第2章解析函数PPT

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1. 第2章解析函数2.1 复变函数的导数与微分 1
2. 1、复变函数的导数定义1 设函数在包含的某区域内有定义，当变量在点处取得增量时，相应地，函数取得增量若极限（或）（2.1）存在，则称在点处可导，2
3. 此极限值称为在点处的导数，记作或，即如果函数在区域内每一点都可导，则称在内可导. 3
4. 例1 求函数的导数（为正整数）.解因为所以，由导数定义有4
5. 例2 求的导数.解由例1可知，例3 问是否可导？解这里，5
6. 设沿着平行于轴的直线趋向于，因而，这时极限设沿着平行于轴的直线趋向于，因而，这时极限所以的导数不存在.6
7. 2、可导与连续的关系若函数在点处可导，则在点处必连续.证　因为知，故在点处连续.7
8. 反之，函数在连续却未必在可导，例如，例3中的函数在复平面内处处连续却处处不可导. 3、复变函数的微分定义2 称函数的改变量的线性部分为函数在点处的微分，记作或，即 8
9. 4、导数运算法则复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）：（1）其中为复常数；（2）其中为正整数；（3）；（4）（5）；9
10. （6）；（7）是两个互为反函数的单值函数，且 ..10
11. 例3 求下列函数的导数.（1）（2）解（1）（2） 11
12. 例4 设 .解因为所以12
13. 2.2 解析函数2.2.1 解析函数的定义及其性质1. 解析函数的定义定义3 如果函数不仅在点处可导，而且在点的某邻域内的每一点都可导，则称在点处解析，并称点是函数的解析点；如果函数在区域内每一点都解析，则称在区域内解析或称为区域内的解析函数，区域称为的解析区域.区域D内的解析函数也称为D内的全纯函数或正则函数。13
14. 如果在点处不解析，但在的任一邻域内总有的解析点,则称为的奇点.例1 讨论函数的解析性.解由例2知，在整个复平面内处处可导且，则由函数在某区域内解析的定义可知，函数在整个复平面上解析.例如，在复平面上以为奇点。14
15. 2. 解析函数的运算性质：（1）若函数和在区域内解析，则、、在内也解析；（2）若函数在区域内解析，而在区域内解析，且，则复合函数在内也解析，且..15
16. 2.2.2 可导的必要条件上面我们判断函数是否可导时使用了定义式，但这样不仅麻烦，甚至对某些函数判断起来会十分困难。能否有更为简单的办法判断一个函数是否可导呢？按照逻辑思维习惯，判断不可导可能会容易一些，（正如判断级数是否收敛，只需使用收敛的必要条件即可），基于这样的思想，我们首先讨论函数可导的必要条件。16
17. 1. 直角坐标形式的柯西—黎曼条件17
18. （1）沿平行于实轴的方向趋于零 ( ) 18
19. （2）沿平行于虚轴的方向趋于零( )两者应该相等，故有19
20. 即 (2.1.7) 可以简写为即为下述定理定理2.1.1 若函数于点可导，则在点必有 (2.1.8) 方程（2.1.8）叫作直角坐标形式的柯西(Cauchy)－黎曼(Riemann)方程，或柯西－黎曼条件（简称为C-R条件）. 20
21. 21
22. 2．柯西—黎曼条件的应用例2.1.3 讨论函数在复平面上的可导性。【解】注意到，判断 C-R条件是否成立即，显然在复平面处处不满足C-R条件，故原函数在复平面处处不可导。说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不可导是方便的．但当满足C-R条件时，函数就一定可导吗？ 22
23. 23
24. 根据函数可导的定义式有当，（且使得），那么当沿射线趋于0时，上式比值为，显然不同的趋向得到不同的值，故原函数在处不可导。本例题告诉我们即使函数满足C-R条件，仍然可能不可导．那么C-R条件还需加上什么条件才能保证函数可导呢？因此需要讨论可导的充分必要条件. 24
25. 2.2.2函数解析的充要条件定理１设函数在区域内有定义，则在内一点可导的充分必要条件为在点处（1）可微；（2）满足上式称为柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称C—R条件（或方程）. 25
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28. 28
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30. 30
31. 定理２函数在区域内解析的充要条件为（1）在内可微；（2）在内满足C—R方程。定理3 函数在区域内解析的充分条件为（1）在内连续；（2）在内满足C—R方程。31
32. 例2 讨论函数的可导性，并求其导数.解由得则显然，在复平面内和的偏导数处处连续，32
33. 且即　　　和　　　处处满足C—R条件且处处可微，所以，　　　　在复平面内处处可导且33
34. 例3 讨论函数　　　　　的可导性.解因为得显然，、处处具有一阶连续偏导数，但仅当时，、满足C—R条件.因此，仅在点处可导.34
35. 例4 证明在复平面上不可微.证由于，于是，从而显然，对复平面上任意一点，都不满足 C—R条件，所以在整个复平面上不可微.35
36. 例5 讨论下列函数的解析性. （1）；（2）；（3） .解（1）设因为且这四个偏导数处处连续，故在复平面上处处解析.36
37. （2）因为，设，而所以在复平面上处处不解析．（3）因为设　　　　　　，由于37
38. 这四个偏导数虽然处处连续，但C—R条件仅在原点处成立，因而函数在复平面内的原点处可导，其它点不可导，可知该函数在复平面上处处不解析.38
39. 2.3 初等函数39
40. 40
41. 2.3.1 指数函数1.定义: 复变量的指数函数定义为2.性质：（1）指数函数在整个的有限平面内都有定义，且处处不为零.（2）（3）指数函数是以为周期的周期函数．（4）指数函数　在整个复平面上解析，且有41
42. （5）；（6）因，从而（7）虽然在平面上，但，即不满足罗尔定理。（8）例 2.3.1 证明：对任意的复数，若，则必有。42
43. 2.3.2 对数函数定义5 对数函数定义为指数函数的反函数. 若　　，则称是的对数函数，记作．令，，则有显然，对数函数是一个多值函数，每一个对应着多个的值. 若令，则上式中的多值函数便成为了单值函数，则称这个单值函数为多值函数的主值，记作，即．43
44. 例1 求 .解因为的模为，其辐角的主值为，所以而又因为的模为，而其辐角的主值为，所以44
45. 复变量对数函数具有与实变量对数函数类似的基本性质：（1）（2）（3）（4）； 45
46. 注意：等式（4）的成立应该理解为 (i) 两端可能取值的全体集合是相等的（即模相等且辐角对应的集合是相等的）； (ii) 当等式左端的对数取某一分支的值时，等式右端的对数必有某一分支（可能是另一分支）的值与之对应相等．而对于某一指定的分支上述等式未必成立； (iii) 对于下列等式不再成立，即不再成立，其中整数46
47. 47
48. 48
49. 例3 取 , 在对数主值分支中验证上述(1)是否成立？（对应于(ii)的说明）【解】在主值分支中但是显然对于指定的分支。.49
50. 对数函数的解析性可以证明在除去原点与负实轴的平面内解析，所以的各个分支也在除去原点与负实轴的平面内解析（因的每一个单值连续分支与只相差一个复常数），且 50
51. 2.3.3 幂函数定义6 设为任意复常数，定义一般幂函数为它是指数与对数函数的复合函数，是多值函数(因是多值的). 幂函数的几种特殊情形：（1）当为整数时，，是与无关的单值函数（（为正整数）时，为的次乘方，当（为正整数）时，）；）；51
52. （2）当为有理数时（为既约分数，）只有个不同的值，即当取时的对应值，因此，.52
53. （3）当为无理数或复数时，有无穷多个值. 此时的与根式函数的区别是：是无穷多值函数，而是值函数. 幂函数的解析性：（1）当（为正整数）时，在整个复平面内单值解析，且；53
54. （2）当（为正整数）时，在除原点的复平面内解析，且（3）当（为整数）、无理数或复数时，由于对数函数的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析，因而的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的，且 .54
55. 例1 求解:55
56. .即56
57. 2.3.4 三角函数定义7 设为任一复变量，称与分别为复变量的正弦函数与余弦函数，分别记为与，即正弦函数与余弦函数的性质：（1）与都是以为周期的周期函数，即， 57
58. （2）为奇函数，为偶函数，即对任意的有（3）实变函数中的三角恒等式，在复变函数中依然成立，如 58
59. （4）在复数范围内不再成立. 如：取，则有可见，当无限增大时，趋于无穷大. （5）的零点（即的根）为的零点为59
60. （6），在复平面内均为解析函数，且其它四个三角函数，利用和来定义 60
61. 例1 求解：根据定义，有61
62. 2.3.5 反三角函数定义8 如果，则称分别为的反正弦、反余弦、反正切函数，分别记为反三角函数与对数函数之间的关系：（1）（2）（3） 62
63. 证（2）：类似可得（1）、（3）。63
64. 例1解64
65. 解例265
66. 2.3.6 双曲函数定义，，分别称为双曲余弦、正弦和正切函数. 显然，和都是以为周期的周期函数. 为偶函数，为奇函数. 而且它们都是复平面内的解析函数，导数分别为： 66
67. 相关公式：67
68. 2.3.7 反双曲函数反双曲函数定义为双曲函数的反函数. 反双曲正弦：反双曲余弦：反双曲正切： 68

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