痛苦NS方程笔记
An Introduction of The NavierStokes Equation
Without Pain
Dongyue Li
李东岳呉
裂痕什
阳光进方呉呉呉呉呉
前言 笔记参加东岳流体呇呃呆呄课程学准备预资料笔记非常易懂呃呆呄入门
资料非常适呃呆呄基础初学者注意呃呆呄基础呃呆呄基础薄弱学懂高等
数学直接学笔记
呎呡呶呩呥呲吭呓呴呯呫呥味方程（呎吭呓方程）守恒定律推导：
∂ρ
∂t 含 ∇ · 吨ρ畕吩 吽 吰 吨吱吩
∂ρ畕
∂t 含 ∇ · 吨ρ畕畕吩 吽 −∇p 含 ∇ · τ 吨吲吩
中ρ密度畕速度p压力ν粘度τ剪切应力呎吭呓方程具特点：
• 方程吨吲吩中左边第二项关畕积偏导数种未知量未知量积问题构成非线性问题
呃呆呄非线性问题需特殊处理方面非线性双曲问题解会存间断（激波）
激波通常存高超声速欧拉问题求解中时非线性项湍流数学方程中体现
• 方程吨吲吩数学特征抛物线数学特征问题需调时间启空间离散格式隐性时
间格式更利求解抛物线问题方程吨吲吩中省略干项会改变方程数学特征例
方程右侧置吰变双曲特征欧拉方程欧拉方程益双曲特性采迎风类显性
算法推进种基限体积法高分辨率格式生（交错网格中心格式中心吭迎风格式
等）时动量方程流项扩散项相强弱会影响边界条件设置（呄呎呓出
口反射边界条件）
• 马赫数较时（吰吮吳）方程吨吱吩求解密度方程吨吲吩求解速度时附加
量方程求解温度状态方程求解压力密度基求解器马赫数较时没单独压力
方程方程吨吱吩缺少求解变量导致压力求解需特殊策略呃呆呄中压力
基呓呉呍呐呌呅启呐呉呓呏算法处理问题构建离散矩阵情况速度压力整合处理单
独处理分离求解耦合算法重问题
• 呎吭呓方程源起：呎吭呓方程宏观方程调宏观假定玻尔兹曼方程推导更
底层介尺度研究领域呎吭呓方程介尺度模型演化宏观二阶矩模型压力粘性
条件具备弱双曲特征失高阶矩统计学特征呎吭呓方程某情况适

呎吭呓方程中存量数学问题初学者里肯定明白具体含义时方程中充满火星符号
（∇∂）呇呃呆呄课程分两步第步基呎吭呓方程入门第二部呎吭呓方程求解第步
需学通笔记进行预第二部呇呃呆呄课程讲授呉呖
致谢 作者水限直算法保持敬畏笔记难免妥错误处敬请位老师学指正
笔记采呌A呔呅员制作勘误增补等前呃呆呄中文网讨邮件联系：呬呩吮呤呹呀呤呹名呵呩呤吮呣呯呭
时间戳 电子版首发吲吰吱吹 年 吲 月 吱吴 日新修订吲吰吲吰 年 吲 月 吱吶 日呖
勘误：
吱吹吰吷吰吵陈佳 增加脚注吳
吱吹吰吶吱吹谢鹏 修正笔误
吱吹吰吶吱吰沈学峰 流畅更正流场
吱吹吰吵吰吴呆呲呡呮呫吰吵吱吴 修正笔误
吱吹吰吶吱吰刘威 修正吸问题
吱吹吰吶吰吷汪洋 修正干错误
吱吹吰吳吱吴凃灿 修正交叉引方程
吱吹吰吲吲吲金 国 庆 吨吱吮吳吱吩左 侧 第 二 项 ∂
∂t 修 正
∂
∂x
吱吹吱吰吲吳蔡欣 方程吨吲吮吷吷吩标
吱吹吱吲吰吴梁钢 方程吨吲吮吴吴吩吨吲吮吴吵吩吨吲吮吴吶吩
吱吹吱吲吲吱陈东林 速度散度中体积修正单位
体积
吲吰吰吲吰吷卲文洋 增加方程吨吳吮吲吱吩中吁x
吲吰吰吲吰吷李东岳 更正吳吮吵节中呤呥呶函数
增补：
吱吹吰吲吲吰 增加吲吮吴吮吳节：通量
吱吹吰吲吲吵 增加方程吨吲吮吳吹吩 吭 吨吲吮吴吶吩
吱吹吰吳吰吷 增加吲吮吱节中关计算流体力学流
体力学区
吱吹吰吳吱吳 增加吲吮吵吮吳节 吲吮吵吮吴节中关τ
压缩压缩情况讨
吱吹吰吸吲吹 增加吳吮吱节：变量界性
吱吹吱吰吲吲 增加吳吮吲节：守恒非守恒
吱吹吱吰吲吳 增加吳吮吳节：动理学方程
吱吹吱吲吱吰 增加吲吮吶节：思考
吱吹吱吲吱吷 增加吳吮吴节：非牛顿流体
吲吰吰吲吰吷 增加吳吮吵节：呏呰呥呮呆呏呁呍模型速查呖呉目录
第章 方程标识
吱吮吱 矢量标识法 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吱
吱吮吲 张量标识法 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吳
吱吮吳 偏导标识法 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吴
吱吮吴 运算符标识法 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吵
第二章 流体畎甭畓方程 男
吲吮吱 导 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吷
吲吮吲 泰勒公式 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吹
吲吮吳 流动模型 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吹
吲吮吳吮吱 限控制体模型 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吹
吲吮吳吮吲 穷微团模型 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吱吰
吲吮吳吮吳 物质导数 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吱吱
吲吮吴 连续性方程 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吱吲
吲吮吴吮吱 空间位置固定穷微团推导连续性方程 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吱吳
吲吮吴吮吲 空间位置固定限控制体推导连续性方程 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吱吵
吲吮吴吮吳 通量速度散度物理意义 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吱吶
吲吮吴吮吴 空间位置移动穷微团推导连续性方程 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吱吸
吲吮吴吮吵 连续性方程结 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吱吹
吲吮吵 动量方程 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吱吹
吲吮吵吮吱 受力分析 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吲吰
吲吮吵吮吲 动量守恒 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吲吳
吲吮吵吮吳 守恒启非守恒转化 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吲吳
吲吮吵吮吴 封闭 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吲吴
吲吮吵吮吵 积分观点 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吲吶
吲吮吶 学求思考 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吲吷
第三章 拓展容 甲甹
吳吮吱 变量界性 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吲吹
吳吮吲 守恒非守恒守恒变量原始变量 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吳吰
吳吮吳 动理学方程矩方程呎吭呓方程 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吳吱
呖呉呉呖呉呉呉 目录
吳吮吴 非牛顿流体 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吳吲
吳吮吵 呬呡呰呬呡呣呩呡呮吨φ吩 吽 呤呩呶吨呧呲呡呤吨φ吩吩吿 吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮吮 吳吳
附录：畏異略畮畆畏畁畍模型速查 申男
补充资料 甴电第章 方程标识
呃呆呄糅合物理数值方法计算机科学体模拟流体流动早期工作追溯
世纪吵吰年代世纪吷吰年代益计算机技术高速发展呃呆呄量应航空航天流场模
拟中某种程度讲早期呃呆呄发展计算机计算力演变直接相关亏型计算集
群吱吹吸吰年代型计算机已求解二维势流三维欧拉方程加速数值算法
提出重网格技术吸吰年代中期呃呆呄已求解粘性呎吭呓方程时量
涡粘模型提出直接模拟（呄呩呲呥呣呴 呎呵呭呥呲呩呣呡呬 呓呩呭呵呬呡呴呩呯呮听 呄呎呓）涡模拟（呌呡呲呧呥 呅呤呤呹
呓呩呭呵呬呡呴呩呯呮听 呌呅呓）成呃呆呄中种解析度非常高模拟技术
学呃呆呄理首先遇种样偏微分算符懂拆分呃呆呄方程研究算法
基步骤出呃呆呄方程（动量方程）知道推出懂章介
绍呃呆呄方程种写法涉呃呆呄算法
11 矢量标识法
笔记中采矢量标识法讨呃呆呄方程矢量标识法中标量全部采斜体压力p矢
量采正体加粗速度矢量畕具三分量u1u2u3uvw二阶张量采正体1
应力张量τ具备吹分量表示：
τ 吽


τ11 τ12 τ13
τ21 τ22 τ23
τ31 τ32 τ33

 吨吱吮吱吩
面粘度ν吱压缩流体动量方程例进行拆分方程采矢量标识法写：
∂畕
∂t 含 ∇ · 吨畕畕吩 吽 −∇p
ρ 含 ∇ · 吨∇畕吩 吨吱吮吲吩
中畕速度矢量p压力ρ密度般讲呃呆呄文献中通常采方程吨吱吮吲吩形式
进行展开进更加紧凑面介绍展开吳方程
• 方程吨吱吮吲吩第项表示畕时间偏导数畕矢量导数分量形式：
∂畕
∂t 吽


∂u1
∂t
∂u2
∂t
∂u3
∂t

 吨吱吮吳吩
1果难理解二阶张量含义样尝试：矢量阶张量具三分量二阶张量具9分量
吱吲 第章 方程标识
中u1表示x方速度u2表示y方速度u3表示z方速度样拆分方程
方速度针时间偏导数果理解方程吨吱吮吳吩困难必预高等数学（
济学版）第二章
• 方程吨吱吮吲吩第二项∇ · 吨畕畕吩中畕畕种简写完整形式畕 ⊗ 畕⊗张量运算符
⊗定义畕畕写：
畕 ⊗ 畕 吽 畕畕 吽


u1
u2
u3

 呛u1 u2 u3呝 吽


u1u1 u1u2 u1u3
u2u1 u2u2 u2u3
u3u1 u3u2 u3u3

 吨吱吮吴吩
接 ∇·散度算符时呤呩呶表示矢量（吱阶张量）做散度结果标
量（吰阶张量）吲阶张量做散度结果矢量（吱阶张量）意n阶张量做散度操
作结果n − 吱阶张量举例矢量畕做散度：∇ · 畕 吽 ∂u1
∂x 含 ∂u2
∂y 含 ∂u3
∂z 方
程吨吱吮吲吩中第二项∇ · 吨畕畕吩吲阶张量做散度：
∇ · 吨畕畕吩 吽 ∇ ·


u1u1 u1u2 u1u3
u2u1 u2u2 u2u3
u3u1 u3u2 u3u3

 吽


∂u1u1
∂x 含 ∂u2u1
∂y 含 ∂u3u1
∂z
∂u1u2
∂x 含 ∂u2u2
∂y 含 ∂u3u2
∂z
∂u1u3
∂x 含 ∂u2u3
∂y 含 ∂u3u3
∂z

 吨吱吮吵吩
• 方程吨吱吮吲吩第三项存∇项中没·符号单独∇表示梯度运算时写呧呲呡呤
标量（吰阶张量）做梯度结果矢量（吱阶张量）矢量做梯度结果吲阶张
量意n阶张量做梯度结果n 含 吱阶张量举例标量p做梯度：
∇p 吽


∂p
∂x
∂p
∂y
∂p
∂z

 吨吱吮吶吩
方程吨吱吮吲吩第四项∇ · 吨∇畕吩速度畕先做梯度做散度∇ · ∇通常写∇2称拉普拉斯
算子时写呬呡呰呬呡呣呩呡呮∇ · 吨∇畕吩 吽 ∇2畕现尝试进行展开：
∇ · 吨∇畕吩 吽 ∇ ·


∂u1
∂x
∂u2
∂x
∂u3
∂x
∂u1
∂y
∂u2
∂y
∂u3
∂y
∂u1
∂z
∂u2
∂z
∂u3
∂z

 吽


∂
∂x
∂u1
∂x

含 ∂
∂y
 ∂u1
∂y
 含 ∂
∂z
∂u1
∂z


∂
∂x
∂u2
∂x

含 ∂
∂y
 ∂u2
∂y
 含 ∂
∂z
∂u2
∂z


∂
∂x
∂u3
∂x

含 ∂
∂y
 ∂u3
∂y
 含 ∂
∂z
∂u3
∂z




吨吱吮吷吩
结合方程吨吱吮吳吩吨吱吮吵吩吨吱吮吶吩吨吱吮吷吩四项三方程面仅列出x方（取项展开形式呛呝中
第行）：
∂u1
∂t 含 ∂u1u1
∂x 含 ∂u2u1
∂y 含 ∂u3u1
∂z 吽 −吱
ρ
∂p
∂x 含 ∂
∂x
∂u1
∂x

含 ∂
∂y
∂u1
∂y

含 ∂
∂z
∂u1
∂z

吨吱吮吸吩
方程吨吱吮吸吩关u1方程仔细观察方程吨吱吮吸吩种导数加u1外果
变量均已知求出u1关时间步进（第项速度关时间导数）方
程吨吱吮吸吩特点参考前言部分容
U阶张量量梯
度操作变二阶张量吱吮吲 张量标识法 吳
12 张量标识法
呃呆呄中偏微分方程矢量标识法表示外张量标识法表示种方法呓呃呉文
书籍中非常常见呛吹呝张量标识法中符号标表示张量阶数标量压力p记（二
者区）：
p ≡ p 吨吱吮吹吩
矢量畕写ui：
ui ≡ 畕 吽


u1
u2
u3

 吨吱吮吱吰吩
二阶张量τ定义τij：
τij ≡ τ 吽


τ11 τ12 τ13
τ21 τ22 τ23
τ31 τ32 τ33

 吨吱吮吱吱吩
定需注意张量标识法时候ui表示矢量某具体分量举例说明：果某文章
采张量标识法ui表示速度矢量u1表示x方速度分量节写法笔
记中畕表示速度矢量ui表示方分量速度矢量中i 吽 吱 吲 吳遇ui采
数学表示方法含义张量标志法通常结合爱斯坦操作符变成非常强
武器举例说明：做积操作时候果某项中标重复需进行加：
aibi 吽
3X
i1
aibi 吽 a1b1 含 a2b2 含 a3b3 吽 畡 · 畢 吨吱吮吱吲吩
τijτij 吽
3X
i1
3X
j1
τijτij 吽
τ11τ11 含 τ12τ12 含 τ13τ13 含 τ21τ21 含 τ22τ22 含 τ23τ23 含 τ31τ31 含 τ32τ32 含 τ33τ33 吽 τ 吺 τ 吨吱吮吱吳吩
τijuj 吽
3X
j1
τijuj 吽


τ11u1 含 τ12u2 含 τ13u3
τ21u1 含 τ22u2 含 τ23u3
τ31u1 含 τ32u2 含 τ33u3

 吽 τ · 畕 吨吱吮吱吴吩
方程吨吱吮吱吴吩中τijuj 吽j出现两次需加i出现次表示矢量
二阶张量项中少出现两标i j例文方程中DikEkj中i j表示二阶张
量k表示加：
τij 吽 DikEkj 吽
3X
k1
DikEkj 吽 Di1E1j 含 Di2E2j 含 Di3E3j 吽 畄畅 吨吱吮吱吵吩
τij 吽 DkiEkj 吽
3X
k1
DkiEkj 吽 D1iE1j 含 D2iE2j 含 D3iE3j 吽 畄T畅 吨吱吮吱吶吩吴 第章 方程标识
张量标识法中存干基函数克罗克函数δij：
δij 吽
(吱 i 吽 j
吰 i 6吽 j
吨吱吮吱吷吩
明显：
δ11 吽 δ22 吽 δ33 吽 吱 吨吱吮吱吸吩
δ12 吽 δ21 吽 δ13 吽 δ31 吽 δ23 吽 δ32 吽 吰 吨吱吮吱吹吩
样偏微分方程组进行类似表示例面方程（连续性方程）：
∂ρ
∂t 含 ∂ρu1
∂x 含 ∂ρu2
∂y 含 ∂ρu3
∂z ≡ ∂ρ
∂t 含 ∂ρui
∂xi
吽 吰 吨吱吮吲吰吩
中 ∂ρui
∂xi
中出现两次i需加面方程（动量方程）表示：
∂ui
∂t 含 ∂uiuj
∂xj
吽 −吱
ρ
∂p
∂xi
含 ∂
∂xj

ν ∂ui
∂xj

吨吱吮吲吱吩
中 ∂uiuj
∂xj
中出现两次j需加出现次i表示分量矢量方程现意
文献中抽取方程文献呛吹呝中k − ε模型湍流动方程方程吨吴吮吹吩2：
ρ∂k
∂t 含 ρuj
∂k
∂xj
吽 τij
∂ui
∂xj
− ρε 含 ∂
∂xj

吨µ 含 µtσk吩 ∂k
∂xj

吨吱吮吲吲吩
分析知首先标量方程非矢量方程组展开形式：
ρ∂k
∂t 含
3X
j1
ρuj
∂k
∂xj
吽
3X
i1
3X
j1
τij
∂ui
∂xj
− ρε 含
3X
j1
∂
∂xj

吨µ 含 µtσk吩 ∂k
∂xj

吨吱吮吲吳吩
13 偏导标识法
呃呆呄重分支高超音速动力学高超音速研究领域量文章书籍中均采偏导标
识法进行方程分析呛吶呝偏导标识法中方程吨吱吮吳吩表示：
畕t ≡ ∂畕
∂t 吨吱吮吲吴吩
理压力px导数写：
px ≡ ∂p
∂x 吨吱吮吲吵吩
维连续性方程偏导标识法写：
ρt 含 吨ρu1吩x 吽 吰 吨吱吮吲吶吩
2读者里应该尝试写矢量标识法例τij
∂ui
∂xj
展开：
τij
∂ui
∂xj
τ11
∂u1
∂x1
+ τ12
∂u1
∂x2
+ τ13
∂u1
∂x3
+ τ21
∂u2
∂x1
+ τ22
∂u2
∂x2
+ τ23
∂u2
∂x3
+ τ31
∂u3
∂x1
+ τ32
∂u3
∂x2
+ τ33
∂u3
∂x3
∇U τ
压缩k − ε矢量标识法形式：
∂k
∂t + ∇ · (Uk) − ∇ · ((µ + µtσk)∇k) ∇U τ − ε
方程左侧分k时间项流项扩散项右侧分产生项耗散项吱吮吴 运算符标识法 吵
三维连续性方程偏导标识法写：
ρt 含 吨ρu1吩x 含 吨ρu2吩y 含 吨ρu3吩z 吽 吰 吨吱吮吲吷吩
方程吨吱吮吲吷吩矢量标识法中表示：
∂ρ
∂t 含 ∇ · 吨ρ畕吩 吽 吰 吨吱吮吲吸吩
外偏导标识法中偏微分系统通常面方程表示：
qt 含 Aqx 吽 吰 吨吱吮吲吹吩
中q标量矢量果q矢量具备m分量A表示m × m阶矩阵例
面气动声学方程 ( pt 含 ρc2ux 吽 吰
ut 含 吨吱ρ吩px 吽 吰
吨吱吮吳吰吩
中未知量puρc密度声速写面更理解形式：
吱 吰
吰 吱
∂
∂t
p
u

含
吰 c2ρ
吱ρ 吰
∂
∂x
p
u

吽 吰 吨吱吮吳吱吩
种情况：
q 吽
p
u
#
A 吽
吰 c2ρ
吱ρ 吰
#
吨吱吮吳吲吩
偏导标识法种写法更分析偏微分方程系统数学特征
14 运算符标识法
运算符标识法文章中较少见数学符号翻译相应英文名字例笛卡
尔坐标系
呤呩呶 畕 吽 ∇ · 畕 吨吱吮吳吳吩
呧呲呡呤 p 吽 ∇p 吨吱吮吳吴吩
呬呡呰呬呡呣呩呡呮 p 吽 呤呩呶 呧呲呡呤 p 吽 ∇ · 吨∇p吩 吨吱吮吳吵吩
呣呵呲呬 畕 吽 ∇ × 畕 吨吱吮吳吶吩
里需注意前文∇算符坐标系需转换运算符标识法需转换吶 第章 方程标识第二章 流体NS方程
21 导
流体通常泛指气体液体固体流体施加剪切力时候会发生形变流体没固
定形态流体快速变形时候会存种抵抗力种抵抗力旦流动停止消失
流体种抗拒身发生变形力称粘性力流体存粘性力流体粘性
流体粘性部分日常生活中接触牛顿流体形变率剪切力呈现线性关
系部分流体非牛顿流体剪切率形变率呈现非线性关系
标准状态立方毫米气体包含约吲吮吴吳×吱吰16分子气体分子间碰撞非常频繁
效气体分子合理进行分布粒子群表现单粒子连续介质标准情
况气体分子秒钟约进行吱吰9次碰撞次碰撞导致移动距离非常（约吵 × 吱吰−8米）前者
谓碰撞频率者谓分子程
液体气体典型特征体积变化巨抵抗力例瓶矿泉水压缩成
瓶盖然气体体积变化抵抗力相例轻易手封闭空
矿泉水瓶进行压缩基流体密度否常数进步分压缩流体压缩流
体液体通常考虑压缩流体然气体液体压缩性高否考虑气体压缩
性取决具体情况空气动力学中果气流速度气体压缩性汽车
设计影响较飞机速度声速接者声速种情况气体压缩
性飞机设计非常重高压容器中液体应该考虑压缩性考虑
压缩性解释某奇怪物理现象水锤
特殊情况存特殊现象宇宙中空气接真空种通常称稀薄气
体稀薄气体气体分子数量太少气体碰撞均衡种基碰撞颗粒流
颗粒相互碰撞情况会发生颗粒轨迹交叉粒子左右移动粒子
右左移动某位置两粒子彼穿发生碰撞两种情况极端情况
情况呎呡呶呩呥呲吭呓呴呯呫呥味（呎吭呓）方程描述里需表明呎吭呓方程重前提连续
介质假定理解网格单元存量流体分子固体颗粒分子启颗粒间碰撞均衡
种情况呎吭呓方程描述呎吭呓方程描述情况调玻尔兹曼方程笔记
仅仅考虑碰撞均衡呎吭呓方程1
计算流体力学（呃呆呄）采计算机求解控制流体流动偏微分方程组学科日常生活中
电风扇吹风例电风扇吹出空气流动见摸着明显感觉吹出风样
1流体特征长度L远远均分子程λ流体分子碰撞次数标准状态分子碰撞频率左右（远低）NS方程
进行描述λL值粒子克努森数NS方程克努森数远远1情况适
吷吸 第二章 流体呎吭呓方程
风扇转越快风越越凉快相应耗越工业设计目标耗吹出
风群凉快物理现象背风扇吹出风速度压力温度等均遵循相关
物理定律物理定律写成数学中偏微分方程形式两方程：连续性
方程（表明流动着空气质量守恒）动量方程（表明空气流动满足牛顿第二定
律）考虑传热情况应该附加量方程（表明量守恒定律）暂样理解：求解
两关时间方程求出风扇出吹风某时刻流速流速时通风
扇叶片表面受力计算风扇功率算出耗电量进行相关设计果通实验工程师
设计吱吰吰叶片形状检测风力耗做分析取优叶片形状通呃呆呄工程师
生成吱吰吰叶片模型计算机求解吱吰吰模型计算出风力耗进
行分析工业应中机翼实验工作花费百万元化工反应器中试实验工作
需亿通呃呆呄计算模拟需万元见呃呆呄目标工程师
实验中解脱节省实验资金进进行工业设计情况会听新词汇数值
风洞数值水池等实际呃呆呄模拟风洞流场呃呆呄模拟水池水流动
问题描述呃呆呄方程非常难解甚目前解析解（方程准确解x 吽 −吱x含
吱 吽 吰解析解）存否考证目前呃呆呄学术研究获方程解
解通常称数值解理想情况数值解限趋解析解然理想丰满现实
骨感户获数值解总解析解存少差距
种算法犹路神仙河样总会通种奇葩方法获呃呆呄方程数值解呃呆呄中
种方法光滑粒子法流体做粒子然粒子进行踪进行求解获数值解
研究学者通深度学假拟呃呆呄方程求解目前呃呆呄求解方法中广泛莫
限体积法目前流呃呆呄软件均限体积法进行求解
限体积法思想简单举例果分析整河流流动状态整房间热流密度血
血流状态限体积法通局部整体方法进行分析例整房间分成
格子果获格子流动速度格子构成整体整房间流动速
度格子数量越格子速度场越代表整房间速度场文介绍限体积法
强调呃呆呄流体力学间差异二者间存割舍联系差异非常明显
流体力学着重研究构建偏微分方程呃呆呄着重研究解偏微分方程理解
首先通流体力学研究构建应数学模型然通呃呆呄模型进行求解程流体力学侧重建
模呃呆呄侧重求解没流体力学构建模型呃呆呄武流体力学构建模型没呃呆呄
获解举例相流体力学研究者两气泡间破碎感兴趣研究学者
工作通实验监控气泡周围流场数（湍流动）构建破碎频率关湍流动关
系式相计算流体力学研究者关系式需数值方法进行求解方
面流体力学研究者离开实验呃呆呄研究者实验进行研究流体力学顶级期刊告呯呵呲呮呡呬 呯呦
呆呬呵呩呤 呍呥呣周呡呮呩呣味等呃呆呄顶级期刊告呯呵呲呮呡呬 呯呦 呃呯呭呰呵呴呡呴呩呯呮呡呬 呐周呹味呩呣味等然学术界二者
没明显区划分吲吮吲 泰勒公式 吹
22 泰勒公式
推导呎吭呓方程前必介绍泰勒公式假设函数f吨x吩表示整x型线泰
勒公式理解函数f吨x吩表示干函数加：
f吨x吩 吽 f吨x0吩 含 ∂f吨x吩
∂x
xx0
吨x − x0吩 含 吨吲吮吱吩
x 吽 x1时候泰勒公式求f吨x1吩值：
f吨x1吩 吽 f吨x0吩 含 ∂f吨x吩
∂x
xx0
吨x1 − x0吩 含 吨吲吮吲吩
现f吨x吩 吽 x3举例导数 ∂f(x)
∂x 吽 吳x2取x0 吽 吲f吨x0吩 吽 吸：
f吨x1吩 吽 吸 含 吳 × 吲2吨x1 − 吲吩 含 吨吲吮吳吩
果x1 吽 吳f吨x1吩 吽 吲吰果x1 吽 吲吱f吨x1吩 吽 吹吲见x1越越趋x0通泰勒公式计
算值越精准呃呆呄中反映网格单元越结果越精准特性
泰勒公式元函数函数f吨x y z t吩位吨x1 y1 z1 t1吩点泰勒展开表示2：
f吨x y z t吩 吽 f吨x1 y1 z1 t1吩 含 ∂f吨x y z t吩
∂x
xx1
吨x − x1吩 含 ∂f吨x y z t吩
∂y
yy1
吨y − y1吩含
∂f吨x y z t吩
∂z
zz1
吨z − z1吩 含 ∂f吨x y z t吩
∂t
tt1
吨t − t1吩 含 吨吲吮吴吩
23 流动模型
谈具体方程前首先需介绍流动模型概念限体积法通具体流动模
型进行分析进获整体解程里理解流动模型会觉较抽象阅读完
文回头流动模型会柳暗花明感觉
231 限控制体模型
图吲吮吱示限控制体进步分空间位置固定限控制体流线运动
限控制体空间位置固定限控制体理解空旷房间（然控制体体积）
会流入流出某物理量（质量量等）量产生消失符合物理学基定律举例
房间部充满（容纳更）果挤进吱吰必然会挤出吱吰质
量守恒流线运动限控制体理解风飘扬气球气球部存量空气空
气外界发生交换（质量变）气球运动然满足物理基定律续讨中
出限控制体推导方程积分形式采空间位置固定控制体方程守恒型方
程采流线运动控制方程非守恒型透彻理解呃呆呄中守恒非守恒概念目
前讲容易需知道方程概念
2更详细关泰勒公式容请参考文献[1]吱吰 第二章 流体呎吭呓方程
图 21 左图：空间位置固定限控制体流体流入控制体继续流出右图：空间位置移动限控制体着
流体流线进行移动
232 穷微团模型
图吲吮吲示3类似限控制体穷微团进步分空间位置固定穷微团
流线运动穷微团穷微团限控制体重区穷微团体积质量
等变量数学中呤V呤m表示限控制体体积穷微团限控制体
中包含量呤V数学角度出发呤V 表示穷微团体积足够需注意
呃呆呄方程适连续介质呤V 包含定量流体分子4正穷微团
属性数学中 呤 表示时限控制体包含量流体微团体现限控制
体推导出方程积分形式穷微团推导出方程微分形式 现空间位置固定
图 22 左图：限控制体（圈）穷微团（正方体）中图：空间位置固定穷微团流体流入微团继
续流出右图：空间位置移动穷微团着流体流线进行移动
限控制体流体微团例解房间流体流动状况果房间限控制体
流体微团流动均已知获房间完整流体流动图更形象房
间分吹位置吹限控制体流体微团表示果采实验方法吹限控制体流体
微团检测速度认吹速度场整房间速度场果房间分
N块实验方法检测N位置速度会更精确速度场实际房间
N块似理解呃呆呄中网格概念呃呆呄做通计算机求解划分
块物理量
3图中仅仅画出穷微团存穷微团穷微团应彼相连填充整计算空间说整计算域应充满
网格单元
4NS方程普适性方程更底层玻尔兹曼方程满足连续性假定BGK假定成立进玻尔兹曼方程简化
NS方程例稀薄气体满足连续性假定NS方程适通数值方法求解玻尔兹曼方程（矩方法[8]离
散速度法[10]蒙特卡洛法[3]等）相流领域样具类似情况颗粒轨迹交叉问题满足连续介质假定[7]吲吮吳 流动模型 吱吱
233 物质导数
物质导数高等数学中全导数理解物质导数需助文中提流动模型现选取流
线运动穷微团温度T吨x y z t吩进行分析需注意文中指出穷微团变
量微分算符呤表示里温度没表示呤T原温度物质量变化
变化量存少分子温度均T类似种量呃呆呄称强度量反
质量体积等广度量
t1时间点流体微团位置吨x1 y1 z1吩温度T1吨x1 y1 z1 t1吩着微团移动t2时刻
位置变吨x2 y2 z2吩时温度T2吨x2 y2 z2 t2吩然温度时间位置函数参考方程吨吲吮吴吩
温度进行泰勒展开：
T2 吽 T1 含 ∂T
∂x
xx1
吨x2 − x1吩 含 ∂T
∂y
yy1
吨y2 − y1吩 含 ∂T
∂z
zz1
吨z2 − z1吩 含 ∂T
∂t
tt1
吨t2 − t1吩 吨吲吮吵吩
方程吨吲吮吵吩左右两边t2 − t1：
T2 − T1
t2 − t1
吽 ∂T
∂x
xx1
x2 − x1
t2 − t1
含 ∂T
∂y
yy1
y2 − y1
t2 − t1
含 ∂T
∂z
zz1
z2 − z1
t2 − t1
含 ∂T
∂t
tt1
吨吲吮吶吩
接定义温度T吨x1 y1 z1吩点物质导数移动穷微团通吨x1 y1 z1吩点时候穷微
团针时间温度瞬时变化率：
呄T
呄t
xx1yy1zz1
吽 呬呩呭
t2→t1
T2 − T1
t2 − t1
吨吲吮吷吩
速度定义呬呩呭t2→t1
x2−x1
t2−t1
吽 u呬呩呭t2→t1
y2−y1
t2−t1
吽 v呬呩呭t2→t1
z2−z1
t2−t1
吽 w代入方程吨吲吮吶吩吨x1 y1 z1吩点
物质导数：
呄T
呄t
xx1yy1zz1
吽 ∂T
∂x
xx1
u 含 ∂T
∂y
yy1
v 含 ∂T
∂z
zz1
w 含 ∂T
∂t
tt1
吨吲吮吸吩
意点
呄T
呄t 吽 ∂T
∂x u 含 ∂T
∂y v 含 ∂T
∂z w 含 ∂T
∂t 吨吲吮吹吩
方程吨吲吮吹吩温度T笛卡尔坐标系物质导数定义见物质导数数学物理量时
间全导数参考积数学定义方程吨吲吮吹吩写：
呄T
呄t 吽 ∂T
∂t 含 畕 · ∇T 吨吲吮吱吰吩
述温度T举例说明物质导数类似速度畕物质导数：
呄畕
呄t 吽 ∂畕
∂t 含 畕 · ∇畕 吨吲吮吱吱吩
速度物质导数表示流体微团加速度外流场数物质导数表示
：
呄吨吩
呄t 吽 ∂吨吩
∂t 含 u∂吨吩
∂x 含 v∂吨吩
∂y 含 w∂吨吩
∂z 吽 ∂吨吩
∂t 含 畕 · ∇吨吩 吨吲吮吱吲吩
方程吨吲吮吱吲吩中 ∂()
∂t 称局部导数（呬呯呣呡呬 呤呥呲呩呶呡呴呩呶呥）第二项畕·∇吨吩称流导数（呣呯呮呶呥呣呴呩呶呥
呤呥呲呩呶呡呴呩呶呥）需注意果求解器调拉格朗日粒子方程吨吲吮吱吰吩左边物质导数项够
直接求出通方程右边计算吱吲 第二章 流体呎吭呓方程
方程吨吲吮吱吰吩理解：
呄
呄t
|{z}Lagrangian
吽 ∂
∂t 含 畕 · ∇
| {z }Euler
吨吲吮吱吳吩
中 ∂
∂t 表示时间变化率畕 · ∇表示流变化率 里增加欧拉拉格朗日解释
图 23 欧拉拉格朗日描述
图吲吮吳示欧拉方法描述固定点变量时间变化值图中方框变量拉格朗日方法描
述移动粒子变量时间变化（图中红色粒子移动）5温度举例欧拉方法描述方框
温度着时间变化拉格朗日方法描述移动粒子温度位置处时间产生变化
外拉格朗日方法变量通常t欧拉方法变量通常吨x y z t吩例粒子位置矢量定
义：
畓 吽 吨x y z吩 吽 吨t2 吲t 吰吩 吨吲吮吱吴吩

x 吽 t2 y 吽 吲t z 吽 吰 吨吲吮吱吵吩
拉格朗日框架粒子速度矢量通常表示：
畕吨t吩 吽 吨吲t 吲 吰吩 吨吲吮吱吶吩
欧拉框架速度矢量通常表示：
畕吨x y z t吩 吽 吨吲t 吲 吰吩 吽 吨吲√x 吲 吰吩 吨吲吮吱吷吩
外方程吨吲吮吱吷吩出针示例固定网格位置处速度变物理意义讲粒子均
样速度通某固定网格点
24 连续性方程
呃呆呄控制方程具什形式建立流体力学基控制方程：连续性方程动量
方程量方程基础源质量守恒定律牛顿第二定律量守恒定律呎吭
呓方程基假设：流体做连续介质宏观尺度分析时候（微米）流体
5守恒法研究领域物质导数表示着特征线变量时间变化率吲吮吴 连续性方程 吱吳
机分子运动忽略样描述流体宏观物理量速度压力密度温度等
物理量做量分子均
节步步连续性方程进行推导旨学解呃呆呄中基控制方程源做
呃呆呄模拟时候理复杂方程离散流格式双曲特征激波等呇呃呆呄课程中进
行讲述
241 空间位置固定穷微团推导连续性方程
连续性方程文中吴种流动模型基础进行推导节空间位置固定穷微团
角度出发连续性方程进行推导种推导形式容易理解涉高等数学中泰勒方程
空间位置固定角度分析方法通常称欧拉观点欧拉观点质量守恒意味着位
置固定穷微团质量变化吽流入穷微团质量−流出穷微团质量：位置固定穷
微团质量变化率吽 吨流入穷微团质量−流出穷微团质量吩变化率图吲吮吴质量守恒
实例
图 24 质量守恒实例t时刻4单位流体流入穷微团（左图）t + dt时刻3单位流体流出穷
微团（右图）穷微团变化增加1单位流体（右图穷增加1单位流体）
面首先穷微团质量变化率文述流体微团体积表示呤V 吽 呤x呤y呤z
时密度ρ应穷微团质量
呤m 吽 ρ呤x呤y呤z 吨吲吮吱吸吩
质量变化率定义（质量变化时间变化）表示
∂呤m
∂t 吽 ∂ρ呤x呤y呤z
∂t 吽 ∂ρ
∂t 呤x呤y呤z 吨吲吮吱吹吩
面考虑穷微团流入流出里介绍泰勒方程形式：果函数x0点
值f吨x0吩x0 含 h值通述方程求6：
f吨x0 含 h吩 ≈ f吨x0吩 含 f 0吨x0吩h 吨吲吮吲吰吩
现图吲吮吵中穷微团定义立方体左侧单位面积质量流量ρu表示单位时间
6里假定函数连续微然某特殊问题种假定成立（例存激波问题）种情况需积分角度推导连
续性方程（参见节）吱吴 第二章 流体呎吭呓方程
图 25 穷微团x方通量
流入单位面积质量（注意中单位时间单位面积）时立方体左侧面积呤y呤z
单位时间流入质量
ρu呤y呤z 吨吲吮吲吱吩
立方体右侧面已知立方体左侧面ρu定义时候右侧通泰勒方程求出单
位时间流出立方体右侧单位面积质量ρu 含 ∂ρu
∂x 呤x样立方体右侧面面积
呤y呤z单位时间流出质量

ρu 含 ∂ρu
∂x 呤x

呤y呤z 吨吲吮吲吲吩
结合穷微团单位时间流出质量方程吨吲吮吲吲吩穷微团单位时间流入质量方程吨吲吮吲吱吩
单位时间x方净质量变化率
ρu呤y呤z −

ρu 含 ∂ρu
∂x 呤x

呤y呤z 吽 −∂ρu
∂x 呤x呤y呤z 吨吲吮吲吳吩
理y方净质量变化率
− ∂ρv
∂y 呤x呤y呤z 吨吲吮吲吴吩
z方净质量变化率
− ∂ρw
∂z 呤x呤y呤z 吨吲吮吲吵吩
方质量变化率加
− ∂ρu
∂x 呤x呤y呤z − ∂ρv
∂y 呤x呤y呤z − ∂ρw
∂z 呤x呤y呤z 吽 −
∂ρu
∂x 含 ∂ρv
∂y 含 ∂ρw
∂z

呤x呤y呤z 吨吲吮吲吶吩
时结合方程吨吲吮吱吹吩
∂ρ
∂t 呤x呤y呤z 吽 −
∂ρu
∂x 含 ∂ρv
∂y 含 ∂ρw
∂z

呤x呤y呤z 吨吲吮吲吷吩
连续性方程：
∂ρ
∂t 含 ∂ρu
∂x 含 ∂ρv
∂y 含 ∂ρw
∂z 吽 吰 吨吲吮吲吸吩
方程吨吲吮吲吸吩呃呆呄中关重直接关系压力泊松方程导出里学应该尝试次
理解连续性方程推导源连续性方程表示质量守恒吲吮吴 连续性方程 吱吵
242 空间位置固定限控制体推导连续性方程
文中空间位置固定穷微团推导连续性方程容易理解面考虑空间位置固
定限控制体推导连续性方程节涉高等数学散度定律难理解跳节失
连续性节种推导连续性方程途径 提前强调限控制体穷微团
图 26 限控制体速度面矢量
关系理解限控制体包含着穷微团（图吲吮吲左图示）限控制体中量
需积分进行计算空间位置固定限控制体质量通面方程进行计算：
Z
ρ呤V 吨吲吮吲吹吩
实际高等数学中质量计算方程应质量变化率
∂
∂t
Z
ρ呤V 吨吲吮吳吰吩
面考虑空间位置固定限控制体流入流出引起质量变化图吲吮吶中通量定义
ρ畕 · 呤畓 吨吲吮吳吱吩
整限控制体净通量表示
−
Z
S
ρ畕 · 呤畓 吨吲吮吳吲吩
中负号引入考虑流入减流出通量（流出减流入）结合方程吨吲吮吳吲吩方
程吨吲吮吳吰吩
∂
∂t
Z
V
ρ呤V 含
Z
S
ρ畕 · 呤畓 吽 吰 吨吲吮吳吳吩
7
∂ρ
∂t 含 ∇ · ρ畕 吽 吰 吨吲吮吳吴吩
方程吨吲吮吳吴吩通空间位置固定限控制体推导连续性方程吨吲吮吲吸吩等价里
需注意方程吨吲吮吳吳吩推导吨吲吮吳吴吩时候需假定函数光滑连续积分形式方
程吨吲吮吳吳吩微分形式方程吨吲吮吳吴吩更基础控制方程
7中调高斯定律− R ρU· dS − R ∇ · ρUdV吱吶 第二章 流体呎吭呓方程
243 通量速度散度物理意义
里必介绍通量概念初学者常流项引申量理解通量然呃呆呄控制
方程中离散项称通量流项∇ · 吨畕畕吩做线性化会出现流通量扩散
项∇ · 吨µ∇畕吩离散样会出现通量（扩散通量）进步通量区分体积通量质量通量体
积通量物理意义单位时间流某网格单元面流体体积单位呭3启味质量通量物理意义
单位时间流某网格单元面流体质量单位呫呧启味场合通常选取通量
压缩流体通常选取体积通量压缩流体通常选取质量通量数学角度理解更
简单：速度畕面积畓体积通量单位时间流某网格单元面少立方米流体：
φf 吽 畕f · 畓f 吨吲吮吳吵吩
中φf 表示网格单元面畓f 通量畓f 称面矢量畕f 定义网格单元面速度图吲吮吷中
左中右三网格单元方网格单元面应三面矢量方相面矢量畓f
通式计算：
|畓f | 吽 qS2
x 含 S2
y 含 S2
z 吨吲吮吳吶吩
中SxSySz表示面矢量畓f 分量
图 27 图中表示相方（箭头长度）面矢量
呃呆呄中外重概念面法矢量畮f 定义面法面法矢量特点模均
吱计算公式：
畮f 吽 畓f
|畓f | 吨吲吮吳吷吩
图吲吮吸示网格边界区域通常干网格单元面构成网格单元面分应
面矢量面法矢量
边界面网格部面存面矢量图吲吮吹表示网格部面面矢量定义图中畓两
网格连接面矢量垂直网格面等面面积宿网格（图中呐点）指相邻网格
（图中呎点）时出连接呐网格体心呎网格体心矢量方畓f 方相会导致
梯度计算差异呃呆呄中非正交修正算法做介绍回通量计算公式：
φf 吽 畕f · 畓f 吽 |畕f ||畓f |呣呯味θ 吨吲吮吳吸吩
中θ面矢量面速度矢量夹角明显通量取决夹角图吲吮吱吰形象表示
特性左图中速度矢量面矢量方行中虚线表示单位时间通面体积中图中速吲吮吴 连续性方程 吱吷
图 28 意弯曲面法矢量
度矢量面矢量存定夹角体积减右图中速度矢量面矢量垂直没
流体通面通量零
附加点关通量总结评价：
• 通量计算仅面速度关面方速度方关系
• 限体积法中守恒表示通量守恒然通量面速度网格单元体心处速度区

• 文中面速度均定呃呆呄计算中通量需体心速度插值通量需
通压力速度耦合算法计算
• 图吲吮吹中非矩形网格高偏斜网格需应非正交修正算法者采二法计
算梯度
图 29 网格单元部面面矢量网格体心点连线示意图
面介绍速度散度物理意义需高等数学中积分容难理解失连续性
略续节容8考虑体积通量φf （单位时间流某面流体体积）物理意义基础
8244节基础展开吱吸 第二章 流体呎吭呓方程
图 210 速度矢量应通量中黑色箭头表示面矢量红色箭头表示速度矢量
果体积通量基础时间吁t表示体积V 流动控制体中面呤畓畕速度移
动吁t时间体积变化量：
呤Vf 吽 φf 吁t 吽 畕f · 呤畓f 吁t 吨吲吮吳吹吩
整流动控制体体积变量需方程吨吲吮吳吹吩基础做积分：
吁V 吽
Z
V
呤V 吽
Z
S
畕f · 呤畓f 吁t 吨吲吮吴吰吩
体积V 物质导数定义
呄V
呄t 吽 吁V
吁t 吽
Z
S
畕f · 呤畓f 吨吲吮吴吱吩
高等数学散度定律 Z
S
畕f · 呤畓f 吽
Z
V
∇ · 畕呤V 吨吲吮吴吲吩

呄V
呄t 吽
Z
V
∇ · 畕呤V 吨吲吮吴吳吩
方程吨吲吮吴吳吩体积V 做积分果考虑体积V 足够V → δV 方程吨吲吮吴吳吩δV 表示：
呄吨δV 吩
呄t 吽
Z
δV
吨∇ · 畕吩呤V 吨吲吮吴吴吩
体积δV 足够∇ · 畕δV 相等提出
Z
δV
吨∇ · 畕吩呤V 吽 ∇ · 畕δV 吨吲吮吴吵吩
结合方程吨吲吮吴吴吩吨吲吮吴吵吩：
∇ · 畕 吽 吱
δV
呄δV
呄t 吨吲吮吴吶吩
速度散度物理意义：单位体积流动着控制体体积时间变化率
244 空间位置移动穷微团推导连续性方程
文空间位置固定限控制体穷微团推导连续性方程面讨种推
导形式：空间位置移动穷微团推导连续性方程种方式偏拉格朗日思想难理
解跳节失连续性节种推导连续性方程途径
拉格朗日框架流线运动穷微团质量变化吽 吰参考前文物质导数定义
呄
呄t呤m 吽 吰 吨吲吮吴吷吩吲吮吵 动量方程 吱吹
图 211 流动控制体速度变化导致形状体积改变左图中面dSU速度移动∆t时间间隔引起体
积变化圆柱体体积右图终控制体形状
中采呤m踪穷微团物质导数定义方程吨吲吮吴吷吩化简
呄
呄t呤m 吽 呄 吨ρ呤V 吩
呄t 吽 ρ呄 吨呤V 吩
呄t 含 呤V 呄ρ
呄t 吽 吰 吨吲吮吴吸吩

ρ
呤V
呄 吨呤V 吩
呄t 含 呄ρ
呄t 吽 吰 吨吲吮吴吹吩
节介绍物质导数速度散度物理意义
吱
呤V
呄 吨呤V 吩
呄t 吽 ∇ · 畕 吨吲吮吵吰吩
代入方程吨吲吮吴吸吩
呄ρ
呄t 含 ρ∇ · 畕 吽 吰 吨吲吮吵吱吩
245 连续性方程结
方程吨吲吮吲吸吩吨吲吮吳吴吩吨吲吮吵吱吩均表示连续性方程推导采流动模型模型
出发点推导较容易理解方法较复杂方程相互转换种教材中书写
统例面方程均采书写方式书写连续性方程：
∂ρ
∂t 含 ∇ · 吨ρ畕吩 吽 吰 吨吲吮吵吲吩
∂ρ
∂t 含 呤呩呶 吨ρ畕吩 吽 吰 吨吲吮吵吳吩
∂ρ
∂t 含 ∂ρui
∂xi
吽 吰 吨吲吮吵吴吩
∇·呤呩呶等价均表示散度操作方程吨吲吮吵吴吩种表示方式初学呃呆呄方程中符号
感生疏记住面根连续性方程形式：
∂ρ
∂t 含 ∂ρu
∂x 含 ∂ρv
∂y 含 ∂ρw
∂z 吽 吰 吨吲吮吵吵吩
25 动量方程
节讨动量方程动量方程然通面四种流动模型进行推导篇幅限
节推导仅介绍种较容易理解推导方法空间位置移动穷微团进行分
析推导前需介绍基础知识吲吰 第二章 流体呎吭呓方程
251 受力分析
动量方程进行推导需穷微团进行受力分析正流体受力会引致流体
流动穷微团受力区分体积力表面力表面力作穷微团面
力压力表面张力海洋表面风认表面力体积力作穷微团全部体
积（仅表面体积）例重力电磁力者切引起旋转力（科氏力）力
中重表面力压力应力（续会应力进行介绍）重体积力重力（考虑
源项力）
首先压力图吲吮吱吲示呃呆呄中压力p表示（实际压强）压力表示静压
作导致流体压缩膨胀切应力引致变形外压力种正应力（
文中介绍切应力）永远作穷微团面垂直方 时图吲吮吱吳示
图 212 左图：穷微团压力作导致体积压缩右图：三角形网格四边形网格受垂直压力
图 213 左图：块蜂蜜剪切应力作导致变形右图：流体方剪切力作导致流速区壁面附
速度较红色箭头表示剪切应力黑色箭头表示速度方
穷微团受剪切应力作体现流体粘性明显注意蜂蜜水
粘获样形变率施加蜂蜜剪切应力需更剪切应力作导致流
体产生形变应力形变成正形变速率成正说应力越形
变速度越快 图吲吮吱吴左图示二维四边形穷微团受剪切应力分量分
τyy τyx τxx τxy 吨吲吮吵吶吩
中τ表示剪切应力第标表示作某方垂直面第二标表示力方
τyy表示作y垂直面剪切应力分量方y方τyx表示作y垂直面
剪切应力分量方x方图吲吮吱吴右图表示流体剪切应力作发生形变图吲吮吱吵三
维穷微团受剪切应力三维情况剪切应力分量表示
τxx τxy τxz τyx τyy τyz τzx τzy τzz 吨吲吮吵吷吩吲吮吵 动量方程 吲吱
图 214 左图：四边形穷微团受剪切应力右图：四边形限控制体受剪切应力导致形变
通常写成面形式： 

τxx τxy τxz
τyx τyy τyz
τzx τzy τzz

 吨吲吮吵吸吩
图 215 三维剪切应力
里学应该知道方程吨吲吮吵吸吩中剪切应力分量定义什？分作面？
方？会引起什样物理程面分析具体穷微团受力图吲吮吱吶表示施加
穷微团x方全部表面力9面呡呢呣呤仅仅存切应力引起x方分量τyx呤x呤z
面呥呦呧周面呡呢呣呤距离呤y呥呦呧周面x方切应力吨τyx含吨∂τyx∂y吩呤y吩呤x呤z面呡呢呣呤
面呥呦呧周切应力注意方底面τyx左（x轴方相反）顶面τyx含吨∂τyx∂y吩呤y
右（x轴方相）面约定致：速度三分量正增量坐标轴正
致例图吲吮吱吶中面呥呦呧周u着y轴正增加稍微高面呥呦呧周方速
度u面呥呦呧周u形成拉动作试图流体微团右拉x轴正相反
考虑面呡呢呣呤稍稍低面呡呢呣呤方速度u面呡呢呣呤u流体形成
阻碍作作x轴负图吲吮吱吶中剪切应力方相方式进行判断特
面呤呣呧周τzx指x轴负面呡呢呦呥τzx 含 吨∂τzx∂z吩呤z指x轴正垂直x轴
面呡呤周呥x方力压力p呤y呤z指流体微团部x轴负应力τxx呤y呤z前面
提速度增量方约定解释什图吲吮吱吶中面呡呤周呥τxx指左边规定
速度u正增量x轴正致稍微离开面呡呤周呥左面点点u值面呡呤周呥呵
9图216起非常复杂果感觉理解困难进步参考文献[2]第47页描述吲吲 第二章 流体呎吭呓方程
正应力粘性作面呡呤周呥吸力产生左拉作想阻止流体微团流动
相反面呢呣呧呦压力吨p 含 吨∂p∂x吩呤x吩呤y呤z指流体微团部（着x轴负）稍
微离开面呢呣呦呧右面点点方u值面呢呣呦呧u会产生正应力引起吸力流
体微团右拉力吨τxx 含 吨∂τxx∂x吩吩呤y呤z方指x轴正果面描述学感
觉难理解面结知悉通流体微团x方受力做分析x方受表面力（压
力剪切应力贡献）：
图 216 x方面受力
Fx 吽

p −

p 含 ∂p
∂x呤x

呤y呤z 含

τxx 含 ∂τxx
∂x 呤x

− τxx

呤y呤z
含

τyx 含 ∂τyx
∂y 呤y

− τyx

呤x呤z 含

τzx 含 ∂τzx
∂z 呤z

− τzx

呤x呤y
吨吲吮吵吹吩

Fx 吽

−∂p
∂x 含 ∂τxx
∂x 含 ∂τyx
∂y 含 ∂τzx
∂z

呤x呤y呤z 吨吲吮吶吰吩
理y方z方：
Fy 吽

−∂p
∂y 含 ∂τxy
∂x 含 ∂τyy
∂y 含 ∂τzy
∂z

呤x呤y呤z 吨吲吮吶吱吩
Fz 吽

−∂p
∂z 含 ∂τxz
∂x 含 ∂τyz
∂y 含 ∂τzz
∂z

呤x呤y呤z 吨吲吮吶吲吩
方程吨吲吮吶吰吩吨吲吮吶吱吩吨吲吮吶吲吩流体微团三方受力（矢量）：
畆 吽


− ∂p
∂x 含 ∂τxx
∂x 含 ∂τyx
∂y 含 ∂τzx
∂z
 呤x呤y呤z
− ∂p
∂y 含 ∂τxy
∂x 含 ∂τyy
∂y 含 ∂τzy
∂z
 呤x呤y呤z
− ∂p
∂z 含 ∂τxz
∂x 含 ∂τyz
∂y 含 ∂τzz
∂z
 呤x呤y呤z


吨吲吮吶吳吩吲吮吵 动量方程 吲吳
252 动量守恒
分析完受力回牛顿第二定律力等质量加速度力已方程吨吲吮吶吳吩中出
现质量加速度文中已知道流体微团质量表示呤m 吽 ρ呤x呤y呤z时流体
微团加速度 DU
Dt （参考物质导数节）分量形式
呄u
呄t 呄v
呄t 呄w
呄t
T
吨吲吮吶吴吩
x方动量方程
ρ呤x呤y呤z 呄u
呄t 吽

−∂p
∂x 含 ∂τxx
∂x 含 ∂τyx
∂y 含 ∂τzx
∂z

呤x呤y呤z 吨吲吮吶吵吩
理y方z方类似导出
ρ呄u
呄t 吽 −∂p
∂x 含 ∂τxx
∂x 含 ∂τyx
∂y 含 ∂τzx
∂z 吨吲吮吶吶吩
ρ呄v
呄t 吽 −∂p
∂y 含 ∂τxy
∂x 含 ∂τyy
∂y 含 ∂τzy
∂z 吨吲吮吶吷吩
ρ呄w
呄t 吽 −∂p
∂z 含 ∂τxz
∂x 含 ∂τyz
∂y 含 ∂τzz
∂z 吨吲吮吶吸吩
方程吨吲吮吶吶吩吨吲吮吶吷吩吨吲吮吶吸吩动量方程学应该结合文介绍相关知识方程吨吲吮吶吶吩吨吲吮吶吷吩吨吲吮吶吸吩左
边项写成欧拉形式（参考物质导数节）然三分量形式动量方程写成矢量形式（结合
张量节）10：
ρ呄畕
呄t 吽 −∇p 含 ∇ · τ 吨吲吮吶吹吩

ρ
∂畕
∂t 含 畕 · ∇畕

吽 −∇p 含 ∇ · τ 吨吲吮吷吰吩
253 守恒非守恒转化
方程吨吲吮吷吰吩动量方程非守恒形式述动量方程空间位置移动穷微团进行
推导非守恒控制方程通结合连续性方程转化守恒控制方程连续性方程吨吲吮吵吲吩左右
畕
畕∂ρ
∂t 含 畕∇ · 吨ρ畕吩 吽 吰 吨吲吮吷吱吩
方程吨吲吮吷吱吩吨吲吮吷吰吩相加
畕∂ρ
∂t 含 畕∇ · 吨ρ畕吩 含 ρ∂畕
∂t 含 ρ畕 · ∇畕 吽 −∇p 含 ∇ · τ 吨吲吮吷吲吩
守恒形式动量方程：
∂ρ畕
∂t 含 ∇ · 吨ρ畕畕吩 吽 −∇p 含 ∇ · τ 吨吲吮吷吳吩
10种常见写法
ρ DU
Dt ∇ · σ
中σ −pI + τ种情况σ考虑总应力（剪切应力τ正应力p）吲吴 第二章 流体呎吭呓方程
连续性方程进行类似转化考虑空间位置移动穷微团进行推导连续性方程吨吲吮吵吱吩
物质导数定义展开
呄ρ
呄t 含 ρ∇ · 畕 吽 ∂ρ
∂t 含 畕 · ∇ρ 含 ρ∇ · 畕 吽 ∂ρ
∂t 含 ∇ · ρ畕 吽 吰 吨吲吮吷吴吩
中 Dρ
Dt 含 ρ∇ · 畕非守恒形式 ∂ρ
∂t 含 ∇ · ρ畕守恒形式
理守恒形式方程假定原始变量光滑情况演变非守恒形式
254 封闭
方程吨吲吮吶吶吩吨吲吮吶吷吩吨吲吮吶吸吩求解中未知量方程左边速度方程右边存
未知量τ种求未知量外存未知量情况称封闭问题封闭需
τ表示畕函数剪切应力τ速度畕关系称构关系方程称
构方程吱吷世纪末牛顿指出流体剪切应力速度梯度成线性关系种流体称
牛顿流体存符合牛顿流体定义流体定义非牛顿流体会展现常见
流动特性
面讨新呃呆呄变量：形变率称剪切速率未知量τ表示形变率函数
形变率进步表示速度函数样方程吨吲吮吶吶吩吨吲吮吶吷吩吨吲吮吶吸吩封闭形变率剪切应
力类似二阶张量般畓表示呃呆呄中形变率身会封闭方程（形变
率速度关系封闭方程）呃呆呄方程中会出现形变率项11畓符号表示形变率
：
畓 吽


Sxx Sxy Sxz
Syx Syy Syz
Szx Szy Szz

 吨吲吮吷吵吩
性流体形变率吹分量吶独立：
Sxy 吽 SyxSxz 吽 SzxSyz 吽 Szy 吨吲吮吷吶吩
然存异性流体聚合物流体研究会导致问题更加复杂学
中位学会发现模型性假定出发形变率进步表示速度
方程：
畓 吽


1
2
∂u1
∂x 含 ∂u1
∂x

1
2
 ∂u1
∂y 含 ∂u2
∂x
 1
2
∂u1
∂z 含 ∂u3
∂x


1
2
 ∂u2
∂x 含 ∂u1
∂y
 1
2
 ∂u2
∂y 含 ∂u2
∂y
 1
2
 ∂u2
∂z 含 ∂u3
∂y

1
2
∂u3
∂x 含 ∂u1
∂z

1
2
 ∂u3
∂y 含 ∂u2
∂z
 1
2
∂u3
∂z 含 ∂u3
∂z




吨吲吮吷吷吩
写成矢量形式：
畓 吽 吱
吲
∇畕 含 ∇畕T
吨吲吮吷吸吩
明显方程吨吲吮吷吷吩写成畓畕关系
牛顿流体定义剪切应力形变率线性关系进步考虑压缩流体（忽略体膨
张率）：
τ 吽 吲µ畓 吽 µ ∇畕 含 ∇畕T
吨吲吮吷吹吩
11S符号限体积法中更倾定义面矢量吲吮吵 动量方程 吲吵
中µ粘度物理属性方程吨吲吮吷吹吩代入方程吨吲吮吷吳吩中中τ速度表示出进
封闭（中密度ρ掉）：
∂畕
∂t 含 ∇ · 吨畕畕吩 吽 −吱
ρ∇p 含 ∇ · ν ∇畕 含 ∇畕T

吨吲吮吸吰吩
中ν 吽 µ
ρ 方程吨吲吮吸吰吩中∇ · ν ∇畕 含 ∇畕T

量文献中写∇ · 吨ν∇畕吩面
什首先12
∇畕 吽


∂u1
∂x
∂u2
∂x
∂u3
∂x
∂u1
∂y
∂u2
∂y
∂u3
∂y
∂u1
∂z
∂u2
∂z
∂u3
∂z

 吨吲吮吸吱吩
转置操作
∇畕T 吽


∂u1
∂x
∂u1
∂y
∂u1
∂z
∂u2
∂x
∂u2
∂y
∂u2
∂z
∂u3
∂x
∂u3
∂y
∂u3
∂z

 吨吲吮吸吲吩
然求散度13
∇ · 吨∇畕T吩 吽 ∇ ·


∂u1
∂x
∂u1
∂y
∂u1
∂z
∂u2
∂x
∂u2
∂y
∂u2
∂z
∂u3
∂x
∂u3
∂y
∂u3
∂z

 吽


∂
∂x
∂u1
∂x

含 ∂
∂y
∂u2
∂x

含 ∂
∂z
∂u3
∂x


∂
∂x
 ∂u1
∂y
 含 ∂
∂y
 ∂u2
∂y
 含 ∂
∂z
 ∂u3
∂y

∂
∂x
∂u1
∂z

含 ∂
∂y
∂u2
∂z

含 ∂
∂z
∂u3
∂z



 吽 吰 吨吲吮吸吳吩
标量a
∂
∂y
∂a
∂x

吽 ∂
∂x
∂a
∂y

吨吲吮吸吴吩
动量方程吨吲吮吸吰吩写
∂畕
∂t 含 ∇ · 吨畕畕吩 吽 −吱
ρ∇p 含 ∇ · 吨ν∇畕吩 吨吲吮吸吵吩
封闭方程展开吳方程存未知项速度畕压力p吴未知量求解
压缩流体τ表示14
τ 吽 µ ∇畕 含 ∇畕T
− 吲
吳µ 吨∇ · 畕吩 畉 − 吲
吳ρk畉 吨吲吮吸吶吩
中− 2
3 ρk压力p进行整合：
呾p 吽 p 含 吲
吳ρk 吨吲吮吸吷吩
完整动量方程
∂ρ畕
∂t 含 ∇ · 吨ρ畕畕吩 吽 −∇呾p 含 ∇ ·

µ ∇畕 含 ∇畕T
− 吲
吳µ 吨∇ · 畕吩 畉

吨吲吮吸吸吩
12值注意∇U定义唯流体力学中通常采取文定义
13x分量例连续性方程
∂u1
∂x + ∂u2
∂y + ∂u3
∂z 0

∂
∂x
 ∂u1
∂x

+ ∂
∂y
 ∂u2
∂x

+ ∂
∂z
 ∂u3
∂x

∂
∂x
 ∂u1
∂x

+ ∂
∂x
 ∂u2
∂y

+ ∂
∂x
 ∂u3
∂z

∂
∂x
 ∂u1
∂x + ∂u2
∂y + ∂u3
∂z

0
14参考相关讨压缩湍流模型传输方程需进行调整例湍流动传输方程(121)存∇U τ中τ压缩情况
存− 2
3 ρkI吲吶 第二章 流体呎吭呓方程
注意中∇畕T化简压缩流体∇ · 畕 6吽 吰
学应该仔细观察动量方程吳分量方程观察矢量形式散度梯度算法分量形式
方程应做动量方程陌生恐惧种偏导数放起具体通
限体积法离散数值格式算法稳定性等容呇呃呆呄课程介绍
255 积分观点
动量定义质量速度积动量体积ρu表示动量密度考虑维区域
吨x1 x2吩区间范围动量表示：
Z x2
x1
ρu呤x 吨吲吮吸吹吩
变化率表示：
呤
呤t
Z x2
x1
ρu呤x 吨吲吮吹吰吩
吨x1 x2吩动量变化率取决流入流出通量表示动量通量？参考质量通量定义
质量通量密度速度积动量通量动量密度速度积ρuu外压力
会引致动量变化ρuu 含 p表示动量通量吨x1 x2吩流入减流出通量
− 吨ρuu 含 p吩|x2
x1
吨吲吮吹吱吩
结合方程吨吲吮吹吰吩
呤
呤t
Z x2
x1
ρu呤x 吽 − 吨ρuu 含 p吩|x2
x1
吨吲吮吹吲吩
式积分观点推导维动量方程
果进步假定ρuu 含 p光滑方程吨吲吮吹吲吩写：
呤
呤t
Z x2
x1
ρu呤x 吽 −
Z x2
x1
呤
呤x吨ρuu 含 p吩呤x 吨吲吮吹吳吩
进步操作 Z x2
x1
呤ρu
呤t 含 呤
呤x吨ρuu 含 p吩

吽 吰 吨吲吮吹吴吩

呤ρu
呤t 含 呤
呤x吨ρuu 含 p吩 吽 吰 吨吲吮吹吵吩
方程吨吲吮吹吵吩考虑剪切变形（τ非角线元素吰）维动量方程节呈现种动量方
程推导形式更展现积分角度推导动量方程思想
里需注意积分形式方程微分形式方程重区积分形式方程吨吲吮吹吲吩
控制体出现间断数学没求积分函数出现间断微分形式方程吨吲吮吹吵吩
求函数连续（文中引入假定ρuu含p光滑）否导积分形式呃呆呄方程更加基础更
加普适性时网格变形情况动满足体积守恒方程积分形式呃呆呄方程适种
网格形状积分形式方程放积分形式方程中会出现面积分例
三维连续性方程写
呤
呤t
Z
V
ρ呤V 含
Z
Sf
ρf 畕f 呤畓f 吽 吰 吨吲吮吹吶吩
起初学者友吲吮吶 学求思考 吲吷
26 学求思考
述容完整详细推普适性呃呆呄基控制方程：呎吭呓方程呇呃呆呄课堂中进步
讲解呎吭呓方程数值离散读者应该牢记连续性方程动量方程终形式：
∂ρ
∂t 含 ∇ · 吨ρ畕吩 吽 吰 吨吲吮吹吷吩
∂ρ畕
∂t 含 ∇ · 吨ρ畕畕吩 吽 −∇p 含 ∇ · τ 吨吲吮吹吸吩
读者应该清楚方程吨吲吮吹吷吩第项第二项表示什物理意义吨吲吮吹吸吩第项第二项第三项第
四项表示什物理意义时项数学推导程致印象呎吭呓方程量算法根基例
直接模拟呄呎呓调高阶格式直接求解呎吭呓方程相流呖呏呆模型呎吭呓方程基础添加
表面张力等体积力（体积力方程中体现？方程侧？）欧拉拉格朗日算法连续
性方程呎吭呓方程描述颗粒相拉格朗日算法描述湍流模型通数值方法增加方程
粘度易收敛（粘度方程中里体现？）牛顿流体假定恒定粘度项非牛顿流体
流动粘度表示变变量相变程相分数方程速度方程添加源项实现等
然基呎吭呓方程进行种模型演变离散求解中问题会演变
发散例粘度会导致方程刚性附加体积力梯度项导致数值震荡附
流线流项会导致较数值耗散外处理温度吰情况？什情况湍流粘度
？湍流模型参数否改动？速度压力迭代次数否减少提高效率？什模拟程中
法算出湍流？计算中参数数值什意义？容属呃呆呄算法研究
容
里读者重新翻笔记前言部分进步解呎吭呓方程更加奇妙数值特性吲吸 第二章 流体呎吭呓方程第三章 拓展容
章容需参加呇呃呆呄课程学员掌握仅做介绍激发兴趣理解
31 变量界性
某传输变量具备界特征体积分数α严格介吰吱间密度严格吰
离散程中高阶格式会产生越界解会带收敛问题考虑波传输方程
∂α
∂t 含 畕 · ∇α 吽 吰 吨吳吮吱吩
中畕表示传输速度解α严格界求解传输方程时候方程吨吳吮吱吩优先选择方
程吨吳吮吱吩非守恒形式存通量函数1方程吨吳吮吱吩离散求解时候通常改写
∂α
∂t 含 ∇ · 吨畕α吩 − α∇ · 畕 吽 吰 吨吳吮吲吩
存速度散度解决通量函数存问题时然连续性方程∇ · 畕 吽 吰意味着
第三项忽略求解
∂α
∂t 含 ∇ · 吨畕α吩 吽 吰 吨吳吮吳吩
稳态算法迭代步中∇ · 畕 6吽 吰求解方程吨吳吮吲吩保证变量界外瞬态算
法保证时间步收敛（∇ · 畕 − 吰降低压力残差）直接求解方程吨吳吮吳吩
需界变量讲求解方程吨吳吮吲吩时调界离散格式（呶呡呮呌呥呥呲格式）保证变
量界
述理通开源呃呆呄软件呏呰呥呮呆呏呁呍进行测试验证呏呰呥呮呆呏呁呍中稳态算例中
流项离散格式需添加bounded关键词例湍流动流项指定2
div(phik) bounded Gauss upwind
意味着求解方程吨吳吮吲吩形式瞬态算例某变量样指定3
div(phis) bounded Gauss limitedLinear 1
意味着求解方程吨吳吮吲吩形式某变量（速度）指定
div(phiU) Gauss LUST grad(U)
意味着求解方程吨吳吮吳吩形式表示没速度进行严格界处理湍流动通求解方
程吨吳吮吳吩形式处理界性通bound函数保证
1考虑i网格点U· ∇α进行离散离散时Ui + 1
2 i − 1
2 具值时i + 1
2 i − 1
2 面积应该具值
进口面积较出口面积较计算域必然进口速度出口速度方程(31)直接离散体现面积影响
2tutorialsincompressiblesimpleFoammotoBike
3tutorialsincompressiblepisoFoamLESpitzDaily
吲吹吳吰 第三章 拓展容
实际测试中相方程吨吳吮吳吩方程吨吳吮吲吩然改善然严格保证变量界
种情况需更高级处理方式进行反扩散高阶格式
32 守恒非守恒守恒变量原始变量
间断解求解控制方程算法说种挑战吲吮吵吮吳节描述守恒非守恒方程转化关
系吲吮吵吮吵节讨积分形式控制方程什称守恒形式非守恒形式？物理
数学形式什意义？方程什区分积分形式微分形式？原始变量守恒变量求
解更优？
数学角度讲果考虑x方动量导数网格图吳吮吱示字母表示网格单元编号数字
表示面编号呂网格点动量ρu守恒变量进行限体积法离散：
Z 2
1
∂ρu
∂x 呤x 吽 吨ρu吩2 − 吨ρu吩1 吨吳吮吴吩
呁呂呃网格点进行离散加：
Z 1
0
∂ρu
∂x 呤x 含
Z 2
1
∂ρu
∂x 呤x 含
Z 3
2
∂ρu
∂x 呤x 吽 吨ρu吩1 − 吨ρu吩0 含 吨ρu吩2 − 吨ρu吩1 含 吨ρu吩3 − 吨ρu吩2
吽 吨ρu吩3 − 吨ρu吩0 吽
Z 3
0
∂ρu
∂x 呤x 吨吳吮吵吩
加边界通量影响部点互相约通量永远守恒进少
出少 相反动量ρu守恒变量拆分原始变量ρ u时进行限体积法离散：
A B C
0 1 2 3
图 31 维限体积网格
Z 2
1
∂ρu
∂x 呤x 吽
Z 2
1

u∂ρ
∂x 含 ρ∂u
∂x

呤x 吽 呾u吨ρ2 − ρ1吩 含 呾ρ吨u2 − u1吩 吨吳吮吶吩
中面呾u 呾ρ需计算格式应结果果定义网格均值时呁
呂呃网格点进行离散加：
Z 1
0

u∂ρ
∂x 含 ρ∂u
∂x

呤x 含
Z 2
1

u∂ρ
∂x 含 ρ∂u
∂x

呤x 含
Z 3
2

u∂ρ
∂x 含 ρ∂u
∂x

呤x 吽
uA吨ρ1 − ρ0吩 含 ρA吨u1 − u0吩 含 uB吨ρ2 − ρ1吩 含 ρB吨u2 − u1吩 含 uC吨ρ3 − ρ2吩 含 ρC吨u3 − u2吩 吨吳吮吷吩
明显方程吨吳吮吷吩右边够互相约非守恒
物理意义讲守恒法守恒变量方程表示真正守恒方程原始变量方程表
示虚假守恒方程例考虑维欧拉方程守恒变量方程表示：
∂ρ
∂t 含 ∂ρu
∂x 吽 吰
∂ρu
∂t 含 ∂ρuu
∂x 吽 吰
吨吳吮吸吩吳吮吳 动理学方程矩方程呎吭呓方程 吳吱
动量方程展开：
∂ρ
∂t 含 u∂ρ
∂x 含 ρ∂u
∂x 吽 吰
∂ρu
∂t 含 ∂ρuu
∂x 吽 u∂ρ
∂t 含 ρ∂u
∂t 含 u∂ρu
∂x 含 ρu∂u
∂x 吽 吰
吨吳吮吹吩
结合连续型方程写原始变量方程：
∂ρ
∂t 含 ∂ρu
∂x 吽 吰
∂u
∂t 含 ∂ 1
2 uu
∂x 吽 吰
吨吳吮吱吰吩
方程吨吳吮吸吩吨吳吮吱吰吩出二者表示守恒法前者表示质量动量守恒者表示质
量速度守恒速度守恒变量方程吨吳吮吱吰吩表示种虚假守恒状
态数学程严谨方程吨吳吮吱吰吩否求解呢？答案解光滑存
间断虚假守恒方程会预测结果
33 动理学方程矩方程NS方程
正前言中指出呎吭呓方程描述流动底层形式更底层数学模型玻尔兹曼
方程领域称呼例群体衡模型研究领域称普适性群体衡模型
空气动力学领域称动理学方程喷雾燃烧领域称威廉玻尔兹曼方程三维玻尔兹
曼方程写
∂f
∂t 含 ∇x · 吨畕f吩 含 ∇U· 吨畁f吩 吽 C 吨吳吮吱吱吩
中ff吨t 畸 畕吩表示关气体分子速度分布函数畕表示气体分子速度畁表示受力引起
加速项C表示碰撞项维形式玻尔兹曼方程写
∂f吨u吩
∂t 含 ∂uf吨u吩
∂x 含 ∂Af吨u吩
∂u 吽 C 吨吳吮吱吲吩
中u表示速度x方分量A表示畁x方分量果考虑加速项碰撞项维玻尔兹曼
方程降级形式：
∂f吨u吩
∂t 含 ∂uf吨u吩
∂x 吽 吰 吨吳吮吱吳吩
里引入矩概念里讨矩统计学中矩f吨u吩描述空气分子运动关速
度u概率密度函数f吨u吩具矩低阶矩存定物理意义例f吨u吩吰阶矩表示
密度：
m0 吽
Z
f吨u吩呤u ≡ ρ 吨吳吮吱吴吩
f吨u吩吱阶矩表示动量：
m1 吽
Z
f吨u吩u呤u ≡ ρ吖u 吨吳吮吱吵吩
吲阶矩：
m2 吽
Z
f吨u吩u呤u2 ≡ ρ吖u吖u 吨吳吮吱吶吩吳吲 第三章 拓展容
中吖u表示气体分子运动均速度方程吨吳吮吱吳吩取矩
∂tm0 含 ∂xm1 吽 吰
∂tm1 含 ∂xm2 吽 吰
吨吳吮吱吷吩
矩定义方程吨吳吮吱吷吩
∂tρ 含 ∂xρ吖u 吽 吰
∂tρ吖u 含 ∂xρ吖u吖u 吽 吰
吨吳吮吱吸吩
方程吨吳吮吱吸吩中分应连续性方程压力粘性力动量方程整方程系统称压力气体
动力学方程矩方法研究领域称二阶矩模型呛吴呝呎吭呓方程做种二阶矩模型
压力气体动力学方程描述低温等离子体宇宙中稀薄气体等
图 32 通开源CFD软件OpenFOAM模拟粘弹性流体两相流[5]
34 非牛顿流体
文讨均假定流体牛顿流体流体粘度常数（剪切应力形变率值定值）剪
切应力越形变速度呈现例变化方程吨吲吮吷吹吩中µ定值非牛顿流体中µ表示
时空关变量非牛顿流体日常生活中非常常见果酱洗洁精血液泥浆蛋清
等举例淀粉溶液轻轻搅动时候较易快速搅动时候较难淀粉溶液粘度剪切
应力呈现非线性关系剪切应力越粘度越高形变率越慢越难搅动非牛顿流体
标准进行区分剪切变稀流体粘度着剪切应力增加降低剪切增稠流体粘度着
剪切应力增加增加宾汉流体剪切力定值情况呈现固体特性粘弹性流体
粘度具备粘性时具备固体类似弹性吳吮吵 呌呁呐呌呁呃呉呁呎吨φ吩 吽 呄呉呖吨呇呒呁呄吨φ吩吩吿 吳吳
呃呆呄中牛顿流体动量方程中剪切应力τ通方程吨吲吮吷吹吩转变畕项进封闭
较简单非牛顿流体中（宾汉流体）通µ表示关时空函数进行计算植入
复杂非牛顿流体中（粘弹性流体呇呩呥味呥呫呵味模型）需植入τ传输方程然求解散度
项中代入动量方程中进行显性离散计算
35 laplacian(φ) div(grad(φ))
呏呰呥呮呆呏呁呍中扩散项∇ · 吨∇φ吩植入形式
fvclaplacian(psi)
数学形式讲∇ · 吨∇φ吩似写
fvcdiv(fvcgrad(psi))
然方程连续形式离散形式时呏呰呥呮呆呏呁呍创始呈呥呮呲呹 呗呥呬呬呥呲表示：
The consistency issue arises because laplacian uses a compact molecule and grad(div has to
use an extended molecule The only numerically consistent approach is to use the extended
molecule for all three terms but then you loose the advantage of the compact molecule for
laplacian
面证明二者差异
∇ · 吨∇φ吩采拉普拉斯项形式进行离散：
Z
∇ · 吨∇φ吩 呤V 吽
Z
∇φ呤畓 吽 X 吨∇φ吩
f
畓f 吨吳吮吱吹吩
中吨∇φ吩f 离散调味呮呇呲呡呤离散格式调紧致基架点（呃呯呭呰呡呣呴 呓呴呥呮呣呩呬）采散体梯度
形式进行离散：
Z
∇ · 吨∇φ吩 呤V 吽
Z
∇ ·
 吱
吁V
X φf 畓f

呤V 吽 X  吱
吁V
X φf 畓f

f
畓f 吨吳吮吲吰吩
中φf 调呧呲呡呤离散格式 1
∆V
P φf 畓f


f 调呤呩呶离散格式整体形成非紧致基架点（呎呯呮吭呣呯呭呰呡呣呴
呓呴呥呮呣呩呬）俩种形式区维形式更理解考虑 ∂
∂x
∂φ
∂x 采中心格式拉普拉斯形式离散
Z ∂
∂x
∂φ
∂x呤V 吽
∂φ
∂x


w − ∂φ
∂x


e
吁x 吁x吁y吁z 吽 φW 含 φE − 吲φP
吁x 吁y吁z 吨吳吮吲吱吩
采中心格式散体梯度形式进行离散：
Z ∂
∂x
∂φ
∂x呤V 吽
Z ∂
∂x
φW +φP
2 − φP +φE
2

吁y吁z
吁x吁y吁z

呤V 吽
Z ∂
∂x
φW − φE
吲吁x

呤V
吽 φWW 含 φEE − 吲φP
吴吁x 吁y吁z 吨吳吮吲吲吩
明显方程吨吳吮吲吱吩调相邻网格点方程吨吳吮吲吲吩调更远网格点会引起震荡
时正呈呥呮呲呹 呗呥呬呬呥呲说呎吭呓方程中压力方程存压力p拉普拉斯项采拉
普拉斯形式进行离散时候保证调紧致基架点防止震荡吳吴 第三章 拓展容参考文献
呛吱呝 济学数学系吮 高等数学吮 高等教育出版社听 吲吰吰吷吮
呛吲呝 约翰吮安德森吮 计算流体力学基础应吮 机械工业出版社听 吲吰吰吷吮
呛吳呝 呇吮呁吮 呂呩呲呤吮 呍呯呬呥呣呵呬呡呲 呧呡味 呤呹呮呡呭呩呣味吮 NASA STIRecon Technical Report A听 吷吶听 吱吹吷吶吮
呛吴呝 呃吮 呃周呡呬呯呮味听 呄吮 呋呡周听 呡呮呤 呍吮 呍呡味味呯呴吮 呂呥呹呯呮呤 呰呲呥味味呵呲呥呬呥味味 呧呡味 呤呹呮呡呭呩呣味吺 呱呵呡呤呲呡呴呵呲呥吭呢呡味呥呤 呶呥呬呯呣呩呴呹
呭呯呭呥呮呴 呭呯呤呥呬味吮 arXiv preprint arXiv10112974听 吲吰吱吰吮
呛吵呝 告吮呌吮 呆呡呶呥呲呯听 呁吮呒吮 呓呥呣呣周呩听 呎吮呓吮呍吮 呃呡呲呤呯呺呯听 呡呮呤 呈吮 告呡味呡呫吮 呖呩味呣呯呥呬呡味呴呩呣 名呵呩呤 呡呮呡呬呹味呩味 呩呮 呩呮呴呥呲呮呡呬
呡呮呤 呩呮 呦呲呥呥 味呵呲呦呡呣呥 名呯呷味 呵味呩呮呧 呴周呥 味呯呦呴呷呡呲呥 呏呰呥呮呆呏呁呍吮 Computers & chemical engineering听
吳吴吺吱吹吸吴呻吱吹吹吳听 吲吰吱吰吮
呛吶呝 呒吮告吮 呌呥呖呥呱呵呥吮 Finite volume methods for hyperbolic problems吮 呃呡呭呢呲呩呤呧呥 呵呮呩呶呥呲味呩呴呹 呰呲呥味味听 吲吰吰吲吮
呛吷呝 呄吮呌吮 呍呡呲呣周呩味呩呯 呡呮呤 呒吮呏吮 呆呯呸吮 Computational models for polydisperse particulate and multiphase
systems吮 呃呡呭呢呲呩呤呧呥 呕呮呩呶呥呲味呩呴呹 呐呲呥味味听 吲吰吱吳吮
呛吸呝 呈吮 呓呴呲呵呣周呴呲呵呰吮 Macroscopic transport equations for rarefied gas flows吮 呓呰呲呩呮呧呥呲听 吲吰吰吵吮
呛吹呝 呄吮呃吮 呗呩呬呣呯呸吮 Turbulence modeling for CFD吮 呄呃呗 呩呮呤呵味呴呲呩呥味 呌呡 呃呡呮呡呤呡听 呃呁听 吱吹吹吸吮
呛吱吰呝 呋吮 员呵吮 呁 呧呡味吭呫呩呮呥呴呩呣 呂呇呋 味呣周呥呭呥 呦呯呲 呴周呥 呎呡呶呩呥呲呻呓呴呯呫呥味 呥呱呵呡呴呩呯呮味 呡呮呤 呩呴味 呣呯呮呮呥呣呴呩呯呮 呷呩呴周 呡呲呴呩呣呩呡呬
呤呩味味呩呰呡呴呩呯呮 呡呮呤 呇呯呤呵呮呯呶 呭呥呴周呯呤吮 Journal of Computational Physics听 吱吷吱吺吲吸吹呻吳吳吵听 吲吰吰吱吮
吳吵吳吶 参考文献附录：OpenFOAM模型速查
RANS湍流模型4
kEpsilon
∂αρε
∂t + ∇ · (αρUε) − ∇ · (αρDε∇ε) C1αρG ε
k −
2
3C1 − C3RDT

αρε∇ · U

− C2αρ ε
k ε + Sε
∂αρk
∂t + ∇ · (αρUk) − ∇ · (αρDk∇k) αρG − 2
3αρ∇ · Uk − αρ 
k k + Sk
G νt

∇U + ∇UT − 2
3(∇ · U)I

∇U νt Cµ
k2
 Cµ 009C1 144C2 192C3RDT 0
σk 1 σε 13Dk νt
σk
+ ν Dε νt
σε
+ ν
RNGkEpsilon
∂αρk
∂t + ∇ · (αρUk) − ∇ · (αρDk∇k) αρG − 2
3αρ∇ · Uk − αρ 
k k + Sk
∂αρε
∂t + ∇ · (αρUε) − ∇ · (αρDε∇ε) (C1 − R) αρG ε
k −
2
3C1 − C3RDT

αρ∇ · Uε

− C2αρ ε
k ε + Sε
S2

∇U + ∇UT − 2
3(∇ · U)I

∇UG νtS2 η
p|S2|k
ε η3 η3R η (−ηη0 + 1)
βη3 + 1 νt Cµ
k2

Cµ 00845C1 142C2 168 η0 438C3RDT 0 σk 071942 σ 071942 β 0012
Dk νt
σk
+ ν Dε νt
σ + ν
realizableKE
∂αρk
∂t + ∇ · (αρUk) − ∇ · (αρDk∇k) αρG − 2
3αρ∇ · Uk − αρ 
k k + Sk
∂αρε
∂t + ∇ · (αρUε) − ∇ · (αρDε∇ε) C1αρ
√
S2ε − C2αρε
k + √νεε + Sε
S2 2

∇U + (∇U)T
2 − 1
3(∇ · U)I

2
η
√S2k
ε G νt

∇U + ∇UT − 2
3(∇ · U)I

∇U
S ∇U + ∇UT
2 − 1
3 (∇ · U)IW 2
√
2((S·S)S)
S32
2
φs 1
3acos min max 612W −1 1
As 612cosφsC1 max
 η
5 + η 043

Us
S2
2 +

∇U − ∇UT
2

2 1
2
A0 4C2 19 σk 1 σ 12Dk νt
σk
+ ν Dε νt
σ + ν νt

A0 + AsUsk
ε
−1
LaunderSharmaKE
∂αρε
∂t + ∇ · (αρUε) − ∇ · (αρDε∇ε) C1αρG ε
k −
2
3C1 − C3RDT

αρ∇ · Uε

− C2f2αρ ε
k ε + αρE + Sε
4srcTurbulenceModelsturbulenceModelsRAS节模型均属OpenFOAM70版
吳吷吳吸 附录：呏呐呅呎呆呏呁呍模型速查
∂αρk
∂t + ∇ · (αρUk) − ∇ · (αρDk∇k) αρG − 2
3αρ∇ · Uk − αρ + D
k k + Sk
G νt

∇U + ∇UT − 2
3(∇ · U)I

∇UE 2ννt |∇∇(U)|2 f2 1 − 03 exp

− min
k2
νε
2
50

D 2ν ∇(
√
k)
2
fµ exp
−34
1 + k
50νε

2

νt Cµfµ
k2
ε
Cµ 009C1 144C2 192C3RDT 0 σk 1 σε 13Dk νt
σk
+ ν Dε νt
σε
+ ν
LRR
∂αρε
∂t + ∇ · (αρUε) − ∇ · (αρDεeff ∇ε) Cε1αρG ε
k − Cε2αρ ε
k ε
∂αρR
∂t + ∇ · (αρUR) − ∇ · (αρDReff ∇R) + C1αρ ε
k R αρP −
2
3 (1 − C1)I

αρε − C2αρ

P − 1
3tr(P)I

P −(R· ∇U + (R· ∇U)T) k 05 (Rxx + Ryy + Rzz)G 05|Pxx + Pyy + Pzz|
Dεeff Cε
k
ε R + νIDReff Cs
k
ε R + νI
Cµ 009C1 18C2 06Cε1 144Cε2 192Cs 025Cε 015
SSG
∂αρR
∂t + ∇ · (αρUR) − ∇ · (αρDReff ∇R) +
C1ε + C1sG
2
αρ
k

R
αρP − (((2 − C1)ε − C1sG) αρ) 1
3I + C2αρε

b · b − 1
3tr(b · b)I

+ αρk (C3 − C3s|b|)

S − 1
3tr(S)I

+ C4αρk

b ·S + (b ·S)T − 2
3tr(b ·S)I

+ C5αρk b ·Ω + (b ·Ω)T 
∂αρε
∂t + ∇ · (αρUε) − ∇ · (αρDεeff ∇ε) Cε1αρG ε
k − Cε2αρ ε
k ε
P −(R· ∇U + (R· ∇U)T) k 05 (Rxx + Ryy + Rzz)Ω ∇U − ∇UT
2 S ∇U + ∇UT
2
b R − 1
3 tr(R)I
2k G 05|Pxx + Pyy + Pzz|Dεeff Cε
k
ε R + νIDReff Cs
k
ε R + νI
Cµ 009C1 34C1s 18C2 42C3 08C3s 13
C4 125C5 04Cε1 144Cε2 192Cs 025Cε 015
SpalartAllmaras
∂αρ˜ν
∂t + ∇ · (αρU˜ν) − ∇ · (αρD˜ν ∇˜ν) − Cb2
σνt
αρ|∇˜ν|2 Cb1αρ˜ν ˜S − Cw1αρfw( ˜S)˜ν
y2 ˜ν
fw( ˜S) g
 1 + C6
w3
g6 + C6
w3
 1
6
g r + Cw2 r6 − r
χ ˜νt
ν Ω
√
2

∇U − ∇UT
2
 νt ˜νt
χ3
χ3 + C3
v1
˜S max


Ω +

1 − χ
1+χ χ3
χ3+C3
v1

˜νt
(κy)2 CsΩ


r min
 ˜νt
˜S(κy)2
10

D˜ν ˜νt + ν
σνt
σνt 0666666 κ 041Cb1 01355
Cb2 0622Cw1 Cb1
κ + 1 + Cb2
σνt
Cw2 03Cw3 2Cv1 71Cs 03
kOmega
∂αρk
∂t + ∇ · (αρUk) − ∇ · (αρDk∇k) αρG − 2
3αρ∇ · Uk − Cµαρωk + Sk吳吹
∂αρω
∂t + ∇ · (αρUω) − ∇ · (αρDω∇ω) γαρGω
k − 2
3γαρ∇ · Uω − βαρω2 + Sω
G νt

∇U + ∇UT − 2
3(∇ · U)I

∇U νt k
ω Cµ 009 β 0072 αk 05 αω 05 γ 052
Dk αkνt + ν Dε αωνt + ν
kOmegaSSTSAS k − ω SST模型添加ω方程源项：
Sω αρω min

max

ζ2κS2
 L
Lvk
2
− 2C
σφ
k max
|∇ω|2
ω |∇k|2
k

0

ω
01∆t

Lvk max
κ√S2
|∇ · (∇U)|Cs
s κζ2
ββ∗ − γ ∆

L
√
k
β∗025ω
Cs 011 κ 041 ζ2 351 σφ 2
3C 2 ∆ ∆x∆y∆z13
v2f
∂αρε
∂t + ∇ · (αρUε) − ∇ · (αρDε∇ε) Cε1αρ G
T s −
2
3Cε1 + Cε3

αρ∇ · Uε

− Cε2α ρ
T sε + Sε
∂αρk
∂t + ∇ · (αρUk) − ∇ · (αρDk∇k) αρG − 2
3αρ∇ · Uk − αρ 
k k + Sk
− ∇ · (∇f) − 1
L2
f − 1
L2k (vfα − C2G)
∂αρv2
∂t + ∇ · (αρUv2) − ∇ · (αρDk∇v2) αρ min (kf C2G − v2α) − Nαρ ε
k v2
Cε1 14

1 + 005 min
r k
v2
100

L2 Ls
2 T s max
k
ε 6
rν
ε

Ls Cl max
k15
ε Cη
ν3
ε
025
S2 2

∇U + ∇UT
2 − 1
3(∇ · U)I

2
v2α 1
T s

(C1 − N)v2 − 2
3k(C1 − 1)

νt min
Cµkεk2
ε Cµv2T s

Dk νt
σk
+ ν Dε νt
σε
+ ν N 6Cµ 022Cµkε 009C1 14C2 03Cl 023
Cη 70Cε2 19Cε3 −033 σk 1 σε 13
LamBremhorstKE5
∂ε
∂t + ∇ · (Uε) − ∇ · (Dε∇ε) Cε1

1 +
005
fµ
3
G ε
k − Cε2
1 − exp −R2
t


ε
k ε
∂k
∂t + ∇ · (Uk) − ∇ · (Dk∇k) G − 
k k
G νt
∇U + ∇UT  ∇U νt Cµfµ
k2
ε Rt k2
νε fµ

1 − exp

−00165
√
ky
ν
2 
1 + 205
Rt

Cµ 009Cε1 144Cε2 192 σε 13Dk νt + ν Dε νt
σε
+ ν
ShihQuadraticKE
∂ε
∂t + ∇ · (Uε) − ∇ · (Dε∇ε) Cε1G ε
k − Cε2
ε
k ε
∂k
∂t + ∇ · (Uk) − ∇ · (Dk∇k) G − ε
k k
G νt
∇U + ∇UT − τn
 ∇US ∇U + ∇UT
2 W ∇U − ∇UT
2 ¯s
√
2k
ε |S|
5srcTurbulenceModelsincompressibleturbulentTransportModelsRAS吴吰 附录：呏呐呅呎呆呏呁呍模型速查
τn k3
ε(Cβ + ¯s2)

Cβ1

S·S − 1
3tr(S·S)I

+Cβ2
S·W + (S·W)T  +Cβ3
W·W + (W·W)T
2 − 1
3tr(W·W)I

¯w
√
2k
ε |W|Cµ 23
Cµ1 + ¯s + Cµ2 ¯w νt Cµ
k2
ε Cε1 144Cε1 192 σk 1
σε 13Cµ1 125Cµ2 09Cβ 1000Cβ1 3Cβ2 15Cβ3 −19Dk νt
σk
+ ν Dε νt
σε
+ ν
qZeta
∂ζ
∂t + ∇ · (Uζ) − ∇ · (Dζ∇ζ) (2C1 − 1)Gζ
q −

(2C2f2 − 1)ζ
q

ζ + E
∂q
∂t + ∇ · (Uq) − ∇ · (Dk∇q) G − ζ
q q
G νt
2q 2

∇U + ∇UT
2

2
E ννt
q |∇∇(U)|2 k q2 ε 2qζ νt Cµfµ
k2
ε f2 1 − 03 exp(−R2
t )
Rt qk
2νζ fµ exp
−6
1 + Rt
50

2

1 + 3 exp
−Rt
10

Cµ 009C1 144C2 192 σζ 13Dq νt + ν Dζ νt
σζ
+ ν
LienLeschziner
∂ε
∂t + ∇ · (Uε) − ∇ · (Dε∇ε) Cε1G ε
k − Cε2f2
ε
k ε + E
∂k
∂t + ∇ · (Uk) − ∇ · (Dk∇k) G − ε
k k
G νt
∇U + ∇UT  ∇URt k2
νε νt Cµfµ
k2
ε fµ 1 + e−Aµy∗
1 − e−Aεy∗ f2 1 − 03e−R2
t
y∗ k2y
ν le κy 1 − e−Aεy∗  E Cε2C075
µ
f2
√
kε
le

e−AE y∗
Dε νt
σε
+ ν
Cε1 144Cε2 192 σk 1 σε 13Cµ 009 κ 041Aν 0016Aε 0263AE 0222Dk νt
σk
+ ν
LienCubicKE
∂ε
∂t + ∇ · (Uε) − ∇ · (Dε∇ε) Cε1G ε
k − Cε2f2
ε
k + Eε
∂k
∂t + ∇ · (Uk) − ∇ · (Dk∇k) G − ε
k k
G νt
∇U + ∇UT − τn
 ∇U y∗ k2y
ν S ∇U + ∇UT
2 W ∇U − ∇UT
2
¯s
√
2k
ε |S| ¯w
√
2k
ε |W|Cµ 23
Cµ1 + ¯s + Cµ2 ¯w νt Cµfµ
k2
ε
τn fµk k2ε2
Cβ + ¯s3

Cβ1

S·S − 1
3tr(S·S)I

+Cβ2
S·W + (S·W)T  +Cβ3
W·W + (W·W)T
2 − 1
3tr(W·W)I

− fµk
Cµk
ε
3
Cγ1|S|2 − Cγ2|W|2
S − fµk
Cµk
ε
3
Cγ4
(S·S)·W + ((S·S)·W)T 
fµ 1 − e−Aµy∗
1 + 2κ
C075µ y∗
f2 1 − 03e−R2
t Rt k2
νεE Cε2C075
µ
f2
√
kε
le

e−AE y∗
le κy
1 + 2κ
C075µ y∗
Cε1 144Cε1 192 σk 1 σε 13Cµ1 125Cµ2 09Cβ 1000Cβ1 3Cβ2 15Cβ3 −19
Cγ1 16Cγ2 16Cγ4 −80Cµ 009 κ 041Dk νt
σk
+ ν Dε νt
σε
+ ν Aν 00198AE 000375吴吱
BuoyantKE6
∂αρε
∂t + ∇ · (αρUε) − ∇ · (αρDε∇ε) C1αρG ε
k −
2
3C1 − C3RDT

αρε∇ · U

− C2αρ ε
k ε + Sε
∂αρk
∂t + ∇ · (αρUk) − ∇ · (αρDk∇k) αρG − 2
3αρ∇ · Uk − αρ 
k k + Sk
G νt

∇U + ∇UT − 2
3(∇ · U)I

∇U νt Cµ
k2
 Cµ 009C1 144C2 192C3RDT 0
Sk −Gck Sε −C1tanh(|v|u)
Gc
ε v g
|g| ·U u
U − g
|g|v
 Gc CgCµαk(g · ∇ρ)ε
σk 1 σε 13Dk νt
σk
+ ν Dε νt
σε
+ ν Cg 1
kOmegaSST7
∂αρk
∂t + ∇ · (αρUk) − ∇ · (αρDk∇k) αρPk(G) − 2
3αρk (∇ · U) − αρβ∗ωk + Sk
∂αρω
∂t + ∇ · (αρUω) − ∇ · (αρDω∇ω)
αργ min
 G
νt
c1
a1
β∗ω max a1ω b1F2
√
S2

− 2
3αργ (∇ · U) ω − αρβω2 − αρ (F1 − 1) CDkω
ω ω + Sω
Dk B(F1 αk1 αk2)νt + ν CDkω 2αω2(∇k · ∇ω)
ω G νt

∇U + ∇UT − 2
3(∇ · U)I

∇U
S2 2

∇U + ∇UT
2

2
Pk(G) min (G C1β∗kω) νt a1k
max a1ω b1F2
√S2

F2 tanh

min

min

max
 2k
β∗ωy 500 ν
ωy2

4αω2k
CDkωy2

100
4
F1 tanh

min

max
 k
β∗ωy 500 ν
ωy2

10
2
Dω B(F1 αω1 αω2)νt + ν ε β∗kω β B(F1 β1 β2) γ B(F1 γ1 γ2)B(a b c) a(b − c) + c
αk1 085 αk2 1 αω1 05 αω1 0856 γ1 5
9
γ2 044 β1 0075 β2 00828 β∗ 009 a1 031 b1 1 c1 10
LES湍流模型8
Smagorinsky9
νt Ck∆pksgsD ∇U + (∇U)T
2 ε Ceksgs
pksgs
∆ Ck 0094Ce 1048
ksgs
−b +
√
b2 + 4ac
2a
2
a Ce
∆ b 2
3(Dxx + Dyy + Dzz) c 2Ck∆ ((D)D)
WALE
νt Ck∆pksgsSd ∇U· ∇U + (∇U· ∇U)T
2 − 1
3tr(∇U· ∇U)ICe 1048
6srcTurbulenceModelscompressibleRAS
7srcTurbulenceModelsturbulenceModelsBase
8srcTurbulenceModelsturbulenceModelsLES
9∆表示截止尺度模型吴吲 附录：呏呐呅呎呆呏呁呍模型速查
ksgs

Cw
∆
Ck
2 |Sd|2
(|∇U + ∇UT |52 + |Sd|54)2 ε Ceksgs
pksgs
∆ Ck 0094Cw 0325
SpalartAllmarasDES
∂αρ˜ν
∂t + ∇ · (αρU˜ν) − ∇ · (αρD˜ν ∇˜ν) − Cb2
σνt
αρ|∇˜ν|2 Cb1αρ ˜S˜ν − Cw1αρfw( ˜S ˜d)˜ν
˜d2
˜ν
fw( ˜S ˜d) g
 1 + C6
w3
g6 + C6
w3
 1
6
g r + Cw2 r6 − r
r min
 ˜ν
˜Sκ2 ˜d2
10

χ ˜ν
ν fv1 χ3
χ3 + C3
v1
fv2 1 − χ
1 + χfv1
S
√
2

∇U + (∇U)T
2
 Ω
√
2

∇U − ∇UT
2
 νt ˜νfv1
˜S max
Ω + fv2 ˜ν
κ2 ˜d2
CsΩ

˜d min (CDES∆ yCDES∆) ksgs
 νt
Ck ˜d
2
σνt 066666 κ 041Ce 1048
Cb1 01355Cb2 0622Cw1 Cb1
κ2 + 1 + Cb2
σνt
Cw2 03Cw3 2Cv1 71Cs 03CDES 065Ck 007
SpalartAllmarasDDES：SpalartAllmarasDES模型基础更改
r min
 ν + νt
|S|κ2 ˜d2
10

˜d y − 1 − tanh (8r)3

(y − CDES∆)
kEqn
∂αρksgs
∂t + ∇ · (αρUksgs) − ∇ · (αρDk∇ksgs) αρG − 2
3αρ∇ · Uksgs − Ceαρksgs
∆ ksgs + Sk
G νt

∇U + ∇UT − 2
3(∇ · U)I

∇U

νt Ck
pksgs∆ ε Ceksgs
pksgs
∆ Ce 1048Ck 0094
dynamicLagrangian10
∂αρlm
∂t + ∇ · (αρUlm) 1
T(Lm − lm)
∂αρmm
∂t + ∇ · (αρUmm) 1
T(Mm − lm)
1
T αρ 1
θ∆(lmmm)18S ∇U + (∇U)T
2 − 1
3(∇ · U)ISf ∇fi(U) + (∇fi(U))T
2 − 1
3(tr(fi(U)))I
L fi(UU) − 1
3tr(fi(UU))I − fi(U)2M 2∆2 (fi(|S|S) − 4|Sf |Sf )L LM
νt lm
mm
∆2

∇U + (∇U)T
2 − 1
3(∇ · U)I
 θ 15
ksgs
2lm
mm
23
C−23
e ∆2

∇U + (∇U)T
2 − 1
3(∇ · U)I

2
dynamicKEqn
∂αρksgs
∂t + ∇ · (αρUksgs) − ∇ · (αρDk∇ksgs) αρG − 2
3αρ∇ · Uksgs − Ceαρksgs
∆ ksgs + Sk
D ∇U + (∇U)T
2 − 1
3(∇ · U)IG 2νt∇UD νt Ck
pksgs∆C0
e (ν + νt) fi(|D|2) − |fi(D)|2

fi  KK15
2∆

LL fi

fi(UU) − 1
3tr(fi(UU))I − fi(U)2
MM fi −2∆
√
KKfi(D) C0
k fi (05LL MM)
fi(|MM|2)
KK 1
2
fi(|U|2) − |fi(U)|2
Ce 1
2(|C0
e| + C0
e)Ck 1
2(|C0
k| + C0
k)Dk νt + ν
曳力模型（欧拉方法）11
10fi()表示滤波函数模型
11applicationssolversmultiphasereactingEulerFoaminterfacialModelsdragModels吴吳
SchillerNaumann
CdRe
(24 1 + 015Re0687
Re < 1000
044Re Re ≥ 1000
Re dd|Ud − Uc|
νc
SyamlalOBrien
CdRe αc
063
√
Re + 48
√
Vr
 V 2
r
Vr 05 A − 006Re + p(006Re)2 + 012Re (2B − A) + A2
A (αc)414B
(08α128
c αc < 085
α265
c αc ≥ 085
Tenneti
CdRe CdReiso + 24α2
c(F0 + F1)
F0 581 αd
αrc3 + 048α13
d
α4c
F1 α3
dRes

095 + 061α3
d
α2c

CdReiso
(24 1 + 015Re0687
s

Res < 1000
044Res Res ≥ 1000
Res αcRe
TomiyamaKataokaZunSakaguchi
CdRe max
24 1 + 015Re0687

Re 8
3
Eo
3Eo + 4

Re
Eo |ρd − ρc||g|d2
d
σ
TomiyamaAnalytic
CdRe 8
3
Eo
16E43 + Eo E23
1−E2
1
F 2 Re
F asin(
√
1 − E2) − E
√
1 − E2
1 − E2
TomiyamaCorrelated
CdRe max

A min 1 + 015Re0687 3
8
3
EoRe
3Eo + 4

WenYu
CdRe (1 − αd)−365
((1 − αd)24 1 + 015Re0687
(1 − αd)Re < 1000
(1 − αd)044Re(1 − αd)Re ≥ 1000
Lain
CdRe



16Re Re < 15
149Re022 15 6 Re < 80
48 1 − 221
Re

80 6 Re < 1500
251Re Re ≥ 1500
IshiZuber
CdRe
(min CdReell 266667Re(1 − αd)2
CdReell ≥ CdRe
CdRe CdReell < CdRe
CdReell 066666EαRe
√
Eo Eα 1 + 1767F 08571428
1867F
F max
 µc
µm
√
1 − αd 0001

Rem µc
µm
Re吴吴 附录：呏呐呅呎呆呏呁呍模型速查
CdRe
(24 1 + 015Re0687
m

Rem < 1000
044Rem Rem ≥ 1000
µm µc (1 − αd 0001)−25 µd+04µc
µd+µc
GidaspowSchillerNaumann
CdRe αc(1 − αd)−265
( 24
1−αd
1 + 015Re0687
(1 − αd)Re < 1000
(1 − αd)044Re(1 − αd)Re ≥ 1000
GidaspowWenYu
CdRe
(CdReWenYu αc ≥ 08
CdReErgun αc < 08
Gibilaro
CdRe 4
3αc
 173
1 − αd
+ 0336Re

(1 − αd)−28
Ergun
CdRe 4
3

1501 − αc
αc
+ 175Re

Beetstra
CdRe 24(1 − αd)(F0 + F1)
F0 10 αd
(1 − αd)2 + (1 − αd)2 (1 + 15√αd)
F1 0413 Res
24(1 − αd)2
1
1−αd
+ 3αd(1 − αd) + 84Re−0343
L
1 + 103αd Re−(1+4αd)2
L
ReL (1 − αd)Re
热物理模型 状态方程12
rhoConst
ρ ρconst
perfectGas
ρ p
RT
perfectFluid
ρ ρ0 + p
RT
linear
ρ ρ0 + ψp
incompressiblePefectGas
ρ p0
RT
icoPolynomial
ρ a0 + a1T + a2T 2 + a3T 3 + a4T 4 + a5T 5 + a6T 6 + a7T 7 + a8T 8
Boussinesq
ρ ρ0(1 − β(T − T0))
Boussinesq
ρ ρ0
 p + B
p0 + B
1γ
12srcthermophysicalModelsspecieequationOfState补充资料
笔记笔者觉简单呃呆呄入门资料部分果旧感觉晦涩难懂里推荐学
高等数学：
•高等数学济学版：第吲章导数启微分部分：呃呆呄控制方程导数微分结合第吳章
第吳节泰勒方程部分：量呃呆呄方程基泰勒方程第吸章量部分：解呃呆呄中矢量
操作第吹章第吷节梯度部分：解呃呆呄中梯度操作第吱吱章第吶节：限体积法中高斯
积分通量
时参加东岳流体呏呰呥呮呆呏呁呍 呋呮呯呷呬呥呤呧呥 呓周呡呲呥课程学推荐学列容获更授课效
果：
•呃含含 呐呲呩呭呥呲 呐呬呵味：第吷吭吸章函数部分：学呏呰呥呮呆呏呁呍中量类需首先解
函数概念第吱吰章类部分：务必详细学呃含含中类第吱吱吭吱吲章类高级法部分：
呏呰呥呮呆呏呁呍中类仅高级类高级需解第吱吳章类
继承部分：呏呰呥呮呆呏呁呍中类均继承法
结尾彩蛋：笔记封面方程双曲系统中重基方程双曲系统相结合推导出m
解耦流方程完整推导：
qt 含 Aqx 吽 吰
A 吽 R−1吃R
w 吽 Rq
wt 含 吃wx 吽 吰
吴吵

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