1.[2014·山东卷] 已知ab∈Ri虚数单位a-i2+bi互轭复数(a+bi)2=( )
A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i
1.D [解析] a-i2+bi互轭复数a=2b=1(a+bi)2=(2+i)2=3+4i选D
2.[2014·山东卷] 设集合A={x||x-1|<2}B={y|y=2xx∈[02]}A∩B=( )
A.[02] B.(13) C.[13) D.(14)
2.C [解析] 根已知集合A={x|-1<x<3}B={y|1≤y≤4}A∩B={x|1≤x<3}.选C
3.[2014·山东卷] 函数f(x)=定义域( )
A B.(2+∞)
C ∪(2+∞) D ∪[2+∞)
3.C [解析] 根题意解选C
4.[2014·山东卷] 反证法证明命题设ab实数方程x2+ax+b=0少实根时做假设( )
A 方程x2+ax+b=0没实根
B 方程x2+ax+b=0实根
C 方程x2+ax+b=0两实根
D 方程x2+ax+b=0恰两实根
4.A [解析] 方程x2+ax+b=0少实根等价方程x2+ax+b=0实根两实根该命题否定方程x2+ax+b=0没实根.选A
5.[2014·山东卷] 已知实数xy满足ax<ay(0<a<1)列关系式恒成立( )
A > B ln(x2+1)>ln(y2+1)
C sin x>sin y D x3>y3
5.D [解析] ax<ay(0<a<1)x>ysin x>sin yln(x2+1)>ln(y2+1)>定正确选D
6.[2014·山东卷] 直线y=4x曲线y=x3第象限围成封闭图形面积( )
A 2 B 4 C 2 D 4
6.D [解析] 直线y=4x曲线y=x3第象限交点坐标(28)两者围成封闭图形面积(4x-x3)dx=0=4选D
7.[2014·山东卷] 研究某药品疗效选取干名志愿者进行床试验志愿者舒张压数(单位:kPa)分组区间[1213)[1314)[1415)[1516)[16
17]左右序分编号第组第二组……第五组.图根试验数制成频率分布直方图.已知第组第二组20第三组中没疗效6第三组中疗效数( )
图11
A 6 B 8 C 12 D 18
7.C [解析] 第组第二组20根图知第组第二组数024∶016=3∶2第组20×=12第组第三组数024∶036=2∶3 第三组12÷=18第三组中没疗效6第三组中疗效数18-6=12
8.[2014·山东卷] 已知函数f(x)=|x-2|+1g(x)=kx方程f(x)=g(x)两相等实根实数k取值范围( )
A B C (12) D (2+∞)
8.B [解析] 画出函数f(x)图图示.方程f(x)=g(x)两相等实数函数f(x)g(x)两交点k>k<1选B
9.[2014·山东卷] 已知xy满足约束条件目标函数z=ax+by(a>0b>0)该约束条件取值2 时a2+b2值( )
A 5 B 4 C D 2
9.B [解析] 画出约束条件表示行域(图示).
显然目标函数z=ax+by点A(21)时z取值2 =2a+b2 -2a=ba2+b2=a2+(2 -2a)2=5a2-8 a+20构造函数m(a)=5a2-8 a+20(
>a>0)利二次函数求值显然函数m(a)=5a2-8a+20值=4a2+b2值4选B
10.[2014·山东卷] 已知a>b>0椭圆C1方程+=1双曲线C2方程-=1C1C2离心率积C2渐线方程( )
A x±y=0 B x±y=0
C x±2y=0 D 2x±y=0
10.A [解析] 椭圆C1离心率e1=双曲线C2离心率e2=e1e2=·=×=
解==双曲线C2渐线方程y=±x选A
11.[2014·山东卷] 执行图12示程序框图输入x值1输出n值____.
图12
11.3 [解析] x=1满足等式执行循环x=2n=1x=2满足等式执行循环x=3n=2x=3满足等式执行循环x=4n=3x=4满足等式结束循环输出n值3
12.[2014·山东卷] △ABC中已知·=tan AA=时△ABC面积______.
12 [解析] AB·AC=||·||cos A=tan AA=||·||=△ABC面积
S=||·||sin A=××sin =
13.[2014·山东卷] 三棱锥P ABC中DE分PBPC中点记三棱锥D ABE体积V1P ABC体积V2=________.
13 [解析] 图示DE分边PBPC中点S△BDE=S△PBC三棱锥A BDE三棱锥A PBC高长度相等=
14.[2014·山东卷] 展开式中x3项系数20a2+b2值________.
14.2 [解析] Tr+1=C(ax2)6-r·=Ca6-r·brx12-3r令12-3r=3r=3Ca6-3b3=20a3b3=1ab=1a2+b2≥2ab=2仅a=bab=1时等号成立.a2+b2值2
15.[2014·山东卷] 已知函数y=f(x)(x∈R)函数y=g(x)(x∈I)定义g(x)关f(x)称函数函数y=h(x)(x∈I)y=h(x)满足:意x∈I两点(xh(x))(xg(x))关点(xf(x))称.h(x)g(x)=关f(x)=3x+b称函数h(x)>g(x)恒成立实数b取值范围________.
15.(2+∞) [解析] g(x)图表示圆部分x2+y2=4(y≥0).直线y=3x+b半圆相切时满足h(x)>g(x)根圆心(00)直线y=3x+b距离圆半径求=2解b=2b=-2(舍)h(x)>g(x)恒成立b>2实数b取值范围(2+∞).
16.[2014·山东卷] 已知量a=(mcos 2x)b=(sin 2xn)函数f(x)=a·by=f(x)图点点
(1)求mn值
(2)y=f(x)图左移φ(0<φ<π)单位函数y=g(x)图y=g(x)图高点点(03)距离值1求y=g(x)单调递增区间.
16.解:(1)题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x
y=f(x)图点点
解m=n=1
(2)(1)知f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin
题意知g(x)=f(x+φ)=2sin
设y=g(x)图符合题意高点(x02).
题意知x+1=1x0=0
点(03)距离1高点(02).
代入y=g(x)sin=1
0<φ<πφ=
g(x)=2sin=2cos 2x
2kπ-π≤2x≤2kπk∈Zkπ-≤x≤kπk∈Z
函数y=g(x)单调递增区间k∈Z
17.[2014·山东卷] 图13示四棱柱ABCD A1B1C1D1中底面ABCD等腰梯形∠DAB=60°AB=2CD=2M线段AB中点.
图13
(1)求证:C1M∥面A1ADD1
(2)CD1垂直面ABCDCD1=求面C1D1M面ABCD成角(锐角)余弦值.
17.解:(1)证明:四边形ABCD等腰梯形
AB=2CDAB∥DC
MAB中点
CD∥MACD=MA
连接AD1四棱柱ABCD A1B1C1D1中
CD∥C1D1CD=C1D1
C1D1∥MAC1D1=MA
四边形AMC1D1行四边形
C1M∥D1A
C1M⊄面A1ADD1D1A⊂面A1ADD1
C1M∥面A1ADD1
(2)方法:连接ACMC
(1)知CD∥AMCD=AM
四边形AMCD行四边形
BC=AD=MC
题意∠ABC=∠DAB=60°
△MBC正三角形
AB=2BC=2CA=
CA⊥CB
设C坐标原点建立图示空间直角坐标系C xyz
A(00)B(010)D1(00).
M
===
设面C1D1M法量n=(xyz)
面C1D1M法量n=(11).
=(00)面ABCD法量.
cos〈n〉==
面C1D1M面ABCD成角(锐角)余弦值
方法二:(1)知面D1C1M∩面ABCD=AB点CAB引垂线交AB点N连接D1N
CD1⊥面ABCDD1N⊥AB
∠D1NC二面角C1 AB C面角.
Rt△BNC中BC=1∠NBC=60°
CN=
ND1==
Rt△D1CN中cos∠D1NC===
面C1D1M面ABCD成角(锐角)余弦值
18.[2014·山东卷] 乒乓球台面网分隔成甲乙两部分图14示甲两相交区域AB乙划分两相交区域CD某次测试求队员接落点甲球乙回球.规定:回球次落点C记3分D记1分情况记0分.落点A球队员明回球落点C概率D概率落点B球明回球落点C概率D概率假设两次球落AB次明两次回球互影响.求:
(1)明两次回球落点中恰次落点乙概率
(2)两次回球结束明分ξ分布列数学期.
图14
18.解:(1)记Ai事件明落点A球回球分i分(i=013)
P(A3)=P(A1)=P(A0)=1--=
记Bi事件明落点B球回球分i分(i=013)
P(B3)=P(B1)=P(B0)=1--=
记D事件明两次回球落点中恰1次落点乙.
题意D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3
事件独立性互斥性
P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)
=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)
=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)·P(B1)+P(A0)P(B3)
=×+×+×+×
=
明两次回球落点中恰1次落点乙概率
题意机变量ξ取值012346
(2)事件独立性互斥性
P(ξ=0)=P(A0B0)=×=
P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=
P(ξ=2)=P(A1B1)=×=
P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=
P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=
P(ξ=6)=P(A3B3)=×=
机变量ξ分布列:
ξ
0
1
2
3
4
6
P
数学期Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=
19.[2014·山东卷] 已知等差数列{an}公差2前n项SnS1S2S4成等数列.
(1)求数列{an}通项公式
(2)令bn=(-1)n-1求数列{bn}前n项Tn
19.解: (1)S1=a1S2=2a1+×2=2a1+2
S4=4a1+×2=4a1+12
题意(2a1+2)2=a1(4a1+12)解a1=1
an=2n-1
(2)题意知
bn=(-1)n-1
=(-1)n-1
=(-1)n-1
n偶数时
Tn=-+…+-
=1-
=
n奇数时
Tn=-+…-+
=1+
=
Tn=
20.[2014·山东卷] 设函数f(x)=-k(k常数e=2718 28…然数底数).
(1)k≤0时求函数f(x)单调区间
(2)函数f(x)(02)存两极值点求k取值范围.
20.解:(1)函数y=f(x)定义域(0+∞)
f′(x)=-k
=-
=
k≤0ex-kx>0
x∈(02)时f′(x)<0函数y=f(x)单调递减x∈(2+∞)时f′(x)>0函数y=f(x)单调递增.
f(x)单调递减区间(02)单调递增区间(2+∞).
(2)(1)知k≤0时函数f(x)(02)单调递减f(x)(02)存极值点
k>0时设函数g(x)=ex-kxx∈(0+∞).
g′(x)=ex-k=ex-eln k
0
f(x)(02)存两极值点.
k>1时x∈(0ln k)时g′(x)<0函数y=g(x)单调递减
x∈(ln k+∞)时g′(x)>0函数y=g(x)单调递增.
函数y=g(x)值g(ln k)=k(1-ln k).
函数f(x)(02)存两极值点.
仅
解e
21.[2014·山东卷] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)焦点FAC异原点意点点A直线l交C点B交x轴正半轴点D|FA|=|FD|点A横坐标3时△ADF正三角形.
(1)求C方程.
(2)直线l1∥ll1C公点E
①证明直线AE定点求出定点坐标.
②△ABE面积否存值?存请求出值存请说明理.
21.解:(1)题意知F
设D(t0)(t>0)FD中点
|FA|=|FD|
抛物线定义知3+=
解t=3+pt=-3(舍).
=3解p=2
抛物线C方程y2=4x
(2)①证明:(1)知F(10).
设A(x0y0)(x0y0≠0)D(xD0)(xD>0).
|FA|=|FD||xD-1|=x0+1
xD>0xD=x0+2D(x0+20).
直线AB斜率kAB=-
直线l1直线AB行
设直线l1方程y=-x+b
代入抛物线方程y2+y-=0
题意Δ=+=0b=-
设E(xEyE)yE=-xE=
y≠4时kAE==-=
直线AE方程y-y0=(x-x0)
y=4x0
整理y=(x-1)
直线AE恒点F(10).
y=4时直线AE方程x=1点F(10).
直线AE定点F(10).
②①知直线AE焦点F(10)
|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2
设直线AE方程x=my+1
点A(x0y0)直线AE
m=
设B(x1y1).
直线AB方程y-y0=-(x-x0)
y0≠0x=-y+2+x0
代入抛物线方程y2+y-8-4x0=0
y0+y1=-
求y1=-y0-x1=+x0+4
点B直线AE距离
d=
=
=4
△ABE面积S=×4x0++2≥16
仅=x0x0=1时等号成立.
△ABE面积值16
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