1 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化 一、直角坐标的伸缩 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ： 的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩      ）（ ）（ 0, 0,   yy xx 变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换Error!下，直线 仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成 圆（重点考察）． 【强化理解】 1．曲线 C 经过伸缩变换 后，对应曲线的方程为：x2+y2=1，则曲线 C 的方程为（　　） A． B． C． D．4x2+9y2=1 【解答】解：曲线 C 经过伸缩变换 ①后，对应曲线的方程为：x′2+y′2=1②， 把①代入②得到： 故选：A 2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 4x2＋9y2＝36 变成曲线 x′2＋y′2 ＝1． 【解答】解：设变换为φ： 可将其代入 x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1． {x′＝λx（λ > 0）， y′＝μy（μ > 0），) 将 4x2＋9y2＝36 变形为 ＋ ＝1， x2 9 y2 4 比较系数得λ＝ ，μ＝ ． 1 3 1 22 所以 将椭圆 4x2＋9y2＝36 上的所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标变为原来的 ， { x′＝1 3x， y′＝1 2y．) 1 3 1 2 可得到圆 x′2＋y′2＝1． 亦可利用配凑法将 4x2＋9y2＝36 化为 ＋ ＝1，与 x′2＋y′2＝1 对应项比较即可得(x 3 )2 (y 2 )2 { x′＝x 3， y′＝y 2．)二、极坐标 1.公式： （1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点 M 直角坐标 ,x y 极坐标 ,  互化 公式 cos sin x y          2 2 2 tan 0 x y y xx        已知极坐标化成直角坐标 已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化 （1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路 A：直角坐标 ,x y 化为极坐标 ,  的步骤 ①运用   2 2 2 tan 0 x y y xx        ②在 0,2 内由  tan 0y xx   求 时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． 3 B::极坐标 ,  化为直角坐标 ,x y 的步骤，运用 cos sin x y        （2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路 A：直角坐标转化成极坐标 思路：直接利用公式 cos sin x y        ，将式子里面的 x 和 y 用 转化，最后整理化简即可。  sincos 和 例如：x+3y-2=0：用公式将 x 和 y 转化，即 02-sin3cos   B：极坐标转化成直角坐标 类型①：直接转化---直接利用公式转化 例如：ρ( cosθ＋sinθ)＝1 2 思路：第一步：去括号，ρ cosθ＋ρsinθ＝1 2 第二步：用公式 cos sin x y        转化，即 12  yx 类型②：利用三角函数的两角和差公式，即    2 sin 2 cosk k        或 思路：第一步：利用两角和差公式把 sin(θ±α)或 cosθ±α)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理 化简 第二步：利用公式 cos sin x y        转化 例如：直线 的极坐标方程是 l 2 sin 3 33       解：第一步：利用两角和差公式把 sin(θ±α)或 cosθ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简， 即 4 33cos3sin33)cos2 3sin2 1233)3sincos3cossin2   （（ 第二步：第二步：利用公式 cos sin x y        转化 0333,33333cos3sin  yxxy即 类型③：，该直线经过原点（极点），对应的直角角可以不是特殊角）为倾斜角，可以是特殊（  坐标方程为 kxx即ytanαy  例如： ( 0)3    思路：直接代入 033  yxxyx ，33yx3 3x即y3tany  (注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0) 三、曲线极坐标与直角坐标互换 （一）圆的直角与极坐标互换 1.圆的极坐标转化成直角坐标 类型一：  sincos  详解：一般 要转化成 x、y 都需要跟 搭配，一对一搭配。  sin,cos  所以两边同时乘以 ，即  0--,sincos 22222  yxyxyxyx 即 类型二： 2 没有三角函数时，可以考虑两边同时平方 5 44 222  yx即 2.圆的直角坐标转化成极坐标 3)1()4( 22  yx 解题方法一：拆开--公式代入 014sin2cos8014280312168 22222  yxyxyyxx 即 解题方法二：代入-拆-合 031sin2sin16cos8cos3)1sin()4cos( 222222   即 014sin2cos8014sin2cos8)sin(cos 2222   即 【强化理解】 1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化． ①将点 M 的极坐标 化成直角坐标； (4，14 3 π) ②将点 N 的直角坐标(4，－4 )化成极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)． 3 【解答】解：①∵x＝4cos π＝4cos ＝4× ＝－2，y＝4sin π＝4sin ＝2 ，∴点 A 的14 3 2π 3 (－1 2 ) 14 3 2π 3 3 直角坐标是(－2，2 )． 3 ②∵ρ＝ ＝8，tanθ＝ ＝－ ，θ∈[0，2π)，又点(4，－4 )在第四象42＋（－4 3）2 －4 3 4 3 3 限，∴θ＝ ，∴对应的极坐标为 ． 5π 3 (8，5π 3 ) 6 2、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化． ①y2＝4x; ②θ＝ (ρ∈R)； π 3 ③ρ2cos2θ＝4; ④ρ＝ ． 1 2－cosθ 【解答】解：①将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ．化简得ρsin2θ＝4cosθ． ②当 x≠0 时，由于 tanθ＝ ，故 tan ＝ ＝ ，化简得 y＝ x(x≠0)；当 x＝0 时，y＝0．显y x π 3 y x 3 3 然(0，0)在 y＝ x 上，故θ＝ (ρ∈R)的直角坐标方程为 y＝ x． 3 π 3 3 ③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即 x2－y2＝4． ④因为ρ＝ ，所以 2ρ－ρcosθ＝1，因此 1 2－cosθ 2 －x＝1，化简得 3x2＋4y2－2x－1＝0． x2＋y2 三、参数方程 1.必记的曲线参数方程 已知条件 普通方程 参数方程 经过点 P(x0，y0)，倾斜角为α )( 00 xxkyy  Error!(α为参数) 圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 r 22 0 2 0 )y-yx-x r（）（ Error!(θ为参数) 7 长半轴 a 和短半轴 b 椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0) x2 a2 y2 b2 Error!(θ为参数) 实轴 a 和虚轴 b 双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0) x2 a2 y2 b2 Error!(θ为参数) 已知 p 抛物线 y2＝2px(p＞0) Error! 2.参数方程与普通方程的转化 （1）参数方程转化成普通方程 类型一：含 t 的消参 思路：含有 t 的参数方程消参时，想办法把参数 t 消掉就可以啦，有两个思路： 思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成 t=f(x)或 t=f(y)， 思路二：加减消元：让含有 t 前面的系数相同或成相反数后相加减。 例如：曲线 C： (t为参数）         ty tx 2 21 2 22 解：思路一：代入消元：∵x＝2＋ t，∴ t＝x－2，代入 y＝1＋ t，得 y＝x－1，即 x－y－1＝2 2 2 2 2 2 0. 思路二：加减消元：两式相减，x－y－1＝0. 类型二：含三角函数的消参 思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加 移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边 8 化同：把三角函数前面的系数化成相同 平方：两道式子左右同时平方 相加：平方后的式子进行相加 （注：有时候并不需要全部步骤） 例如：圆 消参数θ，化为普通方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1. {x＝1＋cos θ， y＝－2＋sin θ ) 解：移项： （三角函数前面系数已经相同，省去化同，直接平方）        sin2 cos1 y x 平方：        22 22 sin2 cos1 ）（ ）（ y x 相加： 12)y1-x 22 （）（ 3.参数方程涉及题型 （1）直线参数方程的几何意义 （2）距离最值（点到点、曲线点到线、） 【强化理解】 1、直线 l 的参数方程为 为参数）．写出直线 l 的直角坐标方程； 【解答】直线 l 的参数方程为 为参数）． 由上式化简成 t=2（x﹣1）代入下式得 根据ρ2=x2+y2，进行化简得 C：x2+y2=1（2 分） 9