数电第02章逻辑代数基础ppt
- 1. 第二章 逻辑代数基础重点： 1.掌握逻辑代数基本运算法则； 2.会用逻辑代数的基本运算法则化简逻辑函数； 3.掌握用卡诺图化简逻辑函数的方法。
- 2. （1-2）§2.1 逻辑代数逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1” 和“0”表示。代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。逻辑代数又称为布尔代数，它是分析设计逻辑电路的数学工具。虽然它和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的取值只有“0”，“1”两种。这里“0”和“1”并不表示数量的大小，而是表示两种相互对立的逻辑状态。
- 3. （1-3）一.几种基本的逻辑运算（与、或、非运算）(1) 0 · 0=0 · 1=1 · 0=0(2) 1 · 1=1(3) 0+0=0(4) 0+1=1+0=1+1=1(5)(6)
- 4. （1-4）二、逻辑代数基本定律(P41) 1、自等律：A+0=A A · 1=A 2、0-1律： A+1=1 A · 0 =0 · A=0 3、重叠律：A + A =A A · A =A 4、还原律：5、互补律：6、交换律: A+B=B+A A·B=B·A 7、结合律: (A+B)+C=A+(B+C) A·(B·C)=(A·B)·C 8、分配律: A(B+C)=A·B+A·C 证明:(A+B)(A+C)=A+AC+AB+BC =A(1+C+B)+BC= A+BC与运算符 · 可以省略A+B·C=(A+B)(A+C)
- 5. （1-5）9、吸收律 A+AB=A A (A+B) =A证明：对偶式对偶式对偶式对于任一个逻辑表达式L，若将式中所有的 (1) “与•”“或+”，“或+” “与•”； (2)1 0，0 1； 则所得的新的函数式就是L的对偶式，记作L’。 对偶规则：当某个逻辑表达式成立时，其对偶式也成立。利用对偶规则很容易就能证明
- 6. （1-6）反演律：AB = A + B A + B = A · B证明：列出等式、右边的函数值的真值表01·1 = 001+1=00 01 111·0 = 101+0=00 11 010·1 = 100+1=01 00 110·0 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A B反演律又称为摩根定律，它经常用于求 一个原函数的非函数或者对逻辑函数进行变换10、反演定理(摩根定律) 重要对于多个逻辑变量的情况：
- 7. （1-7）11、常用恒等式证明：
- 8. （1-8）注意: 1.这些基本公式反映的是逻辑关系,而不是数量之间的关系.在运算中不能简单套用初等代数的运算规则. 2.逻辑代数中没有减法和除法,因此,不能使用初等代数中的移项规则.
- 9. （1-9）三、逻辑函数的基本规则 1.代入规则 定义：在包含变量A的逻辑等式中, 如果用某个函数式代入式中所有A的位置, 等式仍然成立。 例：B (A + C) = BA+BC 用A + D代替C，得 B [A + (A +D)] = BA+ B(A +D) B [A+D] = BA+ BD ——等式两边依然相等代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围
- 10. （1-10）例:2. 反演规则 对于任一个逻辑表达式L，若将式中所有的 (1) “与•”“或+”，“或+” “与•”； (2)原变量反变量，反变量原变量； (3)1 0，0 1；解：按照反演规则，得 — 则得到的结果就是L的非(L的反函数)，记作 L 。
- 11. （1-11）运用反演规则的两个原则1.保持原来的运算优先级, 可以先对变量取反，然后考虑括号内的运算，接着是“与”运算，最后进行“或”运算。 2.对于反变量以外的“非” 号就保留不变，即只取一次“非”解：按照反演规则，得
- 12. （1-12）例:3. 对偶规则 对于任一个逻辑表达式L，若将式中所有的 (1) “与•”“或+”，“或+” “与•”； (2)1 0，0 1； 则所得的新的函数式就是L的对偶式，记作L'。求 的对偶式。 当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等——对偶规则。比如：A+AB+C =A+C 其两侧对偶式：A(A+B)C=AC ——相等但要注意：对偶式不一定等于原函数，若对偶式L=L'，称为自对偶函数。
- 13. （1-13） 进行对偶变换时仍需要注意保持原式中优先级，可以按照先括号, 然后“与”,最后“或” 的运算顺序.
- 14. （1-14）四、逻辑函数的公式化简法 ——利用布尔代数可以对逻辑函数进行化简。 1．逻辑函数“与—或表达式”的最简标准 (1)表达式中“+”号最少。 (2)乘积项中的变量数最少，即“· ”号最少。“或-与”表达式“与非-与非”表达式 “与-或-非”表达式“或非－或非” 表达式最简“与-或” 表达式
- 15. （1-15）2、逻辑函数的化简方法 化简的主要方法： １．公式法（代数法） ２．图解法（卡诺图法） 代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和规则进行化简的方法。 并项法:
- 16. （1-16）吸收法： A + AB = A 消去法： 配项法： A+AB=A+B
- 17. （1-17）2．化简举例配项反演律例1
- 18. （1-18）解法1：化简逻辑函数： 例2解法2：由上例可知，有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。但是所实现逻辑功能是完全一致的，可用真值表验证。
- 19. （1-19）例 已知逻辑函数表达式为， 要求：（1）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图； （2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。 解：
- 20. （1-20）例 试对逻辑函数表达式进行变换，仅用或非门画出该表达式的图。解： 注意是3输入的或非门
- 21. （1-21）3.代数化简法的优点 优点： 不受变量数目的限制。 缺点： 没有固定的步骤可循，比较灵活；需要熟练运用各种公式和定理；需要一定的技巧和经验；不易判定化简结果是否最简。例3
- 22. （1-22）§2.2 逻辑函数的卡诺图化简法 一、 最小项的定义与性质 最小项——在与或形式的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项,且每个变量仅出现一次。如逻辑函数： 注意： n个变量逻辑函数的最小项最多有：2n个。三变量函数的最小项共有？不是最小项是最小项m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m70 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1编号变量取值最小项最小项的表示: 通常用mi表示最小项, m 表示最小项,下标i为最小项编号。将最小项中的原变量用1表示,非变量用0表示,可得到最小项的编号。
- 23. （1-23）3、对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。1、对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1； 2、对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三个变量的所有最小项的真值表 最小项的性质： m0m1m2m3m4m5m6m7
- 24. （1-24）二、逻辑函数的最小项表达式 ——任何一种逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式。特点：1、为“与或”逻辑表达式； 2、在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。逻辑函数的最小项表达式：例1 将化成最小项表达式= m7＋m6＋m3＋m1
- 25. （1-25） 例2 将 化成最小项表达式 a.去掉非号b.去括号
- 26. （1-26）方法1：=m7+m6+m3+m5 =∑m(3,5,6,7) 例3: 将函数 转换成最小项表达式。方法2:用真值表ABCF0000010100111001011101110 0 0 1 0 1 1 1F=∑m(3,5,6,7)
- 27. （1-27）三、卡诺图 ——代数化简法的优点是不受变量数目的限制。 缺点是不易判定化简结果是否最简。 但利用卡诺图可以比较方便的将逻辑函数化简到最简形式。 卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,所得到的图形叫n变量的卡诺图。逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么就称这两个最小项在逻辑上相邻。如最小项m6=ABC 与m7 =ABC 在逻辑上相邻m7m6最小项m5=ABC 与m7 =ABC 在逻辑上也相邻m7m5但最小项m4=ABC 与m7 =ABC 在逻辑上不相邻
- 28. （1-28）AB10100100011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m110001111000011110ABCD三变量卡诺图四变量卡诺图两变量卡诺图m0m1m2m3ACCBCA m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7ADBB2、卡诺图的特点:1、包含所有最小项; 2、而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别; 这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。
- 29. （1-29）3. 已知逻辑函数画卡诺图当逻辑函数为最小项表达式时，在卡诺图中找出和表达式中 最小项对应的小方格填上1，其余的小方格填上0（有时也可 用空格表示），就可以得到相应的卡诺图。任何逻辑函数都 等于其卡诺图中为1的方格所对应的最小项之和。例1：画出逻辑函数 L(A, B, C, D)=(0, 1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 14, 15)的卡诺图
- 30. （1-30）例2 画出下式的卡诺图00000解1. 将逻辑函数化为最小项表达式2. 填写卡诺图反演规则：
- 31. （1-31）用卡诺图化简函数的依据 1、二变量的卡诺图AB如:化简1 10 0可见:2个相邻的最小项合并,可以消去1个变量。保留这些最小项的公共因子BA0101F
- 32. （1-32）2、三变量的卡诺图00 01 11 100 1B=BABC1110 0 0 01如:化简可见: 4个相邻的最小项合并, 可以消去2个变量。 如此类推，得 : 2n个相邻的最小项合并，可以消去n个变量。AB00011110CD000111103、四变量的卡诺图CDABm0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10BCAF
- 33. （1-33）四、用卡诺图化简逻辑函数 1、步骤 P57 (1)画卡诺图：将逻辑式(或真值表)中的最小项分别用“1”填入对应的小方格，其余方格填0 。注意：如果逻辑式不是由最小项构成，应先求最小项表达式或真值表。 (2)将所有的“1”圈起来。每一圆圈为相连的 2n 格(n=0,1,2,3,…..)；所谓相连包括上下底相连,左右相连和四角相连。 (3)保留圆圈中的公共因子； (4)每一圆圈就是化简后的一个乘积项； (5)化简后的表达式=所有包围圈对应的乘积项相加。
- 34. （1-34）四、用卡诺图化简逻辑函数 2、化简原则 P57 （1）包围圈内的方格数一定是 个，且包围圈必须呈矩形。 （2）循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。 (3)卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过。 (4)“1”可重复圈，但每一圆圈里至少要含有一个从未被圈过的“1” ，否则该包圆圈是多余的。 (5)遵循：圆圈越大越好，圆圈的个数越少越好的原则。
- 35. （1-35）3、卡诺图化简举例AB1 10 0例1AB0101F
- 36. （1-36）三变量卡诺图00 01 11 100 1ABBCF=AB+BCABC1110 0 0 0 0例2ABCF
- 37. （1-37）1111用卡诺图化简下式：解：0 0 0 0ABABCBCAC例3ABC0010011110Y
- 38. （1-38）四变量卡诺图ACDB例4已知逻辑函数的卡诺图如图示，写出其最简与—或式。10110100101101001011100010010111ABCDF相连包括:上下底相连,左右相连。
- 39. （1-39）ACDB化简 1 1 1 1 1 1 110 0 0 0 0 0例51011010010110100ABCDF相连还包括:四角相连。
- 40. C A B D1111111111100000例6 化简逻辑函数： L(A,B,C,D)=∑m(0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15) 解：
- 41. 解：(1)由表达式画出卡诺图。注意：图中的绿色圈是多余的，应去掉 。用卡诺图化简逻辑函数：(2)画包围圈合并最小项， 得简化的与—或表达式: C A B D1111111100000000例7
- 42. 已知逻辑函数的卡诺图如图示，分别用“圈1法”和“圈0法”写出其最简与—或式。(2)用圈0法，得： 解：(1)用圈1法，得：两边取非得： C A B D1101111011111111 C A B D11011110111111114.卡诺图化简逻辑函数的另一种方法——圈0法例8
- 43. （1-43）ACDB 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 例9ABCD0001111000011110Y
- 44. 六、具有无关项的逻辑函数的化简 1．无关项 在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。 在含有无关项逻辑函数的卡诺图化简中，它的值可以取0或取1，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定。
- 45. （1-45）六、具有无关项的逻辑函数的化简 在实际工作中，当逻辑变量被赋予特定含义时，有一些变量的取值组合根本不会出现，其函数值是任意的（既可以是0也可以是1），将变量取这些值所对应的最小项称为无关项或约束项。 带有无关项的逻辑函数的表达式为 L=∑m( )+∑d ( ) 1ABC× × × × × 0 0如：L(A,B,C)=∑m(2)+∑d (0,3,5,6,7) 其卡诺图如图示：约束项约束项用“×”表示ABC0010011110L
- 46. 2．具有无关项的逻辑函数的化简 化简中无关项“×”既可当0也可当1，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定, 但不能单独圈。即：与0圈在一起可当0，与1圈在一起可当1。 本例中:L＝BABC00100111101ABC× × × × × 0 0L
- 47. （1-47）例: 要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数(0~9)是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，电路输出为0。11111110110111001011101011001010001011100110101010010010011000101000100000LABCD解: (1)列出真值表(2)画出卡诺图(3) 卡诺图化简
- 48. C A B D××××××1111110000 逻辑函数的最简与—或表达式: 某逻辑函数的逻辑表达式为： L(A,B,C,D)=∑m(1,4,5,6,7,9)+∑d (10,11,12,13,14,15) 用卡诺图法化简该逻辑函数。 解：画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1； 将10、11、12、13、14、15号小方格填入×。 合并最小项时注意：1方格不能漏。×方格根据需要，可以圈入，也可以放弃。例2
- 49. （1-49）？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?注意: 逻辑代数只有+没有-, 只有没有 ，变量的取值只有0、1两种。 逻辑代数所表示的是逻辑关系，而不是数量关系。这是它与普通代数的本质区别。
- 50. （1-50）第二章 逻辑代数基础 结 束作业： 2.1.3； 2.2.1； 2.2.2； 2.2.3 ； 2.3.1；2.3.3； 2.4.3的(1), (2), (3), (7),
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