第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 5 月测试 理科数学试卷（一卷） 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 = −  = = − + A x x B y y x x x A| log ( 2) 0 , | 4 5,2 2  ，则 =AB A． 3, ) B． 2, ) C． (2 , ) D． (3 , ) 2． 在复平面内，复数 − + i i 1 23的虚部为 A． 13 B． 2 13 C． − 13 D． − 2 13 3．已知单位向量 ab, 满足 + = −a b a b|2 | | 2 |，则 − + =b a ba3 )()( A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 4．下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框 图，若输入 ==ab16, 10,则程序中需要做减法的次数为 A．6 B．5 C．4 D．3 5．在（ + + −x x x2 1) ( 1)2 2 5 的展开式中， x 4 的系数为 A． −6 B． 6 C． 10 D． 4 6．在三角形 ABC 中， abc,, 分别为角 ABC,, 的对边，且满足 + = +b c a bc5 62 2 2 ，则 =+BC 2sin( ) A． 2 2 B． 5 5 C． 5 2 D． 5 25 7．函数 −= − xfx e x 2 3 )( 的部分图像大致是 A B C D 8．已知函数 = − − + −−f x x x e exx 3 661 3)(，若     −+    +    aaff11 011 2 ，则 a 的取值范围为 A．( − −  +, 1] [2 , ) B．）（ − 1,2 C．(-1,0 ) ( 0 ,1) D．(- +1,1) [2 , ) 9．已知等差数列 an  满足： = + =a a a1, 41 4 16 ，则  aa a =2 2 212 19 A． 2 38 B． 219 C． 216 D． 2 76 10．已知椭圆 + =  ab abxy1( 0)22 22 的离心率为 5 2 ，以原点为圆心以椭圆短半轴长为半径的圆与直线 =+yx21相切，则 =a A． 2 B． 5 C． 3 D． 1 11．设 fx()为定义于 −[ 1,1 ] 上的偶函数，当 x [ 0 ,1] 时， =−f x x( ) |1 2 | ，则方程 =f f x x 2( ( )) 2 的实数解 的个数为 A． 8 B． 6 C． 4 D． 2 12．已知当푥 ∈ [0,1]时，不等式 − − + x x x xcos (1 ) (1- ) sin 022恒成立，则 的取值范围为 A． +   +  kk12 12 5 （ k 为任意整数） B． +   +  kk66 5 （ k 为任意整数） C． +   +  kk12 12225 （ k 为任意整数） D． +   +  kk66225 （ k 为任意整数） （第 4 题图） 扫码回复“中学生”查看答案 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．设数列  na 满足 22 1221 4,10,5,3 nnnaaaaan −−=== ，则 20192018 1l n l n 2aa−= ． 14．设实数 ,xy满足 0 2 2 0 3 xy xy x −  + +    ，则 22xy+ 的最大值为 ． 15．假设抛一枚质地均匀的色子，若抛出的点数为 1、2 或 3，我们称为“小”，否则，若抛出的点 数为 4、5 或 6，则称为“大”．独立重复地抛这枚色子两次，已知两次都为“大”，则第 1 次抛出 的点数为 6 的概率 ． 16．已知定义于实数 R 上的奇函数 ()fx满足 ( ) 2fx − ，则不等式 2( 1 ) ( 3 2l n )f x x x−  − 3 (1 2 ) x+− 的解集为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17．（12 分）设 ABC△ 中，cos (cos 3sin )cos 0CAAB+ − = ，内角 ABC、、 对应的对边长分别为 a b c、、． （1）求角 B 的大小； （2）若 2248ac+=，求 ABC△ 面积 S 的最大值，并求出 S 取得最大值时 b 的值． 18．（12 分）如下为简化的计划生育模型：每个家庭允许生男孩最多一个，即某一胎若为男孩，则不 能再生下一胎，而女孩可以多个．为方便起见，此处约定每个家庭最多可生育 3 个小孩，即若第 一胎或前两胎为女孩，则继续生，但若第三胎还是女孩，则不能再生了．设每一胎生男生女等可 能，且各次生育相互独立．依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定， 令푋为某一家庭所生的女孩数，푌为此家庭所生的男孩数． （1）求 ,XY的分布列, 并比较它们数学期望的大小； （2）求概率 ( ( ))PXDX ，其中 ()DX 为 X 的方差． 19．（12 分） 如图，已知四棱锥 P ABCD− 的底面 ABCD 为边长为 2 的菱形，PA ⊥平面 ABCD, 2PA = ， 60ABC =∠ ,F 为棱 PC 上一点，且 : 1: 3PF FC = ． （1）求证： BD AF⊥ ； （2）求二面角 A P D C−−的余弦值； （3）求三棱锥 F APD− 的体积 V． 20．（12 分）已知双曲线 22 22:1(0,0)xyCabab−= 的离心率 3e = ，其左焦点 1F 到此双曲线渐近线的距离为 22． （1）求双曲线 C 的方程； （2）若过点 (2 ,0 )D 的直线 l 交双曲线 C 于 AB、 两点，且以 AB 为直径的圆 E 过原点 O，求圆 E 的 圆心到抛物线 2 4xy= 的准线的距离． 21．（12 分）设函数 3( ) | ln | , 0aef x x b xx= − +  ，其中 e 为欧拉数， ,ab为未知实数，且 0a  ．如果 (0, )e 和 (,)e  均为函数 ()fx的单调区间． （1）求 a ； （2）若函数 ( ) ( ) 3h x f x cx=+在 (0, ) ( , )ee 上有极值点， c 为实数，求 c 的取值范围． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分．作答时请写清题号． 22．[选修 4-5：不等式选讲] （10 分） 设 ()fx为定义于 (0,1) 上的函数，满足： （1）对任意 (0,1)x  ，都有 ( ) 0fx ； （2）对任意 , (0,1)xy ，都有 ( ) (1 ) 2( ) (1 ) f x f x f y f y −+− ．求证： ()fx在 (0,1) 上的导数恒为零． 23． [选修 2-2，推理与证明] （10 分） 设数列 na 为非负实数列，且满足 12 1 2 0, 1, 1,2, k k k k i i a a a a k++ = − +   =  ． 求证： 1 2 20 , 1,2,kka a kk+ −  = ． （第 19 题图） 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 5 月测试 文科数学试卷（一卷） 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 = −  P x x | 1 4  ， =Q x x |2 ，则 RPQ()= A．[2 ,4) B． − +( 1 , ) C． +[2 , ) D． −( 1,2] 2．已知复数 z 满足 − =i iz 4 （其中 i 为虚数单位），则 z 的虚部为 A． i4 B． 4 C．1 D． −1 3．已知实数 xy, 满足约束条件    +   x xy y 2 2 2 ，则 +xy3 的最大值为 A．2 B．6 C．8 D．12 4．已知实数 ab, 满足 +=ab 5 ， =ablog log23，则 =ab A． 2 B． 3 C． 5 D． 6 5．已知向量 ab, 满足 a = 1 ， ab−=2 且 ab⊥ ，则向量 a 与 ab− 的夹角为 A．  3 B．  3 C．  6 D．  6 6．已知函数 =f x x xln)(，则函数 fx)( 的单调递增区间为 A．R B． +0, )( C． + e ,1 D． +e, )( 7．数列 an  的前 n 项和 N= − S n n nn 232*)(，若 N+ = p q p q5, *)(，则 +=aapq A． 6 B． 8 C． 9 D． 10 8．已知 Rxy,，“ +xy1 且 −xy1 ”是“ +xy| | | | 1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知实数 a 0 ，则函数 =+ af x ax sin 1)( 的图象一定不可能的是 A B C D 10．已知 Rxy,，则方程组  =+  − + − + + = yx x y x y 31 2 2 22222)()( 的解 xy,)( 的个数 A． 0 B． 1 C． 2 D． 4 11．已知 △ ABC 中，角 A B C,, 所对的边分别是 abc,, ．若 +=ba Cab4cos ，且 −=AB 6cos( ) 1 ，则 =Ccos A． 3 2 B． 4 3 C． 3 2 或 − 4 3 D．不存在 12．已知 Rm n p,, ，若三次函数 = + + +f x x mx nx p() 32 有三个零点 abc,, ，且满足 − = ff2( 1) (1) 3 ， =ff(0) (2) 2 ，则 ++abc 1 1 1 的取值范围是 A．   3,11 B．   43,11 C．   42,11 D．   32,11 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知 F1 和 F2 是椭圆 +=yx 3 12 2 的两个焦点，则 FF||12 = ． 14．将 1 名同学和 2 名老师随机地排成一排,则该名学生恰好在 2 名老师中间的概率为 ． 15．定义在 R 上的偶函数 fx()满足 + = + −f x f x f x4( 8) ( ) ( )1 2 ，则 =f 2020)( ． 16．已知△ ABC 中， =A 2 π , =AB 3 , =AC 4．如图，点 D 为斜边 BC 上一个动点，将△ ABD 沿 AD O ππ--1 1 1 -1 y x O ππ--1 1 1 -1 y x O ππ--1 1 1 -1 y x O ππ--1 1 1 -1 y x 扫码回复“中学生”查看答案 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 翻折，使得平面 A B D ⊥ 平面 ACD ．当 BD = 时， BC 取到最小值． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每道试 题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17．（ 12 分）如图，点 0P 是锐角  的终边与单位圆的交点， 0OP 逆时 针旋转 3  得 1OP ， 1OP 逆时针旋转 3  得 2OP ,  , 1nOP − 逆时针旋转 3  得 nOP ． （1）若 0P 的坐标为 34,55   ，求点 1P 的横坐标； （2）若点 2020P 的横坐标为 4 5 ，求 2sin2 3 + 的值． 18．（ 12 分）某高中某班共有 40 个学生，将学生的身高分成 4 组： [150,160) ，[160,170) ，[170,180) ，[180,190] 进行统计，作成如图 所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中 a 的值和身高在[160,170) 内的人数； （2）求这 40 个学生平均身高的估计值（同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表）（精确到 0.01）． 19．（ 12 分）如图，四棱锥 P ABCD− 中， PAB△ 是边长为 2 的等 边三角形．梯形 ABCD 满足： 1BC CD==,//ABCD, AB BC⊥ ． （1）求证： PDAB⊥ ； （2）若 2PD = ，求点 D 到平面 PBC 的距离． 20．（ 12 分）如图，已知抛物线 2:4C x y = ，过直线 1y = 上一 点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 ,AB两点,且点 M 为 AB 中 点．作直线 M N A B⊥ 交 y 轴于点 N． （1）求点 N 的坐标； （2）求△ N A B 面积的最大值． 21．（ 12 分）已知函数 ()(1)lnfxxx =+ ． （1）求 ()y f x= 在 1x = 处的切线方程； （2）已知实数 2k  时，求证：函数 ()yfx= 的图象与直线 ():1lykx=−有 3 个交点． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分．作答时请写清题号． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程选讲]（10 分） 在极坐标系中，已知曲线 2 2 2: 1sinC  = + ，过点 ()1,0F − 引倾斜角为  的直线 l ，交曲线 C 于 ,PQ 两点． （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 分别交直线 2x = 于 ,AB两点，且 PQAFBFAB−、、 成等比数列，求 cos 的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知实数 ,ab满足： 22ab+=． （1）求证： 2 82 1 ca b b c+ + +  + ； （2）若对任意的 ,ab +R， 1211ccba++−+ 恒成立，求 c 的取值范围． (第 16 题图) DDCC A A B＇ BB x y O N A B M （第 20 题图） （第 18 题图） a 0.03 0.0125 频率/组距 身高(cm)190180170160150 (第 19 题图) （第 17 题图）