导数综合题典百题
1.已知函数 ( ) ln f x x a x 中 a 常数 1a
(Ⅰ) 1a 时求 ( )f x 2[ee ](e2718 28…)值域
(Ⅱ) ( ) e 1f x 意 2[ee ]x 恒成立求实数 a 取值范围
2 已知函数 1ln)( R axxaxf
(I)曲线 )(xfy 点 ))1(1( f 处切线直线 02 yx 垂直求 a 值
(II)求函数 )(xf 单调区间
(III) a1 2x 时证明: 52)1( xxf
3 已知 3 2 2( ) 6 9f x x ax a x ( aR ).
(Ⅰ)求函数 ( )f x 单调递减区间
(Ⅱ) 0a 时 03x ( ) 4f x 恒成立求实数 a 取值范围.
4.已知函数 )()1(3
1)( 223 R babxaaxxxf
(I) x1 )(xf 极值点求 a 值
(II) )(xfy 图象点(1 )1(f )处切线方程 03 yx
(i)求 )(xf 区间[24]值
(ii)求函数 )(])2()('[)( R memxmxfxG x 单调区间
5.已知函数 ln)( x
axxf
(I) a<0 时求函数 )(xf 单调区间
(II)函数 f(x)[1e]值 2
3 求 a 值
6.已知函数 bamxbaxmxxf )1(3)( 22
3
R
(1)求函数 )(xf 导函数 )(xf
(2) 1m 时函数 )(xf R 增函数求 baz 值
(3) 21 ba 时函数 )(xf (2+∞)存单调递增区间求 m 取值范围
7.已知函数 ( ) 2ln pf x px xx
2
(1) 2p 求曲线 ( ) (1 (1))f x f点 处切线
(2)函数 ( )f x 定义域增函数求正实数 p 取值范围
(3)设函数 2( ) [1 ]eg x ex
少存点 0x 0 0( ) ( )f x g x 成立求实数 p 取值范
围
8设函数 21( ) ( ) 2ln ( ) f x p x x g x xx
(I)直线 l 函数 )()( xgxf 图象相切函数 )(xf 图象相切点 (10) 求实数 p 值
(II) )(xf 定义域单调函数求实数 p 取值范围
9 已知函数 常数中 aaaxxgxxxf a )10(log)(22
1)( 2 果 )()()( xgxfxh
定义域增函数 ( )h x 存零点( ( ) ( )h x h x 导函数)
(I)求 a 值
( II ) 设 ( ( )) ( ( ))( )A m g m B n g n m n 函 数 ( )y g x 图 象 两 点
0
( ) ( )( ) g n g mg x n m
0( ( ) ( ) ) g x g x m x n 导函数 证明
10 设函数 2( ) lnf x x m x 2( )h x x x a
(Ⅰ) a0 时 ( ) ( )f x h x (1+∞)恒成立求实数 m 取值范围
(Ⅱ) m2 时函数 ( ) ( ) ( )k x f x h x [13]恰两零点求实数 a 取值范围
(Ⅲ)否存实数 m函数 ( )f x 函数 ( )h x 公定义域具相单调性?存求出 m
值存说明理.
11 已知函数 )()2()2](2[)33()( 2 ntfmfttexxxf x 设定义域
(I)试确定 t 取值范围函数 ]2[)( txf 单调函数
(II)求证: mn
(III)求证:意 20
0 )1(3
2)()2(2 0
t
e
xftxt x
满足总存 确定样 0x
数
12 已知函数 xaxxf ln)( 2 ]21( 增函数 xaxxg )( (01)减函数
(1)求 )(xf )(xg 表达式
(2)求证 0x 时方程 2)()( xgxf 唯解3
(3) 1b 时 2
12)(
x
bxxf x ∈ ]10( 恒成立求 b 取值范围
13 已知函数 Rxff 0)('0)1(' 恒成立
(1)求 dca 值
(2) 0)()('4
1
24
3)( 2 xhxfbbxxxh 解等式
(3)否存实数 m函数 ]2[)(')( mmmxxfxg 区间 值-5?
存请求出实数 m 值存请说明理
14 已知函数 3 2( ) 1f x x ax x aR .
(Ⅰ)讨函数 ( )f x 单调区间
(Ⅱ)设函数 ( )f x 区间 2 1
3 3
减函数求 a 取值范围.
15 设函数 ln( ) ln ln( 1)1
xf x x xx
.
(Ⅰ)求 f(x)单调区间极值
(Ⅱ)否存实数 a关 x 等式 ( )f x a≥ 解集(0+ )?存求 a 取值范围
存试说明理.
16 某三家工厂分位矩形 ABCD 顶点 AB CD 中点 P 处已知 AB20kmCB 10km
处理三家工厂污水现矩形 ABCD 区域(含边界) AB 等距离点 O 处建造污水
处理厂铺设排污道 AOBOOP 设排污道
总长 y km.
(Ⅰ)列求写出函数关系式:
①设∠BAO (rad) y 表示成 函数关系式
②设 OP x (km) y 表示成 x x 函数关系式.
(Ⅱ)请选(Ⅰ)中函数关系式确定污水处理厂位置三条排污道总长度短.
17已知函数 )(ln)( Rax
axxf
(Ⅰ)求 )(xf 极值
(Ⅱ)函数 )(xf 图象函数 )(xg 1 图象区间 ]0( 2e 公点求实数 a 取值范围
C
B
P
O
A
D4
18已知函数 )1ln()ln(1
)ln()( xaxx
axxf )0( Raa
(Ⅰ)求函数 ( )f x 定义域
(Ⅱ)求函数 ( )f x 单调区间
(Ⅲ) a >0 时存 x ( ) ln(2 )f x a 成立求 a 取值范围
19某种商品成 5 元 件开始 8 元件销售销售量 50 件获利润商家先采
取提价降价两种措施进行试销试销发现:销售价涨 1 元天销售量减少 10 件降价
日销售量 Q(件)实际销售价 x(元)满足关系:
239(2 29 107)x x (5 7)x
198 6
5
x
x
(7 8)x
(1)求总利润(利润=销售额-成)y(元)销售价 x(件)函数关系式
(2)试问:实际销售价少元时总利润
20已知函数
2 1( ) xg x x c
图关原点成中心称 设函数 2 1( ) ( )ln
x cxf x g x x
.
(1)求 ( )f x 单调区间
(2)已知 x me x 意 (1 )x 恒成立.求实数 m 取值范围(中 e 然数底数).
21设函数 xbxxf ln)1()( 2 中b 常数.
(Ⅰ)
2
1b 时判断函数 ( )f x 定义域单调性
(Ⅱ)函数 ( )f x 极值点求b 取值范围 ( )f x 极值点
(Ⅲ) 1b 试利(II)求证:n 3 时恒 2
1 1ln 1 lnn nn n
22已知函数 2
2
1( ) ln( 1) ( ) 1f x x g x ax
(1) 求 ( )g x ( 2 ( 2))P g 处切线方程 l
(2) ( )f x 极值点直线l 距离 1求 a 值
(3) 求方程 ( ) ( )f x g x 根数
23某建筑公司块宽矩形面(图示)进行开发建设阴影 部分
公设施建设开发求栏栅隔开(栏栅求直线)公 设
施边界曲线 2( ) 1 ( 0)f x ax a 部分栏栅矩形区域边界交点 MN交曲线点 P设
( ( ))P t f t
(1) OMN (O 坐标原点)面积 S 表示成t 函数 ( )S t
O x
y
M
N
P
Q=5
(2) 1
2t 处 ( )S t 取值求时 a 值 ( )S t 值
24.已知定义域 R 函数 1
2( ) 2
x
x
bf x a
奇函数.
(1) 求 a b 值
(2)意 t R 等式 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k 恒成立 求 k 取值范围
25.已知函数 ( )f x 意实数 x 均 ( ) ( 2)f x kf x 中常数 k 负数 ( )f x 区间 02 表
达式 ( ) ( 2)f x x x
(1)求 ( 1)f (25)f 值
(2)写出 ( )f x 33 表达式讨函数 ( )f x 33 单调性
(3)求出 ( )f x 33 值值求出相应变量取值
26.已知函数 3( ) ( )f x x x a ( 0x a R)
求函数 )(xf 单调区间
求函数 )(xf 18 值值.
27.已知函数 xf 定义 R 奇函数 0x 时 xxxxf 22 cos2cossin
求 0x 时 xf 表达式
关 x 方程 oaxf 解求实数 a 范围
28.已知函数 Nxxfy )( 满足:①意 a b N )()()( bafbbfaaf )(abf
②意 n∈N * [ ( )] 3f f n n .
(Ⅰ)试证明: ( )f x N 单调增函数
(Ⅱ)求 (1) (6) (28)f f f
(Ⅲ)令 (3 )n
na f n N 试证明:
1 2
1 1 1 1 4 2 4n
n
n a a a
29.已知函数 axxxaxxf 23)1ln()( .
(Ⅰ)
3
2x )(xfy 极值点求实数 a 值
(Ⅱ) )(xfy )1[ 增函数求实数 a 取值范围
6
(Ⅲ) 1a 时方程
x
bxxf 3)1()1( 实根求实数b 取值范围.
30.已知函数 Rxxfy )( 满足 )()1( xafxf a 0 实常数
(1) 10 x 时 )1()( xxxf 求函数 10)( xxfy 值域
(2)(1)条件求函数 Nnnnxxfy 1)( 解析式
(3) 10 x 时 xxf 3)( 试研究函数 y f (x) 区间 0 否单调函数?
求出 a 取值范围请说明理
31.已知函数 3 2f x x ax bx c 0 减函数 01 增函数函数 f x R
三零点 1 中零点.
(1)求b 值
(2)求 2f 取值范围
(3)试探究直线 1y x 函数 y f x 图交点数情况说明理.
32.定义 R 函 babxaxxxf ()( 23 常数) x-1 处取极值 )(xf 图
1 1P f 数处切线行直线 8y x
(1)求函数 f x 解析式极值
(2)设 0k 求等式 f x kx 解集
(3)意 112 sin cos 27R f f 求证:
33.已知函数 )()1ln()( Rxxexf x 列性质:
)(][ 0 baxbax 存 )()()(
0xfab
afbf
成立
(1)利性质证明 0x 唯
(2)设 ABC 函数 )(xf 图象三点试判断△ABC 形状说明理
34.已知函数 1ln)()()( xxgRaaxxf
(1)函数 xxfxxgxh 2)(21)()( 存单调递减区间求 a 取值范围
(2) a>0 时试讨两函数图象交点数.
35.设函数 f(x)定义域 D 关原点称0∈D存常数 a>0 f(a)1
1 2
1 2
1 2
( ) ( )( ) 1 ( ) ( )
f x f xf x x f x f x
(1)写出 f(x)函数解析式说明符合题设条件7
(2)判断证明函数 f(x)奇偶性
(3)存正常数 T等式 f(x)f(x+T)者 f(x)f(xT) x∈D 成立称 f(x)周期函数T
周期试问 f(x)周期函数?求出周期 T说明理
36 设 意 实 数 x y 函 数 ( )f x ( )g x 满 足 1( 1) ( )3f x f x
(0) 3f ( ) ( ) 2g x y g x y (5) 13g *n N
(Ⅰ)求数列{ ( )}f n { ( )}g n 通项公式
(Ⅱ)设 [ ( )]2n
nc g f n 求数列{ }nc 前项 nS
(Ⅲ)设 ( ) 3nF n S n 存整数 m M 意正整数 n 等式 ( )m F n M 恒成立求 M m
值
37.定义区间 D 函数 ( )f x 存闭区间[ ]a b D 常数 c 意 1 [ ]x a b
1( )f x c 意 2x ∈D 2 [ ]x a b 时 2( )f x c 恒成立称函数 ( )f x 区间 D 底
型函数
(Ⅰ)判断函数 1( ) | 1| | 2 |f x x x 2 ( ) | 2 |f x x x 否 R 底型函数? 说明
理
(Ⅱ)设 ( )f x (Ⅰ)中底型函数k 非零常数等式| | | | | | ( )t k t k k f x
切t R 恒成立求实数 x 取值范围
(Ⅲ)函数 2( ) 2g x mx x x n 区间[ 2 ) 底型函数求 m n 值
38.设函数 f(x)定义域 R|f(x)|≤|x|意实数 x 均成立称函数 f(x) 函数
(1)试判断函数 )(1 xf xxsin )(2 xf
1
x
x
e
e 中 函数说明理
(2)求证: a>1函数 f(x)ln(x2+a)lna 函数
39.集合 A 具备列性质函数 )(xf 组成:
(1) 函数 )(xf 定义域[0 )
(2) 函数 )(xf 值域[ 24)
(3) 函数 )(xf [0 ) 增函数.试分探究列两题:
(Ⅰ)判断函数 1( ) 2( 0)f x x x 2
1( ) 4 6 ( ) ( 0)2
xf x x 否属集合 A?简说明理.8
(Ⅱ)(I)中认属集合 A 函数 )(xf 等式 )1(2)2()( xfxfxf 否意
0x 总成立?成立什?成立请证明结.
40.已知 ( )f x 定义 0∞ 函数满足 ( ) 2 ( 1)f x f x .设 1nI n n nN . 01x
时 2( )f x x x .分求 1x I 2x I 1nx I n n 时 ( )f x 表达式 1( )f x 2 ( )f x ( )nf x .
41 已知函数 axxaxf (3)( 3 R 0a )
(I)求 )(xf 单调区间
(II)曲线 )(()( 33 afaxfy 点 )处切线恒 y 轴定点求定点坐标
(III)
30 1
axa 曲线 ))(()( 11 xfxxfy 点 处切线 x 轴交点( 02x )试较
21 xx 加证明
42 已知函数 f(x)
2 1ln [ 2]2
a x x a R xx
(Ⅰ) 1[ 2 )4a 时 求 ( )f x 值
(Ⅱ) 设 2( ) [ ( ) ln ]g x f x x x k ( )g x 图象两点连线斜率否存实数 a 1k 恒成
立存求 a 取值范围存请说明理
43已知函数 f(x)=
x
x 1ln1
(1)求函数定义域
(2)确定函数 f(x)定义域单调性证明结
(3)x>0时f(x)>
1x
k 恒成立 求正整数 k 值
44 已知函数 ( ) logaf x x ( ) 2log (2 2)( 0 1 )ag x x t a a t R 图象 2x 处切线互相
行
(Ⅰ) 求t 值
(Ⅱ)设 )()()( xfxgxF 14x 时 ( ) 2F x 恒成立求 a 取值范围
45 已知函数 bx
xxaxf
1
2)1ln()( 图象直线 02 yx 相切点 )0( c
(1)求 a 值
(2)求函数 )(xf 单调区间极值
46 已知函数. 3( ) 2f x x ax 2( )g x bx cx 图象点 P(20)点 P 处公切线.
(1)求 f(x) g(x)表达式点 P 处公切线方程
(2)设 ( )( ) ln( 1)8
mg xF x xx
中 0m 求 F(x)单调区间.
47 已知函数 xxf )( )1ln()( xxg 1)( x
xxh
(1)证明: 0x 时恒 )()( xgxf
(2) 0x 时等式 )0()( kxk
kxxg 恒成立求实数 k 取值范围
48 已知函数 f(x)x3+bx2+cx+d 两极值点 x11 x22直线 y6x+1 曲线 yf(x)相切 P 点
(1)求 b c 郝进制作 (2)求函数 yf(x)解析式9
(3) d 整数时 求 P 点 yf(x)相切异 P 点直线方程
49 已知函数 f(x)x3-3ax(a∈R).
(I) al 时求 f(x)极值
(Ⅱ)直线菇 x+y+m0 意 m∈R 曲线 yf(x)切线求 a 取值范围
(Ⅲ)设 g(x)|f(x)|x∈[-l1]求 g(x)值 F(a)解析式.
50 已 知 函 数 | | 1y x 2 2 2y x x t 1 1( )2
ty x x
( 0)x 值 恰 方 程
3 2 0x ax bx c 三根中 0 1t .
(Ⅰ)求证: 2 2 3a b
(Ⅱ)设 1( )x M 2( )x N 函数 3 2( )f x x ax bx c 两极值点.
① 1 2
2| | 3x x 求函数 ( )f x 解析式②求| |M N 取值范围.
51已知函数 f(x)
3
1 x3+
2
1 ax2+ax2(a∈R)
(1)函数 f(x)区间(∞+∞)单调增函数求实数 a 取值范围
(2)设 A(x1f(x1))B(x2f(x2))函数 f(x)两极值点直线 AB 斜率
6
5 求实数 a 取值范围
52 已 知 函 数 )(32)( 23 Rcbacxbxaxxf 图 象 关 原 点 称 1x 时
3
2)( 取极值-xf .
(1)求 abc 值
(2) 11x 时图象否存两点两点处切线互相垂直?证明结.
53 x 三次函数 f(x) x3 +(m2-4m + 2)x + m3-6m2 + 9m-1.
(Ⅰ) f(x)极值求 m 取值范围
(Ⅱ) m (1)取值范围变化时求 f(x)极值极值 g(m)求 g(m)
值值.
54 已知函数 36)2(2
3)( 23 xxaaxxf
(I) a > 2 时求 f(x)极值
(II)讨方程 f(x) 0 根数
55 设函数 )1)()(1()( aaxxxxf
(1)求导数 )(' xf 证明 )(xf 两极值点
(2)(1)中 21 xx 等式 0)()( 21 xfxf 成立求 a 取值范围
56 已知 Rt 函数 2
1)( 3 txxxf
(Ⅰ) t1 时求函数 )(xfy 区间[02]值10
(Ⅱ) )(xf 区间[-22]单调函数求 t 取值范围
(Ⅲ))否存常数 t意 6|)(|]22[ xfx 恒成立存请求出 t存请说
明理
57 设 x1 )0()()( 223
212 axabxaxxfxxx 函数 两极值点
(1) 21 21 xx 求函数 f(x)解析式
(2) bxx 求22|||| 21 值
(3) )()()( 1221 xxaxfxgaxxxx 函数 求证: )23(12
1|)(| 2 aaxg
58 已知函数 1163)( 23 axxaxxf 1263)( 2 xxxg 直线 9 kxym 0)1( f .
(Ⅰ)求 a 值
(Ⅱ)否存 k 值直线 m 曲线 )(xfy 切线 )(xgy 切线果存求出 k
值果存说明理.
(Ⅲ)果 2x x )(9)( xgkxxf 成立求 k 取值范围.
59 设函数 3 2( )f x x ax bx ( 0)x 图象直线 4y 相切 (14)M .
(Ⅰ)求 3 2( )f x x ax bx 区间 (04] 值值
(Ⅱ)否存两等正数 s t ( )s t [ ]x s t 时函数 3 2( )f x x ax bx 值域[ ]s t
存求出样正数 s t 存请说明理
(Ⅲ)设存两等正数 s t ( )s t [ ]x s t 时函数 3 2( )f x x ax bx 值域[ ]ks kt 求
正数 k 取值范围.
60 已知函数 f(x)=x4+ax3+bx2+c y 轴截距-5区间[01]单调递增[12]单调递
减 x=0x=2 时取极值.
(Ⅰ)求函数 f(x)解析式
(Ⅱ)否找函数 f(x)垂直 x 轴称轴证明结
(Ⅲ)设关 x 方程 f(x)=λ2x2-5 恰三实根实数λ取值范围集合 A两非零实根
x1x2.试问:否存实数 m等式 m2+tm+2≤|x1-x2|意
t∈[-33] λ∈A 恒成立?存求 m 取值范围存请说明理.
61 已知 f(x)x3+bx2+cx+2
(Ⅰ) f(x) x1 时极值1求 bc 值
(Ⅱ) b 非零实数时证明 f(x)图存直线(b2c)x+y+10 行切线
(Ⅲ)记函数|f′(x)|(1≤x≤1)值 M求证:M≥
2
3
62 设函数 ( ) | 1| | 1|f x x ax + + + 已知 ( 1) (1)f f 1 1( ) ( )f fa a
(a∈R a≠0)函数11
3 2( )g x ax bx cx (b∈Rc 正整数)两极值点该函数图象取极值两点 AB
坐标原点 O 直线
(1)试求 ab 值
(2) 0x 时函数 ( )g x 图象恒函数 ( )f x 图象方求正整数 c 值
63 已知函数 3 2( ) 3 8f x x bx cx 3 2( )g x x bx cx (中 3 02 b ) ( ) ( ) 5 ( )F x f x g x
(1) ( ) 0f g m .
(1)求 m 取值范围
(2)方程 ( ) 0F x 实根?什?
64 已知函数 f(x) 3 2 ( Rx bx cx d b c d 常数)导函数 f′(x)3x x42
f(1)7设 F(x)f(x)ax 2 (a∈R)
(Ⅰ) a<2 时求 F(x)极值
(Ⅱ)意 x∈ 0 F(x)≥0 成立求 a 取值范围证明等式
6
139132
aaa
65已知二次函数 ( )f x xx 2 等式 xxfxf 2)()( 解集 C
(1)求集合 C
(2)方程 5)( 1 xx aaf )10( aa C 解求实数 a 取值范围
(3)记 )(xf C 值域 A ]10[23)( 3 xttxxxg 值域 B BA 求实数t 取值
范围.
66设函数 3 2( ) 2 4f x ax bx cx d ( a b c d R )图象关原点称 1x 时 f(x)取极
值 1
3
①求 a b c d 值
② 11x 时图象否存两点两点处切线互相垂直?试证明结
③ 1 2 11x x 求证: 1 2
4( ) ( ) 3f x f x
67已知函数 )2()(3
1)(2
)1(
3
1)( 23 区间 xfkxxgxkxxf 增函数
(1)求 k 取值范围
(2)函数 )()( xgxf 图象三交点求实数 k 取值范围
68已知函数 )()( 023 acxbxaxxf 定义 R 奇函数 1x 时函数取极值 1.
(1)求 cba 值
(2) 1121 xx 求证: 221 )()( xfxf 12
(3)求证:曲线 )(xfy 存两点 BA BA 两点切线垂直直线 AB .
69 已知函数 )0()(ln)( ax
axgxxf 设 )()()( xgxfxF
(Ⅰ)求 F(x)单调区间
(Ⅱ) )30)(( xxFy 图象意点 )( 00 yxP 切点切线斜率
2
1k 恒成立求实
数 a 值
(Ⅲ)否存实数 m 函数 1)1
2( 2 mx
agy 图象 )1( 2xfy 图象恰四
交点?存求出 m 取值范围存说名理
70 定义 )0()1()( yxxyxF y
(1)令函数 ))94(log1()( 2
2 xxFxf 图象曲线 C1曲线 C1 y 轴交点 A(0m)坐
标原点 O 作曲线 C1 切线切点 B(nt)(n>0)设曲线 C1 点 AB 间曲线段线段 OA
OB 围成图形面积 S求 S 值
(2) )()(* xyFyxFyxNyx 证明时
(3)令函数 ))1(log1()( 23
2 bxaxxFxg 图象曲线 C2 存实数 b 曲线 C2
)14( 00 xx 处斜率-8 切线求实数 a 取值范围
71 (1)求证: 1a 时等式
2
( 1) 2
x
n ax ee x n R 恒成立
(2)(01)中常数 a 问否存 0 0x
0
0
2
0
0 1 2
x
x ax ee x 成立?
果存求出符合条件 0x 否说明理
72 函数 2ln xy 图象量 )21(a 移函数 )(xf 图象
(1) 0x 证明:
2
2)(
x
xxf
(2)等式 32)(2
1 222 bmmxfx ]11[x ]11[b 恒成立求实数 m 取值范围
73 已 知 函 数 | | 1y x 2 2 2y x x t 1 1( )2
ty x x
( 0)x 值 恰 方 程
3 2 0x ax bx c 三根中 0 1t .
(1)求证: 2 2 3a b
(2)设 1( )x M 2( )x N 函数 3 2( )f x x ax bx c 两极值点.
① 1 2
2| | 3x x 求函数 ( )f x 解析式 ②求| |M N 取值范围.13
74 已知函数
bx
axxf 2)( 1x 处取极值 2
(Ⅰ)求函数 )(xf 解析式
(Ⅱ)函数 )(xf 区间(m2m+1)增函数求实数 m 取值范围
(Ⅲ) P(x0y0)
bx
axxf 2)( 图象意点直线 l
bx
axxf 2)( 图象相切点 P
求直线 l 斜率取值范围
75 已知:函数 xmxxf 3)( 图象 )1( nN 切点切线倾斜角
4
.
(Ⅰ)求 m n 值
(Ⅱ)否存正整数 k 等式 1993)( kxf ]31[x 恒成立?果存
请求出正整数 k 果存请说明理
(Ⅲ)求证: )2
1(2|)(cos)(sin| ttfxfxf ( Rx 0t ).
76 设 M 满足列条件函数 )(xf 构成集合:①方程 )(xf 0 x 实数根②
函数 )(xf 导数 )(xf 满足 1)(0 xf
(I)判断函数
4
sin
2)( xxxf 否集合 M 中元素说明理
(II)集合 M 中元素 )(xf 具面性质: )(xf 定义域 D意
[mn] D存 0x [mn]等式 )()()()( 0xfmnmfnf 成立
试性质证明:方程 0)( xxf 实数根
(III)设 1x 方程 0)( xxf 实数根求证: )(xf 定义域中意
2|)()(|1||1|| 23131232 xfxfxxxxxx 时
77 函数 2 2( ) ( ) ( )xf x x ax b e x R 1x 处取极值
(I)求 a b 关系式( a 表示 b )求 ( )f x 单调区间
(II)否存实数 m意 (01)a 1 2 [02]x x 总 1 2| ( ) ( ) |f x f x
2 1[( 2) ] 1m a m e 恒成立存求出 m 范围存请说明理.
78 已知二次函数 2( )f x ax bx c 直线 1 2l x 直线 2
2 8l y t t (中 0 2t t 常数)
直线l 1l 2 函数 f x 图象 2l y 轴函数 f x 图象围成封闭图形图阴影示
(Ⅰ)求 a b c 值
(Ⅱ)求阴影面积 S 关t 函数 S t 解析式
(Ⅲ) ln6)( mxxg 问否存实数 m y f x 图象 y g x 图象两
交点?存求出 m 值存说明理14
79 已知函数 2
3
)( a
xxf 图象斜率 3 两条切线间距离
5
102 f(x)导数 )(' xf 函数
3)(')()(
x
xbfxfxg
(1)函数 g(x) x1 极值求 g(x)解析式
(2)函数 g(x)[11]增函数 )(42 xgmbb [11]成立求实数 m 取值范围
80 设关 x 方程 012 mxx 两实根αβ 定义函数
1
2)( 2
x
mxxf
(I)求 )(f 值
(II)判断 )()( 区间xf 单调性加证明
(III) 正实数①试较 )()()(
fff
②证明 |||)()(|
ff
81 设直线 )()( xFySxgyl 曲线 直线 l 曲线 S 时满足列两条件:
①直线 l 曲线 S 相切少两切点
② 意 x∈R )()( xFxg 称直线 l 曲线 S 夹线.
(1)已知函数 ( ) 2sinf x x x .求证: 2y x 曲线 ( )f x 夹线.
(2)观察图:
根图试推测曲线 )0(sin nxnmxyS 夹线方程出证明.
82 存实常数 k b 函数 ( )f x ( )g x 定义域意实数 x 分满足: ( )f x kx b
( )g x kx b 称直线 l y kx b ( )f x ( )g x 隔离直线.已知 2( )h x x ( ) 2 lnx e x (15
中 e 然数底数).
(Ⅰ)求 ( ) ( ) ( )F x h x x 极值
(Ⅱ) 函数 ( )h x ( )x 否存隔离直线?存求出隔离直线方程存请说明理.
83已知函数 mxxxf )1ln()(
(1)函数 )(xf )0( 单调递减求实数 m 取值范围
(2)求函数 )(xf 极值
(3)求证: )(2ln)1(
1
2
1
1
1 *Nnnnnn
84设 xxx
axf ln)( 3)( 23 xxxg
(1) 2a 时求曲线 )(xfy 1x 处切线方程
(2)果存 1x ]20[2 x Mxgxg )()( 21 成立求满足述条件整数 M
(3)果意 s ]22
1[t )()( tgsf 成立求实数 a 取值范围
85已知函数 2ln)( xxxf
(1)函数 axxfxg )()( 定义域增函数求实数 a 取值范围
(2)(1)条件 1a xx aeexh 3)( 3 ]2ln0[x 求 )(xh 极值
(3)设 )(3)(2)( 2 RkkxxxfxF 函数 )(xF 存两零点 m )0( nmn nmx 02
问:函数 )(xF 点 ))(( 00 xFx 处切线否行 x 轴?求出该切线方程请说明理
86已知函数 )sin(3)( 3 xaxxxf 中 a R
(1) 0a 时求 )1(f 值判断函数 )(xf 奇偶性
(2) 0a 时函数 )(xfy 图 1x 处切线坐标原点求 值
(3) 0 时求函数 )(xf ]20[ 值
答案解析
1解:(Ⅰ) 1a 时 ( ) ln f x x x
1( ) 1 f x x
………………2 分16
令 ( ) 0f x 11 0x
解 1x 函数 ( )f x (1 ) 增函数
函数 ( )f x 2[ee ]增函数 ………………4 分
(e) e 1f 2 2(e ) e 2f 函数 ( )f x 2[ee ] 值域 2[e 1e 2]
………………6 分
(Ⅱ) ( ) 1 af x x
令 ( ) 0f x 1 0a
x
x a
(0 )x a 时 ( ) 0f x 函数 ( )f x (0 )a 单调递减
( )x a 时 ( ) 0f x 函数 ( )f x ( )a 单调递增 ……………7 分
1 ea e 1a 易函数 ( )f x 2[ee ]增函数
时 2
max( ) (e )f x f ( ) e 1f x 2[ee ]x 恒成立需 2(e ) e 1f
2e 2 e 1a
2e e 1
2a
2 2e e 1 (e 3e 1)( e) 02 2
2e e 1 e2
时解
………………8 分
2e ea 2e ea 易知函数 ( )f x [e ]a 减函数 2[ e ]a 增函数
( ) e 1f x 2[ee ]x 恒成立需 2
(e) e 1
(e ) e 1
f
f
2
1
e e 1
2
a
a
2 2e e 1 e e 1( 1) 02 2
2 2
2e e 1 e e 1( e ) 02 2
2
2 e e 1e 2a ………………10 分
2ea 2ea 易函数 ( )f x 2[ee ]减函数
时 max( ) (e)f x f ( ) e 1f x 2[ee ]x 恒成立需 (e) e 1f
e e 1a 1a 2ea 2ea ……………12 分
综合述实数 a 取值范围
2e e 1( ]2
……………13 分
2 解:(I)函数 }0|{)( xxxf 定义域
1)( 2xx
axf ……………………………………………………………………2 分
曲线 ))1(1()( fxfy 点 处切线直线 02 yx 垂直
21)1( af
a1………………………………………………………………………………4 分[源学科网][源学_科_网 Z_X_X_K]17
(II) 1)( 2x
axxf
0a 时 0)()0( xfx 定义域恒成立
)0()( xf 增函数
)0(10)(0
axxfa 时
)(0)()10( xfxfax 时 单调递增
)(0)()1( xfxfax 时 单调递减…………………………8 分
(III) a1 时 )2[1
1)1ln()1( xxxxf
令 521
1)1ln()( xxxxg
)1(
)2)(12(2
)1(
1
1
1)( 22
x
xx
xxxg ………………10 分
)2()(0)(2 时 xgxxgx 单调递减
0)()(0)2( xgxgg 时
0521
1)1ln( xxx
a1 52)1(2 xxfx 时 成立……………………13 分
3 解:(Ⅰ) 2 2'( ) 3 12 9 3( )( 3 ) 0f x x ax a x a x a
(1) 3a a 0a 时 2'( ) 3 0f x x 成立.
(2) 3a a 0a 时单调减区间 (3 )a a .
(3) 3a a 0a 时单调减区间 ( 3 )a a .5 分
(Ⅱ) 2 2'( ) 3 12 9 3( )( 3 )f x x ax a x a x a
( )f x (0 )a 递增 ( 3 )a a 递减 (3 )a 递增.
(1) 3a 时函数 ( )f x [03]递增
函数 ( )f x [03]值 (3)f
03x ( ) 4f x 恒成立需 (3) 4
3
f
a
解 a .
(2)1 3a 时 3 3a a 时函数 ( )f x [0 ]a 递增[ 3]a 递减函数 ( )f x
[03]值 ( )f a 18
03x ( ) 4f x 恒成立需 ( ) 4
1 3
f a
a
解 1a .
(3) 1a 时3 3a 时函数 ( )f x [ 3 ]a a 递减[3 3]a 递增
函数 ( )f x [03]值 ( )f a 者 (3)f .
2( ) (3) ( 3) (4 3)f a f a a
① 30 4a 时 ( ) (3)f a f
03x ( ) 4f x 恒成立需
(3) 4
30 4
f
a
解 2 3 3[1 ]9 4a .
② 3 14 a 时 ( ) (3)f a f
03x ( ) 4f x 恒成立需
( ) 4
3 14
f a
a
解 3( 1)4a .
综述 2 3[1 1]9a . 14 分
4.解:(1) 12)( 22 aaxxxf
1x 极值点
0)1( f 022 aa
0 x 2…………………………………………………………3 分
(2) ))1(1( f 03 yx 2)1( f
∵(12) )(xfy baa 13
12 2
11211)1( 2 aakf
3
810122 baaa
2)(3
8
3
1)( 222 xxxfxxxf
(i) 0)( xf 知 x0 x2 )(xf 极值点[源ZxxkCom]
8)4(4)2(3
4)2(3
8)0( ffff19
)(xf 区间[-24]值 8…………………………8 分
(ii) xemmxxxG )()( 2
])2([)()2()( 22 xmxemmxxeemxxG xxx
令 0)( xG mxx 20
m2 时 0)( xG 时 )(xG )( 单调递减
2m 时:
x (-∞2-
m) 2-m (2-m0) 0 (0+∞)
G′(x) - 0 + 0 -
G(x) 减 增 减
时 G(x)(-∞2-m)(0+∞)单调递减(2-m0)单调递增
2m 时:
x (-∞0) 0 (02-m) 2-m (2-m+∞)
G′(x) - 0 + 0 -
G(x) 减 增 减
时 G(x)(-∞0)(2-m+∞)单调递减(02-m)单调递增综述: m2 时
G(x)(-∞+∞)单调递减
2m 时G(x)(-∞2-m)(0+∞)单调递减(2-m0)单调递增
2m 时G(x)(-∞0)(2-m+∞)单调递减(02-m)单调递增
5.解:函数
x
axxf ln)( 定义域 )0( …………1 分
22
1)('
x
ax
x
a
xxf …………3 分
(1) 0)('0 xfa
函数定义域 )0( 单调递增 …………5 分
(II)[1e]发情况讨:
① a<1 时 0)(' xf 函数 )(xf 单调递增
值 1)1( af
函数[1e]值
2
3 相矛盾 …………6 分
② a1 时函数 exf 1)( 单调递增
值 1)1( f20
样值
2
3 相矛盾 …………7 分
③ ea 1 时函数 axf 1)( 0)(' xf 单调递减
ea 0)(' xf 单调递增
函数 )(xf 满足值 1ln)( aaf
2
31ln eaa …………9 分
④ ae 时函数 0)('1)( xfexf 单调递减
值 2)( ef 值
2
3 相矛盾 …………10 分
⑤ a>e 时显然函数 ]1[)( exf 单调递减
值 21)(
e
aef
值
2
3 相矛盾 …………12 分
综述a 值 e …………13 分
6.(I)解: 2 2( ) 2 (1 )f x mx ax b ……3 分
(II)函数 ( )f x R 增函数
( ) 0f x R 恒成立
2 2 2 24 4(1 ) 0 1a b a b
设 cos ( 0 1)sin
a r rb r
参数
)4sin(2)sin(cos rrbaz
1)4sin( r1 时 baz 取值 2
(圆面意义解 baz 值 2 )…………………………8 分
(Ⅲ)① 0m 时 12)( 2 xmxmf 开口抛物线显然 )(xf (2+∞)存子区
间 0)( xf m 取值范围(0+∞)
② m0 时显然成立
③ 0m 时 12)( 2 xmxmf 开口抛物线 )(xf (2+∞)存子区间21
0)( xf 应满足
0)1(
21
0
mf
m
m
0)2(
21
0
f
m
m
解 02
1 m
2
1
4
3 m m 取值范围 )04
3(
m 取值范围 )4
3( ……………………………………………………13 分
7.解:(1) 2p 时
函数 2( ) 2 2ln (1) 2 2 2ln1 0f x x x fx
2
2 2( ) 2f x x x
曲线 ( )f x 点 (1 (1))f 处切线斜率
(1) 2 2 2 2f 1 分
曲线 ( )f x 点 (1 (1))f 处切线方程
0 2( 1)y x
2 2y x
(2)
2
2 2
2 2( ) p px x pf x p x x x
3 分
令 2( ) 2h x px x p ( )f x 定义域(0∞)增函
需 ( ) 0h x (0+∞)恒成立 4 分
题意 20 ( ) 2p h x px x p 图象开口抛物线称轴方程
1 (0 )x p
min
1( ) h x p p
需 1 0 1p pp
时22
( ) 0 ( ) 0h x f x
( )f x (0+∞)增函数正实数 p 取值范围 1 6 分
(3) 2( ) [1 ]eg x ex
减函数
x e 时
min( ) 2g x
min1 ( ) 2x g x e 时
( ) [22 ]g x e 1 分
① 0p 时 2( ) 2h x px x p
图象开口抛物线称轴 1x p
y 车左侧
(0) 0h ( ) [1 ]f x x e 减函数
0p 时 ( ) 2h x x
[1 ]x e
2
2( ) 0 ( ) 0xh x f x x
时 ( ) [1 ]f x x e 减函数
0p 时 ( ) [1 ]f x x e 单调递减
max( ) (1) 0 2f x f 合题意
② 0 1p 时 [1 ]x e 1 0x x
1 1( ) ( ) 2ln 2ln f x p x x x xx x
(2)知 1p 时 ( ) [1 ]f x x e 增函数
1 1 12ln 2ln 2 2x xe e ex e e
合题意 11 分
③ 1p 时(2)知 ( ) [1 ]f x x e 增函数
(1) 0 2f
( ) [1 ]g x x e 减函数23
需 max min( ) ( ) [1 ]f x g x x e
max min
1( ) ( ) ( ) 2ln ( ) 2f x f e p e e g xe
1( ) 2ln 2P e ee
解 2
4
1
ep e
实数 p 取值范围 2
4( )1
e
e
13 分
8 解:(Ⅰ)方法:∵ '
2
2( ) pf x p x x
………………………………2 分
∴ ' (1) 2( 1)f p .
设直线 2( 1)( 1)l y p x
设 l 2( )g x x 相切点 M( 0 0x y ) ………………………………3 分
∵ ( ) 2g x x ∴2 0 2( 1)x p
∴ 2
0 01 ( 1)x p y p
代入直线 l 方程解 p1 p3. ………………………………6 分
方法二:
直线方程l 代入 2y x
2( 1)( 1) 0p x ∴ 24( 1) 8( 1) 0p p
解 p1 p3 . ………………………………6 分
(Ⅱ)∵ 2
2
' 2)(
x
pxpxxf
① )(xf 单调增函数须 0)(' xf (0 ) 恒成立
022 pxpx (0 ) 恒成立
xxx
xp 1
2
1
2
2
(0 ) 恒成立
11
2
xx
1p 时 )(xf (0 ) 单调增函数 …………9 分
② )(xf 单调减函数须 0)(' xf (0 ) 恒成立
022 pxpx (0 ) 恒成立
xxx
xp 1
2
1
2
2
(0 ) 恒成立
2 01x x
0p 时 )(xf (0 ) 单调减函数. …………11 分
综 )(xf (0 ) 单调函数 p 取值范围 1p 0p .……12 分
9 解:(I) )0(log22
1)( 2 xxxxxh a
ln
12)( axxxh
)0()( xh 增函数24
)0(0
ln
12
ax
x 恒成立 ……………………………1 分
ln
120ln
120 2
axxaxxx 时
)0(1)1(2 22 xxx 值 1
ln
11ln
11 aa
(※)
见 )1ln
10ln
110(1 矛盾
aaaa
(※)式 1ln a ① ………………………………………… 4 分
时 )0(ln
1ln2ln
ln
12)(
2
xax
axax
axxxh
2( ) ( ) ( 2ln ) 4ln 0h x a a 存 正 零点知
解 1ln a ② )0ln1(0ln aaa
①② 1ln a
时 eaxxh 存正零点 1)( 求 ……………………………6 分
注:没提(验证) 1ln a 时 1)( xxh 存正零点 扣分
(II)(I) 1)(ln)(
0
0 xxgxxg
lnln)()(1
0
0 mn
mnxmn
mgng
x
……………………………7 分
证明 ln ln
n mm n m
(☆)
(☆)等价 0lnln mnmmnm ……………………………8 分
构造函数 )0(lnln)( nxxnxxnxxr
)0(lnln)( nxxnxr 时
]0()(0)( nxrxr 增函数
0)()( nrmrnm 时 0lnln mnmmnm
mx 0 证明 ……………………………11 分
理证 lnln 0 nxmmn
mnn
综 ……………………………12 分
注:没综等字眼结扣 1 分25
10 解:(Ⅰ) a0 ( ) ( )f x g x lnm x x
ln
xm x
┉┉┉┉┉┉┉┉1 分
记
ln
x
x
( ) ( )f x g x (1+∞)恒成立等价 min( )m x
求 2
ln 1'( ) ln
xx x
┉┉┉┉┉┉┉┉2 分
(1 )x e 时 '( ) 0x ( )x e 时 '( ) 0x ┉┉┉┉┉┉┉┉3 分
( )x xe 处取极值值
min( ) ( )x e e m e ┉┉┉┉┉┉┉┉4 分
(Ⅱ)函数 ( ) ( ) ( )k x f x h x 13 恰两零点等价方程 2lnx x a 13 恰
两相异实根.┉┉┉┉┉┉┉┉5 分
令 ( ) 2lng x x x 2'( ) 1g x x
┉┉┉┉┉┉┉┉6 分
[12)x 时 '( ) 0g x (23]x 时 '( ) 0g x
g(x)[12]单调递减函数 (23] 单调递增函数.
min( ) (2) 2 2ln 2g x g ┉┉┉┉┉┉┉┉8 分
g(1)1g(3)32ln3
∵g(1)>g(3)∴需 g(2) a 取值范围(22ln232ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9 分
(Ⅲ)存 m 1
2
函数 f(x)函数 h(x)公定义域具相单调性.
2
min
2'( ) 2 m x mf x x x x
函数 f(x)定义域(0+∞).┉┉┉┉┉┉10 分
0m ( )' 0f x 函数 f(x)(0+∞)单调递增合题意┉┉┉11 分
0m ( )' 0f x 2x2m>0解 x>
2
m x<
2
m (舍)
0m 时函数单调递增区间(
2
m +∞)
单调递减区间(0
2
m ) ┉┉┉┉┉┉┉┉12 分
h(x)(0+∞)单调递减区间(0 1
2
)单调递增区间( 1
2
+∞)26
需
2
m 1
2
解 m 1
2
┉┉┉┉┉┉┉┉13 分
m 1
2
时函数 f(x)函数 h(x)公定义域具相单调性.┉14 分
11 解:(I) xxx exxexexxxf )1()32()33()( 2 ……1 分
( ) 0 1 0 ( ) 0 0 1f x x x f x x
( ) ( 0)(1 ) (01) 3f x 递增 递减 分
( ) [ 2 ] 2 0 4f x t t 欲 单调函数 分
(II)证: 1)()10()1()0()( xxfxf 递减递增 处取极值 e
2
13( 2) ( ) [ 2 ] ( 2)f e f x fe
值
2 ( 2) ( ) 7t f f t m n 时 分
(III)证: 2
0
2
0
20
0
2
0
0 )1(3
2)1(3
2)()(
00
txxt
e
xfxx
e
xf
xx
2 2 2 22 2( ) ( 1) ( ) ( 1) 03 3g x x x t g x x x t 令 问题转化证明方程
( 2 ) 9t 解 讨解数 分
2 22 2 2( 2) 6 ( 1) ( 2)( 4) ( ) ( 1) ( 1)3 3 3g t t t g t t t t
1 ( 2)( 1)3 t t
① )2(0)(0)()2(124 txgtggtt 时 解解
………………11 分
② 0)1(3
2)0(0)(0)2(41 2 tgtggt 时
)2(0)( txg 解两解
③ )2(0)(100)(1 2 txgxxxxxgt 时 解
24 ( ) 6 0 2 3t g x x x x x 时
( ) 0 ( 24) 13g x 解 分
0
20
0
( ) 2 2 ( 2 ) ( 1) 3x
f xt x t te
综述 意 总存 满足27
04 2 1 t t x 时 唯 适合题意
12 解 (1) 2)( x
axxf 题意 ]21(0)( xxf 22xa ]21(x
∵式恒成立∴ 2a ① …………………………1 分
x
axg
2
1)( 题意 )10(0)( xxg xa 2 )10(x
∵式恒成立∴ 2a ② …………………………2 分
①② 2a …………………………3 分
∴ 2)(ln2)( 2 xxxgxxxf …………………………4 分
(2)(1)知方程 2)()( xgxf 022ln22 xxxx
设 22ln2)( 2 xxxxxh 1122)(
xxxxh
令 0)( xh 0x 0)222)(1( xxxxx 解知 1x ……………………5 分
令 0)( xh 100 xx 解 …………………………6 分
列表分析
x (01) 1 (1+)
)(xh 0 +
)(xh 递减 0 递增
知 )(xh 1x 处值 0 …………………………7 分
10 xx 时 )(xh >0
∴ 0)( xh (0+)解
x>0 时方程 2)()( xgxf 唯解 …………………………8 分
(3)
设 2 '
2 3
1 2 2( ) 2ln 2 ( ) 2 2 0x x x bx x x bx x x
………………9 分
( )x (01]减函数 min( ) (1) 1 2 1 0x b 1b ……………11 分
: 11 b 求范围 …………………………12 分
13 解:(1) 0)0( f 0d
2
10)1('2
1)(' 2 cafcxaxxf
02
10)(' 2 cxaxRxf 恒成立 恒成立
02
1
2
12 axax 恒成立
显然 0a 时式恒成立
axaxxfa
2
1
2
1)(0 2函数 二次函数28
切 0)( xfRx 二次函数性质
0)2
1(4)2
1(
0
2 aa
a
4
10)4
1(
0
016
1
2
1
0
22
aa
a
aa
a
解
4
1 ca .
(2) 4
1 ca 4
1
2
1
4
1)( 2 xxxf
04
1
24
3
4
1
2
1
4
10)()( 22 bbxxxxxhxf
0)2
1)((02)2
1(2 xbxbxbx
)2
1(2
1)2
1(2
1 bbbb 解集时解集时 解集时2
1b .
(3) 4
1 ca 4
1
2
1
4
1)( 2 xxxf
4
1)2
1(4
1)()( 2 xmxmxxfxg
该函数图象开口称轴 12 mx
假设存实数 m 函数
4
1)2
1(4
1)()( 2 xmxmxxfxg 区间 ]2[ mm
值-5
① ]2[)(121 nmxgmmm 区间函数时 递增
54
1)2
1(4
15)( 2 mmmmg
解 3
73 mm 13
7 3
7m 舍
② ]12[)(21211 mmxgmmmm 区间函数时 递减
区间 ]212[ mm 递增
5)12( mg
54
1)12)(2
1()12(4
1 2 mmm
解 均应舍 212
1
2
1212
1
2
1 mm
③ 1m 时 ]2[)(212 mmxgmm 区间函数 递减
5)2( mg
54
1)2)(2
1()2(4
1 2 mmm29
解 221221221 mmm 中 应舍
综 2213 mm 时
函数 5]2[)()( 值区间 mmmxxfxg
14 解:(1) 3 2( ) 1f x x ax x 求导: 2( ) 3 2 1f x x ax
2 3a ≤ 时 0≤ ( ) 0f x ≥ ( )f x R 递增
2 3a ( ) 0f x 求两根
2 3
3
a ax
( )f x
2 3
3
a a
递增
2 23 3
3 3
a a a a
递减
2 3
3
a a
递增
(2)
2
2
3 2
3 3
3 1
3 3
a a
a a
≤
≥
2 3a 解: 7
4a≥
15 解:(Ⅰ) 2 2
1 ln 1 1 ln( ) (1 ) (1 ) 1 (1 )
x xf x x x x x x x
.·························· 2 分
(01)x 时 ( ) 0f x
(1 )x ∞ 时 ( ) 0f x
( )f x (01) 单调递增 (1 )∞ 单调递减.··············································· 4 分
知 ( )f x (0 )∞ 极值 (1) ln 2f 没极值.································ 6 分
(Ⅱ)(ⅰ) 0a ≤ 时
ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )ln(1 ) ln( ) 01 1
x x x xx x x xf x x x
关 x 等式 ( )f x a≥ 解集 (0 )∞ .················································· 10 分
(ⅱ) 0a 时 ln 1( ) ln 11
xf x x x
知 ln 2 1(2 ) ln 11 2 2
n
n
n nf
中 n 正整数30
2 2
2
1 1ln 1 1 log ( 1)2 2 2
n n
n n
a e n e
.········································· 12 分
2n≥ 时 ln 2 ln 2 ln 2 2ln 2
( 1)1 2 1 (1 1) 1
2
n
n n
n n
n n n
.
2ln 2 4ln 2 11 2
a nn n
.
取整数 0n 满足 2
0 2log ( 1)
n
n e 0
4ln 2 1n a
0 2n ≥
0
0 0
0 ln 2 1(2 ) ln 11 2 2 2 2
n
n n
n a af a
0a 时关 x 等式 ( )f x a≥ 解集 (0 )∞ .
综合(ⅰ)(ⅱ)知存 a 关 x 等式 ( )f x a≥ 解集 (0 )∞ a 取值范围
0∞ . 14 分
16 (Ⅰ)①条件知 PQ 垂直分 AB∠BAO (rad) 10
cos cos
AQOA
10
cosOB OP=10 10tan 10-10ta
10 10 10 10tancos cosy OA OB OP
求函数关系式 20 10sin 10cosy
0 4
② OP x (km) OQ=10- x OA OB 2 2 210 10 20 200x x x
求函数关系式 22 20 200 0 10y x x x x
(Ⅱ)选择函数模型① '
2 2
10cos cos 20 10 sin 10 2sin 1
cos cos
siny
令 'y 0 sin 1
2
0 4
6
0 6
时 ' 0y y 减函数 6 4
时 ' 0y y 增函数
6
时 min 10 10 3y 时点 P 位线段 AB 中垂线距离 AB 边31
10 3
3
km 处
17 解:(1) 2
)(ln1)()0()( x
axxfxf 定义域
令 aexxf 10)(
)(0)()0( 1 xfxfex a 时 增函数
)(0)()( 1 xfxfex a 时 减函数
∴ 111 )()()( aaa eefxfexxf 极值处取极值
(2)(i) 21 ee a 时 时1a (Ⅰ)知 )0()( 1 aexf 增函数 ]( 21 ee a 减函数
1 1( ) ( )a a
maxf x f e e
](0)(]0(0)( 2eexxfexxfex aaa 时时 时 )0()( 1 aexf
1)()( xgxf 图象 图象 ]0( 2e 公点等价 11 ae
解 111 aaa
(ii) 121 aee a 时 ]0()( 2exf 增函数
∴ 2
22 2)(]0()( e
aefexf 值
原问题等价 212 2
2 eae
a 解
1a ∴解
18 解:(Ⅰ) 0a 时函数 ( )f x 定义域 )0(
0a 时函数 ( )f x 定义域 )01(
(Ⅱ)
1
11
)1(
)ln(1
)( 2
xxx
axx
x
xf
22
2
)1(
)ln(
)1(
)1()1()ln()1(
x
ax
xx
xxxaxxx
令 ( ) 0f x 时 ln 0ax 1x a
① 0a 时 1(0 )x a
时 ( ) 0f x 1( )x a
时 ( ) 0f x 32
0a 时函数递增区间 1(0 )a
递减区间 1( )a
② 1 0a 时 1 0ax ( ) 0f x
1 0a 时 ( )f x ( 10)x 单调递增.
③ 1a 时 1( 1 )x a
( ) 0f x 1( 0)x a
( ) 0f x
1a 时 ( )f x 单调递增区间 1( 0)a
单调递减区间 1( 1 )a
.
(Ⅲ) 0a 时函数递增区间 1(0 )a
单调递减区间 1( )a
存 x ( ) ln(2 )f x a 成立须 1( ) ln(2 )f aa
01 1ln( ) ln 2 2 0 11 12
aa aa a aa a a
19 解:(1)题意
239(2 29 107)( 5)(5 7)
198 6 ( 5)(7 8)5
50 10( 8) ( 5)( 8)
{
x x x x
xy x xx
x x x
3 2
2
39 (2 39 252 535)(5 7)
6(33 )(7 8)
10 180 650( 8)
{
x x x x
x x
x x x
(2)(1):5 7x 时 3 239 (2 39 252 535)y x x x
' 2234( 13 42) 234( 6)( 7)y x x x x
5 6x 时 ' 0y ( )y f x 增函数
6 7x 时 ' 0 ( )y y f x 减函数
6x 时 max( ) (16) 195f x f
7 8x 时 6(33 ) 150156y x
8x 时 210( 9) 160y x
9x 时 max 160y
综知: 6x 时总利润值 19533
20 解 (1) 已知 C0 ∴
ln
)(1)(
2
x
xxfx
xxg
2
ln 1( ) ln
xf x x
令 ( ) 0f x x e .列表
x (01) (1 )e ( )e
( )f x +
( )f x 单调减 单调减 单调增
( )f x 单调增区间 ( )e 单调减区间 (01) (1 )e
(2) x me x 两边取数 lnx m x . 1x .
ln
xm x
(1)知 (1 )x 时 ( ) ( )f x f e e . m e .
21 解:(1)题意知 ( )f x 定义域 )0(
)0( 2
1)2
1(22222)('
2
2
xx
bx
x
bxx
x
bxxf
2
1b 时 ( ) 0f x 函数 ( )f x 定义域 )0( 单调递增.
(2) ①(Ⅰ) 1
2b 时 ( ) 0f x 函数 ( )f x 极值点.
② 1
2b 时 ( ) 0f x 两解
2
21
2
1
1
bx
2
21
2
1 2
bx
0 ) bi 时 舍)0(02
21
2
1
1 bx )0(12
21
2
1 2 bx
时 ( )f x ( )f x x 定义域变化情况表:
x )0( 2x 2x 2( )x
( )f x 0
( )f x 减 极值 增
表知: 0b 时 ( )f x 惟极值点
2
21
2
1 bx
ii) 10 2b 时0< 21 xx <1 时 ( )f x ( )f x x 变化情况表:
x 10 x 1x 1 2( )x x 2x 2( )x
( )f x 0 0
( )f x 增 极值 减 极值 增
表知: 10 2b 时 ( )f x 极值
2
21
2
1
1
bx 极值点
2
21
2
1
2
bx
综述: 0b 时 ( )f x 惟值点
2
21
2
1 bx 34
10 2b 时 ( )f x 极值点
2
21
2
1 bx 极值点
2
21
2
1 bx
(3)(2)知 1b 时函数 xxxf ln)1()( 2 时 ( )f x 惟极值点 3 1
2x
减函数时 )2
310()( 0)(')2
310( xfxfx
成立时恒
恒恒
时
1 ln)1ln( 3
)11ln(10 )11(f(1)
2
31
3
4111 0 3
2
2
n
nnn
nnnf
nn
令函数 )0 ln)1()( xxxxh (
x
x
xxh 111)('
2
1ln)1ln(1 3
1)11ln(ln)1ln(
0)11ln(n
1 )1()11( 111 3
)()1[1)( 0)(' 1
n
nnnn
nnnn
nhnhnn
xhxxxhxhx
时恒综述知
时
增函数时处连续时
22 解:(1) '
2 2
2( ) ( 1)
xg x x
' ( 2) 2 2g ( 2) 1g a
( )g x 点 ( 2 ( 2))P g 处切线方程: 2 2 5 0x y a
(2) '
2
2( ) 01
xf x x
0x
( )f x 仅极值点 (00)M 根题意:
5 13
ad
2a 8a
(3)令 2
2
1( ) ( ) ( ) ln( 1) 1h x f x g x x ax
'
2 2 2 2 2 2
2 2 1 1( ) 21 ( 1) 1 ( 1)
x xh x xx x x x
01) (1 )x 时 ' ( ) 0h x
( 1) ( 10)x 时 ' ( ) 0h x
( )h x ( 1)( 10) 时 ( )h x 单调递减35
(01)(1 ) 时 ( )h x 单调递增
( )h x 偶函数 ( 11)x 时 ( )h x 极值 (0) 1h a
1x 时 ( )h x 1x 时 ( )h x
x 时 ( )h x x 时 ( )h x
( ) ( )f x g x 根情况:
1 0a 时 1a 时原方程 2 根
1 0a 时 1a 时原方程 3 根
1 0a 时 1a 时原方程 4 根
23 解:(1) 2y ax 切线斜率 2at 切线l 方程 2(1 ) 2 ( )y at at x t
令 0y
2 2 2 21 1 2 1
2 2 2
at at at atx tat at at
21( 0)2
atM at
令 0t 2 2 2 21 2 1 (01 )y at at at N at
MON 面积
2 2 2
21 1 (1 )( ) (1 )2 2 4
at atS t atat at
(2)
2 4 2 2 2
2 2
3 2 1 ( 1)(3 1)( ) 4 4
a t at at atS t at at
0 0a t ( ) 0S t 2 13 1 0
3
at t
a
2 13 1 0
3
at t
a
时 ( ) 0S t
2 13 1 0 0
3
at t
a
时 ( ) 0S t
1 ( )
3
t S t
a
时 值
已知 1
2t 处 ( )S t 取值 1 1 42 33
a
a
4 13 2a t 时
2
min
4 1(1 )1 23 4( ) ( ) 4 12 34 3 2
S t S
36
24(1) a b 值次 21(2) 13k
►解析:(1) ( )f x 奇函数 (0)f 0 1
1 1 20 1 ( )2 2
x
x
b b f xa a
(1) ( 1)f f 知
111 2 2 24 1 aa a
(2) 解法:(1)知 1
1 2 1 1( ) 2 2 2 2 1
x
x xf x
易知 ( )f x ( ) 减函
数 ( )f x 奇函数等式: 2 2( 2 ) (2 ) 0f t t f t k 等价
2 2 2( 2 ) (2 ) ( 2 )f t t f t k f k t ( )f x 减函数式推 2 22 2t t k t .
切 t R : 23 2 0t t k 判式 14 12 0 3k k
解法二:(1)知 1
1 2( ) 2 2
x
xf x
.题设条件:
2 2
2 2
2 2
2 1 2 1
1 2 1 2 0
2 2 2 2
t t t k
t t t k
: 2 2 2 22 1 2 2 1 2(2 2)(1 2 ) (2 2)(1 2 ) 0t k t t t t t k
整 理 23 22 1t t k 底数2>1 23 2 0t t k 式 切 t R 均 成 立 判 式
14 12 0 3k k
25(1) ( 1)f k 3(25) 4f k
(2)
2 ( 2)( 4) 3 2
( 2) 2 0
( ) ( 2)0 2
1 ( 2)( 4)2 3
k x x x
kx x x
f x x x x
x x xk
( )f x 3 1 13 增函数 11 减函数
(3)① 1k ( )f x 3x 处取值 2( 3)f k 1x 处取值 ( 1)f k .
② 1k 时 ( )f x 3x 1x 处取值 ( 3) (1) 1f f 1x 3x 处取值
( 1) (3) 1f f .
③ 1 0k 时 ( )f x 1x 处取值 (1) 1f 3x 处取值 1(3)f k
.
►解析:(1) ( 1) (1) (05) (25)f kf k f kf
1 1 3(25) (05) (05 2) 05 4f fk k k
.37
(2)意实数 ( ) ( 2)xf x kf x
1( 2) ( ) ( ) ( 2)f x kf x f x f xk
.
2 0x 时 0 2 2 ( ) ( 2) ( 2)x f x kf x kx x
3 2x 时 1 11 2 1 ( ) ( 2) ( 2)( 4)x f x f x x xk k
.
2 ( 2)( 4) 3 2
( 2) 2 0
( ) ( 2)0 2
1 ( 2)( 4)2 3
k x x x
kx x x
f x x x x
x x xk
0 ( )k f x 3 1 13 增函数 11 减函数
(3)函数 ( )f x 33 单调性知
( )f x 3x 1x 处取值 2( 3)f k (1) 1f 1x 3x 处取值
( 1)f k 1(3)f k
.
① 1k ( )f x 3x 处取值 2( 3)f k 1x 处取值 ( 1)f k .
② 1k 时 ( )f x 3x 1x 处取值 ( 3) (1) 1f f 1x 3x 处取值
( 1) (3) 1f f .
③ 1 0k 时 ( )f x 1x 处取值 (1) 1f 3x 处取值 1(3)f k
.
26 0a 0f x f x 0 增函数.
0a 0f x
4
ax f x 单调递增区间 4
a
单调递减区间
0 4
a
. 32 15a 时值 1a 15 4a 时值 2 16a .
►解析: 解:(1)
4 1
3 3f x x ax
1 2
3 3
3 2
4 1 4
3 3 3
x af x x ax
x
0a 0f x f x 0 增函数.
0a 0f x
4
ax f x 单调递增区间 4
a
单调递减区间38
0 4
a
.(2) 4a 0f x ( 18x ) f x 18 增函数.
f x 18x 值 1 1f a 值 8 2 16f a
32a 0f x ( 18x ) f x 18 减函数.
f x 18x 值 8 2 16f a 值 1 1f a .
32 4a
x 1 1 4
a 4
a 84
a 8
f x 0 +
f x 1 1f a ↘ 极值 ↗ 8 2 16f a
f x 18x 值 33
4 4 4
a af a
1 1 8 2 16f a f a 32 15a 时值 1a 15 4a 时值
2 16a .
27f(x) 242sin2
x 022222222 xfa
►解析:(1) 0x 时
1cos22sincos2cossin 222 xxxxxxf
22cos2sin xx 242sin2
x
0x 时 0 x )( xfxf 242sin2
x (6 分)
(2)关 x 方程 oaxf 解 022222222 xfa (12 分)
28 (1) (6) (28) 2 9 55 66f f f
►解析:解:(I) ①知意 * a b a b N 0))()()(( bfafba
0ba )()( bfaf 函数 )(xf *N 单调增函数
(II)令 af )1( 1a 显然 1a 否 1)1())1(( fff 3))1(( ff 矛盾 1a 39
3))1(( ff 3)( af
(I)知 afaf )1()( 3a
31 a *aN 2a 2)1( f
进 3)( af 知 3)2( f
623))2(()3( fff 933))3(()6( fff 1863))6(()9( fff
2793))9(()18( fff 54183))18(()27( fff
81273))27(()54( fff 54 27 81 54 27
(I)知函数 )(xf 单调增函数 55154)28( f
(1) (6) (28) 2 9 55 66f f f
(Ⅲ) 1333))3(()( nnn
n ffaf
nn
n
n aafffa 3))(()3( 1
1
6)3(1 fa
数列 }{ na 6 首项 3 公等数列
∴ 16 3 2 3 ( 123 )n n
na n
2
1 2
1 1(1 )1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 3( ) (1 )12 3 3 3 2 4 31 3
n
n n
na a a
显然
4
1)
3
11(4
1 n
方面 nCCC nn
nnn
nn 212221)21(3 221
24)12
11(4
1)3
11(4
1
n
n
nn
综述
4
1111
24 21
naaan
n
29(Ⅰ) 0a
(Ⅱ)
2
510 a
(Ⅲ) ]0(
►解析:(Ⅰ) axxax
axf 231)( 2
1
)]2()23(3[ 22
ax
axaaxx40
∵
3
2x ( )f x 极值点∴
2'( ) 03f
∴ 2 22 23 ( ) (3 2 ) ( 2) 03 3a a a+ + 013
2 a
∴ 0a
0a 时 '( ) (3 2)f x x x
2
3x ( )f x 极值点成立
(Ⅱ) ( )f x )1[ 增函数
01
)]2()23(3[ 22
ax
axaaxx )1[ 恒成立
0a )23()( xxxf
∴ ( )f x )1[ 增函数成立
0a 01 ax 1x 恒成立知 0a
0)2()23(3 22 axaax )1[ x 恒成立
令 )2()23(3)( 22 axaaxxg 称轴
ax 2
1
3
1
0a
3
1
2
1
3
1
a
( )g x )1[ 增函数
0)1( g 012 aa
2
51
2
51 a
0a
2
510 a .
(Ⅲ) 1a 时方程
x
bxxf 3)1()1(
x
bxxx )1()1(ln 2
322 ln)1()1(ln xxxxxxxxxxb 0x 解
求函数 32ln)( xxxxxg 值域.
)(ln 2xxxxb 令 2ln)( xxxxh
x
xxxxxh )1)(12(211)( ∵ 0x41
∴ 10 x 时 0)( xh )(xh (01)增函数
1x 时 0)( xh )(xh (1+∞)减函数
∴ 0)1()( hxh )(xh 穷 ∴b 取值范围 ]0(
30(1)
4
10 (2) 1n
nf x a x n n x (3) 3a
►解析:(1)
4
10)(104
1)2
1()( 2 xfxxxf
(2) n x n+1(n 0n Z) 时
2
1 1 11 2 n
n n nf x af x a f x a f x n
1n
nf x a x n n x
(3) n x n+1(n 0n Z) 时 2
1 1 11 2 n
n n nf x af x a f x a f x n
nxn
n axf 3)(
显然 Znnnnxaxf nxn
n 013)( 0a 时增函数
时 nn
n aaxf 3)(
函数 y f (x) 区间 0 单调增函数必 nn aa 31 解: 3a
显然 0a 时函数 y f (x) 区间 0 单调函数
3a
31(1)0(2) 5 2
(3)见解析
►解析:(1)解:∵ 3 2f x x ax bx c ∴ 23 2f x x ax b .
∵ f x 0 减函数 01 增函数
∴ 0x 时 f x 取极值 0 0f .
∴ 0b .
(2)解:(1)知 3 2f x x ax c
∵1 函数 f x 零点 1 0f ∴ 1c a .42
∵ 23 2 0f x x ax 两根分 1 0x 2
2
3
ax .
∵ f x 01 增函数函数 f x R 三零点
∴ 2
2 13
ax 3
2a .∴ 52 8 4 1 3 7 2f a a a .
2f 取值范围 5 2
.
(3)解:(2)知 3 2 1f x x ax a 3
2a .
讨直线 1y x 函数 y f x 图交点数情况
求方程组 3 2
1
1
y x
y x ax a
解数情况.
3 2 1 1x ax a x 3 21 1 1 0x a x x .
21 1 1 1 1 0x x x a x x x .
21 1 2 0x x a x a .
∴ 1x 2 1 2 0x a x a .
方程 2 1 2 0x a x a (*)
2 21 4 2 2 7a a a a .
∵ 3
2a
0 2 2 7 0a a 解 3 2 2 12 a .时方程(*)实数解.
0 2 2 7 0a a 解 2 2 1a .时方程(*)实数解 2 1x .
0 2 2 7 0a a 解 2 2 1a . 时 方 程 ( * ) 两 实 数 解 分
2
1
1 2 7
2
a a ax
2
2
1 2 7
2
a a ax .
2a 时 1 0x 2 1x .
综述 3 2 2 12 a 时直线 1y x 函数 y f x 图交点.
2 2 1a 2a 时直线 1y x 函数 y f x 图二交点.43
2 2 1a 2a 时直线 1y x 函数 y f x 图三交点.
321)题设知:
' 1 0 3 2 0 2
3 2 8 1' 1 8
f a b a
a b bf
∴ xxxxf 23 2)( 2' 3 4 1f x x x
令 13
10)( 21 xxxf 解
x 变化时 'f x f x 变化情况表:
x 1
1 11 3
1
3
1 3
'f x + 0 - 0 +
f x 0 4
27
f x 极值 1 0f 极值 1 4
3 27f
……………5 分
(2) 3 2 22 2 1 0x x x kx x x x k
考虑方程 2 2 1 0x x x k 根情况:
0k 方程 2
1 2 32 1 0 0 1 1x x x k x x k x k 根
1 1 0 1 1 1 0k k k x x k k x 时 解集
1 2k x x 时 解集
0 1 0 1 1k x x k x k 解集
(3) R 1 sin 1 1 cos 1 ∴ ∴
4 112sin cos 27 27f f f
∴
33(1)见解析(2)钝角三角形
►解析:证明:假设存 )( 0000 xxbaxx
)()()(
0xfab
afbf
∴ )()()(
0
xfab
afbf44
∵ )()( 00
xfxf
∴
1
1)()(
1
11
1
)( xxx
x
e
xfxg
ee
exf
记
∴ ][)(0
)1(
)( 2 baxf
e
exg x
x
单调增函数
∴ 0000 xxxxx 矛盾 唯
(2)设 321332211 )()()( xxxyxCyxByxA
∵ 01
1)(
xexf
∴ Rxxf )( 单调减函数
∴ )()()( 321 xfxfxf
∵ ))()(())()(( 23231121 xfxfxxBCxfxfxxBA
∴ ))()())(()(())(( 23212321 xfxfxfxfxxxxBCBA
∵ 0)()(0)()(00 23212321 xfxfxfxfxxxx
∴ 0 BCBA
∴ BB 0cos 钝角
∴△ABC 钝角三角形
34(1)a>1(2)仅两交点
►解析:(1) 21)(')0(22ln)( 2 axxxhxxxaxxh
)(xh 存单调递减区间 )0(021)(' axxxh 解.
xxaxaxaxxx 21210210 2 时
问题转化 )0(21
2
xxa 解 a 函数 )0(21
2
xx
值.
)0(211)11(21
2
2
2
xxxxx
值1 a>1.
(2)令 )0(1ln)()()( axaxxgxfxF
函数 1ln)()( xxgaxxf 交点数函数 )(xF 零点数.45
)0(1)(' xxaxF
令 01)('
xaxF 解 1
ax
着 x 变化 )()(' xFxF 变化情况表:
x )10( a a
1 )1(
a
)(' xF 0 +
)(xF 单调递减 极()值 2+lna 单调递增
1 )(0ln2)1( 2 xFeaaaF 时 恒 0函数 )(xF 零点.
2 ② 0ln2)1( 2时 eaaaF 表函数 )(xF 仅零点.
③ 00ln2)1( 2时 eaaaF 显然
a
11
)10()(0)1()1(01)1( axFaFFaF 单调递减
)10()( axF 仅零点
1)(ln)(1
x
exFax
xa
时
指数函数 )1()( axa eey 幂函数 xy 增长速度快慢知存 1
0 ax
1)(
0
0
x
e xa
0111ln1)(ln)(
0
0
0
x
exF
xa
0)()1( 0 xFaF
)1()(
axF 单调递增
1)( axF 图象连续断曲线
)1()(
axF 仅零点.
)(0 2 xFea 时 仅两零点.
综 )()(2 xgxfea 时 图象交点 )()(2 xgxfea 时 图象仅交点
)()(0 2 xgxfea 时 图仅两交点.
35(1)见解析(2)奇函数(3)见解析46
►解析:(1)取 f(x)tanx定义域{x∣x≠kπ+ 2
k∈Z}关原点称 0∈D
存常数 4a
f(a)tana1
两角差正切公式知符合
1 2
1 2
1 2
( ) ( )( ) 1 ( ) ( )
f x f xf x x f x f x
(2)f(x) D 奇函数证明:f(0)0取 x10x2x
(0) ( )(0 ) 1 (0) ( )
f f xf x f f x
f(x)f(x) f(x) D 奇函数
(3)考察 f(x)tanx 正周期 Tπ4a猜测 4a f(x)周期
证明:已知
( ) ( ) ( ) 1( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
f x f a f xf x a f x f a f x
( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1( 2 ) [( ) ] [ 1] [1 ]1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )
f x a f x f xf x a f x a a f x a f x f x f x
1( 4 ) [( 2 ) 2 ] ( )2f x a f x a a f xf x a
( )
f(x)周期函数4a f(x)周期
36(Ⅰ) 11( ) ( )3
nf n ( ) 13 2( 5) 2 3g n n n
(Ⅱ) 19 1 3 1 9 2 3 1[1 ( ) ] ( ) 3 3 ( )4 3 2 3 4 4 3
n n n
n
n nS n n
(Ⅲ) min( ) 3M m
►解析: 解:(Ⅰ)取 x n 1( 1) ( )3f n f n 取 0x 1(1) (0) 13f f
数列{ ( )}f n 首项 1公 1
3
等数列 11( ) ( )3
nf n
取 x n 1y *( 1) ( ) 2( )g n g n n N ( 1) ( ) 2g n g n 数列 { ( )}g n 公差 2 等差数列
(5) 13g ( ) 13 2( 5) 2 3g n n n
(Ⅱ) 1 11 1[ ( )] [ ( ) ] ( ) 32 2 3 3
n n
n
n nc g f n g n
2 3 2 1
1 2
1 1 1 1 11 2( ) 3( ) 4( ) ( 1)( ) ( ) 33 3 3 3 3
n n
n nS c c c n n n
2 3 11 1 1 1 1 12( ) 3( ) ( 1)( ) ( )3 3 3 3 3 3
n n
nS n n n 两式相减
2 3 1
11 ( )2 1 1 1 1 1 1 3 1 131 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 [1 ( ) ] ( ) 213 3 3 3 3 3 3 2 3 31 3
n
n n n n n
nS n n n n n n
19 1 3 1 9 2 3 1[1 ( ) ] ( ) 3 3 ( )4 3 2 3 4 4 3
n n n
n
n nS n n 47
(Ⅲ) 19 2 3 1( ) 3 ( )4 4 3
n
n
nF n S n 12 3 1 2 5 1 1( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)( ) 04 3 4 3 3
n n nn nF n F n n
( )F n 增函数 min( ) (1) 1F n F
1
2 3lim 03nn
n
9lim ( ) 4n
F n
12 3 1( ) 04 3
nn 9( ) 4F n 91 ( ) 4F n
1m 9
4M 时 ( )m F n M 恒成立存正数 0 1 2 m 345M 意正
整数等式 ( )m F n M 恒成立时 min( ) 3M m
37(1) 2 ( )f x 底型函数(2)实数 x 范围 1 5[ ]2 2
⑶m=1n=1
►解析:(1)函数 1( ) | 1| | 2 |f x x x [12]x 时 1( ) 1f x
1x 2x 时 1( ) | ( 1) ( 2) | 1f x x x 恒成立 1( )f x 底型函数
函数 2 ( ) | 2 |f x x x ( 2]x 时 2 ( ) 2f x (2 )x 时 2 ( ) 2 2 2f x x
存闭区间[ ]a b [ ]x a b 时 ( ) 2f x 恒成立 2 ( )f x 底型函数
(Ⅱ)| | | | | | ( )t k t k k f x 切t R 恒成立 min(| | | |) | | ( )t k t k k f x
min(| | | |) 2 | |t k t k k 2 | | | | ( )k k f x 0k ( ) 2f x
( ) | 1| | 2 |f x x x | 1| | 2 | 2x x 解 1 5
2 2x
实数 x 范围 1 5[ ]2 2
( Ⅲ ) 函 数 2( ) 2g x mx x x n 区 间 [ 2 ) 底 型 函 数 存 区 间
[ ]a b [ 2 ) 常数 c 2 2mx x x n c 恒成立
2 22 ( )x x n mx c 恒成立
2
2
1
2 2
m
mc
c n
解
1
1
1
m
c
n
1
1
1
m
c
n
1
1
1
m
c
n
时 ( ) | 1|g x x x
[ 2 1]x 时 ( ) 1g x ( 1 )x 时 ( ) 2 1 1g x x 恒成立
时 ( )g x 区间[ 2 ) 底型函数48
1
1
1
m
c
n
时 ( ) | 1|g x x x
[ 2 1]x 时 ( ) 2 1 1g x x ( 1 )x 时 ( ) 1g x
时 ( )g x 区间[ 2 ) 底型函数
综分析m=1n=1 求
38(1)
1
)(2
x
x
e
exf 函数(2) R 恒|f(x)| ≤|x|成立函数 f(x) 函数
►解析:1)∵|xsinx|≤|x|∴f1(x)xsinx 函数
∵
2
1)0(2 f ∴满足|f(0)|≤|0|∴
1
)(2
x
x
e
exf 函数
(2)设 F(x)f(x)x F′(x) 12
2 ax
x
① x>0 时∵a>1
∴ 11
2
22
22 aax
x
ax
x
x0 时F′(x)1<0
∴ x≥0 时F′(x) 12
2 ax
x <0
∴F(x) 0 减函数
∴F(x)≤F(0) F(0)f(0)0∴F(x)f(x)x≤0
∵x>0 时 f′(x) 02
2 ax
x
∴函数 f(x) 0 增函数∴f(x)≥f(0)0
∴0≤f(x)≤x|f(x)| ≤|x|
② x<0 时x>0 ∴|f(x)|≤|x|显然 f(x)偶函数
∴|f(x)|≤|x||f(x)| ≤|x|
∴ R 恒|f(x)| ≤|x|成立函数 f(x) 函数
39(1)见解析(2)成立
►解析:(1)函数 2)(1 xxf 属集合 A 1( )f x 值域[ 2 ) 函数 2)(1 xxf
属集合 A( 149 0 (49) 5 4x f 时 满足条件)49
xxf )2
1(64)(2 ( 0)x 集合 A 中 ① 函数 2 ( )f x 定义域[0 )
② 函数 2 ( )f x 值域[ 24) ③ 函数 2 ( )f x [0 ) 增函数.
(2) 0)4
1()2
1(6)1(2)2()( xxfxfxf
)1(2)2()( xfxfxf等式 意 0x 总成立
40 2
1
1 1( ) ( 1) ( 1) ( 1)2 2f x f x x x 2
2 1
1 1( ) ( 1) ( 2) ( 2)2 2f x f x x x
21 1( ) ( ) ( ) ( )2 2n nf x f x n x n x n ∴
►解析: 1x I = 12 时 1 01x 题意
2
1
1 1( ) ( 1) ( 1) ( 1)2 2f x f x x x
2x I 23 时 1 12x 题意
2
2 1
1 1( ) ( 1) ( 2) ( 2)2 2f x f x x x .
2( ) 2 ( 1) 2 ( 20 2 ( )nf x f x f x f x n ∵ …
( ) 2 ( )nf x n f x ∴
1nx I n n 时 01x n
21 1( ) ( ) ( ) ( )2 2n nf x f x n x n x n ∴ .
41 解:(I) 19)( 2 xaxf
)(019)(0 2 xfxaxfa 时 R 减函数
330190 2 axaxxaa 解时 33019 2 axaxa
解
区间 )()33( xfaa 减区间区间 )()3()3( xfaa 增区间…5 分 (II)
点 ))(( 33 afa 处曲线切线斜率 19 3 2 aa
切线方程 ))(19()3( 33 23 axaaay
令 x0 y-6 切线恒守定点(0-6)…………9 分
(III)点 ))(( 11 xfx 处曲线切线方程 ))(19()3( 1
2
11
3
1 xxxaxxay
令
ax
xxy
2
1
3
1
2 9
60 50
ax
xaxx
ax
xxx
2
1
2
11
12
1
3
1
12 9
)3(
9
6
0309030 2
1
2
111 xaaxxaxa
122
1
2
11 0
9
)3( xx
ax
xax
42 (Ⅰ)2≤ a < 4
1 时 '( )f x 0 x1 2
1 1 4 1 1 4 2 2
a ax
显然1≤x1< 2
1 2
1
'( )f x - 1 2
2
x x x x
x
2
1 ≤x≤x2 时 '( )f x ≥0 ( )f x 单调递增
x2
a a a
a
1 1 41 4 ln 2
aa
(Ⅱ)答 存 7( ]4a 符合条件
解 2( ) [ ( ) ln ]g x f x x x 3ax x
妨设意两点 1 1 1 2 2 2( ) ( )p x y p x y 中 1 2x x
3 3
2 21 2 1 2 2 1
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( )y y a x x x xk a x x x xx x x x
1k 知 a 1+ 2 2
1 1 2 2( )x x x x
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
3 3 3 124 x x x x x x 1+ 2 2
1 1 2 2( )x x x x 7 134
存 7( ]4a 符合条件
43 解:(1)函数定义域 )0()01(
(2) xf = 2
1
x
1ln11 xx
x =-
2
1
x
1ln1
1 xx
∵x>0∴x2>0
1
1
x
>0.ln(x+1)>0∴ xf <0
函数 f(x)区间(0+∞)减函数.
1
)1(
1)()1ln(1
1)( 22
'
x
x
xxxgxxxg g(x)(10)
减函数知 g(x)>g(0)1>0时 xf =-
2
1
x
1ln1
1 xx
<0函数 f(x)区间(10)减
函数
综知函数 f(x) (10) )0( 减函数
(3) x>0时f(x)>
1x
k 恒成立 令x=1k<2 2ln1
k 正整数.∴k 值3. ……10 分51
面证明k=3时f(x)>
1x
k (x>0)恒成立.
证x>0时 1x 1ln x +1-2x>0恒成立.
令g(x)= 1x 1ln x +1-2x xg = 1ln x -1
x>e-1时 xg >00<x<e-1时 xg <0.
∴x=e-1时g(x)取值g(e-1)=3-e>0.
∴x>0时 1x 1ln x +1-2x>0恒成立.
正整数 k 值3
44 解:(Ⅰ) 1 4( ) log ( ) log2 2a af x e g x ex x t
∵函数 ( )f x ( )g x 图象 2x 处切线互相行
(2) (2)f g
1 4log log2 2a ae et
6t
(Ⅱ) 6t
( ) ( ) ( )F x g x f x 2log (2 4) loga ax x -
2(2 4)log 14a
x xx
令
2(2 4) 16( ) 4 16 14xh x x xx x
2 2
16 4( 2)( 2)( ) 4 14x xh x xx x
∴1 2x 时 ( ) 0h x 2 4x 时 ( ) 0h x
∴ )(xh 12 单调减函数 24 单调增函数
min( ) (2) 32h x h ( ) (1) (4) 36maxh x h h
∴ 10 a 时 min( ) log 36aF x 1a 时 min( ) log 32aF x
∵ 14x 时 ( ) 2F x 恒成立 ∴ min( ) 2F x
∴满足条件 a 值满足列等式组
0 1
log 36 2a
a
① 1
log 32 2a
a
②
等式组①解集空集解等式组②1 4 2a
综述满足条件 a 取值范围:1 4 2a
45 解:(1)∵ bx
xxaxf
1
2)1ln()( ∴ 2)1(
2
1)('
xx
axf
∵函数 )(xf 0x 处切线方程 2 xy
∴ 12)0(' af ∴ 1a
(2)∵点 )0( c 直线 02 yx ∴ 02 c ∴ 2c
∵ )20( bx
xxxf
1
2)1ln()( 图象∴ 2)0( bf
∴ )1(21
2)1ln()( xx
xxxf
(1): )1(
)1(
1
)1(
2
1
1)(' 22
x
x
x
xxxf 52
令 0)(' xf 1x 函数 )(xf 单调递增区间(1+∞)
令 0)(' xf 11 x 函数 )(xf 单调递减区间(-11)
∴ 1x 时函数 )(xf 取极值 2ln1
46 解:(1)∵ 3( ) 2f x x ax 点 (20)P ∴a8 3( ) 2 8f x x x
2( ) 6 8f x x x
∴切线斜率 (2) 16k f
∵ 2( )g x bx cx 图点 (20)P ∴4b+2c0
∵ ( ) 2 (2) (2) 4 16g x bx c f g b c 解:b8c16
∴ 2( ) 8 16g x x x
切线方程 16y= (x2). 16xy320
(2) ∵ ( ) ( 2) ln( 1) ( 1)F x m x x x
1 1( ) ( 1)1 1
mx mF x m xx x
m<0 时
1[ (1 )]
( ) 1
m x mF x x
∵m<0 ∴ 11 1m
x>1 1(11 )x m
时 ( ) 0F x 1(1 )x m
时 ( ) 0F x
∴F(x)单调减区间 1(1 )m
∴F(x)单调增区间(1 11 m
)
m<0 时F(x)单调递增区间(1 11 m
)单调减区间( 11 m
)
47 解:(1)设 )()()( xgxfxF )(' xF
x
x
x
11
11
0x 时 0)(' xF 函数 )(xF (0 ) 单调递增 )(xF
0x 处连续 0)0()( FxF 0)()( xgxf
)()( xgxf
(2)设
xk
kxxgxG )()(
)(xG (0 ) 恒 0
xk
kkxxG
2
)1ln()(
2
22
2
2
))(1(
)2(
)(1
1)('
xkx
xkkx
xk
k
xxG
0)2( 22 xkkx 根 0 22 kk
区间(0 ) 0)(' xG 根 0 22 kk
022 kk )(xG )20( 2 kk 单调递减
0)0( G )(xG (0 ) 恒 0 矛盾
022 kk )(xG (0 ) 单调递增
0)0( G 满足题设条件 022 kk 20 k
48 解 (1)设直线 y6x+1 yx3+bx2+cx+d 相切点 P(x0y0)
∵f(x)x3+bx2+cx+d 两极值点 x11x2253
f '(x)3x2+2bx+c3(x-1)(x-2)3x2-9x+6
b-9
2
c6
(2) f(x)x3-9
2
x2+6x+d P(x0y0)切点
y06x0+1 ①
y0x0
3-9
2
x0
2+6x0+d ②
3x0
2-9x0+66 ③
③求 x00 x03 ①②联立知 d1+9
2
x0
2-x0
3 x00 时 d1 x03
时 d 29
2
∴f(x) x3-9
2
x2+6x+1 f(x) x3-9
2
x2+6x+29
2
(3) d 整数时d1 符合条件 时 P (01)
设 P(01)直线 l ykx+1 y x3-9
2
x2+6x+1相切点(x1y1)
y1kx1+1 ④
y x1
3-9
2
x1
2+6x1+1 ⑤
k3x1
2-9x1+6 ⑥
④⑤ x1≠0 知 kx1x1
3-9
2
x1
2+6x1 kx1
2-9
2
x1+6
联立⑥知 kx1
2-x1+63x1
2-9x1+6 x1≠0
∴x1 9
4
时 k15
16
切线方程 y 15
16
x+1
49 解(1)∵ a1 时 23 3f x x 令 f x 0 x0 x1………………………2 分
01x 时 0f x 0 1x 时 0f x
∴ f x 01 单调递减 0 1 单调递增
∴ f x 极值 1f 2………………………………………………………………4 分
(2)∵ 23 3f x x a 3a ………………………………………………………………6 分
∴直线 x y m 0 意 m R 总曲线 y ( )f x 切线仅1<3a
∴ 1
3a …………………………………………………………………………………………8 分
(3) 3 3g x f x x ax [11]偶函数求 [01]值…………9 分
① 0a 时 f x 0 f x 01 单调递增 0 0f
∴ g x f x f x ∴ 1 1 3F a f a …………………………………………10 分
② 0a 时 23 3 3f x x a x a x a
i 1a 1a 时 g x f x f x f x 01 单 调 递 增 时
1 3 1F a f a ……………………………………………………………………12 分54
ii 0 1a 0 1a 时 g x f x 0 a 单调递减 1a 单调递增
10 1 1 3 0f a 1 13 a 时 g x f x f x 0 a 单调递增 1a 单调
递减 2F a f a a a ……………………………………14 分
20 1 1 3 0f a 10 3a 时
(ⅰ) 1 1 3f a f a 10 4a 时 1 1 3F a f a
(ⅱ) 1 1 3f a f a 1 1
4 3a 时 2F a f a a a
综
11 3 ( )4
12 ( 1)4
3 1[1 )
a a
F a a a a
a
………………………………………………
50 解:(Ⅰ)三函数值次1 1 t 1 t …………………… …3 分
(1) 0f 1c a b
∴ 3 2 3 2( ) ( 1)f x x ax bx c x ax bx a b
2( 1)[ ( 1) ( 1)]x x a x a b
方程 2 ( 1) ( 1) 0x a x a b 两根 1 t 1 t .
1 1 ( 1)t t a 1 1 1t t a b .………………………4 分
2 2( 1 1 ) ( 1)t t a 22 2( 1) ( 1)a b a
∴ 2 2 3a b . …………………………………………………………5 分
(Ⅱ)①题意 1 2x x 方程 2'( ) 3 2 0f x x ax b 根
1 2
2
3
ax x 1 2 3
bx x
△ 2(2 ) 12 0a b 3b .
2
2
1 2 1 2 1 2
2 3 2 3| | ( ) 4 3 3
a b bx x x x x x ………………………7 分
2 3
3
b 2
3
2b 2 2 3 7a b .55
(Ⅰ)知 1 1 ( 1) 0t t a 1a
∴ 7a ( 1) 7 3c a b
∴ 3 2( ) 7 2 7 3f x x x x .…………………………………………9 分
② 1 2| | | ( ) ( ) |M N f x f x 3 3 2 2
1 2 1 2 1 2| ( ) ( ) ( ) |x x a x x b x x
2
1 2 1 2 1 2 1 2| | | ( ) ( ) |x x x x x x a x x b
22 3 2 2| ( ) ( ) |3 3 3 3
b a b aa b
3
24 (3 )27 b (
32
24 9( )27 2
a ). ………………………………………11 分
(Ⅰ) 2 2 2( 1) ( 1 1 ) 2 2 1a t t t
∵ 0 1t
∴ 22 ( 1) 4a
1a
∴ 2 1 2a
3 2 1a 23 2 2 9a ( 2 3b ) …………………13 分
∴
3
240 | | (3 2)27M N .…………………………………15 分
51 解:(1)函数 f(x)(∞+∞)单调递增函数
f′(x)x2+ax+a>0 (∞+∞)恒成立
Δa24a<0解 0 a0 时f(x)
3
1 x32 (∞+∞)单调递增函数
a4 时f(x)
3
1 x3+2x2+4x2
3
1 (x+2)3
3
14 (∞+∞)单调递增函数
0≤a≤4 6 分
(2)题意方程 f′(x)0 两实数根 x1x2
Δa24a>0解 a<0 a>4 x1+x2ax1x2a 8 分
f(x1)f(x2)[
3
1 (x12+x1x2+x22)+
2
1 a(x1+x2)+a](x1x2)
21
21 )()(
xx
xfxf
3
1 [(x1+x2)2x1x2]+
2
1 a(x1+x2)+a
3
1 (a2a)+
2
1 a(a)+a
6
1 a2+
3
2 a≥
6
5
解1≤a≤5
实数 a 取值范围1≤a<0 452 解:(1)题意意实数 x : ( ) ( )f x f x
: 0)0( f b0…(2 分) 3 2( ) 3 ( ) 3 3f x ax cx f x ax c …(3 分)
1x 时
3
2)( 取极值-xf
: 033)1( caf 2(1) 3 3f a c .…(5 分)
解: 1 13 3a c 1 1 03 3a b c .…(6 分)
(2) 11x 时图象存两点两点处切线互相垂直.
假设 11x 时图象存两点 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y 两点处切线互相垂直.设两条
切线斜率分 1k 2k 121 kk …(8 分)
2( ) 1f x x 知两点处切线斜率分: 2 2
1 1 2 21 1k x k x
2 2
1 2 1 2( 1)( 1) 1 ( )k k x x …(10 分)
2 2
1 2 1 2 1 1 1 0 1 0x x x x 2 2
1 2( 1)( 1) 0x x
(*)相矛盾假设成立.…(13 分)
11x 时图象存两点两点处切线互相垂直.…(14 分)
53 解:(Ⅰ) ∵ f(x) x3 +(m2-4m + 2)x + m3-6m2 + 9m-1
∴ f ′(x) 3x2 +(m2-4m + 2).
f(x)极值 f ′(x) 0 两实数根
∴ m2-4m + 2<0 ∴ 2222 m . ……………… 4 分
(Ⅱ)设 f ′(x) 0 实数根(<) + 0.
g(m) f()+ f()
3 + 3 +(m2-4m + 2)( + )+ 2(m3-6m2 + 9m-1)
( + )(2- + 2)+(m2-4m-2)( + )+ 2(m3-6m2 + 9m-1)
+ 0 g ( m ) 2 ( m3 - 6m2 + 9m - 1 )
( 2222 m ). ……………… 8 分
∴ g ′(m) 6(m2-4m + 3) g ′(m) 0 m 13.
m 22 … 1 … 3 … 22
g ′(m) + 0 - 0 +
g(m) )21(2 6 -2 )21(2
表值 g(1) 6值 g(3)-2. …………12 分
54 解(I) )1)(2
3(36)2(33)( 2 xxaxaaxxf ………………2 分
122
aa
0)(120)(12 xfxaxfxax 时时 ………………4 分57
)12()1()2()( aaxf 单调递增 单调递减
2)1()( afxf 极值 …………………………………………6 分
(II)① 0)1(30 2 xa 时 根…………………………7 分
② 0)(12120 xfxaxaa 时时
02)1()(0)(12 afxfxfxa
极值时
极值 0)(0)2( xfaf 三根………………………………9 分
③ 0)(211220 xfaxxaa 时时
0)(21 xfax 时
0)(02)1()( xfafxf 极值 根………………10 分
④ 0)(0)1(6)(2 2 xfxxfa 时 根………………11 分
⑤ 时2a (I) 04
3)4
31(4)2()( 2
aafxf 极值
0)( xf 根
综: 0)(0 xfa 时 根
0)(0 xfa 时 三根 ………………………………………12 分
55 解(1) axxaxxf 23 )1()(
3
4
3)2
1(
)3
1(33
)1()3
1(3)1(23)(
2
2
2
22'
aaxaaaxaxaxxf
方程 0)(' xf 两实数解 21 xx ))((3)( 21
' xxxxxf
妨设 21 xx 区间 )( 1x )( 2 x 0)(' xf )(xf 增函数区间 )( 21 xx
0)(' xf )(xf 减函数
1x 极值点 2x 极值点
(2) 0)()( 21 xfxf : 0)())(1( 21
2
2
2
1
3
2
3
1 xxaxxaxx
0)(]2))[(1(]3))[(( 2121
2
2121
2
2121 xxaxxxxaxxxxxx58
3
)1(3
2
21
21
axx
axx
1a
03
)1(2]3
2)1(9
4)[1(])1(9
4)[1(3
2 22 aaaaaaaa
整理 0252 2 aa 解 2a
2a 时等式 0)()( 21 xfxf 成立
56 解:(Ⅰ) 012
3)(2
1)( 23 xxfxxxf
3
6 x ………………2 分
]20[x 时 2)2()(9
62)3
6()( minmax fxffxf …………4 分
(Ⅱ) 2
302
3)( 22 xttxxf )(6 xft 单调增函数 ………………6 分
2
302
3)( 22 xttxxf 0 ( )t f x 单调减函数 ………………8 分
(Ⅲ) |)(| xf 偶函数意 ]22[x 6|)(| xf 成立
意 ]20[x 6|)(| xf 成立
1°(Ⅱ)知 0t 6t 时 )(xf 定义域单调函数
意 ]20[x 6|)(| xf 成立 516|42|6|)2(| ttf
01 t 时意 ]22[x 6|)(| xf 成立 …………10 分
2° 0 6t 时 )2(2
1
2
1)( 23 txxxtxxf 23
602
3)( 2 txtxxf
3
60)( txf 单 调 增 函 数
23
6t 单 调 减 函 数 ∴ 意 ]20[x
成立6|)(| xf
3
3
2
2430
51
69
62
51
6)3
6(
6|)2(|
t
t
t
t
tf
f
3
2
2430 t 时意 ]22[x 6|)(| xf 成立 ………………12 分59
综知 3 2431 2t 时意 ]22[x 6|)(| xf 成立 ……14 分
57解: )0(23)( 22 aabxaxxf ………1 分
(1) 21 21 xx 函数 f(x)两极值点
0)2(0)1( ff ………………………………………………………………2 分
960412023 22 baabaaba 解 ………………………3 分
3696)( 23 xxxxf …………………………………………………………4 分
(2)∵x1x2 f(x)两极值点 0)()( 21 xfxf
∴x1x2 方程 023 22 abxax 两根
∵△ 4b2 + 12a3 ∴△>0 切 a > 0 Rb 恒成立
00
33
2
21
2121
xxa
axxa
bxx
3
4
9
4)3(4)3
2(|||||| 2
2
2
2121 a
a
ba
a
bxxxx ……………………6 分
)6(3223
4
9
422|||| 22
2
2
21 aaba
a
bxx ………………7 分
600)6(30 22 aaab ………………………………………… 8 分
令 369)()6(3)( 22 aaahaaah
)(0)(40 ahaha 时 (04)增函数
0)(64 aha 时 ∴h (a)(46)减函数
∴a 4 时h(a)极值 96 60)( ah 值 96
∴b 值 64 …………………………………………………………………10 分
(3)证法:∵x1x2 方程 0)( xf 两根
))((3)( 21 xxxxaxf …………………………………………………… 12 分60
2
21
21 )2
|3
1|||
(3|3
1|||3|)(|
xxxx
axxxxaxg ………… 14 分
3
13
)3
1(4
3)]3
1()[(4
3|)(|
00
1221
2
12
2
21
2121
xaxaxx
xxaxxxxaxg
xxxxxxx
)23(12
1)3
1
3
1(4
3|)(| 22 aaaaxg ……………………………………16 分
证法二:∵x1x2 方程 0)( xf 两根
))((3)( 21 xxxxaxf …………………………………………………… 12 分
3
13 1221 xaxaxx
|]1)(3)[3
1(||)3
1())(3
1(3||)(| axxaxaaxxaxg
∵x1 < x < x2
)133)(3
1(|)(| axxaxg ………………………………………………… 14 分
aaaaxa
axxa
3
1
4
3)2(3
)3
13)(3
1(3
2
3
2
12
)23(
3
1
4
3 2
2
3 aaaaa ……………………………………………16 分
58 解:(Ⅰ) axaxxf 663)( 2 0)1( f 0663 aa a-2
(Ⅱ)直线 m 恒点(09)
先求直线 m yg(x) 切线设切点 )1263( 0
2
00 xxx 66)( 00 xxg
切线方程 ))(66()1263( 000
2
0 xxxxxy 点(09)代入 10 x
10 x 时切线方程 y9 10 x 时切线方程 y12x+9
0)( xf 01266 2 xx 21 xx
1x 时 )(xfy 切线 18y
2x 时 )(xfy 切线方程 9y 9y 公切线
12)( xf 121266 2 xx 0x 1x
0x 时 )(xfy 切线 1112 xy
1x 时 )(xfy 切线 1012 xy 912 xy 公切线
综述 0k 时 9y 两曲线公切线
(Ⅲ)(1) )(9 xgkx 363 2 xxkx 0x 等式恒成立 Rk
02 x 时等式 6)1(3
xxk 61
6])(
1)[(36)1(3
xxxx 0623 0k
0x 时等式 6)1(3
xxk 126)1(3
xx 12k
2x 时 )(9 xgkx 恒成立 120 k
(2) 9)( kxxf 1112329 23 xxxkx
0x 时 119 恒成立 Rk 02 x 时
xxxk 201232 2
设
xxxxh 201232)( 2
xx 20
8
105)4
3(2 2
02 x 时
8
105)4
3(2 2 x 增函数
x
20 增函数 8)2()( hxh
9)( kxxf 02 x 恒成立 8k
述程考虑 80 k
0x 时 12166)( 2 xxxf )2)(1(6 xx
]20(x 时 0)( xf )2( 时 0)( xf )(xf 2x 时极值 )(xf )0(
值 9)2( f 9)( xf 0x 0k 时 99 kx 9)( kxxf 定成立
综述 80 k
59 解:(Ⅰ) 2'( ) 3 2f x x ax b 题意:
(1) 4
'(1) 0
f
f
1 4
3 2 0
a b
a b
解 6
9
a
b
3 2( ) 6 9f x x x x
2'( ) 3 12 9 3( 1)( 3)f x x x x x '( ) 0f x 1x 3x
'( ) ( )f x f x 区间 (04] 变化情况:
x 0 (01) 1 (13) 3 (34) 4
'( )f x + 0 — 0 +
( )f x 0
增函
数 4
减函
数 0
增函
数 4
函数 3 2( ) 6 9f x x x x 区间[04] 值 4值 0
(Ⅱ)函数定义域正数知 0s 极值点 (30) 区间[ ]s t
(1)极值点 (14)M 区间[ ]s t 时 0 1 3s t ≤ ≤ 区间 ( )f x 值 4
等 t 区间[ ]s t 没极值点
(2) 3 2( ) 6 9f x x x x [ ]s t 单调增 0 1s t ≤ 3 s t 62
( )
( )
f s s
f t t
3 2
3 2
6 9
6 9
s s s s
t t t t
解 2
4
s
t
合求
(3) 3 2( ) 6 9f x x x x [ ]s t 单调减1 3s t≤ ≤ ( )
( )
f s t
f t s
两式相减 s t : 2( ) 6( ) 10 0s t s t st ①
两式相开方 2 2[ ( 3)] [ ( 3)]s s t t
(3 ) (3 )s s t t 整理 s t : 3s t ②
①② 3
1
s t
st
s t 方程 2 3 1 0x x 两根
存 3 5
2s 3 5
2t 满足求
(Ⅲ)(Ⅱ)极值点 (30) 区间[ ]s t
(1)极值点 (14)M 区间[ ]s t 时 0 1 3s t ≤ ≤
①
0 1 3
4
( )
( ) ( )
s t
kt
ks f s
f s f t
≤ ≤
≤
②
0 1 3
4
( )
( ) ( )
s t
kt
ks f t
f s f t
≤ ≤
≥
① 4k t
1 3t ≤ 知 4( 4]3k 仅 1t 时 4k
2( 3)k s 0 1s ≤ 知 [49]k 仅 1s 时 4k
s t 存满足求 k 值
② 21 (3 )( ) ( ) [ ]4 2
t t ts f t f tk
0 1s ≤ 解 2 3t ≤
4k t
2 3t ≤ 知 4( 2]3k
4( 2]3k 时存 4 [23)t k
21 (3 )( ) ( ) [ ] (01]4 2
t t ts f t f tk
4( ) 4 ( ) ( )f s s f t f tk
≥ 满足求
(2)函数 ( )f x 区间[ ]s t 单调递增 0 1s t ≤ 3 s t
( )
( )
f s ks
f t kt
s t 方程 2 6 9x x k 两根63
方程两根 3[ ]s t 单调增区间
(3)函数 ( )f x 区间[ ]s t 单调递减1 3s t≤ ≤ ( )
( )
f s kt
f t ks
两式相整理 2 2 2 2( 3) ( 3)s s t t
1 3s t 知 ( 3) ( 3)s s t t 3s t
两式相减 s t
2 2( ) 6( ) 9k s st t s t 2( ) 6( ) 9s t s t st st
2 9( )2 4
s tk st
9(0 )4k s t 方程 2 3 0x x k 两根
存 3 9 4
2
ks 3 9 4
2
ks 满足求
综 90 4k 时存两等正数 s t ( )s t [ ]x s t 时函数 3 2( ) 6 9f x x x x
值域恰[ ]ks kt
60 (Ⅰ)解:∵函数 f(x)=x4+ax3+bx2+c y 轴截距-5 ∴c=-5
∵函数 f(x)区间[01]单调递增[12]单调递减
∴x=1 时取极值 x=0x=2 时函数 f(x)取极值.
∴x=0x=1 x=2 函数 f(x)三极值点
f'(x)=0 三根 012
∴f '(x)=4x3+3ax2+2bx=4x(x-1)(x-2))=4x3-12x2+8x
∴a=-4b=4 ∴函数 f(x)解析式: f(x)=x4-4x3+4x2-5
(Ⅱ)解:函数 f(x)存垂直 x 轴称轴设称轴方程 x=t
f(t +x)=f(t-x) x∈R 恒成立
(t +x)4-4(t +x)3+4(t +x)2-5=(t-x)4-4(t-x)3+4(t-x)2-5
化简(t-1)x3+( t2-3 t +2)x=0 x∈R 恒成立
∴ t-1=0
t2-3 t +2=0.∴t=1
函数 f(x)存垂直 x 轴称轴 x=1
(Ⅲ)解:x4-4x3+4x2-5=λ2x2-5 恰三根
x4-4x3+4x2-λ2x20 恰三根
x2(x2-4x+4-λ2)=0∵x=0 根
∴方程 x2-4x+4-λ2=0 应两非零相等实数根
∴△=16-4(4-λ2)=4λ2>0 x1x2=4-2≠0∴≠0-22.
存实数 m等式 m2+tm+2≤|x1-x2|意 t∈[-33] λ∈A 恒成立
∵|x1-x2|= (x1-x2)2-4 x1x2=2||>0
m2+tm+2≤|x1-x2|意 t∈[-33] λ∈A 恒成立
m2+tm+2≤0 意 t∈[-33] 恒成立
令 g(t)=tm +m2+2 g(t)关 t 线性函数64
∴ g(-3) ≤ 0
g(3) ≤ 0. 解 1≤m≤2
-2≤m≤-1.
∴存实数 m等式 m2+tm+2≤|x1-x2|意 t∈[-33] λ∈A 恒成立
61 (Ⅰ)∵f′(x)3x2+2bx+c
f(x) x1 时极值1
1)1(
0)1('
f
f (2 分)
5
1
121
023
c
b
cb
cb 解 (3 分)
b1c5 时
f′(x)3x2+2x5(3x+5)(x1)
x>1 时f′(x)>0
3
5
5
1
c
b (4 分)
(Ⅱ)假设 f(x)图 xt 处切线直线
(b2c)x+y+10 行
∵f′(t)3t2+2bt+c
直线(b2c)x+y+10 斜率 cb2
∴3t2+2bt+ccb2(7 分)
3t2+2bt+b20
∵Δ4(b23b2)8b2
∵b≠0 ∴Δ<0
方程 3t2+2bt+b20 解
存 t f′(t)cb2
f(x)图存直线(b2c)x+y+10 行切线(9 分)
(Ⅲ)证法:∵|f'(x)||3(x+
3
b )2+c
3
2b |
①|
3
b |>1 M 应|f′(1)||f′(1)|中
∴2M|≥f′(1)|+|f′(1)||32b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12
∴M>6 M≥
2
3 (11 分)
②3≤b≤0 时2M≥|f′(1)+|f′(
3
b )|
|32b+c|+|c
3
2b |≥|
3
2b 2b+3||
3
1 (b3)2|≥3 M≥
2
3
③ 03
b )||3+2b+c|+|c
3
2b |≥|
3
2b +2b+3|65
|
3
1 (b+3)2|>3∴M≥
2
3
综述M≥
2
3 (14 分)
证法二:f′(x)3x2+2bx+c 顶点坐标(
3
33
2bcb )
①|
3
b |>1 M 应|f′(1)||f′(1)|中
∴2M≥|f′(1)|+|f′(1)||32b+c|+|3+2b+c|≥4|b|>12
∴M>6 M≥
2
3 (11 分)
②|
3
b |≤1 M |f′(1)||f′(1)||
3
3 2bc |中
(i) c≥
2
3 时2M≥|f′(1)|+|f′(1))|≥|f′(1)|+f′(1)||6+2c|≥3∴M≥
2
3
(2) c<
2
3 时M≥
3|3
3|
22 bbc c≥c>
2
3
综述M≥
2
3 成立 (14 分)
证法三:∵M |f′(x)|x∈[11]值
∴M≥|f′(0)|M≥|f′(1)|M≥|f′(1)|(11 分)
∴4M≥2|f′(0)|+|f′(1)|+|f′(1)|≥|f′(1)+f′(1)2f′(0)|6 M≥
2
3 (14 分)
62 解:(1) f ( 1) f (1) ∴ 1 a 2 a 1 ①
1 1f ( ) f ( )a a
∴ 1 11 1 2a a
1 a 2 a a 1 ②
①② 1a a 1 a 1 时①②成立 a 1 2 分
∴ 3 2( )g x x bx cx 设 x1 x2 函 数 ( )g x 两 极 值 点 x1 x2 方 程
2( ) 3 2g x x bx c 0 两根 24 12 0( )b c c 正整数
∴x1+x2 2
3
b ∵ AOB 三点线
3 2
1 1 1
1
x bx cx
x
3 2
2 2 2
2
x bx cx
x
∴ 1 2 1 2( )[ ( ) ]x x x x b 0∵x1≠x2∴b x1+x2 2
3
b ∴b0 6 分
(2) 0x 时 min( ) 2f x 7 分66
2( ) 3 0g x x c
3
cx 知 ( )g x (0 )3
c 单调递增 ( )3
c
单调递减 2( ) ( )3 3 3 3 3 3
c c c c c cg x g c 极值 9 分
①
13
2 23 3
c
c c
3c c 值 1 2(∵ c 正整数) 11 分
② 13
c 时记 ( )g x [1 ]3
cx 切线斜率 2 切点横坐标 0x
2( ) 3 2g x x c 0
2
3
cx 题意 0 0( ) ( )g x f x
3 2
0 0 0 0
22 2 23
cx cx x x c c 2c 3c 矛盾
(构造函数 2h x x g x 1x 恒正)
综求 c 值 1 2 14 分
63 解:(1)∵ 2( ) 3 2 3f x x bx c (1) 0f ∴ 3 2 3 0b c ∴ 2 3
3
bc . 1 分
2( ) 3 2 0g m m bm c 2 2 33 2 03
bm bm ∴ 2(2 6 ) 9 3m b m . …3 分
① 2 6 0m 1
3m 时式成立.………………………………………………4 分
② 2 6 0m 1
3m 时
29 3
2 6
mb m
.条件 3 02 b
23 9 3 02 2 6
m
m
.
29 3 3
2 6 2
m
m
解 0m 1 13 m . ……………………………………………5 分
29 3 02 6
m
m
解 3 1
3 3m 3
3m .…………………………………………6 分
m 取值范围 3 03 m 3 13 m . ………………………………………7 分
(2)实根.………………………………………………………………………………9 分
( ) 0F x 3 23 3 4 4 0x bx cx .
记 3 2( ) 3 3 4 4Q x x bx cx 2( ) 9 6 4Q x x bx c .
∵ 3 02 b 2 3
3
bc 1 0c . ………………………10 分
△>0 ( ) 0Q x 相异两实根 1 2 1 2( )x x x x .67
1 2 1 2
2 43 9x x b x x c ∴
1 2
1 2
0 1
4 09
x x
x x
显然 1 20x x 1
2
4
9x x
∴ 1 2 2
2
41 9x x xx
∴ 2
2 29 9 4 0x x ∴ 2
40 3x . …………12 分
2
2 2 2 2 2
1 8( ) ( ) 43 3Q x x Q x bx cx 2
2 2
80 43bx cx 16 32 49 9b c
8 (2 4 ) 49 b c 8 ( 3) 49 c 32 4 09
.
2x 三次函数 ( )Q x 极值点 ( )Q x x 轴交点.
∴ 方程 ( ) 0F x 实根.…………………………15 分
64 解:(Ⅰ)∵ cbxxxxxf 2343)( 22
∴ 02 cb
∴ dxxxf 23 2)(
∵ 47)1( df
∴ 42)( 23 xxxf
∴ 4)2(42)()( 232232 xaxaxxxaxxfxF
xaxxF )2(23)( 2
03
)2(20)( 21 xaxxF 求
∵ 210 xxa x 变化时F′(x)F(x)变化情况:
x (∞
3
)2(2 a )
3
)2(2 a (
3
)2(2 a 0) 0 (0+∞)
F′(x) + 0 0 +
F(x) 增函数 极值 减函数 极值 增函数
∴ x0 时F(x)取极值 4
(Ⅱ)(Ⅰ)知 F(x)x3+(2a)x2+4
∵F(x)≥0 0 恒成立 x∈ 0 时F(x) min ≥0
(1) 2a>0 a<2 时(Ⅰ)知 F(x) min F(0)4>0符号题意
(2) 2a≤0 a≥2 时 F′(x)0 求 x 1 03
)2(2
2 xa 21 xx 68
∴ 0x 时F(x) min F( 03
)2(2 a )
(
3
42 a ) 3 (a2)(
3
42 a ) 2 +4≥0解等式 2≤a≤5
证等式 6
139132
aaa 需证 3)6(6
16 2 aaa
∵ 5a ∴ 26
16
aa 23)6( 2 a ( a5 时号成立)
6
139132
aaa 成立( a5 时号成立)
65 [解](1) 22)()( xxfxf 1 分
0x 时 xx 22 2 10 x 2 分
0x 时 xx 22 2 01 x 3 分
集合 ]11[C 4 分
(2) 05)( 1 xx aaf 05)1()( 2 xx aaa 令 ua x
方程 05)1()( 2 uauuh 5)0( h 5 分
1a 时 ]1[ aau 0)( uh ]1[ aa
解
05)1()(
05111)1(
2
2
aaaah
aaah 5a 7 分
10 a 时 ]1[ aau 0)( ug ]1[ aa 解
0)1(
0)(
ah
ah
2
10 a 9 分
2
10 a 5a 时方程 C 解唯解10 分
(3) ]24
1[A 11 分
① 0t 时函数
23)( 3 ttxxxg ]10[x 单调递增函数 )(xg 值域
]2
512[ ttB ∵ BA ∴
t
t
2
512
4
1
2 解
5
2
2
1
t
t
5
2t 13 分
② 0t 时取 ]10[ 21 xx 1x 2x
)3)((33)()( 2
221
2
1212
3
21
3
121 txxxxxxtxxtxxxgxg
10 1t ∵ 10 1 x 10 2 x 1x 2x ∴ 2
221
2
1 xxxx t33 69
∴ 0)()( 21 xgxg 函数 )(xg 区间 ]10[ 单调递减 ]22
51[ ttB
∴
22
4
1
2
51
t
t
: 1t 4t 15 分
20 10 t
1 2( ) ( ) 0g x g x 须 2 2
1 1 2 2 3x x x x t ∵ 1x 2x ∴ 2
13 3x t 1x t
1 2 [ 1]x x t 时 2 2
1 1 2 2 3x x x x t 1 2( ) ( ) 0g x g x 16 分
1 2 [0 ]x x t 时 2 2
1 1 2 2 3x x x x t 1 2( ) ( ) 0g x g x
函数 )(xg ]1[ t 单调递增 ]0[ t 单调递减 )(xg tx 达值
BA
4
1)(
2)1(2)0(
tg
gg
01)(2)(8
5
24
23 tt
tt
10 t BA t 解18 分
综述:t 取值范围: )4[]5
2(
66 解:①函数 ( )f x 图象关原点称
意实数 x ( ) ( )f x f x
3 2 3 22 4 2 4ax bx cx d ax bx cx d
2 2 0bx d 恒成立 0 0b d
3 2( ) ( ) 3f x ax cx f x ax c
1x 时 ( )f x 取极值 2
3
3 0a c 2
3a c
1 13a c
② 11x 时图象存样两点结成立
假设图象存两点 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y 两点处切线互相垂直 2( ) 1f x x 知两
点处切线斜率分 2 2
1 1 2 21 1K x K x
2 2
1 2( 1)( 1) 1x x (*)
1 2x x [11] 2 2
1 2( 1)( 1) 0x x (*)矛盾70
③ 2( ) 1f x x 令 ( ) 0f x 1x ( 1)x
(1 )x 时 ( ) 0f x ( 11)x 时 ( ) 0f x
( )f x [11]减函数 max
2( ) ( 1) 3f x f ……10 分
min
2( ) (1) 3f x f [11] 2( ) 3f x
1 2 11x x 时 1 2 1 2
2 2 4( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3f x f x f x f x
67 解:(1)题意 xkxxf )1()( 2 ……………………1 分
)2()( 区间xf 增函数
)2(0)1()( 2 xkxxf 恒成立………………3 分
21 xxk 恒成立
121 kk ……………………5 分
k1 时 )2(1)1(2)( 22 xxxxxf 恒 0
)2()( xf 单增符合题意
k 取值范围 k≤1……………………6 分
(2)设
3
1
2
)1(
3)()()( 2
3
kxxkxxgxfxh
)1)(()1()( 2 xkxkxkxxh
令 10)( xkxxh ………………8 分
(1)知 k≤1
① k1 时 )(0)1()( 2 xhxxh R 递增显然合题意………9 分
② k<1 时 xxhxh )()( 变化情况表:
x )( k k (k1) 1 (1+ )
)(xh + 0 - 0 +
)(xh ↗
极
3
1
26
23
kk ↘
极
2
1k ↗
……………………11 分71
)()(02
1 xgxfk 欲 图象三交点
方程 )()( xgxf
0)( xh 三实根
需 03
1
26
23
kk 0)22)(1( 2 kkk
022
1
2
kk
k 解 31k
综求 k 范围 31k ……………………14 分
68 解:(1)函数 )()( 023 acxbxaxxf 定义 R 奇函数
)()( xfxf 02 bx Rx 恒成立 0b
cxaxxf 3)( caxxf 23)(
1x 时函数取极值 1 ∴ 103 caca
解
2
3
2
1 ca . ……………………………………………4 分
(2) xxxf 2
3
2
1 3 )( )1)(1(2
3
2
3
2
3)( 2 xxxxf
11x 时 0 )(xf 11)( xxf 减函数 ……………6 分
)()()( 11 fxff 1)(xf
1121 xx 时 2112121 )()()()( xfxfxfxf .…9 分
(3)设 ))(()( 212211 xxyxByxA
2
3
2
3 2 xxf )( BA 两点切线行
2
2
2
121 xxxfxf )()( .
21 xx 21 xx 21 yy
2
3
2
1 2
1
1
1
12
12
xx
y
xx
yyk AB
A 点切线垂直直线 AB ))(( 12
3
2
1
2
3
2
3 2
1
2
1 xx 12 分
∴ 013123 2
1
4
1 xx ∵ 1012 x关 方程解.
曲线存两点 BA BA 两点切线垂直直线 AB .72
69 解(Ⅰ) F 0(ln)()()( xx
axxgxfx )0(1)(' 22 x
x
ax
x
a
xxF
)单调递增( )()(0)(0 axFaxxFa
)单调递减( axFaxxF 0)()0(0)(
))单调递增区间(单调递减区间( 0)( aaxF
(Ⅱ) 恒成立)30(2
1)()30()( 02
0
0
02 x
x
axxFkx
x
axxF
min0
2
0 )2
1( xxa
2
1
2
11 0
2
00 取值时 xxx
2
12
1 nmnaa …………………………………………4 分
(Ⅲ)
2
1
2
11)
1
2( 2
2
mxm
x
agy 图象
)1ln()1( 22 xxfy 图象恰四交点
)1ln(2
1
2
1 22 xmx 四根
2
1
2
1)1ln( 22 xxm 四根
令
2
1
2
1)1ln()( 22 xxxG
1
)1)(1(
1
2
1
2)( 22
3
2
x
xxx
x
xxxx
x
xxG
x 变化时 )()( xGxG 变化情况表:
x )( 1 (10) (01) (1 )
)(xG 符号 + +
)(xG 单调性 ↗ ↘ ↗ ↘
表格知: 02ln)1()1()(2
1)0()( GGxGGxG 值值
画出草图验证
2
1
2
125ln)2()2( GG 知 )2ln2
1(m 时
恰四交点 myxGy )(
图象时
2
1
2
11)
1
2()2ln2
1( 22
mxm
x
agym
交点图象恰四)1ln()1( 22 xxfy ………………4 分73
70 解:(1) yxyxF )1()(
942)94(log1()( 2)94(log2
2
2
2 xxxxFxf xx A(09)…1 分
坐标原点 O 曲线 C1 作切线切点 B(nt)(n>0) 42)( xxf
)63(
42
942
B
nn
t
nnt
解
…………3 分
9|)933()294( 3
0
2
3
23
0 xxxdxxxxS
………………5 分
(2)令 2
)1ln(1)(1)1ln()(
x
xx
x
xhxx
xxh
…………6 分
令 0)1ln(1)( xxx
xxp 0
)1(1
1
)1(
1)( 22
x
x
xx
xp
)0[)( xp 单调递减……………………7 分
0)(10)0()(0 xhxpxpx 时时
)1[)( xh 单调递减………………8 分
xy yxyxxyy
y
x
xyx )1()1()1ln()1ln()1ln()1ln(1 时
)()( xyFyxFyxNyx 时 ………………9 分
(3) 1)1(log1()( 2322
2 bxaxxbxaxxFxg
设曲线 )14(02 xxC 处斜率-8 切线
题设 23)(0)1(log 223
2 baxxxgbxaxx
∴存实数 b
11
14
823
0
2
0
3
0
0
0
2
0
bxaxx
x
baxx
解…………11 分
① 238 0
2
0 axxb 代入③ 082 0
2
0 axx …………12 分
084
082
0
0
2
0
x
axx 解 08)1()1(208)4()4(2 22 aa
①
②
③74
101010 aaa ………………14 分
71 (1)证明:(Ⅰ) 0x 时
2
1 2
x
x ax ee x 成立
需证: 2 12
x xae x e x 需证: 2 11 2 x
a xx e
①
令 2 1( ) 2 x
a xy x x e
求导数 2
1 ( 1)( ) ( )
x x
x x
e x e xy x ax axe e
∴ 2
1( ) ( )y x x a e
1a 求 0x ( ) 0y x
∴ ( )y x 增函数 ( ) (0) 1y x y ①式证
(Ⅱ) 0x 时
2
1 2
xx xe x a e 成立
需证:
2
12
x xaxe e x 需证:
2
21 ( 1)2
x xax e x e ②
令
2
2( ) ( 1)2
x xaxm x e x e 求导数 2( ) ( 1)x xm x xe e a x
( ) ( 1)xx e a x 0x 时增函数 ( ) (0) 1 0x a ( ) 0m x
∴ ( )m x 0x 时减函数 ( ) (0) 1m x m ②式证
①②讨知原等式
2
2 1 2
xaxe x e 1a 时恒成立…………(6 分)
(2)解:
2
0 00
0 1 2
x xxe x a e 变形
2
0 0
0 1 02 x
ax x
e
③
找 X0>0③式成立需找函数
2 1( ) 12 x
ax xt x e
值
满足 ( )min 0t x ( )t x 求导数 1( ) ( )xt x x a e
令 ( ) 0t x 1xe a
x lna取 X0 lna
0< x < lna 时 ( ) 0t x x > lna 时 ( ) 0t x
( )t x xlna 时取值 2
0( ) (ln ) ( ln 1) 12
at x a a a
面需证明: 2(ln ) ln 1) 02
a a a a a 0 1a 时成立75
令 2( ) (ln ) ln 12
ap a a a a a ( )p a 关 a 求导数
21( ) (ln ) 02p a a ( )p a 增函数
( ) (1) 0p a p 2(ln ) ln 1 02
a a a a a 证
( )t x 值 ( ln ) 0t a
找常数 0 ln (0 1)x a a ③式成立 ……………………(14 分)
72 解 :( 1 ) 题 设 ln( 1)f x x 令 2 2( ) ( ) ln( 1) 2 2
x xg x f x xx x
2
'
2 2
1 2( 2) 2( ) 1 ( 2) ( 1)( 2)
x x xg x x x x x
'0 ( ) 0x g x ( )g x 0 增函数
( ) (0) 0g x g 2
2
xf x x
(2)原等式等价 2 2 21 ( ) 2 32 x f x m bm
令 2 2 2 21 1( ) ( ) ln(1 )2 2h x x f x x x
3
'
2 2
2( ) 1 1
x x xh x x x x
令 ' ( ) 0h x 0 1 1x x x 列表(略)
11x 时 max( ) 0h x 2 2 3 0m bm
令 2( ) 2 3Q b mb m
2
2
(1) 2 3 0
( 1) 2 3 0
Q m m
Q m m
解 3m 3m
73 解:(1)三函数值次1 1 t 1 t
(1) 0f 1c a b
∴ 3 2 3 2( ) ( 1)f x x ax bx c x ax bx a b
2( 1)[ ( 1) ( 1)]x x a x a b
方程 2 ( 1) ( 1) 0x a x a b 两根 1 t 1 t .
1 1 ( 1)t t a 1 1 1t t a b .
2 2( 1 1 ) ( 1)t t a 22 2( 1) ( 1)a b a
∴ 2 2 3a b .
(2)①题意 1 2x x 方程 2'( ) 3 2 0f x x ax b 根
1 2
2
3
ax x 1 2 3
bx x
△ 2(2 ) 12 0a b 3b .76
2
2
1 2 1 2 1 2
2 3 2 3| | ( ) 4 3 3
a b bx x x x x x
2 3
3
b 2
3
2b 2 2 3 7a b .
(Ⅰ)知 1 1 ( 1) 0t t a 1a
∴ 7a ( 1) 7 3c a b
∴ 3 2( ) 7 2 7 3f x x x x .
② 1 2| | | ( ) ( ) |M N f x f x 3 3 2 2
1 2 1 2 1 2| ( ) ( ) ( ) |x x a x x b x x
2
1 2 1 2 1 2 1 2| | | ( ) ( ) |x x x x x x a x x b
22 3 2 2| ( ) ( ) |3 3 3 3
b a b aa b
3
24 (3 )27 b (
32
24 9( )27 2
a ).
(Ⅰ) 2 2 2( 1) ( 1 1 ) 2 2 1a t t t
∵ 0 1t ∴ 22 ( 1) 4a
1a ∴ 2 1 2a
3 2 1a 23 2 2 9a ( 2 3b )
∴
3
240 | | (3 2)27M N .
74 解:(Ⅰ)已知函数
bx
axxf
2)( 22
2
)(
)2()()(' bx
xaxbxaxf
…………1分
函数 )(xf 1x 处取极值 2
2)1(
0)1('
f
f …………2分
1
4
2
1
02)1(
b
a
b
a
aba
1
4)( 2
x
xxf ……………………4 分
(Ⅱ)
22
2
22
2
)1(
44
)1(
)2(4)1(4)('
x
x
x
xxxxf 0)(' xf 044 2 x 11 x
1
4)( 2
x
xxf 单调增区间(-11)………………………… 6 分
函数 )(xf (m2m+1)单调递增
mm
m
m
12
112
1
…………7分77
解 01 m ]01( m 时函数 )(xf (m2m+1)增函数 ………8分
(Ⅲ) 22
2
2 )1(
)2(4)1(4)('
1
4)(
x
xxxxf
x
xxf
直线 l 斜率 22
0
2
0
2
0
0 )1(
8)1(4)('
x
xxxfk …………9分
k ]
1
1
)1(
2[4 2
0
22
0
xx
令 ]10(
1
1
2
0
tt
x
…………10分
]10()2(4 2 tttk
]42
1[ k 直线 l 斜率 k 取值范围 ]42
1[ ………………12分
75 解:(Ⅰ) 13)( 2 mxxf 题意 )1(f 4tan 113 m
3
2m …2 分
∵ nf )1( ∴
3
1n ……………………3 分
(Ⅱ)令 012)( 2 xxf
2
2x …………………………4 分
2
21 x 时 012)( 2 xxf
2
2
2
2 x 时 012)( 2 xxf
32
2 x 时 012)( 2 xxf
3
1)1( f
3
2)2
2( f
3
2)2
2( f
15)3( f ]31[x 时 15)(3
2 xf
等式 1993)( kxf ]31[x 恒成立 2008199315 k
存正整数 2008k 等式 1993)( kxf
]31[x 恒成立
(Ⅲ)方法: |)(cos)(sin| xfxf |)coscos3
2()sinsin3
2(| 33 xxxx
|)cos(sin)cos(sin3
2| 33 xxxx |]1)coscossin(sin3
2)[cos(sin| 22 xxxxxx
|3
1cossin3
2||cossin| xxxx 3|cossin|3
1 xx 3|)4sin(2|3
1 x
3
22 ∵ 0t ∴
22
1
tt 1
4
1
2
2
t
t
∴ )2
1(2 ttf )]2
1()2
1(3
2[2 3
tttt ]3
1)4
1(3
2)[2
1(2 2
2
tttt
3
22)3
1
3
2(22
综 )2
1(2|)(cos)(sin| ttfxfxf ( Rx 0t ) ………14 分
方法二:(Ⅱ)知函数 )(xf [1
2
2 ]增函数[
2
2
2
2 ]减函数[
2
2
1]增函数
3
1)1( f
3
2)2
2( f
3
2)2
2( f
3
1)1( f
x∈[11]时
3
2)(3
2 xf
3
2|)(| xf 78
∵ xsin xcos ∈[11]∴
3
2|)(sin| xf
3
2|)(cos| xf
∴
3
22
3
2
3
2|)(cos||)(sin||)(cos)(sin| xfxfxfxf ……11 分
∵ 0t ∴ 122
1
tt 函数 )(xf )1[ 增函数
∴
3
22]2)2(3
2[2)2(2)2
1(2 3 fttf …………………13 分
综 )2
1(2|)(cos)(sin| ttfxfxf ( Rx 0t )……………14 分
76. 解:(1) xxf cos4
1
2
1)( …………2 分
]4
34
1[)( xf 满足条件 1)(0 xf ………………3 分
0x 时 0)0( f 方程 0)( xxf 实数根 0
函数
4
sin
2)( xxxf 集合 M 中元素…………4 分
(2)假设方程 0)( xxf 存两实数根 ( )
0)(0)( ff ………5 分 妨设 根题意存数 )( c
等式 )()()()( cffff 成立……………………7 分
)()( ff 1)( cf
已知 1)(0 xf 矛盾方程 0)( xxf 实数根…………9 分
(3)妨设 32 xx 0)( xf )(xf 增函数 )()( 32 xfxf
01)( xf 函数 xxf )( 减函数………………10 分
3322 )()( xxfxxf …………11 分
2323 )()(0 xxxfxf |||)()(| 2323 xxxfxf …………12 分
2||||)(||||)()(| 121312132323 xxxxxxxxxxxfxf
77. 解:(I) 2 2( ) [ ( 2) ] xf x x a x a b e 条件: (1) 0f
2 3 0a b 3 2b a (1 分)
2 2( ) [ ( 2) 3 ] 0xf x x a x a e : ( 1)[ ( 3 )] 0x x a
4a 时 1x 极值点 4a (2 分)
4a 时 1x 3x a 4a 时 3x a 1x (4 分)
综: 4a 时 ( )f x 单调递增区间 ( 3 )a (1 )
单调递减区间 ( 3 1)a (5 分)79
4a 时 ( )f x 单调递增区间 ( 1) ( 3 )a
单调递减区间 (1 3 )a (6 分)
(II) (0 1)a 时(I)知 ( )f x [0 1) 单调递减 (1 2] 单调递增
[0 2]x 时 1 1
min( ) (1) (1 ) ( 2 )f x f a b e a e
2(0) ( 3 2 )f a e (2) 4 2 1f a b (2) (0)f f
[0 2]x 时 1( ) [( 2 ) 1]f x a e (8 分)
条件: 2 1
1 2 max minmax[( 2) ] 1 ( ) ( ) ( ) ( )m a m e f x f x f x f x 11 (2 )a e
2( 2) 2m a m a 2( 1) 2 0m a m (01)a 恒成立
令 2( ) ( 1) 2g a m a m :
2
2
(0) 2 0 (10 )
(1) 1 0
g m
g m m
分
解: 2m 5 1
2m (14 分)
78 解:(I)图形知二次函数图象点(00)(80) f x 值 16
2
2
0 1
8 8 0 8
04 164
c a
a b c b
cac b
a
解:
∴函数 f x 解析式 xxxf 8)( 2
(Ⅱ)
xxy
tty
8
8
2
2
80)8(8 21
2 txtxttxx
∵0≤t≤2∴直线 2l f x 图象交点坐标 (
)8 2 ttt
定积分意义知:
22 2 2 2
0
( ) [( 8 ) ( 8 )] [( 8 ) ( 8 ]
t
t
S t t t x x dx x x t t dx
23 3
2 2 2 2
0[( 8 ) ( 4 )] [( 4 ) ( 8 ) ]3 3
t
t
x xt t x x x t t x
3 24 4010 163 3t t t ……………9 分
(Ⅲ)令 ln68)()()( 2 mxxxxfxgx
0x 函 数 f x 函 数 g x 仅 2 交 点 函 数80
mxxxx ln68)( 2 图象 x 轴正半轴两交点
)0()3)(1(2682682)(
2
' xx
xx
x
xx
xxx
∴ x 1 x 3 时 0)(' x
x ∈(01)时 )(0)(' xx 增函数 x ∈(13)时 )(0)(' xx 减函数 x
∈(3+∞)时 )(0)(' xx
增函数 7)1()( mx 极值 153ln6)3()( mx 极值
x →0 时 )(x )(xx 时
0)( x 仅两正根必须须
0)1(
0)3(
0)3(
0)1(
'
07
0153ln6
0153ln6
07
m
m
m
m ∴ 7m 3ln615 m
∴ 7m 3ln615 m 时函数 f x g x 图象两交点
79 解: 2
2
3)(' xaxf ∴ 33 2
2 xa
ax 切点坐标(aa)(aa)
∴切线方程 ya3(xa) y+a3(x+a)
整理 3xy2a0 3xy+2a0
5
102
)1(3
|22|
22
aa 解: 1a 23 3)(')( xxfxxf
333)( 2 bxxxg
(1) bxxg 33)(' 2 )(xg x1 处极值
0)1(' g 0313 2 b 解 b1
333)( 2 xxxg
(2)∵函数 g(x)[11]增函数 bxxg 33)(' 2 [11]恒 0
0b )(42 xgmbb [11]恒成立 )1(42 gmgb
bmbb 3442 3 bm ]0(b 恒成立 3m 81
m 取值范围 )3[
80 I)解: 01 2 mxx方程 两实根
1
m
1
)(
)(2
1
2)( 22
mf
1)( f …………3 分
(II)
1
2)( 2
x
mxxf
)1(
)1(2
)1(
2)2()1(2)( 22
2
2
2
x
mxx
x
xmxxxf …………4 分
0))((1)( 2 xxmxxx 时 …………5 分
0)( xf
)()( xf 增函数 …………7 分
(III)① 00
0)()(
0)()(
…………9 分
(II)知 )()()(
fff
…………10 分
②理 )()()(
fff
)()()()()()(
ffffff
|)()(||)()(|
ffff
…………12 分82
(I)知 11)(1)( ff
|||||11||)()(|
ff
|||)()(|
ff …………14 分
81 解 (1) 1cos21)( xxf 0cos x ………………1 分
2
x
时 0cos x
时
2221 xy
22sin22 xxy
………………2 分
21 yy
222
直线l 曲线 S 切点 ………………3 分
2
3x
时 0cos x
时
22
321 xy
22
3sin22 xxy
………………4 分
21 yy
22
32
3
直线l 曲线 S 切点 ………………5 分
直线 l 曲线 S 相切少两切点
意 x∈R 0sin22)sin2()2()()( xxxxxFxg
)()( xFxg ………………6 分
直线 2 xyl 曲线 xbaxyS sin 夹线 ………………7 分
(2)推测: sin ( 0)y mx n x n 夹线方程 y mx n …………9 分
①先检验直线 y mx n 曲线 siny mx n x 相切少两切点:
设: ( ) sinF x mx n x
' ( ) cosF x m n x 83
令
' ( ) cosF x m n x m :
2 2x k
(kÎ Z) ………………10 分
2 2x k
时
(2 ) (2 )2 2F k m k n
:曲线 ( ) sinF x mx n x 点(
2 2k
(2 )2m k n
)切线方程:
y-[
(2 )2m k n
] m [ x -(
2 2k
)]
化简: y mx n
直线 y mx n 曲线 siny mx n x 相切数切点.………………12 分
妨设 ( )g x mx n
②面检验 g(x)³ F(x)
g(x)-F(x) (1 sin ) 0( 0)n x n
直线 y mx n 曲线 ( ) siny F x mx n x 夹线. ………………14 分
82 解(Ⅰ) ( ) ( ) ( )F x h x x 2 2 ln ( 0)x e x x
2 2( )( )( ) 2 e x e x eF x x x x
. …………………………2 分
x e 时 ( ) 0F x . …………………………3 分
0 x e 时 ( ) 0F x 时函数 ( )F x 递减
x e 时 ( ) 0F x 时函数 ( )F x 递增
∴ x e 时 ( )F x 取极值极值 0 . …………………………6 分
(Ⅱ)解法:(Ⅰ)知函数 )(xh )(x 图象 ex 处公点存 )(xh )(x 隔
离直线该直线公点. …………………………7 分
设隔离直线斜率 k 直线方程 )( exkey
ekekxy . …………………………8 分
)()( Rxekekxxh 02 ekekxx Rx 时恒成立.84
2)2( ek
0 ek 2 . …………………………10 分
面证明 exex 2)( 0x 时恒成立.
令 ( ) ( ) 2G x x ex e exexe 2ln2
2 2 ( )( ) 2e e e xG x ex x
…………………………11 分
x e 时 ( ) 0G x .
0 x e 时 ( ) 0G x 时函数 ( )G x 递增
x e 时 ( ) 0G x 时函数 ( )G x 递减
∴ x e 时 ( )G x 取极值极值 0 .
( ) 2 ln 2 0G x e x ex e )0(2)( xexex 恒成立.………13 分
∴函数 ( )h x ( )x 存唯隔离直线 2y ex e . ………………………14 分
解法二: (Ⅰ)知 0x 时 ( ) ( )h x x ( x e 时取等号) .……7 分
存 ( )h x ( )x 隔离直线存实常数 k b
( ) ( )h x kx b x R ( ) ( 0)x kx b x 恒成立
令 x e e k e b e k e b
k e b e ekeb . …………………………8 分
面解题步骤解法.
83 解: mxxxf )1ln()(
① 0x 时 01
1)( mxxf 恒成立
xm
1
1
0x
11
1 x
1m
求 1m85
② mxxf
1
1)( )1( x
(1) 0m 时 0)( xf 恒成立
)(xf )1( 单调递增极值
(2) 0m 时 111
m
)(xf
111 m
单调递增
11
m
单调递减
1ln)11()( mmmfxf 极值
③(1)知 1m 时 )(xf )0( 递减
0x 时 xx )1ln(
令
1
1
nx )1ln()2ln()1
11ln(1
1 nnnn
)2ln()3ln(2
1 nnn
)12ln()22ln()1(
1 nnnn
)1ln()22ln(12
1
2
1
1
1 nnnnn
2ln12
1
2
1
1
1 nnn
84 解:(1) 2a 时 xxxxf ln2)( 1ln2)( 2 xxxf 2)1( f 1)1( f
曲线 )(xfy 1x 处切线方程 3 xy
(2)存 1x ]20[2 x Mxgxg )()( 21 成立
等价: Mxgxg max21 )]()([
考察 3)( 23 xxxg )3
2(323)( 2 xxxxxg
x 0 )3
20( 3
2
23
1
)(xg 0 - 0 +86
)(xg -3 递减 极 ( ) 值
27
85
递增
表知:
27
85)3
2()( min gxg 1)2()( max gxg
27
112)()()]()([ minmaxmax21 xgxgxgxg
满足条件整数 4M
(3)意 s ]22
1[t )()( tgsf 成立
等价:区间 ]22
1[ 函数 )(xf 值 )(xg 值
(2)知区间 ]22
1[ )(xg 值 1)2( g
1ln)( xxx
axf 恒成立
等价 xxxa ln2 恒成立
记 xxxxh ln)( 2 xxxxh ln21)( 0)1( h
记 xxxxm ln21)( xxm ln23)( ]22
1[x
0ln23)( xxm xxxxhxm ln21)()( ]22
1[ 递减
12
1x 时 0)( xh 21x 时 0)( xh
函数 xxxxh ln)( 2 区间
12
1 递增区间 21 递减
1)1()( max hxh 1a
85 解:(1) axxxaxxfxg 2ln)()( axxxg 21)(
题意知 0)( xg )0( x 恒成立 min)12( xxa
0x 2212
xx 仅
2
2x 时等号成立
22)12( min
xx 22a
(2)(1)知 221 a )(333)( 23 aeeaeexh xxxx
0)( xh ax ln87
221a ]21[a
① ax ln1 0)( xh )(xh 单调递减
② 2lnln xa 0)( xh )(xh 单调递增
ax ln 时 )(th 取极值极值 aaaaaaah 23)(ln
(3)设 )(xF ))(( 00 xFx 切线行 x 轴
中 kxxxxF 2ln2)(
kxxxF 22)(
结合题意
④
③
②
①
022
2
0ln2
0ln2
0
0
0
2
2
kxx
xnm
knnn
kmmm
①—② ))((ln2 knmnmn
m ⑤
③④联立 4))(( knmnm ⑥
⑤⑥
1
)1(2)(2ln
n
m
n
m
nm
nm
n
m ⑦
设 )10(
n
mu ⑦式变 ))10((01
)1(2ln
uu
uu
设 ))10((1
)1(2ln
uu
uuy
0)1(
)1(
)1(
4)1(
)1(
)1(2)1(21
2
2
2
2
2
uu
u
uu
uu
u
uu
uy
函数
1
)1(2ln
u
uuy )10( 单调递增 01 uyy
01
)1(2ln
u
uu
1
)1(2
ln
n
m
n
m
n
m 式⑤矛盾
)(xF ))(( 00 xFx 处切线行 x 轴88
86 解:(1) 0a 时 )sin(3)( 3 xxxxf 4)1( f 2)1( f
)1()1( ff )1()1( ff )(xf 时非奇非偶函数
(2) 0x 时 )sin(3)( 3 xxxxf )cos(33)( 2 xxxxf
1x 处切线方程 )1(2 xy
原点
2
(3)(i) 0a 时 ]20[x axxxf 33)( 3 33)( 3 xxf
)(xf ]10[ 单调递减 ]21[ 递增 23)1(min afy
(ii) 2a 时 ]20[x axxxf 33)( 3 033)( 2 xxf )(xf 单调递增
afy 3)0(min
(iii) 20 a 时
)2(33
)0(33)( 3
3
xaaxx
axaxxxf
ax 0 时 033)( 2 xxf )(xf 单调递增 afy 3)0(min
2 xa 时 33)( 2 xxf )(xf ]10[ 单调递减 ]21[ 递增 10 a
23)1(min afy 21 a 时 3
min )( aafy
10 a 时 26)3(23 aaa ]20[x 时
3
1023)1(
13
13)0(
min
aaf
aaf
y
样 21 a aa 33 afy 3)0(min
综:
3
1a 时 23)1(min afy
3
1a 时 afy 3)0(min
《香当网》用户分享的内容,不代表《香当网》观点或立场,请自行判断内容的真实性和可靠性!
该内容是文档的文本内容,更好的格式请下载文档