1

第二章 牛顿运动定律 题解答
21—27 思考题答案略
28 图示质量 20kgm  均匀绳长 10mL  两端分连
接重物 A BA 80kgm  B 50kgm  B 端施 1 8 0 NF 
竖直拉力绳物体运动求距离绳端 x 处绳中张力
()Tx
28 解： AB 绳作整体研究
ABAB()Fmgmgmgmmma
AB
ABAB
()F m m m g Fagm m m m m m
       

距离绳子端长度 x 段绳子物体 A 研究象
AA() xxT xm gmgmmaLL
 

绳中拉力
 A() xTxmmga L

    N9624A
AB
mm x LF xmmm
 
29 水面质量 51kgM  车 D定滑
轮 C通绳滑轮两侧分连质量 1 5kgm  2 4kgm 
物体 A B中物体 A 车水台面物体 B 绳
悬挂接触面滑轮轴均光滑系统处静止时物体关
系图示现系统运动试求：水力 F 作车物体 A
车 D 间相滑动（滑轮绳质量均计绳滑轮间相滑动）
29 解：首先建立 x y 坐标设车 D 受力 F 时连接物体 B 绳子竖直方
成 角系统运动程中 AD 间相滑动时A D 接触面间摩擦
力存画出物体 AB 车 D 受力图示牛顿运动定律
A： xamT 1 ①
B： xamT 2sin  ②
A
B
C
D
题 29 图
x
A
B
F
题 28 图
L
x
A
题 28解 图题 28解 图
()xT
2

0cos 2  gmT  ③
D： xMaTTF  sin ④
联立①②③式解出
2
2
2
1
2
mm
gma x

 ⑤
联立①②④式者 AB D 作整
体解出
 12 xFmmMa 122
22
12
()mmMmg
mm



代入数
784NF 
210 图示条轻绳跨轻质滑轮（滑轮轴间摩擦
忽略）绳端挂质量 1m 物体端穿质
量 2m 圆环试求：圆环相绳恒定加速度 2a 绳
滑动时物体圆环相面加速度少？圆环绳间摩擦
力？
210 解：绳子滑轮质量均忽略计滑轮两边绳中张力相等设 T
圆环受摩擦力数值等绳子张力 题意设 1m 相面加速度
1a 方↓绳子伸长右边绳子面加速度 方↑
设 2m 相面加速度 2a  方↓相运动规律 ABACCBaaa
2 2 1a a a   
1m 2m 分牛顿第二定律
1 1 1m g T m a
2 2 2T m g m a
联立求解
1 2 2 2
1
12
()m m g m aa mm
 

2a
1m
2m
题 210 图
题 29 物体受力分析图
B
2mg
T
C
D
T
TF
2N
Mg

1N
A
1N
1mg
T
y
xO
3

1212
2
12
()mmgmaa mm
  

212
12
(2)gammT mm
 

211 质量 m 汽车车厢车架弹簧作振动竖直
x 轴正方车厢衡位置作坐标原点O运动规律
s i nx A t  式中 A  恒量试求：弹簧车厢支承力
211 解：车厢竖直方受两力作重力 mg ↓弹簧
车厢支承力 N ↑牛顿第二定律
m g N m a N m g m a
题意知车厢加速度
2
2
2
d sind
xaAt t  
弹簧车厢支承力
2 sinNmgmamgmAt 
方
212 质量 m 质点空气中初速落时速度情况阻力 F
速度成正 Fk v 式中 k 常数试求：质点落速度时间变化
关系
212 解：图示质点 m 落程中受重力 mg ↓阻力 k v ↑作落
点坐标原点O竖直 y 轴正方牛顿运动定律
d
dmmgkt v v
式分离变量 d dm tmg k 
v
v

两边时取定积分
00
d dtm tmg k v v
v

积分物体落速度时间函数关系
x
车 厢
题 211 图
mg
kv
题 212 解图
v
4

( 1 )
k tmmg ek

v
213 质量 m 物体面初速 0v 竖直发射物体受空气阻力
rFk v 试求：
（1）物体发射高度需时间
（2）物体达高度
213 解：（ 1）物体发射程中受重力阻力作方均速度方
相反竖直作正方牛顿运动定律
d
dm g k m t   vv ①
式分离变量取定积分时注意物体达高度时 0v
0
0
0
ddt mt mgk v
vv

积分物体达高度需时间
0ln mg kmt k mg
 v
（2）利 dd
ddtyvvv 代入①式 d
dmgkm y vvv
分离变量取定积分：
0
0
0
ddy my mgk v
v vv

物体达高度： 0
0 ln mgkmmgy kkmg

vv
214 质量 m 子弹速度 0v 水射入沙土中设子弹受阻力速度反
速度成正例系数 k 忽略子弹重力影响试求：
（1）子弹射入沙土速度时间变化函数式
（2）子弹进入沙土深度
214 解：（1）忽略子弹重力时子弹进入沙土仅受阻力 k v 牛顿定律
d
dkmt vv
mg
kv
题 213 解图
v
5

式先分离变量取定积分
ddk tmv
v

00
ddt k tmv v
v

解速度时间变化函数式
0e kt mvv
（2）解法： 0
d ed
k tmx
t

v v
分离变量取定积分 000
ded
k txtmxt
v
解射入深度时间函数关系
0 1e
k tmmx k


v
射入深度： 0
max lim
t
mxxk
v
解法二： dddd
dddd
xkmmm txtx vvvvv
ddmx k v
考虑深处速度零式取定积分
max
0
0
0
ddx mx kv
v
深度： max0xmk v
215 已知质量 m 质点 x 轴运动质点受指原点引力作引
力质点离原点距离 x 方成反 2f k x k 例常数设质点 xA
时速度零求质点 4xA 处速度
215 解：根牛顿第二定律
2
dddd
dddd
kxfmmmxtxtx  vvv v
分离变量取定积分
6

2ddk xmxvv 4
20
ddA
A
k xmxv
vv
21413
2
k kmAAmA

v
物体速度
6k
mAv
216 飞机降落时着速度 190km hv 方面行飞机面间摩
擦系数 0 1 0  迎面空气阻力 2
xC v 升力 2
yC v ( v 飞机跑道滑行速度 xC
yC 某两常量)已知飞机升阻 5yxk C C试求：飞机着停止段时间
滑行距离（设飞机刚着时面压力）
216 解：飞机着点坐标原点滑行方 x 轴正方设飞机质量 m
着面飞机支持力 N竖直方
2 0yNCmgv
2
yNmgCv
飞机受面摩擦力
2()yfNmgC v
牛顿运动定律水方
22dd() ddyxmg C C m mtx    vvv v v
分离变量
  2
dd
xy
mx
mg C C


vv
v

题意知： 0x  时 11
0 90 km h25 m svv 滑行距离 xS 时
0v
 0
0
20
ddS
xy
mSx
mg C C

v
vv
v

积分
7

 
  2
0ln
2
xy
xy
mgCCmS mgCC





v
飞机刚着前瞬间受重力等升力： 2
0ym g C v
2
0
y
mgC 
v
2
05
y
x
C mgC k
v

述 yC xC 代入 S 表达式化简然代入数
2
05 1ln2212(1 m5)5S g  
v
217 条质量均匀分布绳子总质量 m总 长度 L
端拴竖直转轴 OO  恒定角速度  水面旋转设
转动程中绳子始终伸直弯忽略重力影响求距离转轴
r 处绳中张力 ()Tr
217 解：距离转轴 r 处取长dr 段绳子质量 dm rL
总 两
端受力图示该段绳子作圆周运动牛顿第二定律
    2 ddd n
mTrTrrm ar r L  总
令       ddTrTrrTr  

2
dd mTrr L
 总
式中： dT 该段绳子受合外力  号表示该段绳子受合外力方
矢径 r 相反指圆心根力叠加原理离轴 r 处绳中张力 r 外段绳
子受合力绝值
   
22
22 dd 2
L
r
mmT rTr rL r LL
总 总
218 质量 m 球水中受浮力常数 F水面静止开始沉降时
受水粘滞阻力 fk v （ k 常数）试求：球水中沉降深度沉降速度
v 函数关系
ω L
题 217 图
r
()Tr (d)Trr ω
L
题 217 解图
8

218 解：球水中沉时受力图示球开始沉降前静止位置（水面）
坐标原点 y 轴正方牛顿运动定律
d d d dd d d d
ymg F k m m mt y t y    v v vvv
式分离变量取定积分
00
ddy my mgFk v v vv

求解积分式球沉降深度沉降速度 v 关系
lnmmgFmgFy kkmgFk
 
vv

219 质量 m 物体系长度 R 绳子端竖直面
绕固定点 O 作圆周运动设 t 时刻物体瞬时速度 v 绳子
竖直方成  角图示
（1）求 t 时刻绳中张力 T 物体切加速度 a
（2）说明物体运动程中 a 方变化？
219 解：（1） t 时刻物体受力图示法
2
cos mT mg Rv
绳中张力
2
cosmTmg R v
切 sinmgma  
切加速度 sinag 
（2） sinag  知 a 数值 正弦函数规律变化（ 规定物体顶点
开始转周回顶点相应  角 0 连续增加 2π ） 0 π  时 0a  表示 a
v 方相 π < π  时 0a  表示 方相反
220 面半径 R 半圆槽质量 m 滑
块静止开始槽边缘 A 点滑入槽图示假设半圆槽
侧光滑试求：
R

O
题 219 图
v
A
B
题 220 图
mg
F
fk v
y
O
y
题218解图
R
O
题 219 解图
v
mg
T
9

（1）滑块滑槽底部 B 点时速率
（2）滑块圆心连线水方成 o30 时滑块槽侧正压力
220 解：（ 1）滑块圆心连线夹角成  时滑块受力图示中： mg
重力 N 槽支持力指圆心利牛顿第二定律切分量式
ddddcos dddd
smgmmm tstR vvv v ①
式分离变量取定积分
00
cosddRg
v
vv
滑块速度
2sinRg v ②
滑块滑槽底部 B 点时 π
2  时速率 2Rgv
（2）利牛顿第二定律法分量式
2
sinNmgm Rv
②式代入：
2
sin+3sinNmgmmg R v
o30  时： 3
2N mg
牛顿第三定律时滑块槽侧正压力 3
2 mg
221 车水面 22msa 匀加速度右运动时高 2m 车顶突
然掉球略空气阻力取重力加速度 210msg 试求
（1）球相车厢加速度方
（2）球车厢板落点距离掉落点水距离
221 解：（1）车参考系显然非惯性系球受
力真实力重力 mg 惯性力 m a 图示球受合力
+mmF a g
A
B
题 220 解图

mg
m a
a

题 221 解图
F
10

合力 22F m g a 
球相车厢加速度
222 102 msaFmga
方 o
22
arccos 114g
ga
 


（2）球离开车顶时计时零点设 t 时刻球落车厢板
21
2h g t 2 0 6 3sht g  
球车厢板落点距离掉落点水距离
21 04m2sat
222 升降机倾角 固定光滑斜面图示升降
机匀加速度 0a 加速升时质量 m 物体 A 斜面滑试升降
机参考系试求
（1）A 相升降机加速度 a
（2）A 相面加速度 a
222 解：加速升升降机非惯性参系取 A 研究象 A 受力：
重力 mg 支持力 N惯性力 0m a 图（a）示物体升降机相斜
面加速度 加速滑非惯性系中牛顿运动定律知垂直斜面方：
0coscos0Nmgma 
斜面方
0sin sinmg ma ma
相升降机加速度
0sinsinaga  
方斜面
（2）相运动中加速度变换式知物体相面加速度a 满足：
0a a a
0a
题 222 图
A

题 222 解图

mg
0ma
N
0a
（a）受力分析图 （b）加速度矢量合成图
0a
a
0aaa

O
y
x
11

面参系中选 O x y 直角坐标系图（b）示 A 面加速度 x y 方
投影分
 cossin)(cos 0agaax 
22
00sin cos sinya a a a g     
A 相面总加速度
22
0( )sin cos ( cos sin )xya a g a a g        a i j i j
223 倾角  圆锥体侧面放质量 m 物体
圆锥体角速度  绕竖直轴匀速转动轴物体间距离
R物体锥体该处保持静止动试转动椎体
参系求出物体锥面间静摩擦系数少少？简单
讨结果
223 解：建立图示坐标转动椎体参系 m 受真实力重力 mg
支持力 N 静摩擦力 sf 受惯性力惯性离心力 2mR 方径外
物体 锥面静止动牛顿定律
水方： 2cos sin 0sf N m R     ①
竖直方： sincos0sfNmg ②
： sfN ③
③式代入①②两式①÷②
2cossin
cossin
R
g


 
解
2
2
sin cos
cos sin
gR
gR
     
 
定  R  值  值否静摩擦力足维持 m 斜面
动
讨： 0 
R
ω

题 223 图
R
ω

题 223 解图
N
mg
sf
2mR
12

0sincos 2   Rg
R
g
2tg  

R
g
2tg   时  物体锥面静止动
224 光滑直杆OA 竖直轴Oz 成 角（ 常数）直杆匀
角速度  绕 轴转动杆质量 m 滑环距 O 点 l 处
直杆相静止图示试 杆参考系求出时杆角速
度 讨滑环否处稳定衡
224 解：(1) 取转动杆 OA 参考系杆环受力：重力
mg 支持力 N 惯性离心力 2 sinF m l   图示环
杆处静止状态三者合力零
竖直方 sin 0N mg  ①
水方 cos0FN   ②
中惯性离心力 ③
解 1cos
sin
g
l
 
(2) 杆垂直 取值影响环杆
运动需考察惯性离心力 F  重力 mg 杆方合力
22
OA sincossincosFFmgmlmg 合（）
衡位置合力零 OA 0F 合（）
现假定环受扰动环杆 A 端产生段位移 Δl 零
 22
OA Δ sin cos 0F m l l mg      合（）
OA 方合力指 A环加速 A 端滑动
反果环 O 端产生段位移 时 < 0
 22
OA Δ sin cos 0F m l l mg      合（）
OA 方合力指 O环会次返回衡位置知环处
衡稳定衡
m

l
O
A
z
ω
题 224 图
m

O
A
z
ω
题 224 解图
mg
N
F

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