数学破题36计
第20计 讨开门 防漏防重
●计名释义
什讨？研究象作统结然统分分化整零便击破什分易破呢？部分中性相增加解题条件
分类注意标准统避免重漏集合话说全集合分成干子集
①两两子集交空②子集全
分手段合目分类讨完毕整合出整问题答案
●典例示范
例1 已知a∈R函数f (x)x2|xa|
(1)a2时求f (x)x成立x集合（2）求函数yf (x)区间［12］值
分析 (1)需分两种情况讨（2）含参数讨问题定情况考虑出否容易丢解
解答 (1)a2时f (x)x2|x2|
f (x)x时x2(x2)x (x≥2)x2(2x)x (x<2)x32x2x0x(x22x1)0
x10(舍）x21(舍）x31+
x2(2x)x时∴x32x2+x0x(x22x+1)0x0x1
综述：a2时f (x)x成立x集合{011+}
(2)f (x) a≤1时a<1≤x≤2f (x)x3ax2
∴f ′(x)3x22ax0∴x10x2a ∵1≤x≤2∴a∴x0xa［12］x∈［12］
f ′(x)>0f (x)［12］增函数 ∴f (1)1af (2)84a ∴f (x)min1a
a∈(12)f (x)
1≤x≤a时f (x)3x2+2ax0x10x2a
a<时1≤x∴f (x)mina3+a30
a≤x≤2时f ′(x)3x22ax0x10x2a x∈［a2］f ′(x)>0
∴f (x)［a2］增函数 ∴f (x)min0
a>2时x∈［12］ f (x)x2(ax) ax2x3
∴f ′(x)2ax3x20 ∴x10x2a
f (x)［a2］减函数f (2)4a8
∴f (x)mina14a8中较数 2≤a≤3f (x)mina1 a>3时x∈［12］时f ′(x)>0∴f (x)minf (1)a1
综述a≤1时f (x)min1a
a∈(12)时f(x)min0 a∈(2)时f (x)min 4a8
a∈［3］时f (x)mina1 a∈(3+∞)时f （x）mina1
点评 题分类讨思想考查非常充分深入道试题第（1）问中x取值进行讨第（2）问中a取值进行讨分四种情况见分类讨考查处
例2 设f (x)g(x)h(x)中g(x)2x3++5h(x)(3a+3)x212a(1a)x+
(1)x>0试运导数定义求g′(x)
(2)a>0试求定义区间［06］函数f (x)单调递增区间单调递减区间
解答 （1）g′(x)
(2)f (x)g(x)h (x)2x3(3a+3)x2+12a(1a)x+5f′(x)6x2(6a+6)x+12a(1a)6(x2a)(x1+a)令f′(x)0x2ax1a
①0②≤a<1时0<1a≤2a<6函数f (x)［01a］单调递增［1a2a］单调递减［2a6］单调递增
③1≤a<3时1a≤0<2a<6函数f (x)［02a］单调递减［2a6］单调递增
④a≥3时1a<0<6≤2a函数f (x)［06］单调递减
点评 题中a划分关键找出分界点正确分类进行讨成问题
●应训练
1集合A1A2满足A1∪A2A称(A1A2)集合A种分拆规定仅A1A2时(A1A2)(A2A1)集合A种分拆集合A{a1a2a3}分拆种数
A27 B26 C9 D8
2数列{an}通项公式ann∈N+等 （ ）
A B C D
3 图已知条线段AB
两端点分直
二面角αlβ两面转动
AB面αβ成角分
θ1θ2试讨θ1+θ2范围
第3题图
●参考答案
1A A{a1a2a3}A1∪A2A1标准分类
A1A2{a1a2a3}种分拆仅种C·C1
A1单元素集C种中种例A1{a1}必a1a3∈A2a1∈A2a1A2符合条件 种分拆C·C6种
A1双元素集C种中种妨设A1{a1a2}必a3∈A2外a1a2选选1全选224种选法种分拆C·412种
A1三元素集A2{a1a2a3}子集种分拆23种 1+6+12+827种分拆
2分析：直接赋值法求解观察题设欲求式需n分奇数偶数两种情况进行讨
解析：根题意an
∴{a2n1}首项公等数列{a2n}首项公等数列
∴
选C
点悟：解分类讨问题般步骤：
（1）确定分类讨象：参数进行讨
（2）讨象进行合理分类（分类时做重复遗漏标准统分层越级）
（3）逐类讨：类问题详细讨逐步解决
（4）纳总结：类情况总结纳
3分析：ABl位置关系定需分类讨
解：（1）AB⊥l时显然θ1+θ290°
（2）ABl垂直时面α作AC⊥l垂足C连结BC
∵面α⊥面β∴AC⊥面β ∴∠ABCAB面β成角∠ABCθ2
面β作BD⊥l垂足D连结AD 理∠BADθ1
Rt△BDARt△ACB中∵BD∵θ1∠BAC均锐角∴θ1<∠BAC ∠BAC+θ290°∴0°<θ1+θ2<90°
（3）线段AB直线lθ1+θ20° 综0°≤θ1+θ2≤90°
点悟：问题中元素位置关系定情况必须分开进行研究
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第20计 讨开门 防漏防重
●计名释义
什讨？研究象作统结然统分分化整零便击破什分易破呢？部分中性相增加解题条件
分类注意标准统避免重漏集合话说全集合分成干子集
①两两子集交空②子集全
分手段合目分类讨完毕整合出整问题答案
●典例示范
例1 已知a∈R函数f (x)x2|xa|
(1)a2时求f (x)x成立x集合（2）求函数yf (x)区间［12］值
分析 (1)需分两种情况讨（2）含参数讨问题定情况考虑出否容易丢解
解答 (1)a2时f (x)x2|x2|
f (x)x时x2(x2)x (x≥2)x2(2x)x (x<2)x32x2x0x(x22x1)0
x10(舍）x21(舍）x31+
x2(2x)x时∴x32x2+x0x(x22x+1)0x0x1
综述：a2时f (x)x成立x集合{011+}
(2)f (x) a≤1时a<1≤x≤2f (x)x3ax2
∴f ′(x)3x22ax0∴x10x2a ∵1≤x≤2∴a
f ′(x)>0f (x)［12］增函数 ∴f (1)1af (2)84a ∴f (x)min1a
a∈(12)f (x)
1≤x≤a时f (x)3x2+2ax0x10x2a
a<时1≤x
a≤x≤2时f ′(x)3x22ax0x10x2a x∈［a2］f ′(x)>0
∴f (x)［a2］增函数 ∴f (x)min0
a>2时x∈［12］ f (x)x2(ax) ax2x3
∴f ′(x)2ax3x20 ∴x10x2a
∴f (x)mina14a8中较数 2
综述a≤1时f (x)min1a
a∈(12)时f(x)min0 a∈(2)时f (x)min 4a8
a∈［3］时f (x)mina1 a∈(3+∞)时f （x）mina1
点评 题分类讨思想考查非常充分深入道试题第（1）问中x取值进行讨第（2）问中a取值进行讨分四种情况见分类讨考查处
例2 设f (x)g(x)h(x)中g(x)2x3++5h(x)(3a+3)x212a(1a)x+
(1)x>0试运导数定义求g′(x)
(2)a>0试求定义区间［06］函数f (x)单调递增区间单调递减区间
解答 （1）g′(x)
(2)f (x)g(x)h (x)2x3(3a+3)x2+12a(1a)x+5f′(x)6x2(6a+6)x+12a(1a)6(x2a)(x1+a)令f′(x)0x2ax1a
①0
③1≤a<3时1a≤0<2a<6函数f (x)［02a］单调递减［2a6］单调递增
④a≥3时1a<0<6≤2a函数f (x)［06］单调递减
点评 题中a划分关键找出分界点正确分类进行讨成问题
●应训练
1集合A1A2满足A1∪A2A称(A1A2)集合A种分拆规定仅A1A2时(A1A2)(A2A1)集合A种分拆集合A{a1a2a3}分拆种数
A27 B26 C9 D8
2数列{an}通项公式ann∈N+等 （ ）
A B C D
3 图已知条线段AB
两端点分直
二面角αlβ两面转动
AB面αβ成角分
θ1θ2试讨θ1+θ2范围
第3题图
●参考答案
1A A{a1a2a3}A1∪A2A1标准分类
A1A2{a1a2a3}种分拆仅种C·C1
A1单元素集C种中种例A1{a1}必a1a3∈A2a1∈A2a1A2符合条件 种分拆C·C6种
A1双元素集C种中种妨设A1{a1a2}必a3∈A2外a1a2选选1全选224种选法种分拆C·412种
A1三元素集A2{a1a2a3}子集种分拆23种 1+6+12+827种分拆
2分析：直接赋值法求解观察题设欲求式需n分奇数偶数两种情况进行讨
解析：根题意an
∴{a2n1}首项公等数列{a2n}首项公等数列
∴
选C
点悟：解分类讨问题般步骤：
（1）确定分类讨象：参数进行讨
（2）讨象进行合理分类（分类时做重复遗漏标准统分层越级）
（3）逐类讨：类问题详细讨逐步解决
（4）纳总结：类情况总结纳
3分析：ABl位置关系定需分类讨
解：（1）AB⊥l时显然θ1+θ290°
（2）ABl垂直时面α作AC⊥l垂足C连结BC
∵面α⊥面β∴AC⊥面β ∴∠ABCAB面β成角∠ABCθ2
面β作BD⊥l垂足D连结AD 理∠BADθ1
Rt△BDARt△ACB中∵BD
（3）线段AB直线lθ1+θ20° 综0°≤θ1+θ2≤90°
点悟：问题中元素位置关系定情况必须分开进行研究
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