高三数学 数圈创新押题卷


    第 1 页 共 6 页 “初等数学笔记”专栏&数圈&数圈 plus 教科研协作体 2020 届高三统一联合考试 数学(理科)创新卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 90 分)两部分 满分 150 分,考试时间 150 分钟 组卷:槿灵兮 命题:各题号后注明 排版:支天命、槿灵兮 后期:王锐腾、Dylaaan、sky、sgn、空亦前移、橘子老君、戴彬滨、末栀、 Awei、Dolphin、Leo、Singular、赤县神州、若只如初见、Clark、寒泉、汐落、陈俊宇、槿灵兮 前言:这套创新卷凝聚着很多人的心血,无论是线上还是线下。从初三的竞赛生到我们的高三应届生, 从大一的学长再到一线教师,这套卷子可谓“来历不简单”,可以说,为了这套创新卷的命制,我找 遍了我周围的大佬圈子,但好在,结果是值得的。这套创新卷的特点是:背景广,角度新,综合多。 在命题时,我们仍然是确保尽量按照高考考点(内容)来设置题,前后历经了几轮修改;可以发现的 是,很多题跳出了我们惯常的思维定式,多很多人来说可能从未接触过,但对我们“初等数学笔记” 专栏熟悉的读者应该会看到很多文章里出现过的东东,这也是我们希望达到的效果——模拟高考创新 题第一次展现在你眼前的感觉。不过,万变不离其宗,抓住每个知识板块的应用和综合,我相信这套 卷子对你应该来说不会特别难。即使很多题目是你写不出来的,我也希望你把这套卷子的答案好好看 一遍,其中绝大部分是我手写的,希望对各位有所帮助和提升! 最后,愿各位知友,关注专栏的同学,“数圈&数圈 plus”的朋友,“Dylaaan 的催更群(x)” 的朋友,“锐腾君的闲话群”的朋友,“philos&math&BanGDream!”的朋友,“H2O 群——老攻教授 学算术”的朋友都能好好珍惜这张创新卷,这是我对于 2020 年高考给大家的一份心意! 祝君好运! ════════════★祝考试顺利★═══════════ 第Ⅰ卷(选择题 满分 60 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上) 1.(槿灵兮)记集合“差集”:C=A-B={x|x∈A,x }。若 U 为全集,则由 C= t , 可知一定没有: A.B B.C C.C D. 2.(槿灵兮)设复数 z 满足 t t ,记 为复数 z 的共轭复数,则 z A.2 B.-2 C.1 D.-1第 2 页 共 6 页 3.(槿灵兮)已知命题 P:ln x ,命题 q: t t t ,则下面四个命题 t 中为真命题的是: A. 若 p,则 q B :若 q,则 p C :若 ¬ ,则 q D. t :若 ¬ ,则 p 4.(槿灵兮)已知 a= , log ,则: A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 5.(槿灵兮)记数列{ 的差分为 Δ t t 对于数列的 n 阶差分记为 Δ Δ t t t Δ t ,若已知 Δ , Δ ,且 为等差数列,则数列{ 的 通项公式为: A. t t t 6.(槿灵兮)在三角学中,为了方便表示一些非特殊角,数学家们常用符号“arc ”加上某个 三角函数符号来表示它对应的反三角函数。例如:     ,)1,1,,0(cos  mm  则 arccos 若 .43 1arccos2,243 6arcsin   则 cos t A. 3 6 B. 3 6 C. 9 34 D. 9 6 7.(槿灵兮)数学家黎曼曾用黎曼球面来扩充复平面,如图,复 平面上有一半径为 2 的黎曼球面,球与复平面切于点 O,球的最 高点为 P,在复平面上任取一点 M,连接 PM,PM 交该球面于一点 Q,这样就建立起了球面上的点与复平面上的点之间的一一对应。 若 M 是一个动点,且线段|PM|=8.连接 OQ,当 M 在运动时,线段 OQ 围成的曲面 ,以及 Q 点轨迹上方的曲面 所构成的几何体的 内切球体积为: A. t t 8.(槿灵兮)毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”,该学派 发展了一些基本的平面几何理论,并在研究“多边形数”时有众 多发现。在研究五边形数时,毕达哥拉斯在石板上计数,用框图 可以表示如下,若最终输出的 i=5,则可填入的 s 的最大值为: A.16 B.17 C.30 D.31第 3 页 共 6 页 9.(槿灵兮)若 6 6 5 5 4 4 3 3 2 210 32 )2( xaxaxaxaxaxaaxax  ,已知 665432 654321  aaaaaa ,则 − t A—2 B.2 C.-3 D.-4 10.(KevinZhao&槿灵兮)已知 xxexf x ln)(  ,若 t 在(0,+∞)上恒成 立,则 k 的最大值为: A.2e-1 B.1 C.e-1 D. t 11.(槿灵兮)在群论中,对于矩阵的变换,我们经常用到置换群。置换是一个一一映射, 它将集合中的某个字母映射到了该集合的某个字母,例如:我们考虑一个三元数集的置换 ,它把 1 映射到了 ,且 , , 不同,{ , , h , , 。记 a∈A={1,2,3,4,5,6,7},对 A 的一次置换 f 可以写成 a→a,若对于置换 f,满足: (1) ,则满足条件的置换 f 有多少个: A.504 B.720 C.830 D.1008 12.(王锐腾-return)在椭圆 t t 内有一点 E(1,1)过点 E 有两条弦 AB,CD。记直 线 AC,BD 的交点为 F,坐标原点为 O,则|OF|最小值为: A. t 第Ⅱ卷(非选择题 满分 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请在答题卷的相应区域答题.............) 13.(“高中数学微专题 666”)已知 x>0,y>0,xy(x-y)=4,则 x+y 的最小值为_______. 14.(一夜秋风起&槿灵兮)李华要上 100 级台阶,他要用上他的大长腿——他一次可以迈 过 1 步、2 步甚至 100 步(一种可行的方案为:走一步,上 100 级台阶,直接登顶)。李华 想知道,如果他决定走 5 步登上这 100 级台阶,那么该情况下的方案数占全体方案数的概率 为________(若数据足够大可以保留数学符号). 15.(《中学数学》)已知 t t ,求 t 的取值 范围__________. 16.(2008 湖南高联)记函数 函数 t t函数 t 的最大值为 则 ⺁ 的最小值为__________.第 4 页 共 6 页 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请. 在答题卷的相应区域答题............第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答【其中对 于第 20 题,若不熟悉射影几何的考生可以选择第 20(1)题,若仍然想挑战第 20(2) 题,可以删去它的第二小问】.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.) 17.(槿灵兮)数学家阿波罗尼斯曾著有《圆锥曲线论》,用纯几何方法探究出了圆锥曲线 的众多性质;他还发现:到两定点的距离的比值为定值的动点的轨迹是一个圆。 (1)在平面上作线段 CD=4,取 CD 中点 E,令 B 为 DE 的中点,以 D 为圆心,DE 长为半 径作圆 D,取直线 BC 外圆 D 上任意一点 A,连接 AB,AE,AC,已知∠ADC= ;若在弧 t 上存在点 P 满足: 数 ∠ t 数 ∠ t t 数 ∠ t ,求∠PAC 的余弦值。 (2)阿波罗尼斯曾发现在三角形内构造直角三角形有助于解一类特殊的三角形:在锐角 Δ 中,D 为 AB 中点,若 2 则 的最小值为? 18.(槿灵兮)数学家在探究两互相垂直的异面直线的性质时,得到了一个优美的平面—— 马鞍面,李华想用小木棍搭出一个马鞍面,于是他先准备画一幅图。李华先画出一个长方体 ABCD- ,底面为边长为 的正方形,高 =1,之后他开始寻找到线段 BD 与线段 距离相等的 P 点的轨迹(在长方形 B 上)。 (1):试说明 P 点轨迹的形状;并设该曲线焦点为 R, 证明: DCARB 11面 ; (2):为了确定马鞍面的具体形状,李华又画出了在长 方形 上到线段 BD 与线段 距离相等的 Q 点的轨 迹。若此时动点 P 恰好在 Q 点的轨迹上,且 Q 点满足∠ t ,为了安装时连接牢固,李华又找了结点 M(即 中点)。 最后,李华开始计算二面角 A-PQ-M 的余弦值的大小。 19.(橘子老君)现有有序点列 t ⺁ t ⺁ t ⺁ ,依次连结该 点列中相邻两点得到折线段 ,为了以该折线段为轮廓构 造出一条光滑曲线,进行如下操作:第 5 页 共 6 页 (i):作出该折线段上所有相邻两点的中点,此操作称为“分割”; (ii):继续作该折线段上所有相邻两点的中点,并以此连结这些中点得到新的折线段,此 操作称为“平均”; (i)、(ii)操作合称为一次“细分”.原折线段进行一次细分操作后,就会得到一条新的折 线段。 若不断对新得到的折线段重复上述操作,即可得到一条光滑曲线,这条曲线被称为 Chaikin 曲线,这一过程被称为曲线细分。 (1):设折线段 在经过 n 次“细分”后得到的曲线 由 个点组成,求 、 ; (2):在(1)的基础上,写出 的通项公式; (3):若将折线段 经过 n 次细分后得到的折线段 所对应的有序点列记作 ),,( )( 2 )( 1 nn PP , 请写出有序点列 ) ,,( )1( 2 )1( 1 nn PP 与有序点列 ),,( )( 2 )( 1 nn PP 之间的递推关系。 提示:我们 P( )、 我们可以用 a. P+Q 表示点 t t ); b. cP 表示点(c , ),其中 c∈R. 20(1).(单墫&槿灵兮)若 P 是椭圆 t ⺁ 上一个动点,且 为椭 圆的焦点,∠ t 的角平分线交 x 轴于点 M,且 t t t t 的最大值为 2。 (1)若 的一个焦点同时也是 : (p>0)的一个焦点,求 、 的方程; (2)设 0<m<n,过顶点 M(m,0),N(n,0)分别引直线 、 交曲线 于四点.若这 四点共圆,求 、 的交点 Q 的轨迹. 20(2).(王锐腾-return)已知平面上有一双曲线Γ: )0,0(12 2 2 2  bab y a x ,其中心为 O, 和两条渐近线 l1,l2,在双曲线上任取一点 M,过 M 做Γ的切线, 交 21,ll 于点 P,Q,然后过点 O 作直线 ON//PQ。从直线 ON 上 任一点 N 上引双曲线Γ的两切线,并作过两切点 B,C 作一条 直线 m,交交 21,ll 于点 S,R. (1)证明:MP=MQ ; (2)证明:m//OM; (3)证明:BR=SC.第 6 页 共 6 页 21.(Dylaaan&槿灵兮)已知函数 t t t t ⺁ ⺁(1)求函数 的极值点; (2)若对于任意的 ,关于 的不等式: t t 在区间 t t ∞ 上存在实数解,求实数 的取值范围; (3)求证:当 2.11)1(,0 2  x exexex x ,参考数据: 718.2e  . 22. (王锐腾-return)极坐标与参数方程 我们知道参数方程是通过参数和曲线上的点实现一一对应,有时候我们未必会直接写出 x,y 关于 t 的显式表达。比如这个的参数方程: ,确定了一个曲线Γ. 其中,α=x+y+1,β=x-y+1,γ=x-1. 又已知,函数 f(x)= dcx bax   满足任意 x∈R,f(x)≠x 且 f(f(x))=x. (1)证明:若点 P 对应参数 p,点 Q 对应参数 q.则直线 PQ 的方程为 pqα-(p+q)γ+β=0 (2)证明:任从Γ上选取一点 P(其对应参数为 p),又已知 f(p)对应的点为 Q,则 PQ 恒过一 个定点. 23.(空亦前移&槿灵兮)不等式选讲 基本不等式是算术平均数 A tt … 与几何平均数 G … 之间的一个特殊 情况:当 2i  时, 数学中还有一种美妙的平方平均 Q t t … (1)试探究三元平方平均与算术平均的关系,并证明; (2) 数 学 家 闵 可 夫 斯 基 发 现 了 一 个 很 美 妙 的 不 等 式 : t t ,当 n=3 时,试证明该不等式,并指出它的取等条件.

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