初中数学复习 二次函数与线段最值 面积


    1 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 竖直线 段 y x B(x,y2) A(x,y1) O y x A(x1,y)B(x2,y) O AB=|y1-y2|=y1-y2 (纵坐标相减)上减下 水平线 段 AB=|x1-x2|=x2-x1 (横坐标相减)右减左 知识导航 第一课 二次函数与线段最值 2 让学习更高效 例1. (原创题)如图,已知二次函数 2 23y x x    的图象交 x 轴于 A、B 两点( A 在 B 左边),交 y 轴于 C 点. (1)求 A、B、C 三点的坐标和直线 AC 的解析式; (2)点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点(不与 A,C 重合),过点 P 作 y 轴 平行线交直线 AC 于 Q 点,求线段 PQ 的最大值; (3)点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点(不与 A,C 重合),过点 P 作 轴 平行线交直线 于 M 点,求线段 PM 的最大值; (4)P 是直线 上方抛物线上一动点(不与 A,C 重合),求 P 点到直线 距离的最大值; (5)点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点(不与 A,C 重合),连接 PA , PC , 求 PAC△ 面积的最大值. 典型例题 y x C AOB 3 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 例2. (2014 重庆)如图,抛物线 2 23y x x    的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左边),与 y 轴交于点 C,点 D 为抛物线的顶点. (1)求点 、、C 的坐标; (2)点 M 为线段 AB 上一点(点 M 不与点 、 重合),过点 M 作 x 轴的垂 线,与直线 AC 交于点 E,与抛物线交于点 P,过点 P 作 P Q A B 交抛物线于 点 Q,过点 Q 作 Q N x 轴于点 N,若点 P 在点 Q 左边,当矩形 P M N Q 的周长 最大时,求 AEM△ 的面积. y x E N QP D A C OBM 4 让学习更高效 将军饮马模型 l B A l B1 B A l B2 M B N B1 A m n A2 A1 A m n B1 A1 A B 知识导航 5 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 例3. 如图,已知点  4 ,8A  和点  2,Bn在抛物线 2y a x 上. (1)求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标,并在 x 轴上找一点 Q,使得 A Q Q B+ 最短,求出点 Q 的坐标; (2)平移抛物线 2y a x ,记平移后点 A 的对应点为 A ,点 B 的对应点为 B  , 点  2 ,0C  和点  4 ,0D  是 x 轴上的两个定点. ①当抛物线向左平移到某个位置时,ACCB+ 最短,求此时抛物线的函数解析 式; ②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形 A B C D 的周长最 短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由. 典型例题 x y DC B A O 6 让学习更高效 例4. (练习)(2016 浙江宁波第 22 题 10 分)如图,已知抛物线 2 3y x m x    与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 B 的坐标为  3,0 . (1)求 m 的值及抛物线的顶点坐标;(2)点 P 是抛物线对称轴l 上的一个动点, 当 P A P C 的值最小时,求点 P 的坐标. x y l C BAO 7 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 如图,过 ABC△ 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线 之间的距离叫 ABC△ 的“水平宽”( a ),中间的这条直线在 ABC△ 内部线段的长度 叫 ABC△ 的“铅垂高( h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法: 1 2ABCSah △ ,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. h a 铅垂高 水平宽 A B C 二次函数中斜三角形最大面积求法: y x a h O y xO 第二课 二次函数与面积 知识导航 8 让学习更高效 例1. (原创题)如图,已知抛物线 2 23y x x    与坐标轴交于 C、B 两点, D 是 直线 BC 上方的二次函数的一点动点,(点 D 与 B、C 不重合),点 D 运动到什 么位置时 D B C△ 的面积最大,求出此时点 D 坐标和三角形面积的最大值. 例2. (原创题)已知抛物线 2 23yxx  与 1yx 直线交于点 C,与 x 轴于点 B,D 是直线 BC 上方抛物线上一个动点,(点 D 与交点不重合)点 运动到 什么位置时 D B C△ 的面积最大,求出此时点 坐标和三角形面积的最大值. 典型例题 x y A C BO D x y C AOB D 9 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 例3. (2012 黔东南州)如图,已知抛物线经过点  1,0A  、  3,0B、  0 ,3C 三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点 M 是线段 BC 上的点(不与 B,C 重合),过 M 作 M N y 轴交抛物线 于 N,若点 M 的横坐标为 m ,请用 m 的代数式表示 MN 的长. (3)在(2)的条件下,连接 NB 、 NC ,是否存在 m ,使 B N C△ 的面积最大? 若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由. x y N B C AO M 10 让学习更高效 例4. 如图,抛物线 2 3 22y ax x   ( 0a  )的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴 交于 C 点,已知 B 点坐标为  4 ,0 . (1)求抛物线的解析式; (2)试探究 ABC△ 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求 M B C△ 的面积的最大值,并 求出此时 M 点的坐标. x y B C AO M 11 中考压轴题满分集训营【代数 3 代几综合专题】 例5. 如图,抛物线顶点坐标为点  1,4C,交 x 轴于点  3,0A,交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式; (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接 PA , PB ,当 P 点 运动到顶点 C 时,求: CD 的长及 C A BS△ ; (3)是否存在一点 P,使 8 9PABCABSS△ △ ?若存在,求出 P 点的坐标;若不存 在,请说明理由. y x D C A B O 12 让学习更高效 例6. 如图,在平面直角坐标系中,点 A、C 的坐标分别为  1,0 、 0, 3 ,点 B 在 x 轴上.已知某二次函数的图象经过 A、B、C 三点,且它的对称轴为直线 1x  ,点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点(点 P 与 B、C 不 重合),过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F. (1)求该二次函数的解析式; (2)若设点 P 的横坐标为 m ,用含 m 的代数式表示线段 PF 的长; (3)求 PBC△ 面积的最大值,并求此时点 P 的坐标. y x x=1 FAB C O P

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