专题四 三角函数解三角形
第十二讲 解三角形
2019 年
1(2019 全国Ⅰ 理 17) ABC△ 角 ABC 边 分 a b c 设
22(sin sin ) sin sin sinBCABC   ．
（1）求 A
（2） 22a b c 求 sinC．
2（2019 全国Ⅱ理 15） ABC△ 角 ABC 边分 abc π6 2 3b a c B  
ABC△ 面积__________
3（2019 全国Ⅲ理 18）△ABC 角 ABC 边分 abc已知 sin sin2
ACa b A  ．
（1）求 B
（2）△ABC 锐角三角形 c1求△ABC 面积取值范围．
4（2019 江苏 12）图 ABC△ 中D BC 中点E 边 AB BE2EAAD
CE 交点O 6AB AC AO EC   AB
AC
值

5（2019 江苏 15）△ABC 中角 ABC 边分 abc．
（1） a3cb 2 cosB 2
3
求 c 值
（2） sin cos
2
AB
ab 求sin( )2B  值．
6（2019 浙江 14） ABC△ 中 90ABC   4AB  3BC  点 D 线段 AC
45BDC   BD  ____cos ABD________
7（2019 北京 15） ABC△ 中 a 3 b c 2 1cos 2B  ．
（Ⅰ）求 bc 值
（Ⅱ）求sin(BC) 值
8（2019 天津理 15） ABC△ 中角 ABC 边分 abc已知 2b c a
3 sin 4 sinc B a C
（Ⅰ）求 cos B 值
（Ⅱ）求sin 2 6B 
值

20102018 年
选择题
1．(2018 全国卷Ⅱ)△ABC 中 5cos 25C 1BC 5AC AB
A． 42 B． 30 C． 29 D． 25
2．(2018 全国卷Ⅲ) ABC 角 ABC 边分 a b c 面积

2 2 2
4
a b cC 
A．
2
 B．
3
 C．
4
 D．
6

3．（2017 山东） ABC 中角 ABC 边分 a b c ． 锐角三
角形满足sin (1 2cos ) 2sin cos cos sinBCACAC   列等式成立
A． 2ab B． 2ba C． 2AB D． 2BA
4．（ 2016 年天津） ABC 中 13AB BC 3 120C AC
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（ 2016 年全国 III） ABC△ 中 π
4B BC 边高等 1
3 BC cos A
A． 3 10
10 B． 10
10 C． 10
10 D． 3 10
10
6．(2014 新课标Ⅱ)钝角三角形 ABC 面积 1
2 1AB  2BC  AC
A．5 B． 5 C．2 D．1
7．(2014 重庆)已知 ABC 角 ABC 满足sin 2 sin( )AABC   sin( )CAB
1
2 面积 S 满足12S≤ ≤ 记 a b c 分 边列
等式定成立
A． 8)( cbbc B．( ) 16 2ab a b C． 126  abc D．12 24abc
8．（ 2014 江西） ABC 中 a b c 分角 ABC 边长
22( ) 6c a b  
3C  面积
A．3 B．
2
39 C．
2
33 D． 33
9．（ 2014 四川）图气球 A 测正前方河流两岸 BC 俯角分75 30
时气球高60cm 河流宽度 BC 等
A
CB
60m
75°30°

A． 240( 3 1)m B．180( 2 1)m C．120( 3 1)m D．30( 3 1)m
10．（ 2013 新课标Ⅰ）已知锐角 ABC 角 ABC 边分 abc 223cos A
cos2 0A  7a  6c  b 
A．10 B．9 C．8 D．5
11．（2013 辽宁） ABC 角 ABC 边长分 abc． sin cosa B C 
1sin cos 2c B A b ab B
A．
6
 B．
3
 C． 2
3
 D． 5
6

12．（ 2013 天津）△ABC 中 2 34 AB BCABC    sin BAC
A． 10
10 B． 10
5 C． 3 10
10 D． 5
5
13． （2013陕西）设△ABC角A B C边分a b c cos cos sinb C c B a A
△ABC 形状
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．确定
14．（2012 广东） ABC 中 60 45 3 2A B BC     AC 
A． 43 B． 23 C．  D． 

15．（ 2011 辽宁）△ABC 三角 ABC 边分 abc 2sin cos cosa A B b A
2a a
b
A． 23 B． 22 C． 3 D． 2
16．（2011 天津）图△ ABC 中 D 边 AC 点 2 3AB AD AB BD
2BC BD sinC 值
B
ACD

A． 3
3
B． 3
6 C． 6
3 D． 6
6
16．（ 2010 湖南） ABC 中角 ABC 边长分 abc． 120C 2ca

A． ab B． ab C． ab D． a b 关系确定
二填空题
18．(2018 江苏) ABC△ 中角 ABC 边分 abc 120ABC   ABC
分线交 AC 点 D 1BD  4ac 值 ．
19．(2018 浙江) ABC 中角 ABC 边分 a b c ． 7a  2b 
60A  sin B ___________c ___________．
20．（ 2017 浙江）已知 ABC 4AB AC 2BC  ． 点 D AB 延长线点 2BD 
连结CD BDC 面积___________cos BDC __________．
21．（2017 浙江）国古代数学家刘徽创立割圆术估算圆周率 理
值计算意精度祖继承发展割圆术 值精确数点七位
结果领先世界千年割圆术第步计算单位圆接正六边形面积 6S
．
22．（ 2016 年全国 II） ABC 角 ABC 边分 abc 4cos 5A 
5cos 13C  1a  b  ．
23．(2015 广东)设 ABC 角 ABC 边分 a b c ． 3a 
1sin 2 
6C  b  ．
24．（ 2015 福建）锐角 ABC 面积10 3 5AB  8AC  BC 等 ．
25．（ 2015 新课标Ⅰ）面四边形 ABCD中 75ABC      2BC  AB
取值范围_______．
26．（2015 北京） ABC△ 中 4a  5b  6c  sin 2
sin
A
C  ．
27．（ 2015 天津） ABC 中角 ABC 边分 abc已知 面积
3 15 2bc 1cos 4A  a 值 ．
28．（2015 湖北）图辆汽车条水公路正西行驶 A 处时测公路北侧
山顶 D 西偏北30 方行驶 600m 达 B 处测山顶西偏北75
方仰角30 山高度CD  m．

29．（ 2014 新课标Ⅰ）图测量山高 MN 选择 A 座山山顶C 测量观测点．
点测 M 点仰角 60MAN   C 点仰角 45CAB   75MAC  
C 点测 60MCA  ．已知山高 100BC m 山高 MN  ____ m ．
C
N
A
B
M

30．（ 2014 广东） ABC 中角 CBA 应边分 cba ．已知 cosbC
cos 2c B b b
a ．
31．（ 2013 安徽）设 ABC 角 ABC 边长分 abc． 2b c a
3sin 5sin AB 角C  _____
32．（ 2013 福建）图 ABC 中已知点 D BC 边AD  AC 22sin 3BAC
32AB  3AD  BD 长_______________．
A
BCD

33．（ 2012 安徽）设 ABC 角 ABC 边 abc列命题正确 ．
① 2ab c
3C  ② 2a b c
③ 3 3 3a b c
2C  ④( ) 2a b c ab
2C 
⑤ 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b
3C 
34．（ 2012 北京） ABC 中 12 7cos 4a b c B     b ．
35．（ 2011 新课标） ABC 中 60 3B AC   AB+2BC 值____．
36．（ 2011 新课标） 中 120 7 5B AC AB    ABC 面积_ __．
37．（ 2010 江苏）锐角三角形 ABC a b c 分角 ABC 边长
6cosba Cab tan tan
tan tan
CC
AB _______．
38．（ 2010 山东） ABC 中角 ABC 边分 abc 2 2ab
sin cos 2BB角 A ．
三解答题
39．（2018 北京） ABC 中 7a  8b  1cos 7B  ．
(1)求 A
(2)求 AC 边高．
40．（2018 全国卷Ⅰ）面四边形 ABCD中 90ADC 45A 2AB  5BD  ．
(1)求 cos ADB
(2) 22DC  求 BC ．
41．（ 2018 天津） ABC△ 中角 ABC 边分 a b c ．已知
sin cos( )6b A a B ．
(1)求角 B
(2)设 2a  3c  求b sin(2 )AB 值．
42．（ 2017 新课标Ⅰ） ABC 角 ABC 边分 a b c 已知
面积
2
3sin
a
A
(1)求sin sinBC
(2) 6cos cos 1BC 3a  求 周长．
43．（ 2017 新课标Ⅲ） ABC 角 ABC 边分 a b c
已知sin 3cos 0AA 27a  2b  ．
(1)求 c
(2)设 D BC 边点 AD  AC 求 ABD 面积．
44．（ 2017 新课标Ⅱ） ABC 角 ABC 边分 a b c
已知 2sin( ) 8sin 2
BAC ．
(1)求 cos B
(2) 6ac ABC 面积 2求b ．
45．（ 2017 天津） ABC△ 中角 ABC 边分 abc．已知 ab 5a 
6c  3sin 5B  ．
（Ⅰ）求b sin A 值
（Ⅱ）求 πsin(2 )4A 值．
46．（2017 北京） ABC 中 A 60° 3
7ca ．
（Ⅰ）求sinC 值
（Ⅱ） 7a  求 面积．
47．（2016 年山东）△ABC 中角 ABC 边分 abc已知
tan tan2(tan tan ) cos cos
ABAB BA  
（Ⅰ）证明： 2a b c
（Ⅱ）求 cosC 值．
48．（2016 年四川）△ABC 中角 ABC 边分 abc
cos cos sinABC
a b c．
（I）证明：sin sin sinABC
（II） 2 2 2 6
5b c a bc   求 tan B
49．（2016 年全国 I） ABC△ 角 ABC 边分 abc已知
2cos ( cos cos ) C a B+b A c
（I）求 C
（II） 7c ABC△ 面积 33
2
求 ABC△ 周长．
50．（ 2015 新课标 2）∆ABC 中D BC 点AD 分∠BAC∆ABD 面积∆ADC 面
积 2 倍．
(Ⅰ)求 sin
sin
B
C

(Ⅱ) AD1DC 2
2
求 BD AC 长．
51．（ 2015 湖南）设 ABC 角 ABC 边分 abc tana b A B 钝角．
（1）证明：
2BA
（2）求sin sinAC 取值范围．
52．（ 2014 山东） ABC 中 a b c 分角 ABC 边长．已知
63cos 32a A B A     ．
（Ｉ）求b 值
（II）求 ABC 面积．
53．（2014 安徽）设 ABC 角 ABC边长分 a b c 3b  1c 
2AB ．
（Ⅰ）求a 值
（Ⅱ）求sin( )4A  值．
54．（2013新课标Ⅰ）图△ABC中∠ABC＝90°AB 3 BC1P△ABC
点∠BPC＝90°

（Ⅰ） PB1
2求 PA
（Ⅱ）∠APB＝150°求 tan∠PBA．
55．（ 2013 新课标Ⅱ） ABC 角 ABC 边分 abc已知 cos sina b C c B．
（Ⅰ）求 B
（Ⅱ） 2b  求△ ABC 面积值．
56．（ 2012 安徽）设△ ABC 角 CBA 边长分 abc 2sin cosBA
sin cos cos sinACAC ．
（Ⅰ）求角 A
（Ⅱ) 2b  1c  D BC 中点求 AD 长．
57．（ 2012 新课标）已知 a b c 分 ABC 三角 ABC 边 cosaC
3 sin 0a C b c   ．
（Ⅰ）求
（Ⅱ） 2a 面积 3 求 ．
58．（ 2011 山东）△ ABC 中 a b c 分角 ABC 边长．已知
cos 2cos 2
cos
A C c a
Bb
 ．
（I）求 sin
sin
C
A
值
（II） 1cos 4B  2b  ABC 面积 S．
59．（2011 安徽） ABC 中 分角 边长a 3
b 2 1 2cos( ) 0BC   求边 BC 高．
60．（ 2010 陕西）图AB 海面位东西方相距  5 3 3 海里两观测点现
位 A 点北偏东 45°B 点北偏西 60° D 点艘轮船发出求救信号位 B 点南
偏西 60° B 点相距 20 3 海里 C 点救援船立前营救航行速度 30
海里时该救援船达 D 点需长时间？

61．（ 2010 江苏）某兴趣组测量电视塔 AE 高度 H(单位：m）示意图垂直放置
标杆 BC 高度 h 4m仰角∠ABE ∠ADE  ．
H
h
d
β α
E
ADB
C

（1）该组已测组  值tan 124tan 120请算出 H 值
（2）该组分析干测数认适调整标杆电视塔距离 d（单位：m）
差较提高测量精确度电视塔实际高度 125m试问
少时  ？ 高考真题专项分类（理科数学）第 1 页— 21 页
专题四 三角函数解三角形
第十二讲 解三角形
答案部分
2019 年
1 解 ：（ 1 ） 已 知 2 2 2sin sin sin sin sinBCABC   正 弦 定 理
2 2 2b c a bc   ．
余弦定理
2 2 2 1cos 22
b c aA bc
．
0 180A 60A  ．
（2）（1）知 120BC题设正弦定理  2 sin sin 120 2sinACC  
6 3 1cos sin 2sin2 2 2CCC     2cos 60 2C    ．
0 120C   2sin 60 2C 
 sin sin 60 60CC  
   sin 60 cos60 cos 60 sin 60CC      
62
4
 ．
2解析：余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B  
6b  2ac π
3B  2 2 2 π36 (2 ) 4 cos 3c c c  
2 12c  21 sin sin 6 32ABCS ac B c B  △
3解析（1）题设正弦定理sin sin sin sin2
ACABA  ．
sin 0A  sin sin2
AC B  ． 高考真题专项分类（理科数学）第 2 页— 21 页
180ABC    sin cos22
ACB  cos 2sin cos2 2 2
BBB ．
cos 02
B  1sin 22
B  60B ．
（2）题设（1）知△ABC面积 3
4ABCSa△ ．
正弦定理  sin 120sin 3 1
sin sin 2tan 2
CcAa CCC
 
    ．
ABC△ 锐角三角形 0 90A    0 90C    （1）知 120AC  
30 90C    1 22 a 33
82ABCS△ ．
面积取值范围 338 2


．
4解析 设 ()2AD AB AAO C  
1( ) (1 ) 3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC       


1
23
2

 
 
 
解
1
2
1
4


 
 

11()24AO AD AB AC   1
3EC AC AE AB AC    
221 1 3 1 26 6 ( ) ( ) ( )4 3 2 3 3AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC    
2213
22AB AB AC AC   
2213
22AB AC AB AB AC AC      2213
22AB AC

2
2 3AB
AC
 3AB
AC 
5解析 （1）余弦定理
2 2 2
cos 2
a c bB ac

2 2 22 (3 ) ( 2)
3 2 3
cc
cc
 
2 1
3c  高考真题专项分类（理科数学）第 3 页— 21 页
3
3c 
（2） sin cos
2
AB
ab
正弦定理
sin sin
ab
AB cos sin
2
BB
bb cos 2sinBB
22cos (2sin )BB  22cos 4 1 cosBB 2 4cos 5B 
sin 0B  cos 2sin 0BB 25cos 5B 
π 25sin cos25BB  

6解析：直角三角形ABC中 4AB  3BC  5AC  4sin 5C 
BCD△ 中
sin sin
BD BC
C BDC 
12 2
5BD 
135CBD C  
2 2 4 3 7 2sin sin(135 ) (cos sin )2 2 5 5 10CBD C C C         

  72cos cos 90 sin 10ABD CBD CBD      

7解析：（I）余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   2 2 2 13 2 3 2b c c       

2bc 2 22 12 3 2 3 2c c c        
解 5c 
7b  高考真题专项分类（理科数学）第 4 页— 21 页
（II） 1cos 2B  3sin 2B  正弦定理 53sin sin 14
cCBb
ABC△ 中 B 钝角 C 锐角 2 11cos 1 sin 14CC  
  43sin sin cos cos sin 7BCBCBC   
8解析（Ⅰ） ABC△ 中正弦定理
sin sin
bc
BC sin sinb C c B
3 sin 4 sinc B a C 3 sin 4 sinb C a C 34ba 2b c a 4
3ba
2
3ca
余弦定理
2 2 2
2 2 2
4 16
199cos 2242 3
a a aa c bB
aa
   


（Ⅱ）（Ⅰ） 2 15sin 1 cos 4BB  
15sin 2 2sin cos 8BBB   227cos2 cos sin 8BBB   
π π π 15 3 7 1 3 5 7sin 2 sin 2 cos cos2 sin6 6 6 8 2 8 2 16BBB          





20102018 年

1．A解析 2 13cos 2cos 1 2 12 5 5      CC余弦定理
2 2 2 32 cos 251251( )325    AB AC BC AC BC C
42AB 选 A． 高考真题专项分类（理科数学）第 5 页— 21 页
2．C解析根题意三角形面积公式知
2 2 21 sin24
a b cab C 

2 2 2
sin cos2
a b cCCab
 ABC 中
4C  ．选 C．
3．A解析sin (1 2cos ) 2sin cos cos sinBCACAC  
sin 2sin cos sin cos sinBBCACB  
2sin cos sin cosBCAC 2sin sinBA 2ba 选 A．
4．A解析余弦定理 213 9 3 1AC AC AC     选 A
5．C解析设△ ABC 中角 ABC 边分a b c 题意
12sin3 4 2a c c 32
2ac ．△ 中余弦定理
2 2 2 2 2 2 2952322b a c ca c c c c       10
2bc ．
余弦定理
2 2 2
2 2 2
59
1022cos 2 10102 2
c c cb c aA bc cc
   

选 C．
6．B解析 11sin22AB BC B   ∴ 2sin 2B  45B  135B  ．
时 222 cos 1AC AB BC AB BC B    
时 1 2AB AC BC   易 90A  钝角三角形矛盾
时 222 cos 5AC AB BC AB BC B     ．
7．A解析 ABC    1sin 2 sin( ) sin( ) 2AABCCAB      
1sin 2 sin 2 sin 2 2ABC  
1sin[( ) ( )] sin[( ) ( )] sin 2 2ABABABABC        
整理 1sin sin sin 8ABC 
1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ac B   高考真题专项分类（理科数学）第 6 页— 21 页
3 2 2 2 2 2 211sin sin sin8 64S a b c A B C a b c12S≤ ≤
2 2 2 311264 abc≤ ≤
8 16 2abc≤ ≤ 选项 CD 定成立． 0b c a  
( ) 8bc b c bc a   ≥ ( ) 8bc b c选项 A 定成立． 0a b c  
( ) 8ab a b显然出 ( ) 16 2ab a b 选项 B 定成立．综述
选 A．
8．C解析 22( ) 6c a b   2 2 2 26a b c ab    ①余弦定理
3C 
2 2 2a b c ab   ②．①② 6ab  1 3 3sin2 3 2ABCS ab 
 ．
9．C解析∵ tan15 tan(60 45 ) 2 3   
∴ 60tan60 60tan15 120( 3 1)BC     ．
10．D解析 225cos 1 0A 1cos 5A  余弦定理解 5b  ．
11．A解析边换角约sin B 1sin( ) 2AC 1sin 2B  B 非角

6B  ．
12．C解析余弦定理 5AC  正弦定理 3 10sin 10A  ．
13．B解析∵ cos cos sinb C c B a A
∴正弦定理 2sin cos sin cos sinBCCBA
∴ 2sin( ) sinBCA ∴ 2sin sinAA ∴sin 1A  ∴△ABC 直角三角形．
14．B解析正弦定理： 32 23sin sin sin 60 sin 45
BC AC AC ACAB      ．
15．D解析正弦定理 22sin sin sin cos 2 sinABBAA
22sin (sin cos ) 2 sinBAAA   sin 2 sinBA ∴ sin 2sin
bB
aA．
16．D解析设 AB c AD c 2
3
cBD  4
3
cBC  ΔABD 中余弦定高考真题专项分类（理科数学）第 7 页— 21 页
理
2 2 2
2
4
13cos 23
c c c
A c

 22sin 3A  ΔABC 中
正弦定理
4
3
sin sin 22
3
c
c BC
CA解 6sin 6C  ．
17．A解析 120C 2ca
2 2 2 2 cosc a b ab C   2 2 2 12 2 ( )2a a b ab   
22 0aba b ab a b a bab     
0 0ab 0abab ab  
ab ．选 A．
18．9解析 120ABC   ABC 分线交 AC 点 D
60ABD CBD   
三角形面积公式 1 1 1sin120 sin 60 sin 602 2 2ac a c
化简 ac a c 0a  0c  111ac
1 1 4 44 (4 )( ) 5 5 2 9c a c aa c a c a c a c a c         ≥
仅 2ca 时取等号 4ac 值 9．
19． 21
7
3解析 7a  2b  60A  正弦定理
32sin 212sin 77
bAB a

   ．余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A  
2 2 3 0cc   3c  ．
20． 15
2 10
4
解析余弦定理
2 2 2 2 2 24 2 4 1cos 2 2 4 2 4
AB BC ACABC AB BC
         

22sin cos 1ABC ABC    高考真题专项分类（理科数学）第 8 页— 21 页
2 1 15sin 1 cos 1 16 4ABC ABC      
1 sin2BDCS BD BC DBC    
11sin( ) sin22BD BC ABC BD BC ABC        
1 15 15222 4 2     ．
BC
A
D
BD BC D BCD   2ABC D BCD D     
111 cos 104cos cos 2 2 2 4
ABC ABCBDC
       ．
21． 33
2
解析单位圆接正六边形 6 边长 1 正三角形组成
6
1 3 36 1 1 sin 6022S       ．
22． 21
13
解析∵ 4cos 5A  5cos 13C 
3sin 5A  12sin 13C 
  63sin sin sin cos cos sin 65BACACAC    
正弦定理： sin sin
ba
BA 解 21
13b  ．
23．1 解析 1sin 2B 
6B  5
6

6C  5
6B 
6B 
2
3A  ．正弦定理 3
21sin 32
b
  1b  ． 高考真题专项分类（理科数学）第 9 页— 21 页
24．7解析已知 ABC 面积 1 sin 20sin2 AB AC A A 10 3
3sin 2A  (0 )2A 
3A  ．
余弦定理 2 2 2 2 cosBC AB AC AB AC A     49 7BC  ．
25．( 6 2 6 2)
解析图作 PBC 75   BC 2BC 作出直线 AD 分交线段 PB
PC AD 两点（端点重合） 75BAD 四边形 ABCD 符合
题意四边形C 作 AD 行线交 PB 点Q PBC 中求
62BP + QBC 中求 62BQ  AB 取值范围
( 6 2 6 2)．
Q
D
A
P
BC

26．1解析∵
2 2 2 3cos 24
b c aA bc

sin 2 2sin cos 2 4 3cos 2 1sin sin 6 4
A A A a AC C c
       ．
27．8 解析 0 A  2 15sin 1 cos 4AA  
1 15sin 3 1528ABCS bc A bc    24bc
解方程组 2
24
bc
bc

 
6b  4c  余弦定理
2 2 2 2 2 12cos 64264 644a b c bc A  
8a  ． 高考真题专项分类（理科数学）第 10 页— 21 页
28．100 6 解析题意 30BAC 105ABC ABC 中
180 ACBBACABC
45ACB 600AB 正弦定理  30sin45sin
600 BC
2300BC m BCDRt 中 30CBD

2300
30tan CD
BC
CD  6100CD m．
29．150解析三角形 ABC 中 100 2AC  三角形 MAC 中
sin 60 sin 45
MA AC 解 100 3MA 
三角形 MNA中 3sin 60 2100 3
MN  150MN  ．
30．2解析 bBcCb 2coscos  ：sin cos sin cos 2sinBCCBB
sin( ) 2sinBCB sin 2sinAB ∴ 2ab 2a
b  ．
31． 3
2 解析3sin 5sinAB
3
2
2
1
2cos253
222
 Cab
cbaCacbba ．
32． 3 解析∵ 22sin sin( ) cos23BAC BAD BAD      
∴根余弦定理
2 2 2
cos 2
AB AD BDBAD AB AD
 

2 2 22 2 (3 2) 3 33 2 3 2 3
BD BD   

．
33．①②③解析①
2 2 2
2 21cos 2 2 2 3
a b c ab abab c C Cab ab
        
②
2 2 2 2 2 24( ) ( ) 12 cos 2 8 2 3
a b c a b a ba b c C Cab ab
           
③
2C  时 2 2 2 3 2 2 3 3c a b c a c b c a b       3 3 3a b c矛盾
④取 2 1a b c   满足( ) 2a b c ab ：
2C  高考真题专项分类（理科数学）第 11 页— 21 页
⑤取 2 1a b c   满足 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b：
3C  ．
34．4解析根余弦定理 22 14 (7 ) 2 2 (7 ) ( )4b b b         解 b4．
35． 27解析 ABC 中根
sin sin sin
AB AC BC
CBA
3sin sin 2sinsin 3
2
ACAB C C CB     理 2sinBC A
2 2sin 4sinAB BC C A   22sin 4sin( )3CC  
4sin 2 3cos 2 7 sin( )CCC     ．
36．15 3
4
解析根
sin sin
AB AC
CB 5 3 5 3sin sin 7 2 14
ABCBAC   
25 3 11cos 1 ( )14 14C   
sin sin[ ( )] sin cos cos sinABCBCBC    
3 11 1 5 3 3 3
2 14 2 14 14    ．
37．4解析（方法）考虑已知条件求结角 AB 边 ab 具轮换性．
AB ab 时满足题意时： 1cos 3C  2 1 cos 1tan 2 1 cos 2
CC
C


2tan 22
C  1tan tan 2
tan 2
ABC   tan tan
tan tan
CC
AB 4．
（方法二） 226cos 6 cosba C ab C a bab    
2 2 2 2
2 2 2 2 3622
a b c cab a b a bab
    
tan tan sin cos sin sin cos sin sin( )
tan tan cos sin sin cos sin sin
CCCBABACAB
ABCABCAB
    

21 sin
cos sin sin
C
CAB ．
高考真题专项分类（理科数学）第 12 页— 21 页
正弦定理：式
2 2 2
2
22
1 41 13cos ()6 62
c c c
cC ab ab
    
 
．
38．
6
 解析sin cos 2BB1 2sin cos 2BBsin 2 1B 
02B  224BB 2 2ab
正弦定理 22
sin sin 4
A 
解 1sin 2A  ab 0 4AB  
6a  ．
39．解析(1) ABC 中∵ 1cos 7B  ∴ ()2B  
∴ 2 43sin 1 cos 7BB   ．
正弦定理
sin sin
ab
AB  78
sin 43
7
A  ∴ 3sin 2A  ．
∵ ∴ (0 )2A  ∴ π
3A ．
(2) 中∵sin sin( ) sin cos cos sinCABABAB   
3 1 1 4 3()2 7 2 7    33
14
．
图示 中∵sin hC BC ∴ sinh BC C 3 3 3 37 14 2
∴ AC 边高 33
2
．

40．解析(1) ABD△ 中正弦定理
sin sin
BD AB
A ADB
．
题设知 52
sin 45 sin ADB
2sin 5ADB． 高考真题专项分类（理科数学）第 13 页— 21 页
题设知 90ADB   2 23cos 1 25 5ADB    ．
(2)题设(1)知 2cos sin 5BDC ADB    ．
BCD△ 中余弦定理
2 2 2 2 cosBC BD DC BD DC BDC      
225 8 2 5 2 2 5      25 ．
5BC  ．
41．解析(1) ABC△ 中正弦定理
sin sin
ab
AB sin sinb A a B
πsin cos( )6b A a B πsin cos( )6a B a B
πsin cos( )6BB tan 3B  ．
(0 π)B
3B  ．
(2) 中余弦定理 2a  3c 
2 2 2 2 cos 7b a c ac B    7b  ．
πsin cos( )6b A a B 3sin
7
A  ． ac 2cos
7
A  ．
43sin 2 2sin cos 7AAA 2 1cos 2 2cos 1 7AA   ．
sin(2 ) sin 2 cos cos2 sinABABAB    4 3 1 1 3 3 3
7 2 7 2 14    ．
42．解析（1）题设
21 sin2 3sin
aac B A 1 sin2 3sin
acB A
正弦定理 1 sinsin sin2 3sin
ACB A ．
2sin sin 3BC ．
（2）题设（1） 1 2 1cos( ) cos cos sin sin 6 3 2BCBCBC       高考真题专项分类（理科数学）第 14 页— 21 页
2π
3BC π
3A  ．
题设
21 sin2 3sin
abc A A 8bc  ．
余弦定理 22 9b c bc   2( ) 3 9b c bc   33bc ．
ABC△ 周长3 33 ．
43．解析（1）已知 tan 3A  2
3A  ．
ABC 中余弦定理 2 228 4 4 cos 3cc    2 +2 240cc ．
解 6c  （舍） 4c 
（2）题设
2CAD 
6BAD BAC CAD       ．
ABD 面积 ACD 面积值
1 sin2611
2
AB AD
AC AD



．
面积 1 4 2sin 2 32 BAC    ABD 面积 3 ．
44．解析题设 ABC    2sin 8sin 2
BB  sin 4(1 cos )BB ．
式两边方整理 217cos 32cos 15 0BB  
解cos 1B  （舍） 15cos 17B  ．
（2） 15cos 17B  8sin 17B  14sin2 17ABCS ac B ac ．
2ABCS  17
2ac  ．
余弦定理 6ac 2 2 2 22 cos ( ) 2 (1 cos )bac acBac ac B      
17 1536 2 (1 ) 42 17      ．
2b  ．
45．解析（Ⅰ） ABC△ 中 ab 3sin 5B  4cos 5B  ．
已知余弦定理 2 2 2 2 cos 13b a c ac B    13b 
正弦定理
sin sin
ab
AB sin 3 13sin 13
aBA b 高考真题专项分类（理科数学）第 15 页— 21 页
b 值 13 sin A 值 3 13
13
（Ⅱ）（Ⅰ） ac 2 13cos 13A  12sin 2 2sin cos 13AAA
2 5cos 2 1 2sin 13AA    ．
π π π 72sin(2 ) sin 2 cos cos 2 sin4 4 4 26AAA    ．
46．解析（Ⅰ）△ABC 中 60A  3
7ca
正弦定理 sin 3 3 3 3sin 7 2 14
cAC a    ．
（Ⅱ） 3
7c a a 60CA   
7a  3 737c    ．
余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   2 2 2 17 3 2 3 2bb    
解 8b  5b  （舍）．
△ABC 面积 1 1 3sin 8 3 6 32 2 2S bc A      ．
47．解析(Ⅰ) tan tan2(tan tan ) cos cos
ABAB BA  

sin sin sin2 cos cos cos cos cos cos
CAB
ABABAB  
CBC sinsinsin 2 正弦定理 cba 2+ ．
（Ⅱ）
ab
cabba
ab
cbaC 2
2
2
22222  )(cos
22
2
3 3 3 11 1 12 2 22( )2
cc
abab     …．
Ccos 值 1
2
．
48．解析（I）证明：正弦定理 sin sin sin
a b c
ABC知
原式化解 cos cos sin 1sin sin sin
ABC
ABC   高考真题专项分类（理科数学）第 16 页— 21 页
∵ A B 三角形角 ∴sin sin 0AB
两边时sin sinABsin cos sin cos sin sinBAABAB
角公式知    sin cos sin cos sin sin sinBAABABCC     
原式证
（II）题 2 2 2 6
5b c a bc   根余弦定理知
2 2 2 3cos 25
b c aA bc

∵ A 三角形角  0A  sin 0A 

234sin 1 55A   
cos 3
sin 4
A
A 
（I）知 cos cos sin 1sin sin sin
ABC
ABC   ∴ cos 1 1
sin tan 4
B
BB．
∴ tan 4B  ．
49．解析(1)  2cos cos cosC a B b A c
正弦定理：  2cos sin cos sin cos sinCABBAC   
 2cos sin sinCABC  
∵ πABC    0 πABC
∴  sin sin 0ABC  
∴ 2cos 1C  1cos 2C 
∵  0 πC 
∴ π
3C  ．
⑵ 余弦定理： 2 2 2 2 cosc a b ab C   
22 1722a b ab   
 2 37a b ab  
1 3 3 3sin2 4 2S ab C ab   
∴ 6ab 
∴ 2 18 7ab   高考真题专项分类（理科数学）第 17 页— 21 页
5ab
∴ ABC△ 周长 57abc   
50．解析(Ⅰ) 1 sin2ABDS AB AD BAD   
1 sin2ADCS AC AD CAD   
2ABD ADCSS BAD CAD   2AB AC ．
正弦定理 sin 1
sin 2
B AC
C AB
 
．
(Ⅱ) ABD ADCS S BD DC 2BD  ． ABD ADC 中
余弦定理 2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB    
2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC     ．
2 2 2 2 22 3 2 6AB AC AD BD DC     ．(Ⅰ)知 2AB AC 1AC  ．
51．解析（1） tana b A 正弦定理 sin sin
cos cos
A b B
A a B
sin cosBA sin sin( )2BA+．
B 钝角
2
 + A ( ) + A
2

（2）（1）知C  ( + ) (2 +
2
 )
2
 2 >0
0 4


sin sin sin sin( 2 )2ACAA    sin cos2AA 22sin sin 1AA  
2192(sin )48A  
0< <
4
 02
2
2 < 2
21 9 9sin 4 8 8A ≤
．
知sin sinAC 取值范围（ 2
2
9
8 ]．
52．解析（I） ABC 中题意知 2 3sin 1 cos 3AA   高考真题专项分类（理科数学）第 18 页— 21 页

2BA 6sin sin( ) cos23BAA   
正弦定理
63sin 3 32sin 3
3
aBb A

   ．
（II） 3cos cos( ) sin23BAA     
ABC    ()CAB   ．
sin sin[ ( )] sin( )CABAB     sin cos cos sinABAB
3 3 6 6()3 3 3 3     1
3 ．
ABC 面积 1 1 1 3 2sin 3 3 22 2 3 2S ab C      ．
53．解析：（Ⅰ）∵ 2AB ∴sin sin 2 2sin cosABBB
正弦定理
2 2 2
2 2
a c bab ac

∵ 3 1bc∴ 2 12 2 3aa．
（Ⅱ）余弦定理
2 2 2 9 1 12 1cos 2 6 3
b c aA bc
      
0 A ∴ 221 2 2sin 1 cos 1 ( )33AA     
2 2 2 1 2 4 2sin( ) sin cos cos sin ( )4 4 4 3 2 3 2 6AAA            ．
54．解析（Ⅰ）已知∠PBC o60 ∴∠PBA30o△PBA 中余弦定理
2PA o113 2 3 cos3042    7
4
∴PA 7
2

（Ⅱ）设∠PBA 已知PBsin △PBA 中 高考真题专项分类（理科数学）第 19 页— 21 页
正弦定理 oo
3 sin
sin150 sin(30 )

 
化简 3cos 4sin
∴ tan 3
4
∴ tan PBA ．
55．解析（Ⅰ） cos sina b C c B正弦定理：
sin sin cos sin sinABCCB
sin( ) sin cos sin sinBCBCCB  
cos sin sin sinBCCB sinC  0 tan 1B  解 B
4

（Ⅱ）余弦定理： 2 2 2 2 cos 4b a c ac    2242a c ac   等式：
222a c ac 仅 ac 时取等号 4 (2 2)ac 解 4 2 2ac 
△ABC 面积 1 sin24ac  2 (4 2 2)4   21 △ ABC 面积
值 ．
56．解析（Ⅰ） (0 ) sin( ) sin 0ACBABACB       
2sin cos sin cos cos sin sin( ) sinBAACACACB    
1cos 23AA   
（II） 2 2 2 2 2 22 cos 3 2abcbcAa bacB          
Rt ABD 中 2 2 2 2371 ( )22AD AB BD     ．
57．解析（1）正弦定理：
cos 3 sin 0 sin cos 3sin sin sin sinaCaCbc AC ACBC       
sin cos 3 sin sin sin( ) sin
13 sin cos 1 sin( 30 ) 2
30 30 60
A C A C a C C
AAA
AA

  
    
     
    

（2） 1 sin 3 42S bc A bc    高考真题专项分类（理科数学）第 20 页— 21 页
2 2 2 2 cos 4a b c bc A b c      解： 2bc．
58．解析（I）正弦定理设 sin sin sin
a b c kABC  
2 2 sin sin 2sin sin sin sin
c a k C k A C A
b k B B
  
cos 2cos 2sin sin cos sin
ACCA
BB

(cos 2cos )sin (2sin sin )cosACBCAB  
化简sin( ) 2sin( )ABBC   ABC   
sin 2sinCA sin 2sin
C
A 
（II） sin 2sin
C
A  2ca
余弦定理 2 2 2 2 2 2112 cos cos 2 4 4 44bacacB Bb aaa        4
解 a1． c2．
1cos 0 4BB   15sin 4B 
1 1 15 15sin 1 2 2 2 4 4S ac B     
59． 解析 ACBCB  0)cos(21
2
3sin2
1cos0cos21  AAA
正弦定理 2
2sinsin  a
AbB
2
2sin1cos2  BBBBABab 角知 
述结果知 )2
1
2
3(2
2)sin(sin  BAC
设边 BC 高 h 2
13sin  Cbh
60．解析题意知  5 3 3AB  海里 高考真题专项分类（理科数学）第 21 页— 21 页
90 60 30 45 DBA DAB        
105ADB  
DAB 中正弦定理
sin sin
DB AB
DAB ADB
sin 5(3 3) sin 45 5(3 3) sin 45
sin sin105 sin 45 cos60 sin 60 cos45
AB DABDB ADB
                

5 3(1 3) 10 3
(1 3)
2
 

（海里）
30 (90 60 ) 60 20 3DBC DBA ABC BC      海里
DBC 中余弦定理
2 2 2 2 cosCD BD BC BD BC DBC     
1300 1200 2 10 3 20 3 9002     
CD30（海里）需时间 30 130t （时）．
答：救援船达 D 点需 1 时．
61．解析（1） tan tan
HHADAD     理：
tan
HAB 
tan
hBD  ．
AD—ABDB
tan tan tan
H H h
  解： tan 4 124 124tan tan 124 120
hH 

  
．
算出电视塔高度 H 124m．
（2）题设知 d AB tan tanH H h H h
d AD DB d    
2
tan tantan( ) ()1 tan tan ( )1
H H h
hd hdd
H H h H H hd H H h dd d d
 
         

()2 ( )H H hd H H hd
   （仅 ( ) 125 121 55 5d H H h     时取
等号） 55 5d  时 tan( ) ．
0 2
   0 2
   时  ．
求 d 55 5 m．

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