1 45

二次函数实际应二次函数实际应二次函数实际应二次函数实际应
利润问题
二 根实际问题建立模型


利润问题
1 易出售某种文具盒获利 x 元天售出 ( )6 x− x __________
元时天出售该种文具盒总利润 y ．
答案3

2 易（2011 年河南省实验中学部中考数学第轮复资料）某商场购进种单价
40 元篮球果单价 50 元售出月售出 500 ．根销售验售价
提高 1元销售量相应减少 10 ．
⑴假设销售单价提高 x 元销售篮球获利润 ___________ 元种篮
球月销售量 ___________ ．（含 x 代数式表示）
⑵篮球售价应定 ______ 元时月销售种篮球利润时利润
_______ 元．
答案⑴10 x+ 500 10 x−
⑵ 70 9000

3 易（2012 年第学期西城实验学校初三数学期中检测试题）海世博会期间某商
店出售种海宝毛绒玩具 件获利 60 元天售出 20 件市场调查发现降价
1元售出 2 件设降价 x 元商店天获利 y 元．
⑴求 y x 函数关系式．
⑵降价少元时商店获利润？利润少？
答案⑴ ( )( ) 260 20 2 2 100 1200y x xx x − + −+ +
⑵ 25
2
bx
a
−
max 2450y

4 易（2012 年北京四中第学期初三年级数学期中试卷）某体育品商店销售中发现：
某种体育器材均天售出 20 件件获利 40 元售价减少 1 元均天
售出 2 件想均天销售种器材盈利 1200 元件器材应降价少元？
想获利应降价少？
答案设想盈利 1200 元件器材应降价 x 元
(40 )(20 2 ) 1200x x− +
解 1 210 20x x 2 45

想盈利 1200 元件器材降价 10 元 20 元均
设降价 x 元时盈利 y 元 (40 )(20 2 )y x x − + ( )0 40x< <
解析式变形 22( 15) 1250y x− − + 0 15 40< <
知降价 15 元时获利 1250 元．

5 易（2011 湖北咸宁市中考）某农机服务站销售批柴油均天售出 20 桶
桶盈利 40 元．支援市抗旱救灾农机服务站决定采取降价措施．市场调研
发现：果桶柴油降价 1 元农机服务站均天售出 2 桶．
⑴假设桶柴油降价 x 元天销售种柴油获利润 y 元求 y x 间函数关
系式
⑵桶柴油降价少元出售农机服务站天销售种柴油获利润？时
降价前较天销售种柴油获利少元？
答案⑴ ( )( ) 240 202 2 60 800y x xxx − + −+ + ( )0 40x＜ ＜ ．
⑵ 2 22 60 800 2( 15) 1250yxx x− + + − − + ．
15x 时 y 值 1250 ．
桶柴油降价 15 元出售获利润．
1250 40 20 450− × ．
降价前较天销售种柴油获利 450 元．

6 易（2013 年孝感市高中阶段学校招生考试数学）母亲节前夕市某校学生
积极参关爱贫困母亲活动购进批单价 20 元孝文化衫课余
时间进行义卖利润捐贫困母亲．试验发现件 24 元价格销售
时天卖出 36 件件 29 元价格销售时天卖出 21 件．假定天销
售件数 y （件）销售价格 x （元件）满足 x 变量次函数．
⑴ 求 y x 满足函数关系式（求写出 x 取值范围）
⑵ 积压考虑素情况销售价格定少元时天获
利润 P ？
答案⑴设 y x 满足函数关系式： y kx b + ．
题意： 36 24
21 29
k b
k b
+
 +
解 3
108
k
b
−
 
∴ y x 函数关系式： 3 108y x − + ．
⑵天获利润：
( )( )3 108 20P x x−+ −
23 168 2160x x− + −
()23 28 192x− − + 3 45

∴销售价定 28 元时天获利润．

7 易（南充市 2013 年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）某商场购进种件价格
100 元新商品商场试销发现：销售单价 x （元件）天销售量 y （件）
间满足图示关系：
（1）求出 y x 间函数关系式
（2）写出天利润 W 销售单价 x 间函数关系式商场负责会售
价定少保证天获利润利润少？
答案解：（ 1）设 y x 间函数关系式火 ( )0y kx b k + ≠ 函数图象
130 50
150 30
k b
k b
+ 
 + 


解 1
180
k
b
−
 


∴函数关系式： 180y x − +
（2） ( ) ( )( )100 100 180Wx yx x− − −+
2 280 18000x x− + −
()2140 1600x− − +
140x 时 1600W
∴售价定 140 元件时天利润 1600W 元

8 易（2012 年海淀区九年级期末）某商店销售种进价 20 元双手套调查
发现该种手套天销售量 w（双）销售单价 x（元）满足 （20 ≤x≤40 ）
设销售种手套天利润 y （元）．
⑴求 y x 间函数关系式
⑵销售单价定少元时天利润？利润少？
答案⑴ ( 20) ( 2 80)( 20)ywx x x − −+ −
22 120 1600x x− + − ．
⑵ 22( 30) 200y x− − + ．
∵ 20 40x≤ ≤ a2<0
∴ 30x 时 200y 值 ．
答：销售单价定双 30 元时天利润利润 200 元．

9 易某体育品商店购进批滑板件进价 100 元售价 130 元星期卖
出80 件．商家决定降价促销根市场调查降价 5 元星期卖出 20 件．
⑴求商家降价前星期销售利润少元？
⑵降价商家星期销售利润应售价定少元？销售利润
少？
2 80w x − +
O 130 150
30
50
x（元件）
y（件） 4 45

答案⑴( )130 100 80 2400− × （元）
⑵设应售价定 x 元销售利润
() 13010080 205
xy x
− − + ×  
()24 125 2500x− − + ．
125x 时 y 值 2500 ．
∴应售价定 125 元销售利润 2500 元．

10 易张爷围成矩形花圃．花圃边利足够长墙三边总长 32 米
篱笆恰围成．围成花圃图示矩形 ABCD．设 AB 边长 x 米．矩形
ABCD 面积 S 方米．
⑴求 S x 间函数关系式（求写出变量 x 取值范围）．
⑵ x 值时 S 值？求出值．
（参考公式：二次函数 2y ax bx c + + （ 0a ≠ ） 2
bx
a
− 时
24 4
ac by a
−
（）值 ）

答案⑴ 22 32S x x − +
⑵ 8x 时值 128

11 易（2010 年北京二中初三质量检测）北方某水果商店南方购进种水果进
货成吨 04 万元根市场调查种水果北方市场销售量 y （吨）吨
销售价 x （万元）间函数关系图示：
⑴求出销售量 y 吨销售价 x 间函数关系式
⑵果销售利润 w （万元）请写出 w x 间函数关系式
⑶吨销售价少万元时销售利润？利润少？

答案⑴ 26y x − +
⑵ 2 3 104w x x− + −
⑶ ()215 121w x− − +
花花
D
CB
A
106
2
16
O x 万元()
y 吨() 5 45

∴ 15x 万元时销售利润 121 万元．

12 易某商场进价 2000 元冰箱 2400 元售出均天售出 8 台配合
国家家电乡政策实施商场决定采取适降价措施．调查表明：种冰箱
售价降低 50 元均天售出 4 台．
⑴假设台冰箱降价 x 元商场天销售种冰箱利润 y 元请写出 y x 间
函数表达式（求写变量取值范围）
⑵商场想种冰箱销售中天盈利 4800 元时百姓实惠台冰箱
应降价少元？
⑶台冰箱降价少元时商场天销售种冰箱利润高？高利润少？
答案⑴ ()2400 2000 8 4 50
xy x   − − +×  
22 24 3200
25
y x x− + + ．
⑵题意 22 24 3200 4800
25
y x x− + + ．
整理 2 300 20000 0x x− + ．
1 2100 200x x ．
百姓实惠取 200x ．台冰箱应降价 200 元．
⑶ 22 24 3200
25
y x x− + +
24 15022 25
x −
 −  
× 时
150(2400 2000 150)8 4 25050 20 5000y  −− +   
× × 值 ．
台冰箱售价降价 150 元时商场利润利润 5000 元．

13 易（2009 年山西省中考）某批发市场批发甲乙两种水果根验市场行
情预计夏季某段时间甲种水果销售利润 y甲 （万元）进货量 x （吨）似
满足函数关系 03y x甲 乙种水果销售利润 y乙 （万元）进货量 x （吨）似满足
函数关系 2y ax bx+乙 （中 0a a b≠ 常数）进货量 x 1吨时销售利润 y乙
14 万元进货量 x 2 吨时销售利润 y乙 26 万元．
⑴求 y乙 （万元） x （吨）间函数关系式．
⑵果市场准备进甲乙两种水果 10 吨设乙种水果进货量 t 吨请写出两
种水果获销售利润 W （万元）t（吨）间函数关系式．求出两种
水果进少吨时获销售利润利润少？
答案⑴题意： 14
4 2 26
a b
a b
+ 
 + 
解 01
15
a
b
−
  6 45

∴ 201 15y x x − +乙
⑵ ()( )2+ 03 10 01 15Wyy t tt −+− +乙甲
∴ 201 12 3W t t− + +
()201 6 66W t− − +
∴ 6t 时 值 66
∴10 6 4− （吨）．
答：甲乙两种水果进货量分 4 吨 6 吨时获销售利润
利润 66 万元．

14 易（福建泉州丰泽区毕业考）某公司销某品牌运动鞋年销售量 10 万双双
鞋 250 元销售获利 25 设双鞋成价 a 元．
⑴试求 a 值
⑵扩销售量公司决定出定量资金做广告根市场调查年投入广
告费 x （万元）时产品年销售量原销售量 y 倍 y x 间关系图
示似作抛物线部分．
①根图象提供信息求 y x 间函数关系式
②求年利润 S （万元）广告费 x （万元）间函数关系式请回答广告费 x （万
元）什范围公司获年利润 S （万元）广告费增增？
（注：年利润 S 年销售总额－成费－广告费）

答案⑴ ( )1 25 250a +
200a （元）
⑵①题意设 y x 间函数关系式： 2y ax bx c + +
4 2 1 136
16 4 1 164
a b
a b
+ + 
 + + 
解 001 02a b −
∴ 2001 02 1y x x− + +
② ( ) ()2001 02 1 10 250 200Sxx x− + +×× − −
25 99 500S x x− + +
W
O 2 4
1
y（倍）
x（万元）
136
164 7 45

()25 99 99005S x− − +
∴0 99x< < 时公司获年利润广告费增增．

15 易（重庆市初中毕业学业暨高中招生考试数学试题（江津卷））某商场销售旺季
时某品牌童装销售价格呈升趋势假种童装开始时售价件 20 元
周（7 天）涨价 2 元第 6 周开始保持件 30 元稳定价格销售直 11 周
结束该童装销售．
⑴请建立销售价格 y （元）周次 x 间函数关系
⑵该品牌童装进货周售完种童装件进价 z （元）周次 x 间关系
()21 8 12
8
z x− − + 1 11x≤ ≤ x 整数该品牌童装第周售出件
获利润？求利润少？
答案⑴
( ) ( )
()
202 1 2 181 6
306 11
x x x
y
x
 +−+ < 

≤
≤ ≤
⑵设利润 w
()()()
()()()
2 2
2 2
1 1202 1 8 12 141 68 8
1 130 8 12 8 186 118 8
yz x x x x
w
yz x x x
 −+−+ −− + < 
 −+ − − − +
≤
≤ ≤
21 148w x + 5x 时 max
117 8w （元）
()21 8 188y x − + 11x 时 max
1 19 18 198 8w ×+ （元）
综知：第 11 周进货售出获利润件 119 8 元

16 易（2011 年南充市高中阶段学校招生统考试数学试卷）某工厂生产程中消
耗量电消耗千度电产生利润电价次函数关系测算工厂千度电
产生利润 y （元千度））电价 x （元千度）函数图象图：
⑴电价 600 元千度时工厂消耗千度电产生利润少？
⑵实现节减排目标关部门规定该厂电价 x（元千度）天电量 m（千
度）函数关系 10 500x m + 该工厂天电量超 60 千度获
利润工厂天应安排少度电？工厂天消耗电产生利润少元？

O
200
300
y(元千千)
x（元千千）500 8 45

答案⑴工厂千度电产生利润 y（元千度）电价 x（元千度）函数解析式：
( )0y kx b k + ≠
该函数图象点 ( ) ( )0 300 500 200
500 200
300
k b
b
+ 
 
解
1
5
300
k
b
 −
 

∴ ()1 300 05y x x− + >
电价 600x 元千度时该工厂消耗千度电产生利润
1 600 300 1805y −× + （元千度）
⑵设工厂天消耗电产生利润 W 元题意：
()1 1300 10 500 3005 5Wmym x m m  −+ − + +     
22 200m m − +
化简配方： ()22 50 5000W m− − +
题意 60m ≤
∴ 50m 时 max 5000W
工厂天消耗 50 千度电时工厂天消耗电产生利润 5000 元．

17 中（2012 年石景山区第学期期末考试试卷）某超市袋 20 元价格购进某种
干果．销售程中发现月销售量 y （袋）销售单价 x（元）间关系似
作次函数： 10 500y x − + （ 20 50x< < ）．
⑴ 45x 元时 y _________ 袋 200y 袋时 x _________ 元
⑵设种干果月获利润 w （元）销售单价定少元时月获
利润？利润少
答案⑴ 45x 元时 50y 袋 200y 袋时 30x 元
⑵题意： ( )20w x y −
( )( )
2
20 10 500
10 700 10000
x x
x x
− − +
− + −
352
bx a
− 时 max 2250y
答：销售单价定 35 元时月获利润利润 2250 元

18 中(2012 年长沙市中考题 )长株潭建设两型社会程中推进节减排
发展低碳济市某公司 25 万元购某项节产品生产技术投入 100 万 9 45

元购买生产设备进行该产品生产加工 已知生产种产品成价件 20 元
市场调研发现该产品销售单价定 25 元 35 元间较合理该产品年销
售量 （万件）销售单价 （元）间函数关系式
（年获利 年销售收入 生产成 投资成）
（1）销售单价定 28 元时该产品年销售量少万件？
（2）求该公司第年年获利 （万元）销售单价 （元）间函数关系式
说明投资第年该公司盈利亏损？盈利利润少？亏损
亏损少？
（3）第二年该公司决定希工程捐款 万元该项捐款两部分组成：部分
10 万元固定捐款部分销售件产品抽出元钱作捐款 第
年盈利（亏损）第二年捐款第二年年底两年总盈利
低 675 万元请确定时销售单价范围
答案(1) （万件）
(2)
值 公司少亏损 25 万元
值 公司少亏损 125 万元
∴投资第年公司亏损少亏损 125 万元
(3) 设两年总盈利 万元
令

化简 解

令 解
综

y x 40 (25 30)
25 05 (30 35)
x xy x x
− ≤ ≤  − ≤ ≤
W x
Z
28 40 402812x y x −−时
2 225 30 (40 )( 20)25100 60 925 ( 30) 25x Wxx xx x − − −− −+ − −− −≤ ≤ 时
30x W 时 25−
2 21 130 35 (25 05 )( 20) 25 100 35 625 ( 35) 1252 2xW xx xx x− −−−− + − − − −≤ ≤ 时
35x W 时 125−
1W
125 30 (40 )( 20 1) 12510x W xx − −−− −≤ ≤ 时 2 61 8625x x− + −
2
1 675 61 8625 675W x x− + −≥ ≥
2 61 930 0x x− + ≤ 30 31x≤ ≤
130 30 35x x W < ≤ 时
2 2
2171 17 17(25 05 )( 20 1) 125 10 5475 82625 826252 2 2 21 2 21xx xx x x − −−−−−+− −− + − − +  
1 675W ≥ 2 21 71 5475 675 71 1230 02 2xx xx−+− −+<≥
30 41x≤ ≤ 30 35x≤ ≤ 30 35x≤ ≤ 10 45

19 中某超市销售款进价 50 元书包物价部门规定款书包售价高
70 元市场调查发现： 60 元价格销售均周销售书包 100 书
包销售价格提高 1 元均周少销售书包 2 ．
⑴求该超市款书包均周销售量 y （）销售价 x （元）间函数关系
式
⑵求该超市款书包均周销售利润 w （元）销售价 x （元）间函数关
系式
⑶书包销售价少元时该超市款书包均周销售利润？利
润少元？
答案⑴题意 100 2( 60)y x − −
2 220y x − +
⑵题意 ( 50)( 2 220)w x x − −+
22 320 11000w x x− + −
⑶∵抛物线 22 320 11000w x x− + − 开口称轴 80x 左侧w
x 增增．
题意知 60 70x≤ ≤
∴ 70x 时 w 1600 ．
书包销售价 70 元时该超市获周销售利润
1600 元．

20 中（2012 年贵州毕节中考）某商品进价件 20 元售价件 30 月
买出 180 件果件商品售价涨 1 元月会少卖出 10 件件售价
高 35 元设件商品售价涨 x 元（ x 整数）月销售利润 y 元．
⑴求 y x 函数关系式直接写出变量 x 取值范围
⑵件商 品售价少元时月 获利润？利润少？
⑶件商品售价定少元时月利润恰 1920 元？
答案⑴ 210 80 1800y x x− + + （ 0 5x≤ ≤ x 整数）
⑵∵ ()2210 80 1800 10 4 1960yxx x− + + − − +
∴ 4x 时 max 1960y 元．
∴件商品售价 30 4 34+ 元．
答：件商品售价 34 元时商品利润1960 元．
⑶ 21920 10 80 1800x x− + +
2 8 12 0x x− + 解 2x 6x ．
∵ 0 5x≤ ≤
∴ 2x
∴售价 32 元时利润 1920 元． 11 45


21 中某电视机生产厂家年销农村某品牌电视机台售价 y （元）月份 x
间满足函数关系 50 2600y x − + 年月销售量 p （万台）月份 x 间成次函数
关系中两月销售情况表：
月份 1 月 5 月
销售量 3．9万台 4．3万台
⑴求该品牌电视机年月销农村销售金额？少？
⑵受国际金融危机影响年 12 月份该品牌电视机销农村售价年
12 月份降 m 月销售量年 12 月份降 15 m ．国家实施家电
乡政策农村家庭购买新家电产品国家该产品售价 13 予财政补
贴．受政策影响年 3 5 月份该厂家销农村种电视机保持年 2
月份售价变情况均月销售量年 2 月份增加 15 万台．年 3
5 月份国家种电视机销售予财政补贴 936 万元求 m 值（保留位
数）．
（参考数： 34 5831≈ 35 5916≈ 37 6083≈ 38 6614≈ ）
答案⑴设 p x 函数关系 ( )0p kx b k + ≠ 根题意
39
5 43
k b
k b
+ 
 + 
解 01
38
k
b

 
01 38p x + ．
设月销售金额 w 万元
( )( )01 38 50 2600w py x x + −+ ．
化简 25 70 980w x x− + +
()25 7 10125w x− − + ．
7x 时 w 取值值 10125 ．
答：该品牌电视机年 7月份销农村销售金额 10125 万元．
⑵年 12 月份台售价 50 12 2600 2000−×+ （元）
年 12 月份销售量 01 12 38 5× + （万台）
根题意 ( ) ( )20001 51 15 15 13 3 936m m− ×− +××   ．
令 m t 原方程化 275 14 53 0t t− + ．
14 37
15
t
± ．
1 20528 1339t t≈ ≈ （舍）
答： m 值约 528 ．
12 45

22 中某水产品养殖企业指导该企业某种水产品养殖销售历年市场行情水
产品养殖情况进行调查．调查发现种水产品千克售价 1y（元）销售月份 x（月）
满足关系式 3 36
8
y x − + 千克成 2y （元）销售月份 x（月）满足函数关
系图示．
⑴试确定 b c 值
⑵求出种水产品千克利润 y （元）销售月份 x （月）间函数关系式
⑶五·前月份出售种水产品千克利润？利润少？

答案⑴题意：
2
2
125 3 3 +
8
124 4 4 +8
b c
b c
 × +
 × +
解
718
129
2
b
c
 −
 

⑵ 2 2
1 2
3 115 113 136 29 68 88 2822yyyx xx xx −−+− − + − ++  
⑶ ()22
1 2
1 3 1 16 611
8 2 28
yyy xx x−− + + − − +
∵ 1 0
8
a − <
∴抛物线开口．称轴 左侧 增增．
题意 5x < 4 月份出售种水产品千克利润．
利润 ()21 14 6 11 10
8 2
− − + （元）．
23 中（2009 年安徽）已知某种水果批发单价批发量函数关系图（1）示．
⑴请说明图中①②两段函数图象实际意义．
⑵写出批发该种水果资金金额 w（元）批发量 m（kg ）间函数关系式图
坐标系中画出该函数图象指出金额什范围样资金批发较数
量该种水果．
⑶调查某销商销售该种水果日高销量零售价间函数关系图（2）
示该销商拟日售出 60kg 该种水果日零售价变请帮助该销商
设计进货销售方案日获利润．
6x y x
25
24
y（元）
x（月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
第 8 题图
2
2
1
8y x bx c + +
O 13 45


答案⑴图①表示批发量少 20 kg 60 kg 该种水果
5 元kg 批发
图②表示批发量高 60kg 该种水果 4 元kg 批发．
⑵解：题意： 20 60
60
5
4
m m
w
m m
 

≤ ≤（ ）
（ ＞ ） 函数图象图示．
图知资金金额满足 240 300x< ≤ 时样资金
批发较数量该种水果．

⑶解法：
设日零售价 x 元销售量 p 图日高销量 p 320 40x −
60p > 时 65x <
题意销售利润
2( 4)(320 40x) 40[ ( 6) 4]y x x− − −−+
x＝6 时 160y 值 时 m＝80
销商应批发 80kg 该种水果日零售价定 6 元kg
日获利润 160 元．
O 6020
4
批发单价（元）
5
批发量（kg ）
①
② 14 45

解法二：
设日高销售量 ( )kg 60x x >
图②日零售价 p 满足： 320 40x p − 320
40
xp
−
销售利润 2320 1( 4) ( 80) 160
40 40
xy x x
− −− − +
80x 时 160y 值 时 6p
销商应批发 80kg 该种水果日零售价定 6 元kg
日获利润 160 元．

24 中（广西）某公司生产种产品件成 2 元售价 3 元年销售量 100
万件．获取更效益公司准备出定资金做广告．通市场调查发现：年投
入广告费 x （十万元）时产品年销售量原销售量 y 倍时 y x
二次函数相互关系表：
x 0 1 2 ……
y 1 15 16 ……
⑴求 y x 函数关系式
⑵果利润作销售总额减成费广告费试写出年利润 S （十万元）广告
费 x （十万元）函数关系式
⑶果年投入广告费 10 ～30 万元问广告费什范围时公司获年利
润广告费增增？
答案⑴设求二次函数关系式 2y ax bx c + + ．

1
3
2
84 2 5
c
a b c
a b c


 + + 

 + + 
解 1
5
a − 7
10
b 1c ．
∴ ()21 7 1 0
5 10
y x xx− + + ≥ ．
⑵题意 ( )22 6 10 0S x x x− + + ≥ ．
⑶
2
2 3 292 6 10 2 2 2Sxx x − + + − − +  
1 3x≤ ≤ ∴1 15x≤ ≤ 时 S 着 x 增增．
广告费 10 万元～15 万元时公司获年利润着广告费增增
．

25 中（重庆市初中数学竞赛题）甲乙两蔬菜基分 A B C 三农贸市
场提供品种蔬菜签订合规定 A 提供 45 t B 提供 75 t C 提供 40 t ．甲
基安排 60 t 乙基安排 100 t ．甲乙 A B C 距离千米数表示设
运费 1 元（ km t⋅ ）．问安排总运费低？求出总运费值． 15 45

A B C
甲 10 5 6
乙 4 8 15
答案设乙基 A 提供 xt B 提供 yt C 提供 ( )100 x y t− +  
甲基 A 提供 ( )45 x t− B 提供 ( )75 y t− C 提供
( ) ( )40100 60xyt xy t− −− +−     ．
题意总运费
( ) ( ) ( ) ( )1045 575 6 60 4 8 15100W x yxy xy xy −+ −+ +−+++ −+      
( )196532 3x y x − ++   ．
0 x y+≤ ≤100 0 45x≤ ≤ 仅 100x y+ 45x 时W
值
( )min 1965 3 200 135 960W − + 元．

26 中（2012 年深圳初三月考）落实国务院指示精神市政府出台
系列三农优惠政策农民收入幅度增加．某农户生产销种农副产品已知
种产品成价 20 元千克．市场调查发现该产品天销售 w （千克）销售
价 x （元千克）关系： 2 80w x − + ．设种产品天销售利润 y （元）．
⑴求 y x 间函数关系式．
⑵销售价定少元时天销售利润？利润少？
⑶果物价部门规定种产品销售价高 28 元千克该农户想天获 150
元销售利润销售价应定少元？
答案⑴ ( )20y x w −
( )( )20 2 80x x − −+
22 120 1600x x− + −
⑵ 22 120 1600y x x− + −
()22 30 200x− − +
∴ 30x 时 y 值 200
∴销售价定 30 元千克时天获销售利润 200 元
⑶ 150y 时方程
()22 30 200 150x− − +
1 225 35x x （舍）
∴销售价定 25 元千克时该农户天获销售利润 150 元 16 45


27 中某商场试销种成件 60 元服装规定试销期间销售单价低成单
价获利高 45 试销发现销售量 y （件）销售单价 x（元）符合次
函数 y kx b + 65x 时 55y 75x 时 45y ．
⑴求次函数 y kx b + 表达式
⑵该商场获利润 W 元试写出利润 W 销售单价 x 间关系式销售单价定
少元时商场获利润利润少元？
⑶该商场获利润低 500 元试确定销售单价 x 范围．
答案⑴根题意 65 55
75 45
k b
k b
+ 
 + 

解 1 120k b − ．
求次函数表达式 120y x − + ．
⑵ 2 2( 60)( 120) 180 7200 ( 90) 900Wx x xx x− ⋅−+ −+ − −− +
∵抛物线开口
∴ 90x < 时W x 增增 60 87x≤ ≤
∴ 87x 时 2(87 90) 900 891W − − + ．
∴销售单价定 87 元时商场获利润利润 891 元．
⑶ 500W 2500 180 7200x x− + −
整理 2 180 7700 0x x− + 解 1 270 110x x ．
图象知该商场获利润低 500 元销售单价应 70 元 110
元间 60 87x≤ ≤ 销售单价 x 范围 70 87x≤ ≤ ．

28 中（鄂州市 2013 年初中毕业生学业水考试数学试题）某商场营某种品牌玩具
购进时单价 30 元根市场调查：段时间销售单价 40 元时销售量
600 件销售单价涨 1 元会少售出 10 件玩具．
（1）妨设该种品牌玩具销售单价 x 元（ 40x > ）请分 x 代数式表示
销售量 y 件销售该品牌玩具获利润 w 元结果填写表格中：
销售单价（元） x
销售量 y （件）
销售玩具获利润 w
（元）
（2）（1）问条件商场获 10000 元销售利润求该玩具销售单价 x 应定
少元．
（3）（1）问条件玩具厂规定该品牌玩具销售单价低 44 元商场完
成少 540 件销售务求商场销售该品牌玩具获利润少？
答案⑴
销售单价（元） x
销售量 y （件） 1000 10 x− 17 45

销售玩具获利润 w （元） 210 1300 30000x x− + −
⑵ 210 1300 30000 10000x x−+ −
解： 1 50x 2 80x
答：玩具销售单价 50 元 80 元时获 10000 元销售利润
⑶根题意 1000 10 540
44
x
x
−


≥
≥
解： 44 46x≤ ≤
()2210 1300 30000 10 65 12250wxx x− + − − − +
∵ 10 0a − < 称轴 65x
∴ 44 46x≤ ≤ 时 y x 增增．
∴ 46x 时 8640W 值 （元）
答：商场销售该品牌玩具获利润 8640 元

29 中（2013 年湖北省咸宁市中考数学试卷）鼓励学毕业生创业某市政府出
台相关政策：政府协调市企业成价提供产品学毕业生销售成
价出厂价间差价政府承担．李明相关政策投资销售市生产种新型节
灯．已知种节灯成价件 10 元出厂价件 12 元月销售量 y（件）
销售单价 x （元）间关系似满足次函数： 10 500y x − + ．
⑴ 李明开始创业第 1 月销售单价定 20 元政府月承担总差
价少元？
⑵ 设李明获利润 w （元）销售单价定少元时月获利润？
⑶ 物价部门规定种节灯销售单价高 25 元．果李明想月获利
润低 3000 元政府月承担总差价少少元？
答案⑴ 20x 时 10 500 10 20 500 300y x− + −× +
( )300 12 10 300 2 600× − ×
政府月承担总差价 600 元．
⑵ 题意： ( )( )10 10 500w x x− − + 210 600 5000x x− + −
()210 30 4000x− − +
∵ 10 0a − <
∴ 30x 时 w 值 4000 ．
销售单价定 30 元时月获利润 4000 ．
⑶ 题意： 210 600 5000 3000x x− + −
解： 1 20x 2 40x ．
∵ 10 0a − < 抛物线开口
∴结合图象知： 20 40x≤ ≤ 时 3000w≥ ．
∵ 25x ≤ 18 45

∴ 20 25x≤ ≤ 时 3000w≥ ．

设政府月承担总差价 p 元
∴ ()()12 10 10 500p x − ×− +
20 1000x − + ．
∵ 20 0k − <
∴ p x 增减
∴ 25x 时 p 值 500 ．
销售单价定 25 元时政府月承担总差价少 500 元

30 中（2013 年安徽省初中毕业学业考试数学）某学生利暑假 40 天社会实践参
家网店营解种成 20 元件新型商品第 x 天销售相关信息
表示．

销售量 p （件） 50P x −
销售单价 q （元件）
1 20x≤ ≤ 时 130
2
q x +

21 40x≤ ≤ 时 52520q
x
+
⑴ 请计算第天该商品销售单价 35 元件？
⑵ 求该网店第 x 天获利润 y 关 x 函数关系式．
⑶ 40 天中该网店第天获利润？利润少？
答案⑴ 1 20x≤ ≤ 时令 130 35
2
x+ 10x ．
21 40x≤ ≤ 时令 52520 35
x
+ 35x ．
第 10 天者第 35 天该商品销售单价 35 元件．
⑵ 1 20x≤ ≤ 时 () 21 130 2050 15 5002 2y x xxx  +− −− ++  
21 40x≤ ≤ 时 ()525 2625020 2050 525y xx x
 +− − −   ．
直直x30
3000
4020O x
w 19 45

∴
()
()
21 15 5001 202
26250 52521 40
x x x
y
xx
− + + 
 −
≤ ≤
≤ ≤

⑶ 1 20x≤ ≤ 时 ()221 115 500 15 6125
2 2
yxx x− + + − − +
∵ 1 0
2
− < ∴ 15x 时 y 值 1y 1 6125y ．
21 40x≤ ≤ 时
∵ 26250 0> ∴ 26250
x 着 x 增减
∴ 21x 时 26250
x ．
21x 时 26250 525y
x
− 值 2y 2
26250 525 725
21
y − ．
∵ 1 2y y< ．
∴ 40 天中第 21 天时该网店获利润利润 725 元．

31 中(2013 年山东日初中学业考试 )汽车租赁公司拥某种型号汽车 100 辆．公
司营中发现辆车月租金 x （元）月租出车辆数（ y ）关系：
x 3000 3200 3500 4000
y 100 96 90 80
⑴ 观察表格学次函数反例函数二次函数关知识求出月租出
车辆数 y （辆）辆车月租金 x （元）间关系式．
⑵ 已知租出车辆月需维护费 150 元未租出车辆月需维护费 50 元．
含 ( )3000x x ≥ 代数式填表：
租出车辆
数
未租出车辆
数

租出辆车
月收益
未租出
车辆月维
护费

⑶ 该公司理会辆车月租金定少元公司获月
收益？请求出公司月收益少元．
答案⑴ 表格数知 y x 次函数关系设解析式 y kx b + ．
题： 3000 100
3200 96
k b
k b
+ 
 +  解：
1 50
160
k
b
 −
 

∴y x 间函数关系 1 160
50
y x − + ．
⑵ 表： 20 45

租出
车
辆数
1 160
50
x− +
未租出
车辆数
1 60
50
x −
租出车
辆月收益 150x −
未租
出车辆
月维
护费
3000x −
⑶ 设租赁公司获月收益 W 元题意：
1 160 ( 150) ( 3000)50W x x x − + − −−  
()21 163 24000 300050 x x x − + − −−  
21 163 24000 3000
50
x x x− + − −+
21 162 21000
50
x x− + −
21 ( 4050) 307050
50
x− − +
∴ 4050x 时 max 307050W
：辆车月租金写 4050 元时公司获月收益 307050 元．

32 中（2011 年湖北鄂州）市某镇种特产运输原长期销售．
政府该特产销售投资收益：投入 x 万元获利润 ()21 60 41
100
P x− − +
（万元）．政府拟十二•五规划中加快开发该特产销售规划方案：
规划前该项目年投入 100 万元销售投资实施规划 5 年前两年中
年 100 万元中拨出 50 万元修建条公路两年修成通车前该特产
销售公路通车 3年中该特产销售外销售．外销售
投资收益：投入 x 万元获利润 ()()299 294100 100 160
100 5
Q x x− −+ −+ （万元）
⑴进行开发求 5 年获利润值少？
⑵规划实施求 5 年获利润（扣修路）值少？
⑶根⑴⑵该方案否具实施价值？
答案解：⑴ 60x 时 P 41 五年获利值 41 5 205× 万元．
⑵前两年： 0 50x≤ ≤ 时 P x 增增
50x 时 P 值 40 万元两年获利 40 2 80× 万
元．
三年：设年获利 y 设投资额 x 外投资额 100 x−
y P Q +
()21 60 41100 x − − +   + 299 294 160100 5x x − + +   2 60 165x x− + +
()230 1065x− − + 21 45

30x 时 y 1065 三年获利 1065 3 3495× 万元
五年获利值 80 3495 50 2 3475+ − × 万元．
⑶极实施价值．

33 中（2011 年恩施治州中考）宜万铁路开通恩施州带方便．恩施某
工厂拟节容积 90 立方米载重量 50 吨火车皮运输购进 A B 两种材
料 50 箱．已知 A 种材料箱体积 18 1 立方米重量 04 吨 B 种材料箱
体积 1 立方米重量 12 吨计箱子间空隙设 A 种材料进 x 箱．
⑴求厂家少种进货方案（求列举方案）？
⑵工厂两种材料生产出产品总利润 y （万元） x（箱）函数关系致
表请先根表画出简图猜想函数类型求出函数解析式（求函数解析式取
似值）确定采种进货方案厂家获利润求出利润．
x 15 20 25 30 38 40 45 50
y 10 约 27 ．58 40 约 48 ．20 约 49 ．10 约 47 ．12 40
约
26 ．99

答案⑴设 A 种材料进 x 箱 B 种材料进 50 x− 箱
根题意知：
18 50 90x x+ − ≤
( )04 12 50 50x x+ − ≤
解 125 50x≤ ≤
x 取整数 38 种进货方案
（2）数知该函数二次函数
设二次函数解析式 2y ax bx c + +
图象知二次函数 ( ) ( ) ( )15 10 25 40 45 40
三点坐标代入二次函数解析式 01 7 725a b c− −．
二次函数解析式 201 7 725y x x− + −
35
2
bx
a
− 时厂家获利润利润 50 万元．

55
55
y（万元）
x（箱）5045403530252015105
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0 22 45



34 中（2012 年三帆中学九年级数学期中测试题）某数码卖场销售某种品牌电脑
100 500∼ 台客户订单实行降价促销台电脑售价 y（元台）数量 x（台）
函数关系图中线段 AB 表示台电脑进货运输等成总 2250 元．
⑴写出台电脑售价 y 台数 x 函数关系式：________________变量取值范
围 ____________ x 整数
⑵次政府采购订单该卖场获利 12 万元计成消耗试求出次政
府采购少台电脑
⑶求出份客户订单总获利 z （元）购买数量 x （台）间函数关系式．
份订单购买数量少台时卖场获利？

答案⑴设求函数解析式 ()0y kx b k + ≠
100 3000
500 2400
k b
k b
+ 
 + 
解 15
3150
k
b
−
 
∴ ()15 3150 100 500y x x − + ≤ ≤
⑵()15 3150 2250 120000x x−+ −
2 600 80000 0x x− +
解 1 2200 400x x
答：次政府采购 200 400 台电脑
⑶ ()15 3150 2250z x x− + −
100
B
A
500 x（台）
y(元台)
3000
2400
O 23 45

215 900x x − +
300
2
bx
a
− 台时卖场利润 450 300 135000× 元
答：份订单购买数量 300 台时卖场获利135000 元．

35 中（2009 年九年级第次质量预测）郑州市某销店某工厂代销种建筑材料（
里代销指厂家先免费提供货源货物售出进行结算未售出厂家负责处
理）．吨售价 260 元时月销售量 45 吨．该销店提高营利润准备采取
降价方式进行促销．市场调查发现：吨售价降 10 元时月销售量会增
加 75 吨．综合考虑种素售出吨建筑材料需支付厂家费 100 元．设
吨材料售价 x （元）该销店月利润 y （元）．
⑴吨售价 240 元时计算时月销售量
⑵求出 y x 函数关系式（求写出 x 取值范围）
⑶该销店获月利润售价应定吨少元
⑷说：月利润时月销售额 认 请说明理．
答案⑴ 57
10
24026045 ×−+ 60 （吨）．
⑵ 260( 100)(45 75)
10
xy x
−− + ×
化简： 23 315 240004y x x− + − ．
⑶ 240003154
3 2 −+− xxy 23 ( 210) 9075
4
x− − + ．
该销店获月利润材料售价应定吨 210 元．
⑷认说．
理：方法：月利润时 x 210 元
月销售额 )57
10
26045( ×−+ xxW 23( 160) 192004 x− − + 说
x 160 元时月销售额 W ．
∴ x 210 元时月销售额 W ．
∴说．
方法二：月利润时 x 210 元时月销售额 17325 元
x 200 元时月销售额 18000 元．
∵17325 18000<
∴月利润时月销售额 W ．
∴说．

36 中（2011 年江苏省常州中考）某商店 6 元千克价格购进某种干果 1140 千克
进行筛选分成甲级干果乙级干果时开始销售．批干果销售结束店
销售统计中发出：甲级干果乙级干果销售程中天销量天卖完
甲级干果开始销售销售第 x 天总销量 1y （千克） x 关系 2
1 40y x x − + 24 45

乙级干果开始销售销售第 t 天总销量 2y （千克）t 关系 2
2y at bt +
乙级干果前三天销售量情况见表：
⑴求 a b 值
⑵甲级干果乙级干果分 8 元千克 6 元千克零售价出售卖完批干果
获毛利润少元？
⑶问第天起乙级干果天销量甲级干果天销量少 6 千克？
（说明：毛利润 销售总金额 进货总金额．批干果进货卖完程中损耗忽略
计）
答案⑴根表中数
21
44 4 2
a b
a b
+
 +
解 1
20
a
b

 
⑵甲级干果乙级干果 n 天售完批货．
2 240 20 1140n nn n−+ ++
19n
19n 时 1 399y 2 741y
毛利润 399 8 741 6 1140 6 798×+ ×− × （元）
⑶设第 m 天起乙级干果天销量甲级干果天销量少 6 千克
甲乙级干果销售量 m 天销售量减 1m − 天销售量
甲级水果第 m 天卖出水果数量：
( ) ()()22 40 1 40 1 2 41mmm m m −+ −−−+ −−+ 
乙级水果第 m 天卖出水果数量：
( ) ()()22 20 1 20 1 2 19mmm m m + −−+ −+ 
( ) ( )2 19 2 41 6m m+ −− + ≥
解 7m≥
答：第 7 天起乙级干果天销量甲级干果天销量少 6 千克．

二 根实际问题建立模型

t 1 2 3
2y 21 44 69 25 45

37 易（2011 年西宁市高中招生考试数学试卷）西宁中心广场种音乐喷泉中
喷水高度 3米时距喷水水距离 1
2 米图示坐标系中
喷泉函数关系式（ ）

A．
21 32y x − − +   B．
213 32y x − + +  
C．
2112 32y x − − +   D．
2112 32y x − + +  
答案C

38 中（2011 年广西梧州）2011 年 5 月 22 日—29 日美丽青岛市举行苏迪曼杯羽
毛球混合团体锦标赛．赛中某次羽毛球运动路线 作抛物线
21
4
y x bxc− + + 部分（图）中出球点 B 离面 O 点距离 1m 球落点
A O 点距离 4m 条抛物线解析式（ ）
A． 21 3 1
4 4
y x x− + + B． 21 3 1
4 4
y x x− + −
C． 21 3 1
4 4
y x x− − + D． 21 3 1
4 4
y x x− − −

答案A

39 易（2011 年河南省实验中学部中考数学第轮复资料）某公司生产利润原
a 元连续两年增长达 y 万元果年增长百分数 x y
x 函数关系（ ）
O x
y
1
2
3
2
1
AO
y
x
B 26 45

A． 2y x a + B． ()21y a x − C． ()21y a x + D． ( )1y a x +
答案C

40 易（海初三数学期中）某印刷厂月份印数 20 万册果第季度 2 月份起
月印书量增长率 x 三月份印书量 y 万册 y 关 x 函数关系式
___________．
答案 ()220 1y x +

41 易（2012 年河南中招模拟试卷）图示桥梁两条钢缆具相抛物线形
状．图中建立直角坐标系右面条抛物线 200225 09 10y x x − + 表
示左右两条抛物线关 y 轴称请写出左面钢缆表达式 _______________．

答案 200225 09 10y x x + +

42 易（2010 年兴区初三期中）修建圆形喷水池池中心竖直安装根带
喷水头水．喷出水形成水流形状抛物线果求水流高点水
水距离 1m 距离面高度 3m 水流落处水水距离 3m 求
根带喷水头水面高度？
答案设水长 mh 高点原点建立直角坐标系
抛物线方程 2y ax
抛物线 ( )2 3− 点带入解 3
4
a −
喷水头坐标 ( )1 3h− − 带入
解 33
4
h − −
9
4
h
答：水长度 9 m
4 ．

43 易（2011 年河南省实验中学部中考数学第轮复资料）体育测试时初三名
高学生推铅球已知铅球路线抛物线 21 2
12
y x x− ++ 部分根关
系式回答：
⑴该学出手高度少？ 27 45

⑵铅球运行程中离面高度少？
答案⑴2
⑵∵抛物线解析式： ()21 6 5
12
y x− − + ∴高度 5．

44 易（2011 年深圳实验初二期末）图某公路隧道横截面抛物线高度
6 米底部宽度 OM 12 米现 O 点原点OM 直线 x 轴建立直角坐标
系．
⑴直接写出点 M 抛物线顶点 P 坐标
⑵求条抛物线解析式
⑶搭建矩形支撑架 AD DC CB− − C D 点抛物线 A B 点
面 OM 支撑架总长值少？

答案⑴顶点 P 坐标 ( )6 6 点 M 坐标 ( )12 0
⑵ 21 2
6
y x x − +
⑶设CD m 1
2
CE DE m 支撑架总长 L
∵C D 两点关称轴 6x 称
∴ 1 16 06 02 2A m B m  − +    

∴ D 点横坐标 16
2
m− C 点横坐标 16
2
m+
∵ C D 两点抛物线 C 点横坐标代入：
∴ ()1 12
6
y x x − −
216
24
m −
∴ 216
24
ADCB m −
∴ L AD DC CB + +
212 6 24m m  + −  
()21 6 15
12
m− − +
∵二次项系数 1 0
12
− <
y
xM
P
E
D C
BAO 28 45

∴ L 值值 15 ．

45 易（2013 年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷） 科幻说实验室事中
样情节：科学家种珍奇植物分放温度环境中天
测试出种植物高度增长情况（表）：
温度
x ℃
…
…
4−

2−
0 2 4 45
…
…
植物
天
高度
增长
量
mmy

…
… 41 49 49 41 25 1975

…
…
数科学家推测出植物天高度增长量 y 温度 x 函数种函数反
例函数次函数二次函数中种．
⑴ 请选择种适函数求出函数关系式简说明选择外两种函数
理
⑵ 温度少时种植物天高度增长量？
⑶ 果实验室温度保持变 10 天该植物高度增长量总超 250mm
实验室 温度 x 应该范围选择？请直接写出结果．
答案⑴选择二次函数设 2y ax bx c + +
49
4 2 49
4 2 41
c
a b c
a b c

 − + 
 + + 

解
1
2
49
a
b
c
−
 −
 
．
∴ y 关 x 函数关系式 2 2 49y x x− − + ．
选外两函数理：
注意点 ( )0 49 反例函数图象 y x 反例函
数点( )4 41− ( )2 49− ( )2 41 直线 y x 次
函数．
⑵⑴ 2 2 49y x x− − +
∴ ()21 50y x− + + ．
∵ 1 0a − < 29 45

∴ 1x − 时 y 值 50 ．
温度 1− ℃时种植物天高度增长量．
⑶ 6 4x− < <

46 易（2013 山东滨州中考试卷）某高中学校高新生设计学生单桌抽屉部分
长方体形抽屉底面周长 180cm 高 20 cm ．请通计算说明底面宽 x
值时抽屉体积 y ？少？（材质厚度等暂忽略计）
答案 解：根题意 18020 2y x x  −  
整理 220 1800y x x +－ ．
∵ ( ) ()22 220 1800 20 90 2025 40500 20 45 40500yxxxx x+ ++ +－－－－－
∵ 20 0− < ∴ 45x 时函数值 y 值 40500
底面宽 45cm 时抽屉体积 240500cm ．

47 易（2009 年中考聊城市数学试题）徒骇河桥市第座特型桥梁桥桥体
造型新颖气势恢宏两条拱肋长虹卧波极具时代气息（图）．桥中承式悬
索拱桥桥拱肋 ACB 抛物线部分（图②）跨径 AB 100 m 拱高 OC
25 m 抛物线顶点 C 桥面距离 17 m ．
⑴请建立适坐标系求该抛物线应函数关系式
⑵七月份汛期河水水位涨假设水位 AB 直线高出 196 m 时位水
面拱肋跨径少？计桥面厚度情况条高出水面 46 m 游船否
够利通桥？

答案⑴ AB 直线 x 轴直线 OC y 轴建立直角坐标系图示
设抛物线应函数关系式 2y ax c + 题意知
( ) ( )50 0 0 25B C

∴抛物线解析式 21 25
100
y x − +
⑵水位 AB 直线高出 196 米时 30 45

196y 代入函数关系式 21 25 196
100
x− +
解 48x ±
∴ 48 2 96× （米）
位水面拱肋跨径 96 米
根题意游船高点桥面距离 ( ) ( )25 17 196 46 144−− + （米）
游船够利通桥．

48 中（2011 年兴） X 市 W 市间城际铁路正紧张序建设中．建成通
车前进行社会需求调查列火车天返次数 m 该列车次拖挂车厢节
数 n 部分数：
车厢节数 n 4 7 10
返次数 m 16 10 4
⑴请根表数三函数模型：① y kx b + （ k b 常数 0k ≠ ）② ky
x

（ k 常数 0k ≠ ）③ 2y ax bx c + + （ a b c 常数 0a ≠ ）中选取适合
函数模型求出 m 关 n 函数关系式 m __________（写 n 取值范围）
⑵结合求出函数探究列火车次挂少节车厢天返少次时天设
计运营数 Q （节车厢载客量设定常数 p ）．
答案⑴ 2 24m n − +
⑵Q pmn
( )2 24pn n − +
22 24pn pn − +
∵ 2 0p− <
∴ Q 值
∴ 24 62 (2 )
pn p
× − 时 Q 取值
时 2 24 2 6 24 12m n− + −×+
∴列火车次挂 6 节车厢天返 12 次时天设计运营数．

49 中（日）某仓库保持库湿度温度四周墙均装图示动通
风设施．该设施部 ABCD 矩形中 2AB 米 1BC 米部 CDG 等边三
角形固定点 E AB 中点． EMN△ 电脑控制形状变化三角通风窗（阴影
部分均通风）MN 设施边框滑动始终保持 AB 行伸缩横杆．
⑴ MN AB 间距离 0．5 米时求时 EMN△ 面积
⑵设 MN AB 间距离 米试 EMN△ 面积 S（方米）表示成关 x 函
数
⑶请探究 EMN△ 面积 S （方米）值请求出值没
请说明理．
x 31 45


答案⑴题意 MN AB 间距离 0．5 米时 MN 应位 DC
方时 EMN△ 中 MN 边高 0．5 米．
S△EMN 1 2 05
2
× × 0 ．5（方米）．
EMN△ 面积 0．5 方米．
⑵①图示 MN 矩形区域滑动0 1x＜ ≤ 时

EMN△ 面积 S 1 2
2
x× × x
②图示 MN 三角形区域滑动1 1 3x< < + 时

图连接 EG交CD 点 F 交 MN 点 H
∵ E AB 中点
∴ F CD 中点GF CD⊥ 3FG ．
∵ MN CD∥
∴ MNG DCG△ ∽△ ． 32 45

∴ MN GH
DC GF

2[ 3 1 ]
3
xMN
+ −
EMN△ 面积 S＝ 1 2[ 3 1 ]
2 3
x x
+ −× × ＝ 23 3(1 )
3 3
x x− + +
综合：
( )
()2
0 1
3 31 1133 3
x x
S
x x x
≤
  −++ +    
＜
． ＜ ＜
⑶① MN 矩形区域滑动时 S x 0 1S< ≤
② MN 三角形区域滑动时S 23 3(1 )
3 3
x x− + + ．
1 3
2 2
bx
a
+ − （米）时
S 值值 S
24
4
ac b
a
−

231 3
34 3
− +
× −
（ ）
（ ）
1 3
2 3
+ （方米）．
∵ 1 3 1
2 3
+ >
∴S 值值 1 3
2 3
+ 方米．

50 中（2013 年河北省初中毕业生升学文化课数学试卷）
某公司固定线路运输拟运营指数 Q 量化考核司机工作业绩． 100Q W +
W 运输次数 n 均速度 x （kmh ）关（考虑素） W 两部分
组成：部分 x 方成正部分 x n 倍成正．试行中表中
次数 n 2 1
速度 x 40 60
指数 q 420 100
数．
（1）含 x n 式子表示 Q
（2） 70x 450Q 时求 n 值
（3） 3n Q 确定 x 值
（4）设 2n 40x 否 n 增加 m （ 0m > ）时 x 减少 m 情况Q
值 420 求出 m 值请说明理．
参考公式：抛物线 ( )2 0y ax bx ca ++ ≠ 顶点坐标
2
2
4
2
b ac b
a a
 −− 
 
．
答案⑴设 2
1 2W k x k nx + ∴ 2
1 2 100Q k x k nx + + ． 33 45

表中数
2
1 2
2
1 2
420 40 2 40 100
100 60 1 60 100
k k
k k
 +× + +× +
．
解 1
2
1
10
6
k
k
 −
 
．
∴ 21 6 100
10
Q x nx− + + ．
⑵题意 21450 70 6 70 100
10
n− × +× +
∴ 2n ．
⑶ 3n 时 21 18 100
10
Q x x− + + ．
1 0
10
a − < 知 Q
18 9012 10
x −
 × −  
．
⑷题意
()()()21420 401 621 401 100
10
m m m− − +×+ × − +  
()22 0m m− ．
解 1
2
m 0m （舍）．
∴ 50m ．

51 中（南京）图 E F 分边长 4 正方形 ABCD 边 BC CD 点
41
3
CE CF 直线 EF 交 AB 延长线 G 线段 FG 动点 H 作
HM AG⊥ HN AD⊥ 垂足分 M N 设 HM x 矩形 AMHN 面积 y
⑴求 y x 间函数关系式
⑵ x 值时矩形 AMHN 面积面积少？

答案⑴∵正方形 ABCD 边长 4 41
3
CE CF
∴ 3BE
AG CF FEC GEB∥ △ ∽△
4CF CE BG
BG BE

HM BE∥
N
M
H
G
F
E
D C
BA 34 45

∴ HMG EBG△ ∽△ MG HM
BG BE

∴ 4 48
3 3
MG xAM x −
∴ ()24 48 8043 3yx x xxx  − − + <≤  
⑵∵ ()224 48 312
3 3
y xx x− + − − +
∴ 3x 时矩形面积面积 12

52 中某汽车刹车行驶距离 （单位：米）时间 （单位：秒）间关系部
分数表：
时间 （秒） 0 02 04 06 08 1 12
行驶距离
（米）
0 28 52 72 88 10 108
假设种变化规律直持续汽车停止
（1）根数出坐标系中画出相应点
（2）选择适函数表示 间关系求出相应函数解析式
（3）①刹车汽车行驶长距离停止？
② 分 （ ）时应 值分 请较
解释较结果实际意义

答案(1) 略
(2)
(3) ① 时滑行距离值 刹车汽车行驶 米停止
②∵ ∴
刹车 时间均速度刹车 时间均速度

53 中企业污水处理两种方式种输送污水处理厂进行集中处理种
通企业身设备进行处理某企业年月污水量均 12000 t污水处理厂
s t
t …
s …
s t
t 1t 2t 21 tt < s 1s 2s
1
1
t
s
2
2
t
s
12

10

8

6

4

2
02 04 06 08 10 12 t
s
O
25 15s t t − +
3
2
t 45
4
45
4
1 2
2 1
1 2
5( ) 0s s t tt t
− − > 1 2
1 2
s s
t t
>
2t 1t 35 45

处调试阶段污水处理力限该企业投资建设备处理污水两种处理方式时
进行1 6 月该企业污水处理厂输送污水量 月份 （ 取整
数）间满足函数关系表：
月份
月 1 2 3 4 5 6
输送
污
水量

12000 6000 4000 3000 2400 2000
7 12 月该企业身处理污水量 月份 （ 取整数）间满足
二次函数关系式 图图示 1 6 月污水处理厂处理吨污水
费 （元）月份 间满足函数关系式 该企业身处理吨污水费
（元）月份 间满足函数关系式 7 12 月污水处理厂处理
吨污水费均 2 元该企业身处理吨污水费均 15 元
请观察题中表格图象学次函数反例函数二次函数关知识
（1）分直接写出 间函数关系式
（2）请求出该企业年月污水处理费 （元）求出
费
（3）年建污水处理设备全面运行该企业决定扩产污
水全面身处理估计扩产年月污水量年月基础增加
时吨污水处理费年 12 月份基础增加 鼓励节降耗
减轻企业负担财政企业处理污水费进行 50 补助该企业月污水处
理费 18000 元请计算出 整数值
（参考数： ）

答案（1） 取整数
取整数
)(1 ty x 61 ≤≤ x x
x
ty 1
)(2 ty x 127 ≤≤ x x
caxy + 2
2
1z x xz 2
1
1
2z x 2
2 12
1
4
3 xxz −
1y 2y x
W
a
)30( −a
a
215231 ≈ 520419 ≈ 428809 ≈
y2t
7
10144
12
10049
O x月
)61(12000
1 ≤≤ xxy x
)127(100002
2 ≤≤+ xxy x 36 45

（2） 取整数



时 （元）
取整数



时 增减
时 （元）
22000>189755
年 5 月污水处理费费 22000 元
（3）题意
设 整理
解
（舍）
∴

54 中（2012 年潍坊市中考题）许家庭燃气作烧水做饭燃料节约气
日常生活中非常现实问题 某款燃气灶旋钮位置 0 度 90 度燃气关闭时燃气灶
旋钮位置 0 度旋钮角度越燃气流量越燃气开时旋钮角度 90
度测试燃气灶旋钮位置燃气量相条件选择燃气灶旋钮
5 位置分烧开壶水（旋钮角度太时火力够水烧开选择
旋钮角度 度范围 18 度 度）记录相关数表：
旋钮角度（度） 20 50 70 80 90
燃气量（升） 73 67 83 97 115

（1）请学次函数反例函数二次函数中确定种函数表示
燃气量 升旋钮角度 度变化规律？说明确定种函数函数理
求出解析式
（2）旋钮角度少时烧开壶水燃气量？少少？
61 ≤≤ x x
)12
1
4
3()1200012000(2
112000)12000( 2
2111 xxxxxzyzyW −⋅−+⋅⋅−+⋅
3000100001000 2 −+− xx
∵ 01000 <−a 52
−
a
bx 61 ≤≤ x
∴ 5x 22000W
127 ≤≤ x x
)10000(51)1000012000(251)12000(2 22
22 +×+−−×+−× xxyyW
190002
1 2 +− x
∵ 02
1 <−a 02
−
a
bx
∴ 127 ≤≤ x W x
∴ 7x 518975W
∵
∴
18000)501()]30(1[51)1(12000 −×−+××+ aa
at 0131710 2 −+ tt
20
80917 ±−t
∵ 428809 ≈ ∴ 5701 ≈t 2722 −≈t
57≈a
x 90≤≤ x
y x 37 45

（3）某家庭款燃气灶前惯燃气开现采节省燃气旋钮角
度月均节约燃气 10 立方米求该家庭前月均燃气量
答案(1)
(2)
(3) (2) 表格知采节省燃气旋钮角度 40 度燃气开时烧开
壶水节约气 （升）设该家庭前月均气量 立方
米
题意 解 该家庭前月均燃气量 23
立方米

55 中（青海省中考题）王亮学善改进学方法发现解题程进行回顾反思
效果会更某天利 30 分钟时间进行学假设解题时间 （单
位：分钟）学收益量 关系图①示回顾反思时间（单位：分钟）
学收益量 关系图②示（中 抛物线部分 抛物线顶点）
回顾反思时间超解题时间
（1）求王亮解题学收益量 解题时间 间函数关系式写出变
量 取值范围
（2）求王亮回顾反思学收益量 回顾反思时间 间函数关系式
（3）王亮分配解题回顾反思时间 30 分钟学收益总量？（学
收益总量 解题学收益量 +回顾反思学收益量）

答案 变量 取值范围：0 30
0 5 时设
代入

5 15 时

21 8 97(18 90)50 5yxx x − + ≤ ≤
40 65x y 值时
115 65 50− a
50 10115 a 23a
x
y
y OA A
y x
x
y x
y)1( x2 x ≤ x ≤
)2( ≤ x ≤ 25)5( 2 +− xay
)00( 102525 −+ aa
xxxy 1025)5( 22 +−+−−∴
≤ x ≤ 25y



≤≤
≤≤+−
)155(25
)50(102
x
xxxy 38 45

（3）设王亮回顾反思时间 （0 15 ）分钟学效益总量
解题时间 分钟
0 5 时
时
5 15 时
Z 增减
时
综述 时 时
王亮解题时间 26 分钟回顾反思时间 4 分钟时学收
益总
量

56 中（2012 年锡市中考题）图边长 正方形纸片 剪途
中阴影部分四全等等腰直角三角形图中虚线折起折成长方体形状
包装盒（ 四顶点正重合底面点）已知 边
剪等腰直角三角形斜边两端点设
（1）折成包装盒恰正方体试求包装盒体积
（2）某广告商求包装盒表面（含底面）面积 试问 应取值？

答案(1)
(2) 设包装盒底面边长 高

时 值

57 中（雅安市 2013 年初中毕业暨高中阶段教育学校招生考试数学试卷）图已知抛
物线 2y ax bx c + + 3 0A −（） 1 0B（） 0 3C（）三点顶点 D 称轴
直线 l l x 轴交点 H ．
x ≤ x ≤
z )30( x−
≤ x ≤ 76)4(608)30(210 222 +−−++−−++− xxxxxxZ
∴ 4x 76Z
≤ x ≤ 852)30(225 +−−+ xxZ
∵ x
∴ 5x 75Z
4x 76Z 2630 − x
cm24 ABCD
DCBA FE AB
(cm)AE BF x
V
S x
FE
D C
BA
3432 2(cm )
a h
24 22 (1222)
2
xaxh x
− − 24 42 (122 2)Saha x x+ −i
2 2 2(2) 6 96 6( 8) 384x x x x+ − + − − + 8x S 2384cm 39 45

（1）求该抛物线解析式
（2）点 P 该抛物线称轴 l 动点求 PBC△ 周长值
（3）图（2） E 线段 AD 动点（ E A D 重合） E 点作行
y 轴直线交抛物线点 F 交 x 轴点 G 设点 E 横坐标 m ADF△ 面积
S
①求 S m 函数关系式
② S 否存值？存求出值时点 E 坐标存请说明理


答案（1）题意知： 3 0
3
a b c
a b c
c
+ + 0
9− + 
 

解：
1
2
3
a
b
c
−
 −
 

∴抛物线解析式： 2 2 3y x x− − +
（2 分）∵ PBC△ 周长： PB PC BC+ +
∵ BC 定值
∴ PB PC+ 时 PBC△ 周长
∵点 A B 关称轴 l 称
∴连接 AC 交l 点 P 点 P 求点
图（1）
O
y
x
l
H
D
C
BA
图（2）
y
x
l
OHG
F
E
D
C
BA
y
x
D
C
O
P
H BA
y
x
l
OHG
F
E
D
C
BA 40 45

∵ AP BP
∴ PBC△ 周长： PB PC BC AC BC+ + +
∵ ( ) ( ) ( )30 10 03A B C−
∴ 32 10AC BC
∴ PBC△ 周长：3 2 10+
（3）①∵抛物线 2 2 3y x x− − + 顶点 D 坐标 ( )1 4−
∵ ( )3 0A −
∴直线 AD 解析式 2 6y x +
∵点 E 横坐标 m
∴ ( )2 6E m m + ( )2 2 3Fm m m− − +
∴ ( )2 2 32 6EF m m m− − +− +
2 4 3m m− − −
∵ DEF AEFS S S +△ △
1 1
2 2EF GH EF AG ⋅+ ⋅
1
2 EF AH ⋅
()21 4 3 22 m m×− − − × 2 4 3m m− − −
②∵ 2 4 3S m m − − ()22 1m− + +
∴ 2m − 时 S 1S 值
时点 E 坐标 ( )2 2−

58 中已知某种商品年售价件 a 元售出 b 件．年涨价 x 成（1 成 10 ）
售出数量减少 mx 成（ x 正数）．试问：
⑴果涨价 1．25 成价格营业额达 ()21
4
ab m
m
+ 求 m
⑵果适涨价营业额增加求 m 应什范围？
答案⑴涨价 x 成营业额
() 221 11 110 10 4 10 2
x mx m m my a b ab xm m
  + −    +⋅− − −           
． 41 45

125x 时 ()21
4
my ab m
+ 1 010 2
m mx
m
−− 解 4
5m ．
⑵
()2 21 1
10 42
m m my ab x mm
  − + − − +     
抛物线称轴 1
2
mx
m
−
适涨价营业额增加1 0
2
m
m
− > 0 1m< < ．

59 中（2012 年安徽省初中毕业学业考试数学）图排球运动员站点 O 处练发球
球 O 点正方 2m A 处发出球成点运行高度 ( )y m 运行水距
离 ( )x m 满足关系式 ()26yax h − + 已知球网 O 点水距离 9m 高度 243 m
球场边界距 O 点水距离 18 m ．
⑴ 26h 时求 y x 关系式（求写出变量 x 取值范围）
⑵ 26h 时球否越球网？球会会出界？请说明理
⑶球定越球网出边界求 h 取值范围．

答案⑴ 0 2x y 26h 代入 ()26yax h − +
()22 06 26a − +
∴ 1
60a −
∴ ()21 6 2660y x− − +
⑵ 26h 时 ()21 6 2660y x− − +
9x 时 ()21 9 6 26 245 24360y − − + >
∴球越网
18x 时 ()21 18 6 26 02 060y − − + >
∴球会界

A
O x
y
边边
球球
1896
2 42 45

⑶ 0 2x y 代入 ()26yax h − +
2
36
ha
−
9x 时 ()22 2 396 24336 4
h hy h
− + −+ > ①
18x 时 ()22 186 83 036
hy h h
− −+− ≤ ②
①② 8
3h≥

60 中（2010 年房山区初三阶段性检测）王强次高尔夫球练中某处击球
球飞行轨迹满足抛物线 21 8
5 5y x x − + 中 ( )y m 球飞行高度 ( )x m 球飞出
水距离结果球离球洞水距离 2m 图示．
⑴求出抛物线顶点坐标．
⑵求出球飞行水距离．
⑶王强次处击球果想球飞行高度变球刚进洞球
飞行轨迹应满足样抛物线求出解析式．

答案⑴抛物线顶点坐标 164 5
 
  

⑵令 0y 21 8 05 5x x− +
∴ 1 0x 2 8x
∴ 球飞行水距离 ( )8 m
⑶设求抛物线解析式 2 ( 0)y ax bx a + ≠
∴抛物线点 ( ) ( )0 0 10 0
∴ 2
100 10 0
16
4 5
a b
b
a
+ − 

O 球球 x m()
y m() 43 45

解
16
125
32
25
a
b
 −
 

∴求抛物线解析式 216 32
125 25
y x x − +

61 难（2012 年郑州九年级第次质量检测）图 1水面点 A 处网球发射
器空中发射网球网球飞行路线条抛物线面落点 B 直线 AB
点 C（点 B 左侧）竖直摆放盖圆柱形桶试图网球落入桶．已知 4AB
米 3AC 米网球飞行高度 5OM 米圆柱形桶直径 05 米高 03 米（网
球体积圆柱形桶厚度忽略计）．
⑴建立面直角坐标系图 2．果竖直摆放 5 圆柱形桶时网球落入桶？
请说明理．
⑵竖直摆放圆柱形桶少时网球落入桶？请说明理．

答案⑴
图易 ( )0 5M ( )2 0B ( )1 0C 3 02D 
  

设抛物线解析式 2y ax k +
抛物线点 M 点 B 5k 5
4
a − ．
抛物线解析式 25 5
4
y x − + ．
1x 时 15
4
y
3
2
x 时 35
16
y ．
15 3 351 4 216P Q  
    
抛物线．
竖直摆放 5 圆柱形桶时桶高＝ 3 35
10 2
× ．
∵ 3 15
2 4
< 3 35
2 16
<
∴网球落入桶． 44 45


⑵设竖直摆放圆柱形桶 m 时网球落入桶
题意 35 3 15
16 10 4
m≤ ≤ ．
解 7 17 12
24 2
m≤ ≤ ．
∵ m 整数
∴ m 值 8 9 10 11 12．
∴竖直摆放圆柱形桶 8 9 10 11 12 时网球落入桶．

62 难（2012 年北京市第十三中学分校）图座抛物线形拱桥正常水位时水
面 AB 宽 20 米果水位升 3米水面 CD 宽 10 米．
⑴建立图示直角坐标系求抛物线解析式
⑵水位正常水位时艘宽 6 米货船里船舱高出水面 36 米
长方体货物（货物货船宽）．问：船否利通座拱桥？

答案⑴设抛物线解析式 2y ax
设点 (10 )B n 点 (5 3)D n +
题意：
100
3 25
n a
n a

 + 
解
4
1
25
n
a
− −

∴ 21
25
y x −
⑵方法：
3x 时 1 9
25
y − × 45 45

∵ 9 ( 4) 36
25
− −− >
∴正常水位时船利通座拱桥．
方法二：
236 4
5
y − − 时 22 1
5 25
x− −
∴ 10x ±
∵ 10 3± >
∴正常水位时船利通座拱桥．

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