决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品
专题17二次函数面积问题
考点1二次函数线段值问题
例1（2020·湖北荆门·中考真题）图抛物线x轴正半轴交点Ay轴交点B．
（1）求直线解析式抛物线顶点坐标
（2）图1点P第四象限称轴右侧抛物线动点点P作轴垂足C交点D求值求出时点P坐标
（3）图2抛物线右移抛物线直线抛物线交MN两点点A线段中点求抛物线解析式．
答案（1）直线解析式抛物线顶点坐标（2）时值 （3）．
分析
（1）先根函数关系式求出AB两点坐标设直线解析式利定系数法求出AB解析式二次函数解析式配方顶点式求顶点坐标
（2）点D作轴E．求AB5设点P坐标点D坐标EDx证明相似三角形性质求出含x式子表示PD配方求值求点P坐标
（3）设移抛物线解析式L′解析式直线AB联立关x方程设方程两根点A中点求m值求L′函数解析式．
详解
（1）中
令解
∴．
令∴．
设直线解析式解：
∴直线解析式．
∴抛物线顶点坐标
（2）图点D作轴E．
∵
∴
设点P坐标
点D坐标
∴．
∵
∴
∴
∴
∴．
∴
∵二次函数性质知：
时值．
∴．
（3）设移抛物线解析式
联立
∴
整理：
设方程两根
∴．
A中点∴
∴解：．
∴抛物线解析式．
点睛
题考查二次函数图象性质相似三角形判定性质定系数法求次函数解析式解题关键熟练掌握二次函数图象性质．
变式11（2020·前郭尔罗斯蒙古族治县哈拉毛镇蒙古族中学九年级期中）图二次函数图象交x轴点交y轴点C．点x轴动点轴交直线点M交抛物线点N．
（1）求二次函数表达式
（2）①点P仅线段运动图1．求线段值
②点Px轴运动y轴否存点QMNCQ顶点四边形菱形．存请直接写出满足条件点Q坐标存请说明理．
答案（1）（2）①②存
分析
（1）代入中求出bc值
（2）①点整理化顶点式结
②分MNMC两种情况根菱形性质关m方程求解．
详解
解：（1）代入中
解
∴．
（2）设直线表达式代入．
解方程组
∴．
∵点x轴动点轴．
∴．
∴
．
∵
∴函数值．
∵点P线段运动
∴时值．
②∵点x轴动点轴．
∴．
∴
（i）MNCQ顶点四边形菱形MNMC图
∵C（03）
∴MC
∴
整理
∵
∴
解
∴时CQMN
∴OQ3()
∴Q(0)
m时CQMN
∴OQ3()
∴Q(0)
(ii)图
整理
∵
∴
解
m1时MNCQ2
∴Q（01）
m5时MN10＜0（符合实际舍）
综述点Q坐标
点睛
题考查二次函数综合题解（1）关键定系数法解（2）关键利线段差出二次函数利二次函数性质解（3）关键利菱形性质出关m方程分类讨防遗漏．
变式12图1已知抛物线y﹣x2+mx+m﹣2顶点A点B（3﹣3）．
（1）求顶点A坐标
（2）P抛物线位直线OB方动点求△OPB面积值时点P坐标
（3）图2原抛物线射线OA方进行移新抛物线新抛物线射线OA交CD两点请问：抛物线移程中线段CD长度否定值？请求出定值请说明理．
答案（1）（﹣11）（2）P（）（3）
解析
分析
（1）根定系数法函数解析式根配方法顶点坐标
（2）点P作y轴行线交OB点Q求出直线BP解析式表示出点Q坐标根三角形面积公式列出函数关系式利二次函数值P点坐标
（3）根移规律新抛物线根联立抛物线OA解析式CD点横坐标根勾股定理答案．
详解
解：（1）B（3﹣3）代入y﹣x2+mx+m2：﹣3﹣32+3m+m2
解m2
∴y﹣x2+2x﹣（x+1）2+1
∴顶点A坐标（﹣11）
（2）点P作y轴行线交OB点Q
∵直线OB解析式y﹣x
设P（n﹣n2+2n）Q（n﹣n）
∴PQ﹣n2+2n﹣（﹣n）﹣n2+3n
∴S△OPB（﹣n2+3n）﹣（n﹣）+
n时S△OPB值．
时y﹣n2+2n
∴P（）
（3）∵直线OA解析式yx
∴设新抛物线解析式y﹣（x﹣a）2+a
联立
∴﹣（x﹣a）2+ax
∴x1ax2a﹣1
CD两点间横坐标差1
∴CD．
点睛
题考查定系数法求函数解析式三角形面积公式利二次函数求值勾股定理二次函数次函数交点问题难度适中常见题型
考点2二次函数面积定值问题
例2已知二次函数．
（1）图象点时_________
（2）时函数值yx增减求m取值范围
（3）抛物线顶点A顶点作该抛物线接正三角形（MN两点抛物线）请问：面积m关定值？请求出定值请说明理．
答案（1）4（2）m≥2（3）面积m关定值S△AMN＝
解析
分析
（1）点代入二次函数解析式求出m
（2）求出二次函数称轴x＝m抛物线开口称轴左边yx增减求出m取值范围
（3）抛物线作出正三角形求出正三角形边长然计算三角形面积△AMN面积m关定值．
详解
解：（1）点代入：
解：m4
（2）二次函数称轴：x＝m
∵x≤2时函数值yx增减
∴m≥2
（3）面积m关定值
图：顶点A坐标（m−m2＋4m−8）△AMN抛物线接正三角形MN交称轴点B
∵tan∠AMB＝tan60°＝
∴AB＝BM＝BN
设BM＝BN＝aAB＝a
∴点M坐标（m＋aa−m2＋4m−8）
∵点M抛物线
∴a−m2＋4m−8＝（m＋a）2−2m（m＋a）＋4m−8
整理：
解：a＝a＝0（舍）
∴△AMN边长正三角形
∴AB3S△AMN＝m关
点睛
题二次函数综合题考查二次函数图象性质等边三角形性质特殊角三角函数应中（3）问定难度根点M抛物线求出正三角形边长解题关键．
变式21（2020·湖南九年级模拟）抛物线L：y＝ax2+bx+c（abc常数a≠0）直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b）称直线l该抛物线L具支干关系．时直线l做抛物线L支线抛物线L做直线l干线．
（1）直线y＝x﹣2抛物线y＝ax2+bx+c具支干关系求干线值
（2）抛物线y＝x2+bx+c支线y＝﹣图象交点求反例函数解析式
（3）已知干线y＝ax2+bx+c支线交点P支线行线l′：y＝ax+4a+b交点AB记△ABP面积S试问：值否定值？请求出定值请说明理．
答案（1）﹣（2）y＝﹣y＝﹣（3）定值理见解析．
分析
（1）根支干关系定义求出abc值利配方法确定函数值．
（2）题意a＝11+b2＝2（2c﹣b） ①抛物线y＝x2+bx+c支线y＝x+b消yx2+bx+4c＝0抛物线y＝x2+bx+c支线
图象交点知△＝0b2﹣16c＝0 ②①②解方程组解决问题．
（3） 值定值．妨设a＞0图示y＝ax2+bx+c支线交y轴C直线y＝ax+4a+by轴交点DA（x1y1）B（x2y2）
消yax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0推出x1+x2＝x1x2＝ 推出|x1﹣x2|＝＝
＝ ＝2a（2c﹣b）代入式化简＝4AB∥PCS＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═ •CD•＝ • •4＝8• 解决问题．
详解
解：（1）题意a＝1b＝﹣212+（﹣2）2＝2（2c+2）解c＝
∴抛物线解析式y＝x2﹣2x+
∵y＝x2﹣2x+
＝（x﹣1）2﹣
∵a＝1＞0
∴x＝1时y值值﹣．
（2）题意a＝11+b2＝2（2c﹣b） ①
∴抛物线y＝x2+bx+c支线y＝x+b
消消yx2+bx+4c＝0
∵抛物线y＝x2+bx+c支线图象交点
∴△＝0
∴b2﹣16c＝0 ②
①②b＝﹣2
∴反例函数解析式y＝﹣y＝﹣．
（3）定值．理：
妨设a＞0图示y＝ax2+bx+c支线交y轴C直线y＝ax+4a+by轴交点DA（x1y1）B（x2y2）
ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0
∴x1+x2＝x1x2＝ |x1﹣x2|＝ ＝
a2+b2＝2a（2c﹣b）代入式化简|x1﹣x2|＝4
∵AB∥PC
∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|Bx﹣Ax|＝•|4a|•4＝8•|a|
∴＝8值定值．
点睛
题考查二次函数综合题次函数应反例函数性质元次方程根系数关系等知识解题关键理解题意学会构建方程组解决问题学会分割法求三角形面积．
变式22（2020·山东济南·中考真题）图1抛物线y＝﹣x2＋bx＋c点A（﹣10）点B（30）y轴交点C．x轴动点E（m0）（0m3）点E作直线l⊥x轴交抛物线点M．
（1）求抛物线解析式C点坐标
（2）m＝1时D直线l点第象限△ACD∠DCA底角等腰三角形求点D坐标
（3）图2连接BM延长交y轴点N连接AMOM设△AEM面积S1△MON面积S2S1＝2S2求m值．
答案（1）（2）（3）
分析
（1）定系数法求解
（2）△ACD∠DCA底角等腰三角形分CD＝ADAC＝AD两种情况分求解
（3）S1＝AE×yM2S2＝ON•xM求解．
详解
解：（1）点AB坐标代入抛物线表达式
解
抛物线表达式y＝﹣x2＋2x＋3
x＝0时y＝3点C（03）
（2）m＝1时点E（10）设点D坐标（1a）
点ACD坐标AC＝
理：AD＝CD＝
①CD＝AD时＝解a＝1
②AC＝AD时理a＝（舍负值）
点D坐标（11）（1）
（3）∵E（m0）设点M（m﹣m2＋2m＋3）
设直线BM表达式y＝sx＋t
解：
直线BM表达式y＝﹣x＋
x＝0时y＝点N（0）ON＝
S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3）
2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3）
解m＝﹣2±（舍负值）
检验m＝﹣2方程根
m＝﹣2．
点睛
题考查二次函数综合运涉次函数性质等腰三角形性质面积计算等中（2）注意分类求解避免遗漏．
考点3二次函数面积值问题
例3（2020·四川绵阳·中考真题）图抛物线点A（01）C顶点D直线AC抛物线称轴BD交点B（0）行y轴直线EF抛物线交点E直线AC交点F点F横坐标四边形BDEF行四边形．
（1）求点F坐标抛物线解析式
（2）点P抛物线动点直线AC方△PAB面积时求点P坐标△PAB面积值
（3）抛物线称轴取点Q时抛物线取点RAC边ACQR顶点四边形行四边形求点Q点R坐标．
答案（1）（﹣）y＝﹣x2+2x+1 （2）（） （3）QRQ（﹣10）R（）
分析
（1）定系数法求出直线AB解析式y＝﹣x+1求出F点坐标行四边形性质出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣）求出a值出答案
（2）设P（n﹣n2+2n+1）作PP＇⊥x轴交AC点P＇P＇（n﹣n+1）出PP＇＝﹣n2+n二次函数性质出答案
（3）联立直线AC抛物线解析式求出C（﹣）设Q（m）分两种情况：①AQ角线时②AR角线时分求出点QR坐标．
详解
解：（1）设抛物线解析式y＝ax2+bx+c（a≠0）
∵A（01）B（0）
设直线AB解析式y＝kx+m
∴
解
∴直线AB解析式y＝﹣x+1
∵点F横坐标
∴F点坐标﹣+1＝﹣
∴F点坐标（﹣）
∵点A抛物线
∴c＝1
称轴：x＝﹣
∴b＝﹣2a
∴解析式化：y＝ax2﹣2ax+1
∵四边形DBFE行四边形．
∴BD＝EF
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣）
解a＝﹣1
∴抛物线解析式y＝﹣x2+2x+1
（2）设P（n﹣n2+2n+1）作PP＇⊥x轴交AC点P＇
P＇（n﹣n+1）
∴PP＇＝﹣n2+n
S△ABP＝OB•PP＇＝﹣n＝﹣
∴n＝时△ABP面积时P（）．
（3）∵
∴x＝0x＝
∴C（﹣）
设Q（m）
①AQ角线时
∴R（﹣）
∵R抛物线y＝+4
∴m+＝﹣+4
解m＝﹣
∴QR
②AR角线时
∴R（）
∵R抛物线y＝+4
∴m﹣+4
解m＝﹣10
∴Q（﹣10）R（）．
综述QRQ（﹣10）R（）．
点睛
题二次函数综合题考查定系数法二次函数性质二次函数图象点坐标特征行四边形性质等知识熟练掌握二次函数性质方程思想分类讨思想解题关键．
变式31（2020·重庆中考真题）图面直角坐标系中已知抛物线直线AB相交AB两点中．
（1）求该抛物线函数表达式
（2）点P直线AB方抛物线意点连接PAPB求面积值
（3）该抛物线右移2单位长度抛物线移抛物线原抛物线相交点C点D原抛物线称轴点面直角坐标系中否存点E点BCDE顶点四边形菱形存请直接写出点E坐标存请说明理．
答案（1）（2）面积值（3）存
分析
（1）点AB坐标代入抛物线表达式求解
（2）设求解析式点P作x轴垂线直线AB交点F设点求解
（3）分BC菱形边菱形角线两种情况分求解．
详解
解：（1）∵抛物线
∴
∴
∴
（2）设点代入
∴
点P作x轴垂线直线AB交点F
设点
铅垂定理
∴面积值
（3）（3）抛物线表达式：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5
移抛物线表达式：y＝x2−5
联立述两式解：点C（−1−4）
设点D（−2m）点E（st）点BC坐标分（0−1）（−1−4）
①BC菱形边时
点C右移1单位移3单位B样D（E）右移1单位移3单位E（D）
−2＋1＝sm＋3＝t①−2−1＝sm−3＝t②
点DE方时BE＝BCs2＋（t＋1）2＝12＋32③
点DE方时BD＝BC22＋（m＋1）2＝12＋32④
联立①③解：s＝−1t＝2−4（舍−4）点E（−12）
联立②④解：s＝3t＝4±点E（34＋）（34−）
②BC菱形角线时
中点公式：−1＝s−2−4−1＝m＋t⑤
时BD＝BE22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥
联立⑤⑥解：s＝1t＝−3
点E（1−3）
综点E坐标：（−12）（1−3）．
∴存
点睛
题考查二次函数综合运涉次函数性质菱形性质图形移面积计算等中（3）注意分类求解避免遗漏．
变式32（2020·江苏宿迁·中考真题）二次函数图象x轴交A(20)B(60)两点y轴交点C顶点E．
(1)求二次函数表达式写出点E坐标
(2)图①D该二次函数图象称轴动点BD垂直分线恰点C时求点D坐标
(3)图②P该二次函数图象动点连接OP取OP中点Q连接QCQECE△CEQ面积12时求点P坐标．
答案(1)(41)(2)(43+)(43)(3)(108)(24)
分析
(1)二次函数图象x轴交A(20)B(60)两点AB两点坐标代入计算出a值求出抛物线解析式配方法求出E点坐标
(2)线段垂直分线性质出CBCD设D(4m)勾股定理解方程出答案
(3)设CQ交抛物线称轴点M设P()Q()设直线CQ解析式解求出M()ME面积公式求出n值出答案．
详解
(1)A(20)B(60)代入
解
∴二次函数解析式
∵
∴E(4)
(2)图1图2连接CBCD点C线段BD垂直分线CNCBCD
设D(4m)
时
∴C(03)
∵勾股定理：
解m3±
∴满足条件点D坐标(43+)(43)
(3)图3设CQ交抛物线称轴点M
设P()Q()
设直线CQ解析式
解
直线CQ解析式：
时
∴M()ME
∵S△CQES△CEM+S△QEM
∴
解
时P(108)
时P(24)．
综合满足条件点P坐标(108)(24)．
点睛
题二次函数综合题考查定系数法二次函数图象性质垂直分线性质勾股定理三角形面积熟练掌握二次函数性质方程思想解题关键．
考点4二次函数面积问题
例4（2020·辽宁鞍山·中考真题）矩形中点E射线动点连接点B作点G交直线点F．
（1）矩形正方形时点F直角顶点正方形外部作等腰直角三角形连接．
①图1点E线段线段间数量关系________位置关系_________
②图2点E线段延长线①中结成立？果成立请予证明果成立请说明理
（2）图3点E线段邻边作M中点连接求值．
答案（1）①相等垂直②成立理见解析（2）
分析
（1）①证明△ABE≌△BCFBECFAEBF证明四边形BEHF行四边形结果
②根（1）中样证明方法求证
（2）说明CEGF四点圆出GM值圆M半径值设BEx证明△ABE∽△BCFCF利勾股定理表示出EF求出值GM值．
详解
解：（1）①∵四边形ABCD正方形
∴ABBC∠ABC∠BCD90°∠BAE+∠AEB90°
∵AE⊥BF
∴∠CBF+∠AEB90°
∴∠CBF∠BAEABBC∠ABE∠BCF90°
∴△ABE≌△BCF（AAS）
∴BECFAEBF
∵△FCH等腰直角三角形
∴FCFHBEFH⊥FCCD⊥BC
∴FH∥BC
∴四边形BEHF行四边形
∴BF∥EHBFEH
∴AEEHAE⊥EH
答案：相等垂直
②成立理：
点E线段BC延长线时
理：△ABE≌△BCF（AAS）
∴BECFAEBF
∵△FCH等腰直角三角形
∴FCFHBEFH⊥FCCD⊥BC
∴FH∥BC
∴四边形BEHF行四边形
∴BF∥EHBFEH
∴AEEHAE⊥EH
（2）∵∠EGF∠BCD90°
∴CEGF四点圆
∵四边形BCHF行四边形MBH中点
∴MEF中点
∴M四边形BCHF外接圆圆心
GM值圆M半径值
∵AB3BC2
设BExCE2x
（1）：∠CBF∠BAE
∵∠ABE∠BCF90°
∴△ABE∽△BCF
∴
∴CF
∴EF
设y
x时y取值
∴EF值
GM值．
点睛
题考查全等三角形判定性质相似三角形判定性质行四边形性质二次函数值圆性质难度较找出图形中全等相似三角形解题关键．
变式41（2020·湖北中考真题）已知抛物线点x轴交点B顶点D．
（1）求抛物线解析式写出D点坐标
（2）图1E线段方抛物线点垂足F轴垂足M交点G．时求面积
（3）图2延长线交点Hx轴方抛物线否存点P？存求出点P坐标：存请说明理．
答案（1）（2）（3）存
解析
分析
（1）利定系数法求出a值解析式进顶点D坐标
（2）先求出BC解析式设直线EF解析式设点E坐标联立方程求出点FG坐标根列出关m方程求解然求G坐标利三角形面积公式求解
（3）点A作AN⊥HB先求直线BDAN解析式HN坐标进设点点P作PRx轴点Rx轴作点SRSPR证明根相似三角形应边成例关n方程求点P坐标．
详解
（1）点A（10）C（03）代入中
解
时y4
（2）
令x3
设BC解析式
点代入
解
设直线EF解析式设点E坐标
点E坐标代入中
xm代入
解m2m3
∵点EBC方抛物线点
∴m3舍
∴点
（3）点A作AN⊥HB
∵点
∵点点
设（10）代入b
设点
点P作PR⊥x轴点Rx轴作点SRSPR
点S坐标
中
点睛
题考查二次函数综合涉知识点较运算较复杂第3问解题关键添加适辅助线利数形结合思想列出方程求解．
变式42（2020·山东日·九年级二模）图二次函数y＝ax2+bx+c图象x轴交点A(﹣20)点B(80)y轴交点C(0﹣8)连接ACD抛物线称轴动点连接ADCD△ACD．
（1）求该抛物线函数解析式．
（2）△ACD周长否取值果请求出D点坐标果请说明理．
（3）（2）条件抛物线否存点E△ACE△ACD面积相等果存请求出点坐标果存请说明理．
答案（1）抛物线解析式：y＝x2﹣3x﹣8（2）△ACD周长取值点D(3﹣5)（3）存点E(﹣1﹣4+11)(﹣﹣14+11)
分析
（1）抛物线A(﹣20)点B(80)C(0﹣8)利定系数法求解析式
（2）求△ACD周长＝AD+AC+CDAC定值AD+CD取值时△ACD周长取值点A点B关称轴直线x＝3称连结BC交抛物线称轴D利定系数法求BC解析式x3代入求解点D坐标
（3）△ACE△ACD面积相等两三角形底点E点DAC距离相等先求出AC解析式面积相等DE∥AC利定系数法求DE解析式抛物线联立方程组求解．
详解
解：（1）题意：
解：
∴抛物线解析式：y＝x2﹣3x﹣8
（2）△ACD周长取值
∵点A（﹣20）点B（80）
∴称轴直线x＝3
∵△ACD周长＝AD+AC+CDAC定值
∴AD+CD取值时△ACD周长取值
∵点A点B关称轴直线x＝3称
∴连接BC交称轴直线x＝3点D时AD+CD值
设直线BC解析式：y＝kx﹣8
∴0＝8k﹣8
∴k＝1
∴直线BC解析式：y＝x﹣8
x＝3y＝﹣5
∴点D（3﹣5）
（3）存
∵点A（﹣20）点C（0﹣8）
∴直线AC解析式y＝﹣4x﹣8
图
∵△ACE△ACD面积相等
∴DE∥AC
∴设DE解析式：y＝﹣4x+n
∴﹣5＝﹣4×3+n
∴n＝7
∴DE解析式：y＝﹣4x+7
联立方程组：
解：
∴点E（﹣1﹣4+11）（﹣﹣14+11）．
点睛
题考查抛物线解析式三角形短周长面积相等时抛物线点坐标问题会定系数法求解析式周长短问题转化线段短问题会找称点实现转化利底相高相转化行线问题解题关键．
1．（广东梅州·中考真题）图面直角坐标系中已知抛物线yx2+bx+cABC三点点A坐标（30）点C坐标（03）动点P抛物线．
（1）b _________c _________点B坐标_____________（直接填写结果）
（2）否存点P△ACPAC直角边直角三角形？存求出符合条件点P坐标存说明理
（3）动点P作PE垂直y轴点E交直线AC点D点D作x轴垂线．垂足F连接EF线段EF长度短时求出点P坐标．
答案（1）（10）（2）存P坐标（3）EF短时点P坐标：（）（）
分析
（1）点A点C坐标代入抛物线解析式求bc值然令y0求点B坐标
（2）分点C点A作AC垂线抛物线P1P2两点先求AC解析式然求P1CP2A解析式求P1CP2A抛物线交点坐标
（3）连接OD．先证明四边形OEDF矩形ODEF然根垂线段短求点D坐标点P坐标然抛物线解析式求点P坐标．
详解
解：（1）∵点A点C坐标代入抛物线解析式：
解：b﹣2c﹣3
∴抛物线解析式．
∵令解：
∴点B坐标（﹣10）．
答案﹣2﹣3（﹣10）．
（2）存．理：图示：
①∠ACP190°．（1）知点A坐标（30）．
设AC解析式ykx﹣3．
∵点A坐标代入3k﹣30解k1
∴直线AC解析式yx﹣3
∴直线CP1解析式y﹣x﹣3．
∵y﹣x﹣3联立解（舍）
∴点P1坐标（1﹣4）．
②∠P2AC90°时．设AP2解析式y﹣x+b．
∵x3y0代入：﹣3+b0解b3
∴直线AP2解析式y﹣x+3．
∵y﹣x+3联立解﹣23（舍）
∴点P2坐标（﹣25）．
综述P坐标（1﹣4）（﹣25）．
（3）图2示：连接OD．
题意知四边形OFDE矩形ODEF．根垂线段短OD⊥AC时OD短EF短．
（1）知Rt△AOC中∵OCOA3OD⊥AC
∴DAC中点．
∵DF∥OC
∴DFOC
∴点P坐标
∴解：x
∴EF短时点P坐标：（）（）．
2．（2020·湖北武汉·九年级模）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点D (－)点C (0－1)x轴交AB两点(AB左侧)．
(1) 求抛物线解析式：
(2) P抛物线点连CP交OD点QS△COQ＝S△PDQ求P点横坐标
(3)点M直线BC方抛物线点M直线x轴y轴分交EF抛物线公点． ∠FCM＝∠OEF求点M坐标．
答案（1）y＝x2－3x－1（2）P横坐标（3）点M坐标(－)(2－2)
分析
（1）运定系数法求解
（2）联立方程组求解
（3）根直线EF抛物线公点求出M点横坐标设直线CM解析式y＝－x－1抛物线联立求出结．
详解
(1)∵抛物线顶点D (－)
设抛物线顶点式y＝a(x－)2－
C (0－1)代入a(0－)2－＝－1解a＝．
∴抛物线解析式y＝ (x－)2－．
：y＝x2－3x－1．
(2) 连OPDPCDS△COQ＝S△PDQS△OCD＝S△PDCCD∥OP．
C (0－1)D (－)直线CDy＝－x－1．
直线OP解析式y＝－x．
抛物线解析式联立点P横坐标（舍负值）．
(3) 设直线EFy＝kx＋b抛物线y＝x2－3x－1联立
x2－(k＋3)x－1－b＝0
∵直线EF抛物线公点
∴x1＝x2＝－＝ (k＋3)．
M点横坐标xM＝ (k＋3)．
∵∠FCM＝∠OEFCM⊥EF
设直线CM解析式y＝－x－1抛物线联立：xM＝ (3－)．
： (k＋3)＝ (3－)． 解k＝12．
∴点M坐标(－)(2－2)．
点睛
题考查二次函数综合题二次函数性质定系数法求解析式．
3．（2020·广东九年级模）图抛物线y＝ax2＋2x＋c（a＜0）x轴交点A点B（点A原点左侧点B原点右侧）y轴交点COB＝OC＝3．
（1）求该抛物线函数解析式
（2）连接BC点D直线BC方抛物线点连接ODCDOD交BC点FS△COF∶S△CDF＝3∶2时求点D坐标．
答案（1）y＝﹣x2＋2x＋3（2）(14)(23)
分析
（1）c＝3点B(30)点B坐标代入抛物线表达式：y＝ax2＋2x＋3解：a＝﹣1求解
（2）S△COF∶S△CDF＝3∶2OF∶FD＝3∶2DH∥COCO∶DM＝3∶2DM＝CO＝2DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2求解．
详解
解：（1）∵OB＝OC＝3．
∴c＝3点B(30)
点B坐标代入抛物线表达式：y＝ax2＋2x＋3解：a＝﹣1
抛物线表达式：y＝﹣x2＋2x＋3
（2）图点D作DH⊥x轴点H交AB点M
S△COF∶S△CDF＝3∶2OF∶FD＝3∶2
∵DH∥COCO∶DM＝3∶2DM＝CO＝2
BC坐标：直线BC表达式：y＝﹣x＋3
设点D(x﹣x2＋2x＋3)点M(x﹣x＋3)
DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2
解：x＝12
点D(14)(23)．
点睛
题考查二次函数综合准确计算解题关键．
4．（2020·福建南·九年级二模）已知抛物线y＝﹣（x+5）（x﹣m）（m＞0）x轴交点AB（点A点B左边）y轴交点C．
（1）直接写出点BC坐标（含m式子表示）
（2）抛物线直线y＝x交点EF点EF关原点称求抛物线解析式
（3）点P线段AB点点P作x轴垂线交抛物线点M交直线AC点N线段MN长值时求m取值范围．
答案（1）B（m0）C（0）（2）（3）0＜m≤．
分析
（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m）令x＝0y＝令y＝0x＝﹣5m求解
（2）设点EF坐标分（a）（﹣a）点EF坐标代入二次函数表达式求解
（3）分﹣5≤t≤00＜t≤m两种情况分求解．
详解
解：（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m）令x＝0y＝
令y＝0x＝﹣5m
：B（m0）C（0）
（2）设点EF坐标分（a）（﹣a）
代入
解：（m﹣5）a＝a
∵a≠0
∴m＝6
∴抛物线解析式
（3）题意A（﹣50）C（0）
m＞0设AC两点次函数解析式y＝kx+b
AC代入
解
∴AC两点次函数解析式
设点P（t0）﹣5≤t≤m（m＞0）
∴M（t）N（t）．
①﹣5≤t≤0时
∴MN＝＝
∵
∴该二次函数图象开口
称轴直线
∴时MN长
时MN＝
②0＜t≤m时
∴MN＝＝
∵
∴该二次函数图象开口
称轴直线
∴0＜t≤m时MN长t增增
∴t＝m时MN长时MN＝
∵线段MN长值
∴
整理：
图象：≤m≤
∵m＞0
∴m取值范围0＜m≤．
点睛
题考查二次函数图象性质x轴y轴交点坐标次函数图象性质原点称线段值分类讨法等知识重考点综合性较强掌握相关知识解题关键．
5．（2018·四川眉山·中考真题）图①已知抛物线yax2+bx+c图点A（03)B（10）称轴直线l：x2点A作AC∥x轴交抛物线点C∠AOB分线交线段AC点E点P抛物线动点设横坐标m
（1）求抛物线解析式
（2）动点P直线OE方抛物线连结PEPOm值时四边形AOPE面积求出值
（3）图②F抛物线称轴l点抛物线否存点P△POF成点P直角顶点等腰直角三角形？存直接写出符合条件点P坐标存请说明理
答案（1）yx24x+3（2）m时四边形AOPE面积值（3）P点坐标 ：P1（）P2（）P3（）P4（）
解析
分析：（1）利称性点D坐标利交点式抛物线解析式
（2）设P（mm24m+3）根OE解析式表示点G坐标表示PG长根面积四边形AOPE面积利配方法值
（3）存四种情况：
图3作辅助线构建全等三角形证明△OMP≌△PNF根OMPN列方程点P坐标理图形中点P坐标．
详解：（1）图1设抛物线x轴交点D
称性：D（30）
设抛物线解析式：ya（x1）（x3）
A（03）代入：33a
a1
∴抛物线解析式yx24x+3
（2）图2设P（mm24m+3）
∵OE分∠AOB∠AOB90°
∴∠AOE45°
∴△AOE等腰直角三角形
∴AEOA3
∴E（33）
易OE解析式：yx
P作PG∥y轴交OE点G
∴G（mm）
∴PGm（m24m+3）m2+5m3
∴S四边形AOPES△AOE+S△POE
×3×3+PG•AE
+×3×（m2+5m3）
m2+m
（m）2+
∵＜0
∴m时S值
（3）图3P作MN⊥y轴交y轴M交lN
∵△OPF等腰直角三角形OPPF
易△OMP≌△PNF
∴OMPN
∵P（mm24m+3）
m2+4m32m
解：m
∴P坐标（）（）
图4P作MN⊥x轴NF作FM⊥MNM
理△ONP≌△PMF
∴PNFM
m2+4m3m2
解：x
P坐标（）（）
综述点P坐标：（）（）（）（）．
点睛：题属二次函数综合题考查二次函数综合应相似三角形判定性质解元二次方程方法解第（2）问时需运配方法解第（3）问时需运分类讨思想方程思想解决问题．
6．（2018·湖南怀化·中考真题）图面直角坐标系中抛物线yax2+2x+cx轴交A（﹣10）B（30）两点y轴交点C点D该抛物线顶点．
（1）求抛物线解析式直线AC解析式
（2）请y轴找点M△BDM周长求出点M坐标
（3）试探究：拋物线否存点P点APC顶点AC直角边三角形直角三角形？存请求出符合条件点P坐标存请说明理．
答案（1）抛物线解析式y﹣x2+2x+3直线AC解析式y3x+3（2）点M坐标（03）
（3）符合条件点P坐标（）（﹣）
解析
分析：（1）设交点式ya（x+1）（x3）展开2a2然求出a抛物线解析式确定C（03）然利定系数法求直线AC解析式
（2）利二次函数性质确定D坐标（14）作B点关y轴称点B′连接DB′交y轴M图1B′（30）利两点间线段短判断时MB+MD值时△BDM周长然求出直线DB′解析式点M坐标
（3）点C作AC垂线交抛物线点P图2利两直线垂直次项系数互负倒数设直线PC解析式yx+bC点坐标代入求出b直线PC解析式yx+3解方程组时P点坐标点A作AC垂线交抛物线点P时利样方法求出时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式ya（x+1）（x﹣3）
yax2﹣2ax﹣3a
∴﹣2a2解a﹣1
∴抛物线解析式y﹣x2+2x+3
x0时y﹣x2+2x+33C（03）
设直线AC解析式ypx+q
A（﹣10）C（03）代入解
∴直线AC解析式y3x+3
（2）∵y﹣x2+2x+3﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D坐标（14）
作B点关y轴称点B′连接DB′交y轴M图1B′（﹣30）
∵MBMB′
∴MB+MDMB′+MDDB′时MB+MD值
BD值变
∴时△BDM周长
易直线DB′解析式yx+3
x0时yx+33
∴点M坐标（03）
（3）存．
点C作AC垂线交抛物线点P图2
∵直线AC解析式y3x+3
∴直线PC解析式设y﹣x+b
C（03）代入b3
∴直线PC解析式y﹣x+3
解方程组解时P点坐标（）
点A作AC垂线交抛物线点P直线PC解析式设y﹣x+b
A（﹣10）代入+b0解b﹣
∴直线PC解析式y﹣x﹣
解方程组解时P点坐标（﹣）
综述符合条件点P坐标（）（﹣）
点睛：题考查二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象点坐标特征二次函数性质会利定系数法求函数解析式理解两直线垂直时次项系数关系通解方程组求两函数交点坐标理解坐标图形性质会运两点间线段短解决短路径问题会运分类讨思想解决数学问题．
7．（2020·四川中考真题）图1抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）x轴交点AB．y轴交点C．连接ACBC．已知△ABC面积2．
（1）求抛物线解析式
（2）行x轴直线抛物线左右次交PQ两点．PQx轴作垂线垂足分GH．四边形PGHQ正方形求正方形边长
（3）图2行y轴直线交抛物线点M交x轴点N （20）．点D抛物线AM间动点点DAM重合连接DB交MN点E．连接AD延长交MN点F．点D运动程中3NE+NF否定值？求出定值请说明理．
答案（1）（2）（3）3NE+NF定值4
分析
（1）先抛物线解析式变形AB坐标AB1+34根三角形ABC面积2OC长确定点C坐标根点C坐标利定系数法求出二次函数解析式
（2）设点P坐标mym时﹣x2+x+1m解方程PQ两点坐标GH坐标利正方形性质出关m方程解出结
（3）设点D（n﹣n2+n+1）利定系数法求直线ADBD解析式表示FNOK长直接代入计算结．
详解
（1）图1yax2﹣2ax﹣3aa（x2﹣2x﹣3）a（x﹣3）（x+1）
∴A（﹣10）B（30）
∴AB4
∵△ABC面积2
∴OC1
∴C（01）
C（01）代入yax2﹣2ax﹣3a：﹣3a1
∴a﹣
∴该二次函数解析式y﹣x2+x+1
（2）图2设点P坐标mym时﹣x2+x+1m
解：x11+x21﹣
∴点P坐标（1﹣m）点Q坐标（1+m）
∴点G坐标（1﹣0）点H坐标（1+0）
∵矩形PGHQ正方形
∴PQPG
∴1+﹣（1﹣）m
解：m1﹣6﹣2m2﹣6+2
∴四边形PGHQ正方形时边长6+22﹣6
（3）图3设点D（n﹣n2+n+1）延长BD交y轴K
∵A（﹣10）
设AD解析式：ykx+b
解：
∴AD解析式：y（﹣）x﹣
x2时y﹣n+2﹣n+1﹣n+3
∴F（23﹣n）
∴FN3﹣n
理直线BD解析式：y（﹣）x+n+1
∴K（0n+1）
∴OKn+1
∵N（20）B（30）
∴
∵EN∥OK
∴
∴OK3EN
∴3EN+FNOK+FNn+1+3﹣n4
∴点D运动程中3NE+NF定值4．
点睛
题考查定系数法求二次函数解析式二次函数图象点坐标特征正方形性质定系数法求次函数解析式行线分线段成例定理等知识解题关键：（1）根点坐标利定系数法求出二次函数解析式（2）利正方形性质找出关m方程（3）利ADBD解析式确定FNOK长解决问题．
8．（2020·蒙古中考真题）图面直角坐标系中抛物线坐标原点x轴正半轴交点A该抛物线顶点M直线点Ay轴交点B连接．
（1）求b值点M坐标
（2）直线移点M直线x轴负半轴交点C取点连接求证：：
（3）点E线段动点点F线段动点连接线段延长线线段交点G．时否存点E？存求出点E坐标存请说明理．
答案（1）b3M（33）（2）详见解析（3）点E坐标（）
分析
（1）配方顶点M坐标利求出点A坐标代入求出b值
（2）先求出移直线CM解析式yx点D作DH⊥直线yx直线DH解析式y2x4根求出交点H（12）分求DHDM根sin∠DMH∠DMH45°利外角角关系结
（3）点G作GP⊥x轴点E作EQ⊥x轴先求出AB根∠BAO∠AFE设GF4aAEEF3a证明△AEQ∽△ABO求AQaAFa证△FGP∽△AEQFPaOPPG+a+a6求出aAQx代入中y点E坐标
详解
（1）∵
∴顶点M坐标（33）
令中y0x10x26
∴A（60）
点A坐标代入中3+b0
∴b3
（2）∵移
∴m
∵点M(33)
∴解n
∴移直线CM解析式yx
点D作DH⊥直线yx
∴设直线DH解析式y2x+k点D（20）坐标代入4+k0
∴k4
∴直线DH解析式y2x4
解方程组
∴H（12）
∵D(20)H(12)
∴DH
∵M(33)D（20）
∴DM
∴sin∠DMH
∴∠DMH45°
∵∠ACM+∠DMH∠ADM
∴
（3）存点E
点G作GP⊥x轴点E作EQ⊥x轴
∵A(60)B（03）
∴AB
∵∠BEF∠BAO+∠AFE
∴∠BAO∠AFE
∴AEEF
∵
∴
设GF4aAEEF3a
∵EQ⊥x轴
∴EQ∥OB
∴△AEQ∽△ABO
∴
∴
∴AQa
∴AFa
∵∠AFE∠PFG
∴△FGP∽△AEQ
∴
∴FPa
∴OPPG
∴+a+a6
解a
∴AQ
∴OQ
x代入中y
∴时存点E时点E坐标（）
点睛
题考查抛物线性质定系数法求函数解析式次函数移性质两次函数交点坐标方程组关系相似三角形判定性质等腰三角形性质三角形外角性质定理道抛物线综合题较难
9．（2020·福建厦门中九年级模拟）图面直角坐标系中已知四边形ABCD行四边形点Ay轴B方B(03)点C点D第象限．
（1）点A(01)点D(22)求点C坐标
（2）点C直线y＝05x+3
①CD＝BC点D抛物线y＝x2﹣x+3求点C坐标
②CD＝BC抛物线y＝x2﹣ax+4﹣a点DEy轴交点F点E直线BD求值．
答案（1）D(24)（2）①C(3+)(3﹣)②
分析
（1）点AB坐标知AB＝3﹣1＝2＝CD求解
（2）①作BH⊥CDHD（mm2﹣m+3）CB＝CD＝﹣m2+3mBH＝mCH＝mm≠01+（）2＝（﹣m+3）2求解
②利CD＝CB求出m＝1m＝1﹣a分m＝1m＝1﹣a两种情况分求解．
详解
解：（1）点AB坐标知AB＝3﹣1＝2＝CD
点D（24）
（2）图设C（mm+3）D（mm2﹣m+3）
①作BH⊥CDHD（mm2﹣m+3）
CB＝CD＝﹣m2+3mBH＝mCH＝mm≠0
∴1+（）2＝（﹣m+3）2m＝3±
C（3+）（3﹣）
②∵y＝x+3BH＝m
∴BC＝m． CD＝CB＝m
CD∥y轴
∴D（mm2﹣am+4﹣a）
点BD坐标直线DB解析式：y＝x+3
解方程：x+3＝x2﹣ax+4﹣a
整理：mx2﹣（m2+1﹣a）x+m（1﹣a）＝0[mx﹣（1﹣a）]（x﹣m）＝0
解：x＝mx＝
CD＝m+3﹣（m2﹣am+4﹣a）＝﹣m2+（a+）m﹣1+aCD＝CB
∴m＝﹣m2+（a+）m﹣1+a
整理：m2+（2﹣a）m+1﹣a＝0[m﹣（1﹣a）]（m﹣1）＝0
解：m＝1m＝1﹣a．
（I）m＝1时C（1）D（1）F（04﹣a）xE＝1﹣a
S△DEF＝BF•（xD﹣xE）＝（ a﹣1）[1﹣（1﹣a）]＝（ a2﹣a）
S▱ABCD＝BH•CD＝1×＝
S△DEF﹣S▱ABCD＝（ a2﹣a）﹣＝（ a﹣）2﹣
∵＞0S△DEF﹣S▱ABCD没值
（II） m＝1﹣a时C（1﹣a）D（1﹣a2a+1）
F（04﹣a）xE＝1
S△DEF＝BF•（xD﹣xE）＝（a﹣1）[（1﹣a）﹣1]＝﹣（ a2﹣a）S▱ABCD＝BH•CD＝（1﹣a）•（1﹣a）＝（1﹣a） 2
∴S△DEF﹣S▱ABCD＝﹣（ a2﹣a）﹣（1﹣a） 2＝﹣3a2+a﹣＝﹣3（a﹣）2+≤
∴S△DEF﹣S▱ABCD值．
点睛
题考查二次函数综合熟练掌握二次函数次函数性质行四边形性质解题关键．
10．（2020·河南九年级二模）图①面直角坐标系中块等腰直角三角板ABC直角顶点Ay轴坐标（0－1）顶点B坐标（－20）已知二次函数y＝x2＋bx＋c图象BC两点．现直尺放置直角坐标系中直尺边A＇D＇∥y轴点B直尺x轴正方移A＇D＇y轴重合时运动停止．
（1）求点C坐标二次函数关系式
（2）运动程中直尺边A＇D＇交边BC点M交抛物线点N求线段MN长度值
（3）图②设点P直尺边A＇D＇点连接PAPBPCQBC中点试探究：直尺移程中PQ＝时线段PAPBPC间数量关系．请直接写出结指出相应点P抛物线位置关系．
（说明：点抛物线位置关系分三类例图②中点A抛物线点C抛物线点D＇抛物线外．）
答案（1）C（13）．yx2+x3．（2）．（3）PBPCPA．
详解
试题分析：（1）求C点坐标考虑作xy轴垂线表示横坐标易△CDA≌△AOBC点坐标易知．进抛物线解析式易．
（2）横坐标相两点距离两点坐标作差两点分直线BC抛物线利解析式设横坐标x表示两坐标．作差记关x二次函数利值性质结果易求．
（3）计算易BCQBC中点PQ恰半径作圆P点必圆．时连接PBPCPABC直径BP2+CP2BC2定值PA固定超BC易结BP2+CP2≥PA2题目求考虑三种情况中P抛物线时P点BC重合时PAPBPC求具体值等量关系．
试题解析：（1）图1点C作CD⊥y轴D时△CDA≌△AOB
∵△CDA≌△AOB
∴ADBO2CDAO1
∴ODOA+AD3
∴C（13）．
B（20）C（13）代入抛物线yx2+bx+c
解 bc3
∴抛物线解析式yx2+x3．
（2）设lBC：ykx+b
∵B（20）C（13）
∴
解
∴lBC：y3x6
设M（xM3xM6）N（xNxN2+xN3）
∵xMxN（记x）yM≥yN
∴线段MN长度3x6（x2+x3）（x+）2+（2≤x≤1）
∴x时线段MN长度值．
（3）答：P抛物线外时BP2+CP2≥PA2P抛物线时BP+CPAPP抛物线BP2+CP2≥PA2．
分析：
图2Q点圆心半径作⊙Q
∵OB2OA1
∴ACAB
∴BC
∴BQCQ
∵∠BAC90°
∴点BAC⊙Q．
①P抛物线外
图3圆QBD′交点点P连接PBPCPA延长PC交y轴点D
∵BC直径
∴∠BPC90°
∵BD′y轴行
∴∠ADC90°D点抛物线y轴交点
∴PD∥x轴
易PC1PB3PA2
∴BP+CPAP．
②P抛物线时PB点者C点
∵ACAB
∴AP
∵BP+CPBC
∴BP+CPAP．
③P抛物线两种情况图45
图4PC取BPPT
∵BC直径
∴∠BPC90°
∴△BPT等腰直角三角形
∴∠PBT45°∠1+∠2
∵∠ABC∠3+∠245°
∴∠1∠3
∵∠BAP∠BCP（弧BP）
∴△BPA∽△BTC
∴
∵PCPT+CT
∴PCPT+PAPB+PA
∴PCPBPA
理图5PBPCPA．
考点：二次函数综合题．
11．（2020·湖北武汉·九年级模拟）抛物线轴交点轴交点．
（1）求抛物线解析式
（2）图1直线交抛物线点点作轴点点作交点．求证：轴
（3）图2抛物线两点直线交轴点求面积值．
答案（1）（2）见解析（3）值1．
分析
（1）点代入解析式构建方程组求解
（2）题易设然根面直接坐标系里两条直线行时进行求解
（3）设直线解析式：直线解析式直线解析式题意进然三角形面积表示出利二次函数性质求解．
详解
（1）∵
∴解．
∴抛物线解析式．
（2）时．∴
设∴．
∴∴∵
∴设．
∴．
设直线
∴∴．
∵∴轴．
（3）设直线解析式：
．
∴∴．
设直线解析式理：∴．
设直线解析式
．
∴．
∵∴
∴直线．
值时∴直线点．
∵∴轴
∴值1．
点睛
题考查二次函数次函数综合关键根题意二次函数表达式然利次函数知识点进行求解问题．
12．（2020·广东深圳·九年级模拟）图抛物线轴正半轴交点点作直线轴点抛物线第象限部分动点连接延长交直线点连接延长交轴点点作轴垂足连接．设．
（1）请直接写出点坐标求出值
（2）图1着点运动值否会发生变化？变化请说明理变求出值
（3）连接图2点位处时点直线距离？请求出时点坐标．
答案（1）A点坐标4（2）会发生变化理见解析（3）点坐标
分析
（1）根P点坐标根结果
（2）（1）知：根计算
（3）取中点作轴垂线垂足交直线点矩形连接根题意联立方程计算
详解
解：（1）A点坐标．
∵
∴点坐标
∴．
．
∴．
∴．
∴值4．
（2）值会发生变化理：
（1）知：
．
．
．
∴
∴．
（3）左图取中点作轴垂线垂足交直线点矩形连接．
易
∴．
∴．
（2）知．
∴．
∴点坐标．
直线绕定点旋转．
右图表示位置长点距离．
∵
∴值等．
显然获值条件．
∵时
易时
．
∴时点坐标
∴直线解析式：．
（舍）．
时点坐标．
点睛
题考查二次函数综合准确计算解题关键．
13．（2020·广东九年级模）图抛物线轴交点称轴直线行轴直线抛物线交两点点称轴左侧．
（1）求抛物线直线解析式
（2）点轴直线三角形面积分成两部分求点坐标．
答案（1）（2）
分析
（1）根称轴直线求出b点代入抛物线解析式求出c求出抛物线解析式根抛物线称性抢救车点B坐标利定系数法求出直线解析式
（2）作出直线交点作轴轴交点轴交点进根直线面积分成两部分分两种情况分求出Q横坐标进求出Q坐标直线CQ解析式求出点P坐标．
详解
解：题意：
解：
抛物线解析式
抛物线称轴直线
横坐标横坐标
代入抛物线解析式：
设直线解析式
坐标代入：
直线解析式
（2）作出直线交点作轴轴交点轴交点
点轴直线面积分成两部分
时
代入直线解析式：
时
直线解析式
令
时
代入直线解析式
：
时直线解析式
令
时
综坐标．
点睛
题二次函数综合题综合性强难度．熟练掌握二次函数性质深刻理解坐标系求点坐标方法添加辅助线构造相似解题关键．
14．（2020·湖北九年级模）图．抛物线交轴两点．中点坐标轴交点．
求抛物线函数表达式
图①连接．点抛物线﹐满足．求点坐标
图②点轴方抛物线意点点抛物线称轴轴交点直线分交抛物线称轴点求值．
答案（1）（2）点坐标（3）8
分析
（1）点AC坐标代入抛物线解析式求bc值．
（2）点Px轴方方需分类讨．①点Px轴方延长APHAH＝AB构造等腰△ABH作BH中点G∠PAB＝2∠BAG＝2∠ACO利∠ACO三角函数值求BGBH长进求H坐标求直线AH解析式抛物线解析式联立求出点P坐标．②点Px轴方根称性AP定点H关x轴称点H＇求直线AH＇解析式抛物线解析式联立求出点P坐标．
（3）设点Q横坐标tt表示直线AQBN解析式x＝−1分代入求点MN坐标求DMDN长DM＋DN定值．
详解
解：抛物线点
解
抛物线函数表达式
①点轴方图1
延长点作轴连接作中点连接延长交点点作点
解
中
中点
中
中
设直线解析式
解
直线
解（点）
②点轴方图2
截取
关轴称
设直线解析式
解
直线
解（点）
综述点坐标
定值
抛物线称轴直线
设
设直线解析式
解
直线
时
设直线解析式
解
直线
时
定值．
点睛
题考查求二次函数解析式求次函数解析式解元二次方程二元次方程组等腰三角形性质三角函数应．第（2）题确定点P位置需分类讨（2）（3）计算量较应认真理清线段间关系进行计算．
15．（2020·贵阳清镇北培文学校九年级模拟）面直角坐标系中已知抛物线A（－40）B（0－4）C（20）三点．
（1）求抛物线解析式
（2）点M第三象限抛物线动点点M横坐标m△AMB面积S．求S关m函数关系式求出S值．
（3）点P抛物线动点点Q直线y＝－x动点判断位置够点PQB O顶点四边形行四边形直接写出相应点Q坐标．
答案（1）（2）时值（3）．
分析
（1）先假设出函数解析式利三点法求解函数解析式．
（2）设出M点坐标利S＝S△AOM＋S△OBM−S△AOB进行解答
（3）OB行四边形边时表示出PQ长根行四边形边相等列出方程求解OB角线时图知点AP应该重合．
详解
解：（1）设抛物线函数解析式：
三点代入函数解析式：
解
函数解析式：
（2）∵点横坐标点条抛物线
∴点坐标：
∴
∵
时值：．
答：时值．
（3）设．
边时根行四边形性质知
∴横坐标等横坐标
∵直线解析式．
解．（合题意舍）
图角线时知应该重合．
四边形行四边形横坐标4
代入出．
．
点睛
题考查三点式求抛物线方法抛物线性质值求解方法．
16．（2020·山东烟台·九年级模拟）图抛物线yax2+x+c图象x轴交A（30）B两点y轴交点C（02）连接AC．点Px轴动点．
（1）求抛物线表达式
（2）点P作x轴垂线交线段AC点DEy轴点连接AEBEADBE时求AD+AE值
（3）点Q抛物线动点否存点PACPQ顶点四边形行四边形？存求出点P坐标存说明理．
答案（1）（2）4（3）存点P坐标（50）（0）（0）（10）．
分析
（1）AC两点代入利定系数法求抛物线表达式
（2）ADBEAD+AE转化BE+AE通两点间线段短解
（3）分情况讨AC行四边形角线 AQ角线AP角线三种情况讨．
详解
（1）A（30）C（02）代入yax2+x+c
解
∴抛物线表达式
（2）令解x31
∴点B坐标（10）
ADBE时AD+AEBE+AE
∴AEB三点线时BE+AE值AB长
∴ADBE时AD+AE值AB1(3)4
（3）存．设点P坐标（m0）点Q坐标（n）
①AQ行四边形角线PAQCQC∥x轴图①
∴3m0n
解n20（舍）
∴m5
∴点P坐标（50）
②AP角线ACPQ图②示
mn3
解n1+1
∴m2+2
∴点P坐标（2+0）（20）
③AC行四边形角线时AQPC图③
m（3）0n
解n20（舍）
∴m1
∴点P坐标（10）．
综述点P坐标（50）（2+0）（20）（10）．
点睛
题二次函数综合应题考查定系数法求函数解析式二次函数图象性质行四边形性质熟练掌握二次函数图象性质灵活应行四边形性质解题关键．第(3)问需分类讨防遗漏．
17．（2020·河南九年级二模）图面直角坐标系中坐标原点抛物线交轴两点交轴点．
（1）求值．
（2）点第象限抛物线点连接交轴点设点横坐标线段长求间函数关系式写出变量取值范围．
（3）（2）条件点抛物线动点时否存点？存请直接写出点横坐标存请说明理．
答案（1）值值（2）间函数关系式（3）存满足题意点点横坐标．
分析
（1）题根题意出点B点C坐标点代入二次函数解析式求解．
（2）题首先利函数解析式表示P点坐标继分求解PKAK长度进步正切三角函数作中介求解OD利边长关系求解题．
（3）题首先根已知求解△APQ面积继求解点D坐标直线AP解析式进步分类讨点Q位置求解手段做辅助线利函数表示MQ距离继利割补法表示△APQ面积根限制条件确定终答案．
详解
（1）∵
∴．
点代入抛物线中
解
∴值值．
（2）第问知抛物线解析式．
∵点第－象限抛物线点横坐标
∴．
∵
∴．
点作轴点图示．
时
解．
∴．
∴．
∵
∴．
∴．
∴间函数关系式．
（3）存．
题意易
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
知点横坐标9易直线解析式．
题意知点位置需分两种情况进行讨．
①点直线方抛物线时点作轴行线交点图3示：
设
．
∴．
∴．
中P点横坐标A点横坐标．
∴值72．
∵
∴直线方存满足题意点．
②点直线方抛物线时点作轴行线交点图2示：
设
．
∴．
∴
解．
综述存满足题意点点横坐标．
点睛
题考查二次函数综合难度较高定系数法求解函数解析式需熟练掌握三角函数基概念清楚该知识点通常作边长例关系媒介涉动点问题需分类讨．
18．（2020·山东九年级模）已知抛物线y＝x2 +bx+c交y轴点C（02）点Q（22）直线y＝x+4分交x轴y轴点BA．
（1）直接填写抛物线解析式________
（2）图1点P抛物线动点（点C重合）PO交抛物线MPC交ABN连MN
求证：MN∥y轴
（3）图2点A直线交抛物线DEQDQE分交y轴GH求证：CG •CH定值
答案（1）（2）见详解（3）见详解．
分析
（1）点CD代入y＝x2 +bx+c求解
（2）分设PMPC解析式PMPC抛物线交点分：MN分求出MN代数式求解
（3）先设GH坐标列出QGGH解析式出抛物线交点DE横坐标列出直线AE解析式算出抛物线横坐标交点方程运韦达定理求证．
详解
详解：（1）∵y＝x2 +bx+c点C（02）点Q（22）
∴
解：
∴yx2+x+2
（2） 设直线PM解析式：ymx直线PC解析式：ykx+2
x2+（k1）x0
解：
xp
x2+(m1)x20
xp•xm4
∴xm
xNxM
∴MN∥y轴
（3）设G（0m）H（0n）
设直线QG解析式
点代入
直线QG解析式
理求直线QH解析式
解：
理
设直线AE解析式：ykx+4
x2(k1)x+20
xDxE4
（m2）•（n2）4
∴CG•CH（2m）•（2n）4
19．（2020·重庆八中九年级模）图抛物线y＝x2+2x﹣6交x轴AB两点（点A点B左侧）交y轴C点D点该抛物线顶点连接ACADCD．
（1）求△ACD面积
（2）图点P线段AD方抛物线点P作PE∥y轴分交AC点E交AD点FP作PG⊥AD点G求EF+FG值时P点坐标
（3）图称轴左侧抛物线动点My轴动点N否存BN直角边等腰Rt△BMN？存求出点M横坐标存请说明理．
答案（1）24（2）值点P（﹣3﹣）（3）存点M横坐标﹣﹣2﹣2．
分析
（1）先求出抛物线坐标轴交点坐标顶点坐标定系数法求AC解析式进求出点ND坐标根三角形面积公式求出结果
（2）证明EF+FGEP长度求解
（3）分∠BNM直角∠MBN直角利三角形全等求解．
详解
解：（1）令x＝0
∴C（0﹣6）
令y＝0
解
∴A（0）点B（0）
设直线AC解析式：y＝kx+b（k≠0）
∴
∴直线AC解析式：
∵
∴D（）
D作DM⊥x轴点M交AC点N图
令N（）
∴
∴
（2）图点D作x轴行线交FP延长线点H
点AD坐标直线AD表达式：
∴tan∠FDH＝2sin∠FDH＝
∵∠HDF+∠HFD＝90°∠FPG+∠PFG＝90°
∴∠FDH＝∠FPG
Rt△PGF中PF＝＝ ＝FG
EF+FG＝EF+PF＝EP
设点P（x）点E（x）
EF+FG＝EF+PF＝EP＝
∵﹣＜0EP值时x＝﹣＝﹣3值
x＝时
点P（）
（3）存理：
设点M坐标（mn）点N（0s）
①∠MNB直角时图
点N作x轴行线交点By轴行线点H交点My轴行线点G
∵∠MNG+∠BNH＝90°∠MNG+∠GMN＝90°
∴∠GMN＝∠BNH
∵∠NGM＝∠BHN＝90°MN＝BN
∴△NGM≌△BHN（AAS）
∴GN＝BHMG＝NH
联立解：（舍正值）
点M（）
②∠NBM直角时图
点B作y轴行线交点Nx轴行线点G交点Mx轴行线点H
理证：△MHB≌△BGN（AAS）
BH＝NG
时解：（舍正值）
点M（）
综点M横坐标．
点睛
题考查二次函数综合题涉三角形面积求解胡原理求值等腰直角三角形存性问题解题关键需掌握特定题型特定解法熟练运数形结合思想解决问题．
20．（2020·天津中考真题）已知点抛物线（常数）x轴交点．
（1）时求该抛物线顶点坐标
（2）抛物线x轴交点y轴交点C点C作直线l行x轴E直线l动点Fy轴动点．
①点E落抛物线（点C重合）时求点F坐标
②取中点Nm值时值？
答案（1）抛物线顶点坐标（2）①点F坐标②m值时MN值．
分析
（1）根抛物线解析式点A（10）代入求出b值抛物线解析式进步求出抛物线顶点坐标
（2）①首先含m代数式表示出抛物线解析式求出点
点A作点HRt中利勾股定理求出AE值根求出m值进步求出F坐标
②首先含m代数式表示出MC长然分情况讨MN什时候值
详解
解：（1）时抛物线解析式．
∵抛物线点
．解．
抛物线解析式．
抛物线顶点坐标．
（2）①∵抛物线点
．
．
抛物线解析式．
根题意点点．
点A作点H．
点点．
Rt中
．
．解．
时点点．
点Fy轴
Rt中．
点F坐标．
②NEF中点．
根题意点N点C圆心半径圆．
点点．
中．
时满足条件点N落线段MC
MN值解
时满足条件点N落线段CM延长线
MN值解．
m值时MN值．
点睛
题考查定系数法求解析式抛物线点坐标满足抛物线方程等解题关键学会利参数解决问题学会转化思想思考问题属中考常考题型．．
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专题17二次函数面积问题
考点1二次函数线段值问题
例1（2020·湖北荆门·中考真题）图抛物线x轴正半轴交点Ay轴交点B．
（1）求直线解析式抛物线顶点坐标
（2）图1点P第四象限称轴右侧抛物线动点点P作轴垂足C交点D求值求出时点P坐标
（3）图2抛物线右移抛物线直线抛物线交MN两点点A线段中点求抛物线解析式．
答案（1）直线解析式抛物线顶点坐标（2）时值 （3）．
分析
（1）先根函数关系式求出AB两点坐标设直线解析式利定系数法求出AB解析式二次函数解析式配方顶点式求顶点坐标
（2）点D作轴E．求AB5设点P坐标点D坐标EDx证明相似三角形性质求出含x式子表示PD配方求值求点P坐标
（3）设移抛物线解析式L′解析式直线AB联立关x方程设方程两根点A中点求m值求L′函数解析式．
详解
（1）中
令解
∴．
令∴．
设直线解析式解：
∴直线解析式．
∴抛物线顶点坐标
（2）图点D作轴E．
∵
∴
设点P坐标
点D坐标
∴．
∵
∴
∴
∴
∴．
∴
∵二次函数性质知：
时值．
∴．
（3）设移抛物线解析式
联立
∴
整理：
设方程两根
∴．
A中点∴
∴解：．
∴抛物线解析式．
点睛
题考查二次函数图象性质相似三角形判定性质定系数法求次函数解析式解题关键熟练掌握二次函数图象性质．
变式11（2020·前郭尔罗斯蒙古族治县哈拉毛镇蒙古族中学九年级期中）图二次函数图象交x轴点交y轴点C．点x轴动点轴交直线点M交抛物线点N．
（1）求二次函数表达式
（2）①点P仅线段运动图1．求线段值
②点Px轴运动y轴否存点QMNCQ顶点四边形菱形．存请直接写出满足条件点Q坐标存请说明理．
答案（1）（2）①②存
分析
（1）代入中求出bc值
（2）①点整理化顶点式结
②分MNMC两种情况根菱形性质关m方程求解．
详解
解：（1）代入中
解
∴．
（2）设直线表达式代入．
解方程组
∴．
∵点x轴动点轴．
∴．
∴
．
∵
∴函数值．
∵点P线段运动
∴时值．
②∵点x轴动点轴．
∴．
∴
（i）MNCQ顶点四边形菱形MNMC图
∵C（03）
∴MC
∴
整理
∵
∴
解
∴时CQMN
∴OQ3()
∴Q(0)
m时CQMN
∴OQ3()
∴Q(0)
(ii)图
整理
∵
∴
解
m1时MNCQ2
∴Q（01）
m5时MN10＜0（符合实际舍）
综述点Q坐标
点睛
题考查二次函数综合题解（1）关键定系数法解（2）关键利线段差出二次函数利二次函数性质解（3）关键利菱形性质出关m方程分类讨防遗漏．
变式12图1已知抛物线y﹣x2+mx+m﹣2顶点A点B（3﹣3）．
（1）求顶点A坐标
（2）P抛物线位直线OB方动点求△OPB面积值时点P坐标
（3）图2原抛物线射线OA方进行移新抛物线新抛物线射线OA交CD两点请问：抛物线移程中线段CD长度否定值？请求出定值请说明理．
答案（1）（﹣11）（2）P（）（3）
解析
分析
（1）根定系数法函数解析式根配方法顶点坐标
（2）点P作y轴行线交OB点Q求出直线BP解析式表示出点Q坐标根三角形面积公式列出函数关系式利二次函数值P点坐标
（3）根移规律新抛物线根联立抛物线OA解析式CD点横坐标根勾股定理答案．
详解
解：（1）B（3﹣3）代入y﹣x2+mx+m2：﹣3﹣32+3m+m2
解m2
∴y﹣x2+2x﹣（x+1）2+1
∴顶点A坐标（﹣11）
（2）点P作y轴行线交OB点Q
∵直线OB解析式y﹣x
设P（n﹣n2+2n）Q（n﹣n）
∴PQ﹣n2+2n﹣（﹣n）﹣n2+3n
∴S△OPB（﹣n2+3n）﹣（n﹣）+
n时S△OPB值．
时y﹣n2+2n
∴P（）
（3）∵直线OA解析式yx
∴设新抛物线解析式y﹣（x﹣a）2+a
联立
∴﹣（x﹣a）2+ax
∴x1ax2a﹣1
CD两点间横坐标差1
∴CD．
点睛
题考查定系数法求函数解析式三角形面积公式利二次函数求值勾股定理二次函数次函数交点问题难度适中常见题型
考点2二次函数面积定值问题
例2已知二次函数．
（1）图象点时_________
（2）时函数值yx增减求m取值范围
（3）抛物线顶点A顶点作该抛物线接正三角形（MN两点抛物线）请问：面积m关定值？请求出定值请说明理．
答案（1）4（2）m≥2（3）面积m关定值S△AMN＝
解析
分析
（1）点代入二次函数解析式求出m
（2）求出二次函数称轴x＝m抛物线开口称轴左边yx增减求出m取值范围
（3）抛物线作出正三角形求出正三角形边长然计算三角形面积△AMN面积m关定值．
详解
解：（1）点代入：
解：m4
（2）二次函数称轴：x＝m
∵x≤2时函数值yx增减
∴m≥2
（3）面积m关定值
图：顶点A坐标（m−m2＋4m−8）△AMN抛物线接正三角形MN交称轴点B
∵tan∠AMB＝tan60°＝
∴AB＝BM＝BN
设BM＝BN＝aAB＝a
∴点M坐标（m＋aa−m2＋4m−8）
∵点M抛物线
∴a−m2＋4m−8＝（m＋a）2−2m（m＋a）＋4m−8
整理：
解：a＝a＝0（舍）
∴△AMN边长正三角形
∴AB3S△AMN＝m关
点睛
题二次函数综合题考查二次函数图象性质等边三角形性质特殊角三角函数应中（3）问定难度根点M抛物线求出正三角形边长解题关键．
变式21（2020·湖南九年级模拟）抛物线L：y＝ax2+bx+c（abc常数a≠0）直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b）称直线l该抛物线L具支干关系．时直线l做抛物线L支线抛物线L做直线l干线．
（1）直线y＝x﹣2抛物线y＝ax2+bx+c具支干关系求干线值
（2）抛物线y＝x2+bx+c支线y＝﹣图象交点求反例函数解析式
（3）已知干线y＝ax2+bx+c支线交点P支线行线l′：y＝ax+4a+b交点AB记△ABP面积S试问：值否定值？请求出定值请说明理．
答案（1）﹣（2）y＝﹣y＝﹣（3）定值理见解析．
分析
（1）根支干关系定义求出abc值利配方法确定函数值．
（2）题意a＝11+b2＝2（2c﹣b） ①抛物线y＝x2+bx+c支线y＝x+b消yx2+bx+4c＝0抛物线y＝x2+bx+c支线
图象交点知△＝0b2﹣16c＝0 ②①②解方程组解决问题．
（3） 值定值．妨设a＞0图示y＝ax2+bx+c支线交y轴C直线y＝ax+4a+by轴交点DA（x1y1）B（x2y2）
消yax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0推出x1+x2＝x1x2＝ 推出|x1﹣x2|＝＝
＝ ＝2a（2c﹣b）代入式化简＝4AB∥PCS＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═ •CD•＝ • •4＝8• 解决问题．
详解
解：（1）题意a＝1b＝﹣212+（﹣2）2＝2（2c+2）解c＝
∴抛物线解析式y＝x2﹣2x+
∵y＝x2﹣2x+
＝（x﹣1）2﹣
∵a＝1＞0
∴x＝1时y值值﹣．
（2）题意a＝11+b2＝2（2c﹣b） ①
∴抛物线y＝x2+bx+c支线y＝x+b
消消yx2+bx+4c＝0
∵抛物线y＝x2+bx+c支线图象交点
∴△＝0
∴b2﹣16c＝0 ②
①②b＝﹣2
∴反例函数解析式y＝﹣y＝﹣．
（3）定值．理：
妨设a＞0图示y＝ax2+bx+c支线交y轴C直线y＝ax+4a+by轴交点DA（x1y1）B（x2y2）
ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0
∴x1+x2＝x1x2＝ |x1﹣x2|＝ ＝
a2+b2＝2a（2c﹣b）代入式化简|x1﹣x2|＝4
∵AB∥PC
∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|Bx﹣Ax|＝•|4a|•4＝8•|a|
∴＝8值定值．
点睛
题考查二次函数综合题次函数应反例函数性质元次方程根系数关系等知识解题关键理解题意学会构建方程组解决问题学会分割法求三角形面积．
变式22（2020·山东济南·中考真题）图1抛物线y＝﹣x2＋bx＋c点A（﹣10）点B（30）y轴交点C．x轴动点E（m0）（0m3）点E作直线l⊥x轴交抛物线点M．
（1）求抛物线解析式C点坐标
（2）m＝1时D直线l点第象限△ACD∠DCA底角等腰三角形求点D坐标
（3）图2连接BM延长交y轴点N连接AMOM设△AEM面积S1△MON面积S2S1＝2S2求m值．
答案（1）（2）（3）
分析
（1）定系数法求解
（2）△ACD∠DCA底角等腰三角形分CD＝ADAC＝AD两种情况分求解
（3）S1＝AE×yM2S2＝ON•xM求解．
详解
解：（1）点AB坐标代入抛物线表达式
解
抛物线表达式y＝﹣x2＋2x＋3
x＝0时y＝3点C（03）
（2）m＝1时点E（10）设点D坐标（1a）
点ACD坐标AC＝
理：AD＝CD＝
①CD＝AD时＝解a＝1
②AC＝AD时理a＝（舍负值）
点D坐标（11）（1）
（3）∵E（m0）设点M（m﹣m2＋2m＋3）
设直线BM表达式y＝sx＋t
解：
直线BM表达式y＝﹣x＋
x＝0时y＝点N（0）ON＝
S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3）
2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3）
解m＝﹣2±（舍负值）
检验m＝﹣2方程根
m＝﹣2．
点睛
题考查二次函数综合运涉次函数性质等腰三角形性质面积计算等中（2）注意分类求解避免遗漏．
考点3二次函数面积值问题
例3（2020·四川绵阳·中考真题）图抛物线点A（01）C顶点D直线AC抛物线称轴BD交点B（0）行y轴直线EF抛物线交点E直线AC交点F点F横坐标四边形BDEF行四边形．
（1）求点F坐标抛物线解析式
（2）点P抛物线动点直线AC方△PAB面积时求点P坐标△PAB面积值
（3）抛物线称轴取点Q时抛物线取点RAC边ACQR顶点四边形行四边形求点Q点R坐标．
答案（1）（﹣）y＝﹣x2+2x+1 （2）（） （3）QRQ（﹣10）R（）
分析
（1）定系数法求出直线AB解析式y＝﹣x+1求出F点坐标行四边形性质出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣）求出a值出答案
（2）设P（n﹣n2+2n+1）作PP＇⊥x轴交AC点P＇P＇（n﹣n+1）出PP＇＝﹣n2+n二次函数性质出答案
（3）联立直线AC抛物线解析式求出C（﹣）设Q（m）分两种情况：①AQ角线时②AR角线时分求出点QR坐标．
详解
解：（1）设抛物线解析式y＝ax2+bx+c（a≠0）
∵A（01）B（0）
设直线AB解析式y＝kx+m
∴
解
∴直线AB解析式y＝﹣x+1
∵点F横坐标
∴F点坐标﹣+1＝﹣
∴F点坐标（﹣）
∵点A抛物线
∴c＝1
称轴：x＝﹣
∴b＝﹣2a
∴解析式化：y＝ax2﹣2ax+1
∵四边形DBFE行四边形．
∴BD＝EF
∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣）
解a＝﹣1
∴抛物线解析式y＝﹣x2+2x+1
（2）设P（n﹣n2+2n+1）作PP＇⊥x轴交AC点P＇
P＇（n﹣n+1）
∴PP＇＝﹣n2+n
S△ABP＝OB•PP＇＝﹣n＝﹣
∴n＝时△ABP面积时P（）．
（3）∵
∴x＝0x＝
∴C（﹣）
设Q（m）
①AQ角线时
∴R（﹣）
∵R抛物线y＝+4
∴m+＝﹣+4
解m＝﹣
∴QR
②AR角线时
∴R（）
∵R抛物线y＝+4
∴m﹣+4
解m＝﹣10
∴Q（﹣10）R（）．
综述QRQ（﹣10）R（）．
点睛
题二次函数综合题考查定系数法二次函数性质二次函数图象点坐标特征行四边形性质等知识熟练掌握二次函数性质方程思想分类讨思想解题关键．
变式31（2020·重庆中考真题）图面直角坐标系中已知抛物线直线AB相交AB两点中．
（1）求该抛物线函数表达式
（2）点P直线AB方抛物线意点连接PAPB求面积值
（3）该抛物线右移2单位长度抛物线移抛物线原抛物线相交点C点D原抛物线称轴点面直角坐标系中否存点E点BCDE顶点四边形菱形存请直接写出点E坐标存请说明理．
答案（1）（2）面积值（3）存
分析
（1）点AB坐标代入抛物线表达式求解
（2）设求解析式点P作x轴垂线直线AB交点F设点求解
（3）分BC菱形边菱形角线两种情况分求解．
详解
解：（1）∵抛物线
∴
∴
∴
（2）设点代入
∴
点P作x轴垂线直线AB交点F
设点
铅垂定理
∴面积值
（3）（3）抛物线表达式：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5
移抛物线表达式：y＝x2−5
联立述两式解：点C（−1−4）
设点D（−2m）点E（st）点BC坐标分（0−1）（−1−4）
①BC菱形边时
点C右移1单位移3单位B样D（E）右移1单位移3单位E（D）
−2＋1＝sm＋3＝t①−2−1＝sm−3＝t②
点DE方时BE＝BCs2＋（t＋1）2＝12＋32③
点DE方时BD＝BC22＋（m＋1）2＝12＋32④
联立①③解：s＝−1t＝2−4（舍−4）点E（−12）
联立②④解：s＝3t＝4±点E（34＋）（34−）
②BC菱形角线时
中点公式：−1＝s−2−4−1＝m＋t⑤
时BD＝BE22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥
联立⑤⑥解：s＝1t＝−3
点E（1−3）
综点E坐标：（−12）（1−3）．
∴存
点睛
题考查二次函数综合运涉次函数性质菱形性质图形移面积计算等中（3）注意分类求解避免遗漏．
变式32（2020·江苏宿迁·中考真题）二次函数图象x轴交A(20)B(60)两点y轴交点C顶点E．
(1)求二次函数表达式写出点E坐标
(2)图①D该二次函数图象称轴动点BD垂直分线恰点C时求点D坐标
(3)图②P该二次函数图象动点连接OP取OP中点Q连接QCQECE△CEQ面积12时求点P坐标．
答案(1)(41)(2)(43+)(43)(3)(108)(24)
分析
(1)二次函数图象x轴交A(20)B(60)两点AB两点坐标代入计算出a值求出抛物线解析式配方法求出E点坐标
(2)线段垂直分线性质出CBCD设D(4m)勾股定理解方程出答案
(3)设CQ交抛物线称轴点M设P()Q()设直线CQ解析式解求出M()ME面积公式求出n值出答案．
详解
(1)A(20)B(60)代入
解
∴二次函数解析式
∵
∴E(4)
(2)图1图2连接CBCD点C线段BD垂直分线CNCBCD
设D(4m)
时
∴C(03)
∵勾股定理：
解m3±
∴满足条件点D坐标(43+)(43)
(3)图3设CQ交抛物线称轴点M
设P()Q()
设直线CQ解析式
解
直线CQ解析式：
时
∴M()ME
∵S△CQES△CEM+S△QEM
∴
解
时P(108)
时P(24)．
综合满足条件点P坐标(108)(24)．
点睛
题二次函数综合题考查定系数法二次函数图象性质垂直分线性质勾股定理三角形面积熟练掌握二次函数性质方程思想解题关键．
考点4二次函数面积问题
例4（2020·辽宁鞍山·中考真题）矩形中点E射线动点连接点B作点G交直线点F．
（1）矩形正方形时点F直角顶点正方形外部作等腰直角三角形连接．
①图1点E线段线段间数量关系________位置关系_________
②图2点E线段延长线①中结成立？果成立请予证明果成立请说明理
（2）图3点E线段邻边作M中点连接求值．
答案（1）①相等垂直②成立理见解析（2）
分析
（1）①证明△ABE≌△BCFBECFAEBF证明四边形BEHF行四边形结果
②根（1）中样证明方法求证
（2）说明CEGF四点圆出GM值圆M半径值设BEx证明△ABE∽△BCFCF利勾股定理表示出EF求出值GM值．
详解
解：（1）①∵四边形ABCD正方形
∴ABBC∠ABC∠BCD90°∠BAE+∠AEB90°
∵AE⊥BF
∴∠CBF+∠AEB90°
∴∠CBF∠BAEABBC∠ABE∠BCF90°
∴△ABE≌△BCF（AAS）
∴BECFAEBF
∵△FCH等腰直角三角形
∴FCFHBEFH⊥FCCD⊥BC
∴FH∥BC
∴四边形BEHF行四边形
∴BF∥EHBFEH
∴AEEHAE⊥EH
答案：相等垂直
②成立理：
点E线段BC延长线时
理：△ABE≌△BCF（AAS）
∴BECFAEBF
∵△FCH等腰直角三角形
∴FCFHBEFH⊥FCCD⊥BC
∴FH∥BC
∴四边形BEHF行四边形
∴BF∥EHBFEH
∴AEEHAE⊥EH
（2）∵∠EGF∠BCD90°
∴CEGF四点圆
∵四边形BCHF行四边形MBH中点
∴MEF中点
∴M四边形BCHF外接圆圆心
GM值圆M半径值
∵AB3BC2
设BExCE2x
（1）：∠CBF∠BAE
∵∠ABE∠BCF90°
∴△ABE∽△BCF
∴
∴CF
∴EF
设y
x时y取值
∴EF值
GM值．
点睛
题考查全等三角形判定性质相似三角形判定性质行四边形性质二次函数值圆性质难度较找出图形中全等相似三角形解题关键．
变式41（2020·湖北中考真题）已知抛物线点x轴交点B顶点D．
（1）求抛物线解析式写出D点坐标
（2）图1E线段方抛物线点垂足F轴垂足M交点G．时求面积
（3）图2延长线交点Hx轴方抛物线否存点P？存求出点P坐标：存请说明理．
答案（1）（2）（3）存
解析
分析
（1）利定系数法求出a值解析式进顶点D坐标
（2）先求出BC解析式设直线EF解析式设点E坐标联立方程求出点FG坐标根列出关m方程求解然求G坐标利三角形面积公式求解
（3）点A作AN⊥HB先求直线BDAN解析式HN坐标进设点点P作PRx轴点Rx轴作点SRSPR证明根相似三角形应边成例关n方程求点P坐标．
详解
（1）点A（10）C（03）代入中
解
时y4
（2）
令x3
设BC解析式
点代入
解
设直线EF解析式设点E坐标
点E坐标代入中
xm代入
解m2m3
∵点EBC方抛物线点
∴m3舍
∴点
（3）点A作AN⊥HB
∵点
∵点点
设（10）代入b
设点
点P作PR⊥x轴点Rx轴作点SRSPR
点S坐标
中
点睛
题考查二次函数综合涉知识点较运算较复杂第3问解题关键添加适辅助线利数形结合思想列出方程求解．
变式42（2020·山东日·九年级二模）图二次函数y＝ax2+bx+c图象x轴交点A(﹣20)点B(80)y轴交点C(0﹣8)连接ACD抛物线称轴动点连接ADCD△ACD．
（1）求该抛物线函数解析式．
（2）△ACD周长否取值果请求出D点坐标果请说明理．
（3）（2）条件抛物线否存点E△ACE△ACD面积相等果存请求出点坐标果存请说明理．
答案（1）抛物线解析式：y＝x2﹣3x﹣8（2）△ACD周长取值点D(3﹣5)（3）存点E(﹣1﹣4+11)(﹣﹣14+11)
分析
（1）抛物线A(﹣20)点B(80)C(0﹣8)利定系数法求解析式
（2）求△ACD周长＝AD+AC+CDAC定值AD+CD取值时△ACD周长取值点A点B关称轴直线x＝3称连结BC交抛物线称轴D利定系数法求BC解析式x3代入求解点D坐标
（3）△ACE△ACD面积相等两三角形底点E点DAC距离相等先求出AC解析式面积相等DE∥AC利定系数法求DE解析式抛物线联立方程组求解．
详解
解：（1）题意：
解：
∴抛物线解析式：y＝x2﹣3x﹣8
（2）△ACD周长取值
∵点A（﹣20）点B（80）
∴称轴直线x＝3
∵△ACD周长＝AD+AC+CDAC定值
∴AD+CD取值时△ACD周长取值
∵点A点B关称轴直线x＝3称
∴连接BC交称轴直线x＝3点D时AD+CD值
设直线BC解析式：y＝kx﹣8
∴0＝8k﹣8
∴k＝1
∴直线BC解析式：y＝x﹣8
x＝3y＝﹣5
∴点D（3﹣5）
（3）存
∵点A（﹣20）点C（0﹣8）
∴直线AC解析式y＝﹣4x﹣8
图
∵△ACE△ACD面积相等
∴DE∥AC
∴设DE解析式：y＝﹣4x+n
∴﹣5＝﹣4×3+n
∴n＝7
∴DE解析式：y＝﹣4x+7
联立方程组：
解：
∴点E（﹣1﹣4+11）（﹣﹣14+11）．
点睛
题考查抛物线解析式三角形短周长面积相等时抛物线点坐标问题会定系数法求解析式周长短问题转化线段短问题会找称点实现转化利底相高相转化行线问题解题关键．
1．（广东梅州·中考真题）图面直角坐标系中已知抛物线yx2+bx+cABC三点点A坐标（30）点C坐标（03）动点P抛物线．
（1）b _________c _________点B坐标_____________（直接填写结果）
（2）否存点P△ACPAC直角边直角三角形？存求出符合条件点P坐标存说明理
（3）动点P作PE垂直y轴点E交直线AC点D点D作x轴垂线．垂足F连接EF线段EF长度短时求出点P坐标．
答案（1）（10）（2）存P坐标（3）EF短时点P坐标：（）（）
分析
（1）点A点C坐标代入抛物线解析式求bc值然令y0求点B坐标
（2）分点C点A作AC垂线抛物线P1P2两点先求AC解析式然求P1CP2A解析式求P1CP2A抛物线交点坐标
（3）连接OD．先证明四边形OEDF矩形ODEF然根垂线段短求点D坐标点P坐标然抛物线解析式求点P坐标．
详解
解：（1）∵点A点C坐标代入抛物线解析式：
解：b﹣2c﹣3
∴抛物线解析式．
∵令解：
∴点B坐标（﹣10）．
答案﹣2﹣3（﹣10）．
（2）存．理：图示：
①∠ACP190°．（1）知点A坐标（30）．
设AC解析式ykx﹣3．
∵点A坐标代入3k﹣30解k1
∴直线AC解析式yx﹣3
∴直线CP1解析式y﹣x﹣3．
∵y﹣x﹣3联立解（舍）
∴点P1坐标（1﹣4）．
②∠P2AC90°时．设AP2解析式y﹣x+b．
∵x3y0代入：﹣3+b0解b3
∴直线AP2解析式y﹣x+3．
∵y﹣x+3联立解﹣23（舍）
∴点P2坐标（﹣25）．
综述P坐标（1﹣4）（﹣25）．
（3）图2示：连接OD．
题意知四边形OFDE矩形ODEF．根垂线段短OD⊥AC时OD短EF短．
（1）知Rt△AOC中∵OCOA3OD⊥AC
∴DAC中点．
∵DF∥OC
∴DFOC
∴点P坐标
∴解：x
∴EF短时点P坐标：（）（）．
2．（2020·湖北武汉·九年级模）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点D (－)点C (0－1)x轴交AB两点(AB左侧)．
(1) 求抛物线解析式：
(2) P抛物线点连CP交OD点QS△COQ＝S△PDQ求P点横坐标
(3)点M直线BC方抛物线点M直线x轴y轴分交EF抛物线公点． ∠FCM＝∠OEF求点M坐标．
答案（1）y＝x2－3x－1（2）P横坐标（3）点M坐标(－)(2－2)
分析
（1）运定系数法求解
（2）联立方程组求解
（3）根直线EF抛物线公点求出M点横坐标设直线CM解析式y＝－x－1抛物线联立求出结．
详解
(1)∵抛物线顶点D (－)
设抛物线顶点式y＝a(x－)2－
C (0－1)代入a(0－)2－＝－1解a＝．
∴抛物线解析式y＝ (x－)2－．
：y＝x2－3x－1．
(2) 连OPDPCDS△COQ＝S△PDQS△OCD＝S△PDCCD∥OP．
C (0－1)D (－)直线CDy＝－x－1．
直线OP解析式y＝－x．
抛物线解析式联立点P横坐标（舍负值）．
(3) 设直线EFy＝kx＋b抛物线y＝x2－3x－1联立
x2－(k＋3)x－1－b＝0
∵直线EF抛物线公点
∴x1＝x2＝－＝ (k＋3)．
M点横坐标xM＝ (k＋3)．
∵∠FCM＝∠OEFCM⊥EF
设直线CM解析式y＝－x－1抛物线联立：xM＝ (3－)．
： (k＋3)＝ (3－)． 解k＝12．
∴点M坐标(－)(2－2)．
点睛
题考查二次函数综合题二次函数性质定系数法求解析式．
3．（2020·广东九年级模）图抛物线y＝ax2＋2x＋c（a＜0）x轴交点A点B（点A原点左侧点B原点右侧）y轴交点COB＝OC＝3．
（1）求该抛物线函数解析式
（2）连接BC点D直线BC方抛物线点连接ODCDOD交BC点FS△COF∶S△CDF＝3∶2时求点D坐标．
答案（1）y＝﹣x2＋2x＋3（2）(14)(23)
分析
（1）c＝3点B(30)点B坐标代入抛物线表达式：y＝ax2＋2x＋3解：a＝﹣1求解
（2）S△COF∶S△CDF＝3∶2OF∶FD＝3∶2DH∥COCO∶DM＝3∶2DM＝CO＝2DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2求解．
详解
解：（1）∵OB＝OC＝3．
∴c＝3点B(30)
点B坐标代入抛物线表达式：y＝ax2＋2x＋3解：a＝﹣1
抛物线表达式：y＝﹣x2＋2x＋3
（2）图点D作DH⊥x轴点H交AB点M
S△COF∶S△CDF＝3∶2OF∶FD＝3∶2
∵DH∥COCO∶DM＝3∶2DM＝CO＝2
BC坐标：直线BC表达式：y＝﹣x＋3
设点D(x﹣x2＋2x＋3)点M(x﹣x＋3)
DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2
解：x＝12
点D(14)(23)．
点睛
题考查二次函数综合准确计算解题关键．
4．（2020·福建南·九年级二模）已知抛物线y＝﹣（x+5）（x﹣m）（m＞0）x轴交点AB（点A点B左边）y轴交点C．
（1）直接写出点BC坐标（含m式子表示）
（2）抛物线直线y＝x交点EF点EF关原点称求抛物线解析式
（3）点P线段AB点点P作x轴垂线交抛物线点M交直线AC点N线段MN长值时求m取值范围．
答案（1）B（m0）C（0）（2）（3）0＜m≤．
分析
（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m）令x＝0y＝令y＝0x＝﹣5m求解
（2）设点EF坐标分（a）（﹣a）点EF坐标代入二次函数表达式求解
（3）分﹣5≤t≤00＜t≤m两种情况分求解．
详解
解：（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m）令x＝0y＝
令y＝0x＝﹣5m
：B（m0）C（0）
（2）设点EF坐标分（a）（﹣a）
代入
解：（m﹣5）a＝a
∵a≠0
∴m＝6
∴抛物线解析式
（3）题意A（﹣50）C（0）
m＞0设AC两点次函数解析式y＝kx+b
AC代入
解
∴AC两点次函数解析式
设点P（t0）﹣5≤t≤m（m＞0）
∴M（t）N（t）．
①﹣5≤t≤0时
∴MN＝＝
∵
∴该二次函数图象开口
称轴直线
∴时MN长
时MN＝
②0＜t≤m时
∴MN＝＝
∵
∴该二次函数图象开口
称轴直线
∴0＜t≤m时MN长t增增
∴t＝m时MN长时MN＝
∵线段MN长值
∴
整理：
图象：≤m≤
∵m＞0
∴m取值范围0＜m≤．
点睛
题考查二次函数图象性质x轴y轴交点坐标次函数图象性质原点称线段值分类讨法等知识重考点综合性较强掌握相关知识解题关键．
5．（2018·四川眉山·中考真题）图①已知抛物线yax2+bx+c图点A（03)B（10）称轴直线l：x2点A作AC∥x轴交抛物线点C∠AOB分线交线段AC点E点P抛物线动点设横坐标m
（1）求抛物线解析式
（2）动点P直线OE方抛物线连结PEPOm值时四边形AOPE面积求出值
（3）图②F抛物线称轴l点抛物线否存点P△POF成点P直角顶点等腰直角三角形？存直接写出符合条件点P坐标存请说明理
答案（1）yx24x+3（2）m时四边形AOPE面积值（3）P点坐标 ：P1（）P2（）P3（）P4（）
解析
分析：（1）利称性点D坐标利交点式抛物线解析式
（2）设P（mm24m+3）根OE解析式表示点G坐标表示PG长根面积四边形AOPE面积利配方法值
（3）存四种情况：
图3作辅助线构建全等三角形证明△OMP≌△PNF根OMPN列方程点P坐标理图形中点P坐标．
详解：（1）图1设抛物线x轴交点D
称性：D（30）
设抛物线解析式：ya（x1）（x3）
A（03）代入：33a
a1
∴抛物线解析式yx24x+3
（2）图2设P（mm24m+3）
∵OE分∠AOB∠AOB90°
∴∠AOE45°
∴△AOE等腰直角三角形
∴AEOA3
∴E（33）
易OE解析式：yx
P作PG∥y轴交OE点G
∴G（mm）
∴PGm（m24m+3）m2+5m3
∴S四边形AOPES△AOE+S△POE
×3×3+PG•AE
+×3×（m2+5m3）
m2+m
（m）2+
∵＜0
∴m时S值
（3）图3P作MN⊥y轴交y轴M交lN
∵△OPF等腰直角三角形OPPF
易△OMP≌△PNF
∴OMPN
∵P（mm24m+3）
m2+4m32m
解：m
∴P坐标（）（）
图4P作MN⊥x轴NF作FM⊥MNM
理△ONP≌△PMF
∴PNFM
m2+4m3m2
解：x
P坐标（）（）
综述点P坐标：（）（）（）（）．
点睛：题属二次函数综合题考查二次函数综合应相似三角形判定性质解元二次方程方法解第（2）问时需运配方法解第（3）问时需运分类讨思想方程思想解决问题．
6．（2018·湖南怀化·中考真题）图面直角坐标系中抛物线yax2+2x+cx轴交A（﹣10）B（30）两点y轴交点C点D该抛物线顶点．
（1）求抛物线解析式直线AC解析式
（2）请y轴找点M△BDM周长求出点M坐标
（3）试探究：拋物线否存点P点APC顶点AC直角边三角形直角三角形？存请求出符合条件点P坐标存请说明理．
答案（1）抛物线解析式y﹣x2+2x+3直线AC解析式y3x+3（2）点M坐标（03）
（3）符合条件点P坐标（）（﹣）
解析
分析：（1）设交点式ya（x+1）（x3）展开2a2然求出a抛物线解析式确定C（03）然利定系数法求直线AC解析式
（2）利二次函数性质确定D坐标（14）作B点关y轴称点B′连接DB′交y轴M图1B′（30）利两点间线段短判断时MB+MD值时△BDM周长然求出直线DB′解析式点M坐标
（3）点C作AC垂线交抛物线点P图2利两直线垂直次项系数互负倒数设直线PC解析式yx+bC点坐标代入求出b直线PC解析式yx+3解方程组时P点坐标点A作AC垂线交抛物线点P时利样方法求出时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式ya（x+1）（x﹣3）
yax2﹣2ax﹣3a
∴﹣2a2解a﹣1
∴抛物线解析式y﹣x2+2x+3
x0时y﹣x2+2x+33C（03）
设直线AC解析式ypx+q
A（﹣10）C（03）代入解
∴直线AC解析式y3x+3
（2）∵y﹣x2+2x+3﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D坐标（14）
作B点关y轴称点B′连接DB′交y轴M图1B′（﹣30）
∵MBMB′
∴MB+MDMB′+MDDB′时MB+MD值
BD值变
∴时△BDM周长
易直线DB′解析式yx+3
x0时yx+33
∴点M坐标（03）
（3）存．
点C作AC垂线交抛物线点P图2
∵直线AC解析式y3x+3
∴直线PC解析式设y﹣x+b
C（03）代入b3
∴直线PC解析式y﹣x+3
解方程组解时P点坐标（）
点A作AC垂线交抛物线点P直线PC解析式设y﹣x+b
A（﹣10）代入+b0解b﹣
∴直线PC解析式y﹣x﹣
解方程组解时P点坐标（﹣）
综述符合条件点P坐标（）（﹣）
点睛：题考查二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象点坐标特征二次函数性质会利定系数法求函数解析式理解两直线垂直时次项系数关系通解方程组求两函数交点坐标理解坐标图形性质会运两点间线段短解决短路径问题会运分类讨思想解决数学问题．
7．（2020·四川中考真题）图1抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）x轴交点AB．y轴交点C．连接ACBC．已知△ABC面积2．
（1）求抛物线解析式
（2）行x轴直线抛物线左右次交PQ两点．PQx轴作垂线垂足分GH．四边形PGHQ正方形求正方形边长
（3）图2行y轴直线交抛物线点M交x轴点N （20）．点D抛物线AM间动点点DAM重合连接DB交MN点E．连接AD延长交MN点F．点D运动程中3NE+NF否定值？求出定值请说明理．
答案（1）（2）（3）3NE+NF定值4
分析
（1）先抛物线解析式变形AB坐标AB1+34根三角形ABC面积2OC长确定点C坐标根点C坐标利定系数法求出二次函数解析式
（2）设点P坐标mym时﹣x2+x+1m解方程PQ两点坐标GH坐标利正方形性质出关m方程解出结
（3）设点D（n﹣n2+n+1）利定系数法求直线ADBD解析式表示FNOK长直接代入计算结．
详解
（1）图1yax2﹣2ax﹣3aa（x2﹣2x﹣3）a（x﹣3）（x+1）
∴A（﹣10）B（30）
∴AB4
∵△ABC面积2
∴OC1
∴C（01）
C（01）代入yax2﹣2ax﹣3a：﹣3a1
∴a﹣
∴该二次函数解析式y﹣x2+x+1
（2）图2设点P坐标mym时﹣x2+x+1m
解：x11+x21﹣
∴点P坐标（1﹣m）点Q坐标（1+m）
∴点G坐标（1﹣0）点H坐标（1+0）
∵矩形PGHQ正方形
∴PQPG
∴1+﹣（1﹣）m
解：m1﹣6﹣2m2﹣6+2
∴四边形PGHQ正方形时边长6+22﹣6
（3）图3设点D（n﹣n2+n+1）延长BD交y轴K
∵A（﹣10）
设AD解析式：ykx+b
解：
∴AD解析式：y（﹣）x﹣
x2时y﹣n+2﹣n+1﹣n+3
∴F（23﹣n）
∴FN3﹣n
理直线BD解析式：y（﹣）x+n+1
∴K（0n+1）
∴OKn+1
∵N（20）B（30）
∴
∵EN∥OK
∴
∴OK3EN
∴3EN+FNOK+FNn+1+3﹣n4
∴点D运动程中3NE+NF定值4．
点睛
题考查定系数法求二次函数解析式二次函数图象点坐标特征正方形性质定系数法求次函数解析式行线分线段成例定理等知识解题关键：（1）根点坐标利定系数法求出二次函数解析式（2）利正方形性质找出关m方程（3）利ADBD解析式确定FNOK长解决问题．
8．（2020·蒙古中考真题）图面直角坐标系中抛物线坐标原点x轴正半轴交点A该抛物线顶点M直线点Ay轴交点B连接．
（1）求b值点M坐标
（2）直线移点M直线x轴负半轴交点C取点连接求证：：
（3）点E线段动点点F线段动点连接线段延长线线段交点G．时否存点E？存求出点E坐标存请说明理．
答案（1）b3M（33）（2）详见解析（3）点E坐标（）
分析
（1）配方顶点M坐标利求出点A坐标代入求出b值
（2）先求出移直线CM解析式yx点D作DH⊥直线yx直线DH解析式y2x4根求出交点H（12）分求DHDM根sin∠DMH∠DMH45°利外角角关系结
（3）点G作GP⊥x轴点E作EQ⊥x轴先求出AB根∠BAO∠AFE设GF4aAEEF3a证明△AEQ∽△ABO求AQaAFa证△FGP∽△AEQFPaOPPG+a+a6求出aAQx代入中y点E坐标
详解
（1）∵
∴顶点M坐标（33）
令中y0x10x26
∴A（60）
点A坐标代入中3+b0
∴b3
（2）∵移
∴m
∵点M(33)
∴解n
∴移直线CM解析式yx
点D作DH⊥直线yx
∴设直线DH解析式y2x+k点D（20）坐标代入4+k0
∴k4
∴直线DH解析式y2x4
解方程组
∴H（12）
∵D(20)H(12)
∴DH
∵M(33)D（20）
∴DM
∴sin∠DMH
∴∠DMH45°
∵∠ACM+∠DMH∠ADM
∴
（3）存点E
点G作GP⊥x轴点E作EQ⊥x轴
∵A(60)B（03）
∴AB
∵∠BEF∠BAO+∠AFE
∴∠BAO∠AFE
∴AEEF
∵
∴
设GF4aAEEF3a
∵EQ⊥x轴
∴EQ∥OB
∴△AEQ∽△ABO
∴
∴
∴AQa
∴AFa
∵∠AFE∠PFG
∴△FGP∽△AEQ
∴
∴FPa
∴OPPG
∴+a+a6
解a
∴AQ
∴OQ
x代入中y
∴时存点E时点E坐标（）
点睛
题考查抛物线性质定系数法求函数解析式次函数移性质两次函数交点坐标方程组关系相似三角形判定性质等腰三角形性质三角形外角性质定理道抛物线综合题较难
9．（2020·福建厦门中九年级模拟）图面直角坐标系中已知四边形ABCD行四边形点Ay轴B方B(03)点C点D第象限．
（1）点A(01)点D(22)求点C坐标
（2）点C直线y＝05x+3
①CD＝BC点D抛物线y＝x2﹣x+3求点C坐标
②CD＝BC抛物线y＝x2﹣ax+4﹣a点DEy轴交点F点E直线BD求值．
答案（1）D(24)（2）①C(3+)(3﹣)②
分析
（1）点AB坐标知AB＝3﹣1＝2＝CD求解
（2）①作BH⊥CDHD（mm2﹣m+3）CB＝CD＝﹣m2+3mBH＝mCH＝mm≠01+（）2＝（﹣m+3）2求解
②利CD＝CB求出m＝1m＝1﹣a分m＝1m＝1﹣a两种情况分求解．
详解
解：（1）点AB坐标知AB＝3﹣1＝2＝CD
点D（24）
（2）图设C（mm+3）D（mm2﹣m+3）
①作BH⊥CDHD（mm2﹣m+3）
CB＝CD＝﹣m2+3mBH＝mCH＝mm≠0
∴1+（）2＝（﹣m+3）2m＝3±
C（3+）（3﹣）
②∵y＝x+3BH＝m
∴BC＝m． CD＝CB＝m
CD∥y轴
∴D（mm2﹣am+4﹣a）
点BD坐标直线DB解析式：y＝x+3
解方程：x+3＝x2﹣ax+4﹣a
整理：mx2﹣（m2+1﹣a）x+m（1﹣a）＝0[mx﹣（1﹣a）]（x﹣m）＝0
解：x＝mx＝
CD＝m+3﹣（m2﹣am+4﹣a）＝﹣m2+（a+）m﹣1+aCD＝CB
∴m＝﹣m2+（a+）m﹣1+a
整理：m2+（2﹣a）m+1﹣a＝0[m﹣（1﹣a）]（m﹣1）＝0
解：m＝1m＝1﹣a．
（I）m＝1时C（1）D（1）F（04﹣a）xE＝1﹣a
S△DEF＝BF•（xD﹣xE）＝（ a﹣1）[1﹣（1﹣a）]＝（ a2﹣a）
S▱ABCD＝BH•CD＝1×＝
S△DEF﹣S▱ABCD＝（ a2﹣a）﹣＝（ a﹣）2﹣
∵＞0S△DEF﹣S▱ABCD没值
（II） m＝1﹣a时C（1﹣a）D（1﹣a2a+1）
F（04﹣a）xE＝1
S△DEF＝BF•（xD﹣xE）＝（a﹣1）[（1﹣a）﹣1]＝﹣（ a2﹣a）S▱ABCD＝BH•CD＝（1﹣a）•（1﹣a）＝（1﹣a） 2
∴S△DEF﹣S▱ABCD＝﹣（ a2﹣a）﹣（1﹣a） 2＝﹣3a2+a﹣＝﹣3（a﹣）2+≤
∴S△DEF﹣S▱ABCD值．
点睛
题考查二次函数综合熟练掌握二次函数次函数性质行四边形性质解题关键．
10．（2020·河南九年级二模）图①面直角坐标系中块等腰直角三角板ABC直角顶点Ay轴坐标（0－1）顶点B坐标（－20）已知二次函数y＝x2＋bx＋c图象BC两点．现直尺放置直角坐标系中直尺边A＇D＇∥y轴点B直尺x轴正方移A＇D＇y轴重合时运动停止．
（1）求点C坐标二次函数关系式
（2）运动程中直尺边A＇D＇交边BC点M交抛物线点N求线段MN长度值
（3）图②设点P直尺边A＇D＇点连接PAPBPCQBC中点试探究：直尺移程中PQ＝时线段PAPBPC间数量关系．请直接写出结指出相应点P抛物线位置关系．
（说明：点抛物线位置关系分三类例图②中点A抛物线点C抛物线点D＇抛物线外．）
答案（1）C（13）．yx2+x3．（2）．（3）PBPCPA．
详解
试题分析：（1）求C点坐标考虑作xy轴垂线表示横坐标易△CDA≌△AOBC点坐标易知．进抛物线解析式易．
（2）横坐标相两点距离两点坐标作差两点分直线BC抛物线利解析式设横坐标x表示两坐标．作差记关x二次函数利值性质结果易求．
（3）计算易BCQBC中点PQ恰半径作圆P点必圆．时连接PBPCPABC直径BP2+CP2BC2定值PA固定超BC易结BP2+CP2≥PA2题目求考虑三种情况中P抛物线时P点BC重合时PAPBPC求具体值等量关系．
试题解析：（1）图1点C作CD⊥y轴D时△CDA≌△AOB
∵△CDA≌△AOB
∴ADBO2CDAO1
∴ODOA+AD3
∴C（13）．
B（20）C（13）代入抛物线yx2+bx+c
解 bc3
∴抛物线解析式yx2+x3．
（2）设lBC：ykx+b
∵B（20）C（13）
∴
解
∴lBC：y3x6
设M（xM3xM6）N（xNxN2+xN3）
∵xMxN（记x）yM≥yN
∴线段MN长度3x6（x2+x3）（x+）2+（2≤x≤1）
∴x时线段MN长度值．
（3）答：P抛物线外时BP2+CP2≥PA2P抛物线时BP+CPAPP抛物线BP2+CP2≥PA2．
分析：
图2Q点圆心半径作⊙Q
∵OB2OA1
∴ACAB
∴BC
∴BQCQ
∵∠BAC90°
∴点BAC⊙Q．
①P抛物线外
图3圆QBD′交点点P连接PBPCPA延长PC交y轴点D
∵BC直径
∴∠BPC90°
∵BD′y轴行
∴∠ADC90°D点抛物线y轴交点
∴PD∥x轴
易PC1PB3PA2
∴BP+CPAP．
②P抛物线时PB点者C点
∵ACAB
∴AP
∵BP+CPBC
∴BP+CPAP．
③P抛物线两种情况图45
图4PC取BPPT
∵BC直径
∴∠BPC90°
∴△BPT等腰直角三角形
∴∠PBT45°∠1+∠2
∵∠ABC∠3+∠245°
∴∠1∠3
∵∠BAP∠BCP（弧BP）
∴△BPA∽△BTC
∴
∵PCPT+CT
∴PCPT+PAPB+PA
∴PCPBPA
理图5PBPCPA．
考点：二次函数综合题．
11．（2020·湖北武汉·九年级模拟）抛物线轴交点轴交点．
（1）求抛物线解析式
（2）图1直线交抛物线点点作轴点点作交点．求证：轴
（3）图2抛物线两点直线交轴点求面积值．
答案（1）（2）见解析（3）值1．
分析
（1）点代入解析式构建方程组求解
（2）题易设然根面直接坐标系里两条直线行时进行求解
（3）设直线解析式：直线解析式直线解析式题意进然三角形面积表示出利二次函数性质求解．
详解
（1）∵
∴解．
∴抛物线解析式．
（2）时．∴
设∴．
∴∴∵
∴设．
∴．
设直线
∴∴．
∵∴轴．
（3）设直线解析式：
．
∴∴．
设直线解析式理：∴．
设直线解析式
．
∴．
∵∴
∴直线．
值时∴直线点．
∵∴轴
∴值1．
点睛
题考查二次函数次函数综合关键根题意二次函数表达式然利次函数知识点进行求解问题．
12．（2020·广东深圳·九年级模拟）图抛物线轴正半轴交点点作直线轴点抛物线第象限部分动点连接延长交直线点连接延长交轴点点作轴垂足连接．设．
（1）请直接写出点坐标求出值
（2）图1着点运动值否会发生变化？变化请说明理变求出值
（3）连接图2点位处时点直线距离？请求出时点坐标．
答案（1）A点坐标4（2）会发生变化理见解析（3）点坐标
分析
（1）根P点坐标根结果
（2）（1）知：根计算
（3）取中点作轴垂线垂足交直线点矩形连接根题意联立方程计算
详解
解：（1）A点坐标．
∵
∴点坐标
∴．
．
∴．
∴．
∴值4．
（2）值会发生变化理：
（1）知：
．
．
．
∴
∴．
（3）左图取中点作轴垂线垂足交直线点矩形连接．
易
∴．
∴．
（2）知．
∴．
∴点坐标．
直线绕定点旋转．
右图表示位置长点距离．
∵
∴值等．
显然获值条件．
∵时
易时
．
∴时点坐标
∴直线解析式：．
（舍）．
时点坐标．
点睛
题考查二次函数综合准确计算解题关键．
13．（2020·广东九年级模）图抛物线轴交点称轴直线行轴直线抛物线交两点点称轴左侧．
（1）求抛物线直线解析式
（2）点轴直线三角形面积分成两部分求点坐标．
答案（1）（2）
分析
（1）根称轴直线求出b点代入抛物线解析式求出c求出抛物线解析式根抛物线称性抢救车点B坐标利定系数法求出直线解析式
（2）作出直线交点作轴轴交点轴交点进根直线面积分成两部分分两种情况分求出Q横坐标进求出Q坐标直线CQ解析式求出点P坐标．
详解
解：题意：
解：
抛物线解析式
抛物线称轴直线
横坐标横坐标
代入抛物线解析式：
设直线解析式
坐标代入：
直线解析式
（2）作出直线交点作轴轴交点轴交点
点轴直线面积分成两部分
时
代入直线解析式：
时
直线解析式
令
时
代入直线解析式
：
时直线解析式
令
时
综坐标．
点睛
题二次函数综合题综合性强难度．熟练掌握二次函数性质深刻理解坐标系求点坐标方法添加辅助线构造相似解题关键．
14．（2020·湖北九年级模）图．抛物线交轴两点．中点坐标轴交点．
求抛物线函数表达式
图①连接．点抛物线﹐满足．求点坐标
图②点轴方抛物线意点点抛物线称轴轴交点直线分交抛物线称轴点求值．
答案（1）（2）点坐标（3）8
分析
（1）点AC坐标代入抛物线解析式求bc值．
（2）点Px轴方方需分类讨．①点Px轴方延长APHAH＝AB构造等腰△ABH作BH中点G∠PAB＝2∠BAG＝2∠ACO利∠ACO三角函数值求BGBH长进求H坐标求直线AH解析式抛物线解析式联立求出点P坐标．②点Px轴方根称性AP定点H关x轴称点H＇求直线AH＇解析式抛物线解析式联立求出点P坐标．
（3）设点Q横坐标tt表示直线AQBN解析式x＝−1分代入求点MN坐标求DMDN长DM＋DN定值．
详解
解：抛物线点
解
抛物线函数表达式
①点轴方图1
延长点作轴连接作中点连接延长交点点作点
解
中
中点
中
中
设直线解析式
解
直线
解（点）
②点轴方图2
截取
关轴称
设直线解析式
解
直线
解（点）
综述点坐标
定值
抛物线称轴直线
设
设直线解析式
解
直线
时
设直线解析式
解
直线
时
定值．
点睛
题考查求二次函数解析式求次函数解析式解元二次方程二元次方程组等腰三角形性质三角函数应．第（2）题确定点P位置需分类讨（2）（3）计算量较应认真理清线段间关系进行计算．
15．（2020·贵阳清镇北培文学校九年级模拟）面直角坐标系中已知抛物线A（－40）B（0－4）C（20）三点．
（1）求抛物线解析式
（2）点M第三象限抛物线动点点M横坐标m△AMB面积S．求S关m函数关系式求出S值．
（3）点P抛物线动点点Q直线y＝－x动点判断位置够点PQB O顶点四边形行四边形直接写出相应点Q坐标．
答案（1）（2）时值（3）．
分析
（1）先假设出函数解析式利三点法求解函数解析式．
（2）设出M点坐标利S＝S△AOM＋S△OBM−S△AOB进行解答
（3）OB行四边形边时表示出PQ长根行四边形边相等列出方程求解OB角线时图知点AP应该重合．
详解
解：（1）设抛物线函数解析式：
三点代入函数解析式：
解
函数解析式：
（2）∵点横坐标点条抛物线
∴点坐标：
∴
∵
时值：．
答：时值．
（3）设．
边时根行四边形性质知
∴横坐标等横坐标
∵直线解析式．
解．（合题意舍）
图角线时知应该重合．
四边形行四边形横坐标4
代入出．
．
点睛
题考查三点式求抛物线方法抛物线性质值求解方法．
16．（2020·山东烟台·九年级模拟）图抛物线yax2+x+c图象x轴交A（30）B两点y轴交点C（02）连接AC．点Px轴动点．
（1）求抛物线表达式
（2）点P作x轴垂线交线段AC点DEy轴点连接AEBEADBE时求AD+AE值
（3）点Q抛物线动点否存点PACPQ顶点四边形行四边形？存求出点P坐标存说明理．
答案（1）（2）4（3）存点P坐标（50）（0）（0）（10）．
分析
（1）AC两点代入利定系数法求抛物线表达式
（2）ADBEAD+AE转化BE+AE通两点间线段短解
（3）分情况讨AC行四边形角线 AQ角线AP角线三种情况讨．
详解
（1）A（30）C（02）代入yax2+x+c
解
∴抛物线表达式
（2）令解x31
∴点B坐标（10）
ADBE时AD+AEBE+AE
∴AEB三点线时BE+AE值AB长
∴ADBE时AD+AE值AB1(3)4
（3）存．设点P坐标（m0）点Q坐标（n）
①AQ行四边形角线PAQCQC∥x轴图①
∴3m0n
解n20（舍）
∴m5
∴点P坐标（50）
②AP角线ACPQ图②示
mn3
解n1+1
∴m2+2
∴点P坐标（2+0）（20）
③AC行四边形角线时AQPC图③
m（3）0n
解n20（舍）
∴m1
∴点P坐标（10）．
综述点P坐标（50）（2+0）（20）（10）．
点睛
题二次函数综合应题考查定系数法求函数解析式二次函数图象性质行四边形性质熟练掌握二次函数图象性质灵活应行四边形性质解题关键．第(3)问需分类讨防遗漏．
17．（2020·河南九年级二模）图面直角坐标系中坐标原点抛物线交轴两点交轴点．
（1）求值．
（2）点第象限抛物线点连接交轴点设点横坐标线段长求间函数关系式写出变量取值范围．
（3）（2）条件点抛物线动点时否存点？存请直接写出点横坐标存请说明理．
答案（1）值值（2）间函数关系式（3）存满足题意点点横坐标．
分析
（1）题根题意出点B点C坐标点代入二次函数解析式求解．
（2）题首先利函数解析式表示P点坐标继分求解PKAK长度进步正切三角函数作中介求解OD利边长关系求解题．
（3）题首先根已知求解△APQ面积继求解点D坐标直线AP解析式进步分类讨点Q位置求解手段做辅助线利函数表示MQ距离继利割补法表示△APQ面积根限制条件确定终答案．
详解
（1）∵
∴．
点代入抛物线中
解
∴值值．
（2）第问知抛物线解析式．
∵点第－象限抛物线点横坐标
∴．
∵
∴．
点作轴点图示．
时
解．
∴．
∴．
∵
∴．
∴．
∴间函数关系式．
（3）存．
题意易
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
知点横坐标9易直线解析式．
题意知点位置需分两种情况进行讨．
①点直线方抛物线时点作轴行线交点图3示：
设
．
∴．
∴．
中P点横坐标A点横坐标．
∴值72．
∵
∴直线方存满足题意点．
②点直线方抛物线时点作轴行线交点图2示：
设
．
∴．
∴
解．
综述存满足题意点点横坐标．
点睛
题考查二次函数综合难度较高定系数法求解函数解析式需熟练掌握三角函数基概念清楚该知识点通常作边长例关系媒介涉动点问题需分类讨．
18．（2020·山东九年级模）已知抛物线y＝x2 +bx+c交y轴点C（02）点Q（22）直线y＝x+4分交x轴y轴点BA．
（1）直接填写抛物线解析式________
（2）图1点P抛物线动点（点C重合）PO交抛物线MPC交ABN连MN
求证：MN∥y轴
（3）图2点A直线交抛物线DEQDQE分交y轴GH求证：CG •CH定值
答案（1）（2）见详解（3）见详解．
分析
（1）点CD代入y＝x2 +bx+c求解
（2）分设PMPC解析式PMPC抛物线交点分：MN分求出MN代数式求解
（3）先设GH坐标列出QGGH解析式出抛物线交点DE横坐标列出直线AE解析式算出抛物线横坐标交点方程运韦达定理求证．
详解
详解：（1）∵y＝x2 +bx+c点C（02）点Q（22）
∴
解：
∴yx2+x+2
（2） 设直线PM解析式：ymx直线PC解析式：ykx+2
x2+（k1）x0
解：
xp
x2+(m1)x20
xp•xm4
∴xm
xNxM
∴MN∥y轴
（3）设G（0m）H（0n）
设直线QG解析式
点代入
直线QG解析式
理求直线QH解析式
解：
理
设直线AE解析式：ykx+4
x2(k1)x+20
xDxE4
（m2）•（n2）4
∴CG•CH（2m）•（2n）4
19．（2020·重庆八中九年级模）图抛物线y＝x2+2x﹣6交x轴AB两点（点A点B左侧）交y轴C点D点该抛物线顶点连接ACADCD．
（1）求△ACD面积
（2）图点P线段AD方抛物线点P作PE∥y轴分交AC点E交AD点FP作PG⊥AD点G求EF+FG值时P点坐标
（3）图称轴左侧抛物线动点My轴动点N否存BN直角边等腰Rt△BMN？存求出点M横坐标存请说明理．
答案（1）24（2）值点P（﹣3﹣）（3）存点M横坐标﹣﹣2﹣2．
分析
（1）先求出抛物线坐标轴交点坐标顶点坐标定系数法求AC解析式进求出点ND坐标根三角形面积公式求出结果
（2）证明EF+FGEP长度求解
（3）分∠BNM直角∠MBN直角利三角形全等求解．
详解
解：（1）令x＝0
∴C（0﹣6）
令y＝0
解
∴A（0）点B（0）
设直线AC解析式：y＝kx+b（k≠0）
∴
∴直线AC解析式：
∵
∴D（）
D作DM⊥x轴点M交AC点N图
令N（）
∴
∴
（2）图点D作x轴行线交FP延长线点H
点AD坐标直线AD表达式：
∴tan∠FDH＝2sin∠FDH＝
∵∠HDF+∠HFD＝90°∠FPG+∠PFG＝90°
∴∠FDH＝∠FPG
Rt△PGF中PF＝＝ ＝FG
EF+FG＝EF+PF＝EP
设点P（x）点E（x）
EF+FG＝EF+PF＝EP＝
∵﹣＜0EP值时x＝﹣＝﹣3值
x＝时
点P（）
（3）存理：
设点M坐标（mn）点N（0s）
①∠MNB直角时图
点N作x轴行线交点By轴行线点H交点My轴行线点G
∵∠MNG+∠BNH＝90°∠MNG+∠GMN＝90°
∴∠GMN＝∠BNH
∵∠NGM＝∠BHN＝90°MN＝BN
∴△NGM≌△BHN（AAS）
∴GN＝BHMG＝NH
联立解：（舍正值）
点M（）
②∠NBM直角时图
点B作y轴行线交点Nx轴行线点G交点Mx轴行线点H
理证：△MHB≌△BGN（AAS）
BH＝NG
时解：（舍正值）
点M（）
综点M横坐标．
点睛
题考查二次函数综合题涉三角形面积求解胡原理求值等腰直角三角形存性问题解题关键需掌握特定题型特定解法熟练运数形结合思想解决问题．
20．（2020·天津中考真题）已知点抛物线（常数）x轴交点．
（1）时求该抛物线顶点坐标
（2）抛物线x轴交点y轴交点C点C作直线l行x轴E直线l动点Fy轴动点．
①点E落抛物线（点C重合）时求点F坐标
②取中点Nm值时值？
答案（1）抛物线顶点坐标（2）①点F坐标②m值时MN值．
分析
（1）根抛物线解析式点A（10）代入求出b值抛物线解析式进步求出抛物线顶点坐标
（2）①首先含m代数式表示出抛物线解析式求出点
点A作点HRt中利勾股定理求出AE值根求出m值进步求出F坐标
②首先含m代数式表示出MC长然分情况讨MN什时候值
详解
解：（1）时抛物线解析式．
∵抛物线点
．解．
抛物线解析式．
抛物线顶点坐标．
（2）①∵抛物线点
．
．
抛物线解析式．
根题意点点．
点A作点H．
点点．
Rt中
．
．解．
时点点．
点Fy轴
Rt中．
点F坐标．
②NEF中点．
根题意点N点C圆心半径圆．
点点．
中．
时满足条件点N落线段MC
MN值解
时满足条件点N落线段CM延长线
MN值解．
m值时MN值．
点睛
题考查定系数法求解析式抛物线点坐标满足抛物线方程等解题关键学会利参数解决问题学会转化思想思考问题属中考常考题型．．
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