初中数学 二次函数与三角形存在性


    13 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 已知两定点找第三点的等腰三角形的存在性(两圆一线) 两圆:分别以两定点为圆心,两定点的距离为半径作两圆(理论依据:圆的半 径相等) 一线:作两定点连线的垂直平分线(理论依据:垂直平分线上的点到线段两端 点的距离相等) l AB 第三课 二次函数与 三角形存在性(一) 知识导航 14 让学习更高效 例1. (2016 广东省梅州市第 14 题)如图,抛物线 2 23y x x    与 y 轴交于点 C, 点  0 ,1D,点 P 是抛物线上的动点.若 P C D△ 是以 CD 为底的等腰三角形,则 点 P 的坐标为_________. 例2. (2016·广西桂林·3 分)已知直线 33yx 与坐标轴分别交于点 A,B,点 P 在抛物线  21 343yx  上,能使 ABP△ 为等腰三角形的点 P 的个数有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 典型例题 y xBA C O D 15 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 已知两定点找第三点的直角三角形的存在性问题(两线一圆) 两线:分别过两定点作两定点连线的垂线 一圆:以两定点连线为直径作圆(圆周角定理推论:直径所对圆周角是直角) 不在 AB 处 m n OAB 例3. (回顾)(2016·湖北鄂州)如图, 6AB  ,O 是 AB 的中点,直线 l 经过点 O, 1 120  ,P 是 直线 l 上一点.当 APB△ 为 直角三 角 形 时, AP  _________________. 知识导航 典型例题 1 l AB 16 让学习更高效 例4. (2016·湖北黄冈)如图,抛物线 213222y x x    与 x 轴交于点 A,点 B,与 y 轴交于点 C,点 D 与点 关于 轴对称,点 P 是 轴上的一个动点. 设点 P 的坐标为 , 0m ,过点 P 作 轴的垂线 l 交抛物线于点Q. (1)求点 ,点 ,点 的坐标; (2)求直线 BD 的解析式; (3)当点 P 在线段 OB 上运动时,直线 交 BD 于点 M,试探究 m 为何值时, 四边形 C Q M D 是平行四边形;(选讲) (4)在点 的运动过程中,是否存在点 Q,使 B D Q△ 是以 BD 为直角边的直 角三角形?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由. x y l Q M BA C D OP 17 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 例5. (2016 山东枣庄第 25 题 10 分)如图,已知抛物线  2 0yaxbxca 的对 称轴为直线 1x  ,且经过  1,0A,  0,3C 两点,与 x 轴的另一个交点为 B. (1)若直线 y m x n经过 B,C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的 距离之和最小,求点 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 上的一个动点,求使 BPC△ 为直角三角 形的点 P 的坐标. x y C BOA 18 让学习更高效 例1. (2016·辽宁丹东·12 分)如图,抛物线 2yaxbx过  4 ,0A,  1 ,3B 两点,点 C、B 关于抛物线的对称轴对称,过点 B 作直线 B H x 轴,交 x 轴于点 H. (1)求抛物线的表达式; (2)直接写出点 C 的坐标,并求出 ABC△ 的面积; (3)点 P 是抛物线上一动点,且位于第四象限,当 ABP△ 的面积为 6 时,求 出点 P 的坐标; (4)若点 M 在直线 BH 上运动,点 N 在 x 轴上运动,当以点 C、M、N 为顶 点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时 C M N△ 的面积. 第四课 二次函数与 三角形存在性(二) 典型例题 x y C A B OH 19 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 例2. (2016·四川广安·10 分)如图,抛物线 2y x b x c   与直线 1 32yx交于 A、 B 两点,其中点 A 在 y 轴上,点 B 坐标为 4, 5 ,点 P 为 y 轴左侧的抛物线 上一动点,过点 P 作 P C x 轴于点 C,交 AB 于点 D. (1)求抛物线的解析式; (2)以 O,A,P,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点 P 的坐 标;若不存在,说明理由. (3)当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时,过点 P 作 P M A B ,垂足为 M, 连接 PA 使 PAM△ 为等腰直角三角形,请直接写出此时点 的坐标. x y A B D CO P 20 让学习更高效 例3. (2016·云南省昆明市)如图,对称轴为直线 1 2x  的抛物线经过  2 ,0B、  0 ,4C 两点,抛物线与 x 轴的另一交点为 A. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 为第一象限内抛物线上的一点,设四边形 C O B P 的面积为 S,求 S 的最大值; (3)若 M 是线段 BC 上一动点,在 x 轴是否存在这样的点 Q,使 M Q C△ 为等 腰三角形且 M Q B△ 为直角三角形?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请 说明理由. x y AB C O 21 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 例4. (2016 湖北襄阳第 25 题 13 分)如图,已知点 A 的坐标为  2 ,0 ,直线 3 34yx   与 x 轴, y 轴分别交于点 B 和点 C,连接 AC ,顶点为 D 的抛物线 2y a x b x c   过 A,B,C 三点. (1)请直接写出 , 两点的坐标,抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2)设抛物线的对称轴 DE 交线段 BC 于点 E,P 为第一象限内抛物线上一点, 过点 P 作 x 轴的垂线,交线段 BC 于点 F 若四边形 D E F P 为平行四边形,求点 P 的坐标; (3)设点 M 是线段 BC 上的一动点,过点 M 作 M N A B ,交 AC 于点 N 点 Q 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 BA 向点 A 运动,运动时间为 t (秒).当 t (秒)为何值时,存在 Q M N△ 为等腰直角三角形? x y D BA C O

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