (1 ) (1 )33
    aaf f f  „
    区间 取值范围 )]3
    31()3
    31([ afaf 
    33max{| (1 ) || (1 ) |}33
    aaM f f   22max{| 3 || 3 |}99
    aaa a b a a b     
    |})(39
    2||)(39
    2max{| baaabaaa 
    2 2 3 3 13 | | 39 9 4 4 4
    a a a b      …
    (3) 30 4a时 2 3 2 30 1 1 233
    aa    
    (Ⅰ)(Ⅱ)知 2 3 3(0) (1 ) (1 )33
    aaf f f   
    2 3 3(2) (1 ) (1 )33
    aaf f f   
    ()fx区间[02]取值范围[ (0) (2)]ff
    max{| (0) || (2) |} max{| 1 ||1 2 |}M f f b a b     
    |})(1||)(1max{| baabaa 
    11 | | 4a a b     .
    综述 0a  时 ()gx区间[02]值 1
    4

    43.解析(Ⅰ) '( ) ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2 )xxf x x e a x x e a       .
    (i)设 0a  ( ) ( 2) xf x x e ()fx零点.
    (ii)设 0a  ( 1)x  时 '( ) 0fx (1 )x  时 '( ) 0fx .
    ()fx ( 1) 单调递减(1 ) 单调递增.
    (1)fe (2)fa 取b 满足 0b  ln 2
    ab 
    223() (2)(1) ( )022
    af b b a b a b b       ()fx存两零点.
    (iii)设 0a  '( ) 0fx 1x  ln( 2 )xa .

    2
    ea  ln( 2 ) 1a (1 )x  时'( ) 0fx
    ()fx (1 ) 单调递增. 1x  时 ( ) 0fx ()fx存两零点.

    2
    ea  ln( 2 ) 1a (1ln( 2 ))xa时 '( ) 0fx
    (ln( 2 ) )xa   时 '( ) 0fx . (1ln( 2 ))a 单调递减
    (ln( 2 ) )a  单调递增. 1x  时 ( ) 0fx
    ()fx存两零点.综 a 取值范围(0 ) .
    (Ⅱ)妨设 12xx (Ⅰ)知 12( 1) (1 )xx    22 ( 1)x  
    ()fx( 1) 单调递减 122xx等价 12( ) (2 )f x f x
    2(2 ) 0fx. 22 2
    2 2 2(2 ) ( 1)xf x x e a x    
    2 2
    2 2 2( ) ( 2) ( 1) 0xf x x e a x     222
    2 2 2(2 ) ( 2)xxf x x e x e     .
    设 2( ) ( 2)xxg x xe x e    2'( ) ( 1)( )xxg x x e e   .
    1x  时 '( ) 0gx (1) 0g  1x  时 ( ) 0gx .
    22( ) (2 ) 0g x f x   122xx.
    44.解析(I)证明:   2 e2
    xxfx x
     
         
    2
    22
    2 4 ee 2 22
    x
    x xxfx x xx
        

    ∵ x    2 2      时   0fx 
    ∴  fx   2 2      单调递增
    ∴ 0x  时  2 e 0 12
    xx fx
     
    ∴  2 e 2 0xxx   
    (Ⅱ) 33
    ( 2) ( 2) 2()(())
    xx e a x xg x f x axx
          
    (Ⅰ)知 ()f x a 单调递增意  01a (0) 1 0f a a   
    (2) 0f a a…存唯 (02]ax  ( ) 0af x a ( ) 0agx 
    0 axx 时 ( ) 0f x a( ) 0gx  ()gx单调递减
    axx 时 ( ) 0f x a( ) 0gx  单调递增. ()gx axx 处取值值
    22
    ( 1) ( )( 1)() 2
    a a ax x x
    a a a
    a
    a a a
    e a x e f x x egx x x x
          

    () 2
    ax
    a
    eha x 
    2
    ( 1)( ) 02 ( 2)
    xxe x e
    xx
     

    2
    xe
    x 
    单调递增.
    (02]ax 
    0 2 21 ()2 0 2 2 2 2 4
    ax
    a
    e e e eha x     „
    单调递增意
    21(]24
    e  存唯
    ( ) [01)aa f x   ()ha  ()ha 值域
    21e
    24
    
     

    综 [01)a 时 值 值域 .
    45.解析(Ⅰ) ( ) 2 sin2 ( 1)sinf x a x a x     .
    (Ⅱ) 1a … 时| ( ) | | sin2 ( 1)(cos 1) |f x a x a x    
    2( 1)aa„ 32a (0)f
    32Aa.
    01a时 ()fx变形 2( ) 2 cos ( 1)cos 1f x a x a x    .
    令 2( ) 2 ( 1) 1g t at a t    A | ( ) |gt [ 11] 值
    ( 1)ga(1) 3 2ga 1
    4
    at a
     时 ()gt取极值
    极值
    221 ( 1) 6 1( ) 14 8 8
    a a a ag a a a
            .
    令 1114
    a
    a
       解 1
    3a  (舍) 1
    5a  .
    (ⅰ) 10 5a „ 时 [ 11] 极值点| ( 1)|ga| (1)| 2 3ga
    | ( 1)| | (1)|gg 23Aa .
    (ⅱ) 1 15 a时 ( 1) (1) 2(1 ) 0g g a     知 1( 1) (1) ( )4
    ag g g a
       .
    1 (1 )(1 7 )| ( ) | | ( 1) | 048
    a a aggaa
         
    21 6 1| ( ) |48
    a a aAg aa
       . 综
    2
    12 3 0 5
    6 1 1185
    3 2 1
    aa
    aaAaa
    aa
     
       

    
    



    (Ⅲ)(Ⅰ)| ()||2sin2 ( 1)sin | 2 | 1|f x a x a x a a      „
    10 5a „ 时|()|1 24 2(23)2f x a a a A     剟
    1 15 a时 1318 8 4
    aA a   …| ( ) | 1 2f x a A „
    1a … 时| ( ) | 3 1 6 4 2f x a a A   剟 | ( ) | 2f x A „
    46.解析(I) 3a≥
    1x≤ 时    222 4 2 2 1 2 1 2 0x ax a x x a x         
    1x  时    2 2 4 2 2 1 2 2x ax a x x x a        .
    等式 2( ) 2 4 2F x x ax a    成立 x 取值范围 22a .
    (II)( i)设函数 ( ) 2 1f x x 2( ) 2 4 2g x x ax a   
    min( ) (1) 0f x f 2
    min( ) ( ) 4 2g x g a a a    
    ()Fx定义知       min 1 m a f g a
      2
    03 2 2
    4 2 2 2
    ama
    a a a
      
        
    ≤ ≤

    (ii)02x≤ ≤ 时
     ( ) ( ) max (0) (2) 2 (2)F x f x f f F≤ ≤
    26x≤ ≤ 时
         ( ) ( ) max (2) (6) max 234 8 max (2) (6)F x g x g g a F F  ≤ ≤ .
    34 8 3 4() 2 4
    aaMa a
     


    ≥ .
    47.解析(1) 12 2ab ( ) 2 2xxfx  ①方程 ( ) 2fx 2 2 2xx 2(2 ) 2 2 1 0xx   
    2(2 1) 0x  21x  解 0x 
    ②条件知 2 2 2 2(2)2 2 (2 2) 2(()) 2x x x xf x f x      
    (2 ) ( ) 6f x mf x xR 恒成立 ( ) 0fx

    2( ( )) 4
    ()
    fxm fx
     恒成立

    2( ( )) 4 4 4( ) 2 ( ) 4()()()
    fx f x f xf x f x f x
         
    2( (0)) 4 4(0)
    f
    f
     
    4m  实数 m 值 4
    (2)函数 ( ) ( ) 2g x f x 1 零点 00(0) (0) 2 2 0g f a b     
    0 函数 ()gx唯零点
    ( ) ln lnxxg x a a b b 0 1 1ab   知ln 0ln 0ab
    ( ) 0gx  唯解 0
    lnlog ( )lnb
    a
    ax b
    令 ()()h x g x ' 2 2( ) ( ln ln ) (ln ) (ln )x x x xh x a a b b a a b b    
    意 ( ) 0hx  ()()g x h x  ()  单调增函数
    0()xx  0( ) ( ) 0g x g x
    0()xx  时 0( ) ( ) 0g x g x
    函数 ()gx 0()x 单调减函数 0()x  单调增函数
    证 0 0x 
    0 0x  0
    0 02
    xx  0( ) (0) 02
    xgg
    log 2 log 2 log 2(log 2) 2 2 0a a a
    ag a b a      函数 0
    2
    x log 2a 端点
    闭区间图象间断 间存 零点记 1x
    01alog 2 0a  0 02
    x  1 0x  0 函数 ()gx唯零点矛盾
    0 0x  理 0
    2
    x log 2a 间存 非 0 零点矛盾
    0 0x  ln 1ln
    a
    bln ln 0ab 1ab  .
    48.解析(Ⅰ)( ) (e 1) 2mxf x m x    .
    0m≥ ( 0)x  时 10mxe  ≤ ( ) 0fx 
    (0 )x  时 10mxe  ≥ ( ) 0fx  .
    0m < ( 0)x  时 10mxe  ( ) 0fx 
    (0 )x  时 10mxe  ( ) 0fx  .
    ()fx( 0) 单调递减(0 ) 单调递增.
    (Ⅱ)(Ⅰ)知意 m [ 10] 单调递减[01] 单调递增.
    ()fx 0x 处取值.
    意 1x 2x [ 11] 12| ( ) ( ) | 1f x f x e≤ 充条件:
    (1) (0) 1
    ( 1) (0) 1
    f f e
    f f e
    
       

    ≤ 1
    1
    m
    m
    e m e
    e m e
     
     

    ≤ ①
    设函数 ( ) 1tg t e t e    ( ) 1tg t e .
    0t < 时 ( ) 0gt  0t > 时 ( ) 0gt  .
    ()gt( 0) 单调递减(0 ) 单调递增.
    (1) 0g 1( 1) 2 0g e e     [ 11]t  时 ( ) 0gt≤ .
    [ 11]m 时 ( ) 0 ( ) 0g m g m≤ ≤ ①式成立
    1m > 时 ()gt单调性 ( ) 0gm> 1me m e  
    1m  时 ( ) 0gm 1me m e   
    综 m 取值范围[ 11] .
    49.解析:(Ⅰ)题意知 函数 )(xf 定义域 )1(  1
    12)12(1
    1)(
    2

    
    x
    aaxaxxaxxf
    令 2( ) 2 1g x ax ax a    ( 1 )x  
    (1) 0a 时 1)( xg
    时 0)(  xf 函数 )(xf )1(  单调递增极值点
    (2) 0a 时 )89()1(82  aaaaa

    9
    80  a 时 0 0)( xg
    0)(  xf 函数 单调递增极值点

    9
    8a 时 0
    设方程 012 2  aaxax 两根 )( 2121 xxxx 

    2
    1
    21  xx
    1
    1
    4x  2
    1
    4x 
    01)1( g
    4
    11 1  x
    )1( 1xx  时 0)(0)(  xfxg 函数 )(xf 单调递增
    )( 21 xxx 时 ( ) 0gx ( ) 0fx  函数 单调递减
    2()xx  时 ( ) 0gx ( ) 0fx  函数 单调递增
    函数两极值点
    (3) 0a 时 0
    01)1( g 11 x
    )1( 2xx  时 ( ) 0gx ( ) 0fx  函数 单调递增
    2()xx  时 ( ) 0gx ( ) 0fx  函数 单调递减
    函数极值点
    综述: 时函数 极值点
    9
    80  a 时函数 极值点
    9
    8a 时函数 )(xf 两极值点
    (II)(I)知
    (1)
    9
    80  a 时函数 )0(  单调递增
    0)0( f )0( x 时 0)( xf 符合题意
    (2) 19
    8  a 时 0)0( g 02 x
    函数 单调递增
    时 符合题意
    (3) 1a 时 0)0( g 02 x
    2(0 )xx 时函数 )(xf 单调递减
    )0( 2xx 时 0)( xf 合题意
    (4) 0a 时设 )1ln()(  xxxh
    )0( x 时 011
    11)( 
    x
    x
    xxh
    )(xh )0(  单调递增
    时 ( ) (0) 0h x h xx  )1ln(
    xaaxxxaxxf )1()()( 22 

    ax 11 时 0)1(2  xaax
    时 0)( xf 合题意
    综述 a 取值范围 ]10[.
    50.解析(1)'( ) sin cosax axf x ae x e x ( sin cos )axe a x x 2 1 sin( )axa e x   
    中 tan 1
    a
    0< < 2
     .
    令 ()fx 0 x 0 + mx m m  *N.
    k N 2k < + <( 21k + ) < <( ) '()fx>0 ( 21k + ) < x + <( 22k + )( ) < <( ) '()fx<0.
    区间(( 1)m  m )( ) 符号总相反.
    ( m *N )时 ()fx取极值 *() nxn nN 
    时    1 sin( )() ( 1) sin a n a nn
    nx e nf e        易知 ()nf x  0

     
     
    1
    1
    2
    1
    ()( 1)
    () (1
    s n
    in)
    i
    s
    an
    ax
    n
    n
    n
    an
    n
    f ef
    x e
    x e
    
    


    
    


      

    常数数列 ()nf x 首项
    1()f x   sinane   公 axe 等数列
    (2)(1)知sin
    2
    1
    1a 
    切 *nN nx <| ()nf x |恒成立
     
    2
    1
    1
    an
    a
    ne   

     恒成立
    等价
     
     
    2 1 ana e
    a an
    
    

     
     (*)恒成立( a >0)
    设 ()gt
    te
    t
    ( 0t > ) 2
    ( 1)te
    tgt t()  .令 gt() 0 t 1
    0< <1 时 ( ) 0gt  区间(01)单调递减
    >1 时 ( ) 0gt  区间(01)单调递增.
    1 时函数 取值 (1) eg .
    (*)式恒成立需
    2
    ()1 1ga ea   需
    2
    1
    1
    a
    e



    2
    1
    1e 
    时 tan 1
    a 2 1e  3 0 2
     .
    22 13 e    n 2≥ 时 22 13
    2 en     .
    切 *nN
    2
    1
    1nx
    e
    na  

    ()ng ax
    2 1(1) age a
       .
    (*)式恒成立. 综述
    2 1
    1a
    e


    切 *nN ( ) ||nnxxf 恒成立.
    51.解析(Ⅰ) '( )fx 236x x a'(0)fa
    曲线 ()y f x 点(02)处切线方程 2y ax.
    题设 2 2a   1a  .
    (Ⅱ)(Ⅰ)知 32( ) 3 2f x x x x   
    设 ()gx ( ) 2f x kx   323 (1 ) 4x x k x     题设知10k.
    x ≤0 时 '( )gx 23 6 1 0x x k     单调递增
    ( 1) 1 0 (0) 4g k g     0  0 唯实根.
    0x  时令 32( ) 3 4h x x x   ( ) (1 ) ( )h x k x h x    .
    2'( ) 3 6 3 ( 2)h x x x x x    ()hx (02) 单调递减(2 ) 单调递增
    ( ) ( ) (2) 0g x h x h ( ) 0gx (0 ) 没实根
    综 ()gx0 R 唯实根曲线 ()y f x 直线 2y kx交点.
    52.解析(Ⅰ)函数  y f x 定义域(0 )
    2
    42
    2 2 1()()
    xxe x xef x kx x x
         3
    ( 2)( ) ( 0)
    xx e kx xx
    
    0k  0xe kx
    (02)x 时 ( ) 0fx  函数 ()y f x 单调递减
    (2 )x  时 ( ) 0fx  函数 单调递增
    ()fx单调递减区间(02) 单调递增区间(2 )
    (Ⅱ)(Ⅰ)知 0k  时 单调递减
    存极值点
    0k  时设函数   xg x e kx[0 )x  ln() x x kg x e k e e    . 01k时 (02)x 时 ( ) 0xg x e k    函数  y g x 单调递增
    ()fx(02) 存两极值点
    1k  时
    x (0ln )k ln k (ln )k 
     gx  0 
    ()gx
    函数(02) 存两极值点

    (0) 0
    (ln ) 0
    (2) 0
    0 ln 2
    g
    gk
    g
    k
    
      
     

    2
    2
    eek
    综函数  fx 02 存两极值点时 k 取值范围
    2
    ()2
    ee .
    53.解析(Ⅰ) ( ) (1 )af x a x bx
        
    题设知 (1) 0f   解 1b  .
    (Ⅱ)()fx定义域(0 ) (Ⅰ)知 21( ) ln 2
    af x a x x x  
    1() (1)1 ( )(1)1
    a a af x a x x xx x a
           
    (ⅰ) 1
    2a  11
    a
    a 
    (1 )x  时 ( ) 0fx  ()fx(1 )
    单调递增存 0 1x  0() 1
    afx a 
    充条件 (1) 1
    af a 

    1 121
    aa
    a
      
    解 2 1 2 1a     .
    (ii) 1 12 a 11
    a
    a 
    (1 )1
    ax a 
    时 '( ) 0fx
    ()1
    ax a 
    时 ( ) 0fx  (1 )1
    a
    a
    单调递减()1
    a
    a 
    单调
    递增.存 充条件 ()11
    aaf aa


    2
    ( ) ln1 1 2(1 ) 1 1
    a a a a afaa a a a a       
    合题意. (iii) 1a  11(1) 12 2 1
    aaaf a
          

    综 a 取值范围( 2 1 2 1) (1 )    .
    54.解析(Ⅰ)题意知 0a  时 1( ) (0 )1
    xf x xx
      

    时 2
    2() ( 1)fx x
      
    1(1) 2f   (1) 0f 
    曲线 ()y f x (1 (1))f 处切线方程 2 1 0xy   .
    (Ⅱ)函数 ()fx定义域(0 )
    2
    22
    2 (2 2)() ( 1) ( 1)
    a ax a x afx x x x x
         

    0a  时 ( ) 0fx  函数 单调递增
    0a  时令 2( ) (2 2)g x ax a x a   
    22(2 2) 4 4(2 1)a a a     
    ① 1
    2a  时 0
    2
    2
    1 ( 1)2( ) 0( 1)
    x
    fx xx
    
     
    函数 ()fx 单调递减
    ② 1
    2a  时 0 ( ) 0gx   ( ) 0fx  函数 单调递减
    ③ 1 02 a   时 0
    设 1 2 1 2()x x x x 函数 ()gx两零点
    1
    ( 1) 2 1aax a
        2
    ( 1) 2 1aax a
       
    1
    1 2 1aax a
       
    2 2 1 2 1 0a a a
    a
       

    1(0 )xx 时 ( ) 0 ( ) 0g x f x函数 单调递减
    12()x x x 时 ( ) 0 ( ) 0g x f x函数 单调递增 2()xx  时 ( ) 0 ( ) 0g x f x函数 ()fx单调递减
    综知 0a  时函数 ()fx (0 ) 单调递增
    1
    2a  时函数 单调递减
    1 02 a   时 ( 1) 2 1(0 )aa
    a
        ( 1) 2 1()aa
    a
         单调
    递减 ( 1) 2 1 ( 1) 2 1()a a a a
    aa
            单调递增.
    55.解析(Ⅰ) 2( ) 2f x x x a    方程 2 20x x a   判式: 44a   .
    ∴ 1a≥ 时 0≤ ∴ ( ) 0fx ≥ 时 ()fx()  增函数.
    1a  时方程 2 20x x a   两根 11a   .
    ( 1 1 )xa     时 ( ) 0fx  ∴时 ()fx增函数
    ( 1 1 1 1 )x a a       时 ( ) 0fx  ∴时 减函数
    ( 1 1 )xa     时 ∴时 增函数
    综 1a≥ 时 ()fx 增函数
    时 ()fx单调递增区间( 1 1 )a    ( 1 1 )a    .
    ()fx单调递减区间( 1 1 1 1 )aa      .
    (Ⅱ) 3 2 3 2
    0 0 0 0
    1 1 1 1 1 1()() 1()()()12 3 3 2 2 2f x f x x ax a        

    3 3 2 2
    0 0 0
    1 1 1 1()()()3 2 2 2x x a x              

    2 0
    0 0 0 0 0
    1 1 1 1 1 1( )( ) ( )( ) ( )3 2 2 4 2 2 2
    xx x x x a x        

    2
    00
    00
    1 1 1( )( )2 3 6 12 2
    xxx x a      
    2
    0 0 0
    11( )(4 14 7 12 )12 2x x x a     ∴存 0
    11(0 ) ( 1)22x  0
    1()()2f x f
    必须 2
    004 14 7 12 0x x a    11(0 ) ( 1)22

    ∵ 0a  ∴ 214 16(7 12 ) 4(21 48 ) 0aa      
    方程两根: 14 2 21 48 7 21 48
    84
    aa      ∵ 0 0x 
    ∴ 0x 7 21 48
    4
    a  
    题意 7 21 48014
    a  7 21 48 11a  
    ∴ 49 21 48 121a   25 7
    12 12a   
    7+ 21 48 142
    a 5
    4a  欲满足题意 0x 存 5
    4a  .
    ∴ 25 5 5 7()()12 4 4 12a     时存唯 满足
    0
    1()()2f x f .
    25 7 5( ] [ 0)12 12 4a     
    时存

    56.解析(Ⅰ) xR( ) e e ( )xxf x f x    ∴ ()fx R 偶函数
    (Ⅱ)题意 (e e ) e 1x x xmm  ≤ (e e 1) e 1x x xm   ≤
    ∵ (0 )x  ∴e e 1 0xx   e1
    e e 1
    x
    xxm



    ≤ (0 )x   恒成立
    令 e ( 1)xtt 2
    1
    1
    tm tt

    ≤ 意 (1 )t    恒成立
    ∵ 22
    1 1 1 1
    1 ( 1) ( 1) 1 1 3111
    tt
    t t t t t t
                

    仅 2t  时等号成立
    ∴ 1
    3m ≤ (Ⅲ)'( ) e exxfx  1x  时 '( ) 0fx ∴ ()fx (1 ) 单调增
    令 3( ) ( 3 )h x a x x   '( ) 3 ( 1)h x ax x  
    ∵ 01ax∴ '( ) 0hx ()hx (1 )x   单调减
    ∵存 0 [1 )x    3
    0 0 0( ) ( 3 )f x a x x   ∴ 1(1) e 2efa  
     11e2ea 

    e1
    e 1 1
    1ln ln ln e (e 1)ln 1e
    a
    a
    a a a a
          
    设 ( ) (e 1)ln 1m a a a     e 1 e 1 1 1'( ) 1 e2e
    am a aaa
          
     11e e 12ea    时 '( ) 0ma ()ma 单调增
    e1a 时 '( ) 0ma 单调减
    两零点 (1) (e) 0mm
    ∴ ea  时 ( ) 0ma  e 1 1eaa 
     11ee2ea   时 e 1 1eaa 
    ea  时 ( ) 0ma  e 1 1eaa  .
    57.解析(I) 2( ) ( ) 2 4f x e ax a b x      .已知 (0) 4f  (0) 4f   .
    4b  8ab. 4ab
    (II) (I)知 2( ) 4 ( 1) 4xf x e x x x   
    1( ) 4 ( 2) 2 4 4( 2)( )2
    xxf x e x x x e       
    令 ( ) 0fx  ln 2x  2x  .
    ( 2) ( 1 2 )xn     时 ( ) 0fx  ( 2 1 2)xn   ( ) 0fx  .
    ()fx( 2)  ( ln 2 )  单调递增( 2 ln 2) 单调递减.
    2x  时函数 ()fx取极值极值 2( 2) 4(1 )fe   .
    58.解析(Ⅰ)  fx定义域      2xf x e x x    ①  0x   2x  时   0fx   02x 时   0fx 
     fx 0  2 单调递减 02 单调递增.
    0x  时  fx取极值极值  00f  2x  时  fx取极
    值极值   224fe .
    (Ⅱ)设切点   t f t l 方程     y f t x t f t  
    l x 轴截距    
     
    22322
    ft tm t t t tf t t t        
    已知①    0 2t   
    令    2 0h x x xx    0x  时  hx取值范围[2 2 )
     2x   时  hx取值范围 3  .
       0 2t    时  mt取值范围 0 [2 2 3 )   .
    综l x 轴截距取值范围 .
    59. 解析(Ⅰ)   1 x
    af x x e     1 x
    afx e
      .
    曲线  y f x 点   1 1f 处切线行 x 轴
     10f   10a
    e解 ae .
    (Ⅱ)
    ① 0a  时   0fx   fx   增函数函数  fx极值.
    ② 0a  时令   0fx  xea lnxa .
     lnxa    0fx   ln xa    0fx  .
     ln a 单调递减 ln a  单调递增
     fx lnxa 处取极值极值  ln lnf a a 极值.
    综 0a  时函数 极值
    处取极值ln a 极值. (Ⅲ) 1a  时   11 xf x x e  
    令         111 xg x f x kx k x e     
    直线l : 1y kx曲线  y f x 没公点
    等价方程   0gx R 没实数解.
    假设 1k  时  0 1 0g  1
    1
    11101 k
    g k e 
       

    函数  gx图象连续断零点存定理知   0gx R 少解
    方程   0gx R 没实数解矛盾 1k  .
    1k  时   1 0xgx e知方程   0gx R 没实数解.
    k 值1.
    解法二:(Ⅰ)( Ⅱ)解法.
    (Ⅲ) 1a  时   11 xf x x e   .
    直线 : 曲线 没公点
    等价关 x 方程 111xkx x e    R 没实数解关 x 方程:
      11 xkxe (*)
    没实数解.
    ① 1k  时方程(*)化 1 0xe  没实数解.
    ② 1k  时方程(*)化 1
    1
    xxek 

    令   xg x xe    1 xg x x e  .
    令   0gx  1x 
    x 变化时  gx 变化情况表:
     1  1  1 
     gx  0   gx
    1
    e
    1x  时  min
    1gx e 时 x 趋  时  gx趋
     gx取值范围 1 e
     

    111ke
       
    时方程(*)实数解解 k 取值范围 1 1e .
    综 k 值1.
    60. 解析(Ⅰ)函数 ()fx定义域(0+∞).
    () 2ln (2ln 1)f x x x x x x     令 ()fx =0 1
    e
    x 
    x 变化时f′(x) 变化情况表:
    x 10
    e
    
    
    1
    e
    1
    e
    

    ()fx - 0 +
    极值
    函数 单调递减区间 单调递增区间
    (Ⅱ)证明:01x ≤ 时 ≤0
    设 0t  令 ()()h x f x t[1 )x  .
    (1)知 ()hx 区间(1 ) 单调递增.
    (1) 0ht   22( ) ln ( 1) 0t t t th e e e t t e     .
    存唯 (1 )s  ()t f s 成立.
    (Ⅲ)证明: ()s g t (2)知 ()t f s 1s 
    2
    ln ( ) ln ln ln
    ln ln ( ) ln( ln ) 2ln ln(ln ) 2 ln
    g t s s s u
    t f s s s s s u u   

    中 lnus .
    2 ln ( ) 1
    5 ln 2
    gt
    t成立需0 ln 2
    uu
    2te 时 ()s g t e ≤ ()fs单调性 2()()t f s f e e≤ 矛盾.
    se 1u  ln 0u  成立. 方面令 ( ) ln 2
    uF u u 1u  . 11() 2Fu u
     令 ( ) 0Fu  2u  .
    12u( ) 0Fu  2u  时 ( ) 0Fu 
    ( 0 (2) 0F u F ≤ .
    ln 2
    uu  成立.
    综 2te 时 2 ln ( ) 1
    5 ln 2
    gt
    t
    61.解析(Ⅰ)题 1'( ) 0f x ax   )1(  恒成立 1a x )1(  恒成立
    1a'( ) xg x e a
    0a  '( ) 0xg x e a   )1(  恒成立 )(xg )1(  递增
    ()gx )1(  没值 0a lnxa 时 '( ) 0gx
    '( ) xg x e a )1(  递增 lnxa 时 '( ) 0gx )(xg 递增
    lnxa 时 '( ) 0gx )(xg 递减 lnxa )(xg 疑极点
    题ln 1a  ae
    综 a 取值范围 ae .
    (Ⅱ)题 '( ) 0xg x e a   ( 1 )  恒成立
    xea ( 1 )  恒成立 1a e
    ( ) ln 0( 0)f x x ax x    ln ( 0)xaxx
    令 ln( ) ( 0)xh x xx 2
    1 ln'( ) ( 0)xh x xx
    
    0 xe时 '( ) 0hx ln( ) ( 0)xh x xx递增
    xe 时 '( ) 0hx ln( ) ( 0)xh x xx递减
    xe时 ln( ) ( 0)xh x xx值 1
    e

    01x时 ln( ) 0xhx x 1x  时 ln( ) 0xhx x
    作出 ln( ) ( 0)xh x xx致图象 x
    y
    1
    e
    eO

    图知: 0a  1a e 时 )(xf 零点 1 10 a e时 )(xf 零点
    2
    62.解析(Ⅰ) ()fx定义域()  () xf x e a .
    0a „ ( ) 0fx  单调递增.
    0a  ( ln )xa  时 ( ) 0fx  (ln )xa 
    ( ln )a 单调递减(ln )a  单调递增.
    (Ⅱ) 1a  (x-k) f´(x)+x+1 ( )( 1) 1xx k e x    .
    0x  时(x-k) f´(x)+x+1>0 等价
    1
    1x
    xkxe
     ( 0x  ) ①
    令 1() 1x
    xg x xe
    
    22
    1 ( 2)( ) 1( 1) ( 1)
    x x x
    xx
    xe e e xgx ee
          
    (Ⅰ)知函数 ( ) 2xh x e x   (0 ) 单调递增. (1) 0 (2) 0hh ()hx
    存唯零点 ()gx 存唯零点设零点
    (12)  . (0 )x  时 ( ) 0gx  ()x   时 ( ) 0gx  ()gx
    值 ()g  ( ) 0g   2e  ( ) 1 (23)g   
    ①等价 ()kg 整数 k 值 2.
    63.解析(Ⅰ)设 ( 1)xt e t
    22
    22
    1 1 1aty at b y aat at at
           ① 1a  时 0y  1y at bat   1t  增函数
    : 1( 0)tx时 ()fx值 1aba
    ②01a时 1 2y at b bat    
    仅 11( ln )xat t e x aa     时 值 2b 
    (Ⅱ) 11()()xx
    xxf x ae b f x aeae ae
         
    题意:
    2
    2 2
    2
    2
    1 2(2) 3 3
    3 13 1(2) 2 2 2
    f ae b aae e
    f ae bae
                     

    64.解析(Ⅰ) ()fx xe
    kx ln  )(xf xe
    xkx ln1 
    0)1( f
    01 
    e
    k 解 1k
    (Ⅱ) xe
    xx ln11 
    令 0)(  xf 1x
    10  x 时 0ln11)(  xxxf 1x 时 0ln11)(  xxxf .
    )(xf 区间 )10( 增函数 )1(  减函数
    (Ⅲ) xx e
    xxxx
    e
    xxxxxg ln)(1ln11
    )()(
    22
    2 
    
    

    1(1 ln ) (0 )x
    x x x x xe
        
    意 0x   21  exg 等价 2(1 ln ) (1 )1
    xex x x ex
       
    设 ( ) 1 ln (0 )h x x x x x    
    2( ) ln 2 (ln ln )h x x x e      
    2(0 )xe 时 ( ) 0 ( )h x h x  2()xe  时 ( ) 0 ( )h x h x 
    22
    max( ) ( ) 1h x h e e   2(1 ln ) 1x x x e   
    设 ( ) ( 1)xx e x    0( ) 1xxx e e e    
    ∵ 0x  ∴ ( ) 0x  ()x ∴ ( ) (0) 0x 11
    xe
    x 
    ∴ 2(1 ln ) (1 )1
    xex x x ex
       
    意 0x   21  exg
    65. 解析(Ⅰ) 22
    1( ln )
    '( ) ( 1)
    x x bxfx xx
      
    
    直线 2 3 0xy   斜率 1
    2 点 (11)
    (1) 1
    1'(1) 2
    f
    f
     


    1
    1 22
    b
    a b
       
    解 1a  1b  .
    (Ⅱ)(Ⅰ)知 ln 1() 1
    xfx xx
    )1ln2(1
    1
    1
    ln)(
    2
    2 x
    xxxx
    xxf 
    考虑函数 ( ) 2lnh x xx
    x 12  ( 0)x 
    2
    2
    2
    22 )1()1(22)( x
    x
    x
    xx
    xxh 
    1x 时 0)1(0)(  hxh
    )10(x 时 0)(1
    10)( 2  xhxxh
    )1( x 时 0)(1
    10)( 2  xhxxh
    1
    ln)(01
    ln)(10  x
    xxfx
    xxfxx
    66.解析(Ⅰ) 22( ) ln 0f x a x x ax x   中

    2 ( )(2 )( ) 2a x a x af x x axx
          0a  ()fx增区间(0 )a 减区间()a 
    (Ⅱ)证明:题意 (1) 1 1f a c a c    
    (Ⅰ)知 ( ) [1 ]f x e 单调递增 21 ( ) [1 ]e f x e x e    恒成立
    2 2 2
    (1) 1 1
    ()
    f a e
    f e a e ae e
       
        
    解 ae
    67.解析(Ⅰ) ( ) 2fe 2b 
    (Ⅱ)(Ⅰ) ( ) 2 ln f x ax ax x    '( ) ln f x a x 0a  :
    (1) 0a  时 ( ) > 0fx >1x ( ) < 0fx <(2) 0a  时 01x
    综 0a  时函数 ()fx单调递增区间(1 ) 单调递减区间(01)
    0a  时函数 ()fx单调递增区间 单调递减区间(1 ) .
    (Ⅲ) 1a  时 ( ) 2 lnf x x x x    '( ) lnf x x .
    (Ⅱ) x 区间 1()ee
    变化时 '( ) ( )f x f x 变化情况表:
    x 1
    e 1( 1)e 1 (1 )e e
    '( )fx - 0 +
    ()fx 22 e 单调递减 极值 1 单调递增 2
    222e函数 ()fx 1( [ ])xee 值域[12].
    1
    2
    m
    M
    
     
    []t m M 直线 yt 曲线 ()y f x
    1( [ ])xee 公点. ()()t m M   直线 yt
    曲线 ()y f x 1( [ ])xee 没公点.
    综 时存实数 m 1实数 M 2 []t m M
    直线 曲线 1( )( [ ])y f x x ee公点. 68.解析(Ⅰ) 1
    2a  时 21( ) ( 1) 2
    xf x x e x  
    '( ) 1 ( 1)( 1)x x xf x e xe x e x       .  1x   时 '( )fx
     10x 时 '( ) 0fx  0x  时 '( ) 0fx .
    ()fx 1   0 单调增加( 10) 单调递减.
    (Ⅱ) ( ) ( 1 )af x x x ax   .令 ( ) 1ag x x ax   '( ) xg x e a. 1a 
     0x  时 '( )gx()gx减函数 (0) 0g  x≥0 时
    ≥0 ≥0. a   0lnxa 时 '( )gx
    减函数 时 <0 <0.
    综合 a 取值范围 1 .


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