概率论与数理统计ppt
- 1. 概率论与数理统计
- 2. 1、随机事件 2、随机事件的概率 3、条件概率 4、事件的独立性 一、 随机事件的概率
- 3. 1）可以在相同的条件下重复进行； 2）每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果； 3）进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现. (1)随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验 1、随机事件
- 4. 一、 随机事件及概率 (2) 样本空间(Space) 将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间，记为 S .样本空间的元素， 即 E 的每个结果，称为样本点.
- 5. 一、 随机事件的概率随机事件: 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件； 基本事件: 有一个样本点组成的单点集； 必然事件: 样本空间 S 本身； 不可能事件: 空集. (3) 随机事件 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现.
- 6. 一、 随机事件的概率(4) 事件间的关系与运算10 包含关系 SAB事件B发生事件A发生
- 7. SAB20 和事件 30 积事件SAB发生A,B中至少有一个发生发生A,B同时发生
- 8. AB 40 差事件AB发生A发生且B不发生
- 9. BA50 互不相容60 对立事件 AA,B不能同时发生A,B有且只有一个发生
- 10. (5) 随机事件的运算规律幂等律:交换律: 结合律:分配律: De Morgan定律:
- 11. 2.随机事件的概 率 1) 频率: 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数.比值 n A / n 称为事件A 发生的频率，并记成 fn(A) . (1) 概率的定义及性质频率具有波动性和稳定性,频率的稳定值称为概率
- 12. 2) 概率的公理化定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 称为事件 A 的概率，要求集合函数 满足 下列条件：
- 13. SAB3) 概率的性质
- 14. SABSA
- 15. 样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同. (2) 等可能概型（古典概型） 1) 定义：我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型.
- 16. 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个 样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则事件A的概率为： A包含的样本点数 P(A)＝k/n＝ S中的样本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具 .2) 计算方法
- 17. 例 1. 甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。 （1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率。 解（1）（2）
- 18. (3)几何概型 几何概型考虑的是有无穷多个等可能结果的随机试验。 首先看下面的例子。 例 2 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的， 且二人互不影响。求二人能会面的概率。
- 19. 解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是 即 点 M 落在图中的阴影部 分。所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果。 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的。0 1 2 3 4 5yx5 4 3 2 1.M(X,Y)
- 20. 二人会面的条件是： 0 1 2 3 4 5yx5 4 3 2 1y-x =1y-x = -1
- 21. 3、条件概率设A、B是某随机试验中的两个事件，且则称事件B在事件A已发生的条件下的概率为B在A之下的条件概率，记为(1) 条件概率
- 22. 例 3 盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别 为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放 回地取两次． 则该试验的所有可能的结果为 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 其中(i,j)表示第一次取i号球，第二次取j号球
- 23. 设A={ 第一次取出球的标号为 2 } B={ 取出的两球标号之和为 4 } 则事件B所含的样本点为 (1,3) (2,2) (3,1) 因此事件B的概率为:若我们考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率并记此概率为:由于已知事件A已经发生，则该试验的所有可能结果为
- 24. (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为 注：由例1可以看出，事件在“条件A已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的．由于故
- 25. 称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。 在例 5 中，我们已求得定义 设A、B是某随机试验中的两个事件，且则
- 26. 例 5 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率． 则 所以解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 } B={ 3个小孩至少有一个男孩 }
- 27. (2) 乘法公式由条件概率的计算公式 我们得这就是两个事件的乘法公式．
- 28. 则有这就是n个事件的乘法公式．
- 29. 例 6 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都未取出黑球的概率． 解：则由乘法公式，我们有
- 30. (本页无文本内容)
- 31. (3）全概率公式和贝叶斯公式SA1A2An…...BA1BA2…...BAn 定义 设 S 为试验 E 的样本空间， 为 E 的一组事件。若满足 (1) (2) 则称 为 样本空间 S 的一个划分。
- 32. 1) 全概率公式：设随机事件满足：
- 33. 全概率公式的使用我们把事件B看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
- 34. 例8 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率． 解：由全概率公式，有
- 35. 2)贝叶斯公式设随机事件满足则
- 36. 贝叶斯公式的使用我们把事件B看作某一过程的结果，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知， 如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式
- 37. 例 9 用某种方法普查肝癌，设： A={ 用此方法判断被检查者患有肝癌 }， D={ 被检查者确实患有肝癌 }， 已知 现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．
- 38. 例 9（续）解： 由已知，得 所以，由Bayes公式，得
- 39. 例11袋中有 a 只黑球，b 只白球．每次从中取出一 球，取后放回．令： A={ 第一次取出白球 }， B={ 第二次取出白球 }， 则4.两事件的独立性
- 40. 所以，由
- 41. 由例 11，可知这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性．事实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变．由此，我们引出事件独立性的概念
- 42. 定义:设 A、B 是两个随机事件，如果 则称 A 与 B 是相互独立的随机事件．事件独立性的性质：1）如果事件A 与 B 相互独立，而且2）必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立．3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则也相互独立.
- 43. 三个事件的独立性设A、B、C是三个随机事件，如果则称A、B、C是相互独立的随机事件．
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