1设푰△푨푩푪心푫边푩푪点푬푩푪延长线点满足푩푫
푫푪 푩푬
푬푪
设푯
푫直线푰푬垂足证明：∠푨푯푬 ∠푰푫푬

H
E
I
BC
A
D2设푶푯分△푨푩푪外心垂心点푨关直线푶푯称点푷点푷点푨直
线푩푪侧푬푭分푨푩푨푪满足푩푬 푷푪푪푭 푷푩直线푨푷푶푯相交点푲证明：
푬푲 ⊥ 푭푲

K
F
E
P
HO
A
BC3设正△푨푩푪外接圆切圆分휞흎푷흎动点푷ퟏ푷ퟐ푷ퟑ分푷푩푪푪푨
푨푩射影圆흎ퟏ흎ퟐ흎ퟑ分푩푪푪푨푨푩切푷ퟏ푷ퟐ푷ퟑ휞切（圆
心푨푩푪分푩푪푪푨푨푩异侧）证明：圆흎ퟏ흎ퟐ흎ퟑ两两外公切线长度
定值

P1
P3
P2
CB
A
P4设正△푨푩푪接⊙푶푬푭分푨푪푩푪点푨푬 ퟐ푪푬푩푭 ퟐ푪푭 푷
⊙푶点푷푫 ⊥ 푬푭푫交 푨푩푲作 푷푺 ⊥ 푩푪푺连接푺푲交푨푶푻证明：푫푺 푫푻

T
O
S
K
D
F
E
CB
A
P5设푬푭分位△푨푩푪푨푪푨푩边푩푬푪푭交푫△푨푬푭外接圆交△푨푩푪外
接圆点푨푷△푨푬푭外接圆푨处切线交△푨푩푪푨푸两点设푵푴分푨푸
푩푪中点证明：∠푨푷푫 ∠푴푵푸

N
Q
P
M
D
BC
A
E
F6已知△푨푩푪外心푶푨′푩′푪′分边푩푪푪푨푨푩点满足푨푩′푪′
푶圆푪푨′푩′푶圆푩′圆心푩′푪半径圆푪′圆心푩푪′半径圆
根轴풍풂类似定义풍풃풍풄证明：直线풍풂풍풃풍풄交出三角形垂心△푨푩푪垂心重合

lc
lbla H
A＇
B＇
C＇ O
BC
A7设凸四边形푨푩푪푫顶点圆记点푨直线푩푪푩푫푪푫射影分푷푸푹
中푷푸分푩푪푩푫푹푪푫延长线记点푫直线푨푪푩푪푨푩射影分
푿풀풁中푿풀分线段푨푪푩푪풁푩푨延长线设△푨푩푫垂心푯
证明：푩푯中点△푷푸푹外接圆△푿풀풁外接圆根轴

H
X
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B
C
DA8圆接四边形푨푩푪푫中푨푩 > 푩푪푨푫 > 푫푪푰푱分△푨푩푪△푨푫푪心
푨푪直径圆线段푰푩交点푿 푱푫延长线交点풀证明：푩푰푱푫四点圆
点푿풀关直线푨푪称
9设△푨푩푪外接圆切圆圆心分푶푰点푴点푸分边푨푩푨푪点푵
点푷分边푩푪（푵线段푩푷）满足五边形푨푴푵푷푸五条边长相等记点푺直线
푴푵푸푷交点풍∠푴푺푸角分线证明：풍푶푰行

l
S
N
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O
B
C
A
M10设△푨푩푪外心푶重心푮 푨作푶푮行线记该直线关푩푪称直线풍풂
类似定义풍풃풍풄 证明：直线풍풂풍풃풍풄三线点

lb
lc
la
GO
B
C
A11凸四边形푨푩푪푫中푷푸푹푺分线段푨푩푩푪푪푫푫푨点相交线段
푷푹푸푺四边形푨푩푪푫分 4 四角线互相垂直凸四边形证明：푷푸푹푺四点
圆

D
CB
P
S
Q
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A12等腰三角形푨푩푪外接圆휴心푰射线푨푰푩푪交푫휴交푨外
点푴 푫푴直径圆휴交푴外点푲直线푴푲푩푪交点푺设 푵푰푺
中点푳ퟏ푳ퟐ△푲푰푫外接圆△푴푨푵外接圆交点证明：푰푳ퟏ푰푳ퟐ中点휴

L2
L1
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KM
D
I
B
A
C13非等腰△푨푩푪中푫푬푭分푩푪푪푨푨푩中点푫作△푨푩푪切圆切
线（直线푩푪）交直线푬푭点푿类似定义풀풁证明：푿풀풁三点线

Y
Z
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D
F
BC
A14圆外切四边形푨푩푪푫切圆⊙푰分切푫푪푫푨푬푭푲푩푫点푲푨푲푪分
交⊙푰푴푵푴푭푵푬交푳证明：푳直线푩푫

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FI
A
C
BD
K15四边形푨푩푪푫接⊙푶∠푨∠푪角分线相交点푰∠푩∠푫角分线相交
点푱直线푰푱点푶边푨푩푪푫延长线分交点푷푹边푩푪푫푨分交
点푸푺线段푷푹푸푺中点分푴푵证明：푶푴 ⊥ 푶푵

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A
C
D16圆接四边形푨푩푪푫中푴푵分线段푩푪푨푫中点角线푨푪푩푫交点푬 푷
边푩푪点满足푷푩
푷푪 (푩푫
푨푪)
ퟐ
设푬푷푵投影푯证明：△푩푬푪外接圆△푴푷푯
外接圆相切

H
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MP
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A
BC
D17圆接四边形푨푩푪푫角线相交푷存圆휞푨푩푩푪푨푫푫푪延长线切
点푿풀풁푻푨푩圆휴圆휞外切푺证明：푺푷 ⊥ 푺푻

ZP
T
S
X
Y
C
B
D
A18面凸四边形푨푩푪푫设直线풍交直线푨푩푿交直线푪푫푿′交直线푩푪풀交
直线푫푨풀′交直线푨푪풁交直线푩푫풁′已知六点풍푿풀풁푿′풀′풁′
序排列证明：푿푿′풀풀′풁풁′直径三圆点

Z
X＇
Y＇
Z＇
A
B
C
D
X
Y19设푶三角形푨푩푪外心푫푨푩点作⊙푶切线段푪푫푩푫相切⊙푰
作⊙푶切线段푪푫푨푫相切⊙푱证明：푨푩푰푱四点圆푫三角形푨푩푪中
∠푨푪푩旁切圆푨푩切点

D
C
AB
IJ20设⊙푶ퟏ⊙푶ퟐ交푷푸两点 푷作两条割线푨푩푪푫 푸作两条行割线푨′푩′푪′푫′
取△푷푨푪△ 푷푩푫△ 푸푩′푫′△ 푸푨′푪′九点圆圆心푭ퟏ푭ퟐ푭ퟑ푭ퟒ证明：四边形푭ퟏ푭ퟐ푭ퟑ푭ퟒ
矩形

F4
F3
F2
F1
D＇
C＇
B＇
A＇
D
B
Q
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A
C21设⊙푶四边形푨푩푪푫切圆 푨푪푩푫交푷푰푱分△푨푩푪△푨푫푪心
푶푷푰푱交푲푻푲푩푫射影证明：푰푱푷푻四点圆

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K
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I
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C
A
B
D22设푶푰푩푰푪分锐角三角形푨푩푪外接圆圆心∠푩旁切圆圆心∠푪旁
切圆圆心푨푪边取点푬풀∠푨푩풀 ∠푪푩풀푩푬 ⊥ 푨푪푨푩边取点푭풁
∠푨푪풁 ∠푩푪풁푪푭 ⊥ 푨푩直线푰푩푭푰푪푬交点푷证明：푷푶 ⊥ 풀풁

P
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IB
IC
O
A
BC23四边形푨푩푪푫接⊙푶푨푪푩푫交点푷直线푨푩푪푫交点푸 푲푷푸푶
射影푲푷푩푪交푿푴푩푪中点푷′푷关푩푪称点푲′푲关푴称点 푷′푲′
分交푩푪풀交푲푷풁证明：△푿풀풁外接圆△푸푩푪外接圆相切

Z
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K＇
P＇ M
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K
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B
C
D24边行凸四边形푨푩푪푫中푩푨延长线푪푫延长线交点푬푨푫延长线푩푪延
长线交点푭푲△푪푫푭外接圆△푨푫푬外接圆交点(푲 ≠ 푫)设∠푩푨푫∠푨푩푪
∠푩푪푫∠푨푫푪外角分线分풍푨풍푩풍푪풍푫풍푨풍푩풍푩풍푪풍푪풍푫풍푫풍푨分
交点푮푯푰푱△푪푫푭外接圆中弧푫푭（含푪）中点푸直线푬푯△푨푬푫
外接圆交点푴设푮푱中垂线푰푯中垂线（重合）交点푷证明：푷푴푸푲四
点圆

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D25设푫△푨푩푪外接圆⊙푶意点푫作⊙푶切线풍证明：풍关△푨푩푪三边称
直线围成三角形外接圆⊙푶相切

BC
A
D26设 푶△푨푩푪点푶푩푪푪푨푨푩射影分푼푽푾푿풀풁分푩푪푪푨
푨푩푿′풀′풁′分푿关푼풀关푽풁关푾称点点푿풀풁关△푨푩푪
密克点푺点푿′풀′풁′关△푨푩푪密克点푻证明：푶푺 푶푻

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W
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Z27点 푫푬푭分△푨푩푪边푨푩푩푪푪푨满足푨푫 + 푨푭 푩푪푩푫 + 푩푬 푨푪
푪푬 + 푪푭 푨푩 △푨푫푭△ 푩푫푬△ 푪푬푭外接圆△푨푩푪外接圆交点分푨ퟏ
푩ퟏ푪ퟏ푷푫푬푭关△푨푩푪密克点证明：푷△푨ퟏ푩ퟏ푪ퟏ垂心

P
C1
B1
A1
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D28设푨푨′푩푩′푪푪′锐角△푨푩푪外接圆三条直径푷△푨푩푪意点点푷
푩푪푪푨푨푩射影分푫푬푭푿풀풁分푨′关푫푩′关푬푪′关푭
称点证明：△푿풀풁∽△푨푩푪

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C＇
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A＇
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B
C29设푯锐角△푨푩푪外接圆垂心푷外接圆弧푩푪点连接푷푯交弧푨푪푴弧
푨푩点푲满足直线푲푴行点푷关△푨푩푪西姆松线设푸外接圆点满足
푸푷 ∥ 푩푪记弦푲푸交边푩푪点푱证明：푲푱 푴푱

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A
BC
P30设△푨푩푪切圆⊙푰分切푩푪푪푨푨푩点푫푬푭延长푬푰交푫푭푮푩푬푪푭交
⊙푰外点푿풀设푱△푨푬푭外接圆交点△푿푱푰外接圆⊙푰交点
푺푻⊙푰满足푻푺 ⊥ 푨푰连接풀푻푿푺交푷直线푫푷⊙푰交点푸证明：푲푸⊙
푰直径

K
QP
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A
BC31△푨푩푪中切圆⊙푰分切푩푪푪푨푨푩点푫푬푭푴푵分푨푩푨푪中
点푬푭푴푵交푺푫푺⊙푰交点푱证明：푱△푨푩푪九点圆

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D
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A
BC32△푨푩푪心푰作直线풍切圆分切푩푪푪푨푨푩点푿풀풁边푩푪푪푨
푨푩中点分푫푬푭直线풍分交△푩푰푪外接圆△푪푰푨外接圆△푨푰푩外接圆
点푫′푬′푭′点푿풀풁分作行푫푫′푬푬′푭푭′直线풍ퟏ풍ퟐ풍ퟑ证明：直线
풍ퟏ풍ퟐ풍ퟑ交点

F＇
E＇
D＇
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FE
Z
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X
I
A
BC33已知△푨푩푪外接圆⊙푶푨′点푨⊙푶径点作等边△푩푪푫푨푫位
푩푪异侧点푨′作푨′푫垂线分푨푪푨푩交푬푭两点푬푭底作底角흅
ퟔ

等腰△푬푻푭푨푻位푩푪异侧证明：푨푻△푨푩푪九点圆圆心

T
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F
D
A＇
A
BC34设△푨푩푪切圆⊙푰边푩푪푪푨푨푩分切点푫푬푭记⊙푰푩⊙푰푪分△
푨푩푪顶点푩푪旁切圆푷푸分푰푩푬푰푪푭中点푫푬푫푭푰푩푰푪交点푲푱푬푱
푭푲交点푴푷푬△푷푨푪外接圆交点푿푸푭△푸푨푩外接圆交点풀
证明：푩풀푪푿푨푴三线点

M
K
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FE
IB
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I
A
BC35已知凸四边形푨푩푪푫两动点푷푸满足∠푨푷푩 ∠푨푸푩 ∠푪푷푫 ∠푪푸푫证明：动
直线푷푸均定点相互行
36凸四边形푨푩푪푫中∠푨푩푪 ∠푨푫푪 < 흅
ퟐ
∠푨푩푪∠푨푫푪分线交点푷分
푨푪交点푬푭푴푨푪中点푩푴푫푴△푩푫푷外接圆分交点푿풀
푬푿푷풀交点푸证明：푨푪 ⊥ 푷푸
Q
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D37凸六边形푨ퟏ푨ퟐ푨ퟑ푨ퟒ푨ퟓ푨ퟔ满足푨ퟏ푨ퟐ 푨ퟑ푨ퟒ 푨ퟓ푨ퟔ푨ퟐ푨ퟑ 푨ퟒ푨ퟓ 푨ퟔ푨ퟏ点푿풀
凸六边形部重合点푿푨ퟏ푨ퟐ푨ퟑ푨ퟒ푨ퟓ푨ퟔ投影分푿ퟏ푿ퟐ푿ퟑ点풀
푨ퟐ푨ퟑ푨ퟒ푨ퟓ푨ퟔ푨ퟏ投影分풀ퟏ풀ퟐ풀ퟑ满足푿푿ퟏ 푿푿ퟐ 푿푿ퟑ풀풀ퟏ 풀풀ퟐ
풀풀ퟑ设△푿ퟏ푿ퟐ푿ퟑ△풀ퟏ풀ퟐ풀ퟑ欧拉线分풍ퟏ풍ퟐ证明：풍ퟏ ∥ 풍ퟐ

Y1
Y3
Y2
YX3
X1
X2
X
A4
A2
A6
A3
A538已知凸四边形푨푩푪푫接⊙푶⊙푰切푨푪푩푫⊙푶푬弧푩푪中点푨푬푩푫相
交点푴푫푬푨푪相交点푵证明：△푬푴푵外接圆⊙푰相切

NM
E
A
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D
I39锐角△푨푩푪中푩푪 > 푨푪 > 푨푩푰푶푯分心外心垂心푫푬分푩푪푨푪
푨푬 푩푫푪푫 + 푪푬 푨푩记푲푩푬푨푫交点证明：푲푯 ퟐ푰푶

KE
D
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A
BC40锐角△푨푩푪中푨푩 > 푨푪设 휞外接圆푯垂心푭顶点푨处引高垂足
푴边푩푪中点푸푲圆휞点∠푯푸푨 ∠푯푲푸 흅
ퟐ
点푨푩푪푲푸互
相序排列휞证明：△푲푸푯外接圆△푭푲푴外接圆相切

K
Q
F
H
M
A
BC41设△푨푩푪接⊙푶 푨作⊙푶切线交푩푪푻푮△푨푩푪重心直线푻푮分交푨푩
푨푪푬푭푨푮交⊙푶푲证明：푨푲分∠푬푲푭

K
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O
A
BC42凸四边形푨푩푪푫中푨푩 ≠ 푩푪흎ퟏ흎ퟐ分△푨푩푪△푨푫푪切圆已知存
圆흎射线푩푨相切（切点线段푩푨）射线푩푪相切（切点线段푩푪）
直线푨푫直线푪푫相切证明：圆흎ퟏ흎ퟐ两条外公切线交点圆흎

CB
D
A43푷△푨푩푪点푳푴푵分边푩푪푪푨푨푩中点푷푳 ∶ 푷푴 ∶ 푷푵 푩푪 ∶ 푪푨 ∶
푨푩延长푨푷푩푷푪푷分交△푨푩푪外接圆点푫푬푭证明：△푨푷푭△ 푨푷푬△ 푩푷푭△
푩푷푫△푪푷푫△푪푷푬外接圆圆心六点圆

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LBC
A44定△푨푩푪求线段푩푪满足列条件点푷：果푿풀直线푷푨△푷푨푩△
푷푨푪外接圆两条外公切线交点(푷푨
푿풀)
ퟐ
+ 푷푩∙푷푪
푨푩∙푨푪 ퟏ

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P45凸四边形푨푩푪푫中∠푨푩푪 ∠푪푫푨 흅
ퟐ
푯푨푩푫射影边푨푩푺边푨푫
푻푯△푺푪푻部∠푪푯푺 −∠푪푺푩 흅
ퟐ
∠ 푻푯푪 −∠푫푻푪 흅
ퟐ
证明：直线푩푫△푻푺푯
外接圆相切

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T46△푨푩푪中⊙푶⊙ 푰分外接圆切圆⊙푰푩푪切点푫푴푰푫中点푨ퟎ푨
关点푶称直线푨ퟎ푴交⊙푶异点푨ퟎ点푿证明：△푨푫푿外接圆直线푩푪相切

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A0
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BC47已知푷凸四边形푨푩푪푫边푨푩点흎△푪푷푫切圆푰圆心흎分
△푨푷푫△푪푷푩切圆切点푲푳푨푪푩푫交点푬푨푲푩푳交点푭证明：
푬푰푭线

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C48锐角△푨푩푪中흎휴푹分表示切圆外接圆外接圆半径圆흎푨휴切
点푨흎外切圆휴푨휴切点푨흎切设푷푨푸푨分흎푨휴푨圆心样定
义푷푩푸푩푷푪푸푪证明：8푷푨푸푨 ∙ 푷푩푸푩 ∙ 푷푪푸푪 ≤ 푹ퟑ

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PB
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PC
QC49已知△푨푩푪垂心푯外心푶设 푨푩푪关푩푪푪푨푨푩称点分푫푬푭
证明：푫푬푭线仅푶푯 ퟐ푹中푹△푨푩푪外接圆半径

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BC50设∠푿푨풀固定角푩푪分射线푨푿푨풀动点∠푿푨풀动点푷满
足푷푨푷푩푷푪长度保持变求△푨푩푪面积值

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Y51设 △푨푩푪切圆⊙푰分切푩푪푪푨푨푩푫푬푭푲面点푨푲交푩푪푳푩푲
交푪푨푴푪푲交푩푨푵 푳푼切⊙푰푼푴푽切⊙푰푽푵푾切⊙푰푾证明：푨푼푩푽푪푾三
线点

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K52设△푨푩푪接⊙푶푲弧푩푨푪中点푱△푨푩푪中∠푩푨푪旁切圆圆心푱푲交
⊙푶푻푴푵分푨푩푨푪点푨푴 푨푵푴푱푵线作△푨푴푵外接
圆⊙푷直线푩푪交⊙푷푬푭两点证明：∠푻푴푵 −∠푻푵푴 ∠푻푬푱 −∠푻푭푱

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BC53设△푨푩푪接⊙푶푯△푨푩푪垂心푫푨푯点∠푩푫푪 흅
ퟐ
线段푩푪中
垂线交푨푩푨푪푬푭푷△푨푬푭外心푲푶푷点푶푲
푲푷 푯푫
푫푨
푩푪分作⊙
푶切线相交푻证明：푻푲 푻푩 + 푨푲

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BC54设 푲△푨푩푪点푲푩푪푪푨푨푩射影分푫푬푭△ 푫푬푭外接圆⊙푷交
푩푪点푮푮푳 ⊥ 푬푭交⊙푷点푳面点푱四边形푱푭푲푬行四边形푯
△푨푩푪垂心证明：푳푱分线段푨푯

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K55⊙푶⊙푷外切点푸푳两圆外位似中心푳割线푨푩푪푫交两圆푨푩
푪푫 푴푵分푩푪푨푫中点证明：푸푴
푸푵 푩푪
푨푫


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A56设 △푨푩푪接⊙푶⊙푷切⊙푶푫分切푨푪푩푪푬푭两点⊙푸切⊙푶푮分
切푨푩푩푪푴푵两点푴푬푫푮交点푳푰△푨푩푪心证明：푨푳 ⊥ 푶푰

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D57设 △푨푩푪接⊙푶∠푩푨푪旁切圆⊙푱分切푩푪푨푩푨푪푫푬푭푭푻 ⊥ 푫푬
푻푴푫푬中点푫푬直径作⊙푴交⊙푶푷푸两点证明：∠푷푻푬 ∠푸푻푬

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BC58设푫ퟏ푫ퟐ等腰△푨푩푪底边푩푪两点满足푩푫ퟏ 푪푫ퟐ푷푸边푩푪相异两点
푬푭푺푻分푫ퟏ푫ퟐ关直线푨푩푨푪푨푷푨푸光路反射点证明：푬푻푷三
点线仅푭푺푸三点线

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BCD1P59已知푷푸凸四边形푨푩푪푫部两点满足∠푩푨푷 ∠푸푨푫∠푪푩푫 ∠푸푩푨∠
푫푪푷 ∠푸푪푩证明：√푷푨 ∙ 푷푪 ∙ 푸푨 ∙ 푸푪 + √푷푩 ∙ 푷푫 ∙ 푸푩 ∙ 푸푫 √푨푩 ∙ 푩푪 ∙ 푪푫 ∙ 푫푨

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P60△푨푩푪三边外部作矩形푨푩푨ퟏ푩ퟐ푩푪푩ퟏ푪ퟐ푪푨푪푨ퟐ定义푪′满足푪′푨ퟏ ⊥ 푨ퟏ푪ퟐ
푪′푩ퟐ ⊥ 푪ퟏ푩ퟐ类似定义푨′푩′两点证明：푨푨′푩푩′푪푪′三线点


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