初中几何练习 平面几何100题1-60


    1、设푰是△푨푩푪的内心,푫是边푩푪上的一点,푬是푩푪延长线上一点,且满足푩푫 푫푪 = 푩푬 푬푪 .设푯是 푫到直线푰푬的垂足,证明:∠푨푯푬 =∠푰푫푬. H E I BC A D2、设푶、푯分别是△푨푩푪的外心和垂心,点푨关于直线푶푯的对称点是푷,点푷和点푨不在直 线푩푪的同侧,푬、푭分别在푨푩和푨푪上,满足푩푬 = 푷푪,푪푭 = 푷푩,直线푨푷、푶푯相交于点푲,证明: 푬푲 ⊥ 푭푲. K F E P HO A BC3、设正△푨푩푪的外接圆和内切圆分别是휞、흎,푷为흎上一动点,푷ퟏ、푷ퟐ、푷ퟑ分别为푷在푩푪、푪푨、 푨푩上的射影,圆흎ퟏ、흎ퟐ、흎ퟑ分别与푩푪、푪푨、푨푩切于푷ퟏ、푷ퟐ、푷ퟑ且与휞内切(它们的圆 心与푨、푩、푪分别在푩푪、푪푨、푨푩的异侧).证明:圆흎ퟏ、흎ퟐ、흎ퟑ两两外公切线的长度之 和是一个定值. P1 P3 P2 CB A P4、设正△푨푩푪内接于⊙푶,푬、푭分别是푨푪,푩푪上一点,使得푨푬 = ퟐ푪푬,푩푭 = ퟐ푪푭. 푷为 ⊙푶上的一点,푷푫 ⊥ 푬푭于푫,交 푨푩于푲,作 푷푺 ⊥ 푩푪于푺,连接푺푲并交푨푶于푻.证明:푫푺 = 푫푻. T O S K D F E CB A P5、设푬、푭分别位于△푨푩푪的푨푪,푨푩边上,푩푬、푪푭交于푫,△푨푬푭的外接圆交△푨푩푪的外 接圆于点푨、푷,△푨푬푭的外接圆在푨处的切线交△푨푩푪于푨、푸两点,设푵、푴分别为푨푸、 푩푪的中点.证明:∠푨푷푫 =∠푴푵푸. N Q P M D BC A E F6、已知△푨푩푪的外心为푶,푨′、푩′、푪′分别是边푩푪、푪푨、푨푩上的点,且满足푨、푩′、푪′、 푶共圆,푪、푨′、푩′、푶共圆.以푩′为圆心,푩′푪为半径的圆和以푪′为圆心,푩푪′为半径的圆的 根轴为풍풂.类似定义풍풃、풍풄.证明:直线풍풂、풍풃、풍풄交出的三角形垂心与△푨푩푪的垂心重合. lc lbla H A' B' C' O BC A7、设凸四边形푨푩푪푫顶点不共圆,记点푨在直线푩푪、푩푫、푪푫上的射影分别为푷、푸、푹, 其中푷、푸分别在푩푪、푩푫内,푹在푪푫的延长线上.记点푫在直线푨푪、푩푪、푨푩上的射影分别 为푿、풀、풁,其中푿、풀分别在线段푨푪、푩푪内,풁在푩푨的延长线上,设△푨푩푫的垂心为푯, 证明:푩푯的中点在△푷푸푹外接圆和△푿풀풁外接圆的根轴上. H X Y Z Q P R B C DA8、在圆内接四边形푨푩푪푫中,푨푩 > 푩푪,푨푫 > 푫푪,푰、푱分别为△푨푩푪、△푨푫푪的内心. 以푨푪为直径的圆与线段푰푩交于点푿、与 푱푫的延长线交于点풀.证明:若푩、푰、푱、푫四点共圆, 则点푿、풀关于直线푨푪对称. 9、设△푨푩푪的外接圆和内切圆的圆心分别为푶、푰,点푴和点푸分别在边푨푩和푨푪上,点푵和 点푷分别在边푩푪上(푵在线段푩푷上),且满足五边形푨푴푵푷푸的五条边长相等.记点푺为直线 푴푵和푸푷的交点,풍为∠푴푺푸的角平分线.证明:풍和푶푰平行. l S N P QI O B C A M10、设△푨푩푪的外心为푶,重心为푮,过 푨作푶푮的平行线并记该直线关于푩푪的对称直线为풍풂. 类似定义풍풃、풍풄. 证明:直线풍풂、풍풃、풍풄三线共点. lb lc la GO B C A11、凸四边形푨푩푪푫中,푷、푸、푹、푺分别是线段푨푩、푩푪、푪푫、푫푨上的点.若相交的线段 푷푹、푸푺把四边形푨푩푪푫分为 4 个四个对角线互相垂直的凸四边形.证明:푷、푸、푹、푺四点 共圆. D CB P S Q R A12、不等腰三角形푨푩푪的外接圆为휴,内心为푰,射线푨푰与푩푪交于푫,与휴交于除푨以外的另 一点푴,以 푫푴为直径的圆与휴交于除푴以外的另一点푲,直线푴푲与푩푪交于点푺,设 푵为푰푺的 中点,푳ퟏ、푳ퟐ为△푲푰푫的外接圆与△푴푨푵的外接圆的交点.证明:푰푳ퟏ或푰푳ퟐ的中点在휴上. L2 L1 N S KM D I B A C13、在非等腰△푨푩푪中,푫、푬、푭分别为푩푪、푪푨、푨푩的中点.过푫作△푨푩푪的内切圆的切 线(不同于直线푩푪),交直线푬푭于点푿.类似定义풀和풁.证明:푿、풀、풁三点共线. Y Z XE D F BC A14、圆外切四边形푨푩푪푫的内切圆⊙푰分别切푫푪、푫푨于푬、푭,푲为푩푫上一点,푲푨、푲푪分 别交⊙푰于푴、푵,푴푭与푵푬交于푳.证明:푳在直线푩푫上. L N M E FI A C BD K15、四边形푨푩푪푫内接于⊙푶,∠푨、∠푪的角平分线相交于点푰,∠푩、∠푫的角平分线相交 于点푱,直线푰푱不经过点푶,且与边푨푩、푪푫的延长线分别交于点푷、푹,与边푩푪、푫푨分别交 于点푸、푺.线段푷푹、푸푺的中点分别为푴、푵.证明:푶푴 ⊥ 푶푵. N M Q S R P J I O B A C D16、在圆内接四边形푨푩푪푫中,푴、푵分别是线段푩푪、푨푫的中点,对角线푨푪、푩푫交于点푬. 푷是 边푩푪上的点,满足푷푩 푷푪 = (푩푫 푨푪) ퟐ .设푬在푷푵上的投影是푯,证明:△푩푬푪的外接圆与△푴푷푯的 外接圆相切. H N MP E A BC D17、圆内接四边形푨푩푪푫的对角线相交于푷,存在一个圆휞与푨푩、푩푪、푨푫、푫푪的延长线切 于点푿、풀、풁、푻.过푨、푩的圆휴与圆휞外切于푺.证明:푺푷 ⊥ 푺푻. ZP T S X Y C B D A18、对于平面上的凸四边形푨푩푪푫,设直线풍交直线푨푩于푿,交直线푪푫于푿′,交直线푩푪于풀,交 直线푫푨于풀′,交直线푨푪于풁,交直线푩푫于풁′.已知以上六点在풍上按照푿、풀、풁、푿′、풀′、풁′ 的顺序排列.证明:以푿푿′、풀풀′、풁풁′为直径的三个圆共点. Z X' Y' Z' A B C D X Y19、设푶是三角形푨푩푪的外心,푫是푨푩上一点,作与⊙푶内切,与线段푪푫、푩푫相切的⊙푰; 作与⊙푶内切,与线段푪푫、푨푫相切的⊙푱.证明:若푨、푩、푰、푱四点共圆,则푫是三角形푨푩푪中的 ∠푨푪푩内旁切圆在푨푩上的切点. D C AB IJ20、设⊙푶ퟏ与⊙푶ퟐ交于푷、푸两点,过 푷作两条割线푨푩、푪푫,过 푸作两条平行割线푨′푩′、푪′푫′, 取△푷푨푪、△ 푷푩푫、△ 푸푩′푫′、△ 푸푨′푪′的九点圆圆心푭ퟏ、푭ퟐ、푭ퟑ、푭ퟒ.证明:四边形푭ퟏ푭ퟐ푭ퟑ푭ퟒ是 矩形. F4 F3 F2 F1 D' C' B' A' D B Q P A C21、设⊙푶是四边形푨푩푪푫的内切圆. 푨푪、푩푫交于푷,푰、푱分别是△푨푩푪、△푨푫푪的内心, 푶푷,푰푱交于푲,푻是푲在푩푫上的射影.证明:푰、푱、푷、푻四点共圆. T K J I P C A B D22、设푶、푰푩、푰푪分别是锐角三角形푨푩푪的外接圆圆心,∠푩内的旁切圆圆心和∠푪内的旁 切圆圆心.在푨푪边上取点푬和풀,使得∠푨푩풀 =∠푪푩풀,푩푬 ⊥ 푨푪,在푨푩边上取点푭和풁,使 得∠푨푪풁 =∠푩푪풁,푪푭 ⊥ 푨푩,直线푰푩푭和푰푪푬交于点푷.证明:푷푶 ⊥ 풀풁. P F YZE IB IC O A BC23、四边形푨푩푪푫内接于⊙푶,푨푪、푩푫交于点푷,直线푨푩、푪푫交于点푸. 푲是푷在푸푶上的 射影,푲푷、푩푪交于푿,푴是푩푪的中点,푷′是푷关于푩푪的对称点,푲′是푲关于푴的对称点. 푷′푲′ 分别交푩푪于풀,交푲푷于풁.证明:△푿풀풁的外接圆与△푸푩푪的外接圆相切. Z Y K' P' M X K P Q O A B C D24、对边不平行的凸四边形푨푩푪푫中,푩푨延长线与푪푫延长线交于点푬,푨푫延长线与푩푪延 长线交于点푭,푲是△푪푫푭的外接圆与△푨푫푬的外接圆的交点(푲 ≠ 푫).设∠푩푨푫、∠푨푩푪、 ∠푩푪푫、∠푨푫푪的外角平分线分别为풍푨、풍푩、풍푪、풍푫,풍푨和풍푩、풍푩和풍푪、풍푪和풍푫、풍푫和풍푨分 别交于点푮、푯、푰、푱.△푪푫푭的外接圆中,弧푫푭(不含푪)的中点为푸,直线푬푯与△푨푬푫的 外接圆交于另一点푴.设푮푱中垂线与푰푯中垂线(不重合)交于点푷.证明:푷、푴、푸、푲四 点共圆. M P I G J H Q K F E B C A D25、设푫是△푨푩푪外接圆⊙푶上任意一点,过푫作⊙푶的切线풍.证明:풍关于△푨푩푪三边对称 的直线围成的三角形的外接圆与⊙푶相切. BC A D26、设 푶为△푨푩푪内一点,푶在푩푪、푪푨、푨푩上的射影分别为푼、푽、푾.푿、풀、풁分别在푩푪、푪푨、 푨푩上,푿′、풀′、풁′分别是푿关于푼、풀关于푽,풁关于푾的对称点,点푿、풀、풁关于△푨푩푪的 密克点为푺,点푿′、풀′、풁′关于△푨푩푪的密克点为푻.证明:푶푺 = 푶푻. T X' O U S Z' Y' W V A BC Y X Z27、点 푫、푬、푭分别在△푨푩푪的边푨푩、푩푪、푪푨上,满足푨푫 + 푨푭 = 푩푪、푩푫 + 푩푬 = 푨푪、 푪푬 + 푪푭 = 푨푩. △푨푫푭、△ 푩푫푬、△ 푪푬푭的外接圆与△푨푩푪外接圆的另一个交点分别为푨ퟏ、 푩ퟏ、푪ퟏ,푷是푫、푬、푭关于△푨푩푪的密克点,证明:푷为△푨ퟏ푩ퟏ푪ퟏ的垂心. P C1 B1 A1 E F A BC D28、设푨푨′、푩푩′、푪푪′是锐角△푨푩푪的外接圆的三条直径,푷为△푨푩푪内任意一点,点푷在 푩푪、푪푨、푨푩上的射影分别是푫、푬、푭,푿、풀、풁分别是푨′关于푫、푩′关于푬,푪′关于푭的对 称点.证明:△푿풀풁∽△푨푩푪. Z Y X C' B' A' F E D A P B C29、设푯是锐角△푨푩푪的外接圆的垂心,푷是外接圆弧푩푪上一点,连接푷푯交弧푨푪于푴,弧 푨푩上一点푲满足直线푲푴平行于点푷关于△푨푩푪的西姆松线,设푸为外接圆上一点满足 푸푷 ∥ 푩푪.记弦푲푸交边푩푪于点푱.证明:푲푱 = 푴푱. J K M Q H A BC P30、设△푨푩푪的内切圆⊙푰分别切푩푪、푪푨、푨푩于点푫、푬、푭,延长푬푰交푫푭于푮,푩푬、푪푭交 ⊙푰于另外的点푿、풀.设푱为△푨푬푭外接圆的另一个交点,△푿푱푰外接圆与⊙푰的另一个交点为 푺,푻在⊙푰上满足푻푺 ⊥ 푨푰,连接풀푻、푿푺交于푷,直线푫푷与⊙푰的另一个交点为푸.证明:푲푸是⊙ 푰的直径. K QP T S Y X J G F E D I A BC31、在△푨푩푪中,内切圆⊙푰分别切푩푪、푪푨、푨푩于点푫、푬、푭,푴、푵分别是푨푩、푨푪的中 点,푬푭、푴푵交于푺,푫푺与⊙푰的另一个交点为푱.证明:푱在△푨푩푪的九点圆上. J S NME F D I A BC32、过△푨푩푪内心푰任作一直线풍,内切圆分别切푩푪、푪푨、푨푩于点푿、풀、풁,边푩푪、푪푨、 푨푩的中点分别为푫、푬、푭,直线풍分别交△푩푰푪外接圆、△푪푰푨外接圆、△푨푰푩外接圆于另 一点푫′、푬′、푭′,过点푿、풀、풁分别作平行于푫푫′、푬푬′、푭푭′的直线풍ퟏ、풍ퟐ、풍ퟑ.证明:直线 풍ퟏ、풍ퟐ、풍ퟑ交于一点. F' E' D' D FE Z Y X I A BC33、已知△푨푩푪的外接圆为⊙푶,푨′为点푨在⊙푶上的对径点.作等边△푩푪푫,使得푨、푫位 于푩푪的异侧,过点푨′作푨′푫的垂线,分别与푨푪、푨푩交于푬、푭两点.以푬푭为底,作底角为흅 ퟔ 的 等腰△푬푻푭,并使得푨、푻位于푩푪的异侧.证明:푨푻经过△푨푩푪的九点圆圆心. T E F D A' A BC34、设△푨푩푪的内切圆⊙푰与边푩푪、푪푨、푨푩分别切于点푫、푬、푭,记⊙푰푩、⊙푰푪分别为△ 푨푩푪的顶点푩、푪所对的旁切圆,푷、푸分别为푰푩푬,푰푪푭的中点,若푫푬、푫푭与푰푩푰푪交于点푲、푱,푬푱 与푭푲交于点푴,푷푬与△푷푨푪的外接圆交于另一点푿,푸푭与△푸푨푩的外接圆交于另一点풀. 证明:푩풀、푪푿、푨푴三线共点. M K YX J Q P FE IB IC D I A BC35、已知凸四边形푨푩푪푫内两动点푷、푸满足∠푨푷푩 =∠푨푸푩 =∠푪푷푫 =∠푪푸푫.证明:动 直线푷푸要么均经过一个定点,要么相互平行. 36、在凸四边形푨푩푪푫中,∠푨푩푪 =∠푨푫푪 < 흅 ퟐ ,∠푨푩푪、∠푨푫푪的平分线交于点푷,并分 别与푨푪交于点푬、푭,푴为푨푪的中点,푩푴、푫푴与△푩푫푷的外接圆分别交于另一点푿、풀, 푬푿与푷풀交于点푸.证明:푨푪 ⊥ 푷푸. Q Y X P M E A B C D37、凸六边形푨ퟏ푨ퟐ푨ퟑ푨ퟒ푨ퟓ푨ퟔ满足푨ퟏ푨ퟐ = 푨ퟑ푨ퟒ = 푨ퟓ푨ퟔ,푨ퟐ푨ퟑ = 푨ퟒ푨ퟓ = 푨ퟔ푨ퟏ,点푿、풀在 凸六边形内部且不重合,点푿在푨ퟏ푨ퟐ、푨ퟑ푨ퟒ、푨ퟓ푨ퟔ上的投影分别为푿ퟏ、푿ퟐ、푿ퟑ,点풀在 푨ퟐ푨ퟑ、푨ퟒ푨ퟓ、푨ퟔ푨ퟏ上的投影分别为풀ퟏ、풀ퟐ、풀ퟑ,且满足푿푿ퟏ = 푿푿ퟐ = 푿푿ퟑ,풀풀ퟏ = 풀풀ퟐ = 풀풀ퟑ.设△푿ퟏ푿ퟐ푿ퟑ、△풀ퟏ풀ퟐ풀ퟑ的欧拉线分别为풍ퟏ、풍ퟐ,证明:풍ퟏ ∥ 풍ퟐ. Y1 Y3 Y2 YX3 X1 X2 X A4 A2 A6 A3 A538、已知凸四边形푨푩푪푫内接于⊙푶,⊙푰切푨푪、푩푫及⊙푶,푬为弧푩푪的中点,푨푬与푩푫相 交于点푴,푫푬与푨푪相交于点푵.证明:△푬푴푵外接圆与⊙푰相切. NM E A BC D I39、锐角△푨푩푪中푩푪 > 푨푪 > 푨푩,푰、푶、푯分别为其内心、外心、垂心,푫、푬分别在푩푪、푨푪上 使푨푬 = 푩푫,푪푫 + 푪푬 = 푨푩.记푲为푩푬与푨푫交点,证明:푲푯 = ퟐ푰푶. KE D O H I A BC40、在锐角△푨푩푪中,푨푩 > 푨푪,设 휞为其外接圆,푯为垂心,푭为由顶点푨处所引高的垂足, 푴为边푩푪的中点.푸、푲为圆휞上的点,使得∠푯푸푨 =∠푯푲푸 = 흅 ퟐ .若点푨、푩、푪、푲、푸互 不相同,且按此顺序排列在휞上,证明:△푲푸푯的外接圆与△푭푲푴的外接圆相切. K Q F H M A BC41、设△푨푩푪内接于⊙푶,过 푨作⊙푶的切线交푩푪于푻,푮为△푨푩푪的重心,直线푻푮分别交푨푩、 푨푪于푬、푭,푨푮交⊙푶于푲,证明:푨푲平分∠푬푲푭. K F EG T O A BC42、在凸四边形푨푩푪푫中,푨푩 ≠ 푩푪,흎ퟏ和흎ퟐ分别是△푨푩푪和△푨푫푪的内切圆.已知存在一 个圆흎与射线푩푨相切(切点不在线段푩푨上),与射线푩푪相切(切点不在线段푩푪上),且与 直线푨푫和直线푪푫都相切.证明:圆흎ퟏ和흎ퟐ的两条外公切线的交点在圆흎上. CB D A43、푷为△푨푩푪内一点,푳、푴、푵分别为边푩푪、푪푨、푨푩的中点,且푷푳 ∶ 푷푴 ∶ 푷푵 = 푩푪 ∶ 푪푨 ∶ 푨푩.延长푨푷、푩푷、푪푷分别交△푨푩푪的外接圆于点푫、푬、푭.证明:△푨푷푭、△ 푨푷푬、△ 푩푷푭、△ 푩푷푫、△푪푷푫、△푪푷푬的外接圆圆心六点共圆. F E D P NM LBC A44、给定△푨푩푪,求线段푩푪上满足下列条件的所有点푷:如果푿、풀是直线푷푨与△푷푨푩、△ 푷푨푪外接圆的两条外公切线的交点,则(푷푨 푿풀) ퟐ + 푷푩∙푷푪 푨푩∙푨푪 = ퟏ. Y X BC A P45、在凸四边形푨푩푪푫中,∠푨푩푪 =∠푪푫푨 = 흅 ퟐ ,푯是푨在푩푫上的射影,边푨푩上的푺和边푨푫上 的푻使푯在△푺푪푻内部,∠푪푯푺 −∠푪푺푩 = 흅 ퟐ ,∠ 푻푯푪 −∠푫푻푪 = 흅 ퟐ ,证明:直线푩푫和△푻푺푯的 外接圆相切. H C A B D S T46、在△푨푩푪中,⊙푶、⊙ 푰分别为其外接圆与内切圆,⊙푰与푩푪切于点푫,푴为푰푫中点,푨ퟎ与푨 关于点푶对称,直线푨ퟎ푴交⊙푶于异于点푨ퟎ的一点푿,证明:△푨푫푿的外接圆与直线푩푪相切. X A0 M D IO A BC47、已知푷是凸四边形푨푩푪푫的边푨푩上的一点,흎是△푪푷푫的内切圆,푰为其圆心,若흎分 别与△푨푷푫以及△푪푷푩的内切圆切于点푲和푳,푨푪与푩푫交于点푬,푨푲、푩푳交于点푭.证明: 푬、푰、푭共线. F E B A L K I D P C48、在锐角△푨푩푪中,흎、휴、푹分别表示其内切圆、外接圆及外接圆的半径.圆흎푨与휴内切 于点푨且与흎外切;圆휴푨与휴内切于点푨且与흎内切.设푷푨和푸푨分别是흎푨和휴푨的圆心.同样定 义푷푩和푸푩、푷푪和푸푪.证明:8푷푨푸푨 ∙ 푷푩푸푩 ∙ 푷푪푸푪 ≤ 푹ퟑ A BC PA QA PB QB PC QC49、已知△푨푩푪的垂心为푯,外心为푶,设 푨、푩、푪关于푩푪、푪푨、푨푩的对称点分别为푫、푬、푭. 证明:푫、푬、푭共线当且仅当푶푯 = ퟐ푹,其中푹为△푨푩푪外接圆半径. F E D H O A BC50、设∠푿푨풀是一个固定的角,푩、푪分别是射线푨푿、푨풀上的动点,∠푿푨풀内有一动点푷满 足푷푨、푷푩、푷푪的长度都保持不变.求△푨푩푪面积的最小值. A BC P X Y51、设 △푨푩푪的内切圆⊙푰分别切푩푪、푪푨、푨푩于푫、푬、푭,푲为平面上一点,푨푲交푩푪于푳,푩푲 交푪푨于푴,푪푲交푩푨于푵. 푳푼切⊙푰于푼,푴푽切⊙푰于푽,푵푾切⊙푰于푾.证明:푨푼、푩푽、푪푾三 线共点. U VW L MN D E F I A BC K52、设△푨푩푪内接于⊙푶,푲为弧푩푨푪的中点,푱为△푨푩푪中∠푩푨푪内的旁切圆圆心,푱푲交 ⊙푶于푻,푴、푵分别为푨푩、푨푪上一点,使得푨푴 = 푨푵,且푴、푱、푵共线,作△푨푴푵外接 圆⊙푷,直线푩푪交⊙푷于푬、푭两点,证明:∠푻푴푵 −∠푻푵푴 =∠푻푬푱 −∠푻푭푱. FE PN M T J K O A BC53、设△푨푩푪内接于⊙푶,푯为△푨푩푪的垂心,푫为푨푯上一点,使得∠푩푫푪 = 흅 ퟐ ,线段푩푪中 垂线交푨푩、푨푪于푬、푭,푷为△푨푬푭外心,푲为푶푷上一点,使得푶푲 푲푷 = 푯푫 푫푨 ,过푩、푪分别作⊙ 푶的切线相交于푻.证明:푻푲 = 푻푩 + 푨푲. T K P E F D H O A BC54、设 푲为△푨푩푪内一点,푲在푩푪、푪푨、푨푩上的射影分别为푫、푬、푭,△ 푫푬푭外接圆⊙푷交 푩푪于另一点푮,푮푳 ⊥ 푬푭交⊙푷于另一点푳,平面上一点푱使得四边形푱푭푲푬为平行四边形,푯为 △푨푩푪的垂心.证明:푳푱平分线段푨푯. H J L G F E D A BC K55、⊙푶与⊙푷外切于点푸,푳为两圆的外位似中心,过푳的割线푨푩、푪푫交两圆于푨、푩和 푪、푫. 푴、푵分别为푩푪、푨푫的中点.证明:푸푴 푸푵 = 푩푪 푨푫 . NMCDB L OPQ A56、设 △푨푩푪内接于⊙푶,⊙푷内切⊙푶于푫,分别切푨푪、푩푪于푬、푭两点,⊙푸内切⊙푶于푮,分 别切푨푩、푩푪于푴、푵两点,푴푬、푫푮交于点푳,푰为△푨푩푪内心,证明:푨푳 ⊥ 푶푰. L G N M F E I O A BC D57、设 △푨푩푪内接于⊙푶,∠푩푨푪内的旁切圆为⊙푱,分别切푩푪、푨푩、푨푪于푫、푬、푭,푭푻 ⊥ 푫푬 于푻,푴为푫푬中点,以푫푬为直径作⊙푴交⊙푶于푷、푸两点,证明:∠푷푻푬 =∠푸푻푬. Q P M T F E D J O A BC58、设푫ퟏ、푫ퟐ是等腰△푨푩푪底边푩푪上两点,满足푩푫ퟏ = 푪푫ퟐ,푷、푸是边푩푪上相异两点, 푬、푭、푺、푻分别是푫ퟏ、푫ퟐ关于直线푨푩、푨푪、푨푷、푨푸的光路反射点,证明:푬、푻、푷三 点共线当且仅当푭、푺、푸三点共线. T Q S FE D2 A BCD1P59、已知푷、푸是凸四边形푨푩푪푫内部两点,满足∠푩푨푷 =∠푸푨푫,∠푪푩푫 =∠푸푩푨,∠ 푫푪푷 =∠푸푪푩.证明:√푷푨 ∙ 푷푪 ∙ 푸푨 ∙ 푸푪 + √푷푩 ∙ 푷푫 ∙ 푸푩 ∙ 푸푫 = √푨푩 ∙ 푩푪 ∙ 푪푫 ∙ 푫푨. Q A BC D P60、由△푨푩푪的三边向外部作矩形푨푩푨ퟏ푩ퟐ,푩푪푩ퟏ푪ퟐ,푪푨푪푨ퟐ,定义푪′满足푪′푨ퟏ ⊥ 푨ퟏ푪ퟐ, 푪′푩ퟐ ⊥ 푪ퟏ푩ퟐ.类似定义푨′、푩′两点.证明:푨푨′、푩푩′、푪푪′三线共点. A' B' C' C1 B1 A1 A BC B2 C2 A2

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