微专题8 空间体三视图表面积体积
命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T7·三视图
2018·全国卷Ⅰ·T12·截面问题
2018·全国卷Ⅱ·T16·侧面积问题
2018·全国卷Ⅲ·T3·三视图
立体问题高考必考点考查难点高考中命题形式较稳定保持两格局选择题者填空题形式考查空间体三视图识空间体体积表面积计算
考 空间体三视图
例1 (1)(2018·唐山模拟)图空间体正视图俯视图侧视图( )
A B C D
(2)(2018·山西八校联考)正方体(图①)截三三棱锥图②示体侧视图视线方图②示该体侧视图( )
A B C D
解析 (1)正视图俯视图知该体圆柱挖圆锥构成结合正视图宽俯视图直径知侧视图应A选A
(2)图②中体放正方体中图示侧视图视线方观察易知该体侧视图选项D中图形选D
答案 (1)A (2)D
(1)直观图确定三视图方法
根空间体三视图定义画法规摆放规确定
(2)三视图原直观图思路
①根俯视图确定体底面
②根正()视图侧(左)视图确定体侧棱侧面特征调整实线虚线应棱面位置
③确定体直观图形状
外三视图题体放正方体长方体中利正方体长方体线面面面垂直关系分析体三视图
变|式|训|练
(2018·湖北襄阳测试)6棱长1正方体桌面堆叠成体该体正视图俯视图图示侧视图( )
A B C D
解析 图①示A正确图②示B正确图③示C正确选D
答案 D
考二 空间体表面积体积
微考1：根三视图求表面积体积
例2 (2018·郑州质量预测)刍甍中国古代算术中种形体九章算术中记载：刍甍者袤广袤广刍草甍屋盖翻译底面长宽矩形顶部长没宽条棱刍甍字面意思茅草屋顶图刍甍三视图中正视图等腰梯形侧视图等腰三角形该茅草屋顶面积( )
A．24 B．32 C．64 D．32
解析 三视图知该体直观图图示中S四边形ABED＝S四边形ACFDS△ABC＝S△DEF点A面BCFE作垂线垂足A′作AM⊥CF点MAN⊥BC点N连接A′N易知AA′＝4A′N＝CM＝＝2CN＝BC＝2Rt△AA′N中AN＝＝＝2Rt△ANC中AC＝＝＝2Rt△AMC中AM＝＝＝2S四边形ACFD＝×(4＋8)×2＝12S△ABC＝×BC×AN＝×4×2＝4该茅草屋顶面积2×12＋2×4＝32选B
答案 B
根三视图求空间体表面积体积时应原空间体直观图根表面积体积公式求解
变式训练 (2018·山西二模)某体三视图图示图中正方形边长均1该体体积( )
A．π B．π
C．π D．π
解析 三视图知该体半圆柱半圆锥组合成中圆柱底面半径2高4圆锥底面半径高均2体积V＝×4π×4＋××4π×2＝选A
答案 A
微考2：根线面关系求表面积体积
例3 (2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥顶点S母线SASB成角余弦值SA圆锥底面成角45°△SAB面积5该圆锥侧面积________
解析 图示设S底面射影S′连接AS′SS′△SAB面积·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5SA2＝80SA＝4SA圆锥底面成角45°∠SAS′＝45°AS′＝SA·cos45°＝4×＝2圆锥侧面积π×AS′×AS＝π×2×4＝40π
答案 40π
根空间体结构特征助线面关系关定义定理找出体底面特征高必时进行分割补形等求出体表面积体积
变|式|训|练
(2018·天津高考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长1面ABCD外该正方体余面中心分点EFGHM(图)四棱锥M－EFGH体积________
解析 连接AD1CD1B1AB1CACEH分AD1CD1中点EH∥ACEH＝ACFG分B1AB1C中点FG∥ACFG＝ACEH∥FGEH＝FG四边形EHGF行四边形EG＝HFEH＝HG四边形EHGF正方形点M面EHGF距离四棱锥M－EFGH体积×2×＝
答案
考三 球关组合体问题
例4 (2018·江西南昌模拟)三棱锥S－ABC中△ABC边长3等边三角形SA＝SB＝2二面角S－AB－C120°三棱锥外接球表面积________
解析 根题意SA2＋AB2＝SB2SA⊥AB取AB中点DSB中点M连接CDMD∠CDM二面角S－AB－C面角∠MDC＝120°图设三角形ABC外心O1O1CD连接BO1CO1＝＝BO1DO1＝设外接球半径R易知球心M垂直面ABS垂线O1垂直面ABC垂线交点O四边形MDO1O中二面角S－AB－C面角∠MDC＝120°MO⊥MDO1O⊥DO1MD＝O1D＝∠ODO1＝60°OO1＝O1Dtan60°＝连接OBR2＝OB2＝OO＋O1B2＝＋3＝球表面积S＝4πR2＝21π
答案 21π
立体试题中常会遇样类问题：题设条件计算某体外接球表面积体积S球＝4πR2V球＝πR3关键求解外接球半径R常解题策略：①通构造特殊体巧妙分析②通解直角三角形巧妙分析③助直角三角形斜边中点顶点距离相等巧妙分析④助体底面边形外接圆巧妙分析
变|式|训|练
(2018·贵阳监测考试)图正方形网格边长1粗实线表示某体三视图该体顶点球O球面球O表面积( )
A．15π B．16π
C．17π D．18π
解析 根三视图知该体三棱锥记S－ABC该三棱锥放入长方体中图示该三棱锥外接球直径长方体体角线设球O半径R(2R)2＝22＋22＋32＝17R2＝球O表面积4πR2＝17π选C
答案 C
1．(考)(2018·北京高考)某四棱锥三视图图示四棱锥侧面中直角三角形数( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 三视图原直观图体底面直角梯形条侧棱底面垂直四棱锥图示易知BC∥ADBC＝1AD＝AB＝PA＝2AB⊥ADPA⊥面ABCD△PAD△PAB直角三角形PA⊥面ABCDBC⊂面ABCDPA⊥BCBC⊥ABPA∩AB＝ABC⊥面PABPB⊂面PABBC⊥PB△PBC直角三角形容易求PC＝3CD＝PD＝2△PCD直角三角形选C
答案 C
2．(考二)(2018·昆明调研)古采取臼舂米方法脱稻谷外壳获供食米舂米臼石头木头制成臼三视图图示凿部分(成简单组合体)体积( )
A．63π B．72π
C．79π D．99π
解析 三视图凿部分圆柱半球组合体中圆柱高5底面圆半径3半球半径3组合体体积32π×5＋×π×33＝63π选A
答案 A
3．(考三)(2018·南昌调研)已知三棱锥P－ABC顶点球O球面△ABC满足AB＝2∠ACB＝90°PA球O直径PA＝4点P底面ABC距离( )
A． B．2
C． D．2
解析 取AB中点O1连接OO1图△ABC中AB＝2∠ACB＝90°△ABC圆O1AB直径圆O1A＝OO1⊥AO1球O直径PA＝4OA＝2OO1＝＝OO1⊥底面ABC点P面ABC距离2OO1＝2选B
答案 B
4．(考三)(2018·河北五名校联考)图边长1正方形组成网格中画出某面体三视图该面体外接球表面积( )
A．27π B．30π
C．32π D．34π
解析 根三视图知面体三棱锥A－BCD侧面ABC⊥底面BCD△ABC△BCD等腰三角形图示根题意知三棱锥A－BCD外接球球心O位△BCD外心O′垂直底面BCD垂线取BC中点M′连接AM′DM′OO′O′B易知O′DM′O作OM⊥AM′点M连接OAOB根三视图知M′D＝4BD＝CD＝2sin∠BCD＝设△BCD外接圆半径r根正弦定理知2r＝＝5BO′＝r＝M′O′＝设OO′＝x该面体外接球半径RRt△BOO′中R2＝2＋x2Rt△AMO中R2＝2＋(4－x)2R＝该面体外接球表面积S＝4πR2＝34π选D
答案 D
5．(考三)(2018·西安八校联考)已知球直径SC＝4AB该球球面两点∠ASC＝∠BSC＝30°棱锥S－ABC体积( )
A．2 B．
C． D．2
解析 图球直径SCSC＝4∠ASC＝∠BSC＝30°∠SAC＝∠SBC＝90°AC＝BC＝2SA＝SB＝2S△SBC＝×2×2＝2点A面SBC距离时棱锥A－SBCS－ABC体积时面SAC⊥面SBC点A面SBC距离2sin30°＝棱锥S－ABC体积×2×＝2选A
答案 A
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命 题 者 说
考 题 统 计
考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T7·三视图
2018·全国卷Ⅰ·T12·截面问题
2018·全国卷Ⅱ·T16·侧面积问题
2018·全国卷Ⅲ·T3·三视图
立体问题高考必考点考查难点高考中命题形式较稳定保持两格局选择题者填空题形式考查空间体三视图识空间体体积表面积计算
考 空间体三视图
例1 (1)(2018·唐山模拟)图空间体正视图俯视图侧视图( )
A B C D
(2)(2018·山西八校联考)正方体(图①)截三三棱锥图②示体侧视图视线方图②示该体侧视图( )
A B C D
解析 (1)正视图俯视图知该体圆柱挖圆锥构成结合正视图宽俯视图直径知侧视图应A选A
(2)图②中体放正方体中图示侧视图视线方观察易知该体侧视图选项D中图形选D
答案 (1)A (2)D
(1)直观图确定三视图方法
根空间体三视图定义画法规摆放规确定
(2)三视图原直观图思路
①根俯视图确定体底面
②根正()视图侧(左)视图确定体侧棱侧面特征调整实线虚线应棱面位置
③确定体直观图形状
外三视图题体放正方体长方体中利正方体长方体线面面面垂直关系分析体三视图
变|式|训|练
(2018·湖北襄阳测试)6棱长1正方体桌面堆叠成体该体正视图俯视图图示侧视图( )
A B C D
解析 图①示A正确图②示B正确图③示C正确选D
答案 D
考二 空间体表面积体积
微考1：根三视图求表面积体积
例2 (2018·郑州质量预测)刍甍中国古代算术中种形体九章算术中记载：刍甍者袤广袤广刍草甍屋盖翻译底面长宽矩形顶部长没宽条棱刍甍字面意思茅草屋顶图刍甍三视图中正视图等腰梯形侧视图等腰三角形该茅草屋顶面积( )
A．24 B．32 C．64 D．32
解析 三视图知该体直观图图示中S四边形ABED＝S四边形ACFDS△ABC＝S△DEF点A面BCFE作垂线垂足A′作AM⊥CF点MAN⊥BC点N连接A′N易知AA′＝4A′N＝CM＝＝2CN＝BC＝2Rt△AA′N中AN＝＝＝2Rt△ANC中AC＝＝＝2Rt△AMC中AM＝＝＝2S四边形ACFD＝×(4＋8)×2＝12S△ABC＝×BC×AN＝×4×2＝4该茅草屋顶面积2×12＋2×4＝32选B
答案 B
根三视图求空间体表面积体积时应原空间体直观图根表面积体积公式求解
变式训练 (2018·山西二模)某体三视图图示图中正方形边长均1该体体积( )
A．π B．π
C．π D．π
解析 三视图知该体半圆柱半圆锥组合成中圆柱底面半径2高4圆锥底面半径高均2体积V＝×4π×4＋××4π×2＝选A
答案 A
微考2：根线面关系求表面积体积
例3 (2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥顶点S母线SASB成角余弦值SA圆锥底面成角45°△SAB面积5该圆锥侧面积________
解析 图示设S底面射影S′连接AS′SS′△SAB面积·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5SA2＝80SA＝4SA圆锥底面成角45°∠SAS′＝45°AS′＝SA·cos45°＝4×＝2圆锥侧面积π×AS′×AS＝π×2×4＝40π
答案 40π
根空间体结构特征助线面关系关定义定理找出体底面特征高必时进行分割补形等求出体表面积体积
变|式|训|练
(2018·天津高考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长1面ABCD外该正方体余面中心分点EFGHM(图)四棱锥M－EFGH体积________
解析 连接AD1CD1B1AB1CACEH分AD1CD1中点EH∥ACEH＝ACFG分B1AB1C中点FG∥ACFG＝ACEH∥FGEH＝FG四边形EHGF行四边形EG＝HFEH＝HG四边形EHGF正方形点M面EHGF距离四棱锥M－EFGH体积×2×＝
答案
考三 球关组合体问题
例4 (2018·江西南昌模拟)三棱锥S－ABC中△ABC边长3等边三角形SA＝SB＝2二面角S－AB－C120°三棱锥外接球表面积________
解析 根题意SA2＋AB2＝SB2SA⊥AB取AB中点DSB中点M连接CDMD∠CDM二面角S－AB－C面角∠MDC＝120°图设三角形ABC外心O1O1CD连接BO1CO1＝＝BO1DO1＝设外接球半径R易知球心M垂直面ABS垂线O1垂直面ABC垂线交点O四边形MDO1O中二面角S－AB－C面角∠MDC＝120°MO⊥MDO1O⊥DO1MD＝O1D＝∠ODO1＝60°OO1＝O1Dtan60°＝连接OBR2＝OB2＝OO＋O1B2＝＋3＝球表面积S＝4πR2＝21π
答案 21π
立体试题中常会遇样类问题：题设条件计算某体外接球表面积体积S球＝4πR2V球＝πR3关键求解外接球半径R常解题策略：①通构造特殊体巧妙分析②通解直角三角形巧妙分析③助直角三角形斜边中点顶点距离相等巧妙分析④助体底面边形外接圆巧妙分析
变|式|训|练
(2018·贵阳监测考试)图正方形网格边长1粗实线表示某体三视图该体顶点球O球面球O表面积( )
A．15π B．16π
C．17π D．18π
解析 根三视图知该体三棱锥记S－ABC该三棱锥放入长方体中图示该三棱锥外接球直径长方体体角线设球O半径R(2R)2＝22＋22＋32＝17R2＝球O表面积4πR2＝17π选C
答案 C
1．(考)(2018·北京高考)某四棱锥三视图图示四棱锥侧面中直角三角形数( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 三视图原直观图体底面直角梯形条侧棱底面垂直四棱锥图示易知BC∥ADBC＝1AD＝AB＝PA＝2AB⊥ADPA⊥面ABCD△PAD△PAB直角三角形PA⊥面ABCDBC⊂面ABCDPA⊥BCBC⊥ABPA∩AB＝ABC⊥面PABPB⊂面PABBC⊥PB△PBC直角三角形容易求PC＝3CD＝PD＝2△PCD直角三角形选C
答案 C
2．(考二)(2018·昆明调研)古采取臼舂米方法脱稻谷外壳获供食米舂米臼石头木头制成臼三视图图示凿部分(成简单组合体)体积( )
A．63π B．72π
C．79π D．99π
解析 三视图凿部分圆柱半球组合体中圆柱高5底面圆半径3半球半径3组合体体积32π×5＋×π×33＝63π选A
答案 A
3．(考三)(2018·南昌调研)已知三棱锥P－ABC顶点球O球面△ABC满足AB＝2∠ACB＝90°PA球O直径PA＝4点P底面ABC距离( )
A． B．2
C． D．2
解析 取AB中点O1连接OO1图△ABC中AB＝2∠ACB＝90°△ABC圆O1AB直径圆O1A＝OO1⊥AO1球O直径PA＝4OA＝2OO1＝＝OO1⊥底面ABC点P面ABC距离2OO1＝2选B
答案 B
4．(考三)(2018·河北五名校联考)图边长1正方形组成网格中画出某面体三视图该面体外接球表面积( )
A．27π B．30π
C．32π D．34π
解析 根三视图知面体三棱锥A－BCD侧面ABC⊥底面BCD△ABC△BCD等腰三角形图示根题意知三棱锥A－BCD外接球球心O位△BCD外心O′垂直底面BCD垂线取BC中点M′连接AM′DM′OO′O′B易知O′DM′O作OM⊥AM′点M连接OAOB根三视图知M′D＝4BD＝CD＝2sin∠BCD＝设△BCD外接圆半径r根正弦定理知2r＝＝5BO′＝r＝M′O′＝设OO′＝x该面体外接球半径RRt△BOO′中R2＝2＋x2Rt△AMO中R2＝2＋(4－x)2R＝该面体外接球表面积S＝4πR2＝34π选D
答案 D
5．(考三)(2018·西安八校联考)已知球直径SC＝4AB该球球面两点∠ASC＝∠BSC＝30°棱锥S－ABC体积( )
A．2 B．
C． D．2
解析 图球直径SCSC＝4∠ASC＝∠BSC＝30°∠SAC＝∠SBC＝90°AC＝BC＝2SA＝SB＝2S△SBC＝×2×2＝2点A面SBC距离时棱锥A－SBCS－ABC体积时面SAC⊥面SBC点A面SBC距离2sin30°＝棱锥S－ABC体积×2×＝2选A
答案 A
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