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数学方法的优美
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1. 数学方法的优美
2. 观点和方法是数学的两个方面:既紧密联系,又有所区别。但方法影响观点。 我们来看看数学方法的美。
3. 4.1 反证法“不能不” 反证法 通常的证明方法:+条件结论“对”“不对”新结论条件矛盾成立正证法反证法
4. 例1反证法:依据是排中律
5. 例2(抽屉原理)3个苹果放进2个抽屉中,至少有1个抽屉中有两个苹果。 (反证法易得)10本书,共3类(抽屉),文学类(A)、史学类(B)和数学类(C),证明至少有一类有4本或4本以上。
6. 10本书,共3类(抽屉),文学类(x)、史学类(y)和数学类(z),证明x,y,z至少有一个大于或等于4。抽象为一个纯数学问题:
7. 假设人类的头发最多为200万根,那么长春市至少有2人的头发根数一样多。(长春市人口超过200万)作业:在任意6人中,一定可以找到3个相互认识,或3个相互不认识的人。以上例子表明:反证法能够说明许多有趣的现象。
8. 4.2 RMI方法RMI:R-relation, M-mapping, I-inversion. 即关系、映射和取逆。它属于形式逻辑范畴。如“三段式”给人以逻辑美。RMI方法体现了辨证思想的方法。
9. 例1显得容易。例2运算数值
10. 曲折:化难为易 曲折:创造、发明 曲折:实现的根据是对数 Galileo:给我空间、时间和对数,我即可创造一个宇宙。 RMI的体现:R:21/11 ,M:lgx , I:10lgx
11. 例3: 求和M,逐项微分I,积分
12. 数学上互逆的运算很多:如0的作用是+项与-项;1的作用是乘项与除项.
13. 4.3 抽象方法抽象=枯燥乏味? 语言学抽象吗? 美、神、好 文学抽象吗?诗歌 艺术抽象吗?绘画、舞蹈 音乐抽象吗?高山流水、悲欢离和美 的 感
14. 数学的抽象美的表现形式不同,它给人带来的是简洁、明快和高效的美
15. 例1(七桥问题)如图,能否从某个桥出发,走过所有的桥,但每座桥只 经过一次?ABCD? ?BACD
16. BACD一次走完(一笔画)一次走不完(一笔画不出)能否一笔画出?24213313335偶奇奇否Euler
17. 点线图——拓扑学topology: 不注重数量关系和形状特征,而注重点与点的连接方式! 如:建立校园网络系统。从网络中心到各办公楼、教学楼、学生宿舍楼,到各办公室、教室和寝室。你任何设计呢?你需要建立一个网络的拓扑图即可。实际上如果两个图的点与连接方式一致,它们实际上就是拓扑意义下的一张图。
18. 拓扑学的产生与发展进一步表现了数学的抽象程度,起抽象的美与实际是如此的协调,展示了数学的优美! 拓扑学的产生极大冲击了直观性原则! 1 人的认知能力(直观,抽象飞跃) 2 直观与抽象在认识上的统一受年龄和知识的接受方式的限制. 3 直观可能造成错觉.
19. 思辩的作用越来越大.直观具有较大的局限性. 物理学、化学、生物学等学科中许多重大发现和突破是有想象力开导的。 善于抽象不仅只限于数学,人文科学、社会科学,更越来越抽象,只不过给人的感觉不象数学强烈而已。
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