专题九 解析
第二十九讲 曲线方程
2019 年
1（2019 北京理 8）数学中许形状优美寓意美曲线曲线C x2 + y2 1+ x y
中（图）出列三结：
① 曲线 C 恰 6 整点（横坐标均整数点）
② 曲线 意点原点距离超 2
③ 曲线 围城心形区域面积 3
中正确结序号

（A）① （B）②
（C）①② （D）①②③
2．（2019 浙江 15）已知椭圆
22
195
xy左焦点 F点 P 椭圆 x 轴方
线段 PF 中点原点O 圆心 OF 半径圆直线 斜率_______
3．（2019 江苏 17）图面直角坐标系 xOy 中椭圆 C
22
221( 0)xy abab    焦
点 F1（–10）F2（10）． F2 作 x 轴垂线 l x 轴方l 圆 F2 2 2 2( 1) 4x y a
交点 A椭圆 C 交点 D连结 AF1 延长交圆 F2 点 B连结 BF2 交椭圆 C 点 E
连结 DF1．已知 DF1 5
2
．
（1）求椭圆 C 标准方程
（2）求点 E 坐标．

4（2019 全国 III 理 21（1））已知曲线 C：y
2
2
x D 直线 y 1
2 动点 D 作 C
两条切线切点分 AB
（1）证明：直线 AB 定点：
（2） E(0 5
2 )圆心圆直线 AB 相切切点线段 AB 中点求四边形 ADBE
面积
5（2019 北京理 18）已知抛物线 22C x py 点(21)
(I) 求抛物线 C 方程准线方程
(II) 设 O 原点抛物线 C 焦点作斜率 0 直线 l 交抛物线 C 两点 MN
直线 y1 分交直线 OMON 点 A 点 B求证： AB 直径圆 y 轴两
定点
6（2019 全国 II 理 21）已知点 A(−20)B(20)动点 M(xy)满足直线 AM BM 斜率积
− 1
2
记 M 轨迹曲线 C
（1）求 C 方程说明 C 什曲线
（2）坐标原点直线交 C PQ 两点点 P 第象限PE⊥x 轴垂足 E连结
QE 延长交 C 点 G
（i）证明： PQG△ 直角三角形
（ii）求 面积值
7 （2019 浙江 21）图已知点 (10)F 抛物线 2 2 ( 0)y px p焦点点 F 直线
交抛物线 AB 两点点 C 抛物线 ABC△ 重心 G x 轴直线 AC 交 x
轴点 Q Q 点 F 右侧记 AFG CQG△ △ 面积
12SS
（1）求 p 值抛物线准线方程
（2）求 1
2
S
S
值时点 G 坐标
8（2019 天津理 18）设椭圆
22
221( 0)xy abab    左焦点
F顶点 B已知椭圆短轴长 4离心率 5
5
（Ⅰ）求椭圆方程
（Ⅱ）设点 P 椭圆异椭圆顶点点 M 直线 PB x 轴交点点 N
y 轴负半轴| | | |ON OF （O 原点）OP MN 求直线 PB 斜率

20102018 年
解答题
1．（2018 江苏）图面直角坐标系 xOy 中椭圆C 点 1( 3 )2
焦点
12( 30) ( 30)FF 圆O 直径 12FF ．
y
xOF2F1

(1)求椭圆 圆 方程
(2)设直线l 圆 相切第象限点 P．
①直线 椭圆 公点求点 P 坐标
②直线 椭圆 交 AB两点． OAB△ 面积 26
7
求直线 方程．
2．（ 2017 新课标Ⅱ）设 O 坐标原点动点 M 椭圆C：
2
2 12
x y 做 x 轴
垂线垂足 N点 P 满足 2NP NM ．
（1）求点 轨迹方程
（2）设点Q 直线 3x  1OP PQ．证明：点 垂直OQ 直线l
C 左焦点 F．
3．(2016 年山东)面直角坐标系 xOy 中椭圆 C：  
22
2210xy abab＞ ＞ 离心率 3
2

抛物线 E： 2 2xy 焦点 F C 顶点
（Ⅰ）求椭圆 C 方程
（Ⅱ）设 P E 动点位第象限E 点 P 处切线l C 交两点
AB线段 AB 中点 D直线 OD P 垂直 x 轴直线交点 M．
（i）求证：点 M 定直线
（ii）直线l y 轴交点 G记 PFG△ 面积 1SPDM△ 面积 2S
求 1
2
S
S
值取值时点 P 坐标．

4．(2016 年天津)设椭圆 13
2
2
2
 y
a
x ( 3)a  右焦点 F右顶点 A已知
||
3
||
1
||
1
FA
e
OAOF  中O 原点e 椭圆离心率．
（Ⅰ）求椭圆方程
（Ⅱ）设点 A 直线l 椭圆交点 B（B x 轴）垂直l 直线l 交
点 M y 轴交点 H HFBF  MOA MAO≤ 求直线l 斜
率取值范围．
5．(2016 年全国 II)已知椭圆 E
22
13
xy
t 焦点 x 轴 A E 左顶点斜率
( 0)kk 直线交 AM两点点 N E MA NA ．
（Ⅰ） 4| | | |t AM AN时求 AMN 面积
（Ⅱ） 2 AM AN 时求 k 取值范围．
6．（2015 湖北）种作图工具图 1 示．O 滑槽 AB 中点短杆 ON 绕 O 转动
长杆 MN 通 N 处铰链 ON 连接MN 栓子 D 滑槽 AB 滑动 1DN ON
3MN  ．栓子 D 滑槽 AB 作复运动时带动．．N 绕O 转动周（D 动时N
动）M 处笔尖画出曲线记 C． O 原点 AB 直线 x 轴建立
图 2 示面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线 C 方程
（Ⅱ）设动直线l 两定直线 1 2 0l x y 2 2 0l x y分交 PQ两点．直线 l
总曲线 C 公点试探究：△OPQ 面积否存值？
存求出该值存说明理．

7．（ 2015 江苏）图面直角坐标系 xoy 中已知椭圆  
22
2210xy abab    离心
率 2
2
右焦点 F 左准线l 距离 3．

（1）求椭圆标准方程
（2） 直线椭圆交 AB两点线段 AB 垂直分线分交直线l
点 PC 2PC AB 求直线 方程．
8．（ 2015 四川）图椭圆 E：
22
22+ 1( 0)xy abab   离心率 2
2
点 (01)P 动
直线l 椭圆相交 AB两点直线 行 x 轴时直线 椭圆 截线段长
22．
（1）求椭圆 方程
（2）面直角坐标系 xOy 中否存点 P 定点Q QA PA
QB PB 恒
成立？存求出点 坐标存请说明理．

9．（ 2015 北京）已知椭圆C：  
22
2210xy abab    离心率 2
2
点  01P 点
 A m n  0m≠ 椭圆C 直线 PA 交 x 轴点 M．
（Ⅰ）求椭圆C 方程求点 M 坐标（ m n 表示）
（Ⅱ）设 O 原点点 B 点 A 关 x 轴称直线 PB 交 x 轴点 N．问： y 轴
否存点Q OQM ONQ   ？存求点Q 坐标存说明
理．
10．（ 2015 浙江）已知椭圆
2
2 12
x y两点 AB关直线 1
2y mx称．
（Ⅰ）求实数 m 取值范围
（Ⅱ）求 AOB 面积值（O 坐标原点）．

11．（ 2014 广东）已知椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab    焦点( 50) 离心率 5
3

（Ⅰ）求椭圆 C 标准方程
（Ⅱ）动点 00()P x y 椭圆外点点 P 椭圆 C 两条切线相互垂直求点 P
轨迹方程．
12．（ 2014 辽宁）圆 224xy切线 x 轴正半轴 y 轴正半轴围成三角形该
三角形面积时切点 P（图）双曲线
22
1 221xyC ab点 离心率 3 ．
（1）求 1C 方程
（2）椭圆 2C 点 P 1C 相焦点直线l 右焦点 交 AB 两
点线段 AB 直径圆心点 求 方程．
x
P
O
y

13．（ 2013 四川）已知椭圆 C：)0(12
2
2
2
 bab
y
a
x 两焦点分 1( 1 0)F  2 10F（）
椭圆 C 点 ）
3
1
3
4(P．
（Ⅰ）求椭圆 C 离心率
（Ⅱ）设点 ）（ 20A 直线l 椭圆 C 交 MN 两点点 Q MN 点
222
112
ANAMAQ
 求点 Q 轨迹方程．
14．（ 2012 湖南）直角坐标系 xoy 中曲线 1C 点均 2C： 22( 5) 9xy   外
意点 M 直线 2x  距离等该点圆 点距离值
（Ⅰ）求曲线 方程
（Ⅱ）设 00()P x y （ 3y  ）圆 外点 P 作圆 两条切线分曲线
相交点 AB CD证明： 直线 4x  运动时四点 ABC
D 坐标积定值．
15．（ 2011 天津）面直角坐标系 xOy 中点 ()P a b ( 0)ab 动点 12FF分
椭圆
22
221xy
ab左右焦点．已知△ 12F PF 等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆离心率e
（Ⅱ）设直线 2PF 椭圆相交 AB两点M 直线 点满足 2AM BM  
求点 M 轨迹方程．
16 ．（ 2009 广东）已 知 曲 线 2C y x 直线 2 0l x y 交 两 点 ()AAA x y
()BBB x y ABxx ．记曲线C 点 A 点 B 间段 L 线段 AB 围成
面区域（含边界） D．设点 ()P s t 点点 P 点 点 均重合．
（1）点Q 线段 AB 中点试求线段 PQ 中点 M 轨迹方程
（2）曲线 2 2 2 51 2 4 025G x ax y y a      公点试求 a 值．
高考真题专项分类（理科数学）第 1 页— 23 页
专题九 解析
第二十九讲 曲线方程
答案部分
1 221x y x y   221y x y x  
配方
22
3 0241 xxy

 解 2 3
4x 
x 取整数值101
曲线           10 1 1 01 0 110 11    6 整点结①正确
x＞0 时 221x y xy  
22
221 2
xyx y xy     （ xy 时取等号）
222xy 22 2xy 曲线Cy轴右边点原点距离超 2
结②正确
根称性：曲线 C 意点原点距离超
②正确．
图示        0 1 10 11 01ABCD
131 1 1 122ABCDS      
根称性知 23ABCDSS心形
心形区域面积 3③错误．
正确结①② 选 C．
2．解析 设椭圆右焦点 F连接 PF
线段PF中点A原点O圆心2半径圆
连接AO 24PF AO 
设P坐标（mn） 2343 m 3
2m  15
2n 
( 20)F  直线PF斜率
15
2 153 22


． 高考真题专项分类（理科数学）第 2 页— 23 页

3解析 （1）设椭圆 C 焦距 2c
F1(10)F2(10) F1F22c1
DF1 5
2
AF2⊥x 轴 DF2 2 2 2 2
1 1 2
53( ) 222DF F F   
2aDF1+DF24 a2
b2a2c2 b23
椭圆 C 标准方程
22
143
xy
（2）解法：（1）知椭圆 C：a2
AF2⊥x 轴点 A 横坐标 1
x1 代入圆 F2 方程(x1) 2+y216解 y±4
点 A x 轴方 A(14)
F1(10)直线 AF1：y2x+2
22()
22
1 16
yx
xy





25 6 11 0xx  
解 1x  11
5x 
代入 22yx 12
5y 
11 12()55B  F2(10)直线 BF2： 3 ( 1)4yx 高考真题专项分类（理科数学）第 3 页— 23 页
22
143
3 ( 1)4
x
yx
y


 




27 6 13 0xx   解 1x  13
7x 
E 线段 BF2 椭圆交点
代入 3 ( 1)4yx 3
2y  3( 1 )2E 
解法二：（1）知椭圆 C：
22
143
xy图示联结 EF1
BF22aEF1+EF22a EF1EB
∠BF1E∠B
F2AF2B∠A∠B
∠A∠BF1E EF1∥F2A
AF2⊥x 轴 EF1⊥x 轴
F1(10) 22
143
1x
xy
 


3
2y 
E 线段 BF2 椭圆交点

4 解析（1）设  11
12D t A x y
2
112xy
y＇ x 切线DA斜率 1x 1
1
1
1
2y
xxt


整理 112 2 +10 tx y
设  22B x y 理 222 2 +10tx y
直线AB方程 2 2 1 0tx y  
直线AB定点 1(0 )2
5解析（I）抛物线 22C x py 点 2 1 2p 
抛物线 C 方程 2 4xy 准线方程 1y 
（II）抛物线 C 焦点 0 1 设直线 l 方程  10y kx k   高考真题专项分类（理科数学）第 4 页— 23 页

2 4
1
xy
y kx
 
 
2 4 4 0x kx  
设    1 1 2 2M x y N x y 12 4xx 
直线OM 方程 1
1
yyxx 令 1y  点 A 横坐标 1
1
A
xx y
理点 B 横坐标 2
2
B
xx y
设点  0Dn    221 2 1 2
22
12 12
11
44
x x x xDA DB n nyy xx
            
uuur uuur

   22
12
16 1 4 1nnxx      
令 0DA DB
uuur uuur
 24 1 0n    1n  3n 
综 AB 直径圆 y 轴定点   01 03 ．
6．解析（1）题设 1
2 2 2
yy
xx  
化简
22
1(| | 2)42
xy x   C 中心
坐标原点焦点 x 轴椭圆含左右顶点．
（2）（i）设直线 PQ 斜率 k方程 ( 0)y kx k．
22
142
y kx
xy
 

2
2
12
x
k


．
记
2
2
12
u
k


( ) ( )(0)P u uk Q u uk E u ．
直线QG 斜率
2
k 方程 ()2
ky x u．
22
( )2
142
ky x u
xy
 
 

22 222(2 ) 2 8 0k x uk x k u     ．① 高考真题专项分类（理科数学）第 5 页— 23 页
设 ()GGG x y u Gx 方程①解
2
2
(3 2)
2G
ukx k
 

3
22G
uky k 
．
直线 PG 斜率
3
2
2
2
12
(3 2)
2
uk ukk
uk kuk
  
．
PQ PG PQG△ 直角三角形．
（ii）（i）
2| | 2 1PQ u k
2
2
21||2
uk kPG k
 
△PQG 面积
2
22
2
18( )1 8 (1 )|| 12 (1 2 )(2 ) 1 2( )
kkk kS PQ PG kk kk
  
‖．
设 tk+ 1
k
k>0 t≥2仅 k1 时取等号．
2
8
12
tS t 
[2+∞）单调递减 t2 k1 时S 取值值16
9
．
△PQG 面积值 ．
7．解析 （I）题意 12
p  p2
抛物线准线方程x−1
（Ⅱ）设      A A B B c cA x y B x y C x y 重心  GGG x y 令 2 0Ay t t 2
Axt
直线ABF直线AB方程
2 1 12
txyt
代入 2 4yx
 2
2 21
40
t
yyt

  
24Bty  2
By t 2
12B tt


   1133G A B c G A B cx x x x y y y y      重心Gx轴 220ctyt  

2 42
2
1 1 2 2 22 03
ttC t t Gt t t
          

直线AC方程  222y t t x t    2 10Qt  高考真题专项分类（理科数学）第 6 页— 23 页
Q焦点F右侧 2 2t 
42
2 4 2 2
1
2 44
2
4
2
2
2 2 21 1 | 2 ||| 3 222 21 2 2 2 2 11|| | 1 | | 2 |2 3
A
c
tt tFG y tS t t t
ttS t tQG y tttt
          

令 2 2mtm>0
1
2
2
1 1 32 2 2 134 3 234 24
S m
S m m m mm m
        
…
3m  时 1
2
S
S
取值 31 2 时G（20）
8解析 （Ⅰ）设椭圆半焦距c 题意 52 4 5
cb a 2 2 2a b c 5a 
2b  1c 
椭圆方程
22
154
xy
（Ⅱ）题意设     0 0P P p MP x y x M x
设直线 PB 斜率  0kk  02B直线 PB 方程 2y kx椭圆方程
联立 22
2
154
y kx
xy
 
整理 224 5 20 0k x kx  
2
20
45P
kx k 
代入
2
2
8 10
45P
ky k
 
进直线OP 斜率
245
10
P
p
y k
xk
 
中令 0y  2
Mx k 题意  0 1N  直线 MN 斜率
2
k
OP MN
245 110 2
kk
k
     
化简 2 24
5k  2 30
5k 
直线 PB 斜率 2 30
5
2 30
5
高考真题专项分类（理科数学）第 7 页— 23 页
20102018 年

1．解析(1)椭圆C 焦点 12() 30 ( 30)FF
设椭圆 方程
22
221( 0)xy abab    ．点 1( 3 )2
椭圆
22
22
3114
3
ab
ab
 
 
解
2
2
4
1
a
b
  

椭圆 方程
2
2 14
x y．
圆O 直径 12FF 方程 223xy．
(2)①设直线l 圆 相切 0 0 0 0()( 00)P x y x y 22
003xy
直线 方程 0
00
0
()xy x x yy    0
00
3xyxyy   ．

2
2
0
00
14
3
x y
xyxyy
 
   
消 y
2 2 2 2
0 0 0 04 24 36 4 0()x y x x x y     ．（ *）
直线 椭圆 公点
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0( ) ( )( 24 )4 4 36 4 (48 )20x x y y y x        ．
000xy 002 1xy．
点 P 坐标 ( 21) ．
②三角形OAB 面积 26
7
21 2
6
7AB OP 42
7AB  ．
设 1 1 2 2()()A x y B x y
（*）
22
0 0 0
22
00
12
24 48 ( 2)
2(4 )
x y x
xx y
 

2
2 2 2
121()()xB y yxA    
2 2 2
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0
48 ( 2)(1 ) (4 )
x y x
y x y
   
．
22
003xy 高考真题专项分类（理科数学）第 8 页— 23 页

2
2 0
22
0
16( 2) 32
( 1) 49
xAB x

42
002 45 100 0xx  
解 22
00
5 ( 202xx舍） 2
0
1
2y  P 坐标 10 2()22
．
综直线l 方程 5 3 2yx   ．
P
B
A
y
xOF2F1

2．解析（1）设 ()P x y 00()M x y 0( 0)Nx 0()NP x x y 0(0 )NM y ．
2NP NM 0xx 0
2
2yy ．
C
22
122
xy．
点 P 轨迹方程 222xy．
（2）题意知 ( 10)F  ．设 ( 3 )Qt ()P m n
( 3 )OQ t ( 1 )PF m n    33OQ PF m tn   
()OP m n ( 3 )PQ m t n   
1OP PQ 2231m m tn n     （1）知 222mn
3 3 0m tn   ．
0OQ PF OQ PF ．点 P 存唯直线垂直OQ 点 P
垂直 直线l C 左焦点 F．
3．解析(Ⅰ) 离心率 2
3 22 4 ba
抛物线 yx 22 焦点坐标 )2
10(F 2
1b 1a 高考真题专项分类（理科数学）第 9 页— 23 页
椭圆C 方程 14+ 22 yx ．
(Ⅱ) （i）设 P 点坐标
2
)( 0)2
mP m m （
yx 22 xy ′ E 点 P 处切线l 斜率 m
切线 方程 2
2mmx－y
设 )()( 2211 yxByxA)( 00 yxD
代入
01+4)4+1 2322 －mxm－xm（．
2
3
21 4+1
4+ m
mxx 2
3
21
0 4+1
22
+ m
mxxx

22
00 22 2(1 4 )
mmy mx m
   

直线OD方程 xm－y 4
1 ．
联立方程 xm－y 4
1 mx M 坐标 1()4Mm ．
点 定直线 4
1y － ．
（ii）切线 方程 中令 0x 
2
2
my －
点G 坐标
2
(0 )2
mG 
2
()2
mPm 1(0 )2F
4
)1+(×2
1S
2
1
mmGFm

32
22
2()4 1 2(4 1)
mmD mm


高考真题专项分类（理科数学）第 10 页— 23 页
)1+4(8
)1+2(1+4
+2×4
1+2×2
1S 2
22
2
32
2 m
mm
m
mmm

22
22
2
1
)1+2(
)1+)(1+4(2S
S
m
mm ．
令 1+2 2mt 22
2
1 11+2
)1+)(2
1(2
S
S
t－tt
tt－

2
11
t 时 2t 时
2
1
S
S 取值 4
9 ．
时 2
12m 2
2m P 点坐标 )4
12
2P( ．

2
1
S
S 值 取值时点 P 坐标 21()24P．
4．解析（Ⅰ）设 ( 0)Fc 1 1 3
| | | | | |
c
OF OA FA 1 1 3
()
c
c a a a c 

2 2 23a c c 2 2 2 3a c b   2 1c  2 4a 
椭圆方程
22
143
xy．
（Ⅱ）解：设直线l 斜率 k （ 0k ）直线l 方程 )2(  xky
设 )(BB yxB方程组





)2(
134
22
xky
yx
消 y
整理 0121616)34( 2222  kxkxk ．
解 2x
34
68
2
2

 k
kx 题意
34
68
2
2

 k
kxB
34
12
2 
 k
kyB．
（Ⅰ）知 )01(F设 )0(HyH )1(HyFH  )34
1234
49( 22
2

 k
k
k
kBF
HFBF  0HFBF 034
12
34
49
22
2


k
ky
k
k H解
k
kyH 12
49 2 高考真题专项分类（理科数学）第 11 页— 23 页
直线 MH 方程
k
kxky 12
491 2 ．
设 )(MM yxM方程组





)2(
12
491 2
xky
k
kxky 消 y 解
)1(12
920
2
2

 k
kxM
MAO 中 |||| MOMAMAOMOA  2222)2(MMMM yxyx 
化简 1Mx 1)1(12
920
2
2


k
k 解
4
6k
4
6k ．
直线l 斜率取值范围 )4
6[]4
6(   ．
5．解析（I）设 11()M x y 题意知 1 0y  ．
4t  时椭圆 E 方程
22
143
xyA 点坐标 20
已知椭圆称性知直线 AM 倾斜角
4
 ．
直线 方程 2yx．
2xy代入 27 12 0yy．
解 0y  12
7y  1
12
7y  ．
AMN△ 面积 21 1 12 12 14422 2 7 7 49AMNS AM       ．
（Ⅱ）题意知 3 0 ( 0)t k A t   直线 方程  y k x t
联立
 
22
13
xy
t
y k x t
 

 
整理 2 2 2 2 23 2 3 0tk x t tk x t k t    
解 xt
2
2
3
3
t tk tx tk
 


2
22
22
361133
t tk t tAM k t ktk tk
      
题意 MA NA AN 方程 1 ()y x tk  
理
2
2
6 (1 )|| 3
k t kAN kt
 
高考真题专项分类（理科数学）第 12 页— 23 页
2 AM AN 22
2
33
k
tk k t
3( 2) 3 (2 1)k t k k  
3 2k  时式成立
2
3
63
2
kkt k
 
．
3t 
2
3
6332
kk
k
 
整理   2
3
12
02
kk
k



3
2 02
k
k
 
解 3 22k．
6．解析（Ⅰ）设点 ( 0)Dt (| | 2)t  00( ) ( )N x y M x y 题意
2MD DN | | | | 1DN ON

00( ) 2( )t x y x t y   
22
00
22
00
( ) 1
1
x t y
xy
    

0
0
22
2
t x x t
yy
  
 
0( 2 ) 0t t x．
点 D 动时点 N 动t 恒等 0
02tx 0042
xyxy   代入 22
001xy
22
116 4
xy
求曲线C 方程
22
116 4
xy．
（Ⅱ）（ 1）直线l 斜率存时直线 4x  4x 
1 4 4 82OPQS     ．
（2）直线 斜率存时设直线 1()2l y kx m k   
224 16
y kx m
xy

 
消 y 2 2 2(1 4 ) 8 4 16 0k x kmx m     ．
直线l 总椭圆C 公点
2 2 2 264 4(1 4 )(4 16) 0k m k m      2216 4mk． ①

2 0
y kx m
xy

 
2()1 2 1 2
mmP kk
理 2()1 2 1 2
mmQ kk


． 高考真题专项分类（理科数学）第 13 页— 23 页
原点O 直线 PQ 距离
2
||
1
md
k


2| | 1 | |PQPQ k x x  
2
2
1 1 1 2 2 2| | | || | | |2 2 2 1 2 1 2 1 4OPQ P Q
m m mS PQ d m x x m k k k          
．②
①代入②
22
2 2
412 814 41OPQ
kmS k k

 
．
2 1
4k  时
2
22
4 1 28( ) 8(1 ) 84 1 4 1OPQ
kS kk
   

2 10 4k时
2
22
4 1 28( ) 8( 1 )1 4 1 4OPQ
kS kk
   
．
2 10 4k 20 1 4 1k   2
2 214k 
2
28( 1 ) 814OPQS k    

仅 0k  时取等号． 0k  时 OPQS 值 8．
综合（1）（ 2）知直线 l 椭圆C 四顶点处相切时△ OPQ 面积取
值 8．
7．解析（1）题意 2
2
c
a 
2
3ac c
解 2a  1c  1b  椭圆标准方程
2
2 12
x y+．
（2） AB  x 轴时 2AB  C3 合题意．
AB x 轴垂直时设直线 AB 方程  1y k x  11xy
 22xy AB 方程代入椭圆方程   2 2 2 21 2 4 2 1 0k x k x k    
 22
12 2
2 2 1
12
kk
x k

 
C 坐标
2
22
2 1 2 1 2
kk
kk



        2
2 2 22
2 1 2 1 2 1 2
2 2 1
1 12
k
AB x x y y k x x k

        
．
0k  线段 AB 垂直分线 y 轴左准线行合题意．
0k  直线 C 方程
2
22
12
1 2 1 2
kkyxk k k
   

P 点坐标  
2
2
522
12
k
kk

 
 
22
2
2 3 1 1
12
kk
PC
kk



． 高考真题专项分类（理科数学）第 14 页— 23 页
2PC AB  
 
 2 2 2
22
2 3 1 1 4 2 1
1212
k k k
kkk
  
 
解 1k  ．
时直线 AB 方程 1yx 1yx   ．
8．解析（1）已知点 ( 21) 椭圆 E ．

22
2 2 2
211

2 2
ab
a b c
c
a
 
 

 
解 2a  2b  ．
椭圆方程
22
142
xy．
（2）直线l x 轴行时设直线 椭圆相交CD 两点．
果存定点Q 满足条件 | | | | 1| | | |
QC PC
QD PD| | | |QC QD ．
点 y 轴设 点坐标 0(0 )y ．
直线 轴垂直时设直线 椭圆相交 MN 两点．
(0 2)M(0 2)N 
| | | |
| | | |
QM PM
QN PN 0
0
| 2 | 21
| 2 | 2 1
y
y
 

解 0 1y  0 2y  ．
存点 P 定点Q 满足条件Q 点坐标 (02)Q．
面证明：意直线 均 | | | |
| | | |
QA PA
QB PB ．
直线l 斜率存时知结成立．
直线 斜率存时设直线 方程 1y kxAB 坐标分
1 1 2 2( )( )x y x y ．
联立
22
142
1
xy
y kx
 
 
22(2 1) 4 2 0k x kx    ．
判式 2216 8(2 1) 0kk    
1 2 1 222
422 1 2 1
kx x x xkk    
． 高考真题专项分类（理科数学）第 15 页— 23 页
12
1 2 1 2
11 2xx kx x x x
   ．
易知点 B 关 y 轴称点坐标 22()B x y  ．
x
y
O
Q
P
A
B B＇

12
1 1 2 2 1
221 1 1QA QB
yyk k k k kx x x x x
        

QA QBkk QAB 三点线．
1
2
||| | | | | |
| | | | | | | |
xQA QA PA
QB QB x PB   ．
存 P 定点 (02)Q | | | |
| | | |
QA PA
QB PB 恒成立．
9．解析（Ⅰ）题意
2 2 2
1
2 2

b
c
a
a b c

 

 
解 2a 2．
椭圆C 方程
2
2 12
x y．
设 M(Nx 0)． 0m  11n   ．
直线 PA 方程 11 nyxm

Mx
1
m
n
( 0)1
mM n
．
（Ⅱ）点 B 点 A 关 x 轴称 ()B m n
设 ( 0)NNx Nx
1
m
n
．
存点 (0 )QQy OQM ONQ 等价 高考真题专项分类（理科数学）第 16 页— 23 页
存点 (0 )QQy OM
OQ
OQ
ON
Qy 满足 2
QMNy x x ．

1M
mx n 

1N
mx n 

2
2 12
m n

2
2
2 21QMN
my x x n  
．
2 2Qy  ．
y 轴存点Q OQM ONQ ．
点 坐标(0 2) (0 2) ．
10．解析（Ⅰ）题意知 0m  设直线 AB 方程 1y x bm   ．
2
2
1
12
y x bm
x y
   
 
消 y 22
2
1 1 2( ) 1 02
bx x bmm     ．
直线 1y x bm   椭圆
2
2 12
x y两交点
2
2
4Δ 2 2 0b m     ①
设 M AB 中点
2
22
2()22
mb m bM mm

代入直线方程 1
2y mx解
2
2
2
2
mb m
 ．②
①② 6
3m  6
3m  ．
（Ⅱ）令 1 6 6( 0) (0 )22t m  
42
2
2
3222| | 1 1
2
tt
AB t
t
  
  

高考真题专项分类（理科数学）第 17 页— 23 页
O 直线 AB 距离
2
2
1
2
1
t
d
t



．
设 ΔAOB 面积 ()St
221 1 1 2( ) | | 2( ) 22 2 2 2S t AB d t      ≤
仅 2 1
2t  时等号成立．
ΔAOB 面积值 2
2
．
11．解析（Ⅰ）知 5c  5
3
c
a  3a 2 2 2 4b a c  
椭圆 C 标准方程
22
194
xy
（Ⅱ）设两切线 12ll
① 1lx 轴 1 lx轴时应 2 lx轴 2lx 轴知 ( 3 2)P 
② 1l x 轴垂直行时 0 3x  设 斜率 k 0k  2l 斜率 1
k
方程 00()y y k x x   联立
2 2 2
0 0 0 0(9 4) 18( ) 9( ) 36 0k x y kx kx y kx      
直线椭圆相切 0
2 2 2 2
0 0 0 09( ) (9 4)[( ) 4] 0y kx k k y kx     
22
0036 4[( ) 4] 0k y kx    
2 2 2
0 0 0 0( 9) 2 4 0x k x y k y     
k 方程 2 2 2
0 0 0 0( 9) 2 4 0x x x y x y     根
理 方程 2 2 2
0 0 0 0( 9) 2 4 0x x x y x y     根
1()k k   
2
0
2
0
4
9
y
x


22
0013xy中
点 P 轨迹方程 2213xy（ 3x  ）
满足式综知：点 P 轨迹方程 ． 高考真题专项分类（理科数学）第 18 页— 23 页
12．解析（Ⅰ）设圆半径 r P 点两段分 mn 2 4r 
射影定理 2r mn 三角形面积
2 2 4 2 2114 4 4( ) 1622s m n r m n      
4 2 2 4 2118 16 8 1622r m n r r     
2mn时 s 取时 ( 2 2)P
∵ 2 2 23c c b aa    双曲线
∴ 2 2 23 2 1c b a  ∴双曲线方程
2
2 12
yx 
（Ⅱ）（Ⅰ）知 2C 焦点 ( 30)( 30)设 2C 方程
22
22
11
13
xy
bb

中 1 0b  2C 2
1 3b  ∴ 2C 方程
22
163
xy
显然l 直线 0y  设l 方程 3x my点 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y
22
3
163
x my
xy
  
22(2 ) 2 3 3 0m y my  
∴ 1 2 1 222
2 3 322
my y y ymm  
①
1 1 2 20 (22)(22)PA PB x y x y  
2
1 2 1 2(1 ) [(32)2]( )726m y y m y y     ②
①② 22 2 6 4 611 0mm解 12
3 62 2 622mm
直线l 方程 3 62 302xy   2 6 302xy  
13．解析（Ⅰ）椭圆定义知
2a＝|PF1|＋|PF2|＝
2 2 2 24 1 4 11 1 2 23 3 3 3
                          
高考真题专项分类（理科数学）第 19 页— 23 页
2a  ．已知c＝1
椭圆 C 离心率 12
22
ce a   ．
（Ⅱ）（Ⅰ）知椭圆 C 方程
2
2
x ＋y2＝1．设点 Q 坐标(xy)．
(ⅰ)直线 l x 轴垂直时直线 l 椭圆 C 交(01)(0－1)两点
时点 Q 坐标 3502 5

．
(ⅱ)直线 l x 轴垂直时设直线 l 方程 y＝kx＋2．
MN 直线 l
设点 MN 坐标分( 1x k ＋2)( 2x k ＋2)
|AM|2＝(1＋k2) 2
1x |AN|2＝(1＋k2) 2
2x ．
|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2) 2x ．
2 2 2
2 1 1
| | | | | |AQ AM AN
2 2 2 2 2 2
12
2 1 1
1 1 1k x k x k x        


2
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
22 1 1 x x x x
x x x x x
      ①
y＝kx＋2 代入 ＋y2＝1 中
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0②
Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0 k2＞ 3
2
②知 12xx ＝ 2
8
21
k
k


12xx ＝ 2
6
21k 

代入①中化简 2
2
18
10 3x k  ③
点 Q 直线 y＝kx＋2
2yk x
 代入③中化简 10(y－2)2－3x2＝18
③ k2＞ 知 0＜x2＜ x∈ 6 02

∪ 60 2


高考真题专项分类（理科数学）第 20 页— 23 页
3502 5

满足 10(y－2)2－3x2＝18 x∈ 6622


题意Q(xy)椭圆 C －1≤y≤1
10(y－2)2＝18＋3x2 (y－2)2∈ 9954


－1≤y≤1 y∈ 1 3 5225
 

点 Q 轨迹方程 10(y－2)2－3x2＝18
中 x∈ y∈ 1 3 5225
 

14．解析（Ⅰ）解法 1 ：设 M 坐标()xy已知
222 ( 5) 3x x y    
易知圆 2C 点位直线 2x  右侧 20x 
22( 5) 5x y x   
化简曲线 1C 方程 2 20yx ．
解法 2 ：题设知曲线 意点 M 圆心 (50) 距离等直线 5x 
距离曲线 焦点直线 准线抛物线方程
．
（Ⅱ）点 P 直线 4x  运动时P 坐标 0( 4 )y 0 3y  P
圆 相切直线斜率 k 存 0条切线抛物线两交点切线方程
0 ( 4)y y k x   0kxy+y +4k0
0
2
543
1
k y k
k
 


整理 22
0072 18 9 0k y k y    ①
设 P 作两条切线 PA PC 斜率分 12kk 方程①两实根
00
12
18 72 4
yykk     ② 高考真题专项分类（理科数学）第 21 页— 23 页
1 0 1
2
4 0
20
k x y y k
yx
   
 
2
1 0 120 20( 4 ) 0k y y y k    ③
设四点 ABCD 坐标分 1 2 3 4y y y y 12yy方程③两实根
01
12
1
20( 4 )ykyy k
 ④
理
02
34
2
20( 4 )ykyy k
 ⑤
②④⑤三式
0 1 0 2
1 2 3 4
12
400( 4 )( 4 )y k y ky y y y kk

2
0 1 2 0 1 2
12
400 4( ) 16y k k y k k
kk
  
22
0 0 1 2
12
400[ 16 ] 6400y y k k
kk

P 直线 4x  运动时四点 ABCD 坐标积定值 6400．
15．解析（Ⅰ）解：设 12( 0) ( 0)( 0)F c F c c题意 2 1 2| | | |PF F F
22( ) 2 a c b c  
整理 22( ) 1 0 1c c c
a a a     （舍） 1 2
c
a  1 2e 
（Ⅱ）解：（Ⅰ）知 2 3 a c b c椭圆方程 2 2 23 4 12 x y c
直线 PF2 方程 3( )y x c
AB 两点坐标满足方程组
2 2 23 4 12
3( )
x y c
y x c
  

消 y 整理 25 8 0x cx
解 12
80 5x x c 高考真题专项分类（理科数学）第 22 页— 23 页
方程组解
2
1
1
2
8 0 5
3 3 3 5
xcx
ycyc
   

妨设 8 3 3( ) (0 3 )55A c c B c
设点 M 坐标 8 3 3() ( ) ( 3)55xy AM x cy cBM xy c    
33( ) 3y x c c x y   
8 3 3 8 3 3( )15 5 5 5AM y x y x  
( 3 )BM x x 2AM BM  
8 3 3 8 3 3( ) ( ) 3 215 5 5 5y x x y x x      
化简 218 16 3 15 0x xy  

2218 15 3 10 5 03 1616 3
xxy c x y c xx
    代入
0x 
点 轨迹方程 218 16 3 15 0( 0)x xy x   
16．解析（1）联立 2xy  2 xy 21  BA xx AB 中点 )2
52
1(Q设线
段 PQ 中点 M 坐标 )( yx
2
2
5
2
2
1 t
y
s
x




2
522
12  ytxs
点 P 曲线C ∴ 2)2
12(2
52  xy 化简 2 112 8y x x   点 P L
点点 A 点 B 重合 22
121  x
4
5
4
1  x ∴中点
轨迹方程 2 112 8y x x   （
4
5
4
1  x ）．
（2）曲线 2 2 2 51 2 4 025G x ax y y a      高考真题专项分类（理科数学）第 23 页— 23 页
圆 E：
25
49)2()( 22  yax 圆心坐标 )2(aE半径
5
7r
设圆G 直线l ： 20xy相切点 ()TTT x y
| 2 2 | 7
52
a   72
5a  ．
点 ( 2)Na 直线l 垂直直线l 方程 2 1 ( )y x a     20xy   ．
20
20
xy
x y a

    
解
2T
ax  22T
ay ．
72
5a  时 721210Tx     ．
∵ 12 分 D 点横坐标
∴切点TD min
72
5a  ．


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