难点1 集合思想应
集合高中数学基知识历年必考容考查集合基概念认识理解作工具考查集合语言集合思想运节帮助考生运集合观点断加深集合概念集合语言集合思想理解应
●难点磁场
(★★★★★)已知集合A{(xy)|x2+mx－y+20}B{(xy)|x－y+100≤x≤2}果A∩B≠求实数m取值范围
●案例探究
［例1］设A{(xy)|y2－x－10}B{(xy)|4x2+2x－2y+50}C{(xy)|ykx+b}否存kb∈N(A∪B)∩C证明结
命题意图：题考查考生集合符号分析转化力集合符号分辨出考查知识点进解决问题属★★★★★级题目
知识托：解决题闪光点条件(A∪B)∩C转化A∩CB∩C样难度降低
错解分析：题难点考生符号理解题目出条件认清实质涵感觉手
技巧方法：集合A集合B中方程联立构成方程组判式根情况进行限制bk范围bk∈N进值
解：∵(A∪B)∩C∴A∩CB∩C
∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－10
∵A∩C
∴Δ1(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0
∴4k2－4bk+1<0等式解充条件16b2－16>0b2>1 ①
∵
∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)0
∵B∩C∴Δ2(1－k)2－4(5－2b)<0
∴k2－2k+8b－19<08b<20b<25 ②
①②b∈Nb2代入Δ1<0Δ2<0组成等式组
∴k1存然数k1b2(A∪B)∩C
［例2］50名学生调查AB两事件态度结果：赞成A数全体五分三余赞成赞成B赞成A3余赞成外AB赞成学生数AB赞成学生数三分1问AB赞成学生赞成学生少？
命题意图：集合问题中常方法数轴法取交集韦恩图法等需考生切实掌握题强化学生种力属★★★★级题目
知识托：解答题闪光点考生题目中条件想韦恩图直观表示出
错解分析：题难点数量关系较错综复杂时理清头绪找线索
技巧方法：画出韦恩图形象表示出数量关系间联系
解：赞成A数50×30赞成B数30+333图记50名学生组成集合U赞成事件A学生全体集合A赞成事件B学生全体集合B
设事件AB赞成学生数xAB赞成学生数+1赞成A赞成B数30－x赞成B赞成A数33－x
题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)50解x21
AB赞成学21赞成8
●锦囊妙计
1解答集合问题首先正确理解集合关概念特集合中元素三素描述法出集合{x|x∈P}紧紧抓住竖线前面代表元素x具性质P重视发挥图示法作通数形结合直观解决问题
2注意空集特殊性解题中未指明集合非空时考虑空集性ABAA≠两种时应分类讨
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)集合M{x|xk∈Z}N{x|xk∈Z}( )
AMN BMN CMN DM∩N
2(★★★★)已知集合A{x|－2≤x≤7}B{x|m+1A－3≤m≤4 B－3C2二填空题
3(★★★★)已知集合A{x∈R|ax2－3x+20a∈R}A中元素1a取值范围_________
4(★★★★)xy∈RA{(xy)|x2+y21}B{(xy)| 1a>0b>0}A∩B元素时ab关系式_________
三解答题
5(★★★★★)集合A{x|x2－ax+a2－190}B{x|log2(x2－5x+8)1}C{x|x2+2x－80}求a取什实数时A∩B A∩C时成立
6(★★★★★)已知{an}等差数列d公差0a1d均实数前n项记作Sn设集合A{(an)|n∈N*}B{(xy)| x2－y21xy∈R}
试问列结否正确果正确请予证明果正确请举例说明
(1)集合A中元素作点坐标点条直线
(2)A∩B元素
(3)a1≠0时定A∩B≠
7(★★★★)已知集合A{z||z－2|≤2z∈C}集合B{w|wzi+bb∈R}A∩BB时求b值
8(★★★★)设f(x)x2+px+qA{x|xf(x)}B{x|f［f(x)］x}
(1)求证：AB
(2)果A{－13}求B
参考答案
难点磁场
解：x2+(m－1)x+10 ①
∵A∩B≠
∴方程①区间［02］少实数解
首先Δ(m－1)2－4≥0m≥3m≤－1m≥3时x1+x2－(m－1)＜0x1x21>0知方程①负根符合求
m≤－1时x1+x2－(m－1)>0x1x21>0知方程①正根必根区间(01］方程①少根区间［02］
求m取值范围m≤－1
歼灭难点训练
1解析：Mk分成两类：k2nk2n+1(n∈Z)M{x|xnπ+n∈Z}∪{x|x
nπ+n∈Z}Nk分成四类k4nk4n+1k4n+2k4n+3(n∈Z)N{x|xnπ+n∈Z}∪{x|xnπ+n∈Z}∪{x|xnπ+πn∈Z}∪{x|xnπ+n∈Z}
答案：C
2解析：∵A∪BA∴BAB≠
∴2＜m≤4
答案：D
二3a0a≥
4解析：A∩B1交点知圆x2+y21直线1相切1ab
答案：ab
三5解：log2(x2－5x+8)1x2－5x+82∴B{23}x2+2x－80∴C{2－4}A∩C∴2－4关x方程x2－ax+a2－190解A∩B A∩B≠
∴3关x方程x2－ax+a2－190解∴a5a－2
a5时A{23}∴A∩C{2}A∩C符合a5(舍)a－2时求A{3－5}符合A∩CA∩B ∴a－2
6解：(1)正确等差数列{an}中Sn(a1+an)表明点(an）坐标适合方程y(x+a1)点(an )均直线yx+a1
(2)正确设(xy)∈A∩B(xy)中坐标xy应方程组解方程组消y：2a1x+a12－4(*)a10时方程(*)解时A∩Ba1≠0时方程(*)解x时方程组解述方程组解
∴A∩B元素
(3）正确取a11d1切x∈N*ana1+(n－1)dn>0 >0时集合A中元素作点坐标横坐标均正外a11≠0果A∩B≠(2）结A∩B中元素(x0y0）x0＜0y0＜0样(x0y0）A产生矛盾a11d1时A∩Ba1≠0时定A∩B≠正确
7解：wzi+bz
∵z∈A∴|z－2|≤2代入|－2|≤2化简|w－(b+i)|≤1
∴集合AB复面应点集合两圆面集合A表示点(20）圆心半径2圆面集合B表示点(b1)圆心半径1圆面
A∩BBBA∴两圆含
≤2－1(b－2)2≤0∴b2
8(1)证明：设x0集合A中元素x0∈A
∵A{x|xf(x)}∴x0f(x0)
f［f(x0)］f(x0)x0∴x0∈BAB
(2)证明：∵A{－13}{x|x2+px+qx}
∴方程x2+(p－1)x+q0两根－13应韦达定理
∴f(x)x2－x－3
集合B元素方程f［f(x)］x(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3x(*)根
方程(*)变形(x2－x－3）2－x20
解x13－
B{－－13}
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集合高中数学基知识历年必考容考查集合基概念认识理解作工具考查集合语言集合思想运节帮助考生运集合观点断加深集合概念集合语言集合思想理解应
●难点磁场
(★★★★★)已知集合A{(xy)|x2+mx－y+20}B{(xy)|x－y+100≤x≤2}果A∩B≠求实数m取值范围
●案例探究
［例1］设A{(xy)|y2－x－10}B{(xy)|4x2+2x－2y+50}C{(xy)|ykx+b}否存kb∈N(A∪B)∩C证明结
命题意图：题考查考生集合符号分析转化力集合符号分辨出考查知识点进解决问题属★★★★★级题目
知识托：解决题闪光点条件(A∪B)∩C转化A∩CB∩C样难度降低
错解分析：题难点考生符号理解题目出条件认清实质涵感觉手
技巧方法：集合A集合B中方程联立构成方程组判式根情况进行限制bk范围bk∈N进值
解：∵(A∪B)∩C∴A∩CB∩C
∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－10
∵A∩C
∴Δ1(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0
∴4k2－4bk+1<0等式解充条件16b2－16>0b2>1 ①
∵
∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)0
∵B∩C∴Δ2(1－k)2－4(5－2b)<0
∴k2－2k+8b－19<08b<20b<25 ②
①②b∈Nb2代入Δ1<0Δ2<0组成等式组
∴k1存然数k1b2(A∪B)∩C
［例2］50名学生调查AB两事件态度结果：赞成A数全体五分三余赞成赞成B赞成A3余赞成外AB赞成学生数AB赞成学生数三分1问AB赞成学生赞成学生少？
命题意图：集合问题中常方法数轴法取交集韦恩图法等需考生切实掌握题强化学生种力属★★★★级题目
知识托：解答题闪光点考生题目中条件想韦恩图直观表示出
错解分析：题难点数量关系较错综复杂时理清头绪找线索
技巧方法：画出韦恩图形象表示出数量关系间联系
解：赞成A数50×30赞成B数30+333图记50名学生组成集合U赞成事件A学生全体集合A赞成事件B学生全体集合B
设事件AB赞成学生数xAB赞成学生数+1赞成A赞成B数30－x赞成B赞成A数33－x
题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)50解x21
AB赞成学21赞成8
●锦囊妙计
1解答集合问题首先正确理解集合关概念特集合中元素三素描述法出集合{x|x∈P}紧紧抓住竖线前面代表元素x具性质P重视发挥图示法作通数形结合直观解决问题
2注意空集特殊性解题中未指明集合非空时考虑空集性ABAA≠两种时应分类讨
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)集合M{x|xk∈Z}N{x|xk∈Z}( )
AMN BMN CMN DM∩N
2(★★★★)已知集合A{x|－2≤x≤7}B{x|m+1
3(★★★★)已知集合A{x∈R|ax2－3x+20a∈R}A中元素1a取值范围_________
4(★★★★)xy∈RA{(xy)|x2+y21}B{(xy)| 1a>0b>0}A∩B元素时ab关系式_________
三解答题
5(★★★★★)集合A{x|x2－ax+a2－190}B{x|log2(x2－5x+8)1}C{x|x2+2x－80}求a取什实数时A∩B A∩C时成立
6(★★★★★)已知{an}等差数列d公差0a1d均实数前n项记作Sn设集合A{(an)|n∈N*}B{(xy)| x2－y21xy∈R}
试问列结否正确果正确请予证明果正确请举例说明
(1)集合A中元素作点坐标点条直线
(2)A∩B元素
(3)a1≠0时定A∩B≠
7(★★★★)已知集合A{z||z－2|≤2z∈C}集合B{w|wzi+bb∈R}A∩BB时求b值
8(★★★★)设f(x)x2+px+qA{x|xf(x)}B{x|f［f(x)］x}
(1)求证：AB
(2)果A{－13}求B
参考答案
难点磁场
解：x2+(m－1)x+10 ①
∵A∩B≠
∴方程①区间［02］少实数解
首先Δ(m－1)2－4≥0m≥3m≤－1m≥3时x1+x2－(m－1)＜0x1x21>0知方程①负根符合求
m≤－1时x1+x2－(m－1)>0x1x21>0知方程①正根必根区间(01］方程①少根区间［02］
求m取值范围m≤－1
歼灭难点训练
1解析：Mk分成两类：k2nk2n+1(n∈Z)M{x|xnπ+n∈Z}∪{x|x
nπ+n∈Z}Nk分成四类k4nk4n+1k4n+2k4n+3(n∈Z)N{x|xnπ+n∈Z}∪{x|xnπ+n∈Z}∪{x|xnπ+πn∈Z}∪{x|xnπ+n∈Z}
答案：C
2解析：∵A∪BA∴BAB≠
∴2＜m≤4
答案：D
二3a0a≥
4解析：A∩B1交点知圆x2+y21直线1相切1ab
答案：ab
三5解：log2(x2－5x+8)1x2－5x+82∴B{23}x2+2x－80∴C{2－4}A∩C∴2－4关x方程x2－ax+a2－190解A∩B A∩B≠
∴3关x方程x2－ax+a2－190解∴a5a－2
a5时A{23}∴A∩C{2}A∩C符合a5(舍)a－2时求A{3－5}符合A∩CA∩B ∴a－2
6解：(1)正确等差数列{an}中Sn(a1+an)表明点(an）坐标适合方程y(x+a1)点(an )均直线yx+a1
(2)正确设(xy)∈A∩B(xy)中坐标xy应方程组解方程组消y：2a1x+a12－4(*)a10时方程(*)解时A∩Ba1≠0时方程(*)解x时方程组解述方程组解
∴A∩B元素
(3）正确取a11d1切x∈N*ana1+(n－1)dn>0 >0时集合A中元素作点坐标横坐标均正外a11≠0果A∩B≠(2）结A∩B中元素(x0y0）x0＜0y0＜0样(x0y0）A产生矛盾a11d1时A∩Ba1≠0时定A∩B≠正确
7解：wzi+bz
∵z∈A∴|z－2|≤2代入|－2|≤2化简|w－(b+i)|≤1
∴集合AB复面应点集合两圆面集合A表示点(20）圆心半径2圆面集合B表示点(b1)圆心半径1圆面
A∩BBBA∴两圆含
≤2－1(b－2)2≤0∴b2
8(1)证明：设x0集合A中元素x0∈A
∵A{x|xf(x)}∴x0f(x0)
f［f(x0)］f(x0)x0∴x0∈BAB
(2)证明：∵A{－13}{x|x2+px+qx}
∴方程x2+(p－1)x+q0两根－13应韦达定理
∴f(x)x2－x－3
集合B元素方程f［f(x)］x(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3x(*)根
方程(*)变形(x2－x－3）2－x20
解x13－
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