1 / 45 二次函数实际应用二次函数实际应用二次函数实际应用二次函数实际应用 一、 最大利润问题 二、 根据实际问题建立模型 一、 最大利润问题 1. 【易】出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售出 ( )6 x− 个，则当 x = __________ 元时，一天出售该种文具盒的总利润 y 最大． 【答案】3 2. 【易】（2011 年河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料）某商场购进一种单价为 40 元的篮球，如果以单价 50 元售出，那么每月可售出 500 个．根据销售经验，售价每 提高 1元，销售量相应减少 10 个． ⑴假设销售单价提高 x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是 ___________ 元；这种篮 球每月的销售量是 ___________ 个．（用含 x 的代数式表示） ⑵当篮球的售价应定为 ______ 元时，每月销售这种篮球的最大利润，此时最大利润是 _______ 元． 【答案】⑴10 x+ ；500 10 x− ⑵ 70 ；9000 3. 【易】（2012 年第一学期西城实验学校初三数学期中检测试题）上海世博会期间，某商 店出售一种海宝毛绒玩具 ，每件获利 60 元，一天可售出 20 件，经市场调查发现每降价 1元可多售出 2 件，设降价 x 元，商店每天获利 y 元． ⑴求 y 与 x 的函数关系式． ⑵当降价多少元时，商店可获最大利润？最大利润是多少？ 【答案】⑴ ( )( ) 260 20 2 2 100 1200y x xx x= − + =−+ + ⑵ 25 2 bx a = − = max 2450y = 4. 【易】（2012 年北京四中第一学期初三年级数学期中试卷）某体育品商店在销售中发现： 某种体育器材平均每天可售出 20 件，每件可获利 40 元；若售价减少 1 元，平均每天就 可多售出 2 件；若想平均每天销售这种器材盈利 1200 元，那么每件器材应降价多少元？ 若想获利最大，应降价多少？ 【答案】设若想盈利 1200 元，每件器材应降价 x 元，则有 (40 )(20 2 ) 1200x x− + = 可解得 1 210 20x x= =， ， 2 / 45 则若想盈利 1200 元，每件器材降价 10 元或 20 元均可 设降价 x 元时，盈利为 y 元，则 (40 )(20 2 )y x x= − + ( )0 40x< < 解析式可变形为 22( 15) 1250y x=− − + 且 0 15 40< < 由此可知，当降价 15 元时，最大获利为 1250 元． 5. 【易】（2011 湖北咸宁市中考）某农机服务站销售一批柴油，平均每天可售出 20 桶， 每桶盈利 40 元．为了支援我市抗旱救灾，农机服务站决定采取降价措施．经市场调研 发现：如果每桶柴油降价 1 元，农机服务站平均每天可多售出 2 桶． ⑴假设每桶柴油降价 x 元，每天销售这种柴油所获利润为 y 元，求 y 与 x 之间的函数关 系式； ⑵每桶柴油降价多少元后出售，农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润？此时， 与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利多少元？ 【答案】⑴ ( )( ) 240 202 2 60 800y x xxx= − + =−+ + ( )0 40x＜ ＜ ． ⑵ 2 22 60 800 2( 15) 1250yxx x=− + + =− − + ． 当 15x = 时， y 有最大值 1250 ． 因此，每桶柴油降价 15 元后出售，可获得最大利润． 1250 40 20 450− × = ． 因此，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利 450 元． 6. 【易】（2013 年孝感市高中阶段学校招生考试数学）在“母亲节”前夕，我市某校学生 积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余 时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按 24 元的价格销售 时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21 件．假定每天销 售件数 y （件）与销售价格 x （元/件）满足一个以 x 为自变量的一次函数． ⑴ 求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）； ⑵ 在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的 利润 P 最大？ 【答案】⑴设 y 与 x 满足的函数关系式为： y kx b= + ． 由题意可得： 36 24 21 29 k b k b = +  = + 解得 3 108 k b = −  = ∴ y 与 x 的函数关系式为： 3 108y x= − + ． ⑵每天获得的利润为： ( )( )3 108 20P x x=−+ − 23 168 2160x x=− + − ()23 28 192x=− − + 3 / 45 ∴当销售价定为 28 元时，每天获得的利润最大． 7. 【易】（南充市 2013 年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）某商场购进一种每件价格 为 100 元的新商品，在商场试销发现：销售单价 x （元/件）与每天销售量 y （件）之 间满足如图所示的关系： （1）求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售 价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】解：（ 1）设 y 与 x 之间的函数关系式火 ( )0y kx b k= + ≠ 。由所给函数图象得 130 50 150 30. k b k b + =  + = ， 解得 1 180. k b = −  = ， ∴函数关系式为： 180y x= − + . （2） ( ) ( )( )100 100 180Wx yx x=− =− −+ 2 280 18000x x=− + − ()2140 1600x=− − + . 当 140x = 时， 1600.W =最大 ∴售价定为 140 元/件时，每天最大利润 1600W = 元. 8. 【易】（2012 年海淀区九年级上期末）某商店销售一种进价为 20 元/双的手套，经调查 发现，该种手套每天的销售量 w（双）与销售单价 x（元）满足 （20 ≤x≤40 ）， 设销售这种手套每天的利润为 y （元）． ⑴求 y 与 x 之间的函数关系式； ⑵当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】⑴ ( 20) ( 2 80)( 20)ywx x x= − =−+ − 22 120 1600x x=− + − ． ⑵ 22( 30) 200y x=− − + ． ∵ 20 40x≤ ≤ ，a=-2<0 ， ∴当 30x = 时， 200y =最大值 ． 答：当销售单价定为每双 30 元时，每天的利润最大，最大利润为 200 元． 9. 【易】某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为 100 元，售价为 130 元，每星期可卖 出80 件．商家决定降价促销，根据市场调查，每降价 5 元，每星期可多卖出 20 件． ⑴求商家降价前每星期的销售利润为多少元？ ⑵降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多 少？ 2 80w x= − + O 130 150 30 50 x（元/件） y（件） 4 / 45 【答案】⑴( )130 100 80 2400− × = （元） ⑵设应将售价定为 x 元，则销售利润 () 13010080 205 xy x − =− + ×   ()24 125 2500x=− − + ． 当 125x = 时， y 有最大值 2500 ． ∴应将售价定为 125 元，最大销售利润是 2500 元． 10. 【易】张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为 32 米 的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD．设 AB 边的长为 x 米．矩形 ABCD 的面积为 S 平方米． ⑴求 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）． ⑵当 x 为何值时， S 有最大值？并求出最大值． （参考公式：二次函数 2y ax bx c= + + （ 0a ≠ ），当 2 bx a = − 时， 24= 4 ac by a − 最大（小）值 ） 【答案】⑴ 22 32S x x= − + ⑵当 8x = 时，有最大值为 128 11. 【易】（2010 年北京二中初三上质量检测）北方某水果商店从南方购进一种水果，其进 货成本是每吨 0.4 万元，根据市场调查这种水果在北方市场上的销售量 y （吨）与每吨 的销售价 x （万元）之间的函数关系如下图所示： ⑴求出销售量 y 与每吨销售价 x 之间的函数关系式； ⑵如果销售利润为 w （万元），请写出 w 与 x 之间的函数关系式； ⑶当每吨销售价为多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】⑴ 2.6y x= − + ⑵ 2 3 1.04w x x=− + − ⑶ ()21.5 1.21w x=− − + 花花 D CB A 10.6 2 1.6 O x 万元() y 吨() 5 / 45 ∴当 1.5x = 万元时，销售利润最大，最大为 1.21 万元． 12. 【易】某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为了配合 国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的 售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台． ⑴假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的 函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） ⑵商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱 应降价多少元？ ⑶每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 【答案】⑴ ()2400 2000 8 4 50 xy x  = − − +×   ， 即 22 24 3200 25 y x x=− + + ． ⑵由题意，得 22 24 3200 4800 25 y x x=− + + = ． 整理得 2 300 20000 0x x− + = ． 得 1 2100 200x x= =， ． 要使百姓得到实惠，取 200x = ．所以，每台冰箱应降价 200 元． ⑶对于 22 24 3200 25 y x x=− + + ，当 24 15022 25 x = − =  −   × 时， 150(2400 2000 150)8 4 25050 20 5000y  =−− + =   × × =最大值 ． 所以，每台冰箱的售价降价 150 元时，商场的利润最大，最大利润是 5000 元． 13. 【易】（2009 年山西省中考）某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行 情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润 y甲 （万元）与进货量 x （吨）近似 满足函数关系 0.3y x=甲 ；乙种水果的销售利润 y乙 （万元）与进货量 x （吨）近似满足 函数关系 2=y ax bx+乙 （其中 0a a b≠ ， ， 为常数），且进货量 x 为1吨时，销售利润 y乙 为 1.4 万元；进货量 x 为 2 吨时，销售利润 y乙 为 2.6 万元． ⑴求 y乙 （万元）与 x （吨）之间的函数关系式． ⑵如果市场准备进甲、乙两种水果共 10 吨，设乙种水果的进货量为 t 吨，请你写出这两 种水果所获得的销售利润之和 W （万元）与t（吨）之间的函数关系式．并求出这两种 水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？ 【答案】⑴由题意，得： 1.4 4 2 2.6 a b a b + =  + = ，解得 0.1 1.5 a b = −  = 6 / 45 ∴ 20.1 1.5y x x= − +乙 ⑵ ()( )2+ 0.3 10 0.1 1.5Wyy t tt= = −+− +乙甲 ∴ 20.1 1.2 3W t t=− + + ()20.1 6 6.6W t=− − + ∴ 6t = 时， 有最大值为 6.6 ∴10 6 4− = （吨）． 答：甲、乙两种水果的进货量分别为 4 吨和 6 吨时，获得的销售利润之和最大， 最大利润是 6.6 万元． 14. 【易】（福建泉州丰泽区毕业考）某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为 10 万双，每双 鞋按 250 元销售，可获利 25% ，设每双鞋的成本价为 a 元． ⑴试求 a 的值； ⑵为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广 告费为 x （万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 与 x 之间的关系如图 所示，可近似看作是抛物线的一部分． ①根据图象提供的信息，求 y 与 x 之间的函数关系式； ②求年利润 S （万元）与广告费 x （万元）之间的函数关系式，并请回答广告费 x （万 元）在什么范围内，公司获得的年利润 S （万元）随广告费的增大而增多？ （注：年利润 S = 年销售总额－成本费－广告费） 【答案】⑴ ( )1 25% 250a + = 200a = （元） ⑵①依题意，设 y 与 x 之间的函数关系式为： 2y ax bx c= + + 4 2 1 1.36 16 4 1 1.64 a b a b + + =  + + = 解得 0.01 0.2a b= − =， ∴ 20.01 0.2 1y x x=− + + ② ( ) ()20.01 0.2 1 10 250 200Sxx x=− + +×× − − 25 99 500S x x=− + + W O 2 4 1 y（倍） x（万元） 1.36 1.64 7 / 45 ()25 9.9 990.05S x=− − + ∴当0 9.9x< < 时，公司获得的年利润随广告费的增大而增多． 15. 【易】（重庆市初中毕业学业暨高中招生考试数学试题（江津卷））某商场在销售旺季临 近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件 20 元， 并且每周（7 天）涨价 2 元，从第 6 周开始，保持每件 30 元的稳定价格销售，直到 11 周 结束，该童装不再销售． ⑴请建立销售价格 y （元）与周次 x 之间的函数关系； ⑵若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价 z （元）与周次 x 之间的关系为 ()21 8 12 8 z x=− − + ，1 11x≤ ≤ ，且 x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件 获得利润最大？并求最大利润为多少？ 【答案】⑴ ( ) ( ) () 202 1 2 181 6 306 11 x x x y x  +−=+ <=   ≤ ≤ ≤ ⑵设利润为 w ()()() ()()() 2 2 2 2 1 1202 1 8 12 141 68 8 1 130 8 12 8 186 118 8 yz x x x x w yz x x x  −=+−+ −−= + <=   −=+ − −= − + ≤ ≤ ≤ 21 148w x= + ，当 5x = 时， max 117 8w = （元） ()21 8 188y x= − + ，当 11x = 时， max 1 19 18 198 8w = ×+ = （元） 综上知：在第 11 周进货并售出后，所获利润最大且为每件 119 8 元 16. 【易】（2011 年南充市高中阶段学校招生统一考试数学试卷）某工厂在生产过程中要消 耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电 产生利润 y （元/千度））与电价 x （元/千度）的函数图象如图： ⑴当电价为 600 元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？ ⑵为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价 x（元/千度）与每天用电量 m（千 度）的函数关系为 10 500x m= + ，且该工厂每天用电量不超过 60 千度，为了获得最大 利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？ O 200 300 y(元/千千) x（元/千千）500 8 / 45 【答案】⑴工厂每千度电产生利润 y（元/千度）与电价 x（元/千度）的函数解析式为： ( )0y kx b k= + ≠ 该函数图象过点 ( ) ( )0 300 500 200，，， 500 200 300 k b b + =  = 解得 1 5 300 k b  = −  = ∴ ()1 300 05y x x=− + > 当电价 600x = 元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润 1 600 300 1805y =−× + = （元/千度） ⑵设工厂每天消耗电产生利润为 W 元，由题意得： ()1 1300 10 500 3005 5Wmym x m m  ==−+ =− + +      22 200m m= − + 化简配方，得： ()22 50 5000W m=− − + 由题意， 60m ≤ ， ∴当 50m = 时， max 5000W = 即当工厂每天消耗 50 千度电时，工厂每天消耗电产生利润为 5000 元． 17. 【中】（2012 年石景山区第一学期期末考试试卷）某超市按每袋 20 元的价格购进某种 干果．销售过程中发现，每月销售量 y （袋）与销售单价 x（元）之间的关系可近似地 看作一次函数： 10 500y x= − + （ 20 50x< < ）． ⑴当 45x = 元时， y = _________ 袋；当 200y = 袋时， x = _________ 元； ⑵设这种干果每月获得的利润为 w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大 利润？最大利润是多少 ? 【答案】⑴当 45x = 元时， 50y = 袋；当 200y = 袋时， 30x = 元； ⑵由题意，得： ( )20w x y= − ( )( ) 2 20 10 500 10 700 10000 x x x x =− − + =− + − 当 352 bx a = − = 时， max 2250y = 答：当销售单价定为 35 元时，每月可获得最大利润，最大利润是 2250 元 18. 【中】(2012 年长沙市中考题 )在长株潭建设“两型”社会的过程中，为推进节能减排， 发展低碳经济，我市某公司以 25 万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入 100 万 9 / 45 元购买生产设备，进行该产品的生产加工 .已知生产这种产品的成本价为每件 20 元.经过 市场调研发现，该产品的销售单价定在 25 元至 35 元之间较为合理，并且该产品的年销 售量 （万件）与销售单价 （元）之间的函数关系式为 （年获利 =年销售收入 -生产成本 -投资成本） （1）当销售单价定为 28 元时，该产品的年销售量为多少万件？ （2）求该公司第一年的年获利 （万元）与销售单价 （元）之间的函数关系式，并 说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小 亏损是多少？ （3）第二年，该公司决定给希望工程捐款 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为 10 万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款 .若除去第 一年的最大盈利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不 低于 67.5 万元，请你确定此时销售单价的范围 . 【答案】(1) 当 （万件）. (2) ，故当 最大值为 ，即公司最少亏损 25 万元 . ，故当 最大值为 ，即公司最少亏损 12.5 万元 . ∴投资的第一年公司亏损，最少亏损 12.5 万元 . (3) 设两年的总盈利为 万元 .当 ，令 . 化简得 ，解得 ，即 ，令 ，则 ，解得 ，即 ，综上得， . y x 40 (25 30) 25 0.5 (30 35) x xy x x − ≤ ≤=  − ≤ ≤ W x Z 28 40 402812x y x= =−=−=时， 2 225 30 (40 )( 20)25100 60 925 ( 30) 25x Wxx xx x= − − −− =−+ − =−− −≤ ≤ 时， 30x W= 时， 25− 2 21 130 35 (25 0.5 )( 20) 25 100 35 625 ( 35) 12.52 2xW xx xx x=− −−−=− + − =− − −≤ ≤ 时， 35x W= 时， 12.5− 1W 125 30 (40 )( 20 1) 12.510x W xx= − −−− −=≤ ≤ 时， 2 61 862.5x x− + − 2 1 67.5 61 862.5 67.5W x x− + −≥ ，则 ≥ 2 61 930 0x x− + ≤ 30 31x≤ ≤ 130 30 35x x W= < =，当 ≤ 时， 2 2 2171 17 17(25 0.5 )( 20 1) 12.5 10 547.5 82.625 82.6252 2 2 21 2 21xx xx x x − −−−−=−+− =−− + − − +   1 67.5W ≥ 2 21 71 547.5 67.5 71 1230 02 2xx xx−+− −+<≥ ，即 30 41x≤ ≤ 30 35x≤ ≤ 30 35x≤ ≤ 10 / 45 19. 【中】某超市销售一款进价为 50 元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于 70 元/个，市场调查发现：以 60 元/个的价格销售，平均每周销售书包 100 个；若每个书 包的销售价格每提高 1 元，则平均每周少销售书包 2 个． ⑴求该超市这款书包平均每周的销售量 y （个）与销售价 x （元/个）之间的函数关系 式； ⑵求该超市这款书包平均每周的销售利润 w （元）与销售价 x （元/个）之间的函数关 系式； ⑶当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利 润是多少元？ 【答案】⑴由题意，有 100 2( 60)y x= − − ， 即 2 220y x= − + ； ⑵由题意，有 ( 50)( 2 220)w x x= − −+ ， 即 22 320 11000w x x=− + − ； ⑶∵抛物线 22 320 11000w x x=− + − 的开口向下，在对称轴 80x = 的左侧，w 随 x 的增大而增大． 由题意可知 60 70x≤ ≤ ， ∴当 70x = 时， w 最大为 1600 ． 因此，当每个书包的销售价为 70 元时，该超市可以获得每周销售的最大利润 1600 元． 20. 【中】（2012 年贵州毕节中考）某商品的进价为每件 20 元，售价为每件 30 ，每个月可 买出 180 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月就会少卖出 10 件，但每件售价 不能高于 35 元，设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为整数），每个月的销售利润为 y 元． ⑴求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； ⑵每件商 品的售价为多少元时，每个月 可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是 1920 元？ 【答案】⑴ 210 80 1800y x x=− + + （ 0 5x≤ ≤ ，且 x 为整数） ⑵∵ ()2210 80 1800 10 4 1960yxx x=− + + =− − + ∴当 4x = 时， max 1960y = 元． ∴每件商品的售价为 30 4 34+ = 元． 答：每件商品的售价为 34 元时，商品的利润最大，为1960 元． ⑶ 21920 10 80 1800x x=− + + ， 即 2 8 12 0x x− + = ，解得 2x = 或 6x = ． ∵ 0 5x≤ ≤ ， ∴ 2x = ∴售价为 32 元时，利润为 1920 元． 11 / 45 21. 【中】某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价 y （元）与月份 x 之 间满足函数关系 50 2600y x= − + ，去年的月销售量 p （万台）与月份 x 之间成一次函数 关系，其中两个月的销售情况如下表： 月份 1 月 5 月 销售量 3．9万台 4．3万台 ⑴求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？ ⑵由于受国际金融危机的影响，今年 1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12 月份下降了 %m ，且每月的销售量都比去年 12 月份下降了 1.5 %m ．国家实施“家电 下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的 13% 给予财政补 贴．受此政策的影响，今年 3 至 5 月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年 2 月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年 2 月份增加了 1.5 万台．若今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴 936 万元，求 m 的值（保留一位小 数）． （参考数据： 34 5.831≈ ， 35 5.916≈ ， 37 6.083≈ ， 38 6.614≈ ） 【答案】⑴设 p 与 x 的函数关系为 ( )0p kx b k= + ≠ ，根据题意，得 3.9 5 4.3 k b k b + =  + = 解得 0.1 3.8 k b =  = 所以， 0.1 3.8p x= + ． 设月销售金额为 w 万元， 则 ( )( )0.1 3.8 50 2600w py x x== + −+ ． 化简，得 25 70 980w x x=− + + ， 所以， ()25 7 10125w x=− − + ． 当 7x = 时， w 取得最大值，最大值为 10125 ． 答：该品牌电视机在去年 7月份销往农村的销售金额最大，最大是 10125 万元． ⑵去年 12 月份每台的售价为 50 12 2600 2000−×+ = （元）， 去年 12 月份的销售量为 0.1 12 3.8 5× + = （万台）， 根据题意，得 ( ) ( )20001 % 51 1.5 % 1.5 13% 3 936m m− ×− +××=   ． 令 %m t= ，原方程可化为 27.5 14 5.3 0t t− + = ． 14 37 15 t ±= ． 1 20.528 1.339t t≈ ≈， （舍去） 答： m 的值约为 52.8 ． 12 / 45 22. 【中】某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水 产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价 1y（元）与销售月份 x（月） 满足关系式 3 36 8 y x= − + ，而其每千克成本 2y （元）与销售月份 x（月）满足的函数关 系如图所示． ⑴试确定 b c、 的值； ⑵求出这种水产品每千克的利润 y （元）与销售月份 x （月）之间的函数关系式； ⑶“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】⑴由题意： 2 2 125 3 3 + 8 124 4 4 +8 b c b c  = × +  = × + 解得 718 129 2 b c  = −  = ⑵ 2 2 1 2 3 115 113 136 29 68 88 2822yyyx xx xx =−=−+− − + =− ++   ⑶ ()22 1 2 1 3 1 16 611 8 2 28 yyy xx x=−=− + + =− − + ∵ 1 0 8 a = − < ， ∴抛物线开口向下．在对称轴 左侧 随 的增大而增大． 由题意 5x < ，所以在 4 月份出售这种水产品每千克的利润最大． 最大利润 ()21 14 6 11 10 8 2 =− − + = （元）． 23. 【中】（2009 年安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． ⑴请说明图中①、②两段函数图象的实际意义． ⑵写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg ）之间的函数关系式；在下图 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数 量的该种水果． ⑶经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所 示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商 设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大． 6x = y x 25 24 y（元） x（月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第 8 题图 2 2 1 8y x bx c= + + O 13 / 45 【答案】⑴图①表示批发量不少于 20 kg 且不多于 60 kg 的该种水果， 可按 5 元/kg 批发； 图②表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发． ⑵解：由题意得： 20 60 60 5 4 m m w m m =   ≤ ≤（ ） （ ＞ ） ，函数图象如图所示． 由图可知资金金额满足 240 300x< ≤ 时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果． ⑶解法一： 设当日零售价为 x 元，销售量为 p ，由图可得日最高销量 p 320 40x= − 当 60p > 时， 6.5x < 由题意，销售利润为 2( 4)(320 40x) 40[ ( 6) 4]y x x=− − =−−+ 当 x＝6 时， 160y =最大值 ，此时 m＝80 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg ， 当日可获得最大利润 160 元． O 6020 4 批发单价（元） 5 批发量（kg ） ① ② 14 / 45 解法二： 设日最高销售量为 ( )kg 60x x > 则由图②日零售价 p 满足： 320 40x p= − ，于是 320 40 xp −= 销售利润 2320 1( 4) ( 80) 160 40 40 xy x x −= −=− − + 当 80x = 时， 160y =最大值 ，此时 6p = 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg ， 当日可获得最大利润 160 元． 24. 【中】（广西）某公司生产一种产品，每件成本为 2 元，售价为 3 元，年销售量为 100 万件．为获取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告．通过市场调查发现：每年投 入的广告费用为 x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍；同时 y 又是 x 的二次函数，相互关系如下表： x 0 1 2 …… y 1 1.5 1.6 …… ⑴求 y 与 x 的函数关系式； ⑵如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S （十万元）与广告 费 x （十万元）的函数关系式； ⑶如果一年投入的广告费为 10 ～30 万元，问广告费在什么范围内时，公司获得的年利 润随广告费的增大而增大？ 【答案】⑴设所求的二次函数关系式为 2y ax bx c= + + ． 则有 1 3 2 84 2 5 c a b c a b c   =  + + =   + + = ，解得 1 5 a = − ， 7 10 b = ， 1c = ． ∴ ()21 7 1 0 5 10 y x xx=− + + ≥ ． ⑵依题意，得 ( )22 6 10 0S x x x=− + + ≥ ． ⑶由 2 2 3 292 6 10 2 2 2Sxx x =− + + =− − +   ， 又1 3x≤ ≤ ，∴当1 1.5x≤ ≤ 时， S 随着 x 增大而增大． 即当广告费在 10 万元～15 万元时，公司获得的年利润随着广告费的增大而增 大． 25. 【中】（重庆市初中数学竞赛题）甲、乙两个蔬菜基地，分别向 A 、 B 、 C 三个农贸市 场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向 A 提供 45 t ，向 B 提供 75 t ，向 C 提供 40 t ．甲 基地可安排 60 t ，乙基地可安排 100 t ．甲、乙与 A 、B 、C 的距离千米数如表所示，设 运费为 1 元/（ km t⋅ ）．问如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值． 15 / 45 A B C 甲 10 5 6 乙 4 8 15 【答案】设乙基地向 A 提供 xt ，向 B 提供 yt ，向 C 提供 ( )100 x y t− +   ，则 甲基地向 A 提供 ( )45 x t− ，向 B 提供 ( )75 y t− ，向 C 提供 ( ) ( )40100 60xyt xy t− −− = +−     ． 依题意，总运费为 ( ) ( ) ( ) ( )1045 575 6 60 4 8 15100W x yxy xy xy= −+ −+ +−+++ −+       ( )196532 3x y x= − ++   ． 因为 0 x y+≤ ≤100 ，0 45x≤ ≤ ，当且仅当 100x y+ = ， 45x = 时，W 有最 小值，则 ( )min 1965 3 200 135 960W = − + = 元． 26. 【中】（2012 年深圳初三月考）为了落实国务院的指示精神，最近，市政府又出台了一 系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知 这种产品的成本价为 20 元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售 w （千克）与销售 价 x （元/千克）有如下关系： 2 80w x= − + ．设这种产品每天的销售利润为 y （元）． ⑴求 y 与 x 之间的函数关系式． ⑵当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ ⑶如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元/千克，该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少元？ 【答案】⑴ ( )20y x w= − ( )( )20 2 80x x= − −+ 22 120 1600x x=− + − ⑵ 22 120 1600y x x=− + − ()22 30 200x=− − + ∴当 30x = 时， y 有最大值 200 ∴当销售价定为 30 元/千克时，每天可获最大销售利润 200 元 ⑶当 150y = 时，可得方程 ()22 30 200 150x− − + = 1 225 35x x= =， （舍去） ∴当销售价定为 25 元/千克时，该农户每天可获得销售利润 150 元 16 / 45 27. 【中】某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单 价，且获利不得高于 45% ，经试销发现，销售量 y （件）与销售单价 x（元）符合一次 函数 y kx b= + ，且 65x = 时， 55y = ； 75x = 时， 45y = ． ⑴求一次函数 y kx b= + 的表达式； ⑵若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定 为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ ⑶若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 x 的范围． 【答案】⑴根据题意得 65 55 75 45. k b k b + =  + = ， 解得 1 120k b= − =， ． 所求一次函数的表达式为 120y x= − + ． ⑵ 2 2( 60)( 120) 180 7200 ( 90) 900Wx x xx x=− ⋅−+ =−+ − =−− + ， ∵抛物线的开口向下， ∴当 90x < 时，W 随 x 的增大而增大，而 60 87x≤ ≤ ， ∴当 87x = 时， 2(87 90) 900 891W =− − + = ． ∴当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是 891 元． ⑶由 500W = ，得 2500 180 7200x x=− + − ， 整理得， 2 180 7700 0x x− + = ，解得， 1 270 110x x= =， ． 由图象可知，要使该商场获得利润不低于 500 元，销售单价应在 70 元到 110 元之间，而 60 87x≤ ≤ ，所以，销售单价 x 的范围是 70 87x≤ ≤ ． 28. 【中】（鄂州市 2013 年初中毕业生学业水平考试数学试题）某商场经营某种品牌的玩具， 购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（ 40x > ），请你分别用 x 的代数式来表示 销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量 y （件） 销售玩具获得利润 w （元） （2）在（1）问条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定为 多少元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元，且商场要完 成不少于 540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】⑴ 销售单价（元） x 销售量 y （件） 1000 10 x− 17 / 45 销售玩具获得利润 w （元） 210 1300 30000x x− + − ⑵ 210 1300 30000 10000x x−+ − = 解之得： 1 50x = ， 2 80x = 答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润 ⑶根据题意得 1000 10 540 44 x x −   ≥ ≥ 解之得： 44 46x≤ ≤ ()2210 1300 30000 10 65 12250wxx x=− + − =− − + ∵ 10 0a = − < ，对称轴 65x = ∴当 44 46x≤ ≤ 时， y 随 x 增大而增大． ∴当 46x = 时， 8640W =最大值 （元） 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元. 29. 【中】（2013 年湖北省咸宁市中考数学试卷）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出 台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本 价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节 能灯．已知这种节能灯的成本价为每件 10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量 y（件） 与销售单价 x （元）之间的关系近似满足一次函数： 10 500y x= − + ． ⑴ 李明在开始创业的第 1 个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差 价为多少元？ ⑵ 设李明获得的利润为 w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ ⑶ 物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元．如果李明想要每月获得的利 润不低于 3000 元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？ 【答案】⑴当 20x = 时， 10 500 10 20 500 300y x=− + =−× + = ， ( )300 12 10 300 2 600× − = ×= ， 即政府这个月为他承担的总差价为 600 元． ⑵ 依题意得： ( )( )10 10 500w x x=− − + 210 600 5000x x=− + − ()210 30 4000x=− − + ∵ 10 0a = − < ， ∴当 30x = 时， w 有最大值 4000 ． 即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000 ． ⑶ 由题意得： 210 600 5000 3000x x− + − = ， 解得： 1 20x = ， 2 40x = ． ∵ 10 0a = − < ，抛物线开口向下， ∴结合图象可知：当 20 40x≤ ≤ 时， 3000w≥ ． 又∵ 25x ≤ ， 18 / 45 ∴当 20 25x≤ ≤ 时， 3000w≥ ． 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元， ∴ ()()12 10 10 500p x= − ×− + 20 1000x= − + ． ∵ 20 0k = − < ， ∴ p 随 x 的增大而减小， ∴当 25x = 时， p 有最小值 500 ． 即销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元. 30. 【中】（2013 年安徽省初中毕业学业考试数学）某大学生利用暑假 40 天社会实践参与 了一 家网店经营，了解到一种成本为 20 元/件的新型商品在第 x 天销售的相关信息如下 表所示． 销售量 p （件） 50P x= − 销售单价 q （元/件） 当1 20x≤ ≤ 时， 130 2 q x= + ； 当 21 40x≤ ≤ 时， 52520q x = + ⑴ 请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件？ ⑵ 求该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系式． ⑶ 这 40 天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】⑴ 当1 20x≤ ≤ 时，令 130 35 2 x+ = ，得 10x = ． 当 21 40x≤ ≤ 时，令 52520 35 x + = ，得 35x = ． 即第 10 天或者第 35 天该商品的销售单价为 35 元/件． ⑵ 当1 20x≤ ≤ 时， () 21 130 2050 15 5002 2y x xxx = +− −=− ++   ， 当 21 40x≤ ≤ 时， ()525 2625020 2050 525y xx x  =+− −= −   ． 直直x=30 3000 4020O x w 19 / 45 ∴ () () 21 15 5001 202 26250 52521 40 x x x y xx − + +=   − ≤ ≤ ≤ ≤ ⑶ 当1 20x≤ ≤ 时， ()221 115 500 15 612.5 2 2 yxx x=− + + =− − + ∵ 1 0 2 − < ，∴当 15x = 时， y 有最大值 1y ，且 1 612.5y = ． 当 21 40x≤ ≤ 时， ∵ 26250 0> ，∴ 26250 x 随着 x 的增大而减小， ∴ 21x = 时， 26250 x 最大． 于是， 21x = 时， 26250 525y x = − 有最大值 2y ，且 2 26250 525 725 21 y = − = ． ∵ 1 2y y< ． ∴这 40 天中第 21 天时该网店获得利润最大，最大利润为 725 元． 31. 【中】(2013 年山东日照初中学业考试 )一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100 辆．公 司在经营中发现每辆车的月租金 x （元）与每月租出的车辆数（ y ）有如下关系： x 3000 3200 3500 4000 y 100 96 90 80 ⑴ 观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出 的车辆数 y （辆）与每辆车的月租金 x （元）之间的关系式． ⑵ 已知租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元．用 含 ( )3000x x ≥ 的代数式填表： 租出的车辆 数 未租出的车辆 数 租出每辆车 的月收益 所有未租出的 车辆每月的维 护费 ⑶ 若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月 收益？请求出公司的最大月收益是多少元． 【答案】⑴ 由表格数据可知 y 与 x 是一次函数关系，设其解析式为 y kx b= + ． 由题： 3000 100, 3200 96. k b k b + =  + = 解之得： 1 ,50 160. k b  = −  = ∴y 与 x 间的函数关系是 1 160 50 y x= − + ． ⑵ 如下表： 20 / 45 租出 的车 辆数 1 160 50 x− + 未租出的 车辆数 1 60 50 x − 租出的车每 辆的月收益 150x − 所有未租 出的车辆 每月的维 护费 3000x − ⑶ 设租赁公司获得的月收益为 W 元，依题意可得： 1 160 ( 150) ( 3000)50W x x x =− + − −−   ()21 163 24000 300050 x x x =− + − −−   21 163 24000 3000 50 x x x=− + − −+ 21 162 21000 50 x x=− + − 21 ( 4050) 307050 50 x=− − + ∴当 4050x = 时， max 307050W = 即：当每辆车的月租金写为 4050 元时，公司可获得最大月收益 307050 元． 32. 【中】（2011 年湖北鄂州）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当 地政府对该特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得利润 ()21 60 41 100 P x=− − + （万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在 规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中， 每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在 当地销售；公路通车后的 3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的 投资收益为：每投入 x 万元，可获利润 ()()299 294100 100 160 100 5 Q x x=− −+ −+ （万元） ⑴若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少？ ⑵若按规划实施，求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？ 【答案】解：⑴当 60x = 时， P 最大且为 41 ，故五年获利最大值是 41 5 205× = 万元． ⑵前两年： 0 50x≤ ≤ ，此时因为 P 随 x 增大而增大， 所以 50x = 时， P 值最大且为 40 万元，所以这两年获利最大为 40 2 80× = 万 元． 后三年：设每年获利为 y ，设当地投资额为 x ，则外地投资额为 100 x− ， 所以 y P Q= + = ()21 60 41100 x − − +   + 299 294 160100 5x x − + +   = 2 60 165x x− + + = ()230 1065x− − + ， 21 / 45 则 30x = 时， y 最大且为 1065 ，那么三年获利最大为 1065 3 3495× = 万元， 故五年获利最大值为 80 3495 50 2 3475+ − ×= 万元． ⑶有极大的实施价值． 33. 【中】（2011 年恩施自治州中考）宜万铁路开通后，给恩施州带来了很大方便．恩施某 工厂拟用一节容积是 90 立方米、最大载重量为 50 吨的火车皮运输购进的 A 、B 两种材 料共 50 箱．已知 A 种材料一箱的体积是 1.8 1 立方米、重量是 0.4 吨； B 种材料一箱的 体积是 1 立方米、重量是 1.2 吨；不计箱子之间的空隙，设 A 种材料进了 x 箱． ⑴求厂家共有多少种进货方案（不要求列举方案）？ ⑵若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润 y （万元）与 x（箱）的函数关系大致 如下表，请先根据下表画出简图，猜想函数类型，求出函数解析式（求函数解析式不取 近似值），确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润，并求出最大利润． x 15 20 25 30 38 40 45 50 y 10 约 27 ．58 40 约 48 ．20 约 49 ．10 约 47 ．12 40 约 26 ．99 【答案】⑴设 A 种材料进了 x 箱，则 B 种材料进了 50 x− 箱， 根据题意可知： 1.8 50 90x x+ − ≤ ( )0.4 1.2 50 50x x+ − ≤ 解得 12.5 50x≤ ≤ x 取整数，故有 38 种进货方案； （2）由以上数据可知该函数为二次函数， 设二次函数的解析式为 2y ax bx c= + + ， 由图象可知二次函数经过 ( ) ( ) ( )15 10 25 40 45 40，，，，，， 将三点坐标代入二次函数解析式可得 0.1 7 72.5a b c=− = =−，，． 二次函数的解析式为 20.1 7 72.5y x x=− + − ， 当 35 2 bx a = − = 时，能让厂家获得最大利润，最大利润为 50 万元． 55 55 y（万元） x（箱）5045403530252015105 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 22 / 45 34. 【中】（2012 年三帆中学九年级上数学期中测试题）某数码卖场销售某种品牌电脑，对 于100 500∼ 台的大客户订单实行降价促销，每台电脑的售价 y（元/台）与数量 x（台） 的函数关系可以由图中线段 AB 来表示，每台电脑的进货及运输等成本总共为 2250 元． ⑴写出每台电脑的售价 y 与台数 x 的函数关系式：________________；自变量的取值范 围是 ____________ 且 x 为整数； ⑵若一次政府采购的订单使该卖场共获利 12 万元，不计其它成本消耗，试求出这次政 府采购了多少台电脑； ⑶求出每份大客户订单的总获利 z （元）与购买数量 x （台）之间的函数关系式．当一 份订单的购买数量为多少台时，卖场获利最多？ 【答案】⑴设所求的函数解析式为 ()0y kx b k= + ≠ 100 3000 500 2400 k b k b + =  + = 解得 1.5 3150 k b = −  = ∴ ()1.5 3150 100 500y x x= − + ≤ ≤ ⑵()1.5 3150 2250 120000x x−+ − = 2 600 80000 0x x− + = 解得 1 2200 400x x= =， 答：这次政府采购了 200 或 400 台电脑； ⑶ ()1.5 3150 2250z x x=− + − 100 B A 500 x（台） y(元/台) 3000 2400 O 23 / 45 21.5 900x x= − + 当 300 2 bx a = − = 台时，卖场利润最大，为 450 300 135000× = 元 答：当一份订单的购买数量为 300 台时，卖场获利最多，为135000 元． 35. 【中】（2009 年九年级第一次质量预测）郑州市某经销店为某工厂代销一种建筑材料（这 里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处 理）．当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨．该经销店为提高经营利润，准备采取 降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增 加 7.5 吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元．设 每吨材料售价为 x （元），该经销店的月利润为 y （元）． ⑴当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量； ⑵求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）； ⑶该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元 ? ⑷有人说：“当月利润最大时，月销售额也最大 ”你认为对吗 ?请说明理由． 【答案】⑴ 5.7 10 24026045 ×−+ =60 （吨）． ⑵ 260( 100)(45 7.5) 10 xy x −=− + × ， 化简得： 23 315 240004y x x=− + − ． ⑶ 240003154 3 2 −+−= xxy 23 ( 210) 9075 4 x=− − + ． 该经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元． ⑷我认为，此人说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时， x 为 210 元， 而对于月销售额 )5.7 10 26045( ×−+= xxW 23( 160) 192004 x=− − + 来说， 当 x 为160 元时，月销售额 W 最大． ∴当 x 为 210 元时，月销售额 W 不是最大． ∴此人说的不对． 方法二：当月利润最大时， x 为 210 元，此时，月销售额为 17325 元； 而当 x 为 200 元时，月销售额为 18000 元． ∵17325 18000< ， ∴当月利润最大时，月销售额 W 不是最大． ∴此人说的不对． 36. 【中】（2011 年江苏省常州中考）某商店以 6 元/千克的价格购进某种干果 1140 千克， 并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主 从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完； 甲级干果从开始销售至销售的第 x 天的总销量 1y （千克）与 x 的关系为 2 1 40y x x= − + ； 24 / 45 乙级干果从开始销售至销售的第 t 天的总销量 2y （千克）与t 的关系为 2 2y at bt= + ，且 乙级干果的前三天的销售量的情况见下表： ⑴求 a 、b 的值； ⑵若甲级干果与乙级干果分别以 8 元/千克的 6 元/千克的零售价出售，则卖完这批干果 获得的毛利润是多少元？ ⑶问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克？ （说明：毛利润 =销售总金额 -进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不 计） 【答案】⑴根据表中的数据可得 21 44 4 2 a b a b = +  = + 解得 1 20 a b =  = ⑵甲级干果和乙级干果 n 天售完这批货． 2 240 20 1140n nn n−+ ++ = 19n = 当 19n = 时， 1 399y = ， 2 741y = 毛利润为 399 8 741 6 1140 6 798×+ ×− ×= （元） ⑶设从第 m 天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克，则 甲、乙级干果的销售量为 m 天的销售量减去 1m − 天的销售量， 即甲级水果第 m 天所卖出的水果数量： ( ) ()()22 40 1 40 1 2 41mmm m m −+ −−−+ −=−+  乙级水果第 m 天所卖出的水果数量： ( ) ()()22 20 1 20 1 2 19mmm m m + −−+ −=+  ( ) ( )2 19 2 41 6m m+ −− + ≥ 解得 7m≥ 答：第 7 天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克． 二、 根据实际问题建立模型 t 1 2 3 2y 21 44 69 25 / 45 37. 【易】（2011 年西宁市高中招生考试数学试卷）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一 个喷水管的最大高度为 3米，此时距喷水管的水平距离为 1 2 米，在如图所示的坐标系中， 这个喷泉的函数关系式是（ ） A． 21 32y x =− − +   B． 213 32y x =− + +   C． 2112 32y x =− − +   D． 2112 32y x =− + +   【答案】C 38. 【中】（2011 年广西梧州）2011 年 5 月 22 日—29 日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽 毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线 可以看作是抛物线 21 4 y x bxc=− + + 的一部分（如图），其中出球点 B 离地面 O 点的距离是 1m ，球落地点 A 到 O 点的距离是 4m ，那么这条抛物线的解析式是（ ） A． 21 3 1 4 4 y x x=− + + B． 21 3 1 4 4 y x x=− + − C． 21 3 1 4 4 y x x=− − + D． 21 3 1 4 4 y x x=− − − 【答案】A 39. 【易】（2011 年河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料）某公司的生产利润原来 是 a 元，经过连续两年的增长达到了 y 万元，如果每年增长的百分数都是 x ，那么 y 与 x 的函数关系是（ ） O x y 1 2 3 2 1 AO y x B 26 / 45 A． 2y x a= + B． ()21y a x= − C． ()21y a x= + D． ( )1y a x= + 【答案】C 40. 【易】（上海初三数学期中）某印刷厂一月份印数 20 万册，如果第一季度从 2 月份起， 每月印书量的增长率都为 x ，三月份的印书量为 y 万册，那么 y 关于 x 的函数关系式是 ___________． 【答案】 ()220 1y x= + 41. 【易】（2012 年河南中招模拟试卷）如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形 状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线可以用 20.0225 0.9 10y x x= − + 表 示，而且左右两条抛物线关于 y 轴对称，请你写出左面钢缆的表达式 _______________． 【答案】 20.0225 0.9 10y x x= + + 42. 【易】（2010 年大兴区初三上期中）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根带 有喷水头的水管．喷出的水所形成的水流的形状是抛物线，如果要求水流的最高点到水 管的水平距离为 1m ，距离地面的高度为 3m ，水流落地处到水管的水平距离是 3m ，求 这根带有喷水头的水管在地面以上的高度？ 【答案】设水管长 mh ，以最高点为原点建立直角坐标系 则抛物线方程为 2y ax= 因为抛物线过 ( )2 3−， 点，带入解得 3 4 a = − 而喷水头的坐标为 ( )1 3h− −， 带入 解得 33 4 h − = − 9 4 h = 答：水管长度为 9 m 4 ． 43. 【易】（2011 年河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料）体育测试时，初三一名 高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线 21 2 12 y x x=− ++ 的一部分，根据关 系式回答： ⑴该同学的出手最大高度是多少？ 27 / 45 ⑵铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ 【答案】⑴2 ⑵∵抛物线解析式为： ()21 6 5 12 y x=− − + ，∴最大高度为 5． 44. 【易】（2011 年深圳实验初二下期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度 为 6 米，底部宽度 OM 为12 米，现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标 系． ⑴直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标； ⑵求这条抛物线的解析式； ⑶若要搭建一个矩形“支撑架” AD DC CB− − ，使 C 、 D 点在抛物线上， A 、B 点在 地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 【答案】⑴顶点 P 的坐标为 ( )6 6， ，点 M 的坐标为 ( )12 0， ， ⑵ 21 2 6 y x x= − + ， ⑶设CD m= ，则 1 2 CE DE m= = ，支撑架的总长为 L ， ∵C D， 两点关于对称轴 6x = 对称， ∴ 1 16 06 02 2A m B m  − +     ，，，， ∴ D 点的横坐标为 16 2 m− ， C 点横坐标为 16 2 m+ ， ∵ C ， D 两点在抛物线上， C 点横坐标代入，得： ∴ ()1 12 6 y x x= − − ， 216 24 m= − ， ∴ 216 24 ADCB m= = − ， ∴ L AD DC CB= + + ， 212 6 24m m = + −   ， ()21 6 15 12 m=− − + ， ∵二次项系数为 1 0 12 − < ， y xM P E D C BAO 28 / 45 ∴ L 有最大值，最大值为 15 ． 45. 【易】（2013 年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷） 科幻小说《实验室的故事》中， 有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后， 测试出这种植物高度的增长情况（如下表）： 温度 /x ℃ … … 4− 2− 0 2 4 4.5 … … 植物 每天 高度 增长 量 / mmy … … 41 49 49 41 25 19.75 … … 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度 x 的函数，且这种函数是反比 例函数、一次函数和二次函数中的一种． ⑴ 请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数 的理由； ⑵ 温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ ⑶ 如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm ， 那么实验室 的温度 x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 【答案】⑴选择二次函数，设 2y ax bx c= + + ，得 49 4 2 49 4 2 41 c a b c a b c =  − + =  + + = ， 解得 1 2 49 a b c = −  = −  = ． ∴ y 关于 x 的函数关系式是 2 2 49y x x=− − + ． 不选另外两个函数的理由： 注意到点 ( )0 49， 不可能在任何反比例函数图象上，所以 y 不是 x 的反比例函 数；点( )4 41− ， ， ( )2 49− ， ， ( )2 41， 不在同一直线上，所以 y 不是 x 的一次 函数． ⑵由⑴，得 2 2 49y x x=− − + ， ∴ ()21 50y x=− + + ． ∵ 1 0a = − < ， 29 / 45 ∴当 1x = − 时， y 的最大值为 50 ． 即当温度为 1− ℃时，这种植物每天高度增长量最大． ⑶ 6 4x− < < 46. 【易】（2013 山东滨州中考试卷）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分 是长方体形，抽屉底面周长为 180cm ，高为 20 cm ．请通过计算说明，当底面的宽 x 为 何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计） 【答案】 解：根据题意，得 18020 2y x x = −   ， 整理，得 220 1800y x x= +－ ． ∵ ( ) ()22 220 1800 20 90 2025 40500 20 45 40500yxxxx x=+= ++= +－－－－－， ∵ 20 0− < ，∴当 45x = 时，函数有最大值， y 最大值 40500= ， 即当底面的宽为 45cm 时，抽屉的体积最大，最大为 240500cm ． 47. 【易】（2009 年中考聊城市数学试题）徒骇河大桥是我市第一座特大型桥梁，大桥桥体 造型新颖，气势恢宏，两条拱肋如长虹卧波，极具时代气息（如图）．大桥为中承式悬 索拱桥，大桥的主拱肋 ACB 是抛物线的一部分（如图②），跨径 AB 为100 m ，拱高 OC 为 25 m ，抛物线顶点 C 到桥面的距离为 17 m ． ⑴请建立适当的坐标系，求该抛物线所对应的函数关系式； ⑵七月份汛期来临，河水水位上涨，假设水位比 AB 所在直线高出 1.96 m ，这时位于水 面上的拱肋的跨径是多少？在不计桥面厚度的情况，一条高出水面 4.6 m 的游船是否能 够顺利通过大桥？ 【答案】⑴以 AB 所在直线为 x 轴，直线 OC 为 y 轴，建立直角坐标系，如图所示 设抛物线所对应的函数关系式为 2y ax c= + ，由题意知 ( ) ( )50 0 0 25B C，，， ∴抛物线的解析式为 21 25 100 y x= − + ⑵当水位比 AB 所在直线高出 1.96 米时， 30 / 45 将 1.96y = 代入函数关系式，得 21 25 1.96 100 x− + = 解得 48x = ± ∴ 48 2 96× = （米） 故位于水面上的拱肋的跨径是 96 米 根据题意，游船的最高点到桥面的距离为 ( ) ( )25 17 1.96 4.6 1.44−− + = （米） 所以游船能够顺利通过大桥． 48. 【中】（2011 年大兴） X 市与 W 市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中．在建成通 车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数 m 与该列车每次拖挂车厢节 数 n 的部分数据如下： 车厢节数 n 4 7 10 往返次数 m 16 10 4 ⑴请你根据上表数据，在三个函数模型：① y kx b= + （ k b， 为常数， 0k ≠ ）；② ky x = （ k 为常数， 0k ≠ ）；③ 2y ax bx c= + + （ a b c， ， 为常数， 0a ≠ ）中，选取一个适合 的函数模型，求出的 m 关于 n 的函数关系式是 m = __________（不写 n 的取值范围）； ⑵结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设 计运营人数 Q 最多（每节车厢载客量设定为常数 p ）． 【答案】⑴ 2 24m n= − + ； ⑵Q pmn= ， ( )2 24pn n= − + ， 22 24pn pn= − + ， ∵ 2 0p− < ， ∴ Q 有最大值， ∴当 24 62 (2 ) pn p = =× − 时， Q 取最大值， 此时， 2 24 2 6 24 12m n=− + =−×+ = ， ∴一列火车每次挂 6 节车厢，一天往返 12 次时，一天的设计运营人数最多． 49. 【中】（日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通 风设施．该设施的下部 ABCD 是矩形，其中 2AB = 米， 1BC = 米；上部 CDG 是等边三 角形，固定点 E 为 AB 的中点． EMN△ 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影 部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆． ⑴当 MN 和 AB 之间的距离为 0．5 米时，求此时 EMN△ 的面积； ⑵设 MN 与 AB 之间的距离为 米，试将 EMN△ 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函 数； ⑶请你探究 EMN△ 的面积 S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没 有，请说明理由． x 31 / 45 【答案】⑴由题意，当 MN 和 AB 之间的距离为 0．5 米时， MN 应位于 DC 下 方，且此时 EMN△ 中 MN 边上的高为 0．5 米． 所以，S△EMN = 1 2 0.5 2 × × =0 ．5（平方米）． 即 EMN△ 的面积为 0．5 平方米． ⑵①如图所示，当 MN 在矩形区域滑动，即0 1x＜ ≤ 时， EMN△ 的面积 S= 1 2 2 x× × = x ； ②如图所示，当 MN 在三角形区域滑动，即1 1 3x< < + 时， 如图，连接 EG，交CD 于点 F ，交 MN 于点 H ， ∵ E 为 AB 中点， ∴ F 为CD 中点，GF CD⊥ ，且 3FG = ． 又∵ MN CD∥ ， ∴ MNG DCG△ ∽△ ． 32 / 45 ∴ MN GH DC GF = ， 即 2[ 3 1 ] 3 xMN + −= 故 EMN△ 的面积 S＝ 1 2[ 3 1 ] 2 3 x x + −× × ＝ 23 3(1 ) 3 3 x x− + + ； 综合可得： ( ) ()2 0 1 3 31 1133 3 x x S x x x ≤ =  −++ +     ， ＜ ． ＜ ＜ ⑶①当 MN 在矩形区域滑动时， S x= ，所以有 0 1S< ≤ ②当 MN 在三角形区域滑动时，S= 23 3(1 ) 3 3 x x− + + ． 因而，当 1 3 2 2 bx a += − = （米）时， S 得到最大值，最大值 S= 24 4 ac b a − = 231 3 34 3 − + × − （ ） （ ） = 1 3 2 3 + （平方米）． ∵ 1 3 1 2 3 + > ， ∴S 有最大值，最大值为 1 3 2 3 + 平方米． 50. 【中】（2013 年河北省初中毕业生升学文化课数学试卷） 某公司在固定线路上运输，拟用运营指数 Q 量化考核司机的工作业绩． 100Q W= + ， 而W 的大小与运输次数 n 及平均速度 x （km/h ）有关（不考虑其他因素）， W 由两部分 的和组成：一部分与 x 的平方成正比，另一部分与 x 的 n 倍成正比．试行中得到了表中 次数 n 2 1 速度 x 40 60 指数 q 420 100 的数据． （1）用含 x 和 n 的式子表示 Q ； （2）当 70x = ， 450Q = 时，求 n 的值； （3）若 3n = ，要使 Q 最大，确定 x 的值； （4）设 2n = ， 40x = ，能否在 n 增加 %m （ 0m > ）同时 x 减少 %m 的情况下，而Q 的 值仍为 420 ，若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由． 参考公式：抛物线 ( )2 0y ax bx ca= ++ ≠ 的顶点坐标是 2 2 4 2 b ac b a a  −−    ， ． 【答案】⑴设 2 1 2W k x k nx= + ，∴ 2 1 2 100Q k x k nx= + + ． 33 / 45 由表中数据，得 2 1 2 2 1 2 420 40 2 40 100 100 60 1 60 100 k k k k  = +× + = +× + ． 解得 1 2 1 10 6 k k  = −  = ． ∴ 21 6 100 10 Q x nx=− + + ． ⑵由题意，得 21450 70 6 70 100 10 n=− × +× + ， ∴ 2n = ． ⑶当 3n = 时， 21 18 100 10 Q x x=− + + ． 由 1 0 10 a = − < 可知，要使 Q 最大， 18 9012 10 x = − =  × −   ． ⑷由题意，得 ()()()21420 401 % 621 % 401 % 100 10 m m m=− − +×+ × − +   ， 即 ()22% %0m m− = ． 解得 1% 2 m = ，或 % 0m = （舍去）． ∴ 50m = ． 51. 【中】（南京）如图， E 、 F 分别是边长为 4 的正方形 ABCD 的边 BC CD， 上的点， 41 3 CE CF= =， ，直线 EF 交 AB 的延长线于 G ，过线段 FG 上的一个动点 H 作 HM AG⊥ ， HN AD⊥ ，垂足分别为 M N， ，设 HM x= ，矩形 AMHN 的面积为 y ⑴求 y 与 x 之间的函数关系式； ⑵当 x 为何值时，矩形 AMHN 的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】⑴∵正方形 ABCD 的边长为 4 ， 41 3 CE CF= =， ， ∴ 3BE = 又 AG CF FEC GEB∥ ，△ ∽△ ， 4CF CE BG BG BE = =， 又 HM BE∥ N M H G F E D C BA 34 / 45 ∴ HMG EBG△ ∽△ ， MG HM BG BE = ∴ 4 48 3 3 MG xAM x= = −， ∴ ()24 48 8043 3yx x xxx = − =− + <≤   ⑵∵ ()224 48 312 3 3 y xx x=− + =− − + ∴当 3x = 时，矩形面积最大，最大面积为 12 52. 【中】某汽车在刹车后行驶的距离 （单位：米）与时间 （单位：秒）之间关系的部 分数据如下表： 时间 （秒） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 行驶距离 （米） 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 假设这种变化规律一直持续到汽车停止 . （1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点； （2）选择适当的函数表示 与 之间的关系，求出相应的函数解析式； （3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？ ②当 分别为 ， （ ）时，对应 的值分别为 ， ，请比较 与 的 大小，并解释比较结果的实际意义 . 【答案】(1) 略 (2) . (3) ①当 时，滑行距离最大值为 ，即刹车后汽车行驶了 米才停止 . ②∵ ，∴ ， 即刹车后到 时间内的平均速度小于刹车后到 时间内的平均速度 . 53. 【中】企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水处理厂进行集中处理，另一种是 通过企业的自身设备进行处理，某企业去年每月的污水量均为 12000 t，由于污水处理厂 s t t … s … s t t 1t 2t 21 tt < s 1s 2s 1 1 t s 2 2 t s 12 10 8 6 4 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 t s O 25 15s t t= − + 3 2 t = 45 4 45 4 1 2 2 1 1 2 5( ) 0s s t tt t − = − > 1 2 1 2 s s t t > 2t 1t 35 / 45 处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时 进行，1 至 6 月，该企业向污水处理厂输送的污水量 与月份 （ 且 取整 数）之间满足的函数关系如下表： 月份 /月 1 2 3 4 5 6 输送 的污 水量 12000 6000 4000 3000 2400 2000 7 至 12 月，该企业自身处理的污水量 与月份 （ 且 取整数）之间满足 二次函数关系式 ，其图像如图所示 .1 至 6 月，污水处理厂处理每吨污水的 费用 （元）与月份 之间满足函数关系式 ，该企业自身处理每吨污水的费用 （元）与月份 之间满足函数关系式 ；7 至 12 月，污水处理厂处理每 吨污水的费用均为 2 元，该企业自身处理每吨污水的费用均为 1.5 元. 请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识， （1）分别直接写出 、 与 之间的函数关系式； （2）请你求出该企业去年那个月用于污水处理的费用 （元）最多，并求出这个最多 费用； （3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污 水全面自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 ， 同时每吨污水处理的费用将在去年 12 月份的基础上增加 ，为鼓励节能降耗， 减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行 50% 的补助，若该企业每月的污水处 理费用为 18000 元，请计算出 的整数值 . （参考数据： ， ， ） 【答案】（1） ，且取整数 . ，且 取整数 . )(1 ty x 61 ≤≤ x x x ty /1 )(2 ty x 127 ≤≤ x x caxy += 2 2 1z x xz 2 1 1 = 2z x 2 2 12 1 4 3 xxz −= 1y 2y x W %a )%30( −a a 2.15231 ≈ 5.20419 ≈ 4.28809 ≈ y2/t 7 10144 12 10049 O x/月 )61(12000 1 ≤≤= xxy x )127(100002 2 ≤≤+= xxy x 36 / 45 （2）当 且 取整数， ，， 当 时， （元） 当 且 取整数， ， 当 时， 随 的增大而减小， 当 时， （元） 22000>18975.5 去年 5 月用于污水处理的费用最多，最多费用是 22000 元. （3）由题意，得 ， 设 ，整理得 解得 ， ， （舍去） ∴ 54. 【中】（2012 年潍坊市中考题）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们 日常生活中非常现实的问题 .某款燃气灶旋钮位置从 0 度到 90 度，燃气关闭时，燃气灶 旋钮的位置为 0 度，旋钮角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋钮角度为 90 度，为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择在燃气灶旋钮的 5 个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择 旋钮角度 度的范围是 18 度 度），记录相关数据得到下表： 旋钮角度（度） 20 50 70 80 90 所用燃气量（升） 73 67 83 97 115 （1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数、二次函数中确定哪种函数能表示所用 燃气量 升与旋钮角度 度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其他函数的理由， 并求出它的解析式 . （2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最小？最少是多少？ 61 ≤≤ x x )12 1 4 3()1200012000(2 112000)12000( 2 2111 xxxxxzyzyW −⋅−+⋅=⋅−+⋅= 3000100001000 2 −+−= xx ∵ 01000 <−=a 52 =−= a bx 61 ≤≤ x ∴ 5=x 22000=最大W 127 ≤≤ x x )10000(5.1)1000012000(25.1)12000(2 22 22 +×+−−×=+−×= xxyyW 190002 1 2 +−= x ∵ 02 1 <−=a 02 =−= a bx ∴ 127 ≤≤ x W x ∴ 7=x 5.18975=最大W ∵ ∴ 18000%)501()%]30(1[5.1%)1(12000 =−×−+××+ aa %at = 0131710 2 =−+ tt 20 80917 ±−=t ∵ 4.28809 ≈ ∴ 57.01 ≈t 27.22 −≈t 57≈a x 90≤≤ x y x 37 / 45 （3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角 度，每月平均能节约燃气 10 立方米，求该家庭以前每月的平均燃气用量 . 【答案】(1) . (2) 当 . (3) 由(2) 及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度 40 度比把燃气开到最大时烧开 一壶水节约用气 （升），设该家庭以前每月平均用气量为 立方 米. 则由题意得 ，解得 ，即该家庭以前每月的平均燃气用量为 23 立方米 . 55. 【中】（青海省中考题）王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思， 效果会更好，某一天他利用 30 分钟时间进行自主学习，假设他用于解题的时间 （单 位：分钟）与学习收益量 的关系如图①所示，用于回顾反思的时间（单位：分钟） 与学习收益量 的关系如图②所示（共中 是抛物线的一部分， 为抛物线的顶点）， 且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间。 （1）求王亮解题的学习收益量 与用于解题的时间 之间的函数关系式，并写出自变 量 的取值范围； （2）求王亮回顾反思的学习收益量 与用于回顾反思的时间 之间的函数关系式； （3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这 30 分钟的学习收益总量最大？（学 习收益总量 =解题的学习收益量 +回顾反思的学习收益量） 【答案】 = ，自变量 的取值范围是：0 30. 当 0 5 时，设 ， 把 代入，得 . . 当 5 15 时， 即 21 8 97(18 90)50 5yxx x= − + ≤ ≤ 40 65x y= =最小值时， 115 65 50− = a 50 10115 a = 23a = x y y OA A y x x y x y)1( x2 x ≤ x ≤ )2( ≤ x ≤ 25)5( 2 +−= xay )0,0( 1,02525 −==+ aa xxxy 1025)5( 22 +−=+−−=∴ ≤ x ≤ ,25=y    ≤≤ ≤≤+−= )155(25 )50(102 x xxxy 38 / 45 （3）设王亮用于回顾反思的时间为 （0 15 ）分钟，学习效益总量为 ，则他用于解题的时间为 分钟 . 当 0 5 时， 。 当 时， . 当 5 15 时， . Z 随 的增大而减小， 当 时， . 综上所述，当 时， ，此时 . 即王亮用于解题的时间为 26 分钟，用于回顾反思的时间为 4 分钟时，学习收 益总 量最大 . 56. 【中】（2012 年无锡市中考题）如图，在边长 为的正方形纸片 上，剪去途 中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状 的包装盒（ 四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知 在 边上， 是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 . （1）若折成的包装盒恰好是一个正方体，试求这个包装盒的体积 ； （2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积 最大，试问 应取何值？ 【答案】(1) (2) 设包装盒的底面边长为 ，高为 ，则 . 当 时， 有最大值 . 57. 【中】（雅安市 2013 年初中毕业暨高中阶段教育学校招生考试数学试卷）如图，已知抛 物线 2y ax bx c= + + 经过 3 0A −（，）， 1 0B（，）， 0 3C（，）三点，其顶点为 D ，对称轴是 直线 l ， l 与 x 轴交于点 H ． x ≤ x ≤ z )30( x− ≤ x ≤ 76)4(608)30(210 222 +−−=++−=−++−= xxxxxxZ ∴ 4=x 76=最大Z ≤ x ≤ 852)30(225 +−=−+= xxZ ∵ x ∴ 5=x 75=最大Z 4=x 76=最大Z 2630 =− x cm24 ABCD DCBA 、、、 FE、 AB (cm)AE BF x= = V S x FE D C BA 3432 2(cm ) a h 24 22 (1222) 2 xaxh x −= = = −， ， 24 42 (122 2)Saha x x=+= −i 2 2 2(2) 6 96 6( 8) 384x x x x+ =− + =− − + 8x = S 2384cm 39 / 45 （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点，求 PBC△ 周长的最小值； （3）如图（2），若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A D、 不重合），过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F ，交 x 轴于点 G ，设点 E 的横坐标为 m ， ADF△ 的面积为 S . ①求 S 与 m 的函数关系式； ② S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 . 【答案】（1）由题意可知： 3 0 3 a b c a b c c + + =0 9− + =  = 解得： 1 2 3 a b c = −  = −  = ∴抛物线的解析式为： 2 2 3y x x=− − + （2 分）∵ PBC△ 的周长为： PB PC BC+ + ∵ BC 是定值 ∴当 PB PC+ 最小时， PBC△ 的周长最小 ∵点 A B、 关于对称轴 l 对称 ∴连接 AC 交l 于点 P ，即点 P 为所求的点 图（1） O y x l H D C BA 图（2） y x l OHG F E D C BA y x D C O P H BA y x l OHG F E D C BA 40 / 45 ∵ AP BP= ∴ PBC△ 的最小周长是： PB PC BC AC BC+ + = + ∵ ( ) ( ) ( )30 10 03A B C− ，，，，， ∴ 32 10AC BC= =， ∴ PBC△ 的最小周长为：3 2 10+ . （3）①∵抛物线 2 2 3y x x=− − + 顶点 D 的坐标为 ( )1 4− ， ∵ ( )3 0A − ， ∴直线 AD 的解析式为 2 6y x= + ∵点 E 的横坐标为 m ∴ ( )2 6E m m +， ， ( )2 2 3Fm m m− − +， ∴ ( )2 2 32 6EF m m m=− − +− + 2 4 3m m=− − − ∵ DEF AEFS S S= +△ △ 1 1 2 2EF GH EF AG= ⋅+ ⋅ 1 2 EF AH= ⋅ ()21 4 3 22 m m=×− − − × 2 4 3m m=− − − ②∵ 2 4 3S m m= − − ()22 1m=− + + ∴当 2m = − 时， S 最大，且 1S =最大值 此时，点 E 的坐标为 ( )2 2− ， 58. 【中】已知某种商品去年售价为每件 a 元，可售出 b 件．今年涨价 x 成（1 成 10%= ）， 则售出的数量减少 mx 成（ x 是正数）．试问： ⑴如果涨价 1．25 成价格，营业额将达到 ()21 4 ab m m + ，求 m ； ⑵如果适当的涨价，能使营业额增加，求 m 应在什么范围内？ 【答案】⑴涨价 x 成后，营业额为 () 221 11 110 10 4 10 2 x mx m m my a b ab xm m   + −    =+⋅−= − −            ． 41 / 45 当 1.25x = 时， ()21 4 my ab m += ，则 1 010 2 m mx m −− = ，解得 4 5m = ． ⑵由于 ()2 21 1 10 42 m m my ab x mm   − + =− − +      ，抛物线对称轴为 1 2 mx m −= ， 若适当涨价能使营业额增加，则1 0 2 m m − > ，故 0 1m< < ． 59. 【中】（2012 年安徽省初中毕业学业考试数学）如图，排球运动员站在点 O 处练习发球， 将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 ( )y m 与运行的水平距 离 ( )x m 满足关系式 ()26yax h= − + ，已知球网与 O 点的水平距离为 9m ，高度为 2.43 m ， 球场的边界距 O 点的水平距离为 18 m ． ⑴当 2.6h = 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ⑵当 2.6h = 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； ⑶若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围． 【答案】⑴把 0 2x y= =， ，及 2.6h = 代入到 ()26yax h= − + 即 ()22 06 2.6a= − + ， ∴ 1 60a = − ∴ ()21 6 2.660y x=− − + ⑵当 2.6h = 时， ()21 6 2.660y x=− − + 9x = 时， ()21 9 6 2.6 2.45 2.4360y =− − + = > ∴球能越过网 18x = 时， ()21 18 6 2.6 0.2 060y =− − + = > ∴球会过界 A O x y 边边 球球 1896 2 42 / 45 ⑶ 0 2x y= =， ，代入到 ()26yax h= − + 得 2 36 ha −= ； 9x = 时， ()22 2 396 2.4336 4 h hy h − += −+= > ① 18x = 时， ()22 186 83 036 hy h h −= −+=− ≤ ② 由①②得 8 3h≥ 60. 【中】（2010 年房山区初三上阶段性检测）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球， 球的飞行轨迹满足抛物线 21 8 5 5y x x= − + ，其中 ( )y m 是球的飞行高度， ( )x m 是球飞出 的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有 2m ，如图所示． ⑴求出抛物线的顶点坐标． ⑵求出球飞行的最大水平距离． ⑶若王强再一次从此处击球，如果想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，那么球的 飞行轨迹应满足怎样的抛物线，求出其解析式． 【答案】⑴抛物线的顶点坐标为 164 5      ， ⑵令 0y = ， 得 21 8 05 5x x− + = ∴ 1 0x = ， 2 8x = ∴ 球飞行的最大水平距离为 ( )8 m ⑶设所求抛物线的解析式为 2 ( 0)y ax bx a= + ≠ ， ∴此抛物线经过点 ( ) ( )0 0 10 0，，， ∴ 2 100 10 0 16 4 5 a b b a + =− = O 球球 x m() y m() 43 / 45 解得 16 125 32 25 a b  = −  = ∴所求抛物线的解析式为 216 32 125 25 y x x= − + 61. 【难】（2012 年郑州九年级第一次质量检测）如图 1，在水平地面点 A 处有一网球发射 器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为 B ，有人在直线 AB 上点 C（靠点 B 左侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知 4AB = 米， 3AC = 米，网球飞行最大高度 5OM = 米，圆柱形桶的直径为 0.5 米，高为 0.3 米（网 球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）． ⑴建立平面直角坐标系如图 2．如果竖直摆放 5 个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ 请说明理由． ⑵当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？请说明理由． 【答案】⑴不能 如图，易得 ( )0 5M ， ， ( )2 0B ， ， ( )1 0C ， ， 3 02D     ， 设抛物线的解析式为 2y ax k= + ， 抛物线过点 M 和点 B ，则 5k = ， 5 4 a = − ． 即抛物线解析式为 25 5 4 y x= − + ． 当 1x = 时， 15 4 y = ； 当 3 2 x = 时， 35 16 y = ． 即 15 3 351 4 216P Q        ，，， 在抛物线上． 当竖直摆放 5 个圆柱形桶时，桶高＝ 3 35 10 2 × = ． ∵ 3 15 2 4 < 且 3 35 2 16 < ， ∴网球不能落入桶内． 44 / 45 ⑵设竖直摆放圆柱形桶 m 个时网球可以落入桶内， 由题意，得， 35 3 15 16 10 4 m≤ ≤ ． 解得， 7 17 12 24 2 m≤ ≤ ． ∵ m 为整数， ∴ m 的值为 8 9 10 11 12，，，，． ∴当竖直摆放圆柱形桶 8 9 10 11 12，，，， 个时，网球可以落入桶内． 62. 【难】（2012 年北京市第十三中学分校）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水 面 AB 的宽为 20 米，如果水位上升 3米，则水面 CD 的宽是 10 米． ⑴建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； ⑵当水位在正常水位时，有一艘宽为 6 米的货船经过这里，船舱上有高出水面 3.6 米的 长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 【答案】⑴设抛物线解析式为 2y ax= 设点 (10 )B n， ，点 (5 3)D n +， 由题意： 100 3 25 n a n a =  + = 解得 4 1 25 n a = − = − ∴ 21 25 y x= − ⑵方法一： 当 3x = 时， 1 9 25 y = − × 45 / 45 ∵ 9 ( 4) 3.6 25 − −− > ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 方法二： 当 23.6 4 5 y = − =− 时， 22 1 5 25 x− = − ∴ 10x = ± ∵ 10 3± > ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．