课材料二：
第二章 数学基础 (Mathematics)
第节 矩阵(Matrix)二次型(Quadratic Forms)
第二节 分布函数(Distribution Function)数学期(Expectation)方差(Variance)
第三节 数理统计（Mathematical Statistics）
第节 矩阵二次型(Matrix and its Quadratic Forms)
21 矩阵基概念运算
m×n矩阵表示：
矩阵加法较简单CA+Bcijaij+bij
矩阵法定义较特殊Am×n1矩阵Bn1×n矩阵CABm×n矩阵般讲AB≠BA运算成立：
l 结合律（Associative Law） (AB)CA（BC）
l 分配律（Distributive Law） A(B+C)AB+AC
问题：(A+B)2A2+2AB+B2否成立？
量（Vector）序数组行列排列 行量(row vector)行量列量(column vector)列量
果α标量αA[αaij]
矩阵转置矩阵(transpose matrix)记通行量变成相应列量
显然()′（+）′+
l 积转置（Transpose ofａ production ）
l 逆矩阵（inverse matrix）果n级方阵(square matrix)AB满足ABBAI称AB逆矩阵显然结果成立：
22 特殊矩阵
1）恒等矩阵(identity matrix)
角线元素全1余全0记I
2）标量矩阵(scalar matrix)
形αI矩阵中α标量
3）幂等矩阵(idempotent matrix)
果矩阵具性质样矩阵称幂等矩阵
定理：幂等矩阵特征根1零
4）正定矩阵（positive definite）负定矩阵（negative definite）非负定矩阵(nonnegative ) 半正定矩阵（positive semidefinite ）非正定矩阵(nonpositive definite) 半负定矩阵（negative semidefinite）
意非零量＞0（＜0）称A正（负）定矩阵≥0（≤0）非负（非正）定矩阵果A非负定记A≥0果正定记A＞0协方差矩阵半正定矩阵结：
a）恒等矩阵单位矩阵正定
b）果正定正定
c）果正定逆矩阵正定
d）果n×m矩阵n＞m正定非负定矩阵
5）称矩阵（symmetric matrix）
果′称称矩阵
23 矩阵迹（trace）
n×n矩阵迹定义角线元素记
结显然
1） （标量） 特例
2）
3）
4）特例
５）循环排列原 tr(ABCD)tr(BCDA)tr(CDAB)tr(DABC)
定理：实称矩阵A迹等特征根
A实称矩阵矩阵C中
24 矩阵秩(rank)
矩阵A行秩列秩定相等矩阵秩定义行秩列秩记r(A)加证明出结果：
1）≤（行数列数）
2）≤≤中AB分m×n1n1×n矩阵特例：果ABn×n矩阵AB0≤
3）中n×n方阵
4）≤
5）设n×n矩阵
6）设n×n矩阵
25 统计量矩阵表示
量理解特殊矩阵元素1n维列量（11…1）果假定
计量济模型中许统计量矩阵形式表示出方便进行数学推导
显易见样均值方差矩阵表示：
1）样均值矩阵表示
事实
2）样方差矩阵表示
易知：中矩阵元素阶方阵
矩阵角线元素非角线元素称矩阵
样方差：
定理：矩阵幂等矩阵
26 矩阵二次型元正态分布
1）矩阵二次型（Quadratic Forms）线性变换（linear transferring）
设P数域系数数域P中二次齐次项式
……………………………
（1）
称数域Pn元二次型者致引起混淆时简称二次型例
理数域三元二次型讨方便（1）中＜系数写简单写成
中样处理许问题时常常希通变量线性换简化关二次型引入
定义1 设两组文字系数数域P中级关系式
（2）
称线性换简称线性换果系数行列式
线性换（2）称非退化
讨二次型时矩阵力工具先二次型线性换矩阵表示
令
＜
二次型（1）写成
……………………………………
（3）
（3）系数排成n×n矩阵
（4）
称二次型（3）矩阵
样矩阵称称矩阵二次型矩阵称
令
二次型矩阵积表示出
应该二次型（1）矩阵元素正项系数半二次型矩阵相互唯决定二次型
令
线性换（2）写成
者
知道非退化线性换二次型变成二次型现换二次型原二次型间什关系说找出换二次矩阵原二次型矩阵间关系
设
（5）
二次型作非退化线性换
（6）
二次型
现矩阵BA关系
（6）代入（5）
容易出矩阵称事实
前两二次型矩阵关系相应引入
定义2 数域Pn×n矩阵AB称合果数域P逆n×n矩阵C
合矩阵间关系难出合关系具
1）反身性：
2）称性：
3）传递性：
非退化线性换新二次型矩阵原二次型矩阵合样二次型变换通矩阵表示出探讨提供力工具
指出变换二次型时总求作线性换非退化点然坐标变换定非退化般线性换
非退化时面关系
线性换二次型原样二次型性质推知原二次型性质
定理：A实称矩阵存逆矩阵C满足：
2）元正态分布
a）二元正态分布
直观二元正态分布两正态机变量联合分布果两机变量X1X2联合密度函数
里＜＜＞0＞0＜＜1
称X1X2服二元正态分布通计算X1X2边际分布分式中参数X1X2相关系数
果X1X2服二元正态分布定条件X2条件分布正态条件密度函数
里
条件均值线性函数二元正态分布具独特性质果X1X2相互独立时般两机变量
时果联合概率密度函数写成矩阵形式形式简单记二元正态概率密度函数写成简单形式
里
b）元正态分布
均值协方差矩阵元正态分布记
c）元正态分布二次型分布
果
里nX维数简单证明结果称逆矩阵存逆矩阵A
27 幂等矩阵二次型
1幂等矩阵满足A2A矩阵称幂等矩阵
幂等矩阵称非称计量统计学中研究幂等矩阵称幂等矩阵关结果：
1）幂等矩阵特征根1零
证明：设A特征根AE时AA2
2）唯满秩称幂等矩阵单位矩阵
证明：∵A2A
单位矩阵外幂等矩阵奇异
3）A幂等矩阵I－A幂等矩阵秩（A）+秩（I－A）n
4）称幂等矩阵秩等迹
容易知道M0秩
M0角元素
5）服分布（果
：
6） Xn×m矩阵秩（X）m
M幂等矩阵
28 微分矩阵微分表示
1）微分应
微分应济学领域中广泛作似计算说明种技巧运作考虑例子设P代表GDP减指数Y代表实际GDP名义GDPP×Y：
（P×Y）变动百分≈（P变动百分）+（Y变动百分）
样率变动百分似分子变动百分减分母变动百分例：设Y代表GDPL代表口数均GDP：
（YL）变动百分≈（Y变动百分）－（L变动百分）
问题1：1）述2似公式什条件成立？
2）推导述两公式
3）宏观济中GDP确定4组成部分：GDPC+I+G+NX否公式计算GDP变动百分：
GDP变动百分≈（消费C变动百分）+（投资I变百分）+（政府购买G变动百分）+（净出口NX变动百分）
果边值较？什？
问题2
In the country of Wiknam the velocity of money is constant Real GDP grows by 5 percent per year the money stock grows by 14 percent per year and the nominal interest rate is 11 percent What is the real interest rate
2）计量模型推导
带技术进步Solow模型
假定生产函数希克斯（Hicks）中性技术进步条件产出增长型函数般形式Solow模型：
（1）
A（t）作进步假定令里A0基技术水表示技术进步产出增长部分称技术进步增长率（1）式变：
（2）
（2）式两边取数求导：
（3）
YLK实际数离散（3）进行离散化令年：
（4）
表示产出劳动力弹性表示产出资弹性（4）式实际科技进步贡献率测算模型注意：
里表示科技进步产出增长贡献率表示劳动力增长产出增长贡献率表示资增长产出增长贡献率：
（5）
（5）式出技术进步贡献率测算公式
通假定定规模报酬变条件较合理效预防克服变量间出现线性（4）式根：
设：
（6）
般讲D1序列存异方差性（6）式测算科技进步增长率终模型
3矩阵微分
果写成梯度量
二阶偏导数矩阵
特果
样
果A称矩阵
般
思考题：
1证明：
2证明矩阵M0幂等矩阵
3果L1L2…Ln百分变动较
果Y1Y2…Ym百分变动较
计算公式否行？
a）
b）
4 矩阵分块（partitioned matrix）
表述矩阵元素时——构造方程组——元素子矩阵形式进行分组时例写
A称分块矩阵子矩阵标矩阵中元素标样方式定义普通特殊情形分块角矩阵
中A11A22方阵
分块矩阵加法法
加法法推广分块矩阵致分块矩阵AB：
（1）
（2）
中矩阵必须适运算加法AijBij阶数必须相法中数ijAij列数必须等Bij行数矩阵相必需条件满足
两常遇情况形式：
（3）
（4）
分块矩阵行列式
类似角矩阵行列式分块角矩阵行列式
（5）
般2×2分块矩阵结果：
（6）
2×2分块矩阵结果极繁琐工作中必
分块矩阵逆
分块角矩阵逆：
（7）
直接相证实
般2×2分块矩阵分块逆形式：
（8）
中
简单逆A证实计算称性左块写作：
问题：请推倒面公式（5）（6）（7）（8）
均值偏差
述容应计算：假设n元素列量x开始令
关心A1中右角元素根（8）中F2定义
逆矩阵中右角值
现假设含干列矩阵X代列x求[Z′Z]1中右块里Z[iX]类似结果
暗示着[Z′Z]1右块K×K矩阵第jk元素K×K矩阵逆样数矩阵含列1时方交叉积矩阵逆元素原始数相应列均值离差形式计算出
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第二章 数学基础 (Mathematics)
第节 矩阵(Matrix)二次型(Quadratic Forms)
第二节 分布函数(Distribution Function)数学期(Expectation)方差(Variance)
第三节 数理统计（Mathematical Statistics）
第节 矩阵二次型(Matrix and its Quadratic Forms)
21 矩阵基概念运算
m×n矩阵表示：
矩阵加法较简单CA+Bcijaij+bij
矩阵法定义较特殊Am×n1矩阵Bn1×n矩阵CABm×n矩阵般讲AB≠BA运算成立：
l 结合律（Associative Law） (AB)CA（BC）
l 分配律（Distributive Law） A(B+C)AB+AC
问题：(A+B)2A2+2AB+B2否成立？
量（Vector）序数组行列排列 行量(row vector)行量列量(column vector)列量
果α标量αA[αaij]
矩阵转置矩阵(transpose matrix)记通行量变成相应列量
显然()′（+）′+
l 积转置（Transpose ofａ production ）
l 逆矩阵（inverse matrix）果n级方阵(square matrix)AB满足ABBAI称AB逆矩阵显然结果成立：
22 特殊矩阵
1）恒等矩阵(identity matrix)
角线元素全1余全0记I
2）标量矩阵(scalar matrix)
形αI矩阵中α标量
3）幂等矩阵(idempotent matrix)
果矩阵具性质样矩阵称幂等矩阵
定理：幂等矩阵特征根1零
4）正定矩阵（positive definite）负定矩阵（negative definite）非负定矩阵(nonnegative ) 半正定矩阵（positive semidefinite ）非正定矩阵(nonpositive definite) 半负定矩阵（negative semidefinite）
意非零量＞0（＜0）称A正（负）定矩阵≥0（≤0）非负（非正）定矩阵果A非负定记A≥0果正定记A＞0协方差矩阵半正定矩阵结：
a）恒等矩阵单位矩阵正定
b）果正定正定
c）果正定逆矩阵正定
d）果n×m矩阵n＞m正定非负定矩阵
5）称矩阵（symmetric matrix）
果′称称矩阵
23 矩阵迹（trace）
n×n矩阵迹定义角线元素记
结显然
1） （标量） 特例
2）
3）
4）特例
５）循环排列原 tr(ABCD)tr(BCDA)tr(CDAB)tr(DABC)
定理：实称矩阵A迹等特征根
A实称矩阵矩阵C中
24 矩阵秩(rank)
矩阵A行秩列秩定相等矩阵秩定义行秩列秩记r(A)加证明出结果：
1）≤（行数列数）
2）≤≤中AB分m×n1n1×n矩阵特例：果ABn×n矩阵AB0≤
3）中n×n方阵
4）≤
5）设n×n矩阵
6）设n×n矩阵
25 统计量矩阵表示
量理解特殊矩阵元素1n维列量（11…1）果假定
计量济模型中许统计量矩阵形式表示出方便进行数学推导
显易见样均值方差矩阵表示：
1）样均值矩阵表示
事实
2）样方差矩阵表示
易知：中矩阵元素阶方阵
矩阵角线元素非角线元素称矩阵
样方差：
定理：矩阵幂等矩阵
26 矩阵二次型元正态分布
1）矩阵二次型（Quadratic Forms）线性变换（linear transferring）
设P数域系数数域P中二次齐次项式
……………………………
（1）
称数域Pn元二次型者致引起混淆时简称二次型例
理数域三元二次型讨方便（1）中＜系数写简单写成
中样处理许问题时常常希通变量线性换简化关二次型引入
定义1 设两组文字系数数域P中级关系式
（2）
称线性换简称线性换果系数行列式
线性换（2）称非退化
讨二次型时矩阵力工具先二次型线性换矩阵表示
令
＜
二次型（1）写成
……………………………………
（3）
（3）系数排成n×n矩阵
（4）
称二次型（3）矩阵
样矩阵称称矩阵二次型矩阵称
令
二次型矩阵积表示出
应该二次型（1）矩阵元素正项系数半二次型矩阵相互唯决定二次型
令
线性换（2）写成
者
知道非退化线性换二次型变成二次型现换二次型原二次型间什关系说找出换二次矩阵原二次型矩阵间关系
设
（5）
二次型作非退化线性换
（6）
二次型
现矩阵BA关系
（6）代入（5）
容易出矩阵称事实
前两二次型矩阵关系相应引入
定义2 数域Pn×n矩阵AB称合果数域P逆n×n矩阵C
合矩阵间关系难出合关系具
1）反身性：
2）称性：
3）传递性：
非退化线性换新二次型矩阵原二次型矩阵合样二次型变换通矩阵表示出探讨提供力工具
指出变换二次型时总求作线性换非退化点然坐标变换定非退化般线性换
非退化时面关系
线性换二次型原样二次型性质推知原二次型性质
定理：A实称矩阵存逆矩阵C满足：
2）元正态分布
a）二元正态分布
直观二元正态分布两正态机变量联合分布果两机变量X1X2联合密度函数
里＜＜＞0＞0＜＜1
称X1X2服二元正态分布通计算X1X2边际分布分式中参数X1X2相关系数
果X1X2服二元正态分布定条件X2条件分布正态条件密度函数
里
条件均值线性函数二元正态分布具独特性质果X1X2相互独立时般两机变量
时果联合概率密度函数写成矩阵形式形式简单记二元正态概率密度函数写成简单形式
里
b）元正态分布
均值协方差矩阵元正态分布记
c）元正态分布二次型分布
果
里nX维数简单证明结果称逆矩阵存逆矩阵A
27 幂等矩阵二次型
1幂等矩阵满足A2A矩阵称幂等矩阵
幂等矩阵称非称计量统计学中研究幂等矩阵称幂等矩阵关结果：
1）幂等矩阵特征根1零
证明：设A特征根AE时AA2
2）唯满秩称幂等矩阵单位矩阵
证明：∵A2A
单位矩阵外幂等矩阵奇异
3）A幂等矩阵I－A幂等矩阵秩（A）+秩（I－A）n
4）称幂等矩阵秩等迹
容易知道M0秩
M0角元素
5）服分布（果
：
6） Xn×m矩阵秩（X）m
M幂等矩阵
28 微分矩阵微分表示
1）微分应
微分应济学领域中广泛作似计算说明种技巧运作考虑例子设P代表GDP减指数Y代表实际GDP名义GDPP×Y：
（P×Y）变动百分≈（P变动百分）+（Y变动百分）
样率变动百分似分子变动百分减分母变动百分例：设Y代表GDPL代表口数均GDP：
（YL）变动百分≈（Y变动百分）－（L变动百分）
问题1：1）述2似公式什条件成立？
2）推导述两公式
3）宏观济中GDP确定4组成部分：GDPC+I+G+NX否公式计算GDP变动百分：
GDP变动百分≈（消费C变动百分）+（投资I变百分）+（政府购买G变动百分）+（净出口NX变动百分）
果边值较？什？
问题2
In the country of Wiknam the velocity of money is constant Real GDP grows by 5 percent per year the money stock grows by 14 percent per year and the nominal interest rate is 11 percent What is the real interest rate
2）计量模型推导
带技术进步Solow模型
假定生产函数希克斯（Hicks）中性技术进步条件产出增长型函数般形式Solow模型：
（1）
A（t）作进步假定令里A0基技术水表示技术进步产出增长部分称技术进步增长率（1）式变：
（2）
（2）式两边取数求导：
（3）
YLK实际数离散（3）进行离散化令年：
（4）
表示产出劳动力弹性表示产出资弹性（4）式实际科技进步贡献率测算模型注意：
里表示科技进步产出增长贡献率表示劳动力增长产出增长贡献率表示资增长产出增长贡献率：
（5）
（5）式出技术进步贡献率测算公式
通假定定规模报酬变条件较合理效预防克服变量间出现线性（4）式根：
设：
（6）
般讲D1序列存异方差性（6）式测算科技进步增长率终模型
3矩阵微分
果写成梯度量
二阶偏导数矩阵
特果
样
果A称矩阵
般
思考题：
1证明：
2证明矩阵M0幂等矩阵
3果L1L2…Ln百分变动较
果Y1Y2…Ym百分变动较
计算公式否行？
a）
b）
4 矩阵分块（partitioned matrix）
表述矩阵元素时——构造方程组——元素子矩阵形式进行分组时例写
A称分块矩阵子矩阵标矩阵中元素标样方式定义普通特殊情形分块角矩阵
中A11A22方阵
分块矩阵加法法
加法法推广分块矩阵致分块矩阵AB：
（1）
（2）
中矩阵必须适运算加法AijBij阶数必须相法中数ijAij列数必须等Bij行数矩阵相必需条件满足
两常遇情况形式：
（3）
（4）
分块矩阵行列式
类似角矩阵行列式分块角矩阵行列式
（5）
般2×2分块矩阵结果：
（6）
2×2分块矩阵结果极繁琐工作中必
分块矩阵逆
分块角矩阵逆：
（7）
直接相证实
般2×2分块矩阵分块逆形式：
（8）
中
简单逆A证实计算称性左块写作：
问题：请推倒面公式（5）（6）（7）（8）
均值偏差
述容应计算：假设n元素列量x开始令
关心A1中右角元素根（8）中F2定义
逆矩阵中右角值
现假设含干列矩阵X代列x求[Z′Z]1中右块里Z[iX]类似结果
暗示着[Z′Z]1右块K×K矩阵第jk元素K×K矩阵逆样数矩阵含列1时方交叉积矩阵逆元素原始数相应列均值离差形式计算出
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