数学破题36计
第2计 西瓜开门 滚成功
●计名释义
起芝麻西瓜点球 够滚滚成功 球断变换碰撞面滚动中选出效触面
数学命题二维 知识容二思想方法 基数学思想五种：①函数方程思想②数形结合思想③划分讨思想④等价交换思想⑤特殊般思想 数学破题妨五种思想滚动遍总种思想方法题目号
●典例示范
［题1］ （2006年赣卷第5题）
R导意函数f（x）满足（x－1）f ¢（x）³0必
A f（0）＋f（2）< 2f（1） B f（0）＋f（2）≤2 f（1）
C f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D f（0）＋f（2）>2f（1）
［分析］ 五种数学思想进行滚动容易找感觉应③：分类讨思想 点已条件（x1）f＇(x)≥0中暗示极显目
f＇(x)等0三种情况
二x1等0三种情况
题破门首先想划分讨
［解］ （i）f＇(x) ≡ 0时f(x)常数：时选项BC符合条件
（ii）f＇(x)恒0时 f＇(x)≥0时x≥1f（x）增函数f＇(x)≤0时x ≤1 f（x）减函数 时选项CD符合条件
综合（i）（ii）题正确答案C
［插语］ 考场见错误选D 忽略f＇(x) ≡ 0 （x1）f＇(x) ≥0中等号成立条件x10实x10f＇(x)0意义：前者涉x值x1x取值f＇(x) ≡ 0
［析］ 题f（x）种抽象函数者说满足题条件类函数集合 选择支中具体函数值f（0）f（1）f（2） 容易联想数学⑤：般特殊思想
［解二］ （i）f＇(x)0设f（x）１ 选项ＢＣ符合条件
（ii）f＇(x)≠0 设f(x) （x1）2 f＇(x)2（x1）
满足 (x1) f＇(x) 2 (x1)2≥0 f (x) (x1)2 f（0） f（2）1f（1）0
选项CD符合条件 综合（i）（ii）答案C
［插语］ 类f (x)函数中找简单特殊函数(x1)2 果类中找(x1)4 (x1) 然麻烦 特殊化简单化
［析］ 题函数（导数）载体 数学思想①——函数方程（等式）思想 贯穿始终f ¢（x） 0找值点x 0f ¢（x）>0（<0）找单调区间问题函数问题
函数图象相联数形结合思想容易想
［解三］ （i）f (0) f (1) f (2)选BC常数f (x) 1符合条件 （右图水直线）
（ii）f (0) f (2)< f (1)应选项A（右图拱曲线）满足条件(x1) f ¢（x）≥0
f (0) f (2)> f (1)应选项CD（右图拱曲线） 满足条件(x1) f ¢（x）≥0
［探索］ 题涉抽象函数f (x)没出解析式出性质：(x1) f ¢（x）≥0判定f (0)+ f (2) ≥ f (1) 然种性质具体函
数希找样函数
［变题］ 函数f (x)具性质(x1) f ¢（x）≥0f (0)+ f (2) ≥2 f (1)函数
A f（x） (x1)3 B f（x） (x1) C f（x） (x1) D f（x） (x1)
［解析］ Af (0) 1 f (2) 1f (1)0符合求Bf (0)意义
Cf (0) 1 f (2) 1f (1)0符合求
答案D D f (0) 1 f (1) 0f (2)1
f ¢（x）(x1) (x1) f＇(x) (x1)(x1) ≥0
［说明］ x1称轴开口函数属类抽象函数 f¢（x）(x1) 中mn正整数n≥m
［点评］ 解决抽象函数办法切忌般解决须定具体性质事事抽象函数具体化般特殊思想解题中具体应
［题2］ 已知实数xy满足等式 试求分式值
［分析］ 值涉函数等式连接方程函数方程思想易想
［解］ （函数方程思想运）
令 y k (x5) 方程联立
消y：
根x范围应根分布等式组：
解 ≤≤ 求值值
［插语］ 解出≤≤谈易十九错早应该滚开思想方法试试
［解二］ （数形结合思想运）
椭圆方程
0
成椭圆点（xy）(50)直
线斜率（图右）
联立
令 值值
［插语］ 滚动处解二解容易 滚动开门仅善滚善滚开
［点评］ 西瓜开门运动学带进考场解题 滚动克服解题思维定势
解题时破思维固化思想方法滚动知识链接滚动基技技巧滚动 总面考题法想法办法注意滚动
●应训练
1动点P坐标(xy)lgylg|x|lg成等差数列动点P轨迹应图中 ( )
2函数y1 (1≤x<0)反函数 ( )
Ay(0C y (1≤x<0) D y (1≤x<0)
3设abc∈R4a4b+c>0a+2b+c<0列结中正确 ( )
Ab2≤ac Bb2>ac Cb2>aca>0 Db2>aca<0
●参考答案
1思考 利题设隐含条件条件知x≠0y>0y>x选项B中x<0图选项D中x>0图均应否定xy∈R+时lg意义否定A选C．
点评 面解法中条件选项滚滚碰碰中终找正确选项题常规解法：x≠0y>x时lgy+lg2lg|x|化简(x+y)(2xy)0∴yxy2x(x≠0y>0)
2思考 分析选项仅解析式符号区定义域中等号位置区拟两方面滚动着手排错误选项
原函数定义域1≤x<0∴反函数值域1≤y<0排BD
∵原函数中f(1)1∴反函数中f1(1)1x1时f1(x)定义排C∴选A．
3解析 分析四选择支间逻辑关系知C真B真D真B真CD皆假
取符合条件4a4b+c>0a+2b+c<0实数a0b1c0检验知选B
解析二 选择支联想二次函数判式
令f(x)ax2+2bx+cf(2)4a4b+c>0
f(1)a+2b+c<0Δ4b24ac>0b2>ac选B
点评 解题时易受题设条件干扰企图已知等式出发
4b<4a+c ①
2b①×②等号方法确定思维受阻
逻辑分析法特殊值检验方法两种方法滚动简便明快解析判式法逻辑性强思路难寻解析二般做题时选择题解题速度变快推荐学生解析
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第2计 西瓜开门 滚成功
●计名释义
起芝麻西瓜点球 够滚滚成功 球断变换碰撞面滚动中选出效触面
数学命题二维 知识容二思想方法 基数学思想五种：①函数方程思想②数形结合思想③划分讨思想④等价交换思想⑤特殊般思想 数学破题妨五种思想滚动遍总种思想方法题目号
●典例示范
［题1］ （2006年赣卷第5题）
R导意函数f（x）满足（x－1）f ¢（x）³0必
A f（0）＋f（2）< 2f（1） B f（0）＋f（2）≤2 f（1）
C f（0）＋f（2）≥ 2f（1） D f（0）＋f（2）>2f（1）
［分析］ 五种数学思想进行滚动容易找感觉应③：分类讨思想 点已条件（x1）f＇(x)≥0中暗示极显目
f＇(x)等0三种情况
二x1等0三种情况
题破门首先想划分讨
［解］ （i）f＇(x) ≡ 0时f(x)常数：时选项BC符合条件
（ii）f＇(x)恒0时 f＇(x)≥0时x≥1f（x）增函数f＇(x)≤0时x ≤1 f（x）减函数 时选项CD符合条件
综合（i）（ii）题正确答案C
［插语］ 考场见错误选D 忽略f＇(x) ≡ 0 （x1）f＇(x) ≥0中等号成立条件x10实x10f＇(x)0意义：前者涉x值x1x取值f＇(x) ≡ 0
［析］ 题f（x）种抽象函数者说满足题条件类函数集合 选择支中具体函数值f（0）f（1）f（2） 容易联想数学⑤：般特殊思想
［解二］ （i）f＇(x)0设f（x）１ 选项ＢＣ符合条件
（ii）f＇(x)≠0 设f(x) （x1）2 f＇(x)2（x1）
满足 (x1) f＇(x) 2 (x1)2≥0 f (x) (x1)2 f（0） f（2）1f（1）0
选项CD符合条件 综合（i）（ii）答案C
［插语］ 类f (x)函数中找简单特殊函数(x1)2 果类中找(x1)4 (x1) 然麻烦 特殊化简单化
［析］ 题函数（导数）载体 数学思想①——函数方程（等式）思想 贯穿始终f ¢（x） 0找值点x 0f ¢（x）>0（<0）找单调区间问题函数问题
函数图象相联数形结合思想容易想
［解三］ （i）f (0) f (1) f (2)选BC常数f (x) 1符合条件 （右图水直线）
（ii）f (0) f (2)< f (1)应选项A（右图拱曲线）满足条件(x1) f ¢（x）≥0
f (0) f (2)> f (1)应选项CD（右图拱曲线） 满足条件(x1) f ¢（x）≥0
［探索］ 题涉抽象函数f (x)没出解析式出性质：(x1) f ¢（x）≥0判定f (0)+ f (2) ≥ f (1) 然种性质具体函
数希找样函数
［变题］ 函数f (x)具性质(x1) f ¢（x）≥0f (0)+ f (2) ≥2 f (1)函数
A f（x） (x1)3 B f（x） (x1) C f（x） (x1) D f（x） (x1)
［解析］ Af (0) 1 f (2) 1f (1)0符合求Bf (0)意义
Cf (0) 1 f (2) 1f (1)0符合求
答案D D f (0) 1 f (1) 0f (2)1
f ¢（x）(x1) (x1) f＇(x) (x1)(x1) ≥0
［说明］ x1称轴开口函数属类抽象函数 f¢（x）(x1) 中mn正整数n≥m
［点评］ 解决抽象函数办法切忌般解决须定具体性质事事抽象函数具体化般特殊思想解题中具体应
［题2］ 已知实数xy满足等式 试求分式值
［分析］ 值涉函数等式连接方程函数方程思想易想
［解］ （函数方程思想运）
令 y k (x5) 方程联立
消y：
根x范围应根分布等式组：
解 ≤≤ 求值值
［插语］ 解出≤≤谈易十九错早应该滚开思想方法试试
［解二］ （数形结合思想运）
椭圆方程
0
成椭圆点（xy）(50)直
线斜率（图右）
联立
令 值值
［插语］ 滚动处解二解容易 滚动开门仅善滚善滚开
［点评］ 西瓜开门运动学带进考场解题 滚动克服解题思维定势
解题时破思维固化思想方法滚动知识链接滚动基技技巧滚动 总面考题法想法办法注意滚动
●应训练
1动点P坐标(xy)lgylg|x|lg成等差数列动点P轨迹应图中 ( )
2函数y1 (1≤x<0)反函数 ( )
Ay(0
3设abc∈R4a4b+c>0a+2b+c<0列结中正确 ( )
Ab2≤ac Bb2>ac Cb2>aca>0 Db2>aca<0
●参考答案
1思考 利题设隐含条件条件知x≠0y>0y>x选项B中x<0图选项D中x>0图均应否定xy∈R+时lg意义否定A选C．
点评 面解法中条件选项滚滚碰碰中终找正确选项题常规解法：x≠0y>x时lgy+lg2lg|x|化简(x+y)(2xy)0∴yxy2x(x≠0y>0)
2思考 分析选项仅解析式符号区定义域中等号位置区拟两方面滚动着手排错误选项
原函数定义域1≤x<0∴反函数值域1≤y<0排BD
∵原函数中f(1)1∴反函数中f1(1)1x1时f1(x)定义排C∴选A．
3解析 分析四选择支间逻辑关系知C真B真D真B真CD皆假
取符合条件4a4b+c>0a+2b+c<0实数a0b1c0检验知选B
解析二 选择支联想二次函数判式
令f(x)ax2+2bx+cf(2)4a4b+c>0
f(1)a+2b+c<0Δ4b24ac>0b2>ac选B
点评 解题时易受题设条件干扰企图已知等式出发
4b<4a+c ①
2b
逻辑分析法特殊值检验方法两种方法滚动简便明快解析判式法逻辑性强思路难寻解析二般做题时选择题解题速度变快推荐学生解析
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