高等数学授课教案
第讲 高等数学学介绍函数
教学目：解新数学认识观掌握基初等函数图性质熟练复合函
数分解
重 难 点：数学新认识基初等函数复合函数
教学程序：数学新认识—>函数概念性质（分段函数）—>基初等函数—>复合函数—>初等函数—>例子（定义域函数分解复合分段函数图）
授课提：
前 言：讲首先高等数学学介绍次中学学函数进行复总结（函数质指变量间相关系数学模型事物普遍联系定量反映高等数学函数作研究象必须函数概念图性质深刻理解）
新教程序言
1什重视数学学
（1）文化基础——数学种文化准确性严格性应广泛性现代社会文明重思维特征促进社会物质文明精神文明重力量
（2）开发脑——数学思维训练体操训练开发脑（左脑）全面作
（3）知识技术——数学知识学然科学社会科学基础生活工作种力技术
（4）智慧开发——数学学目培养思维力种力生提供持续发展动力
2数学新认识
（1）新数学观——数学门特殊科学然科学社会科学提供思想方法推动类进步重力量
（2）新数学教育观——数学教育（学）目：数学精神数学思想方法培养科学文化素质包括发展思维力创新力
（3）新数学素质教育观——数学教育（学）意义：通数学素质培养般素质[见教材序言]
二函数概念
1函数定义：变量间种应关系（单值应）
（变化观点定义函数）记：（说明表达式含义）
(1)定义域：变量取值集合（D）
(2)值 域：函数值集合
例1求函数定义域？
2函数图：设函数定义域D点集 构成函数图
例：熟悉基初等函数图
3分段函数：变量取值范围函数表达式
例：符号函数狄立克莱函数取整函数等
分段函数定义域：变量取值范围集
例2作函数图？
例3求函数
三基初等函数
熟记：五种基初等函数定义域值域图性质
四复合函数：设yf(u)ug(x)x应uyf(u)意义yf[g(x)]x复合函数u称中间变量
说 明：(1)非意函数构成复合函数
：构成复合函数
(2)复合函数定义域：复合体定义域交集
(3)复合函数分解外进行复合时直接代入消中间变量
例5设
例6指出列函数基初等函数（简单函数）构成？
(1) (2) (3)
五初等函数：基初等函数限次复合四运算成函数表达式表示
说 明：（1）般分段函数初等函数初等函数
（2）初等函数般形成方式：复合运算四运算
思考题：
1 确定函数需基素？ [定义域应法]
2 思考函数种特性意义？ [奇偶性单调性周期性界性]
3意两函数否复合成复合函数？否例子说明？[]
探究题：
图1—5 时间
位旅客住旅馆里图1—5描述次行动请根图形坐标赋予某物理量叙述次行动图1—5标具体数值精确描述位旅客次行动函数解析式表达出？
结：函数质指变量间相关系数学模型事物普遍联系定量反映复合函数反映事物联系复杂性分段函数反映事物联系样性
作 业：P4（A：23）P7（A：23）
课堂练（初等函数）
A组
1求列函数定义域？
(1) (2) (3) (x1) (4)
2判定列函数奇偶性？
(1) (2) (3)
3作列函数图？
(1) (2) (3)
4分解列复合函数？
(1) (2) (3) (4)
B组
1证明函数奇函数
2函数改写分段函数作出函数图？
3设？
4设求？
数学认识实验： 初等函数图认识
1幂函数：（）
2指数数函数：（）
3三角函数反三角函数：（）
4项式函数：（）
5分段函数：（）
第二讲 导数概念（）极限导数
教学目：复极限概念求法理解导数概念掌握定义求导数方法
重 难 点：求极限导数定义定义求导法
教学程序：极限定义求法（例）—>导数引入（速度问题）—>导数概念
—>导数极限—>基初等函数导数（定义法）—>例子（简单）
授课提：
前 言：前面教学中已讨变量间关系(函数)节复函数变化趋势(极限)基础讨函数变化率问题（函数导数）导数高数重点质极限（值极限）现实中极丰富应
理基础——极 限（复）
1极限概念（略讲函数某点极限定义）
2极限四运算法（略）
3求函数极限（类函数极限）
（1）项式
例1：求列极限
(1) (2) (3)
（2）理分式（代入法）
例2：求列极限
(1) (2) (3)
（3）分式时约零子法求极限
例3：求列极限
(1) (2) (3)
（4）分式时分子分母穷适穷分出法求极限
例4：求列极限
(1) (2) (3)
3两重极限
（1） （2）
说明：中形式时
例5：求列极限
(1) (2) (3) (4)
二导数定义（复增量概念）
引例1速度问题（落体运动）
引例2切线问题（曲线）
两事例具体含义相抽象数量关系求函数y关变量x某点处变化率计算函数增量变量增量值极限种特殊极限函数导数
解决问题思路：
1 变量x作微变化Dx求出函数变量段均变化率作点处变化率似值
2 求Dx®0极限存极限点处变化率精确值
定 义：设函数点附定义点取增量时相应函数取增量时值极限存称极限值处导数微商记
说明：(1)值函数均变化率处变化率反映函数点变量变化快慢程度
(2)存（包括）称点导
(3)（ab)点导称函数（ab）导记称
导函数简称导数
(4)f¢(x)x函数f¢(x0)数值f(x)点处导数f¢(x0)导函数f¢(x)点x0处函数值
三导数极限关系
导数种特殊（值）极限导数à极限反成立
四基初等函数导数（定义）
定义知求函数导数步骤：（三步骤）
（1）求增量（2）求值（3）求极限
例6定义求函数导数？
例7定义求函数导数？（推导）
思考题：
1 否存什？[0]
2曲线 处切线斜率等 3 求点坐标
3 已知利导数定义求极限[0]
探究题：求变速直线运动物体瞬间速度问题解决方法中极限法什体会？ [似转化精确数学方法]
结：导数质微观（局部）研究非均匀量（：速度密度电流电压等）变化率问题处理非均匀量法思想方法：(1)范围匀代匀变代变获似值(2)利极限思想似值转化精确值函数观点导数描述函数局部线性形态导函数表示曲线局部似条直线（切线）着切线斜率研究函数整体性质（导数应中单调性极值等）
作 业：P22（A：13B：34）
课堂练（导数概念）
A组
1求列极限
(1) (2) (3)
（4） （5） （6）
2求极限？ 3求极限：？[]
4已知求a值？ [2]
5导数定义求函数x1处导数？
6设物体运动方程求(1)物体t2秒t3秒间均速度？
(2)求物体t2秒时瞬时速度？
B组
1设？ []
2设函数？ [2]
3证明导数公式：
4药品进入体t时效力求t234时效力E变化率？
5设 A
A左右导数存 B左导数存右导数存
C右导数存左导数存 D存
6 （常数）试判断列命题否正确[全部]
（1）点 处导 （2）点 处连续
（3）
数学认识实验： 两重极限图认识
1极限：
2极限：
3等价穷直观认识：（）
第三讲 导数概念（二）
教学目：熟悉导数基公式理解导数意义会求切线方程
重 难 点：基导数公式导数意义（求切线方程）
教学程序：复导数定义—>基导数公式—>例子（求导数）—>导数意
义—>例子（切线方程）—>导数物理意义（例子）
授课提：
基初等函数导数
例1求导数？（导数定义推导）
公式：
样定义基初等函数导数公式：
二导数运算法（uv导函数）
1代数：
2数 ：
例2求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
例3求函数定点导数值？
(1) (2)
三导数意义（作图说明）
结：表示曲线yf(x)点（x0f(x0)）切线斜率
例4求曲线点(10)处切线方程？
例5设f(x)导函数求曲线yf(x)点（1f(1)）处切线斜率？ [导数定义意义]
四导数物理意义
结：设物体运动方程表示物体时刻t瞬间速度
例6设物体运动方程求物体时刻t1时速度？
例7求曲线点该点切线行直线
[]
例8设某产品成满足函数关系：(x产量)求x2时边际成说明济意义
思考题： 区？[]
探究题：导数值负值？举例说明[]
结：导数美学意义：局部线性美（）导曲线局部线性化函数局部性质研究函数整体性质工具方法
作 业：P25（A：1）P28（A：13）
课堂练（导数概念二）
A组
1求列函数导数
(1) (2) (3) (4) (5)
2求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
3求函数x1处导数值？
4设
5设物体运动方程求时刻t3时速度？
6 抛物线 处切线轴正夹角求该处切线方程
B组
1球体受力斜面滚动t秒末离开初始位置距离问初速度少？时开始滚动？
2已知曲线相交点（11）证明两曲线该点处相切求出切线方程？
数学认识实验： 导数意义美学价值
P
Q
1导数定义（切线问题）
2导数意义：（）
3导数美学意义：曲线局部线性化
（1）x0处较：曲线切线
（2）x1处较：曲线切线
第四讲 求导公式求导法（）
教学目：掌握基导数公式导数运算法会求简单函数导数
重 难 点：基导数公式法
教学程序：基公式—>运算法—>例子—>二阶导数定义求法
授课提：
基导数公式
导数定义基导数公式：
二导数四运算法
设uv导函数
1 2
3 4
例1求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
例2求函数定点导数值？
(1) (2)
例3设
例4已知曲线切线直线垂直求切线方程？
三二阶导数
1定义：导函数求导数称二阶导数记：
2求法：定义知求二阶导数方法求阶导数方法致
例5求列二阶导数
(1) (2) (3) (4)
3二阶导数物理意义
设物体运动规律：表示物体时刻t加速度
例6设物体运动方程：求t2时速度加速度？
思考题：
1 思考列命题否成立？
(1)点处导点处定导
答：命题成立
：
0 处均导函数+ 0 处导
(2)点处导点处导+点处定导
答：命题成立
原：+处导处点导知[+]点处导矛盾
探究题：
某产品需求方程总成函数分中销售量价格求边际利润计算时边际利润解释结果济意义[导数济意义]
结：导数物理意义更深层次反映导数质：研究非匀速物体运动变化率指路程时间变化率指速度时间变化率二阶导数意义：反映曲线凹
作 业：P30（A：12）
知识：数学三次危机
第次数学危机：理数产生（单位正方形角线长）
第二次数学危机：微积分产生完善（极限穷定义）
第三次数学危机：集合产生（罗素悖）
课堂练（导数公式法）
A组
1求列导数
(1) (2) (3) (4)
2曲线处水切线？ [x23]
3已知曲线切线直线垂直求切线方程？[e]
4求列二阶导数
(1) (2) (3)
B组
1设曲线点(11)处切线x轴交点(xn0)求极限？
2？ [1]
3设求？ [2]
4已知二阶连续导求？ []
5设某种汽车刹车运动规律假设汽车作直线运动求汽车秒时速度加速度
数学认识实验： 函数导函数图较（）
第五讲 求导法（二）连续导数
教学目：解函数连续性概念理解连续导数关系
重 难 点：基导数公式连续直观连续导关系
教学程序：复基导数公式法—>连续概念（极限定义）—>连续条件
—>初等函数连续性—>导连续（例）—>连续函数极限（例子）
授课提：
复基导数公式法
举 例：（略）
二连续概念（作图直观理解）
1定 义：设函数x0点附定义时
称f(x)x0点连续
说明：连续种特殊极限连续à极限反成立
例1试证x0处连续？
三函数连续条件
（１）f(x)x0点附定义
（２）f(x)x0点极限存
（３）极限值等函数值
例2讨函数x0处连续性？
四初等函数连续性
初等函数定义区间连续图条连绵断曲线
五导连续
1导连续图象特征
（1）连续函数图条连绵断曲线（作图示例）
（2）导函数图仅连绵断曲线具滑性（尖点折点）
2导连续关系
定理：函数f(x)x0点导f(x)点x0连续反结成立
例3试证函数x0点连续导
例4试证函数x0点连续导切线存
3极限连续导间关系
x
y
O
y|x|
导à连续à极限反定成立x0处
1
x
y
O
y
1
1
1
·
·
六连续函数极限
f(x)x0点连续
例5求列极限
（1） (2) （3） (4)
例6讨x0处连续性？
思考题：
1．果处连续问||处否连续？ [连续]
2． 果处导问||处否导？ [定]
3．求函数间断点判断类型
探究题：作图说明函数导点类型[连续点尖点折点]
结：连续函数美学意义：谐奇异美连续体现然谐社会发展生生息间断表现规众体现然界丰富彩社会发展中跳跃性
作 业：P34（A：12）复题（25）
课堂练（求导公式法二）
A组
1求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
2求函数x1处导数值？
3求曲线点（10）处切线方程？ []
4试定义f(0)值函数x0处连续？[]
5设问a值时函数x0处连续？[2]
B组
1作函数图？
2设函数f(x)x2处连续求？ [2]
3设f(x)连续导数？ [12]
4设问ab值时函数f(x)处处连续导？
5x1函数（ B ）
（A）连续点 （B）间断点 （C）跳跃间断点 （D）穷间断点
*6f(x)[0a]连续f(0)f(a)试证：方程
（0a）少实根
[提示：作新函数[]零点存定理]
数学认识实验： 导点类型
1连续导点（尖折点）（：）
2连续点导点：
第六讲 定积分概念
教学目：解定积分概念理解定积分意义
重 难 点：作面积定积分概念
教学程序：提出问题—>解决问题（思想）—>定积分定义—>定积分意义（例子）—>定积分性质（简单）
授课提：
前 言：然科学工程技术济学许问题中常会遇种面图形面积计算三角形四边形直边形圆面积初等数学方法计算连续围成图形面积会计算面讨连续曲线围成面图形面积计算方法
问题引入
1曲边梯形定义
谓曲边梯形指三条直线段中两条相互行第三条两条相互垂直第四条边条连续曲线围成四边形（图示）
2引 例：求曲线围成面积？(特殊曲边梯形)
（1）分析问题
曲边梯形矩形较差异矩形四边直曲边梯形条边曲
设想：矩形似代曲边梯形减少误差曲边梯形分成许曲边梯形矩形面积似代曲边梯形面积分割越细似值越接准确值通求矩形面积极限求曲边梯形面积
y
（2）解决问题（思路）
yx2
第步：分割
第二步：似代
第三步：求
0
1
x
第四步：取极限
二定积分定义
现实中许实例实际意义解决问题方法样：分割取似求取极限方法求量结式极限称种式极限函数定积分
定 义： （说明定积分中符号称谓）
定积分定义知实例表示成定积分：面积
说 明：定积分特殊式极限常量积函数f(x)积分区间[ab]关积分变量字母表示关
三定积分意义（作 图）
函数f(x)[ab]连续时定积分分成三种形式：
1[ab]定积分表示曲线f(x)直线xaxby0围成曲边梯形面积A
2[ab]定积分表示曲线f(x)直线xaxby0围成曲边梯形面积A相反数
3[ab]f(x)正负定积分表示x轴方图形面积A1方图形面积A2差
结：定积分意义：号面积
例1定积分意义判定列积分正负：
（1） （2）
例2定积分表示曲线yx2+1直线x1x3y0围成图形面积？
四定积分性质（简略）
（1） （2） （3）
（4）积分中值定理：
设函数f(x)ab限积分区间连续ab间少存x（中值） f(x)(b－a)
yf(x)
x
y
O
a
b
x
f(x)
积分中值定理解释：f(x)[ab]连
续非负定理表明[ab]少存点x
[ab]底边曲线yf(x)曲边曲边梯形面积
底高f(x)矩形面积相等图示．角
度f(x)作曲边梯形曲顶均高度函数值
角度f(x)理然应该f(x)[ab]均值．
积分中值定理里解决求连续变化量均值问题．
思考题：
1 定积分定义计算定积分中定常数[矩形面积]
2 表述定积分意义？根定积分意义求列积分值：
（1） （2） （3） （4）
探究题：定积分符号定义结果方法等说明什定积分？
结：定积分质：宏观（整体）研究非均匀量改变量问题处理非均匀量法思想方法：(1)范围变代变获似值(2)利极限思想似值转化精确值中分匀需求整体量求
作 业：P40（A：13）
课堂练（定积分概念）
A组
判定正误：
1定积分表示曲边梯形面积（ F ）
2定积分值积函数f(x)积分区间[ab]积分变量x关F
3 （ T ） 4 （ F ）
二定积分表示面积：
(1)曲线
(2)方程确定圆面积？
三 定积分定义计算定积分中定常数
B组
定积分意义计算：？ []
二定积分意义求直线围成面图
形面积？
三定积分定义求曲线围成面图形
面积？
数学认识实验： 定积分思想直观
1函数[01]围成面积分析：
（1）步长01分割（n10）
（2）步长005分割（n20）
（3）步长001分割（n100）
第七讲 定积分导数
教学目：掌握原函数概念NL公式
重 难 点：作路程定积分微积分基定理
教学程序：复定积分概念（式极限）—>原函数—>NL公式（求路程）
推导—>N—L公式（计算方法）—>定积分计算（简单）
授课提：
前 言：定积分重概念果定义计算计算复杂易必须寻找新计算方法面研究定积分导数关系
原函数概念
定 义：某区间称F(x)f(x)原函数
：已知2x原函数理原函数（说明：原函数唯）
*二变限函数
设函数f(x)[ab]连续称函数变限函数记性质：
(1)
(2)[ab]连续[ab]导
性质(2)原函数定义知p(x)f(x)原函数
定 理（原函数存定理）f(x)[ab]连续原函数定存原函数表示
例1求 ？ 例2求 ？
三N－L公式（直观推导）
设辆汽车作变速直线运动（图）时刻ab求路程？
（1）已知路程函数
（2）已知速度函数定积分
（3）s(t)v(t)关系：s(t)v(t)原函数
般定理：
设函数f(x)区间[ab]连续F(x)f(x)原函数
说 明：(1)N－L公式揭示定积分原函数（定积分）间联系
定积分计算提供效简便方法
(2)定义知求定积分步骤：①求原函数 ②求原函数增量
例3求列定积分：
（1） （2） （3）
例4求曲线直线x0xπy0围成图形面积？
例5求曲线围成面图形面积？
例6设物体速度求时段距离？
思考题：
1
答：变量函数0
2
答：常数
3 ？
答：结果中含0
4 ？
答：变限定积分求导公式知
结：N—L公式意义：矛盾微分积分统起哲学中立统规律具体表现微观宏观辨证统美学价值：宏观统美
作 业：P46（A：1）（B：1）
课堂练（定积分导数）
A组
1计算列定积分：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2求曲线围成图形面积？
3设求k值？ [2]
4设 [两边求导数]
B组
1设求a值？ [3]
2求导数：？ []
3定积分求极限：（）
*4利定积分性质求极限：？（估值定理夹值定理）
*5证明方程(01)唯实根
*6设f(x)[04]连续f(2) 14
数学认识实验： 定积分：直观
第八讲 题课（导数定积分）
教学目：系统化单元容掌握基概念方法
基概念方法：
1极限概念求极限方法
2导数概念导数公式运算法
3导数物理济意义
4定积分概念定积分物理意义（济意义）
5NL公式求定积分
二基题型：
1求列极限
（1） （2） （3） （4）
2求列导数
（1） （2） （3）
3求列导数
（1） （2） （3）
4求列积分
（1） （2） （3）
5求曲线点（12）处切线方程？
6求t2时速度？
7设某产品成函数求边际成？
8求曲线围成图形面积？
9已知物体速度求时段路程？
10设 [加性]
11设f(x)[ab]连续曲线yf(x)直线xaxby0围成曲边梯形面积 []
三提示提高：
1穷定义性质
定 义：称时穷
性 质：界函数穷积穷
例1求极限？
2穷较：（略）
时等价
时
例2时较阶？
3闭区间连续函数性质
（1）界定理（2）值定理（3）零点定理（4）介值定理
例3设f(x)[02]连续f(0)f(2)证明方程[01]少实根
4函数间断点分类（略）
5定积分性质
（1）
（2）[ab]
特[ab]
（3）意实数C
（4）设函数f(x)[ab]值分Mm
（5）设f(x)[ab]连续[ab]均值
例3较：
例4求定积分：中
例5求区间[13]均值？
第九讲 求导法（三）复合函数求导（）
教学目：掌握基导数公式四运算法会求般函数导数
重 难 点：四运算法复合函数连锁法
教学程序：基初等函数导数公式（复）—>导数四运算法—>例子
授课提：
前面学导数概念简单函数求导节系统学函数求导方法
复基初等函数导数公式（重点）
（板书略）
二复导数四运算法（重点）
设u(x)v(x)导函数
(1) (2) (3)
例1求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
例2求导数？（商导数公式推导）
理：
例3求函数处导数值？
例4求点（12）曲线相切直线方程？
三复复合函数概念分解
说明：复合函数分解般外分解分解基初等函数简单函数
例5分解列函数
（1） （2） （3）
四复合函数求导法
设关x复合函数
说明：（1）求复合函数导数首先分清楚函数复合结构求出层次简单函数导数连锁法复合函数导数
（2）复合函数分解般外序进行
例6求列导数（先分解求导）
(1) (2) (3) (4)
例7设导记中a
常数求？
例8设？ [5e]
思考题：
1设求？[利指数恒等式：]
2 设求？[ ]
结：掌握复合函数求导连锁法复合函数求导明确：（1）熟练基导数公式（2）恰分解复合函数（3）正确连锁法
作 业：P55（A：12B：2）P58（A：1）
思考题：
1 定初等函数求导法定求出导函数？什？
答：定求出导函数
基初等函数求导函数初等函数基初等函数限次四运算限次复合运算形成复合函数求导法导数四运算法知定初等函数求导法定求出导函数
课堂练（求导法三复合函数）
A组
1求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
2设
3曲线取两点x11x23两点引割线问曲线点切线行引割线？
4求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
5求函数x1处导数值？
6已知曲线切线直线垂直求切线方程？
B组
1证明导偶函数导数奇函数
2设？ [13]
3设问ab值时函数f(x)处处连续导？
4设？ []
5设f(x)连续导数？[12]
数学认识实验： 函数导函数图
第十讲 复合函数（二）高阶导数
教学目：熟练掌握复合函数求导会求函数二阶导数
重 难 点：复合函数求导二阶导数
教学程序：复合函数求导法（复）—>例子—>高阶导数定义—>例子
—>二阶导数物理意义—>求高阶导数
授课提：
复复合函数求导（）
例1求列函数导数
（1） （2） （3）
例2设求？ []
例3设 [略]
例4设？[]
二高阶导数概念
函数yf(x)n1阶导数导数称函数n阶导数
说明：求高阶导数反复利求阶导数方法
例5求列函数二阶导数？
(1) (2) (3)
例6设？
例7求n阶导数？
例8求n阶导数？ []
例9求n阶导数？[]
三二阶导数物理意义（复）
设物体运动方程s(t)表示物体时刻t加速度
例10设物体运动规律：时速度加速度？
探究题：（股票走势）设代表某日某公司时刻股票价格试根情形判定阶二阶导数正负号：
（1）股票价格升越越快[]
（2）股票价格接低点 []
思考题：某公司次广告促销活动中销量提高销量关时间曲线凹表明该公司营情况？什？曲线凸呢？[表明销量增长速度快]
结：理解高阶导数递定义法（高阶导数通低阶导数求导）阶导数符号反映事物增长减少二阶导数符号说明增长减少快慢
作 业：P59（A：23B：1）
课堂练（复合函数求导二）
A组
1求列导数
（1） （2） （3）
2求列函数二阶导数
(1) (2) (3)
3验证函数
4设物体运动规律求物体t0时速度加速度？
5设函数f(x)偶函数求？
6设周期函数f(x)R导周期4曲线yf(x)点（5f(5)）切线斜率 2
B组
1设？ [1]
2求？ [6]
3求n阶导数？[变形]
第十讲 隐函数求导数求导法
教学目：掌握隐函数求导方法解数求导法
重 难 点：隐函数求导法
教学程序：隐函数概念—>隐函数求导方法（举例说明）—>数求导法
（例子）—>参数方程导数—>例子
授课提：
隐函数概念
变量变量函数关系方程确定函数称隐函数
：等确定yx隐函数
说明：隐函数化成显函数更化成显函数时应明确非意方程确定隐函数
二隐函数求导
隐函数求导方法：方程两边项分x求导视yx函数复合函数求导法求导解出y'
例1求隐函数导数？
例2求隐函数导数？
例3求隐函数点（01）导数值？ [1e]
说明：隐函数导数般含xy表达式
例4求曲线点（11）处切线方程？
三数求导法
幂指函数(中uvx函数）项式运算方开方函数求导方法：应先方程两边取数然隐函数求导法求导数（先取数求导数）
例5求函数导数？
例6求函数导数
例7求导数：
*四参数方程导数
设函数函数反函数存复合函数求导公式：
说明：参数方程导数般含参变量t表达式
例8求函数导数？
思考题：
1求导数？ [两次取数求导数]
2求导数？ [先区数求导数]
3球形细胞天增长体积3半径时半径增长速度少？ []
结：隐函数求导关键：（1）明确方程中函数（2）方程中项终关求导（3）解出（般含表达式）
参数方程导数：公式复合函数求导法推导
作 业：P62（A：23B：12）
课堂练（隐函数求导）
A组
1求列隐函数导数
(1) (2) (3)
2求方程确定函数y点（01）处导数？
3求方程确定隐函数导数？[]
4设物体运动方程：求(1)物体意时刻速度加速度？(2)时速度0？(3)时加速度0？
*5求列导数
（1） （2）
B组
1设函数yy(x)方程确定求？
2求隐函数二阶导数？
3确定abc值抛物线曲线x0处 相交具相二阶导数
4设
5设
*6证明：曲线点切线截二坐标轴截距等1
*7已知求
纳总结： 初等函数导数
1根导数定义求导数
设函数点附定义求函数导数步骤：
（1）求函数增量：
（2）求值：
（3）求极限：
2基导数公式（常）
3四运算法（导）
4复合函数导数
设函数复合成函数
5隐函数导数
设函数方程确定隐函数
6参数方程导数
设函数参数方程确定
第十二讲 题课（函数求导方法）
教学目：系统化单元容系统掌握函数求导方法
函数求导基方法：
1定义求导（三步骤）
2基初等函数导数公式法
3复合函数求导方法（连锁法）
4隐函数求导方法数求导法*参数方程导数
5求函数高阶导数
二基题型：
1求列导数
（1） （2） （3）
2求列导数
（1） （2） （3）
3求列函数二阶导数
(1) (2) (3)
4设物体运动规律求物体t0时速度加速度？
5设求？
6设？
7设导偶函数求曲线点处
切线方程？
8求列隐函数导数
(1) (2) (3)
9求方程确定函数y点（01）处导数？
10求函数导数？
11已知求？
三微积分发展史（1615—1883年）
绝相信历史事实种出色教育指南—— MKline
1615年德国开卜勒发表酒桶立体学研究圆锥曲线旋转体体积
1635年意利卡瓦列利发表分连续量学书中避免穷量分量制定种简单形式微积分
1637年法国笛卡尔出版学提出解析变量引进数学成数学中转折点
1638年法国费马开始微分法求极极问题
1638年意利伽利略发表关两种新科学数学证明说研究距离速度加速度间关系提出穷集合概念书认伽利略重科学成
16651676年牛顿（16651666年）先莱布尼茨（16731676年）制定微积分莱布尼茨（16841686年）早牛顿（17041736年）发表关微积分著作
1684年德国莱布尼茨发表关微分法著作关极极切线新方法
1686年德国莱布尼茨发表关积分法著作
1691年瑞士约贝努利出版微分学初步促进微积分物理学力学应研究
1696年法国洛达发明求定式极限洛达法
1697年瑞士约贝努利解决变分问题发现速降线测线
1704年英国牛顿发表三次曲线枚举利穷级数求曲线面积长度流数法
1711年英国牛顿发表级数流数等分析
1715年英国布泰勒发表增量方法
1731年法国克雷洛出版关双重曲率曲线研究研究空间解析微分初尝试
第十三讲 函数单调性
教学目：掌握函数单调性判法会求函数单调区间
重 难 点：单调性判法
教学程序：简介微分中值定理—>复单调性定义—>单调性判定（导数）
—>求单调区间（例子）——>纳总结解题步骤
授课提：
拉格郎日中值定理
x
x
y
a
b
P
O
A
B
函数f(x)[ab]连续(ab)导(ab)少存点（作图说明）
说明：(1)定理微积分学重定理准确表达函数闭区间均变化率函数该区间某点导数间关系函数局部性研究函数整体性重工具
(2)定理充分必
例1验证：函数否满足拉格郎日条件满足求出？ [取闭区间]
例2证明： [Lagrange定理]
二罗达法（叙述）
1条件：（1）属定式（2）导数极限存
2方法：先求导数求极限满足条件时连续
例2求列极限
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
三函数单调性判定（阶导数）
1复单调性概念：（略）
2作图说明函数单调性导数正负关：（作图演示）
3单调性判定定理：
设f(x)[ab]连续(ab)导
(1)f(x)（ab）单调增加
(2)f(x) （ab）单调减少
(3)（ab）f(x)C
例3判定单调性？
例4判定函数单调性？
四求函数单调区间
1驻点概念（阶导数0点）
2求函数yf(x)单调区间步骤：
(1)确定函数定义域
(2)求出点存点点分界点定义域
区间分成干部分区间
(3)列表讨函数部分区间单调性
例5求函数单调区间？
例6求函数单调区间？
例7证明：（作辅助函数）
思考题：
1洛必达法求极限时应注意什？[注意条件]
2试Lagrange中值定理证明函数单调性判定定理
结：微分中值定理连接函数局部性质整体性质桥梁体现局部整体质部联系
作 业：P72（A：1）
课堂练（函数单调性）
A组
1证明函数区间（0+∞）单调递增？
2求函数驻点？
3求函数单调区间？
4证明等式：
5判定正误：
(1)f(x)(ab)单调递增f(x)（ab）单调递减（ T ）
(2)x0必驻点 （ T ）
(3)x0函数f(x)驻点曲线f(x)点（x0f(x0)）处切线方程
（ T ）
B组
1证明函数（∞0）单调递增
2设函数间关系？
3证明：函数唯实根
4设f(x)具二阶导数
单调增加
5设函数连续二阶导数
求极限：？ [1]
*6求证：方程
提示：作新函数根存定理单调性证明
数学认识实验： 微分中值定理直观
1较罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理意义
函数参数方程定曲线点切线斜率端点连线斜率Lagrange定理Cauchy定理
y
T
B
P
A
x
g(a)
g(b)
O
x
2单调性导数正负直观
第十四讲 函数极值
教学目：理解极值定义掌握函数极值求法
重 难 点：极值概念求法
教学程序：极值概念—>极值存必条件—>极值存充分条件（第
第二充分条件）—>求函数极值（例子）——>纳总结解题步骤
授课提：
函数极值
1定 义：（略）（作图直观理解）
说明：(1)极值局部概念
(2)极值点函数增减减增分界点
2极值存必条件
函数f(x)点取极值存
说明：(1) 定极值点：x0处
(2)存极值点：x0处
二极值存第充分条件（阶导数法：略）
例1求函数极值点极值？
例2求单调区间极值？
三极值存第二充分条件（二阶导数法）
设f(x)点二阶导数
(1)f(x0)极值
(2)f(x0)极值
例3求函数极值？
例4求函数极值？
四求函数极值般步骤
(1)确定函数定义域
(2)求函数导数确定驻点导数存点
(3)极值第第二充分条件确定极值点
(4)极值点代入原函数f(x)求出极值指明极极
说明：利第二充分条件判定函数极值必须注意适范围
例5试问a值时函数处取极值？
极值极值？求极值？
思考题：
1极值点种？ [驻点存点]
2判定极值点否极值点？[两极值存充分条件]
结：函数极值指函数局部性质（范围）体现事物相性
作 业：P72（A：2B：2）
课堂练（函数极值）
A组
1求函数极值？
2求列函数单调区间极值
(1) (2)
3设函数x1处极值2求ab值？
4求函数极值？
5判定正误：
(1)x0极值点曲线x0处切线切线行x轴[ T ]
(2)函数yf(x)(ab)导唯驻点驻点必极值点[F]
(3)导函数f(x)(ab)唯驻点x0f(x0)f(x)值[F]
B组
1求函数极值？
2设yy(x)方程确定求yy(x)驻点判否极值点？[二阶导数法]
3已知yf(x)切x满足
（ B ）
Af(x0)f(x)极值 Bf(x0)f(x)极值
C点（x0f(x0))拐点 D
数学认识实验： 导函数图极值
第十五讲 曲线凹凸性
教学目：理解凹凸性定义会求曲线凹凸区间拐点
重 难 点：求曲线凹凸区间
教学程序：凹凸性概念—>凹凸性判定—>求凹凸区间拐点—>应
授课提：
凹凸概念
1区间作函数图（较曲线变化）
说明：函数研究说仅单调性极值够
2定义：（略）（通曲线切线位置关系定义）
说明：(1)注意拐点定义（凹凸分界点二阶驻点）
(2)凹凸性成二阶导数应
二凹凸性判定
定 理：函数二阶导数意
（1）凹
（2）凸
（3）凹凸分界点称拐点
例1求曲线凹凸区间拐点？
例2求曲线凹凸区间拐点？
三求曲线凹凸区间步骤（较求单调区间极值步骤）
（1）求
（2）求二阶驻点二阶奇点
（3）分段（区间）讨凹凸性确定拐点
例3求曲线单调凹凸区间极值拐点？
四凹凸性应
（1）曲线凹凸性知函数增长减少快慢程度
例4某公司次广告促销活动中销量提高销量关时间曲线凹表明该公司营情况？什？曲线凸呢？[表明销量增长速度快]
（2）解曲线凹凸性便作函数图
例5作函数图？
思考题：
1画出图说明函数递增快点递增慢点？
[参见教材P76]
结：曲线凹凸性表明函数递增（递减）快慢程度指阶导函数单调性
作 业：P77（A：12B：1）
课堂练（曲线凹凸性）
A组
1求列曲线凹凸区间拐点：
（1）
（2）
2求曲线单调凹凸区间极值拐点？
3已知点（12）曲线拐点求ab值？
B组
1证明曲线三拐点条直线
2作列函数图：
（1） （2）
第十六讲 函数值
教学目：理解值概念会求简单实际问题值
重 难 点：求函数值
教学程序：值概念—>值求法（较法）—>两种特殊情况值—>实际
问题值（例子）——>数学建模介绍（优化）
授课提：
值定义（略）
说明：值全局概念针整区间言
二求连续函数f(x)[ab]值般方法（较法）
例1求函数[22]值？
三两种特殊情况求值：
(1)f(x)区间[ab]连续单调f(a)f(b)定值
(2)f(x)某区间仅唯驻点该驻点极值点极值点
定值点
例2求[12]R值？
例3求[02]值？
四值应
导数研究实际问题值时建立函数区间(ab)唯驻点根具体问题实际意义判定(ab)必（）值唯驻点值点勿需进行数学判定
例4边长48cm正方形铁皮作盖铁盒问四周截四相正方形作铁盒容积？
例5长方形周长定时时面积？
说明：求实际问题值时重点确定建立函数关系定义域
例6设总成总收入式出中求获利润产量x
五优化问题数学建模（p71例15）
求出某量许实际问题重求时间短利润成低等相应学生数学建模竞赛题优化问题必须优化思想方法分析解决问题
例7乐山佛通高71米船观赏佛游眼睛佛脚底水线1米观赏佛佳视角（应视角）时游离佛（中心线）远水距离？[85米]
思考题：
画图说明闭区间连续函数极值值间关系[局部整体]
结：函数值指函数区间特性某区间绝区间相体现绝性相性辨证统
作 业：P82（A：13）P78（优化问题）
课堂练（函数值）
A组
1求列值：
(1) (2)
2某企业生产批某产品x单位总成总收入提高济效益批生产少时总利润？
*3某项目利润两方案供选择关系分：中t时间问t1时方案优？[二阶导数]
B组
1设yy(x)方程确定求yy(x)驻点判否极值点？
2某公司市场推出种产品时发现需求量方程确定总收益生产x单位成求获利润单位价格p？
310分成两正数方？
4试求接半径厘米圆周长矩形边长？
数学认识实验： 函数极值值直观
1值极值：
2二阶导函数图讨曲线凹凸性：
第十七讲 微 分（）
教学目：理解微分概念会求初等函数微分
重 难 点：微分定义微分形式变性
教学程序：问题引进—>微分定义—>导微—>微分公式—>复合函数
微分（形式变性）—>求微分举例
x0
Dx
授课提：
微分定义
1问题：块正方形铁皮受温度变化影响
边长变化时面积改变少？
解：
较时
2定义：设函数yf(x)x0点导称函数f(x)点x0微分记dy般
令(dx称变量微分)
说明：（1）函数微分等函数导数变量微分
（2）说明微分微商符号含义
例1设时求dy△y
例2求列函数微分：
(1) (2) (3)
二微导间关系
定理：函数f(x)某点微函数点导反结成立
说明：定理仅元函数成立
例3讨函数y|x1|x1处微性？（导性）
三微分意义
设yf(x)dy等曲线点（xy）处切线坐标增量（作图）
四微分基公式
导数基公式微分基公式（略）
五复合函数微分
设yf(u)ug(x)复合成函数yf[g(x)]
说明：u中间变量变量微分形式表示
（阶微分形式变性）
例4填空
(1) (2) (3) (4)
(5) (6)
例5求列函数微分：
(1) (2) (3)
例6求函数x0x1处微分？
思考题：
1回答列问题：
(1)f(x)点x0微分否函数？ []
(2)f(x)(ab)微f(x)微分变量变化？ []
(3)du△u否相等？ [u中间变量时相等]
2导微关系？意义分表示什？区？[等价]
3点微导连续间关系？
结：微分质：函数增量线性部函数局部线性化
作 业：P87（A：13）
课堂练（微分）
A组
1填空
(1) (2) (3) (4)
(5) (6)
2x0变001时求函数yex似值？
3求列函数微分
(1) (2) (3)
4变量x改变量△x时问△y 分表示什含义？
B组
1作两图分表示？
2设f(x)微求微分？
3设
数学认识实验： 函数微分量增量图较
1微分量增量：
P
Q
2微分思想：直代曲意义
图中x附切线PT代曲线PQ
3项式似函数（泰勒公式）：（）
似项式：（x0处展开）
第十八讲 微 分（二）
教学目：熟悉凑微分式解微分简单应
重 难 点：凑微分式微分应
教学程序：凑微分式（填空）—>微分应—>似计算—>例子
授课提：
凑微分式
例1填空：
(1) (2) (3)
(4) (5)
(6) (7)
二微分应
1利微分求导数（微分形式变性）
隐函数求导方程两边求微分通求微商求出导数
例2求方程确定隐函数导数？
例3求方程确定隐函数导数？
2似公式
微分定义知
似公式：
例4求似值：？
例5球壳外径20厘米厚度2毫米求球壳体积似值？
面公式中取
例6x较时证明列公式：
(1) (2)
*3泰勒公式（选讲）
设函数f(x)x0点直n+1阶连续导数
例7泰勒公式求极限：[12]
提示：
探究题：某反馈放电路设开环电路放倍数闭环电路放倍数二者函数关系：时受环境温度变化影响变化10求变化少？相变化量少？
结：掌握微分应——似计算熟练凑微分式子
作 业：P87（A：5B：23）
课堂练（微分二）
A组
1填空
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2求似值？
3证明似公式：
(1) (2)
4正方体铁箱外1米铁皮厚2毫米求装进液体体积似值？
B组
1设函数[01]微[01]意x02设中f(t)二次微函数求y关x二阶微分？
3泰勒公式求极限：？
提示：
4求隐函数：点(01)微分？
第十九讲 题课（导数应微分）
教学目：系统化单元容掌握基概念方法
基概念
拉格郎日定理单调性极值值微分
二基法
1拉格郎日定理 2洛达法（求极限方法）
3极值存充分条件 4单调性判法
5值求法 6微分应
三典型例题
1求列极限：
(1) (2) (3)
2证明：
3证明：
4设f(x)定义域导f(x)偶函数f'(x)奇函数
5证明：方程3实数根
6求函数单调区间？
7求极值？
8求曲线单调区间极值凹凸区间拐点？
9容积16π立方分米圆柱形罐头盒样设计料省？
10设函数[01]导[01]意x011填空
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
12证明似公式：（|x|较时）
(1) (2) （3）
13求列函数微分：
(1) (2) (3)
14已知求？
15设
提示：
四提示提高
1洛达法求极限注意事项
（1）满足定理条件时
例1求极限？（满足条件）
（2）次法算式较繁琐应进行化简算式中非未定式
应分离出算出结果
例2求极限？
2证明等式方法（拉格郎日定理函数单调性）
函数单调性证明等式中符号明显确定
需进步确定单调性（某部分区间符号
例3证明
3求实际问题值时：（1）分析问题建立目标函数确定定义域（2）求解极值问题
例4长200线构成正方形圆形问分配构成
图形面积？
第二十讲 定积分概念直接积分法
教学目：理解定积分概念掌握基积分公式运算法
重 难 点：定积分概念基积分公式
教学程序：积分问题（微分逆问题）—>原函数—>定积分—>性质—>基积
分公式—>直接积分法—>例子
授课提：
定积分概念
1积分←→微分（互逆问题）：已知求f(x)
2原函数定义：（略）
例1求F(x)？
说明：函数原函数唯原函数间相差常数
3原函数存定理：（闭区间连续函数定原函数）
结：初等函数定义区间定原函数
4定积分：原函数全体记： (说明符号意义)
说明：（1）定义知求定积分求原函数加意常数
（2）积分号 ò 种运算符号表示已知函数求全部原函数．定积分结果中漏写C．
例2求定积分：
(1) (2) (3)
二定积分性质（体现微分积分运算互逆性）
(1) (2)
例3判断正误：(1) (2)
(3)
三定积分基公式：
定积分定义基初等函数求导公式（举例说明）
例4求列积分：
(1) (2) (3) (4)
四直接积分法（包括：积分公式代数变形三角变形等）
1积分基公式：（略P84）
2积分运算法：
例5求列积分：
(1) (2) (3) (4)
思考题：
1定积分性质中求？[等式成立]
2原函数？ []
结：求导数相较求定积分更具技巧灵活性积函数作恒等变形转化基公式中积分形式计算熟练基积分公式求定积分关键重点
作 业：P96（A：12B：1）
课堂练（定积分概念）
A组
1已知
2判定正误：
(1) (2) (3)
3求列积分：
(1) (2) (3)
(4) (5)
4已知物体速度t1时物体路程3求物体运动规律？
B组
1设求f(x)
2已知某产品边际成（万元）边际收益（万元）中x产量固定成1万元求种产品利润函数？
3f(x)原函数求：(1)(2)？
第二十讲 换元积分法（）
教学目：掌握第类换元积分法（凑微分法）
重 难 点：第类换元积分法（凑微分）
教学程序：问题（复合函数积分）—>直接换元—>凑微分—>复凑微分
式子—>凑微分举例—>课堂练
授课提：
换元积分法
问 题：求积分： 等
显然直接积分法法解决类积分必须引入新积分法换元积分
1般设F(u)f(u)原函数ug(x)导
凑微分 换 元 回代
说 明：换元积分中结果定新变量换成原积分变量
例1求列定积分：（换元）
(1) (2) (3)
2凑微分：述换元积分中
（凑微分）
说 明：换元积分法较凑微分省略换元回代两步凑微分
更简单关键凑微分
例2求列定积分：（凑微分）
(1) (2) (3) (4)
二凑微分时常列微分式子：
三求列定积分：
1 2 3
4 5 6
例3证明：
思考题：
1换元？规律什？ [教材P87]
2换元类型规律什？ [教材P88]
探究题：简述换元积分法特点说明方法生活中什启示？
结：讲学生掌握定积分凑微分法求学生加练方较掌握注意：第类换元积分法（凑微分）求积函数复合函数定积分问题实质复合函数求导法逆运算
作 业：P102（A：23）
课堂练（换元积分）
A组
1填空：
2求列定积分：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
3求列定积分：
(1) (2) (3) (4) (5)
4设求？
B组
1求列定积分：
（1） （2） （3）
（4） （5）
3求定积分：
（1） （2）
4设求？
5设函数求？
第二十二讲 换元积分法（二）
教学目：熟练掌握凑微分法解第二类换元积分法
重 难 点：第类换元积分法（凑微分）
教学程序：凑微分举例—>第二类换元积分—>根式换元(例)—>三角换元（例）
授课提：
复凑微分式子（略）
二凑微分举例
求列定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5)
三第二类换元积分法（包括根式换元三角换元）
求列定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
说 明：
1积函数中含x根式时般作根式换元掉根式
积分
2三角换元
(1)积函数中含令xasintxacost
(2)积函数中含令xatantxacott
(3)积函数中含令xasectxacsct．
思考题：
1第换元法（凑微分法）第二换元法区什？ [序相反]
2第二换元法规律寻？ [三角根式换元]
结：讲学生掌握简单函数第二类换元积分注意：第二类换元积分法积函数中含根式情况换元目掉根号
作 业：P102（B：12）
课堂练（换元积分二）
A组
1求列定积分：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2设f(x)原函数？
B组
1填空：
（1）求积分作代换x
（2）求积分作代换x
（3）求积分作代换x
2求积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
第二十三讲 分部积分法
教学目：掌握分部积分法
重 难 点：分部积分公式分部积分法中udv选择
教学程序：问题（积积分）—>分部积分公式（推导）—>分类举例分部
积分法—>纳总结积分技巧
授课提：
问 题：求 等积分？
二分部积分公式：（积微分公式逆运算）
例1求 (选x作u选exdx作dv)
说明：正确分部积分关键：适选择udv般考虑两点：
(1)v容易求(2)较更易积分
三举 例：（三种类型积分）
(1)积函数幂函数指数三角函数积选幂函数u
(2)积函数幂函数数反三角函数积选数函数反三角函数
u
(3)循环积分：限次分部积分等式中出现相积分式
分部积分法中uv选择规律：
积表达式(Pn(x)项式)
u(x)
dv
Pn(x)×sinaxdxPn(x)×cosaxdxPn(x)eaxdx
Pn(x)
sinaxdx
cosaxdxeaxdx
Pn(x)lnxdxPn(x)arcsinxdxPn(x)arctanxdx
lnxarcsinxarctanx
Pn(x)dx
eax×sinbxdx eax×cosbxdx
eaxsinbxcosbx均选作u(x)余作dv
例2求列定积分：
1 2 3 4
5 6 7
例3设f(x)原函数求？[两次分部积分]
例4设 求 ？ [先换元积分]
例5设 [令lnxt]
四总结求定积分技巧：
求定积分方法：考虑直接积分凑微分分部积分
：
(1)首先考虑否直接积分基公式性质
(2)次考虑否凑微分法
(3)考虑否适变量代换第二类换元法
(4)两类函数积否分部积分法
(5)否综合运反复述方法
(7)外简明积分表获启发者运MathCAD数学软件包
结果
思考题：
1 应分部积分公式关键什？积分般应什样规律设？[积函数类型]
2较三类积分法特点？ [类函数加减复合函数类]
结：讲学生掌握分部积分方法注意：分部积分法求积函数积积分问题实质函数积求导法逆运算
作 业：P105（A：1B：1）
课堂练（分部积分法）
A组
1求列定积分：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2设（令lnxt）
B组
1求列定积分：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2计算 [展开分部积分]
3设f(x)原函数求？
4设F(x)f(x)原函数时已知F(0)1
F(x)>0求f(x)？
第二十四讲 定积分计算
教学目：掌握定积分计算方法（直接凑微分分部积分法）
重 难 点：定积分计算方法
教学程序：复N—L公式（明确求定积分步骤）—>直接积分法—>凑微分
法—>分部积分法—>两重结—>课堂练
授课提：
NL公式：设F(x)f(x)原函数
定积分计算方法（定积分方法致）
直接积分法
例1求列定积分
（1） （2） （3）
二换元积分法（凑微分）
例2求列定积分
（1） （2） （3）
（4） （5）
说明：定积分换元积分中换元时积分限换凑微分法计算定积分时换积分限（建议：量凑微分法）
三分部积分法
例3求列定积分
（1） （2） （3）
四两重结
结 ：设f(x)区间[aa]连续
（1）f(x)奇函数
（2）f(x)偶函数
－a
x
y
O
a
－a
x
y
O
a
例4利面结求列定积分：
（1） （2） （3）
（4）
思考题：
1 定积分定积分换元法区联系？[定积分换元换限]
2积分区间分段函数时问计算定积分？
举例说明[利加性分成定积分相加]
探究题：
1（口统计）某城市居民口分布密度数学模型中（km）离开市中心距离单位10万km2求离市中心10km范围口数
2（环境污染）某工厂排出量废气造成严重空气污染第七年废气排放量求该厂年间排出总废气量
结：掌握求定积分NL公式熟练掌握定积分计算方法
作 业：P108（A：12B：12）
课堂练（定积分计算）
A组
1计算列定积分
（1） （2） （3）
(4) (5) (6)
2计算：
3证明：
4计算：？ []
5求k值？
B组
1设
2设f(x)R连续意xy
求定积分？
3时较阶？
4设f(x)连续函数证明：
*5设f(x)连续函数证明：
*6设f(x)
提示：设？
*7设求？
提示：先求导数解微分方程
第二十五讲 定积分应（）
教学目：理解定积分微元法会求面图形面积
重 难 点：求面图形面积
教学程序：微元法（先微分积分）—>求面图形面积（分定积分
意义微元法求解）—>举例
授课提：
定积分微元法
定积分定义中采分割取似求取极限方法求整体量四步骤中关键局部取似事实许物理量方法方便计算区间[ab]某量Q定积分方法简化：（称方法微元法）
（1）求微分：找出量Q具代表性区间[xx+dx]部分量△Q似值dQdQf(x)dx（微元）
（2）求积分：整体量QdQ区间[ab]定积分Q
求曲边梯形面积A问题例微元法简写成样：
x
y
O
x
x+dx
DS
yf(x)
a
b
取微段[xx+dx]曲边梯形微段部分面积微元dAf(x)dx
A．
二面图形面积（直角坐标系中）
1复曲边梯形定义：（略）
2面积计算：（微元法意义求解）
面曲线围成图形面积计算结曲边梯形面积计算曲边梯形面积计算定积分计算问题求面图形面积概括：
面图形è曲边梯形è定积分è通定积分计算求出面积
例1求曲线yx2直线x1x轴围成图形面积？
y
解：图示取x积分变量积分区间[01]
x
1
A
例2求曲线yx2xy2围成图形面积？
x
y
O
y2x
y x2
1
1
解：图示交点作x轴垂线求面积
成两曲边三角形面积差
取x积分变量积分区间[01]
A
例3求曲线yx2直线y2x+3围成图形面积？
例4求曲线yx3直线y8x0围成图形面积？
说明：微元法求例题面积
思考题：
1 什微元法？微元法解决实际问题思路步骤？[先微分积分]
2求面图形面积般分步？ [三步]
结：微元法求[ab]区间非均匀加量方法精神：（1）局部求微元（2）整体求积分关键求微元寻找整体量微分方法：求线性部者说求成线性关系等价穷（时）
作 业：P118（A：12）
课堂练（定积分应）
A组
求列曲线围成图形面积：
1
2
3
4
B组
求曲线围成面图形面积？
*二求函数 [02]均值？
*三设作直线运动物体时刻速度求时段[03]
均速度？
第二十六讲 定积分应（二）
教学目：会求旋转体体积
重 难 点：旋转体体积公式
教学程序：旋转体定义—>推导体积公式（微元法）—>求体积（例子）
授课提：
旋转体体积
1旋转体定义：面图形绕面定直线旋转周成立体
：圆柱体圆锥体球体等旋转体
2旋转体体积计算：（微元法公式法求解）
现求曲线yf(x)直线xaxbx轴围成曲边梯形绕x轴旋转成旋转体体积（图示）
x
O
y
xg(y)
d
c
x
O
y
x
A(x)
f(x)
b
a
yf(x)
公式推导：微元法知取x积分变量区间[ab]取区间[xx+dx]时旋转体体积微元
旋转体体积：
理曲线xg(y)直线ycydy轴围成曲边梯形绕y轴旋转成旋转体体积
例5求直线yxx1y0围成图形绕x轴旋转立体体积？
y
yx
解：图示取x积分变量
积分区间[01]
1
0
x
例6求曲线yx2直线x1y0围成图形分绕xy轴旋转立体体积？
例7求曲线ysinx(0£x£p)绕x轴旋转周旋转体体积Vx．
x
OO
y
p
解 ： Vxpp
．
*例8求曲线x2+y22yx2围成图形绕xy轴旋转立体体积？
思考题：
利微元法常代变均匀代均匀直代曲思想推导旋转体体积公式
结：掌握旋转体体积公式利微元法求旋转体体积
作 业：P118（A：3）
课堂练（定积分应二）
A组
求列曲线围成图形绕指定轴旋转成旋转体体积：
1直线x0y0绕x轴
2曲线直线y0绕x轴
3曲线直线x1y0绕y轴
4曲线绕y轴
B组
1求围成区域绕旋转旋转体体积？
2求曲线围面图形绕x轴成旋转体体积？
[]
数学认识实验： 微元法
第二十七讲 题课（定积分定积分）
教学目：系统化单元容掌握基概念方法
基概念方法
1原函数定积分
2定积分计算方法
(1)直接积分法 (2)凑微分法 (3)分部积分法
3NL公式
4求定积分方法：
(1)直接积分法 (2)凑微分法 (3)分部积分法
二求积分（难点）：
积分两条运算法积分微分运算复杂根积函数情况考虑直接凑微分分部积分法时应该明确较函数积
三基题型
1求定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2设求f(x)
3设曲线点(11)曲线点切线斜率1x求曲线方程？
4判断正误：
5设作直线运动物体加速度t0时速度v1路程s0求物体运动方程？
6设某函数x1时极值x2时极值已知函数导数求函数？
6设f(x)原函数求？
7设？
8求积分曲线族中点（01）曲线方程？
9计算定积分：
（1） （2） （3）
10求曲线直线围成面图形面积？
11求围面绕x轴旋转成立体体积？
12设
13求极限：？
14证明方程(01)唯实根
15设f(x)[ab]连续f(x)>0问方程(ab)
少实根？
16设f(x)连续函数证明：
17定积分求极限：
18利定积分性质求极限：？
19设
三提示提高
1分段函数定积分（调整分段积分常数原函数分段点连续）
例1设？
2第类第二类换元积分法区
第类换元积分（凑微分）：先分解积函数作变换
第二类换元积分：先作变换求积分
例2求列积分
（1） （2） （3）
3理分式积分
通常分式化成简单分式（方法：定系数法拼凑法）求积分
例3求列积分
（1） （拼凑） （2） （定系数）
4什积？
许初等函数原函数初等函数时定积分存积出：等等
5定积分求某极限
例1求？（）
例2求？ （）
6分段函数定积分应加性进行计算
例3计算
7变限函数求导数时限x函数复合函数求导法
例4求函数导数？
8含变限函数极限运算般罗必达法
例5求？
例6求常数ab（a49b1）
9估值定理积分中值定理应
例7求证：
例8证明方程区间(01)唯实根
例9求函数[02]均值？
第二十八讲 微分方程（）
教学目：理解微分方程概念掌握分离变量微分方程求解
重 难 点：分离变量微分方程求解
教学程序：微分方程概念—>分离变量方程—>解题步骤—>例子—>练
授课提：
前 言：工程技术济活动中时需根已知条件建立关函数导数（微分）方程微分方程然通微分方程求解找出关函数进行分析部分讨方面容
微分方程定义
实例1已知曲线yf(x)点处切线斜率2x求曲线方程？
分析：导数意义知
实例2设落体运动速度时间成正试确定物体运动规律？
分析：导数物理意义知
例12含未知函数导数微分方程
1定义
含未知函数导数微分方程称微分方程微分方程中出现阶导数高阶数称方程阶：例12阶微分方程
y''3y'2y0二阶微分方程
解果函数代入方程方程成恒等式称函数方程解
通解果微分方程解中含意常数数等微分方程阶数称解方程通解
特解果微分方程解中含意常数称解特解
例1指出列微分方程阶：
（1） （2）
例2判定：微分方程通解（ ）
2微分方程解意义
通解簇积分曲线特解条积分曲线
例3原点曲线点切线斜率2x求曲线方程？
二分离变量微分方程
形 微分方程称分离变量微分方程
例4判定列方程否分离变量微分方程：
（1） （2） （3）
方程 求解程：
求解法：（1）分离变量：
（2）两边积分：
（3）解出关xy函数关系式
例5求解微分方程：
例6求微分方程满足初始条件y(0)2特解？
思考题：
1微分方程特解图形条曲线（积分曲线）通解图形族积分曲线问通解中积分曲线否相互行(注：两曲线行指两曲线横坐标相等点处切线斜率相)？
答：定 通解阶导数中含意常数 积分曲线相互行
探究题：
（鱼塘鱼数）鱼塘养鱼20000条已知鱼塘鱼数目时间函数鱼数目变化率鱼数目成正鱼塘放养鱼苗200条三月鱼塘鱼500条放养半年鱼塘少条鱼？
结：解微分方程相关概念掌握分离变量微分方程标准形式求解方法（分离变量——>积分——>确定解）
提 高：微元分析法：应微分方程处理实际问题第步列出方程数情况直接利导数概念时候容易做
微元分析法利细分整体变量转化局部相变量利微分概念物理定律列出方程
作 业：P131（A：13）
课堂练（微分方程）
A组
求解列微分方程：
1
2
3
4
5
二面曲线满足方程点(01)求曲线方程？
三模拟学程微分方程：中y项知识掌握百分数时间t单位周试求学规律？[y(0)0]
*四设求？
B组
设作直线运动物体速度物体原点距离成正已知物体10秒时距原点100米20秒时距原点200米求物体运动规律？
二某商品需求量Q价格P函数满足方程求需求量Q价格P函数关系？
三求解微分方程：满足t0时p5特解作图？
四设曲线意点切线介两坐标轴间部分恰切点分已知曲线点（23）求曲线方程？
五放射性元素质量时间推移逐渐减少种现象称衰变实验告诉时刻铀衰变率该时刻铀质量成正试确定铀衰变规律？
*六求微分方程满足初始条件特解？[]
*七求微分方程通解？ [交换xy位]
第二十九讲 微分方程（二）
教学目：掌握二阶线性常系数齐次微分方程求解
重 难 点：二阶线性常系数齐次微分方程求解
教学程序：定义（分类）—>解性质—>通解公式推导—>例子（求解）
授课提：
二阶线性齐次微分方程定义
形 (1)（pq常数）微分方程称二阶线性常系数齐次微分方程
二解性质
定理1方程(1)两特解方程(1)通解（c1c2意常数）
证明：（略）
说明：定理1出求方程（1）通解方法两特解确定通解
三求方程两特解（推导）
阶线性齐次微分方程通解：
特点：指数型函数指数型函数阶导数指数型函数联系方程（1）系数常数特点假设（1）特解：
y'y''代入方程（1） （） （2）
说r满足式函数方程（1）解微分方程求解问题转化成代数方程求根问题方程（2）称（1）特征方程
分讨特征方程根情况：令
（1）时两相等实根r1r2方程(1)两特解定理1知方程（1）通解：
例1求方程通解？
解：（略）
（2）时两相等实根r1r2r方程特解假设微分方程（1）特解常数变易法：方程（1）通解：
例2求方程通解？
解：（略）
（3）时轭虚根容易验证方程（1）两特解方程通解：
说明：解形式利欧拉公式
例3求方程通解？
解：（略）
综述求二阶常系数齐次微分方程通解步骤：
（1）写出微分方程特征方程：
（2）求出两特征根：
（3）根特征根情况写出微分方程通解：
例4求方程通解？
例5求方程通解？
例6求方程通解？
例7填空：
（1）二阶微分方程通解中含 2 意常数
（2）二阶微分方程特征方程：
（3）y1y2微分方程两特解
微分方程 通 解
（4）微分方程通解
0
思考题：
1 齐次线性常微分方程性？
答：性齐次线性常微分方程意解叠加函数方程解
2 写出特征方程常微分方程
解：应微分方程
3 写出通解微分方程
解：微分方程特征方程应具二重根
特征方程微分方程
结：掌握二阶线性常系数齐次微分方程求解关键：（1）正确写出特征方程（2）根特征根情形写出通解
作 业：P136（A：12）
课堂练（微分方程二）
A组
求解列微分方程：
1
2
3
4
5
二果方程解求常数k值方程
通解？
B组
求解列微分方程：
1
*2
二作直线运动物体加速度果初速度原点出发求物体运动方程？
*三质量m质点水面静止状态开始降受阻力降速度成正（例系数k)求质点降深度时间关系？
第三十讲 数学软件认识数学文化
教学目：解Mathematica方法
教学程：Mathematica软件介绍—>Mathematica方法—>实例操作
授课提：
Mathematica简介
1．Mathematica简介
Mathematica美国Wolfram公司研究开发著名数学软件够完成符号运算数学图形绘制甚动画制作等种操作
Mathematica种强数学计算处理分析工具解决研究工程计算领域中问题处理较基数学计算
2．Mathematica软件功简介
（1）作函数图：作图程序输入作函数计算机直接作出该函数图
（2）数值计算：简单计算函数值积分值等求微分方程数值解等
（3）符号运算：计算函数极限导数定积分求微分方程通解等前计算机作数值计算作符号运算
3．Mathematica启动基操作
（1）启动：系统安装Window98中鼠标点击开始à程序àMathematica菜单进入系统鼠标双击Mathematica组双击Mathematica图标进入系统
（2）基操作：进入系统出现Mathematica窗口键入命令键入1+2然时Shift+Enter鼠标点击Mathematica徽标结果
二Mathematica操作
通Mathematica求函数极限导数微分定积分定积分作图求极值等
（）基表示
1数表示法：（1）普通数（般数）（2）数学常数（Pi—表示E—表示然数底eDegree—角度单位度I—虚数单位Infinity—表示）
2运算符表示输入：+*^分表示加减方运算优先序数学运算致
3函数表示法输入：
（1）N函数
格式：N[表达式k]
功：求出表达式似值中k选指效数字位数
（2）基初等函数
三角函数：
反三角函数：
（3）函数
—阶Abs[x]—x绝值GCD[nm]—求mn公约数
LCM[nm]—求mn公倍数
说明：（1）函数写字母开头（2）变量应放[]
（3）变量xyz数字算术表达式
4变量表达式
（1）变量：写字母开头字符（字符串）
（2）表达式：变量常量运算符构成代数式表甚图形
（3）变量赋值：变量名表达式
（4）变量清：变量a时Clear[a]清
（二）作图函数输入格式
1作图函数Plot（绘图）：作元函数静态图
2输入格式：Plot[{f1f2…}{xxminxmax}选参数]
中表{f1f2…}绘制图形函数名表{xxminxmax}指变量x
取值范围
3选参数
AspectRatio（横坐标）PlotStyle（画图风格）DisplayFunction（显示函数取值Identity时图形显示出取值 DisplayFunction时恢复图形显示）PlotRange（作图范围）…
（三）求函数极限
基格式：Limit[f(x)x>a]中a常数穷
（四）求函数导数微分
1求导数格式：D[f(x){xn}]中n求导阶数省略阶
2求微分格式：Dt[f(x)]
（五）求函数极值
1求f(x)极值格式：FindMinimum[f(x){xx0}]中x0初始值表示求x0点附极值
2求f(x)极值格式：FindMinimum[f(x){xx0}
（六）求积分
1定积分：格式 Integrate[f(x)x]
2定积分：格式 Integrate[f(x){xab}]中ab积分限b
穷时广义积分
（七）解微分方程
1求通解
输入格式：DSolve[微分方程未知函数名称未知函数变量]
2求特解
输入格式：DSolve[{微分方程初始条件}未知函数名称未知函数变量]
三Mathematica实际操作（机）
四数学文化介绍（参阅教材）
结：讲学生解Mathematica软件方法
作 业：机练
第三十（三十二）讲 总复
元函数微积分基线索容
基线索
函数(象)à极限(基础)à导数(重点)à积分(难点)à应(导数定积分)
二部分容
1函 数
函数定义图性质复合函数（构成分解）分段函数
2极 限
极限定义计算方法（定义四运算连续函数两极限穷洛达法泰勒公式法*定积分法*）
3导 数
导数定义意义计算方法（定义基导数公式四运算复合函数连锁法隐函数求导法[直接法微分法*]数求导法参数求导法*微分法莱布尼兹公式法*）
4积 分
定积分定积分定义定积分意义NL公式积分计算方法（基积分表积分运算法直接积分法换元积分法分部积分法）
5应
微分应（似计算）导数应（洛达法函数单调性极值值凹凸性作图）定积分应（物理*）微分方程（阶）
部分基题型
极限连续
1求列函数定义域（连续区间）：
(1) (2)
2分解复合函数：
(1) (2) (3)
3求列极限：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) （9）
4讨函数x1处连续性？
二导数微分
1填空：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2设函数
3设函数
4设函数
5设函数
6求曲线切线方程？
7设物体运动方程：求t2时速度加速度？
8求列函数导数：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
三导数应
1填空：
(1)函数
(2)函数
(3)曲线
2求函数极值？
3现边长20正方形铁皮欲四角截四边长x正方形围成盖铁盒问x少时盒子容积？
4问ab值时点（13）曲线拐点？
5
四定积分
1填空：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2求列定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6) (7)
(8) (9) (10) (11)
(12) (13) (14)
3设运动物体意时刻速度求物体运动规律？
五定积分应
1求曲线围成面面积？
2求曲线直线围成面绕x轴旋转立体体积？
3计算：(1) (2) (3) (4)
*4设f(x)[01]连续证明：
六微分方程
1求通解：
2求通解：
3求特解：满足
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第讲 高等数学学介绍函数
教学目：解新数学认识观掌握基初等函数图性质熟练复合函
数分解
重 难 点：数学新认识基初等函数复合函数
教学程序：数学新认识—>函数概念性质（分段函数）—>基初等函数—>复合函数—>初等函数—>例子（定义域函数分解复合分段函数图）
授课提：
前 言：讲首先高等数学学介绍次中学学函数进行复总结（函数质指变量间相关系数学模型事物普遍联系定量反映高等数学函数作研究象必须函数概念图性质深刻理解）
新教程序言
1什重视数学学
（1）文化基础——数学种文化准确性严格性应广泛性现代社会文明重思维特征促进社会物质文明精神文明重力量
（2）开发脑——数学思维训练体操训练开发脑（左脑）全面作
（3）知识技术——数学知识学然科学社会科学基础生活工作种力技术
（4）智慧开发——数学学目培养思维力种力生提供持续发展动力
2数学新认识
（1）新数学观——数学门特殊科学然科学社会科学提供思想方法推动类进步重力量
（2）新数学教育观——数学教育（学）目：数学精神数学思想方法培养科学文化素质包括发展思维力创新力
（3）新数学素质教育观——数学教育（学）意义：通数学素质培养般素质[见教材序言]
二函数概念
1函数定义：变量间种应关系（单值应）
（变化观点定义函数）记：（说明表达式含义）
(1)定义域：变量取值集合（D）
(2)值 域：函数值集合
例1求函数定义域？
2函数图：设函数定义域D点集 构成函数图
例：熟悉基初等函数图
3分段函数：变量取值范围函数表达式
例：符号函数狄立克莱函数取整函数等
分段函数定义域：变量取值范围集
例2作函数图？
例3求函数
三基初等函数
熟记：五种基初等函数定义域值域图性质
四复合函数：设yf(u)ug(x)x应uyf(u)意义yf[g(x)]x复合函数u称中间变量
说 明：(1)非意函数构成复合函数
：构成复合函数
(2)复合函数定义域：复合体定义域交集
(3)复合函数分解外进行复合时直接代入消中间变量
例5设
例6指出列函数基初等函数（简单函数）构成？
(1) (2) (3)
五初等函数：基初等函数限次复合四运算成函数表达式表示
说 明：（1）般分段函数初等函数初等函数
（2）初等函数般形成方式：复合运算四运算
思考题：
1 确定函数需基素？ [定义域应法]
2 思考函数种特性意义？ [奇偶性单调性周期性界性]
3意两函数否复合成复合函数？否例子说明？[]
探究题：
图1—5 时间
位旅客住旅馆里图1—5描述次行动请根图形坐标赋予某物理量叙述次行动图1—5标具体数值精确描述位旅客次行动函数解析式表达出？
结：函数质指变量间相关系数学模型事物普遍联系定量反映复合函数反映事物联系复杂性分段函数反映事物联系样性
作 业：P4（A：23）P7（A：23）
课堂练（初等函数）
A组
1求列函数定义域？
(1) (2) (3) (x1) (4)
2判定列函数奇偶性？
(1) (2) (3)
3作列函数图？
(1) (2) (3)
4分解列复合函数？
(1) (2) (3) (4)
B组
1证明函数奇函数
2函数改写分段函数作出函数图？
3设？
4设求？
数学认识实验： 初等函数图认识
1幂函数：（）
2指数数函数：（）
3三角函数反三角函数：（）
4项式函数：（）
5分段函数：（）
第二讲 导数概念（）极限导数
教学目：复极限概念求法理解导数概念掌握定义求导数方法
重 难 点：求极限导数定义定义求导法
教学程序：极限定义求法（例）—>导数引入（速度问题）—>导数概念
—>导数极限—>基初等函数导数（定义法）—>例子（简单）
授课提：
前 言：前面教学中已讨变量间关系(函数)节复函数变化趋势(极限)基础讨函数变化率问题（函数导数）导数高数重点质极限（值极限）现实中极丰富应
理基础——极 限（复）
1极限概念（略讲函数某点极限定义）
2极限四运算法（略）
3求函数极限（类函数极限）
（1）项式
例1：求列极限
(1) (2) (3)
（2）理分式（代入法）
例2：求列极限
(1) (2) (3)
（3）分式时约零子法求极限
例3：求列极限
(1) (2) (3)
（4）分式时分子分母穷适穷分出法求极限
例4：求列极限
(1) (2) (3)
3两重极限
（1） （2）
说明：中形式时
例5：求列极限
(1) (2) (3) (4)
二导数定义（复增量概念）
引例1速度问题（落体运动）
引例2切线问题（曲线）
两事例具体含义相抽象数量关系求函数y关变量x某点处变化率计算函数增量变量增量值极限种特殊极限函数导数
解决问题思路：
1 变量x作微变化Dx求出函数变量段均变化率作点处变化率似值
2 求Dx®0极限存极限点处变化率精确值
定 义：设函数点附定义点取增量时相应函数取增量时值极限存称极限值处导数微商记
说明：(1)值函数均变化率处变化率反映函数点变量变化快慢程度
(2)存（包括）称点导
(3)（ab)点导称函数（ab）导记称
导函数简称导数
(4)f¢(x)x函数f¢(x0)数值f(x)点处导数f¢(x0)导函数f¢(x)点x0处函数值
三导数极限关系
导数种特殊（值）极限导数à极限反成立
四基初等函数导数（定义）
定义知求函数导数步骤：（三步骤）
（1）求增量（2）求值（3）求极限
例6定义求函数导数？
例7定义求函数导数？（推导）
思考题：
1 否存什？[0]
2曲线 处切线斜率等 3 求点坐标
3 已知利导数定义求极限[0]
探究题：求变速直线运动物体瞬间速度问题解决方法中极限法什体会？ [似转化精确数学方法]
结：导数质微观（局部）研究非均匀量（：速度密度电流电压等）变化率问题处理非均匀量法思想方法：(1)范围匀代匀变代变获似值(2)利极限思想似值转化精确值函数观点导数描述函数局部线性形态导函数表示曲线局部似条直线（切线）着切线斜率研究函数整体性质（导数应中单调性极值等）
作 业：P22（A：13B：34）
课堂练（导数概念）
A组
1求列极限
(1) (2) (3)
（4） （5） （6）
2求极限？ 3求极限：？[]
4已知求a值？ [2]
5导数定义求函数x1处导数？
6设物体运动方程求(1)物体t2秒t3秒间均速度？
(2)求物体t2秒时瞬时速度？
B组
1设？ []
2设函数？ [2]
3证明导数公式：
4药品进入体t时效力求t234时效力E变化率？
5设 A
A左右导数存 B左导数存右导数存
C右导数存左导数存 D存
6 （常数）试判断列命题否正确[全部]
（1）点 处导 （2）点 处连续
（3）
数学认识实验： 两重极限图认识
1极限：
2极限：
3等价穷直观认识：（）
第三讲 导数概念（二）
教学目：熟悉导数基公式理解导数意义会求切线方程
重 难 点：基导数公式导数意义（求切线方程）
教学程序：复导数定义—>基导数公式—>例子（求导数）—>导数意
义—>例子（切线方程）—>导数物理意义（例子）
授课提：
基初等函数导数
例1求导数？（导数定义推导）
公式：
样定义基初等函数导数公式：
二导数运算法（uv导函数）
1代数：
2数 ：
例2求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
例3求函数定点导数值？
(1) (2)
三导数意义（作图说明）
结：表示曲线yf(x)点（x0f(x0)）切线斜率
例4求曲线点(10)处切线方程？
例5设f(x)导函数求曲线yf(x)点（1f(1)）处切线斜率？ [导数定义意义]
四导数物理意义
结：设物体运动方程表示物体时刻t瞬间速度
例6设物体运动方程求物体时刻t1时速度？
例7求曲线点该点切线行直线
[]
例8设某产品成满足函数关系：(x产量)求x2时边际成说明济意义
思考题： 区？[]
探究题：导数值负值？举例说明[]
结：导数美学意义：局部线性美（）导曲线局部线性化函数局部性质研究函数整体性质工具方法
作 业：P25（A：1）P28（A：13）
课堂练（导数概念二）
A组
1求列函数导数
(1) (2) (3) (4) (5)
2求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
3求函数x1处导数值？
4设
5设物体运动方程求时刻t3时速度？
6 抛物线 处切线轴正夹角求该处切线方程
B组
1球体受力斜面滚动t秒末离开初始位置距离问初速度少？时开始滚动？
2已知曲线相交点（11）证明两曲线该点处相切求出切线方程？
数学认识实验： 导数意义美学价值
P
Q
1导数定义（切线问题）
2导数意义：（）
3导数美学意义：曲线局部线性化
（1）x0处较：曲线切线
（2）x1处较：曲线切线
第四讲 求导公式求导法（）
教学目：掌握基导数公式导数运算法会求简单函数导数
重 难 点：基导数公式法
教学程序：基公式—>运算法—>例子—>二阶导数定义求法
授课提：
基导数公式
导数定义基导数公式：
二导数四运算法
设uv导函数
1 2
3 4
例1求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
例2求函数定点导数值？
(1) (2)
例3设
例4已知曲线切线直线垂直求切线方程？
三二阶导数
1定义：导函数求导数称二阶导数记：
2求法：定义知求二阶导数方法求阶导数方法致
例5求列二阶导数
(1) (2) (3) (4)
3二阶导数物理意义
设物体运动规律：表示物体时刻t加速度
例6设物体运动方程：求t2时速度加速度？
思考题：
1 思考列命题否成立？
(1)点处导点处定导
答：命题成立
：
0 处均导函数+ 0 处导
(2)点处导点处导+点处定导
答：命题成立
原：+处导处点导知[+]点处导矛盾
探究题：
某产品需求方程总成函数分中销售量价格求边际利润计算时边际利润解释结果济意义[导数济意义]
结：导数物理意义更深层次反映导数质：研究非匀速物体运动变化率指路程时间变化率指速度时间变化率二阶导数意义：反映曲线凹
作 业：P30（A：12）
知识：数学三次危机
第次数学危机：理数产生（单位正方形角线长）
第二次数学危机：微积分产生完善（极限穷定义）
第三次数学危机：集合产生（罗素悖）
课堂练（导数公式法）
A组
1求列导数
(1) (2) (3) (4)
2曲线处水切线？ [x23]
3已知曲线切线直线垂直求切线方程？[e]
4求列二阶导数
(1) (2) (3)
B组
1设曲线点(11)处切线x轴交点(xn0)求极限？
2？ [1]
3设求？ [2]
4已知二阶连续导求？ []
5设某种汽车刹车运动规律假设汽车作直线运动求汽车秒时速度加速度
数学认识实验： 函数导函数图较（）
第五讲 求导法（二）连续导数
教学目：解函数连续性概念理解连续导数关系
重 难 点：基导数公式连续直观连续导关系
教学程序：复基导数公式法—>连续概念（极限定义）—>连续条件
—>初等函数连续性—>导连续（例）—>连续函数极限（例子）
授课提：
复基导数公式法
举 例：（略）
二连续概念（作图直观理解）
1定 义：设函数x0点附定义时
称f(x)x0点连续
说明：连续种特殊极限连续à极限反成立
例1试证x0处连续？
三函数连续条件
（１）f(x)x0点附定义
（２）f(x)x0点极限存
（３）极限值等函数值
例2讨函数x0处连续性？
四初等函数连续性
初等函数定义区间连续图条连绵断曲线
五导连续
1导连续图象特征
（1）连续函数图条连绵断曲线（作图示例）
（2）导函数图仅连绵断曲线具滑性（尖点折点）
2导连续关系
定理：函数f(x)x0点导f(x)点x0连续反结成立
例3试证函数x0点连续导
例4试证函数x0点连续导切线存
3极限连续导间关系
x
y
O
y|x|
导à连续à极限反定成立x0处
1
x
y
O
y
1
1
1
·
·
六连续函数极限
f(x)x0点连续
例5求列极限
（1） (2) （3） (4)
例6讨x0处连续性？
思考题：
1．果处连续问||处否连续？ [连续]
2． 果处导问||处否导？ [定]
3．求函数间断点判断类型
探究题：作图说明函数导点类型[连续点尖点折点]
结：连续函数美学意义：谐奇异美连续体现然谐社会发展生生息间断表现规众体现然界丰富彩社会发展中跳跃性
作 业：P34（A：12）复题（25）
课堂练（求导公式法二）
A组
1求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
2求函数x1处导数值？
3求曲线点（10）处切线方程？ []
4试定义f(0)值函数x0处连续？[]
5设问a值时函数x0处连续？[2]
B组
1作函数图？
2设函数f(x)x2处连续求？ [2]
3设f(x)连续导数？ [12]
4设问ab值时函数f(x)处处连续导？
5x1函数（ B ）
（A）连续点 （B）间断点 （C）跳跃间断点 （D）穷间断点
*6f(x)[0a]连续f(0)f(a)试证：方程
（0a）少实根
[提示：作新函数[]零点存定理]
数学认识实验： 导点类型
1连续导点（尖折点）（：）
2连续点导点：
第六讲 定积分概念
教学目：解定积分概念理解定积分意义
重 难 点：作面积定积分概念
教学程序：提出问题—>解决问题（思想）—>定积分定义—>定积分意义（例子）—>定积分性质（简单）
授课提：
前 言：然科学工程技术济学许问题中常会遇种面图形面积计算三角形四边形直边形圆面积初等数学方法计算连续围成图形面积会计算面讨连续曲线围成面图形面积计算方法
问题引入
1曲边梯形定义
谓曲边梯形指三条直线段中两条相互行第三条两条相互垂直第四条边条连续曲线围成四边形（图示）
2引 例：求曲线围成面积？(特殊曲边梯形)
（1）分析问题
曲边梯形矩形较差异矩形四边直曲边梯形条边曲
设想：矩形似代曲边梯形减少误差曲边梯形分成许曲边梯形矩形面积似代曲边梯形面积分割越细似值越接准确值通求矩形面积极限求曲边梯形面积
y
（2）解决问题（思路）
yx2
第步：分割
第二步：似代
第三步：求
0
1
x
第四步：取极限
二定积分定义
现实中许实例实际意义解决问题方法样：分割取似求取极限方法求量结式极限称种式极限函数定积分
定 义： （说明定积分中符号称谓）
定积分定义知实例表示成定积分：面积
说 明：定积分特殊式极限常量积函数f(x)积分区间[ab]关积分变量字母表示关
三定积分意义（作 图）
函数f(x)[ab]连续时定积分分成三种形式：
1[ab]定积分表示曲线f(x)直线xaxby0围成曲边梯形面积A
2[ab]定积分表示曲线f(x)直线xaxby0围成曲边梯形面积A相反数
3[ab]f(x)正负定积分表示x轴方图形面积A1方图形面积A2差
结：定积分意义：号面积
例1定积分意义判定列积分正负：
（1） （2）
例2定积分表示曲线yx2+1直线x1x3y0围成图形面积？
四定积分性质（简略）
（1） （2） （3）
（4）积分中值定理：
设函数f(x)ab限积分区间连续ab间少存x（中值） f(x)(b－a)
yf(x)
x
y
O
a
b
x
f(x)
积分中值定理解释：f(x)[ab]连
续非负定理表明[ab]少存点x
[ab]底边曲线yf(x)曲边曲边梯形面积
底高f(x)矩形面积相等图示．角
度f(x)作曲边梯形曲顶均高度函数值
角度f(x)理然应该f(x)[ab]均值．
积分中值定理里解决求连续变化量均值问题．
思考题：
1 定积分定义计算定积分中定常数[矩形面积]
2 表述定积分意义？根定积分意义求列积分值：
（1） （2） （3） （4）
探究题：定积分符号定义结果方法等说明什定积分？
结：定积分质：宏观（整体）研究非均匀量改变量问题处理非均匀量法思想方法：(1)范围变代变获似值(2)利极限思想似值转化精确值中分匀需求整体量求
作 业：P40（A：13）
课堂练（定积分概念）
A组
判定正误：
1定积分表示曲边梯形面积（ F ）
2定积分值积函数f(x)积分区间[ab]积分变量x关F
3 （ T ） 4 （ F ）
二定积分表示面积：
(1)曲线
(2)方程确定圆面积？
三 定积分定义计算定积分中定常数
B组
定积分意义计算：？ []
二定积分意义求直线围成面图
形面积？
三定积分定义求曲线围成面图形
面积？
数学认识实验： 定积分思想直观
1函数[01]围成面积分析：
（1）步长01分割（n10）
（2）步长005分割（n20）
（3）步长001分割（n100）
第七讲 定积分导数
教学目：掌握原函数概念NL公式
重 难 点：作路程定积分微积分基定理
教学程序：复定积分概念（式极限）—>原函数—>NL公式（求路程）
推导—>N—L公式（计算方法）—>定积分计算（简单）
授课提：
前 言：定积分重概念果定义计算计算复杂易必须寻找新计算方法面研究定积分导数关系
原函数概念
定 义：某区间称F(x)f(x)原函数
：已知2x原函数理原函数（说明：原函数唯）
*二变限函数
设函数f(x)[ab]连续称函数变限函数记性质：
(1)
(2)[ab]连续[ab]导
性质(2)原函数定义知p(x)f(x)原函数
定 理（原函数存定理）f(x)[ab]连续原函数定存原函数表示
例1求 ？ 例2求 ？
三N－L公式（直观推导）
设辆汽车作变速直线运动（图）时刻ab求路程？
（1）已知路程函数
（2）已知速度函数定积分
（3）s(t)v(t)关系：s(t)v(t)原函数
般定理：
设函数f(x)区间[ab]连续F(x)f(x)原函数
说 明：(1)N－L公式揭示定积分原函数（定积分）间联系
定积分计算提供效简便方法
(2)定义知求定积分步骤：①求原函数 ②求原函数增量
例3求列定积分：
（1） （2） （3）
例4求曲线直线x0xπy0围成图形面积？
例5求曲线围成面图形面积？
例6设物体速度求时段距离？
思考题：
1
答：变量函数0
2
答：常数
3 ？
答：结果中含0
4 ？
答：变限定积分求导公式知
结：N—L公式意义：矛盾微分积分统起哲学中立统规律具体表现微观宏观辨证统美学价值：宏观统美
作 业：P46（A：1）（B：1）
课堂练（定积分导数）
A组
1计算列定积分：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2求曲线围成图形面积？
3设求k值？ [2]
4设 [两边求导数]
B组
1设求a值？ [3]
2求导数：？ []
3定积分求极限：（）
*4利定积分性质求极限：？（估值定理夹值定理）
*5证明方程(01)唯实根
*6设f(x)[04]连续f(2) 14
数学认识实验： 定积分：直观
第八讲 题课（导数定积分）
教学目：系统化单元容掌握基概念方法
基概念方法：
1极限概念求极限方法
2导数概念导数公式运算法
3导数物理济意义
4定积分概念定积分物理意义（济意义）
5NL公式求定积分
二基题型：
1求列极限
（1） （2） （3） （4）
2求列导数
（1） （2） （3）
3求列导数
（1） （2） （3）
4求列积分
（1） （2） （3）
5求曲线点（12）处切线方程？
6求t2时速度？
7设某产品成函数求边际成？
8求曲线围成图形面积？
9已知物体速度求时段路程？
10设 [加性]
11设f(x)[ab]连续曲线yf(x)直线xaxby0围成曲边梯形面积 []
三提示提高：
1穷定义性质
定 义：称时穷
性 质：界函数穷积穷
例1求极限？
2穷较：（略）
时等价
时
例2时较阶？
3闭区间连续函数性质
（1）界定理（2）值定理（3）零点定理（4）介值定理
例3设f(x)[02]连续f(0)f(2)证明方程[01]少实根
4函数间断点分类（略）
5定积分性质
（1）
（2）[ab]
特[ab]
（3）意实数C
（4）设函数f(x)[ab]值分Mm
（5）设f(x)[ab]连续[ab]均值
例3较：
例4求定积分：中
例5求区间[13]均值？
第九讲 求导法（三）复合函数求导（）
教学目：掌握基导数公式四运算法会求般函数导数
重 难 点：四运算法复合函数连锁法
教学程序：基初等函数导数公式（复）—>导数四运算法—>例子
授课提：
前面学导数概念简单函数求导节系统学函数求导方法
复基初等函数导数公式（重点）
（板书略）
二复导数四运算法（重点）
设u(x)v(x)导函数
(1) (2) (3)
例1求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
例2求导数？（商导数公式推导）
理：
例3求函数处导数值？
例4求点（12）曲线相切直线方程？
三复复合函数概念分解
说明：复合函数分解般外分解分解基初等函数简单函数
例5分解列函数
（1） （2） （3）
四复合函数求导法
设关x复合函数
说明：（1）求复合函数导数首先分清楚函数复合结构求出层次简单函数导数连锁法复合函数导数
（2）复合函数分解般外序进行
例6求列导数（先分解求导）
(1) (2) (3) (4)
例7设导记中a
常数求？
例8设？ [5e]
思考题：
1设求？[利指数恒等式：]
2 设求？[ ]
结：掌握复合函数求导连锁法复合函数求导明确：（1）熟练基导数公式（2）恰分解复合函数（3）正确连锁法
作 业：P55（A：12B：2）P58（A：1）
思考题：
1 定初等函数求导法定求出导函数？什？
答：定求出导函数
基初等函数求导函数初等函数基初等函数限次四运算限次复合运算形成复合函数求导法导数四运算法知定初等函数求导法定求出导函数
课堂练（求导法三复合函数）
A组
1求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
2设
3曲线取两点x11x23两点引割线问曲线点切线行引割线？
4求列函数导数
(1) (2) (3) (4)
5求函数x1处导数值？
6已知曲线切线直线垂直求切线方程？
B组
1证明导偶函数导数奇函数
2设？ [13]
3设问ab值时函数f(x)处处连续导？
4设？ []
5设f(x)连续导数？[12]
数学认识实验： 函数导函数图
第十讲 复合函数（二）高阶导数
教学目：熟练掌握复合函数求导会求函数二阶导数
重 难 点：复合函数求导二阶导数
教学程序：复合函数求导法（复）—>例子—>高阶导数定义—>例子
—>二阶导数物理意义—>求高阶导数
授课提：
复复合函数求导（）
例1求列函数导数
（1） （2） （3）
例2设求？ []
例3设 [略]
例4设？[]
二高阶导数概念
函数yf(x)n1阶导数导数称函数n阶导数
说明：求高阶导数反复利求阶导数方法
例5求列函数二阶导数？
(1) (2) (3)
例6设？
例7求n阶导数？
例8求n阶导数？ []
例9求n阶导数？[]
三二阶导数物理意义（复）
设物体运动方程s(t)表示物体时刻t加速度
例10设物体运动规律：时速度加速度？
探究题：（股票走势）设代表某日某公司时刻股票价格试根情形判定阶二阶导数正负号：
（1）股票价格升越越快[]
（2）股票价格接低点 []
思考题：某公司次广告促销活动中销量提高销量关时间曲线凹表明该公司营情况？什？曲线凸呢？[表明销量增长速度快]
结：理解高阶导数递定义法（高阶导数通低阶导数求导）阶导数符号反映事物增长减少二阶导数符号说明增长减少快慢
作 业：P59（A：23B：1）
课堂练（复合函数求导二）
A组
1求列导数
（1） （2） （3）
2求列函数二阶导数
(1) (2) (3)
3验证函数
4设物体运动规律求物体t0时速度加速度？
5设函数f(x)偶函数求？
6设周期函数f(x)R导周期4曲线yf(x)点（5f(5)）切线斜率 2
B组
1设？ [1]
2求？ [6]
3求n阶导数？[变形]
第十讲 隐函数求导数求导法
教学目：掌握隐函数求导方法解数求导法
重 难 点：隐函数求导法
教学程序：隐函数概念—>隐函数求导方法（举例说明）—>数求导法
（例子）—>参数方程导数—>例子
授课提：
隐函数概念
变量变量函数关系方程确定函数称隐函数
：等确定yx隐函数
说明：隐函数化成显函数更化成显函数时应明确非意方程确定隐函数
二隐函数求导
隐函数求导方法：方程两边项分x求导视yx函数复合函数求导法求导解出y'
例1求隐函数导数？
例2求隐函数导数？
例3求隐函数点（01）导数值？ [1e]
说明：隐函数导数般含xy表达式
例4求曲线点（11）处切线方程？
三数求导法
幂指函数(中uvx函数）项式运算方开方函数求导方法：应先方程两边取数然隐函数求导法求导数（先取数求导数）
例5求函数导数？
例6求函数导数
例7求导数：
*四参数方程导数
设函数函数反函数存复合函数求导公式：
说明：参数方程导数般含参变量t表达式
例8求函数导数？
思考题：
1求导数？ [两次取数求导数]
2求导数？ [先区数求导数]
3球形细胞天增长体积3半径时半径增长速度少？ []
结：隐函数求导关键：（1）明确方程中函数（2）方程中项终关求导（3）解出（般含表达式）
参数方程导数：公式复合函数求导法推导
作 业：P62（A：23B：12）
课堂练（隐函数求导）
A组
1求列隐函数导数
(1) (2) (3)
2求方程确定函数y点（01）处导数？
3求方程确定隐函数导数？[]
4设物体运动方程：求(1)物体意时刻速度加速度？(2)时速度0？(3)时加速度0？
*5求列导数
（1） （2）
B组
1设函数yy(x)方程确定求？
2求隐函数二阶导数？
3确定abc值抛物线曲线x0处 相交具相二阶导数
4设
5设
*6证明：曲线点切线截二坐标轴截距等1
*7已知求
纳总结： 初等函数导数
1根导数定义求导数
设函数点附定义求函数导数步骤：
（1）求函数增量：
（2）求值：
（3）求极限：
2基导数公式（常）
3四运算法（导）
4复合函数导数
设函数复合成函数
5隐函数导数
设函数方程确定隐函数
6参数方程导数
设函数参数方程确定
第十二讲 题课（函数求导方法）
教学目：系统化单元容系统掌握函数求导方法
函数求导基方法：
1定义求导（三步骤）
2基初等函数导数公式法
3复合函数求导方法（连锁法）
4隐函数求导方法数求导法*参数方程导数
5求函数高阶导数
二基题型：
1求列导数
（1） （2） （3）
2求列导数
（1） （2） （3）
3求列函数二阶导数
(1) (2) (3)
4设物体运动规律求物体t0时速度加速度？
5设求？
6设？
7设导偶函数求曲线点处
切线方程？
8求列隐函数导数
(1) (2) (3)
9求方程确定函数y点（01）处导数？
10求函数导数？
11已知求？
三微积分发展史（1615—1883年）
绝相信历史事实种出色教育指南—— MKline
1615年德国开卜勒发表酒桶立体学研究圆锥曲线旋转体体积
1635年意利卡瓦列利发表分连续量学书中避免穷量分量制定种简单形式微积分
1637年法国笛卡尔出版学提出解析变量引进数学成数学中转折点
1638年法国费马开始微分法求极极问题
1638年意利伽利略发表关两种新科学数学证明说研究距离速度加速度间关系提出穷集合概念书认伽利略重科学成
16651676年牛顿（16651666年）先莱布尼茨（16731676年）制定微积分莱布尼茨（16841686年）早牛顿（17041736年）发表关微积分著作
1684年德国莱布尼茨发表关微分法著作关极极切线新方法
1686年德国莱布尼茨发表关积分法著作
1691年瑞士约贝努利出版微分学初步促进微积分物理学力学应研究
1696年法国洛达发明求定式极限洛达法
1697年瑞士约贝努利解决变分问题发现速降线测线
1704年英国牛顿发表三次曲线枚举利穷级数求曲线面积长度流数法
1711年英国牛顿发表级数流数等分析
1715年英国布泰勒发表增量方法
1731年法国克雷洛出版关双重曲率曲线研究研究空间解析微分初尝试
第十三讲 函数单调性
教学目：掌握函数单调性判法会求函数单调区间
重 难 点：单调性判法
教学程序：简介微分中值定理—>复单调性定义—>单调性判定（导数）
—>求单调区间（例子）——>纳总结解题步骤
授课提：
拉格郎日中值定理
x
x
y
a
b
P
O
A
B
函数f(x)[ab]连续(ab)导(ab)少存点（作图说明）
说明：(1)定理微积分学重定理准确表达函数闭区间均变化率函数该区间某点导数间关系函数局部性研究函数整体性重工具
(2)定理充分必
例1验证：函数否满足拉格郎日条件满足求出？ [取闭区间]
例2证明： [Lagrange定理]
二罗达法（叙述）
1条件：（1）属定式（2）导数极限存
2方法：先求导数求极限满足条件时连续
例2求列极限
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
三函数单调性判定（阶导数）
1复单调性概念：（略）
2作图说明函数单调性导数正负关：（作图演示）
3单调性判定定理：
设f(x)[ab]连续(ab)导
(1)f(x)（ab）单调增加
(2)f(x) （ab）单调减少
(3)（ab）f(x)C
例3判定单调性？
例4判定函数单调性？
四求函数单调区间
1驻点概念（阶导数0点）
2求函数yf(x)单调区间步骤：
(1)确定函数定义域
(2)求出点存点点分界点定义域
区间分成干部分区间
(3)列表讨函数部分区间单调性
例5求函数单调区间？
例6求函数单调区间？
例7证明：（作辅助函数）
思考题：
1洛必达法求极限时应注意什？[注意条件]
2试Lagrange中值定理证明函数单调性判定定理
结：微分中值定理连接函数局部性质整体性质桥梁体现局部整体质部联系
作 业：P72（A：1）
课堂练（函数单调性）
A组
1证明函数区间（0+∞）单调递增？
2求函数驻点？
3求函数单调区间？
4证明等式：
5判定正误：
(1)f(x)(ab)单调递增f(x)（ab）单调递减（ T ）
(2)x0必驻点 （ T ）
(3)x0函数f(x)驻点曲线f(x)点（x0f(x0)）处切线方程
（ T ）
B组
1证明函数（∞0）单调递增
2设函数间关系？
3证明：函数唯实根
4设f(x)具二阶导数
单调增加
5设函数连续二阶导数
求极限：？ [1]
*6求证：方程
提示：作新函数根存定理单调性证明
数学认识实验： 微分中值定理直观
1较罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理意义
函数参数方程定曲线点切线斜率端点连线斜率Lagrange定理Cauchy定理
y
T
B
P
A
x
g(a)
g(b)
O
x
2单调性导数正负直观
第十四讲 函数极值
教学目：理解极值定义掌握函数极值求法
重 难 点：极值概念求法
教学程序：极值概念—>极值存必条件—>极值存充分条件（第
第二充分条件）—>求函数极值（例子）——>纳总结解题步骤
授课提：
函数极值
1定 义：（略）（作图直观理解）
说明：(1)极值局部概念
(2)极值点函数增减减增分界点
2极值存必条件
函数f(x)点取极值存
说明：(1) 定极值点：x0处
(2)存极值点：x0处
二极值存第充分条件（阶导数法：略）
例1求函数极值点极值？
例2求单调区间极值？
三极值存第二充分条件（二阶导数法）
设f(x)点二阶导数
(1)f(x0)极值
(2)f(x0)极值
例3求函数极值？
例4求函数极值？
四求函数极值般步骤
(1)确定函数定义域
(2)求函数导数确定驻点导数存点
(3)极值第第二充分条件确定极值点
(4)极值点代入原函数f(x)求出极值指明极极
说明：利第二充分条件判定函数极值必须注意适范围
例5试问a值时函数处取极值？
极值极值？求极值？
思考题：
1极值点种？ [驻点存点]
2判定极值点否极值点？[两极值存充分条件]
结：函数极值指函数局部性质（范围）体现事物相性
作 业：P72（A：2B：2）
课堂练（函数极值）
A组
1求函数极值？
2求列函数单调区间极值
(1) (2)
3设函数x1处极值2求ab值？
4求函数极值？
5判定正误：
(1)x0极值点曲线x0处切线切线行x轴[ T ]
(2)函数yf(x)(ab)导唯驻点驻点必极值点[F]
(3)导函数f(x)(ab)唯驻点x0f(x0)f(x)值[F]
B组
1求函数极值？
2设yy(x)方程确定求yy(x)驻点判否极值点？[二阶导数法]
3已知yf(x)切x满足
（ B ）
Af(x0)f(x)极值 Bf(x0)f(x)极值
C点（x0f(x0))拐点 D
数学认识实验： 导函数图极值
第十五讲 曲线凹凸性
教学目：理解凹凸性定义会求曲线凹凸区间拐点
重 难 点：求曲线凹凸区间
教学程序：凹凸性概念—>凹凸性判定—>求凹凸区间拐点—>应
授课提：
凹凸概念
1区间作函数图（较曲线变化）
说明：函数研究说仅单调性极值够
2定义：（略）（通曲线切线位置关系定义）
说明：(1)注意拐点定义（凹凸分界点二阶驻点）
(2)凹凸性成二阶导数应
二凹凸性判定
定 理：函数二阶导数意
（1）凹
（2）凸
（3）凹凸分界点称拐点
例1求曲线凹凸区间拐点？
例2求曲线凹凸区间拐点？
三求曲线凹凸区间步骤（较求单调区间极值步骤）
（1）求
（2）求二阶驻点二阶奇点
（3）分段（区间）讨凹凸性确定拐点
例3求曲线单调凹凸区间极值拐点？
四凹凸性应
（1）曲线凹凸性知函数增长减少快慢程度
例4某公司次广告促销活动中销量提高销量关时间曲线凹表明该公司营情况？什？曲线凸呢？[表明销量增长速度快]
（2）解曲线凹凸性便作函数图
例5作函数图？
思考题：
1画出图说明函数递增快点递增慢点？
[参见教材P76]
结：曲线凹凸性表明函数递增（递减）快慢程度指阶导函数单调性
作 业：P77（A：12B：1）
课堂练（曲线凹凸性）
A组
1求列曲线凹凸区间拐点：
（1）
（2）
2求曲线单调凹凸区间极值拐点？
3已知点（12）曲线拐点求ab值？
B组
1证明曲线三拐点条直线
2作列函数图：
（1） （2）
第十六讲 函数值
教学目：理解值概念会求简单实际问题值
重 难 点：求函数值
教学程序：值概念—>值求法（较法）—>两种特殊情况值—>实际
问题值（例子）——>数学建模介绍（优化）
授课提：
值定义（略）
说明：值全局概念针整区间言
二求连续函数f(x)[ab]值般方法（较法）
例1求函数[22]值？
三两种特殊情况求值：
(1)f(x)区间[ab]连续单调f(a)f(b)定值
(2)f(x)某区间仅唯驻点该驻点极值点极值点
定值点
例2求[12]R值？
例3求[02]值？
四值应
导数研究实际问题值时建立函数区间(ab)唯驻点根具体问题实际意义判定(ab)必（）值唯驻点值点勿需进行数学判定
例4边长48cm正方形铁皮作盖铁盒问四周截四相正方形作铁盒容积？
例5长方形周长定时时面积？
说明：求实际问题值时重点确定建立函数关系定义域
例6设总成总收入式出中求获利润产量x
五优化问题数学建模（p71例15）
求出某量许实际问题重求时间短利润成低等相应学生数学建模竞赛题优化问题必须优化思想方法分析解决问题
例7乐山佛通高71米船观赏佛游眼睛佛脚底水线1米观赏佛佳视角（应视角）时游离佛（中心线）远水距离？[85米]
思考题：
画图说明闭区间连续函数极值值间关系[局部整体]
结：函数值指函数区间特性某区间绝区间相体现绝性相性辨证统
作 业：P82（A：13）P78（优化问题）
课堂练（函数值）
A组
1求列值：
(1) (2)
2某企业生产批某产品x单位总成总收入提高济效益批生产少时总利润？
*3某项目利润两方案供选择关系分：中t时间问t1时方案优？[二阶导数]
B组
1设yy(x)方程确定求yy(x)驻点判否极值点？
2某公司市场推出种产品时发现需求量方程确定总收益生产x单位成求获利润单位价格p？
310分成两正数方？
4试求接半径厘米圆周长矩形边长？
数学认识实验： 函数极值值直观
1值极值：
2二阶导函数图讨曲线凹凸性：
第十七讲 微 分（）
教学目：理解微分概念会求初等函数微分
重 难 点：微分定义微分形式变性
教学程序：问题引进—>微分定义—>导微—>微分公式—>复合函数
微分（形式变性）—>求微分举例
x0
Dx
授课提：
微分定义
1问题：块正方形铁皮受温度变化影响
边长变化时面积改变少？
解：
较时
2定义：设函数yf(x)x0点导称函数f(x)点x0微分记dy般
令(dx称变量微分)
说明：（1）函数微分等函数导数变量微分
（2）说明微分微商符号含义
例1设时求dy△y
例2求列函数微分：
(1) (2) (3)
二微导间关系
定理：函数f(x)某点微函数点导反结成立
说明：定理仅元函数成立
例3讨函数y|x1|x1处微性？（导性）
三微分意义
设yf(x)dy等曲线点（xy）处切线坐标增量（作图）
四微分基公式
导数基公式微分基公式（略）
五复合函数微分
设yf(u)ug(x)复合成函数yf[g(x)]
说明：u中间变量变量微分形式表示
（阶微分形式变性）
例4填空
(1) (2) (3) (4)
(5) (6)
例5求列函数微分：
(1) (2) (3)
例6求函数x0x1处微分？
思考题：
1回答列问题：
(1)f(x)点x0微分否函数？ []
(2)f(x)(ab)微f(x)微分变量变化？ []
(3)du△u否相等？ [u中间变量时相等]
2导微关系？意义分表示什？区？[等价]
3点微导连续间关系？
结：微分质：函数增量线性部函数局部线性化
作 业：P87（A：13）
课堂练（微分）
A组
1填空
(1) (2) (3) (4)
(5) (6)
2x0变001时求函数yex似值？
3求列函数微分
(1) (2) (3)
4变量x改变量△x时问△y 分表示什含义？
B组
1作两图分表示？
2设f(x)微求微分？
3设
数学认识实验： 函数微分量增量图较
1微分量增量：
P
Q
2微分思想：直代曲意义
图中x附切线PT代曲线PQ
3项式似函数（泰勒公式）：（）
似项式：（x0处展开）
第十八讲 微 分（二）
教学目：熟悉凑微分式解微分简单应
重 难 点：凑微分式微分应
教学程序：凑微分式（填空）—>微分应—>似计算—>例子
授课提：
凑微分式
例1填空：
(1) (2) (3)
(4) (5)
(6) (7)
二微分应
1利微分求导数（微分形式变性）
隐函数求导方程两边求微分通求微商求出导数
例2求方程确定隐函数导数？
例3求方程确定隐函数导数？
2似公式
微分定义知
似公式：
例4求似值：？
例5球壳外径20厘米厚度2毫米求球壳体积似值？
面公式中取
例6x较时证明列公式：
(1) (2)
*3泰勒公式（选讲）
设函数f(x)x0点直n+1阶连续导数
例7泰勒公式求极限：[12]
提示：
探究题：某反馈放电路设开环电路放倍数闭环电路放倍数二者函数关系：时受环境温度变化影响变化10求变化少？相变化量少？
结：掌握微分应——似计算熟练凑微分式子
作 业：P87（A：5B：23）
课堂练（微分二）
A组
1填空
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2求似值？
3证明似公式：
(1) (2)
4正方体铁箱外1米铁皮厚2毫米求装进液体体积似值？
B组
1设函数[01]微[01]意x0
3泰勒公式求极限：？
提示：
4求隐函数：点(01)微分？
第十九讲 题课（导数应微分）
教学目：系统化单元容掌握基概念方法
基概念
拉格郎日定理单调性极值值微分
二基法
1拉格郎日定理 2洛达法（求极限方法）
3极值存充分条件 4单调性判法
5值求法 6微分应
三典型例题
1求列极限：
(1) (2) (3)
2证明：
3证明：
4设f(x)定义域导f(x)偶函数f'(x)奇函数
5证明：方程3实数根
6求函数单调区间？
7求极值？
8求曲线单调区间极值凹凸区间拐点？
9容积16π立方分米圆柱形罐头盒样设计料省？
10设函数[01]导[01]意x0
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
12证明似公式：（|x|较时）
(1) (2) （3）
13求列函数微分：
(1) (2) (3)
14已知求？
15设
提示：
四提示提高
1洛达法求极限注意事项
（1）满足定理条件时
例1求极限？（满足条件）
（2）次法算式较繁琐应进行化简算式中非未定式
应分离出算出结果
例2求极限？
2证明等式方法（拉格郎日定理函数单调性）
函数单调性证明等式中符号明显确定
需进步确定单调性（某部分区间符号
例3证明
3求实际问题值时：（1）分析问题建立目标函数确定定义域（2）求解极值问题
例4长200线构成正方形圆形问分配构成
图形面积？
第二十讲 定积分概念直接积分法
教学目：理解定积分概念掌握基积分公式运算法
重 难 点：定积分概念基积分公式
教学程序：积分问题（微分逆问题）—>原函数—>定积分—>性质—>基积
分公式—>直接积分法—>例子
授课提：
定积分概念
1积分←→微分（互逆问题）：已知求f(x)
2原函数定义：（略）
例1求F(x)？
说明：函数原函数唯原函数间相差常数
3原函数存定理：（闭区间连续函数定原函数）
结：初等函数定义区间定原函数
4定积分：原函数全体记： (说明符号意义)
说明：（1）定义知求定积分求原函数加意常数
（2）积分号 ò 种运算符号表示已知函数求全部原函数．定积分结果中漏写C．
例2求定积分：
(1) (2) (3)
二定积分性质（体现微分积分运算互逆性）
(1) (2)
例3判断正误：(1) (2)
(3)
三定积分基公式：
定积分定义基初等函数求导公式（举例说明）
例4求列积分：
(1) (2) (3) (4)
四直接积分法（包括：积分公式代数变形三角变形等）
1积分基公式：（略P84）
2积分运算法：
例5求列积分：
(1) (2) (3) (4)
思考题：
1定积分性质中求？[等式成立]
2原函数？ []
结：求导数相较求定积分更具技巧灵活性积函数作恒等变形转化基公式中积分形式计算熟练基积分公式求定积分关键重点
作 业：P96（A：12B：1）
课堂练（定积分概念）
A组
1已知
2判定正误：
(1) (2) (3)
3求列积分：
(1) (2) (3)
(4) (5)
4已知物体速度t1时物体路程3求物体运动规律？
B组
1设求f(x)
2已知某产品边际成（万元）边际收益（万元）中x产量固定成1万元求种产品利润函数？
3f(x)原函数求：(1)(2)？
第二十讲 换元积分法（）
教学目：掌握第类换元积分法（凑微分法）
重 难 点：第类换元积分法（凑微分）
教学程序：问题（复合函数积分）—>直接换元—>凑微分—>复凑微分
式子—>凑微分举例—>课堂练
授课提：
换元积分法
问 题：求积分： 等
显然直接积分法法解决类积分必须引入新积分法换元积分
1般设F(u)f(u)原函数ug(x)导
凑微分 换 元 回代
说 明：换元积分中结果定新变量换成原积分变量
例1求列定积分：（换元）
(1) (2) (3)
2凑微分：述换元积分中
（凑微分）
说 明：换元积分法较凑微分省略换元回代两步凑微分
更简单关键凑微分
例2求列定积分：（凑微分）
(1) (2) (3) (4)
二凑微分时常列微分式子：
三求列定积分：
1 2 3
4 5 6
例3证明：
思考题：
1换元？规律什？ [教材P87]
2换元类型规律什？ [教材P88]
探究题：简述换元积分法特点说明方法生活中什启示？
结：讲学生掌握定积分凑微分法求学生加练方较掌握注意：第类换元积分法（凑微分）求积函数复合函数定积分问题实质复合函数求导法逆运算
作 业：P102（A：23）
课堂练（换元积分）
A组
1填空：
2求列定积分：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
3求列定积分：
(1) (2) (3) (4) (5)
4设求？
B组
1求列定积分：
（1） （2） （3）
（4） （5）
3求定积分：
（1） （2）
4设求？
5设函数求？
第二十二讲 换元积分法（二）
教学目：熟练掌握凑微分法解第二类换元积分法
重 难 点：第类换元积分法（凑微分）
教学程序：凑微分举例—>第二类换元积分—>根式换元(例)—>三角换元（例）
授课提：
复凑微分式子（略）
二凑微分举例
求列定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5)
三第二类换元积分法（包括根式换元三角换元）
求列定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
说 明：
1积函数中含x根式时般作根式换元掉根式
积分
2三角换元
(1)积函数中含令xasintxacost
(2)积函数中含令xatantxacott
(3)积函数中含令xasectxacsct．
思考题：
1第换元法（凑微分法）第二换元法区什？ [序相反]
2第二换元法规律寻？ [三角根式换元]
结：讲学生掌握简单函数第二类换元积分注意：第二类换元积分法积函数中含根式情况换元目掉根号
作 业：P102（B：12）
课堂练（换元积分二）
A组
1求列定积分：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2设f(x)原函数？
B组
1填空：
（1）求积分作代换x
（2）求积分作代换x
（3）求积分作代换x
2求积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
第二十三讲 分部积分法
教学目：掌握分部积分法
重 难 点：分部积分公式分部积分法中udv选择
教学程序：问题（积积分）—>分部积分公式（推导）—>分类举例分部
积分法—>纳总结积分技巧
授课提：
问 题：求 等积分？
二分部积分公式：（积微分公式逆运算）
例1求 (选x作u选exdx作dv)
说明：正确分部积分关键：适选择udv般考虑两点：
(1)v容易求(2)较更易积分
三举 例：（三种类型积分）
(1)积函数幂函数指数三角函数积选幂函数u
(2)积函数幂函数数反三角函数积选数函数反三角函数
u
(3)循环积分：限次分部积分等式中出现相积分式
分部积分法中uv选择规律：
积表达式(Pn(x)项式)
u(x)
dv
Pn(x)×sinaxdxPn(x)×cosaxdxPn(x)eaxdx
Pn(x)
sinaxdx
cosaxdxeaxdx
Pn(x)lnxdxPn(x)arcsinxdxPn(x)arctanxdx
lnxarcsinxarctanx
Pn(x)dx
eax×sinbxdx eax×cosbxdx
eaxsinbxcosbx均选作u(x)余作dv
例2求列定积分：
1 2 3 4
5 6 7
例3设f(x)原函数求？[两次分部积分]
例4设 求 ？ [先换元积分]
例5设 [令lnxt]
四总结求定积分技巧：
求定积分方法：考虑直接积分凑微分分部积分
：
(1)首先考虑否直接积分基公式性质
(2)次考虑否凑微分法
(3)考虑否适变量代换第二类换元法
(4)两类函数积否分部积分法
(5)否综合运反复述方法
(7)外简明积分表获启发者运MathCAD数学软件包
结果
思考题：
1 应分部积分公式关键什？积分般应什样规律设？[积函数类型]
2较三类积分法特点？ [类函数加减复合函数类]
结：讲学生掌握分部积分方法注意：分部积分法求积函数积积分问题实质函数积求导法逆运算
作 业：P105（A：1B：1）
课堂练（分部积分法）
A组
1求列定积分：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2设（令lnxt）
B组
1求列定积分：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2计算 [展开分部积分]
3设f(x)原函数求？
4设F(x)f(x)原函数时已知F(0)1
F(x)>0求f(x)？
第二十四讲 定积分计算
教学目：掌握定积分计算方法（直接凑微分分部积分法）
重 难 点：定积分计算方法
教学程序：复N—L公式（明确求定积分步骤）—>直接积分法—>凑微分
法—>分部积分法—>两重结—>课堂练
授课提：
NL公式：设F(x)f(x)原函数
定积分计算方法（定积分方法致）
直接积分法
例1求列定积分
（1） （2） （3）
二换元积分法（凑微分）
例2求列定积分
（1） （2） （3）
（4） （5）
说明：定积分换元积分中换元时积分限换凑微分法计算定积分时换积分限（建议：量凑微分法）
三分部积分法
例3求列定积分
（1） （2） （3）
四两重结
结 ：设f(x)区间[aa]连续
（1）f(x)奇函数
（2）f(x)偶函数
－a
x
y
O
a
－a
x
y
O
a
例4利面结求列定积分：
（1） （2） （3）
（4）
思考题：
1 定积分定积分换元法区联系？[定积分换元换限]
2积分区间分段函数时问计算定积分？
举例说明[利加性分成定积分相加]
探究题：
1（口统计）某城市居民口分布密度数学模型中（km）离开市中心距离单位10万km2求离市中心10km范围口数
2（环境污染）某工厂排出量废气造成严重空气污染第七年废气排放量求该厂年间排出总废气量
结：掌握求定积分NL公式熟练掌握定积分计算方法
作 业：P108（A：12B：12）
课堂练（定积分计算）
A组
1计算列定积分
（1） （2） （3）
(4) (5) (6)
2计算：
3证明：
4计算：？ []
5求k值？
B组
1设
2设f(x)R连续意xy
求定积分？
3时较阶？
4设f(x)连续函数证明：
*5设f(x)连续函数证明：
*6设f(x)
提示：设？
*7设求？
提示：先求导数解微分方程
第二十五讲 定积分应（）
教学目：理解定积分微元法会求面图形面积
重 难 点：求面图形面积
教学程序：微元法（先微分积分）—>求面图形面积（分定积分
意义微元法求解）—>举例
授课提：
定积分微元法
定积分定义中采分割取似求取极限方法求整体量四步骤中关键局部取似事实许物理量方法方便计算区间[ab]某量Q定积分方法简化：（称方法微元法）
（1）求微分：找出量Q具代表性区间[xx+dx]部分量△Q似值dQdQf(x)dx（微元）
（2）求积分：整体量QdQ区间[ab]定积分Q
求曲边梯形面积A问题例微元法简写成样：
x
y
O
x
x+dx
DS
yf(x)
a
b
取微段[xx+dx]曲边梯形微段部分面积微元dAf(x)dx
A．
二面图形面积（直角坐标系中）
1复曲边梯形定义：（略）
2面积计算：（微元法意义求解）
面曲线围成图形面积计算结曲边梯形面积计算曲边梯形面积计算定积分计算问题求面图形面积概括：
面图形è曲边梯形è定积分è通定积分计算求出面积
例1求曲线yx2直线x1x轴围成图形面积？
y
解：图示取x积分变量积分区间[01]
x
1
A
例2求曲线yx2xy2围成图形面积？
x
y
O
y2x
y x2
1
1
解：图示交点作x轴垂线求面积
成两曲边三角形面积差
取x积分变量积分区间[01]
A
例3求曲线yx2直线y2x+3围成图形面积？
例4求曲线yx3直线y8x0围成图形面积？
说明：微元法求例题面积
思考题：
1 什微元法？微元法解决实际问题思路步骤？[先微分积分]
2求面图形面积般分步？ [三步]
结：微元法求[ab]区间非均匀加量方法精神：（1）局部求微元（2）整体求积分关键求微元寻找整体量微分方法：求线性部者说求成线性关系等价穷（时）
作 业：P118（A：12）
课堂练（定积分应）
A组
求列曲线围成图形面积：
1
2
3
4
B组
求曲线围成面图形面积？
*二求函数 [02]均值？
*三设作直线运动物体时刻速度求时段[03]
均速度？
第二十六讲 定积分应（二）
教学目：会求旋转体体积
重 难 点：旋转体体积公式
教学程序：旋转体定义—>推导体积公式（微元法）—>求体积（例子）
授课提：
旋转体体积
1旋转体定义：面图形绕面定直线旋转周成立体
：圆柱体圆锥体球体等旋转体
2旋转体体积计算：（微元法公式法求解）
现求曲线yf(x)直线xaxbx轴围成曲边梯形绕x轴旋转成旋转体体积（图示）
x
O
y
xg(y)
d
c
x
O
y
x
A(x)
f(x)
b
a
yf(x)
公式推导：微元法知取x积分变量区间[ab]取区间[xx+dx]时旋转体体积微元
旋转体体积：
理曲线xg(y)直线ycydy轴围成曲边梯形绕y轴旋转成旋转体体积
例5求直线yxx1y0围成图形绕x轴旋转立体体积？
y
yx
解：图示取x积分变量
积分区间[01]
1
0
x
例6求曲线yx2直线x1y0围成图形分绕xy轴旋转立体体积？
例7求曲线ysinx(0£x£p)绕x轴旋转周旋转体体积Vx．
x
OO
y
p
解 ： Vxpp
．
*例8求曲线x2+y22yx2围成图形绕xy轴旋转立体体积？
思考题：
利微元法常代变均匀代均匀直代曲思想推导旋转体体积公式
结：掌握旋转体体积公式利微元法求旋转体体积
作 业：P118（A：3）
课堂练（定积分应二）
A组
求列曲线围成图形绕指定轴旋转成旋转体体积：
1直线x0y0绕x轴
2曲线直线y0绕x轴
3曲线直线x1y0绕y轴
4曲线绕y轴
B组
1求围成区域绕旋转旋转体体积？
2求曲线围面图形绕x轴成旋转体体积？
[]
数学认识实验： 微元法
第二十七讲 题课（定积分定积分）
教学目：系统化单元容掌握基概念方法
基概念方法
1原函数定积分
2定积分计算方法
(1)直接积分法 (2)凑微分法 (3)分部积分法
3NL公式
4求定积分方法：
(1)直接积分法 (2)凑微分法 (3)分部积分法
二求积分（难点）：
积分两条运算法积分微分运算复杂根积函数情况考虑直接凑微分分部积分法时应该明确较函数积
三基题型
1求定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2设求f(x)
3设曲线点(11)曲线点切线斜率1x求曲线方程？
4判断正误：
5设作直线运动物体加速度t0时速度v1路程s0求物体运动方程？
6设某函数x1时极值x2时极值已知函数导数求函数？
6设f(x)原函数求？
7设？
8求积分曲线族中点（01）曲线方程？
9计算定积分：
（1） （2） （3）
10求曲线直线围成面图形面积？
11求围面绕x轴旋转成立体体积？
12设
13求极限：？
14证明方程(01)唯实根
15设f(x)[ab]连续f(x)>0问方程(ab)
少实根？
16设f(x)连续函数证明：
17定积分求极限：
18利定积分性质求极限：？
19设
三提示提高
1分段函数定积分（调整分段积分常数原函数分段点连续）
例1设？
2第类第二类换元积分法区
第类换元积分（凑微分）：先分解积函数作变换
第二类换元积分：先作变换求积分
例2求列积分
（1） （2） （3）
3理分式积分
通常分式化成简单分式（方法：定系数法拼凑法）求积分
例3求列积分
（1） （拼凑） （2） （定系数）
4什积？
许初等函数原函数初等函数时定积分存积出：等等
5定积分求某极限
例1求？（）
例2求？ （）
6分段函数定积分应加性进行计算
例3计算
7变限函数求导数时限x函数复合函数求导法
例4求函数导数？
8含变限函数极限运算般罗必达法
例5求？
例6求常数ab（a49b1）
9估值定理积分中值定理应
例7求证：
例8证明方程区间(01)唯实根
例9求函数[02]均值？
第二十八讲 微分方程（）
教学目：理解微分方程概念掌握分离变量微分方程求解
重 难 点：分离变量微分方程求解
教学程序：微分方程概念—>分离变量方程—>解题步骤—>例子—>练
授课提：
前 言：工程技术济活动中时需根已知条件建立关函数导数（微分）方程微分方程然通微分方程求解找出关函数进行分析部分讨方面容
微分方程定义
实例1已知曲线yf(x)点处切线斜率2x求曲线方程？
分析：导数意义知
实例2设落体运动速度时间成正试确定物体运动规律？
分析：导数物理意义知
例12含未知函数导数微分方程
1定义
含未知函数导数微分方程称微分方程微分方程中出现阶导数高阶数称方程阶：例12阶微分方程
y''3y'2y0二阶微分方程
解果函数代入方程方程成恒等式称函数方程解
通解果微分方程解中含意常数数等微分方程阶数称解方程通解
特解果微分方程解中含意常数称解特解
例1指出列微分方程阶：
（1） （2）
例2判定：微分方程通解（ ）
2微分方程解意义
通解簇积分曲线特解条积分曲线
例3原点曲线点切线斜率2x求曲线方程？
二分离变量微分方程
形 微分方程称分离变量微分方程
例4判定列方程否分离变量微分方程：
（1） （2） （3）
方程 求解程：
求解法：（1）分离变量：
（2）两边积分：
（3）解出关xy函数关系式
例5求解微分方程：
例6求微分方程满足初始条件y(0)2特解？
思考题：
1微分方程特解图形条曲线（积分曲线）通解图形族积分曲线问通解中积分曲线否相互行(注：两曲线行指两曲线横坐标相等点处切线斜率相)？
答：定 通解阶导数中含意常数 积分曲线相互行
探究题：
（鱼塘鱼数）鱼塘养鱼20000条已知鱼塘鱼数目时间函数鱼数目变化率鱼数目成正鱼塘放养鱼苗200条三月鱼塘鱼500条放养半年鱼塘少条鱼？
结：解微分方程相关概念掌握分离变量微分方程标准形式求解方法（分离变量——>积分——>确定解）
提 高：微元分析法：应微分方程处理实际问题第步列出方程数情况直接利导数概念时候容易做
微元分析法利细分整体变量转化局部相变量利微分概念物理定律列出方程
作 业：P131（A：13）
课堂练（微分方程）
A组
求解列微分方程：
1
2
3
4
5
二面曲线满足方程点(01)求曲线方程？
三模拟学程微分方程：中y项知识掌握百分数时间t单位周试求学规律？[y(0)0]
*四设求？
B组
设作直线运动物体速度物体原点距离成正已知物体10秒时距原点100米20秒时距原点200米求物体运动规律？
二某商品需求量Q价格P函数满足方程求需求量Q价格P函数关系？
三求解微分方程：满足t0时p5特解作图？
四设曲线意点切线介两坐标轴间部分恰切点分已知曲线点（23）求曲线方程？
五放射性元素质量时间推移逐渐减少种现象称衰变实验告诉时刻铀衰变率该时刻铀质量成正试确定铀衰变规律？
*六求微分方程满足初始条件特解？[]
*七求微分方程通解？ [交换xy位]
第二十九讲 微分方程（二）
教学目：掌握二阶线性常系数齐次微分方程求解
重 难 点：二阶线性常系数齐次微分方程求解
教学程序：定义（分类）—>解性质—>通解公式推导—>例子（求解）
授课提：
二阶线性齐次微分方程定义
形 (1)（pq常数）微分方程称二阶线性常系数齐次微分方程
二解性质
定理1方程(1)两特解方程(1)通解（c1c2意常数）
证明：（略）
说明：定理1出求方程（1）通解方法两特解确定通解
三求方程两特解（推导）
阶线性齐次微分方程通解：
特点：指数型函数指数型函数阶导数指数型函数联系方程（1）系数常数特点假设（1）特解：
y'y''代入方程（1） （） （2）
说r满足式函数方程（1）解微分方程求解问题转化成代数方程求根问题方程（2）称（1）特征方程
分讨特征方程根情况：令
（1）时两相等实根r1r2方程(1)两特解定理1知方程（1）通解：
例1求方程通解？
解：（略）
（2）时两相等实根r1r2r方程特解假设微分方程（1）特解常数变易法：方程（1）通解：
例2求方程通解？
解：（略）
（3）时轭虚根容易验证方程（1）两特解方程通解：
说明：解形式利欧拉公式
例3求方程通解？
解：（略）
综述求二阶常系数齐次微分方程通解步骤：
（1）写出微分方程特征方程：
（2）求出两特征根：
（3）根特征根情况写出微分方程通解：
例4求方程通解？
例5求方程通解？
例6求方程通解？
例7填空：
（1）二阶微分方程通解中含 2 意常数
（2）二阶微分方程特征方程：
（3）y1y2微分方程两特解
微分方程 通 解
（4）微分方程通解
0
思考题：
1 齐次线性常微分方程性？
答：性齐次线性常微分方程意解叠加函数方程解
2 写出特征方程常微分方程
解：应微分方程
3 写出通解微分方程
解：微分方程特征方程应具二重根
特征方程微分方程
结：掌握二阶线性常系数齐次微分方程求解关键：（1）正确写出特征方程（2）根特征根情形写出通解
作 业：P136（A：12）
课堂练（微分方程二）
A组
求解列微分方程：
1
2
3
4
5
二果方程解求常数k值方程
通解？
B组
求解列微分方程：
1
*2
二作直线运动物体加速度果初速度原点出发求物体运动方程？
*三质量m质点水面静止状态开始降受阻力降速度成正（例系数k)求质点降深度时间关系？
第三十讲 数学软件认识数学文化
教学目：解Mathematica方法
教学程：Mathematica软件介绍—>Mathematica方法—>实例操作
授课提：
Mathematica简介
1．Mathematica简介
Mathematica美国Wolfram公司研究开发著名数学软件够完成符号运算数学图形绘制甚动画制作等种操作
Mathematica种强数学计算处理分析工具解决研究工程计算领域中问题处理较基数学计算
2．Mathematica软件功简介
（1）作函数图：作图程序输入作函数计算机直接作出该函数图
（2）数值计算：简单计算函数值积分值等求微分方程数值解等
（3）符号运算：计算函数极限导数定积分求微分方程通解等前计算机作数值计算作符号运算
3．Mathematica启动基操作
（1）启动：系统安装Window98中鼠标点击开始à程序àMathematica菜单进入系统鼠标双击Mathematica组双击Mathematica图标进入系统
（2）基操作：进入系统出现Mathematica窗口键入命令键入1+2然时Shift+Enter鼠标点击Mathematica徽标结果
二Mathematica操作
通Mathematica求函数极限导数微分定积分定积分作图求极值等
（）基表示
1数表示法：（1）普通数（般数）（2）数学常数（Pi—表示E—表示然数底eDegree—角度单位度I—虚数单位Infinity—表示）
2运算符表示输入：+*^分表示加减方运算优先序数学运算致
3函数表示法输入：
（1）N函数
格式：N[表达式k]
功：求出表达式似值中k选指效数字位数
（2）基初等函数
三角函数：
反三角函数：
（3）函数
—阶Abs[x]—x绝值GCD[nm]—求mn公约数
LCM[nm]—求mn公倍数
说明：（1）函数写字母开头（2）变量应放[]
（3）变量xyz数字算术表达式
4变量表达式
（1）变量：写字母开头字符（字符串）
（2）表达式：变量常量运算符构成代数式表甚图形
（3）变量赋值：变量名表达式
（4）变量清：变量a时Clear[a]清
（二）作图函数输入格式
1作图函数Plot（绘图）：作元函数静态图
2输入格式：Plot[{f1f2…}{xxminxmax}选参数]
中表{f1f2…}绘制图形函数名表{xxminxmax}指变量x
取值范围
3选参数
AspectRatio（横坐标）PlotStyle（画图风格）DisplayFunction（显示函数取值Identity时图形显示出取值 DisplayFunction时恢复图形显示）PlotRange（作图范围）…
（三）求函数极限
基格式：Limit[f(x)x>a]中a常数穷
（四）求函数导数微分
1求导数格式：D[f(x){xn}]中n求导阶数省略阶
2求微分格式：Dt[f(x)]
（五）求函数极值
1求f(x)极值格式：FindMinimum[f(x){xx0}]中x0初始值表示求x0点附极值
2求f(x)极值格式：FindMinimum[f(x){xx0}
（六）求积分
1定积分：格式 Integrate[f(x)x]
2定积分：格式 Integrate[f(x){xab}]中ab积分限b
穷时广义积分
（七）解微分方程
1求通解
输入格式：DSolve[微分方程未知函数名称未知函数变量]
2求特解
输入格式：DSolve[{微分方程初始条件}未知函数名称未知函数变量]
三Mathematica实际操作（机）
四数学文化介绍（参阅教材）
结：讲学生解Mathematica软件方法
作 业：机练
第三十（三十二）讲 总复
元函数微积分基线索容
基线索
函数(象)à极限(基础)à导数(重点)à积分(难点)à应(导数定积分)
二部分容
1函 数
函数定义图性质复合函数（构成分解）分段函数
2极 限
极限定义计算方法（定义四运算连续函数两极限穷洛达法泰勒公式法*定积分法*）
3导 数
导数定义意义计算方法（定义基导数公式四运算复合函数连锁法隐函数求导法[直接法微分法*]数求导法参数求导法*微分法莱布尼兹公式法*）
4积 分
定积分定积分定义定积分意义NL公式积分计算方法（基积分表积分运算法直接积分法换元积分法分部积分法）
5应
微分应（似计算）导数应（洛达法函数单调性极值值凹凸性作图）定积分应（物理*）微分方程（阶）
部分基题型
极限连续
1求列函数定义域（连续区间）：
(1) (2)
2分解复合函数：
(1) (2) (3)
3求列极限：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) （9）
4讨函数x1处连续性？
二导数微分
1填空：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2设函数
3设函数
4设函数
5设函数
6求曲线切线方程？
7设物体运动方程：求t2时速度加速度？
8求列函数导数：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
三导数应
1填空：
(1)函数
(2)函数
(3)曲线
2求函数极值？
3现边长20正方形铁皮欲四角截四边长x正方形围成盖铁盒问x少时盒子容积？
4问ab值时点（13）曲线拐点？
5
四定积分
1填空：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2求列定积分：
(1) (2) (3)
(4) (5) (6) (7)
(8) (9) (10) (11)
(12) (13) (14)
3设运动物体意时刻速度求物体运动规律？
五定积分应
1求曲线围成面面积？
2求曲线直线围成面绕x轴旋转立体体积？
3计算：(1) (2) (3) (4)
*4设f(x)[01]连续证明：
六微分方程
1求通解：
2求通解：
3求特解：满足
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